МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА (теория и практика)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Рубцовский индустриальный институт (филиал)
ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет
им. И.И. Ползунова»
В.В. Борисовский
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
(теория и практика)
Учебное пособие
для студентов всех направлений
очной и заочной форм обучения
Рубцовск 2014
УДК 530.1
Борисовский В.В. Молекулярная физика (теория и практика): Учебное
пособие для студентов всех направлений очной и заочной форм обучения/ Рубцовский индустриальный институт. – Рубцовск, 2014.- 44 с.
Пособие представляет собой краткую теорию раздела физики – молекулярную физику. Приведенные практические примеры из повседневной жизни,
природы и техники рассматривают молекулярное строение и свойства вещества
в газообразном состоянии.
Пособие предназначено для студентов всех направлений и может быть
использовано старшеклассниками и преподавателями физики.
Рассмотрено и одобрено на заседании
НМС Рубцовского индустриального
института
Протокол № 6 от 01.09.2014г.
Рецензент:
к.т.н., доцент П.А. Люкшин
© Рубцовский индустриальный институт, 2014
2
Содержание
Предисловие
4
1. Молекулярная физика и термодинамика
1.1. Молекулярно-кинетическая теория
1.2. Распределение молекул по скоростям
1.3. Явления переноса
1.4. Основы термодинамики
1.5. Второе начало термодинамики
5
5
8
9
11
14
2. Вопросы и задачи
15
3. Подсказки
25
4. Ответы и решения
28
3
Предисловие
Молекулярная физика изучает свойства тел в твердом, жидком и газообразном состояниях на основе рассмотрения их молекулярного строения. Основу
молекулярной физики составляет молекулярно-кинетическая теория газов. Эта
теория объясняет тепловые явления в различных телах и их внутренние свойства на основе представлений о том, что все тела – твердые, жидкие, газообразные – состоят из отдельных, хаотически двигающихся частиц, взаимодействующих друг с другом.
Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом действия большого числа молекул. Свойства огромного числа молекул отличны от
свойств каждой отдельной молекулы и подчиняются статистическим закономерностям. То есть макроскопические характеристики тел имеют физический
смысл лишь в случае большого числа молекул в веществе. Температура тела,
например, определяется средней кинетической энергией беспорядочного движения всех его молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы.
Общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии
термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями рассматриваются в термодинамике. Термодинамика устанавливает энергетические связи между различными явлениями на основе закона сохранения
энергии. Развитие термодинамики способствовало укреплению молекулярнокинетической теории строения вещества, обе эти части молекулярной физики
взаимно дополняют друг друга.
В пособии рассматриваются теория, вопросы и задачи различной трудности, которые позволяют объяснить закономерности поведения молекул в твердом, жидком и газообразном состояниях на основе законов молекулярной физики и термодинамики.
4
1. Молекулярная физика и термодинамика
Молекулярная физика изучает явления, происходящие внутри макроскопических тел (твердых, жидких, газообразных), то есть она неразрывно связана
с теорией строения вещества. Теория строения вещества, базирующаяся на том,
что тела состоят из мельчайших частиц – атомов и молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении, между которыми существуют силы притяжения и отталкивания, называется молекулярно-кинетической теорией
(МКТ).
1.1. Молекулярно-кинетическая теория
Опытным подтверждением правильности МКТ служит броуновское движение и диффузия. Броуновское движение – это непрерывное хаотическое
движение взвешенных твердых и нерастворимых частиц в жидкости (газе).
Впервые наблюдал это явление английской ботаник Р.Броун в 1827 году. Диффузией называется явление проникновения молекул одного вещества в промежутки между молекулами другого вещества. Диффузия наблюдается в газообразных, жидких и твердых веществах.
Рассмотреть отдельные молекулы, даже самые крупные, невозможно и в
лучшие оптические микроскопы, но массу молекул определить можно – сделал
это впервые французский физик Жан Перрен (1870-1942). Он определил массу
молекулы кислорода. Зная, во сколько масса атома любого химического элемента больше массы атома самого легкого из элементов - водорода, можно
определить в относительных единицах массу любого элемента. Масса молекулы кислорода больше в 16 раз массы молекулы водорода, поэтому, поделив
массу молекулы кислорода, которую определил Ж.Перрен, на 16, получим массу молекулы водорода. Зная, что молекула водорода состоит из двух атомов,
масса атома водорода служит как бы единицей массы для атомов, или, как говорят, атомной единицей массы (а.е.м.). (В настоящее время за единицу атомной массы принимается 1/12 массы атома изотопа углерода
, 1
-27
а.е.м.=1,66∙10 кг). Относительная масса атомов и молекул показывает, во
сколько раз масса атома или молекулы данного вещества больше атомной единицы массы. Относительные молекулярные массы для химических элементов
указаны в периодической таблице Д.И. Менделеева.
Число молекул в каком-либо теле определяется количеством вещества в
нем. За единицу количества вещества, казалось бы, проще всего принять одну
молекулу. Но эта величина будет выражаться очень большими числами и количество вещества стали измерять в молях. Один моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же молекул или атомов, сколько атомов содержится в 0,012 кг изотопа углерода
. Количество молекул в одном моле
любого вещества одинаково и называется постоянной Авогадро
.
Так как один моль любого вещества содержит одно и то же количество
частиц, а поскольку массы молекул различных веществ неодинаковы, то и мас5
са одного моля у различных веществ неодинакова. Масса одного моля вещества
называется молярной массой и измеряется в кг/моль. Если известна масса тела
m и молярная масса , то число молей можно определить по формуле
,
а число молекул –
.
(1)
Молекулярно-кинетическую теорию проще всего применять при изучении свойств вещества в газообразном состоянии, используя модель идеального
газа. В модели идеального газа делаются следующие предположения: 1) объем
молекулы имеет значение много меньше, чем объем сосуда; 2) между молекулами не действуют силы притяжения; 3) соударение молекул друг с другом и со
стенками сосуда происходит в результате упругого отталкивания. Модель идеального газа хорошо согласуется с реальными газами, находящимися при нормальном давлении и температуре.
Одним из первых и важных достижений МКТ идеального газа было количественное и качественное объяснение давления газа на стенки сосуда. Беспорядочно двигаясь, молекулы газа действуют на стенку сосуда с некоторой
силой, которая распространяется по всей поверхности стенки, возникает давление газа на стенки сосуда. На основе МКТ было получено уравнение, которое
позволяет вычислить давление газа, если известны масса молекулы m, среднее
значение квадрата скорости молекул
и концентрация n молекул:
Это уравнение называется
кинетической теории.
.
основным
уравнением
(2)
молекулярно-
Средняя кинетическая энергия
, тогда
, то есть давление газа определяется средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Средняя кинетическая энергия газа связна с абсолютной температурой Т:
,
(3)
где
Дж/К – постоянная Больцмана. После преобразований основное уравнение МКТ можно записать еще в одном виде:
.
(4)
В основном уравнении
концентрация молекул газа
, где
– число молекул в сосуде объемом V и давление газа
.
Произведение постоянной Авогадро
и постоянной Больцмана называется
универсальной газовой постоянной
. Используя полученные выражения и сделав некоторые преобразования, получим уравнение в
виде:
.
(5)
Это уравнение носит название уравнение состояния идеального газа или
уравнение Менделеева-Клапейрона.
6
Уравнение состояния идеального газа показывает, что возможно одновременное изменение пяти параметров (кроме R), характеризующих состояние
идеального газа. Однако многие процессы в газах, происходящие в природе и
осуществляемые в технике, можно рассматривать приближенно как процессы, в
которых изменяются лишь два параметра из пяти. Почти всегда остаются неизменными два параметра: масса газа m и его молярная масса , три остальных
параметра при различного рода процессах могут меняться. Особую роль в физике и технике играют процессы, в которых из трех параметров один не меняется, а два другие меняются. Это изотермический, изохорный и изобарный процессы.
1. Изотермический процесс – это процесс, протекающий при постоянной
температуре Т (при неизменных m и ):
.
(6)
Уравнение (6), устанавливающее связь между давлением и объемами для
данной массы газа при постоянной температуре, было
получено экспериментально до создания МКТ английским физиком Р. Бойлем (1627-1691) и французским
физиком Э. Мариоттом (1620-1684) и называется законом Бойля-Мариотта. График изотермического
процесса называется изотермой (рис.1) и в системе
координат р-V является гиперболой.
2. Изохорный процесс – это процесс, протекающий при неизменном объеме V и при постоянной массе газа:
,
(7)
где р – давление газа при абсолютной температуре Т,
– давление газа
0
при температуре 0 С, – температурный коэффициент,
равный
. Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал французский физик Ж.Шарль (1746-1823). Уравнение (7) называется законом Шарля. График уравнения изохорного процесса
называется изохорой и в системе координат р-Т является прямой (рис.2).
3. Изобарный процесс – это процесс, протекающий при неизменном давлении р и при постоянной массе газа:
,
(8)
где V – объем газа при абсолютной температуре
Т,
– объем газа при температуре 00 С, – термический коэффициент объемного расширения, равный
.
Экспериментальное исследование зависимости
объема от температуры провел французский физик
Ж.Гей-Люссак (1778-1850). Уравнение (8) называется
7
законом Гей-Люссака. График уравнения изобарного процесса называется изобарой, и в системе координат V-T является прямой (рис.3).
Если в замкнутый объем поместить несколько идеальных газов, то давление смеси этих газов будет равно сумме давлений входящих в нее газов, т.е.
,
(9)
где
– парциальные давления – давления, которые оказывали
бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при
той же температуре. Этот закон установил английский физик Д.Дальтон (17661844) и носит его имя.
1.2. Распределение молекул по скоростям
По МКТ, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновении,
средняя квадратичная скорость молекул массой m в газе, находящемся в состоянии равновесия при температуре Т, остается постоянной и находится из формул для кинетической энергии
⟨
⟩
и
√
√
. Отсюда получим:
.
(10)
Средняя квадратичная скорость является одной из характеристик движения всей совокупности молекул. Она не имеет смысла применительно к одной
какой-либо молекуле или к небольшому числу молекул.
Английский физик Д.К. Максвелл (1831-1879) решил задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения. Закон
Максвелла распределения молекул по скоростям описывается некоторой функцией ( )
, называемой функцией распределения. Она определяет относительное число молекул
, скорости которых лежат в интервале от v до
.
Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию ( ) в
виде:
( )
.
(11)
(
)
Из (11) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от
температуры Т).
График функции ( ) приведен на
рис.4. При малых (
, за) ( )
тем ( ) достигает максимума и далее экс( )
поненциально спадает. Максимум
наблюдается при некоторой скорости
,
называемой наиболее вероятной скоростью,
причем этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Наиболее
вероятная скорость равна
8
√
√
.
(12)
Пользуясь распределением Максвелла, определяем среднюю арифметическую скорость:
√
√
.
(13)
При выводе основного уравнения МКТ и максвелловского распределения
молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не
действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако
молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли, поэтому давление газа с высотой убывает
,
(14)
где р – давление на высоте h,
– давление на уровне моря,
–
потенциальная энергия молекулы в поле тяготения. Выражение (14) называется
барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление на
любой высоте или, измерив давление, найти высоту.
Барометрическую формулу (14) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (4)
:
(15)
где n – концентрация молекул на высоте h,
– концентрация на высоте
h=0.
До сих пор мы предполагали, что молекулы газа подобны материальным
точкам. Это дало нам возможность не учитывать соударения между хаотически
двигающимися молекулами. В действительности молекулы имеют конечные
размеры и непрерывно соударяются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который
называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с большим числом хаотично движущихся молекул, то можно говорить о средней
длине свободного пробега:
⟨⟩
,
(16)
√
где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул.
