Лекция 16 Принцип действия тепловой и холодильной машин Цикл Карно

Лекция 16
1.
Принцип действия тепловой и холодильной машин
2.
Цикл Карно
3.
Явления переноса
Средняя длина свободного пробега, эффективный диаметр молекулы
Связь между длиной свободного пробега и эффективным диаметром
Плотность молекулярного потока
1. Принцип действия тепловой машины
Тепловая машина – это машина, работающая по прямому циклу
Основные элементы
Нагреватель (Т1)
A = Q1 – Q2
Поршень
Q1
Рабочее тело
Q2
Холодильник (Т2)
Если передавать тепло от
нагревателя холодильнику
непосредственным
соприкосновением, то
такой процесс будет
необратим, а механическая
работа вообще не будет
получаться.
Поэтому в процессе должно участвовать обязательно рабочее тело
Рабочее тело должно обратимо отнять тепло Q1 от нагревателя Т1 и обратимо отдать часть тепла
Q2 холодильнику Т2, а разность (Q1 - Q2) передать в виде механической работы поршню. Само
тело должно вернуться в исходное состояние, то есть совершить замкнутый цикл.
К.П.Д. тепловой машины определяется
η=
Q
A Q1 − Q2
=
= 1− 2
Q1
Q1
Q1
(16.1)
тем, насколько полно она превращает
полученную теплоту Q1 в работу
Из формулы видно, что η < 1 всегда, т.к. нельзя возвратиться в исходное состояние, не
отдавая теплоты
Невозможна такая машина, которая бы превращала в работу всю
полученную теплоту или невозможен вечный двигатель второго рода
• Принцип действия холодильной машины
В основу работы холодильной машины положен обратный цикл
Основные элементы
Более холодное тело (Т1)
Q1
A
Поршень
Рабочее тело
Q2
Более нагретое тело (Т2)
Рабочее тело отнимает тепло Q1 у холодного тела (Т1) за счет работы поршня А и передает
Q2 более нагретому телу (Т2)
В качестве более нагретого тела используется, например, окружающая среда
(в домашнем холодильнике газ (хлор, ксенон, криптон) в результате сжатия и расширения
переходит в жидкое состояние, тепло отбирает циркулирующий воздух).
К.П.Д. холодильной машины
Q2 Q1 + A
Q1
η=
=
= 1+
A
A
A
Из формулы видно, что
η > 1, т.к. Q1 < Q2
(16.2)
2. Цикл Карно
Это идеальный цикл, который целиком состоит из обратимых процессов и
имеет наибольший К.П.Д.
∆Q = 0
Изобразим цикл Карно на РV-диаграмме
P
1
Q1
4
Q2
2
∆Q = 0
3
Простейший обратимый цикл
состоит из двух изотерм и двух
адиабат. Такой цикл впервые
рассмотрел французский
инженер С. Карно (1824г.) в
поисках способа увеличения
К.П.Д. тепловой машины
V
Расширение газа осуществляется
частично изотермически (1 → 2),
частично адиабатически (2 → 3)
На участке (1 → 2) газ
получает тепло Q1 от
нагревателя Т1
Сжатие тоже происходит в 2 этапа:
изотермически (3 → 4),
адиабатически (4 → 1)
На участке (3 → 4) газ отдает
На участках (2 → 3) и (4 → 1) –
тепло Q2 холодильнику Т2
∆Q = 0
Найдем как зависит К.П.Д. цикла Карно от температуры нагревателя (Т1)
и температуры холодильника (Т2)
К.П.Д. цикла определяется по формуле
Q2
A Q1 − Q2
η=
=
= 1−
Q1
Q1
Q1
Q1 =
Так как теплота подводится и отводится по изотермам, то
Q2 =
m
µ
RT2 ln
V3
V4
Найдем работу цикла
m
µ
RT1 ln
(16.1)
V2
V1
А = Q1 – Q2
Из решения системы уравнений всех изотерм и всех адиабат получим
P1V1 = P2V2
P2V2γ = P3V3γ
P3V3 = P4V4
P4V4γ = P1V1γ
→
V3 V2 , следовательно A = m R(T − T ) ⋅ ln V2
=
1
2
µ
V1
V4 V1
К.П.Д. цикла будет равно
m
η=
R (T1 − T2 ) ln
µ
A
=
m
Q1
µ
RT1 ln
К.П.Д. машины Карно, работающей с идеальным
газом зависит от температуры нагревателя и
температуры холодильника по формуле
V2
V1
V2
V1
η=
=
(16.3)
T1 − T2
T1
T1 − T2
T
= 1− 2
T1
T1
(16.4)
Формулу (16.4) можно получить, если найти изменение энтропии за цикл
∆S = ∆S12 + ∆S23 + ∆S34 + ∆S41
Изменение энтропии за цикл:
∆S = ∆S12 + ∆S34
0
0
∆S =
Q1 Q2
−
T1 T2
Для изотермического процесса ∆S = Q / T
, следовательно
Так как для обратимых процессов ∆S
Q1 Q2
Q
T
−
=0⇒ 2 = 2
T1 T2
Q1 T1
Подставив (16.5) в (16.1), получим
= 0, то
Q2
T
= 1− 2
Q1
T1
(16.5)
(16.4) Например: кипящая
вода (373°К) – воздух
(293°К), η ~ 21,5%;
Из формулы (16.4) видно, что чем больше температура
пар (900°К) – вода
нагревателя и чем меньше температура холодильника, тем
(300°К), η ~ 66,7%
выше К.П.Д.