1.3. Явления переноса
Беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергии. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения
отдельных слоев газа, то движение молекул выравнивает эти неоднородности.
Возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса. К
этим явлениям относятся теплопроводность, внутреннее трение и диффузия.
Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное
проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидко9
стей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел,
возникает и продолжается, пока существует градиент плотности . Перенос
массы вещества при диффузии подчиняется закону Фика:
,
(17)
где D – коэффициент диффузии, S – площадь переноса вещества, t – время переноса. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности. Согласно молекулярно-кинетической теории газов
коэффициент диффузии
⟨ ⟩⟨ ⟩,
(18)
где ⟨ ⟩ – средняя арифметическая скорость теплового движения молекул,
⟨ ⟩ – средняя длина свободного пробега.
Теплопроводность имеет место тогда, когда в газе существует разность
температур, вызванная какими-либо внешними причинами. Молекулы газа в
разных местах его объема имеют разные средние кинетические энергии. Поэтому при хаотическом тепловом движении молекул происходит направленный
перенос энергии и выравнивание средних кинетических энергий молекул, т.е.
происходит выравнивание температур.
Процесс передачи энергии в формы теплоты Q подчиняется закону теплопроводности Фурье:
,
(19)
где – коэффициент теплопроводности,
– градиент температуры, S –
площадь переноса теплоты, t – время переноса. Знак минус показывает, что при
теплопроводности энергия переносится в сторону убывания температуры. Коэффициент теплопроводности находится по формуле:
⟨ ⟩⟨ ⟩,
(20)
где
– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, - плотность газа, ⟨ ⟩ – средняя арифметическая скорость теплового движения молекул, ⟨ ⟩ – средняя длина свободного пробега.
Явление внутреннего трения (вязкости) связано с возникновением сил
трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг
другу с различными по величине скоростями. Из-за хаотического теплового
движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего количество движения слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося
медленнее – увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося
быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее. Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона, который определяет силу F, действующую на площадь S:
,
(21)
⟨ ⟩⟨ ⟩ – динамическая вязкость, – градиент скорости.
где
Из сопоставления формул (17), (19) и (21), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой.
10
1.4. Основы термодинамики
В термодинамике рассматриваются физические свойства макроскопических систем (тел и полей) на основе анализа возможных в этих системах превращений энергии без обращения к их атомно-молекулярному строению. Основное содержание термодинамики – рассмотрение общих свойств физических
систем в состоянии термодинамического равновесия, а также общих закономерностей процессов изменения состояния.
Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия. С позиции молекулярно-кинетической теории внутренняя
энергия – это сумма потенциальной энергии взаимодействия частиц, составляющих тело, и кинетической энергии их беспорядочного теплового движения.
Внутренняя энергия идеального газа состоит только из кинетической энергии
поступательного и вращательного движений, так как в идеальном газе взаимодействие между молекулами отсутствует. Для определения средней кинетической энергии молекулы вводится понятие числа степеней свободы.
Числом степеней свободы тела называется число независимых переменных (координат), определяющих положение тела в пространстве. Молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, которой приписывают три степени свободы поступательного движения (вдоль координат X,
Y, Z), т.е. i=3. Молекулу двухатомного газа можно рассматривать как две материальные точки (атомы), жестко связанные недеформированной связью (гантель). Эта система кроме трех степеней свободы поступательного движения
имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг
третьей оси к изменению не приводит, т.е. i=3+2=5. Для трехатомных и многоатомных молекул число степеней свободы i=3+3=6, т.е. такие молекулы имеют
три поступательные и три вращательные степени свободы.
Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Больцман установил закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы, тогда, если учесть, что средняя кинетическая энергия поступательного движения (3)
, то энергия, приходящаяся на одну степень свободы,
,
(22)
а кинетическая энергия молекулы, приходящаяся на все степени свободы,
.
(23)
Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий
хаотического теплового движения всех его молекул с учетом (1):
,
(24)
где m – масса газа, – молярная масса газа, R – газовая постоянная. Из
этой формулы следует, что при нагревании газа его внутренняя энергия увеличивается, а при охлаждении уменьшается.
Для нахождения работы в термодинамике рассмотрим цилиндрический
сосуд сечением S, в котором находится газ, закрытый поршнем. В начальный
момент поршень находится на расстоянии от дна сосуда. При расширении га11
за поршень передвинулся на расстояние . На поршень действует со стороны
газа сила F=pS, где р – давление, а S – площадь поршня. При расширении поршень смещается на расстояние
. Если сила в течение расширения не
меняется, то работа, которую совершает газ, равна
(
),
(25)
где
– изменение объема газа. Формула (25) позволяет вычислить работу газа не только при расширении его в цилиндре, но и в сосудах любой формы.
При изотермическом процессе давление при расширении или сжатии газа
меняется и работа определяется по формуле:
.
(26)
Изменение внутренней энергии происходит при теплопередаче и совершении работы. При осуществлении теплопередачи от одного тела к другому
мерой переданной энергии является количество теплоты Q. В неизолированной
термодинамической системе количество теплоты Q, переданное системе, равно
сумме изменения внутренней энергии
и работе А газа над внешними силами:
.
(27)
Это выражение закона сохранения энергии для тепловых процессов называется первым законом (началом) термодинамики.
Применяя первый закон термодинамики к различным изопроцессам,
можно получить важные выводы о связи количества теплоты, внутренней энергии и работы в каждом из этих процессов. При изотермическом процессе изменение внутренней энергии равно нулю и все переданное системе количество
теплоты идет на совершение работы: Q=A. При изохорном процессе объем газа
не меняется, поэтому работа газа А=0 и все подведенное системе тепло идет на
изменение внутренней энергии:
. В изобарном процессе теплота идет и
на изменение внутренней энергии и на совершение газом работы:
(
)
Кроме изопроцессов из первого закона термодинамики можно получить
процесс, при котором отсутствует теплообмен газа с окружающей средой. Такой процесс называется адиабатическим. При адиабатическом процессе Q=0 и
работа газа совершается только за счет изменения внутренней энергии:
.
В современной технике механическую энергию чаще всего получают за
счет тепловой в различных тепловых машинах. Устройства, в которых происходит такое преобразование энергии, называют тепловыми двигателями. Обычно в тепловых машинах механическая работа совершается при расширении газа. Расширение газа происходит в результате повышения его температуры и
давления при нагревании. Газ в тепловой машине не может расширяться беспредельно (имеются конечные размеры), поэтому после расширения газ должен
быть снова сжат до первоначального объема, т.е. тепловая машина должна работать циклически. Реальные тепловые двигатели работают по разомкнутому
циклу: после расширения газ выбрасывается и расширяется новая порция газа.
Мы же рассмотрим термодинамические процессы, которые происходят в теп12
ловом двигателе в замкнутом цикле, когда расширяется и сжимается одна и та
же порция газа.
Двигатель будет совершать полезную работу, если работа расширения газа в течение одного цикла будет превышать работу сжатия, которую совершают
над газом внешние силы. Для выполнения этого условия любой тепловой двигатель, независимо от его конструктивных особенностей, состоит из трех основных частей: нагревателя, рабочего тела и холодильника. Рабочее тело – газ и
пар – при расширении совершает работу, получая от нагревателя некоторое количество теплоты . Температура
нагревателя остается при этом постоянной за счет сгорания топлива. При сжатии рабочее тело передает некоторое количество теплоты
холодильнику, у которого температура меньше, чем .
Холодильником может служить и окружающая среда (двигатели внутреннего
сгорания, дизельные и реактивные двигатели).
Коэффициент полезного действия теплового двигателя равен отношению полезной работы к затраченной работе. Полезная работа определяется разностью между количеством теплоты , которая затрачена на нагревание рабочего тела, и количеством теплоты , которое рабочее тело отдало холодильнику
. Затраченная работа определяется тем количеством теплоты ,
которое затрачивается на расширение рабочего тела:
.
(28)
Называется этот коэффициент полезного действия тепловой машины
термическим. Французский инженер и артиллерист Сади Карно (1796-1832)
рассмотрел различные периодически действующие тепловые машины, имеющие одинаковые температуры нагревателей и одинаковые температуры холодильников, и теоретически обосновал, что самым экономичным является обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис.5). Такой процесс называют идеальным циклом Карно.
Для идеальной тепловой машины, которая
работает по замкнутому циклу, коэффициент полезного действия после нахождения значений
и подстановки в формулу (28) примет
следующий вид:
,
(29)
где
– абсолютная температура,
– абсолютная температура холодильника. Следовательно,
для цикла Карно КПД определяется только температурой нагревателя и холодильника. Для увеличения КПД идеальной тепловой машины необходимо повышать температуру нагревателя и уменьшать температуру холодильника.
Так как любая реальная тепловая машина не работает по циклу идеальной
машины, то имеет КПД меньше, чем КПД тепловой машины, работающей по
циклу Карно при одинаковых температурах и .
13
1.5. Второе начало термодинамики
Выражая закон сохранения энергии для тепловых процессов, первое
начало термодинамики не показывает направление протекания процессов в
природе и технике. Первое начало термодинамики также допускает создание
вечного двигателя второго рода, т.е. двигателя, который бы получал от некоторого тела тепло и полностью превращал его в работу. Но из обобщения многочисленных опытов следует невозможность создания вечного двигателя второго
рода. Это привело к появлению второго закона (начала) термодинамики, который формулируется несколькими способами:
1. Невозможен самопроизвольный переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому (формулировка Клаузиуса).
2. Невозможен периодический процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу (формулировка Кельвина).
Кроме этих двух формулировок австрийский физик Л.Больцман (18441906) изложил второе начало термодинамики следующим образом: природа
стремится от состояний, менее вероятных, к состояниям, более вероятным. Для
характеристики состояния системы был введен физический параметр, получивший название энтропия. Энтропия является мерой необратимого рассеяния
энергии. Для тепловых процессов изменение тепловой энергии изолированной
системы dQ пропорционально ее температуре Т, т.е. dQ=dST, где dS – изменение энтропии, равное
.
(30)
Разность энтропии системы в двух произвольных состояниях 1 и 2 равна:
.
(31)
∫
Если термодинамическая система совершает какой-либо замкнутый цикл,
то для равновесных процессов
.
(32)
Для неравновесных процессов
.
(33)
Все реальные процессы связаны с определенными потерями энергии, следовательно, все они в той или иной мере необратимы и характеризуются увеличением энтропии:
.
(34)
Неравенство (34) является математической формой записи второго начала
термодинамики.
Состоянию равновесия изолированной системы соответствует максимально возможное значение энтропии, так как система к этому состоянию пришла путем увеличения энтропии. Но равновесное состояние системы есть ее
наиболее вероятное состояние. Таким образом, рост энтропии при самопроизвольных процессах означает переход системы в более вероятное состояние.
14
2. Вопросы и задачи
1. Легкие и тяжелые молекулы. По трубе, изготовленной из микропористого материала, который может пропускать через себя молекулы газа, проходит смесь газов, состоящая из молекул разных размеров. Труба окружена герметическим резервуаром, из которого откачан воздух. По мере пропускания
смеси газов через трубу в резервуаре будет накапливаться газ с большим, чем в
трубе, относительным содержанием легких молекул. Как это объяснить?
2. Какой воздух тяжелее – сухой или влажный? Сухой воздух является
смесью молекул кислорода, азота и небольшого количества инертных газов
(около 1%). Во влажном воздухе к перечисленным молекулам добавляются молекулы воды, которые испаряются с поверхности различных водоемов, в обилии покрывающих поверхность Земли. Какой воздух при одинаковых температуре и давлении тяжелее – сухой или влажный? Казалось бы, ответ очевиден –
влажный воздух тяжелее сухого. Так ли это?
3. Скорость теплового движения молекул. Средняя скорость теплового
движения молекул зависит от температуры окружающей среды и размеров молекул или ее массы и может быть определена по формуле
√
, где k -
постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, m – масса молекулы.
Средняя скорость молекул кислорода и азота, входящих в состав воздуха, при
комнатной температуре составляет величину порядка 500 м/с. Эта скорость
близка к скорости пули. Почему же запаху духов при такой большой скорости
движения молекул требуется заметное время, чтобы распространиться по комнате?
4. Раствор спирта. Для получения раствора спирта соответствующего
процентного содержания берут по отдельности определенные объемы спирта и
воды и перемешивают. В результате смешивания двух объемов полученный
объем спирта в воде становится меньше суммы объемов воды и спирта, взятых
в отдельности. Почему?
5. Почему трудно открутить гайку? Отчего трудно отвинтить гайку,
долгое время находившуюся в туго завинченном состоянии, несмотря на то, что
болт и гайка сделаны из нержавеющего материала?
6. След молекул. Почему при измерении
скоростей молекул в опыте немецкого физика
О. Штерна (1888-1969) след молекул серебра
при неподвижных цилиндрах (рис.6, а) резко
ограничен, а при вращающихся (рис.6, б) размыт?
7. Изображение результатов опыта Штерна. При проведении опыта
Штерна результаты обычно изображаются в виде положения 1 и 2 следа молекул серебра соответственно при неподвижных и вращающихся цилиндрах
(рис.7, а). Однако студент, отвечая на вопрос об опыте Штерна, изобразил следы 1 и 2 так, как показано на рис.7, б. На замечание преподавателя, что такое
15
рассмотрение противоречит опыту, студент, подумав, смог доказать правильность своего рисунка. При каком условии
возможно такое расположение следов?
Насколько реально его осуществление на
практике?
8. В чем отличие функции распределения молекул по скоростям? На рис.8
изображены функции распределения молекул по скоростям. Все ординаты кривой
2 в два раза больше, чем соответствующие
координаты кривой 1. Чем отличаются
функции распределения молекул по скоростям, изображенные этими кривыми?
9. Смещение броуновской частицы.
Среднее смещение броуновской частицы
за время t равно ⟨ ⟩. Чему равно среднее
смещение ⟨ ⟩ той же частицы за время 2t?
10. Длина свободного пробега в произвольном направлении. Если среднее значение длины свободного пробега молекул в газе равно ⟨ ⟩, то чему равно
среднее значение пробега вдоль какой-либо произвольной координатной оси?
11. Диффузия через пористую перегородку.
Сосуд разделен пористой перегородкой на две части
1 и 2 равного объема (рис.9). После того, как из обеих частей выкачали воздух, одну из них заполнили
азотом, а другую – водородом. Начальные давления
обоих газов одинаковы. Как меняются давления в
каждой части сосуда с течением времени?
12. Взаимная диффузия газов. Сосуд разделен тонкой перегородкой на
две одинаковые части. Одна часть заполнена азотом, другая – оксидом углерода. Можно считать, что поперечные сечения молекул того и другого газа одинаковы. Молекулярные массы обоих газов также одинаковы (равны =28∙10-3
кг/моль). Давления в обоих частях одинаковы. После удаления перегородки газы начинают диффундировать друг в друга. Как зависит от начального давления газов количество каждого газа, перешедшее за определенное время в часть,
ранее занятую другим газом?
13. Выход молекул в вакууме. Газ заключен в сосуд при таком давлении,
при котором длина свободного пробега молекул значительно превышает размеры сосуда. Столкновения молекул со стенками сосуда можно считать совершенно упругими. Сосуд находится в вакууме, в сосуде имеется малое отверстие, через которое молекулы уходят в вакуум. Одинакова ли средняя энергия
молекул, уходящих в вакуум и остающихся в сосуде? Сохраняется ли среди
этих групп молекул распределение по скоростям?
16
14. Сосуд Дьюара. Сосуд с двойными стенками, между которыми создан
вакуум, что обеспечивает высокую теплоизоляцию вещества, находящегося
внутри сосуда (рис.10). Сосуд назван по имени английского физика Дж.Дьюара
(1842-1923). Небольшие сосуды Дьюара изготавливают из стекла, сосуды
большого объема – из металла. К сосудам Дьюара относится распространенный в быту термос.
В сосуде Дьюара находится жидкий азот (t=-1800 C).
Наружная температура воздуха t=200 С. Давление остаточного газа между стенками сосуда 10-4 Па ( 10-6 мм рт.ст.). Длина свободного пробега молекул воздуха при атмосферном давлении порядка 10-7 м. Чему равна температура воздуха между стенками сосуда?
15. Горение в космическом корабле. В условиях невесомости отсутствует
конвекция воздуха, необходимая для поддержания горения. Однако и в этом
случае свеча или спичка будет какое-то время гореть слабым пламенем шарообразной формы. Почему?
16. Дым от сигареты. Если вы внимательно наблюдаете за дымом, идущим от сигареты, то заметите, что дым поднимается вначале тонкой струйкой, а
затем, через несколько сантиметров, начинает клубиться. Почему так происходит?
17. Раствор соли в воде. Равные количества соли растворяют в двух одинаковых сосудах с водой. В одном случае соль берут в виде одного большого
кристалла, а в другом – в виде порошка. В каком случае температура раствора
после полного растворения соли будет выше, если до растворения соль и вода
находились при одинаковых температурах?
18. Костры в местах отдыха. Костры в местах отдыха разводят для того, чтобы приготовить еду, иногда для того, чтобы согреться, а иногда просто
для того, чтобы отдохнуть у костра, полюбоваться на огонь. Но в некоторых
местах отдыха костры вообще запрещено разводить, особенно в засушливое
время года, а в других местах, если разрешают, то только лишь в вечернее или
ночное время. Почему вводится такое ограничение?
19. Где находится идеальный газ над Землей? Для объяснения свойств
вещества в газообразном состоянии используется модель идеального газа. В
модели идеального газа предполагается следующее: молекулы обладают пренебрежительно малым объемом по сравнению с объемом сосуда, между молекулами не действуют силы притяжения, при соударениях молекул друг с другом и
со стенками сосуда действуют силы отталкивания. То есть идеальный газ – это
упругие шары, которые взаимодействуют только в момент столкновения между
собой и со стенками сосуда.
В каких слоях атмосферы воздух ближе к идеальному газу: у поверхности
Земли или на больших высотах?
20. Подъемная сила воздушного шара. Два воздушных шара одинакового
объема заполнены при одинаковом давлении: один – водородом, другой - гелием. У какого шара больше подъемная сила (включая вес оболочек) и во сколько
раз?
17
21. Вес углекислоты в твердом и газообразном состояниях. На дне
плотно закрытого сосуда находится кусочек твердой углекислоты («сухой
лед»). После взвешивания сосуда через некоторое время углекислота превратилась в пар. Изменится ли вес сосуда с углекислотой после превращения ее в
газ?
22. Бензин в колбе с узким горлышком. В стеклянную колбу с длинным
узким горлышком налили бензин и отметили уровень его в горлышке. Затем
колбу погружают в горячую воду; в первый момент уровень бензина опустился,
а через некоторое время начнет повышаться. Почему так происходит?
23. Кипение воды в невесомости. Как отразится невесомость в космическом корабле на кипении воды?
24. Давление воздуха в сосудах разных объемов. Два сосуда разных объемов заполнены воздухом при нормальных условиях и плотно закрыты. После
этого оба сосуда нагревают до одинаковой температуры и измеряют давление
воздуха в сосудах. Одинаковы ли будут давления воздуха в сосудах после
нагрева?
25. Выталкивающая сила, действующая на воздушный пузырек. На дне
водоема образовался воздушный пузырек, который под действием силы Архимеда начал подниматься вверх. Как изменится сила, выталкивающая из воды
воздушный пузырек, во время его подъема со дна на поверхность?
26. Нагревание велосипедного насоса. Почему при накачивании велосипедной камеры нагревается насос? Особенно сильно нагревается насос, если
накачивание производится очень быстро и насос находится в руке. Может быть,
из-за трения поршня о стенки камеры? Однако для уменьшения трения поршень насоса смазывают.
27. Газ при нагревании и охлаждении. Иногда газ при охлаждении отдает меньшее количество теплоты, чем было затрачено при его нагревании. Не
противоречит ли это закону сохранения энергии?
28. Газ в лампочке накаливания. При изготовлении электрические лампочки накаливания заполняются инертным газом при давлении, намного меньше атмосферного. Зачем заполнение газом производится при малом давлении,
ведь это значительно усложняет процесс изготовления лампочек?
29. Подъемная сила аэростата. Аэростат (или воздушный шар) – это
летательный аппарат, который легче воздуха, использующий аэростатическую
подъемную силу, образующуюся за счет разности плотностей атмосферного
воздуха и заключенного в оболочку аэростата более легкого газа (водорода, гелия, теплого воздуха). Зависит ли подъемная сила аэростата от температуры
окружающей среды?
30. Тяга в камине. В хорошем, правильно спроектированном и построенном камине дым всегда идет в трубу (а не в комнату), даже если огонь расположен не прямо под ней. Почему возникает тяга в трубе и почему она тем лучше, чем выше труба? Почему тяга улучшается в ветреную погоду? Почему,
наконец, из некоторых труб дым идет клубами? Почему рекомендуется перед
тем, как затопить камин, на входе в дымоход поместить горящий бумажный
факел?
18
31. «Удары» в трубах отопления. Иногда в радиаторах парового отопления можно слышать звуки, похожие на удары молотка? Что вызывает эти
звуки?
32. Гейзеры. Гейзер – это столб воды, выбрасываемый в атмосферу под
напором пара, возникшего в результате магматического разогрева подземных
вод. Гейзеры бывают большие и маленькие. Маленькие гейзеры выбрасывают
фонтанчики воды каждые 2-3 минуты, в то время как большим для нагрева воды требуется для этого гораздо больше времени. Гейзер-великан на Камчатке
выбрасывает фонтан всего раз в 40 минут, зато вода поднимается на высоту несколько десятков метров.
Самый большой гейзер функционировал в Новой Зеландии. Он выбрасывал воду на высоту более 400 м, но в настоящее время он прекратил свое существование. Что вызывает извержение гейзеров; почему некоторые гейзеры извергаются через строго определенные промежутки времени? Может ли источником для гейзеров служить простая теплопередача через окружающие породы
или здесь требуется более быстрый нагрев?
33. Газовый термометр. В газовом термометре измерение температуры
производится посредством измерения давления или объема заключенного в нем
газа. Газовый термометр представляет собой стеклянный кварцевый или металлический баллон, соединенный с манометром при помощи капилляра. Баллон неизменного объема V (рис.11) (сделан из материала с очень маленьким коэффициентом температурного расширения) погружается в измеряемую среду.
Давление газа в баллоне измеряется манометром М, находящимся при стандартной температуре. Объем газа в капилляре К находится в основном за пределами среды, где происходит измерение температуры, что приводит к необходимости введения поправок. Необходима также поправка на изменение объема
V.
Несмотря на громоздкость конструкции и сложность работы газового термометра, он является первичным термодинамическим инструментом. Шкала газового
термометра совпадает с термодинамической абсолютной
шкалой Кельвина, которая простирается от абсолютного
нуля до бесконечно больших температур, если за термодинамический газ принять идеальный газ. Практически
термодинамическая шкала осуществляется газовым термометром, заполненным реальным газом, для которого
вводятся поправки на неидеальность. Термодинамическим газом в газовом термометре служат водород, гелий или азот.
Газовый термометр имеет практическое применение в области температур от 4 К (-2690 С) до точки плавления золота 1336 К (10630 С), выше которой
термодинамическая шкала реализуется с помощью оптического пирометра, а
ниже 4 К – по температурной зависимости магнитной восприимчивости парамагнетиков.