(современные турбины
В реальных тепловых двигателях в силу различных необратимых большой мощности)
процессов (теплообмен, трение), К.П.Д. значительно ниже.
Есть циклы, когда топливо сгорает внутри машины ( в отличие, например, от паровых
машин, где есть отдельный нагреватель). Такие циклы применяются в двигателях
внутреннего сгорания. К таким циклам относятся циклы Отто и Дизеля, в которых
можно получить более высокие температуры рабочего вещества, а следовательно и К.П.Д.
η = 1−
3. Явления переноса
Это совокупность процессов, возникающих при хаотическом движении
молекул, которые переходя из одной точки пространства в другую,
переносят присущие им массу, энергию и импульс.
Некоторые понятия явлений переноса
• Средняя длина свободного пробега (
λ )
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно
сталкиваются друг с другом.
За время движения между двумя последовательными столкновениями
молекула проходит путь, который называют длиной свободного пробега.
Длина свободного пробега – величина случайная, поэтому
вводят понятие: средняя длина свободного пробега λ
λ
- это средний путь, проходимый молекулой между двумя
последовательными столкновениями
• Эффективный диаметр молекулы ( dэф) – это минимальное расстояние,
на которое сближаются при столкновении центры двух молекул.
●
r
r
dэф
●
dэф = 2r
, где r - радиус молекулы
• Связь
между
λ и dэф
Проследим за движением одной молекулы в выбранном направлении. Для простоты
предположим, что после столкновения молекула продолжает двигаться в том же
направлении, а остальные молекулы неподвижны.
Пусть молекула за время t пройдет путь L
R
dэф
V
r
·
L
За это время молекула заденет все молекулы,
центры которых находятся на расстоянии R ≤ dэф
от прямой, по которой движется молекула
Обозначим число этих молекул Z. Все они лежат
внутри цилиндра радиусом R и длиной L
Среднее число столкновений молекулы за время t будет равно числу молекул, находящихся
в этом цилиндре
, где v – объем цилиндра; n – концентрация молекул
Z = nv
2
2
v = πd эф
⋅ L = πd эф
V ⋅t
V ⋅t = L
, где V - средняя скорость молекулы
относительно стенок цилиндра без
2
Тогда
Z = π d эф
V ⋅t ⋅n
учета скорости остальных молекул
Так как другие молекулы тоже движутся, то надо
брать скорость относительно движения молекул,
которая в 2 раз больше скорости относительно стенок цилиндра, то есть Vотн = 2V
, т.к.
2
Z = πd эф
2 ⋅ V ⋅ t ⋅ n (16.5)
- cреднее число столкновений
за время t
Если теперь средний путь, проходимый молекулой за время t, поделить на
среднее число столкновений, то получим среднюю длину свободного пробега
V ⋅t
λ =
=
Z
λ =
Величину
1
2
2π ⋅ d эф
⋅n
1
2
2π ⋅ d эф
⋅n
(16.6)
2
π ⋅ d эф
= σ эф
- эта формула описывает связь средней длины
свободного пробега и эффективного
диаметра молекулы
называют эффективным сечением молекулы
Формула (16.6) перепишется теперь в виде
При Т = const
λ =
kT
2σ эф ⋅ P
2
Z = πd эф
2 ⋅V ⋅ t ⋅ n
(16.8)
λ =
1
2σ эф ⋅ n
(16.7)
λ ≈
1
1
≈
n
P
(т.к. Р = nkT)
Из формулы (16.8) видно, что по мере разряжения воздуха, то есть уменьшении давления Р,
λ - возрастает. Поместив газ в сосуд с линейными размерами L и постоянно откачивая,
можно получить, что λ ~ L
При дальнейшем уменьшении давления, молекулы раньше сталкиваются со стенками, чем
друг с другом. Молекулы летают от стенки к стенке, как если бы в воздухе отсутствовали
другие молекулы.