При изменении температуры атмосферного воздуха с помощью газового
термометра правильное показание будет только в том случае, если воздух будет
19
сухой. Для влажного воздуха газовый термометр будет давать неверное показание. Почему?
34. Пробка вылетает из термоса. Если в холодную погоду отлить из
термоса часть горячего чая и снова плотно закрыть пробкой, то через некоторое
время можно обнаружить, что пробка вылетела. Отчего это может произойти?
35. Газ под поршнем, прижатым пружиной. В цилиндре,
закрытом поршнем, находится газ. Сверху поршень прижат пружиной, упругие свойства которой подчиняются закону Гука
(рис.12). Как меняется состояние газа при его нагревании, если в
процессе нагревания объем газа изменился от
и давление от
? Чему равна работа, совершаемая при этом газом?
36. Адиабаты двух газов. На рис.13 в
системе координат p-V представлены адиабаты двух газов – гелия и углекислого газа.
Какая кривая какому газу принадлежит?
37. Изотермический и адиабатический процессы. Из начального состояния,
характеризуемого давлением и объемом, газ расширяется в одном случае изотермически, в другом – адиабатно
до одного и того же конечного объема. В каком из этих
процессов окончательное давление больше и в каком совершена большая работа?
38. Где какой процесс? По оси абсцисс на рис.14
отложено количество теплоты, подведенное к идеальному газу, а по оси ординат – совершенная газом работа. Одна из прямых на рис.14 – изотерма, две другие –
изобары для двух газов. Начальные состояния (давление, температура, объем) обоих газов одинаковы. Какая прямая какому процессу соответствует? Сколько
степеней свободы у каждого газа? Графики каких процессов совпадают с координатными осями?
39. Изменение температуры при подводе теплоты в разных процессах. Прямые на рис.15 изображают зависимость изменения температуры от количества подведенной теплоты для различных процессов
изменения состояния одноатомного и двухатомного
газов. Каким процессам соответствуют эти прямые?
Графики каких процессов совпадают с координатными
осями? Начальные состояния (температура, объем,
давление) обоих газов одинаковы.
40. Работа при изобарном и адиабатном процессах. Одна из представленных на рис.16 прямых изображает зависимость совершенной работы от изменения температуры для изобарического процесса. Две другие – адиабаты
20
аргона и азота. Какая прямая какому процессу соответствует? Как на этом графике изобразить изотерму и изохору? При ответе следует иметь в виду, что
по оси абсцисс отложена разность между более высокой и более низкой температурами.
41. Расширение газа при постоянной температуре. Объясните, почему расширение газа при
постоянной температуре (изотермическое расширение) возможно только при подведении к газу тепла?
42. Керосин становится «легче». Сосуд с
керосином уравновешен на чашке чувствительных
рычажных весов. Керосин нагревают на несколько десятков градусов. Казалось
бы, при этом равновесие весов не должно нарушиться, так как масса керосина
не изменилась. Почему же весы показывают уменьшение веса?
43. Конвекция воздуха в комнате. Если в комнате окно имеет щель, то из
нее сильно дует. Однако зимой мы чувствуем, как дует из окна, рама которого
закрыта так плотно, что наружный воздух не может проходить сквозь щели.
Почему все же дует от закрытого окна?
44. Почему пламя не гаснет? Зажженное пламя всегда должно было бы
погаснуть само собой, так как продуктами горения является углекислый газ и
водяной пар – вещества негорючие, неспособные поддерживать горение. Следовательно, пламя с первого же момента горения окружено негорючими веществами, которые мешают притоку воздуха, а без воздуха горение продолжаться
не может и пламя должно погаснуть. Почему же этого не наблюдается в действительности?
45. Мыльный пузырь. Мыльные пузыри, наполненные воздухом, некоторое время поднимаются, потом опускаются на землю. Чем это объясняется?
46. Воздушный пузырек в уровне. Воздух при нагревании расширяется.
Почему же тогда пузырек воздуха в приборе, называемом уровнем, в жаркое
время становится меньше, а в холодное – больше?
47. Скоростные самолеты. Почему скоростные самолеты летают, как
правило, на большой высоте?
48. Дождь на Марсе. Если будущие космонавты прилетят на Марс во
время дождя, то им придется укрываться от него под стальными зонтами, так
как обычный матерчатый зонтик будет слишком ненадежной защитой. Чем это
объясняется?
49. Теплоемкость водорода при низкой температуре. При температурах, близких к комнатной и несколько более высоких, молярная теплоемкость
водорода с хорошей степенью точности согласуется с классической теорией
теплоемкости идеальных газов, учитывающей для двухатомных газов три поступательные и две вращательные степени свободы. Однако для водорода при
низких температурах теплоемкость падает и при температуре около 40 К становится такой же, как для одноатомного газа. Чем объясняется эта зависимость?
Почему она не обнаруживается у других двухатомных газов?
21
50. Скачок теплоемкости газов при высокой
теплоемкости. При нагревании двухатомных газов
их теплоемкость в области высоких температур обнаруживает весьма резкий рост с последующим спадом
(рис.17). Аналогичная зависимость наблюдается и у
многоатомных газов. Чем объясняется эта зависимость?
51. Одинаковая ли работа совершается? Газ переходит из состояния 1 в
состояние 2 в одном случае сначала по изохоре, а затем по изобаре, а в другом
случае, наоборот, сначала по изобаре, а затем – по изохоре. Будет ли в обоих
случаях совершена одинаковая работа, потребуется ли одинаковое количество
теплоты и одинаково ли приращение энтропии газа?
52. Изменение энтропии при различных процессах. Из начального состояния О газ переходит в
другие состояния 1, 2, 3, 4 по различным изопроцессам (рис.18). Какой график зависимости энтропии от
температуры какому процессу соответствует?
53. Почему у Луны нет атмосферы? Исследования Луны и лунной поверхности показали полное отсутствие на Луне атмосферы. Почему у Луны
нет атмосферы?
54. Когда КПД двигателя автомобиля больше? Максимально возможный КПД тепловой машины с температурой нагревателя Т1 (по абсолютной
шкале) и холодильника Т2 рассчитывается по формуле для цикла Карно:
,
где Т1 и Т2 – абсолютные температуры нагревателя и холодильника соответственно. Из этого выражения следует, что при неизменной температуре
нагревателя КПД тепловой машины возрастает с понижением температуры холодильника.
Двигатель автомобиля является тепловой машиной, так почему же в таком случае зимой, когда температура холодильника меньше, автомобиль потребляет значительно больше бензина, чем летом? Ведь температура атмосферного воздуха, играющего для автомобильного двигателя роль холодильника,
зимой заметно ниже, тогда как температура образующихся при сгорании бензина газов практически одинакова и зимой и летом.
55. Реактивный двигатель. Тепловой двигатель, создающий реактивную
тягу в результате истечения из него рабочего тела (газа), получил название реактивный двигатель. Для преобразования и разгона рабочего тела могут использоваться химическая, ядерная, электрическая и другие виды энергии. Реактивный двигатель сочетает в себе собственно двигатель и движитель, то есть
является двигателем прямой реакции. Что является нагревателем и что холодильником в реактивном двигателе?
22
56. Двигатель с адиабатическим расширением. Работа, совершаемая
газом при адиабатическом расширении, меньше, чем при таком же изотермическом расширении. Чем же объяснить широкое распространение двигателей с
адиабатическим расширением?
57. Как перенести тепло атмосферы и земли в дом? Часто там, где холодно, но нет топлива, люди будут мерзнуть, а страны воюют между собой за право обладать месторождениями газа и нефти. Но тепло окружает нас со всех сторон! Просто надо уметь взять его и перенести в дом.
Конечно, если зимой просто внести некоторый объем воздуха или кусок
земли с улицы домой, то в квартире теплее не станет. Однако можно зимой перенести тепло с улицы в дом с помощью жидкости, у которой отрицательная
температура кипения. Как это сделать?
58. Тепловые насосы – холодильники наоборот! Наверное, почти все
замечали с задней стороны наших домашних холодильников явно теплую, а
иногда даже горячую решетку радиатора. В принципе, наш холодильник можно
назвать тепловым насосом, выталкивающим тепло из холодильной камеры в
комнату или на кухню. И вообще, тепловые насосы – это холодильники, откачивающие тепло, например, из незамерзающих глубин земли. Известно, что на
глубине 4-5 м и более температура грунта в течение года практически постоянна и соответствует среднегодовой температуре атмосферного воздуха. В климатических условиях России эта температура составляет 5-80 С. Как устроен тепловой насос?
59. Коэффициент преобразования холодильников и тепловых насосов.
Отношение полезного количества теплоты к работе, затрачиваемой на привод
компрессора, называют коэффициентом преобразования теплового насоса (см.
«Тепловые насосы – холодильники наоборот»), в наиболее распространенных
теплонасосных системах он достигает 3 и более. Попробуем понять, почему
пользоваться тепловым насосом гораздо выгоднее, чем идеальным электронагревателем, коэффициент преобразования которого равен 1.
60. Расход энергии холодильником. Холодильник – это тепловая машина,
работающая по обратному циклу, то есть она теплоту из холодильника отдает в
окружающее пространство. На что расходуется электроэнергия, потребляемая
домашним холодильником? Как отбирается тепло из холодильной камеры и куда оно расходуется? И, наконец, как устроен холодильник?
61. Количество теплоты при охлаждении. Всегда ли верно утверждение, что при охлаждении тело выделяет то количество теплоты, которое пошло
на его нагревание?
62. Перегрев пара. На тепловых станциях в паровых котлах создается высокое давление, чтобы пар находился в перегретом состоянии. То же самое
наблюдается на атомных электростанциях в теплообменниках. Для чего необходим перегрев пара в котлах и теплообменнике?
63. Сжатие горючей смеси. Чем больше сжимается горючая смесь в цилиндре карбюраторного двигателя, тем выше температура воспламенения смеси
и тем больше его мощность. Однако на практике объем горючей смеси уменьшают только в 7-8 раз. Чем это объяснить?
23
64. Цикл Карно в координатах энтропия-температур. Цикл Карно
обычно представляется в координатах р-V, а как будет выглядеть этот цикл в
координатах S-T?
65. Энтропия при выравнивании температур. Два тела с начальными
температурами Т1 и Т2 (причем Т1 > Т2) приведены в соприкосновение. От
окружающей среды тела изолированы, массы и теплоемкости тел одинаковы.
Как изменится суммарная энтропия этих тел в процессе выравнивания температуры?
66. Линейное изменение энтропии. Энтропия процесса растет с температурой. Как должна зависеть от температуры теплоемкость этого процесса?
67. Приращение энтропии при различных процессах. Газ из состояния 1 переходит в состояние 2 в одном случае непосредственно по изобаре (рис.19), а в другом – сначала по изохоре 1-3, затем по изобаре 3-4 и,
наконец, по изохоре 4-2. В каком случае приращение энтропии будет больше?
68. Энтропия увеличивается. Тепловая машина
работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух
изобар. Доказать, что при работе машины энтропия системы нагреватель-газ-холодильник увеличивается. Как при этом изменяется
энтропия газа? Теплоемкости нагревателя и холодильника считать безграничными.
69. Давление газа и воды. Если баллон наполнить сжатым газом, то он
может быть взрывоопасным, а трубы с водой под высоким давлением не взрывоопасны. Почему?
70. Два полых шарика, соединенные трубкой. Два полых стеклянных
шарика соединены трубкой, посредине которой находится капелька ртути.
Можно ли по положению капельки судить о температуре окружающего воздуха?
71. Закон Шарля при диссоциации молекул газа. При значительном повышении температуры газа, состоящего из многоатомных молекул, может
начаться их диссоциация. К каким отклонениям от закона Шарля может это
привести?
72. Давление в сосудах разных объемов. Два сосуда различных объемов,
наполненные воздухом, закрываются при нормальных условиях и нагреваются
до 1000 С. Одинаковыми ли будут давления воздуха в сосудах после нагревания?
73. Вода поднимается внутрь стакана. Наливают в большую тарелку
воду. Зажигают бумажку и опускают ее горящей внутрь стакана, затем быстро
переворачивают стакан и ставят его на тарелку с водой. Что произойдет с водой? Почему?
24
3. Подсказки
1. Скорость движения молекул зависит от температуры окружающей среды и массы самой молекулы. При данной температуре чем меньше масса молекулы, тем больше ее скорость движения.
2. Количество молекул в единице объема воздуха при одинаковых условиях одинаково, а масса молекулы воды меньше массы азота и кислорода.
3. При непрерывных столкновениях молекулы постоянно меняют направление движения.
4. Размер молекул спирта больше, чем молекул воды.
5. При плотном сопротивлении двух металлических деталей происходит
взаимное проникновение атомов при диффузионных процессах.
6. При вращении цилиндров молекулы с разными скоростями отклоняются на разные углы.
7. Линейная скорость внешнего цилиндра должна быть во много раз
больше скорости молекул.
8. Вид функции распределения молекул по скоростям зависит от массы
молекул, числа молекул и температуры.
9. Результирующее смещение двух последовательных смещений определяется по теореме косинуса с учетом хаотического движения.
10. Любой пробег молекулы можно разложить на три координатные оси.
11. Коэффициент диффузии водорода больше, чем азота, поэтому водород быстрее проникает из одной части сосуда в другую.
12. Скорость диффузии зависит от средней длины свободного пробега и
градиента концентрации.
13. Поток молекул в одном направлении тем больше, чем больше скорость молекул. Поэтому через отверстие вылетают в основном молекулы с
большей скоростью.
14. Между стенками сосуда Дьюара вакуум, поэтому говорить о какойлибо температуре нет смысла.
15. Молекулы хаотически двигаются и в состоянии невесомости.
16. Слоистое движение переходит на некотором расстоянии в вихревое.
17. Для растворения порошка соли требуется меньше теплоты, чем для
кристалла соли.
18. Горячий газ поднимается вверх.
19. Чем ниже давление газа, тем больше среднее расстояние между молекулами.
20. Подъемная сила определяется разностью между весом воздуха в объеме шара и весом газа, заполняющего шар.
21. Вес одной и той же молекулы в твердом теле и в газе одинаков.
22. У бензина температурный коэффициент линейного расширения больше, чем у стекла.
23. В невесомости отсутствует конвекция жидкости при нагревании.
24. Нагревание в обоих сосудах происходило при изохорном процессе.
25. Объем воздушного пузырька при подъеме со дна водоема увеличивается.
25
26. При быстром сжатии воздуха без теплообмена с внешней средой увеличивается его температура.
27. Необходимо рассмотреть первое начало (закон) термодинамики.
28. Газ внутри электрической лампочки в рабочем состоянии должен
иметь давление не больше атмосферного.
29. Плотность газа зависит от температуры окружающей среды.
30. Нагретый огнем воздух становится легче, чем воздух в комнате, и
поднимается вверх.
31. Удары в трубах парового отопления обусловлены наличием воды в
них.
32. Перегретая вода на больших глубинах поднимается вверх и в полости
гейзера закипает.
33. При испарении воды с какой-либо поверхности происходит охлаждение этой поверхности.
34. При нагревании газа в закрытом объеме увеличивается давление.
35. Объем газа в цилиндре под поршнем меняется пропорционально силе
упругости пружины, действующей на поршень.
36. Адиабата описывается уравнением Пуассона
, где зависит от числа степеней свободы.
37. Адиабата описывается уравнением
, а изотерма –
pV=const.
38. Взаимосвязь между количеством теплоты и работой определяется по
первому закону термодинамики.
39. Теплоемкость изохорного процесса газа равна
, изобарного , где i – число степеней свободы.
40. Для изобарного процесса работа газа определяется по формуле
, а для адиабатного процесса
.
41. Необходимо рассмотреть первое начало термодинамики.
42. При нагревании объем керосина увеличивается и выталкивает из сосуда часть воздуха.
43. При нагревании воздух становится легче и поднимается вверх, при
охлаждении опускается вниз.
44. Газы и пары при горении расширяются, становятся легче и поднимаются вверх.
45. Мыльный пузырь, наполненный теплым воздухом, поднимается
вверх.
46. Воздушный пузырек сжимается в результате расширения воды при
нагревании.
47. Плотность атмосферы с высотой уменьшается.
48. Из-за сильно разряженной атмосферы на Марсе скорость падения капель очень большая.
49. По квантовой теории кинетическая энергия вращательного движения
молекулы водорода при комнатной температуре соизмерима с kT, а при низкой
температуре вероятность вращательного движения практически падает до нуля.
26
50. При достаточно высокой температуре возникает разрыв связей между
атомами и происходит диссоциация, требующая большой затраты энергии.
51. Работа газа зависит от давления, внутренняя энергия зависит от
начального и конечного состояний, так же как и энтропия.
52. Приращение энтропии определяется формулой
. Для определения зависимости энтропии от температуры при различных изопроцессах
необходимо определить подвод к системе теплоты.
53. Скорость теплового движения на Луне может превышать вторую космическую скорость для Луны.
54. Существует много дополнительных потерь бензина, не связанных с
работой двигателя.
55. Реактивный двигатель работает в окружающей среде.
56. Мощность современных тепловых двигателей зависит от быстроходности.
57. Фреон испаряется при очень низкой температуре порядка -300 С и
имеет удельную теплоту парообразования около 140 кДж/кг.
58. Топливный насос состоит из испарителя, компрессора, конденсатора и
клапана.
59. Коэффициент преобразования «холода в тепло» равен
, где
– переданное тепло в помещение, А – работа двигателя.
60. В холодильнике нагревается задняя панель радиатора.
61. Имеются процессы, при которых количество теплоты при нагревании
и охлаждении разное.
62. У перегретого пара высокая температура, и он практически не конденсируется.
63. При большом давлении горючей смеси возможно ее самовоспламенение.
64. При изотермическом процессе не меняется температура, при адиабатическом процессе не меняется энтропия.
65. При выравнивании температур тел энтропия увеличивается.
66. Теплоемкость при изменении температуры имеет такую же зависимость, как и энтропия.
67. Приращение энтропии при переходе из одного состояния в другое
один раз по изобаре, а другой раз по двум изохорам и изобаре будут равными.
68. В тепловой машине приращение энтропии больше нуля, а приращение
энтропии газа равно нулю.
69. Вода практически несжимаема.
70. Трубка, соединяющая шарики, должна находиться в вертикальном положении.
71. Рост давления при диссоциации ускоряется.
72. В сосудах выполняется уравнение состояния идеального газа.
73. При сжигании бумажки в стакане вытесняется часть воздуха.
27
4. Ответы и решения
1. Молекулы с меньшей молекулярной массой более подвижны (двигаются с большой средней скоростью) и поэтому чаще проходят сквозь поры стенки
трубы. Есть еще один фактор – более легкие молекулы легче проникают сквозь
поры. Тем самым в резервуаре относительное содержание легких молекул будет больше, чем в трубе.
2. Сухой воздух состоит в основном из молекул кислорода, азота, а во
влажном воздухе добавляются еще молекулы воды. При одинаковых условиях
(температуре и давлении) количество молекул в единице объема сухого и
влажного воздуха одинаково. Во влажном воздухе молекулы воды замещают
молекулы кислорода и азота, а так как молекулы воды (
)
меньше массы молекулы и азота (
) и кислорода (
), то масса всех молекул в единице объема (плотность) влажного воздуха будет меньше, чем сухого, то есть влажный воздух легче сухого.
3. При тепловом движении молекулы очень часто сталкиваются друг с
другом, при этом меняют направление своего движения, в результате чего пути,
проходимые молекулами, будут намного протяженнее перемещений в одном
направлении – движение происходит по зигзагообразным траекториям.
4. В растворе молекулы воды и спирта «упакованы» плотнее за счет того,
что между молекулами воды и спирта, взятыми по отдельности, существуют
промежутки. Молекулы спирта имеют большие размеры, чем молекулы воды,
поэтому между молекулами спирта существуют большие промежутки, так
называемые межузельные пространства, которые могут занимать некоторые
молекулы воды. Таким образом, общий объем раствора спирта в воде становится меньше, чем сумма объемов спирта и воды в отдельности.
5. При длительном плотном соприкосновении атомы гайки и болта в результате диффузии перемешиваются на границе соприкосновения, приводя к
плотному соединению.
6. Закон распределения молекул по скоростям
экспериментально впервые проверил О. Штерн в 1920
г. Схема установки Штерна изображена на рис.20.
Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью натянута
платиновая проволока, покрытая тонким слоем серебра, которое испарялось при пропускании электрического тока. Во внешнем стеклянном цилиндре, имевшем радиус R, создавался высокий вакуум. Атомы серебра, проходя через щель узким пучком, давали на
внешнем цилиндре четкое изображение щели (рис.6,
а). Для лучшего осаждения серебра внешний цилиндр охлаждался. Затем оба
цилиндра приводились в быстрое синхронное вращение вокруг оси. За время
движения частиц серебра от щели внутреннего цилиндра до поверхности внешнего цилиндра последний поворачивается на некоторый угол , и изображение
щели смещается по отношению к его первоначальному положению на расстоя28
ние S. Если скорость молекулы серебра v, а угловая скорость вращения цилиндров , то угловое смещение внешнего цилиндра за время прохождения молекулой расстояния от щели до поверхности цилиндра равно
.
При этой формуле, измерив на опыте угловое смещение , можно определить скорость молекулы. Так как скорости у разных молекул различны, то
при вращении цилиндра изображение щели получается размытым (рис.6, б). По
распределению плотности слоя осажденного серебра можно судить о распределении молекул по скоростям. Результаты этих опытов подтвердили справедливость закона Д.К. Максвелла.
7. Расположение следов, показанное на рис.7,б, к опыту Штерна возможно, если за время полета молекул от щели внутреннего цилиндра до стенки
наружного цилиндра цилиндры успевают совершить больше половины оборота (на рис.7, б – почти полный оборот). Разумеется, при этом линейная скорость
внешнего цилиндра должна во много раз превышать скорость молекул, что
практически невозможно.
8. Так как для каждого интервала скоростей от
число молекул
( ) , то, поскольку ( )
составляет
( ), общее число молекул,
участвующих в распределении по скоростям, изображенного кривой 2 (рис.8), в
два раза больше числа молекул распределения, изображаемого кривой 1.
9. Если взять два каких-либо последовательных смещения и , то за
время, в течение которого произошли оба смещения, частица сместится на l,
причем (рис.21)
.
Так как смещения совершенно хаотичны как
по длине, так и по направлению, а угол между двумя
последовательными смещениями не зависит от самих смещений, то, во-первых, ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ и, вовторых, третий член равен нулю, поскольку все
направления равновероятны. Таким образом,
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩.
Следует иметь в виду, что здесь усреднены не
сами смещения, а их квадраты. Однако так как для определенной функции распределения между средним квадратом и квадратом среднего арифметического
существует постоянное соотношение, то можно заменить отношение средних
квадратов отношением квадратов среднего, так что
(⟨ ⟩)
(⟨ ⟩)
и, следовательно, ⟨ ⟩ √ ⟨ ⟩.
Полученный результат можно распространить на любые промежутки
времени и установить следующую связь между смещениями броуновской частицы и временем, в течение которого это смещение произошло:
(⟨ ⟩)
29
.