При L ~10см, вакуум наступает
Эту область давлений называют физическим вакуумом
при Р~10³ мм.рт.ст, но при этом
остается еще n = 2,7 ⋅ 1013 см −3
• Плотность
молекулярного потока
Предположим, что все молекулы имеют одинаковую скорость, равную её среднему значению V
у
Расположим в пространстве площадку S перпендикулярную
направлению х
S
● ● ●
●
● ●
● ●
●
у
●
●
●
● ●
V x ⋅ ∆t
Пусть N – число молекул, пересекающих площадку S за
некоторое время ∆t
Плотность молекулярного потока – это число
х молекул, пересекающих единицу площадки за
единицу времени
N (16.9)
j=
S ⋅ ∆t
Выразим
j через n и V
, где n – концентрация молекул
Найдем число молекул N, падающих на площадку S за время ∆t
За это время ∆t молекулы пройдут расстояние V x ⋅ ∆t Тогда число молекул
где v = V x ∆t ⋅ S - объём, занимаемый молекулами за время ∆t
Следовательно, число молекул определится по формуле
N = n ⋅ V x ⋅ ∆t ⋅ S
N = n⋅v
(16.10)
V = V x + V y + V z , то получим
1
1
V x = V (16.11) Подставив (16.11) в (16.10), найдем N = n ⋅ V ⋅ ∆t ⋅ S (16.12)
6
6
Если учесть, что все направления равновероятны, то есть
С учетом (16.12) формула (16.9) примет вид j =
1
n ⋅ V (16.13) - плотность потока молекул
по любому направлению
6
Диффузия газов
Это процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы
z
Выделим мысленно в газе площадку S ┴ х
n1
Предположения:
1. Концентрация молекул n изменяется вдоль координаты х
(n1 > n2)
n0
n2
x0 − λ
x0
x0 + λ
x
2. Молекулы испытали последнее столкновение на
расстоянии от площадки S равное λ (слева и справа)
Это значит, что средняя скорость молекул будет
одинаковой в пределах выделенного параллелограмма.
y
S
Так как (n1 > n2), то возникает молекулярный поток в сторону уменьшения плотности.
Происходит выравнивание концентраций, то есть явление диффузии.
Найдем плотность потока молекул через площадку S слева и справа
1
j + = n1V
6
1
j − = n 2V
6
( слева)
(справа)
1
1
j x = j + − j − = V (n1 − n2 ) = − V (n 2 − n1 )
6
6
1
j x = − V ∆n
6
(16.14)
суммарная плотность потока
молекул в направлении х
1
Умножим выражение j x = − V ∆n на λ
6
1
1 V ∆n ⋅ λ
1
∆n
λ
j x = − V ∆n = −
= − V ⋅λ
6
λ
3 2λ
3
2λ
2λ = ( x0 + λ ) − ( x0 − λ ) = x 2 − x1 = ∆x
Введем коэффициент
1
V ⋅λ = D
3
λ
1
∆n
jx = − V ⋅ λ
3
∆x
(16.15)
- коэффициент диффузии
Уравнение (16.15) будет теперь иметь вид
∆n
= grad
∆x
и поделим на
∆n
jx = −D
∆x
(16.16)
- уравнение
диффузии
- градиент концентрации в направлении х ( характеризует
n быстроту
изменения концентрации молекул в пространстве)
Плотность потока молекул в направлении х пропорциональна
градиенту концентрации в этом направлении
Знак (-) говорит
о том, что
диффузионный
поток направлен
в сторону
убывания
концентрации
Из уравнения (16.16) вытекает смысл коэффициента диффузии D:
коэффициент диффузии численно равен потоку молекул газа
через единицу площадки за единицу времени при grad n = 1
Если умножить обе части уравнения (16.16) на массу
одной молекулы m, то получим
dρ
j
=
−
D
(16.17) – закон Фика (найден экспериментально)
mx
плотность потока массы
dx