Это отношение представляет собой основной закон броуновского движения. Оно в равной степени справедливо и для движения молекул газа.
10. Любой конкретный пробег молекулы можно разложить на три произвольные координатные оси прямоугольной системы. При этом
.
Для каждого отдельного пробега эти проекции, вообще говоря, различны,
но так как движение хаотично, то вследствие равной вероятности в среднем они
равны друг другу, так что
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Если нас интересует проекция вдоль выбранного направления, которое,
как и остальные, произвольно, то
⟨ ⟩
⟨ ⟩.
Соотношение между средним из квадрата и квадратом среднего одинаково для всех направлений, так что
⟨⟩
√ ⟨ ⟩.
Следовательно, среднее значение пробега в одном произвольном направлении равно
⟨⟩
⟨ ⟩
.
√
11. Так как коэффициент диффузии водорода больше, чем азота, то водород, находящийся в левой части сосуда, в правую проникает быстрее, чем азот
из правой в левую. Поэтому вначале давление в левой части падает (р1), а в
правой – растет (р2) (рис.22). Однако затем диффузия водорода начнет замедляться (поскольку
растет количество водорода в правой части, а азот
продолжает диффундировать в левую часть). В
результате давление в правой части начнет убывать, а в левой – расти. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока давление в обеих частях
не выравняется и не установится равенство парциальных давлений каждого газа в обеих частях.
12. Скорость диффузии, характеризующая изменение числа dN молекул,
проходящих через поперечное сечение площадью S сосуда за время dt в
направлении градиента концентрации , составляет
.
⟨ ⟩⟨ ⟩ – коэффициент диффузии, ⟨ ⟩ - средняя длина свободЗдесь
ного пробега, ⟨ ⟩ – средняя арифметическая скорость теплового движения (см.
«Явления переноса»). Так как коэффициент диффузии обратно пропорционален
давлению (поскольку обратно пропорциональна давлению длина свободного
пробега молекулы), а градиент концентрации в каждый момент пропорционален давлению, то число молекул, диффундирующих в том и другом направлениях, не зависит от давления. Этот вывод, разумеется, справедлив при условии,
что длина свободного пробега молекул во много раз меньше линейных размеров сосуда. Следует указать, что, так как исходное число молекул каждого газа
30
пропорционально давлению, процесс выравнивания концентрации происходит
тем быстрее, чем меньше давление газа.
13. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул
равна
. Средняя энергия молекул, идущих к стенке, равна 2kT. Это объясняется тем, что поток молекул определенной скорости пропорционален
(где
– концентрация молекул этой скорости). Поэтому чем больше скорость, тем
большее число молекул движется в данном направлении. Следовательно, в распределении по скоростям молекул, оставшихся в сосуде, возникает дефицит
быстрых молекул, что приводит к уменьшению средней энергии молекул и к
нарушению вида функции распределения. Наоборот, средняя энергия молекул,
уходящих в вакуум, становится большей, чем была она в сосуде. Если давление
газа не мало, но отверстие столь мало, что столкновениями в нем молекул можно пренебречь, то средняя энергия в сосуде все равно уменьшается, если только
это уменьшение не компенсируется подводом теплоты от стенок сосуда. При
этих условиях в результате столкновений между молекулами в сосуде восстанавливается максвелловское распределение по скоростям, но соответствующее
более низкой температуре.
Восстановление функций распределения частично происходит и за счет
столкновения молекул со стенками сосуда.
14. К газу, находящемуся между стенками сосуда Дьюара, при указанных
условиях понятие температуры неприменимо. Длина свободного пробега молекул порядка 100 м при таком маленьком давлении ( 10-4 Па), так что, двигаясь
между стенками, молекулы практически не сталкиваются и между ними невозможно установление термодинамического равновесия, которое можно было бы
характеризовать какой-либо температурой.
15. Хаотическое движение молекул сохраняется и в условиях невесомости, что обеспечивает приток кислорода за счет диффузии.
16. Вначале горячие газы (дым) от сигареты поднимаются относительно
медленно, образуя слоистый (ламинарный) поток. Однако при подъеме выталкивающая сила, действующая на горячие газы в окружающем холодном воздухе, ускоряет их настолько, что поток начинает завихряться. Обычно вихревое
(турбулентное) движение возникает на расстоянии около 2 см от сигареты.
17. У соли в виде порошка часть межмолекулярных связей кристаллической решетки уже разрушена при измельчении кристалла. Поэтому для растворения порошка в воде требуется меньше энергии, чем для растворения куска
кристалла. Следовательно, температура воды после растворения порошка будет
более высокой, чем после растворения большого куска кристалла.
18. В прохладное вечернее или ночное время горячий дым и газы интенсивнее поднимаются вверх, чем днем, что значительно уменьшает вероятность
возникновения пожара.
19. Чем выше над поверхностью Земли, тем атмосферное давление становится меньше, воздух будет более разряжен и расстояние между молекулами
увеличивается. Поэтому воздух будет ближе к абсолютно идеальному на больших высотах.
31
20. Подъемная сила определяется разностью между весом воздуха, вытесненного объемом шара (по закону Архимеда) и весом оболочки шара с газом, заполняющим шар. Вес воздуха, вытесненного шаром, и вес газа определяются по формуле:
,
где V – объем шара, р – давление, – молярная масса, k – газовая постоянная, Т – абсолютная температура, g – ускорение свободного падения.
Соответственно, подъемная сила, пренебрегая весом оболочки, равна
(
)
и отношение подъемных сил
.
Молярная масса водорода равна
=2∙10-3 кг/моль, гелия –
=4∙10-3
кг/моль. Молярную массу воздуха принимаем равной 29∙10 -3 кг/моль. Таким
образом,
.
21. При переходе углекислоты из твердого состояния в газообразное в
плотно закрытом сосуде количество молекул углекислоты не поменялось и,
естественно, не поменялся и вес сосуда с углекислотой.
22. Коэффициент теплового линейного расширения стекла равен 8,5∙10 -6
К-1, у бензина – 3,3∙10-5 К-1, то есть у стекла он во много раз меньше, чем у бензина. Когда колбу с бензином опустили в горячую воду, уровень бензина понизился, так как в первый момент происходило тепловое расширение стеклянной
колбы. Когда же прогревается и бензин, его уровень повысится за счет того, что
температурный коэффициент у бензина больше, чем у стекла.
23. В состоянии невесомости из-за отсутствия конвекции жидкости
нагревание будет происходить только в каком-то локальном участке объема воды, где находится источник тепла. Образовавшийся пар в этом участке, расширяясь, вытеснит всю воду из сосуда прежде, чем она закипит.
24. Если в процессе нагревания газом объем сосуда и масса газа не меняются, то давление газа зависит только от температуры. Так как температура
воздуха в сосудах разных объемов была одинакова, соответственно, давление
также было одинаковым. Нагревание было произведено до одной и той же температуры в обоих сосудах.
25. На дне водоема на воздушный пузырек действует атмосферное давление, которое давит на поверхность воды и передается во все точки объема одинаково (закон Паскаля), и давление столба жидкости (гидростатическое давление) равно
, где – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, h – глубина погружения в жидкость. По мере подъема пузырька гидростатическое давление, действующее на него, уменьшается, а объем пузырька
увеличивается. Так как объем пузырька увеличивается, а вода практически несжимаема, то выталкивающая сила, действующая на воздушный пузырек во
32
время его подъема со дна на поверхность, возрастает и, соответственно, увеличивается скорость подъема.
26. Когда происходит накачивание камеры велосипедным насосом, сжатие воздуха в насосе происходит почти адиабатически. Адиабатический процесс наблюдается в том случае, когда отсутствует теплообмен с внешней средой. При адиабатическом сжатии воздуха увеличивается его внутренняя энергия, а значит, и температура. Сжатый горячий воздух нагревает насос.
27. Если про охлаждении газ отдает меньшее количество теплоты, чем
было затрачено при его нагревании, то газ при охлаждении совершил работу по
расширению и никакого противоречия закону сохранения нет.
28. Когда электрическая лампочка накаливания включена, атмосферное
давление, действующее снаружи, значительно больше давления внутри лампочки, то есть сила, действующая на поверхность лампочки снаружи, будет
больше. В этом случае усилие, приложенное в какой-либо точке, передается на
всю поверхность баллона, и он остается целым. Действительно, попробуйте
раздавить яйцо, напирая на его выпуклые концы – сделать это не так-то легко.
В рабочем режиме, когда лампочка включена, газ в баллоне нагревается и
его давление увеличивается. Но давление газа в баллоне не должно превышать
атмосферное, так как при действии силы изнутри произойдет разрушение лампочки.
29. Подъемная сила аэростата определяется разностью между силой тяжести аэростата и газа, находящегося в нем, и выталкивающей силой (силой
Архимеда). Если аэростат наполняется более легким газом (водородом, гелием), чем окружающий атмосферный воздух, то у такого газонаполненного аэростата подъемная сила не будет зависеть от температуры окружающей среды.
Так как плотность газа внутри аэростата и плотность атмосферного воздуха зависят от температуры окружающей среды, то изменение температуры приводит
к пропорциональному изменению обоих газов, а разность плотностей меняться
не будет и, соответственно, не будет меняться подъемная сила.
Если аэростат поднимается за счет нагревания воздуха внутри оболочки
аэростата (при нагревании газа его плотность уменьшится), то подъемная сила
будет зависеть главным образом от температуры, которая создается с помощью
горелки внутри оболочки, и в меньшей степени будет зависеть о температуры
окружающей среды.
30. Воздух, согретый огнем, легче воздуха в комнате, поэтому он устремляется в трубу. Начавшаяся таким образом циркуляция воздуха продолжается
даже в том случае, если огонь расположен не непосредственно под трубой.
Чтобы тяга возникала сразу после разжигания дров в камине, лучше, если воздух в дымоходе будет нагрет горячим факелом из бумаги. Тяга будет лучше в
более высокой трубе, так как чем выше труба, тем больше в нем теплого легкого воздуха. В ветреную погоду тяга улучшается, так как воздушная струя проходит мимо устья трубы и давление в ней понижается, что и создает улучшение
тяги. Иногда дым из трубы выходит клубами. Это объясняется плохой тягой,
вследствие чего в трубу сверху периодически затекает холодный воздух.
33
31. Звук ударов раздается в трубах, когда в них скапливается вода. Горячий пар, проходя над водой, резко охлаждается, и его давление столь же резко
падает. Вода втягивается в область низкого давления и «ударяет» по трубе.
Чтобы избавиться от этих звуков в трубе парового отопления, нужно слить
накопившуюся там воду.
32. Перегретая (температура выше температуры кипения) вода от раскаленных пород с глубины до 1000 м просачивается в полость гейзера и его главный ствол. Перегрев воды происходит из-за высокого давления на глубине (достигает 100 атмосфер – 10 МПа). Как только вода оказывается в полости, в ней
образуются пузырьки пара, она вскипает, и часть ее под действием образовавшегося пара выбрасывается вверх. Затем весь процесс повторяется. Иногда через строго определенные промежутки времени.
33. Сухой воздух является смесью молекул кислорода, азота и небольшого количества инертных газов (около 1%), а влажный воздух состоит из молекул кислорода, азота и водяного пара. При изменении температуры влажного
воздуха с помощью газового термометра на нем конденсируется вода. При испарении воды термометр охлаждается и дает неправильное показание. Правильное показание газовый термометр дает только для совершенного сухого
воздуха.
34. После того, как из термоса в холодную погоду была отлита часть горячего чая, до закрытия термоса пробкой освободившаяся часть его объема заполнилась холодным воздухом. Когда термос закрыли, воздух нагрелся и его
давление увеличилось и вытолкнуло пробку.
35. При подъеме поршня на
пружина сжимается и возникает сила
упругости, равная
, где k – коэффициент жесткости. Она обуславливает увеличение силы, действующей на поршень, и увеличение давление газа в
цилиндре на
, где S – площадь
поршня. Таким образом, увеличение объема газа при
нагревании сопровождается пропорциональным увеличением давления. Графически это изображается
прямой линией с положительным наклоном (рис.23),
угол наклона которой зависит от площади поршня и
упругих свойств пружины.
Работа, измеряемая площадью, заштрихованной
на рисунке, составляет
(
)(
) ,
где р1 и V1 – начальные давление и объем газа,
р2 и V2 – конечные давление и объем газа.
36. Формула адиабаты (уравнение Пуассона)
,
где показатель степени равен отношению теплоемкости газа при постоянном давлении и теплоемкости при постоянном объеме:
.
34
Это отношение выражается через число степеней свободы, так как
и
,
где i – число степеней свободы. У гелия три степени свободы, у углекислого газа – шесть. Поэтому для гелия
, для углекислого газа
. Чем больше показатель степени, тем круче идет кривая. Верхняя кривая 2 (рис.13) принадлежит углекислому газу, нижняя – гелию.
37. Адиабата идет круче, чем изотерма, так как
уравнение адиабаты
(см. ответ к задаче
36), а изотермы pV=const (рис.24) (
). Поэтому
при адиабатном расширении окончательное давление
ниже. Площадь под кривой, характеризующая совершенную работу, в этом случае меньше. Это означает,
что работа при адиабатном процессе совершается
меньшая.
38. Для изотермического процесса первое начало
термодинамики записывается в виде Q=A (и А, и Q на
рис.14 имеют одинаковый масштаб). Следовательно,
прямая должна проходить под углом 450 (прямая 3,
рис.14). Для изобарного процесса
. Так как работа при изобарном
процессе составляет для одного моля
, а количество поглощенной теплоты –
,
где i – число степеней свободы, то
.
Тангенс угла наклона прямой A(Q) должен составлять 2/5 для одноатомного газа, 2/7 – для двухатомного, 2/8 – для многоатомного. Прямая 1 соответствует многоатомному газу, прямая 2 – одноатомному.
Работа не совершается при изохорном процессе – ось абсцисс, а теплота
не поглощается при адиабатном процессе – ось ординат.
39. Достаточно очевидны процессы, изображаемые координатными осями. Ось абсцисс (
) – изотермический процесс, а ось ординат (Q=0) –
адиабатный процесс. Теплоемкость изохорного процесса одноатомного газа
, двухатомного
Теплоемкость изобарного процесса одноатомного газа
, двух-
атомного
.
Теплоемкость
для двухатомного газа совпадает с теплоемкостью
одноатомного. Поэтому на рис.15 приведены не четыре, а три прямые, причем
прямая 2 изображает
одноатомного и
двухатомного газов. Прямая 1 соответствует изобарному процессу двухатомного газа, а прямая 3 – изохорному
одноатомного.
35
40. Обозначим для краткости ( )
. Следовательно,
.
Соответственно работа при изобарном процессе для обоих газов
(
)
,
а при адиабатном
.
Подставляя значения для азота (7/5) и для аргона (5/3), получим
(для азота);
(для аргона).
Выбрав масштабы на координатных осях (рис.16) таким образом, чтобы
а=1, получим значения угловых коэффициентов прямых, равных 2,5 и 1,5 для
адиабатных и для изобарного процесса. Прямая 1 изображает адиабатный процесс для азота, прямая 2 – адиабатный для аргона, прямая 3 – изобарный для
обоих газов. Ось ординат (
) изображает изотерму, ось абсцисс (А=0) –
изохору.
41. Газ при расширении совершает работу, и если к газу не подводить
энергию (тепло), то у газа должна происходить потеря внутренней энергии и
охлаждение. Таким образом, расширение газа при постоянной температуре может происходить только при подводе тепла.
42. Весы будут показывать меньший вес, так как при нагревании объем
керосина увеличивается, следовательно, увеличивается объем вытесненного им
воздуха.
43. В комнате всегда существуют невидимые для глаза воздушные течения, порожденные нагреванием и охлаждением воздуха. При нагревании воздух
расширяется, становится легче, при охлаждении – наоборот, воздух уплотняется, становится тяжелее.
Охлажденный воздух у окна опускается к полу, затем снова нагревается у
печки или батареи и вновь перемещается по комнате. Это перемещение воздуха
мы и ощущаем, стоя у окна.
44. Образовавшиеся при горении газы и пары расширяются от нагревания
и становятся легче, поэтому они не остаются на месте своего образования, а
немедленно вытесняются вверх чистым воздухом. Иначе всякое пламя, погорев
немного, гасло бы само собой.
45. Воздух, вдуваемый человеком в мыльный пузырь, теплый, значит, его
плотность меньше плотности окружающего воздуха. Поэтому мыльный пузырь
сначала поднимается. Через некоторое время воздух в пузыре охлаждается и
мыльный пузырь падает.
46. Пузырек в уровне в жаркое время уменьшается вследствие теплового
расширения сжимающей его воды, так как плотность воздуха намного меньше
плотности воды.
47. Плотность атмосферы с высотой уменьшается. Поэтому чем выше летит самолет, тем меньшее сопротивление ему приходится преодолевать и тем
большую скорость он может развить.
48. В очень разреженной атмосфере Марса скорость падения капель достигала бы сотен метров в секунду (на Земле она составляет 10-12 м/с). При та36
кой скорости капли обладали бы значительной кинетической энергией и легко
бы пробили зонт из материи. В действительности в атмосфере Марса очень мало влаги и сильных дождей там быть не может.
49. Классическая теория теплоемкости не учитывает квантового характера периодических (колебательных и вращательных) движений. Согласно квантовой теории, момент импульса вращающейся системы может принимать только значения, удовлетворяющие условию:
),
√(
-34
где h=6,63∙10 Дж∙с – постоянная Планка, J – момент инерции системы, l
– орбитальное квантовое число, которое может принимать любые целые значения, начиная с нуля. Возможные значения кинетической энергии вращения
определяются по формуле:
(
Минимальное отличное от нуля значение
)
.
Энергию вращения молекула получает и обменивается ею при столкновениях с другими молекулами. Таким образом, вопрос о том, может ли молекула
наряду с энергией поступательного движения обладать и энергией вращательного движения, решается сопоставлением минимального отличного от нуля
значения
с величиной порядка
при данной температуре. Расстояние
между атомами в молекуле водорода равно 0,74 нм, масса каждого атома
1,67∙10-27 кг, тогда момент инерции молекулы водорода равен 4,6∙10-48 кг∙м2, а
энергия
=2,4∙10-21 Дж. При комнатной температуре (Т 300 К)
∙10-21 Дж.
То, что
несколько превышает
, делает достаточно вероятным
возникновение вращательного движения молекулы. Следовательно, в теплоемкость водорода должны вносить вклад вращательные степени свободы. При
температурах порядка 40 К вероятность вращательного движения падает практически до нуля; вращательные степени свободы, как говорят, «вырождаются»
и остаются только поступательные, что и находит отражение в значении теплоемкости.
У ближайшего к водороду в периодической системе двухатомного газа –
азота – масса атомов в 14 раз больше. Расстояние между атомами в молекуле
0,11 нм. Соответственно, момент инерции молекулы азота в 31 раз больше, чем
момент инерции молекулы водорода, так что даже вплоть до самых низких
температур
значительно больше, чем
, и вырождение вращательных
степеней свободы практически не наблюдается. В то же время для многоатомных газов, момент инерции которых на несколько порядков выше, чем у водорода, минимальная энергия вращательного движения столь велика, что даже
при весьма высоких температурах сохраняются только поступательные степени
свободы и теплоемкость достаточно точно следует классической теории.
50. Согласно классической теории теплоемкости идеальных газов, значение теплоемкости для каждого данного процесса (например, изохорного) не
должно зависеть от температуры. Эта теория не учитывает квантового характе37
ра периодических процессов – вращательных и колебательных. В классической
теории вероятность вращательного движения двухатомных и многоатомных
молекул считается не зависящей от температуры и такой же (на каждую степень свободы), как и поступательного движения. Квантовая теория требует
учета различной вероятности периодических движений, причем эта вероятность
растет с температурой. Расчеты показывают, что для многих двухатомных газов
при низких температурах колебательными степенями свободы можно пренебречь, но их роль растет с ростом температуры. При достаточно высоких температурах возникает разрыв связей между атомами и происходит диссоциация,
что требует большой затраты энергии. Это несколько напоминает фазовые переходы (плавление, кипение), когда подводимая теплота не сопровождается изменением температуры.
51. На рис.25 процессы изображены линиями 13-2 и 1-4-2. В первом случае работа измеряется площадью, ограниченной кривой 5-4-2-6, а во втором – 5-1-36. Во втором случае работа больше на величину, измеряемую площадью 4-1-3-2-4. Так как в обоих случаях
совпадают начальные (1) и конечные (2) состояния, то
приращение внутренней энергии будет одинаково. Дополнительное количество теплоты потребуется в процессе 1-3-2 в связи с необходимостью совершить
большую работу. Так как энтропия является функцией
состояния, то изменение энтропии в обоих случаях
одинаково.
52. Приращение энтропии S определяется формулой
.
Прямая 0-1 (рис.18) соответствует изотермическому процессу, так как она
параллельна оси ординат (T=const). Прямая 0-4 изображает процесс без изменения энтропии и, следовательно, без отвода или подвода теплоты, т.е. процесс
адиабатный. Из кривых 0-2 и 0-3 большему приращению энтропии соответствует кривая 0-2. Изображаемый этой кривой процесс потребует для нагревания до одной и той же температуры больше теплоты, чем при процессе, изображенном кривой 0-3. Из двух процессов, изохорного и изобарного, больше
теплоты потребует изобарный процесс, связанный с совершением работы. Таким образом, кривая 0-2 изображает изобарный процесс, а кривая 0-3 - изохорный.
53. На Луне в настоящее время отсутствует атмосфера, но если у нее
раньше и была атмосфера, то за долгое время существования Луны она исчезла,
так как среди молекул, составляющих атмосферу, всегда (в отличие от Земли)
присутствовало достаточно много таких, у которых скорость теплового движения достигала второй космической скорости для Луны, и они покидали ее поверхность и исчезали в космическом пространстве.
54. Отношение
, представляющее ту часть энергии сгоревшего топлива, которая может быть превращена тепловой машиной в работу в наиболее
благоприятном случае отсутствия бесполезных потерь (КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно), зимой действительно возрастает.
38
Однако в это время года масло в двигателе, коробке передач, заднем мосту и
смазка различных подшипников настолько густеет, что, хотя и применяются
специальные зимние сорта с пониженной вязкостью, потери на трение сильно
возрастают и реальный КПД оказывается меньше летнего. Кроме того, зимой
приходится тратить много бензина на разогревание холодного двигателя при
запуске. По этим причинам расход бензина зимой больше, чем летом.
55. Топливо сгорает в камере сгорания: образовавшийся газ при вылете из
сопла с большой скоростью создает реактивную силу. Поэтому в реактивном
двигателе нагревателем является камера сгорания, а холодильником - окружающая среда.
56. Мощность современных тепловых двигателей зависит от их быстроходности. А все быстропротекающие тепловые процессы близки к адиабатным.
57. Занести тепло в дом зимой можно, если, находясь на улице, взять
жидкость, кипящую при низкой температуре, например фреон-12 (CF2Cl2),
налить несколько миллилитров ее в резиновый шарик, после чего сразу же завязать шарик веревкой, чтобы пары фреона не улетучились. Так как температура кипения фреона равна -330 С, то даже зимой на улице весь фреон испарится,
а шарик надуется. Каждый грамм фреона, испаряясь, берет тепло из холодного
воздуха, которое можно оценить, зная удельную теплоту парообразования
фреона (139 кДж/кг). А теперь внесем этот шарик в комнату и сожмем его. Когда давление внутри шарика вырастет настолько, что пары фреона начнут конденсироваться, вся та тепловая энергия, которую мы отняли на улице у холодного воздуха, выделится в комнате и там станет теплее. Ну а потом, когда шарик остынет, чтобы завершить цикл, можно опять вынести его на улицу,
уменьшить давление внутри него и снова дождаться, пока весь фреон испарится. Таким образом, совершая работу над паром, мы переносим тепло от более
холодного тела (воздух на улице) к более теплому (воздух в комнате). Устройства, делающие это циклически, называются тепловыми насосами. Разумеется,
тепловые насосы могут закачивать внутрь помещения тепло не только атмосферы, но и грунта и находящихся рядом водоемов.
58. Современные тепловые насосы работают по следующей схеме
(рис.26). В испарителе 1 теплового насоса (теплообменнике, находящемся на улице) тепло земли,
водоемов или окружающего воздуха используется
для испарения хладоагента (жидкости, кипящей
при низкой температуре). Полученный пар сжимается компрессором 2, и температура пара повышается. Затем в конденсаторе 3 (теплообменнике
внутри помещения) пар остывает, его тепло передается в систему отопления и горячего водоснабжения. При этом количество теплоты, поставляемое потребителю, может в несколько раз превышать затраты энергии на привод
компрессора. После отдачи теплоты хладоагентом в клапане 4, разделяющем
зону высокого (справа) и низкого (слева) давлений, через который жидкий хла-
39
доагент медленно перетекает, попадая в наружный теплообменник – испаритель 1. Цикл замыкается.
Сегодня топливные насосы выпускаются мощностью о 2 кВт до 200 МВт.
Как показали оценки, применение таких насосов позволит сократить потребление топлива (газ, мазут, уголь и т.д.) приблизительно на 40%, что соответственно снизит загрязнение окружающей среды. В настоящее время общий ежегодный объем продаж выпускаемых за рубежом топливных насосов составляет более 100 млрд долларов США, что превышает, например, мировой объем продаж
вооружений в несколько раз. Швеция, скажем, уже сегодня 70% тепла получает
с помощью топливных насосов, а, по прогнозу Мирового энергетического комитета, в 2020 г. использование тепловых насосов во всем мире для отопления
и горячего водоснабжения приблизится к 75%.
59. Холодильник и тепловой насос – это двигатели, работающие «наоборот» по отношению к тепловой машине, так как в них мы совершаем работу,
чтобы охладить более холодное тело и нагреть более теплое. Известно, что
КПД идеального теплового двигателя (машины Карно), преобразующего тепло
в работу, равен
,
где
– тепло, полученное от нагревателя, А – работа,
- температуры нагревателя и холодильника соответственно. Это значит, что если мы захотим нагреть дом с помощью идеального теплового насоса, его коэффициент
преобразования КОП будет равен:
.
Таким образом, нагревать комнату тепловым насосом гораздо выгоднее,
чем электрическим камином, так как из земли или из холодного воздуха нам
удастся выкачать в несколько раз большее количество теплоты.
60. Чтобы понять, куда расходуется электроэнергия в холодильнике, рассмотрим принцип его действия. А для этого следует рассмотреть, как в зимнее
время отобрать часть тепла у воздуха и перенести его в
дом (см. «Как перенести тепло атмосферы и Земли в
дом?»). Это можно сделать с помощью теплового насоса (см. ответ к задаче 58).
Наверное, почти все замечали с задней стороны
наших домашних холодильников достаточно теплую
решетку радиатора.
В принципе, наш холодильник можно назвать
тепловым насосом, выкачивающим тепло из холодильной камеры в комнату или на кухню. Наш холодильник
называется компрессионным (рис.27) и состоит из:
насоса (компрессора), который создает область высокого давления в трубках теплообменника внутри холодильной камеры; клапана (сужения), разделяющего эти
две секции теплообменника; хладоагента с температу40
рой кипения около -300 С, переходящего из одной секции теплообменника в
другую, а также из газообразного состояния в жидкое и обратно.
Холодильник работает следующим образом. Через определенные промежутки включается двигатель насоса компрессора, который начинает очередной
цикл работы:
1) сжимается газ, находящийся во внешнем теплообменнике, и давление и
температура увеличиваются;
2) двигаясь во внешнем теплообменнике, газ остывает, нагревая воздух в
комнате;
3) температура газа падает, и часть газа конденсируется в жидкость;
4) высокое давление перед клапаном выбрызгивает капельки жидкого
хладоагента в секцию теплообменника, находящегося под низким давлением,
где хладоагент начинает кипеть, испаряясь, понижает температуру холодильной камеры.
Итак, можно сказать, что электроэнергия, потребляемая холодильником,
идет на нагревание комнаты.
61. Теплота, сообщаемая телу при нагревании, увеличивает энергию теплового движения молекул тела, а также превращается в работу по преодолению
сил, препятствующих тем или иным изменениям, связанным с нагреванием.
Например, если нагревать газ в цилиндре, закрытом подвижным поршнем, то часть тепловой энергии совершает работу по поднятию поршня. Известно, что теплоемкость газа в этом случае больше, чем газа, нагреваемого при
неизменном объеме. При медленном охлаждении цилиндра с газом поршень,
опускаясь, выделяет обратно затраченную на его энергию и количество теплоты, выделенной при охлаждении газом, будет равно тому, которое было затрачено на нагревание. Иначе будет, если поршень не сможет отдать газу ту работу, которую газ затратил на его перемещение. Этот случай имеет место во всех
тепловых двигателях. Здесь при охлаждении пара или газа тепла выделяется
меньше, чем было затрачено на его нагревание. Недостающее тепло перешло в
механическую энергию, отдаваемую двигателем.
62. Эффективность работы любой тепловой машины определяется ее коэффициентом полезного действия
,
где
– количество теплоты, полученное рабочим телом (паром),
- количество теплоты, отданное холодильнику.
пропорционально температуре,
то есть у пара должна быть высокая температура, которая может быть получена
в результате перегрева при высоком давлении. Например, на мощных тепловых
электростанциях давление может достигать в котле 160 атмосфер, а температура перегретого пара имеет значение порядка 5600 С.
передается окружаю0
щему воздуху при 4 С.
Кроме КПД, перегретый до высоких температур пар обладает хорошими
динамическими характеристиками, что позволяет приводить во вращательное
движение ротор мощных паровых турбин. И наконец, перегрев пара исключает
конденсацию его в паропроводах и в первых ступенях турбины. Все это позво41
ляет использовать меньшее количество пара, а значит, и меньше расходовать
топлива на единицу мощности.
63. Воспламенение горючей смеси должно происходить в тот момент, когда поршень дойдет до верхней «мертвой точки» (чуть позже можно, но раньше
нельзя). При большем сжатии (чем 7-8) может произойти самовоспламенение
горючей смеси еще до того, как поршень дойдет во верхней «мертвой» точки.
64. Первый процесс цикла Карно – изотермическое расширение. При этом
газ поглощает теплоту и его энтропия увеличивается. На графике этот процесс
изображается прямой линией 1-2 (рис.28). Затем идет адиабатное расширение,
сопровождающееся понижением температуры. Так
как при адиабатном процессе газ теплоизолирован,
то энтропия не изменяется, что выражается прямой
линией 2-3. При достигнутой в конце этого процесса меньшей температуре идет третий процесс –
изотермическое сжатие, при котором газ отдает
теплоту и его энтропия уменьшается (процесс 3-4).
Заключительный процесс – адиабатное сжатие,
возвращающее газ в исходное состояние. При этом
энтропия, так же как и при адиабатном расширении, не изменяется. Процесс
изображается горизонтальной прямой 4-1.
65. Если m – масса каждого тела, с – удельная теплоемкость и Т - температура выравнивания, то полное приращение энтропии
(
).
∫
∫
Заменяя Т на
(
)
, можно написать
(
)
или
[
(
)
].
Под знаком логарифма находится число, большее единицы и, следовательно,
.
66. Приращение энтропии
, а по условию энтропия изменяется dS= dT.
Прямая проходит через начало координат, при Т=0 энтропия равна нулю.
Из первых двух выражений следует
.
Теплоемкость, как и энтропия, меняется пропорционально температуре.
Этот результат можно получить и без вычислений, используя анализ размерностей. Энтропия (независимо от того, идет ли речь об энтропии тела, энтропии молярной или удельной) имеет такую же размерность, как и теплоемкость (также теплоемкость тела, молярная или удельная). Поэтому зависимость
теплоемкости от температуры должна быть с точностью до постоянного множителя такой же, как зависимость от температуры энтропии. В данном случае
совпадает и постоянный множитель.
42
67. Приращение энтропии на отдельных участках определяется следующим образом:
1) участок 1-2 (изобара) ;
∫
2) участок 1-3 (изохора)
3) участок 3-4 (изобара)
4) участок 4-2 (изохора)
∫
;
∫
;
∫
.
Сумма
.
Таким образом, приращение
.
68. Для упрощения вычисления примем такую массу, чтобы в уравнении
состояния величин (
. В этом случае темпера)
тура нагревателя, равная наиболее высокой температуре цикла, которой соответствует точка С (рис.29), составляет
.
Температура холодильника (наиболее холодная
точка цикла – а)
.
Температуры точек b и с соответственно равны
и
. Приращение
энтропии нагревателя в процессе а-b
(
)
,
в процессе b-c
(
)
.
Приращение энтропии холодильника в процессе c-d
(
)
,
в процессе d-a
(
)
.
Складывая все приращения энтропии, после преобразований получим
(
)(
(
)(
)
)
Все слагаемые, стоящие в скобках, больше нуля и, таким образом,
.
Приращение энтропии газа, совершившего круговой процесс и вернувшегося в исходное положение, равно нулю.
69. При сжатии газа до большого давления при каких-либо нарушениях
баллона возможен его взрыв. В трубах вода при большом давлении не взрывоопасна, так как вода по сравнению с газом практически несжимаема.
43
70. При горизонтальном положении трубки, соединяющей шарики, давление справа и слева на капельку, будет уравновешено, и устройство в таком
положении не может служить термометром.
При вертикальном положении трубки давление в нижнем шарике больше
давления в верхнем на постоянную величину. При неизменном объеме давление с ростом температуры увеличивается тем быстрее, чем выше начальное
давление (рис.30). Для поддержания постоянной разности давлений в шариках
капелька станет перемещаться вверх и устройство
можно использовать в качестве термометра.
71. По закону Шарля давление по мере повышения температуры должно увеличиваться по линейному закону. Однако в момент диссоциации молекул
увеличивается концентрация атомов и давление увеличивается быстрее, чем это наблюдается по закону
Шарля.
72. Так как процесс изохорный (объем не меняется) и для одного и для другого объемов, то
и
Тогда, так как Т1 и Т2 одинаковы для разных объемов, то и р2 одинаково для разных объемов.
73. Когда бумажка сгорает в стакане, то часть нагретого воздуха, расширяясь, выйдет наружу. Когда стакан перевернем и поставим в тарелку с водой,
бумажка погаснет, воздух в стакане остынет и его давление упадет, и под стаканом под действием атмосферного давления войдет некоторое количество воды.
44
Борисовский Василий Васильевич
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
(теория и практика)
Учебное пособие для студентов всех направлений
очной и заочной форм обучения
Редактор Е.Ф. Изотова
Подписано к печати 02.10 .14. Формат 60х84/16.
Усл. печ. л. 2,75. Тираж 50 экз. Зак. 141298. Рег. № 152.
Отпечатано в РИО Рубцовского индустриального института
658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.
45