Encycl.mws - [Server 1]

1
Функции, их графики и связанные с ними доказательства
Оглавление
1 Корни и их количество....................................................................................................................1
1.1 Корни уравнения......................................................................................................................1
1.1.a Корни уравнения..............................................................................................................1
1.2 Число корней............................................................................................................................2
1.3 Число корней............................................................................................................................3
1.4 Функциональное уравнение....................................................................................................3
1.5 Вычислить значение функции................................................................................................4
1.6 Квадратный трёхчлен..............................................................................................................4
1.7 Квадратный трёхчлен (2012/13 − 3 − 11)...............................................................................5
2 Свойства функции...........................................................................................................................6
2.1 Непрерывность.........................................................................................................................6
2.2 Расстояние между точками.....................................................................................................6
3 Функциональные уравнения...........................................................................................................7
3.1 Уравнение.................................................................................................................................7
3.2 Линейное уравнение................................................................................................................7
3.3 Дробно−линейное уравнение.................................................................................................7
3.4 Квазифункциональное уравнение..........................................................................................8
3.5 Функциональное уравнение....................................................................................................8
3.6 Дробно−линейное уравнение.................................................................................................8
4 Рациональные и иррациональные числа.......................................................................................9
4.1 Косинусы (2010/11 − 3 − 11)...................................................................................................9
5 Монотонность..................................................................................................................................9
5.1 Доказательство.........................................................................................................................9
1
Корни и их количество
1.1 Корни уравнения
Числа a, b, c − длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что оба корня
уравнения f(x) = ax2 + bx − c = 0 меньше 1.
Используем метод построения решения. Доказываем, что на промежутке (0, 1) есть
один корень и этот корень – больший,
Решение: a > 0, значит, ветви графика уравнения направлены вверх.
f(0) = − c < 0, f(1) = a + b − c > 0. На промежутке (0, 1) есть один корень и этот корень –
больший, так как функция возрастает.
1.1.a Корни уравнения
Известно, что 2а + 3b + 6c = 0. Докажите, что уравнение аx2 + bx + c = 0 имеет корень
на интервале (0,1).
Размышления: Пусть с = 0. Тогда аx2 + bx = ах(х – 2/3) = 0. Это уравнение имеет корни 0
и 2/3, второй на интервале (0,1). Какие значения принимает функция аx2 + bx + c в этих
точках?!!
Решение: Пусть f(x) = аx2 + bx + c, f(0) = c.
2
9
2 9 2 a 2b
3
3
f ( )= ( 2 + +c)=2 a +3 b+6 c− c=− c.
2
3 2 3
3
2
2
2
Если с = 0, то аx + bx = ах(х – 2/3) = 0. Это уравнение имеет корни 0 и 2/3, причём
2
второй расположен на интервале (0,1).
Если с  0, то значения f(x) на концах промежутка [0, 2/3] разные. Значит, уравнение
f(x) = 0, где f(x) непрерывная функция, имеет корень на интервале (0, 2/3). Действительно, на
отрезке [0,2/3] функция принимает все значения между c = f(0) и –1.5c = f(2/3), в частности,
f(х) = 0.
Решение 2 (Киричев Даниил): Пусть f(x) = аx2 + bx + c. Тогда
4f(0.5) + f(1) +f(0) = (a + 2b + 4c) + (a + b + c) + c = 2а + 3b + 6c = 0.
Если числа f(0.5) = f(1) = f(0) = 0, тогда a = b = c и число х = 0.5 − корень.
Иначе среди чисел f(0.5), f(1) и f(0) есть числа разного знака и между числами 0, 0.5 и 1
есть корень уравнения.
1.2 Число корней
Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня, уравнение f(f(x)) = 0
имеет 3 различных корня. Сколько корней может иметь уравнение f(f(f(x))) = 0?
Решение 1. f(x) = (x – a)(x – b). Пусть a < b – корни уравнения f(x) = 0.
f(f(x)) = (f(x) – a)(f(x) – b). Это уравнение 4 степени. График функции f(x) – a
расположен ниже, чем график f(x) – b. Графики суть параболы с ветвями, направленными
вверх. Уравнение имеет три корня, один из графиков (верхний) касается оси абсцисс, а
второй (нижний) пересекает её. Значит, один корень это кратное решение уравнения f(x) = a,
два оставшихся − это два решения уравнения f(x) = b.
Дискриминант уравнения f(x) = a, то есть уравнения x2 – (a + b)x +a(b – 1) = 0 равен
нулю, b=a+ √−4 a> a . Значит, a < 0 (при a = 0 уравнение имеет два корня). Корни
4
уравнения f(f(x)) = 0: a + √ (−a) , a+ √ (−a)± √ 2 √ −a .
Минимальное значение определим с помощью производной. f '(x) = 2x – a – b.
(f(f(x)))' = (f(x) – a) f '(x) + f '(x) (f(x) – b) = (2f(x) – a – b) (2x – a – b) = 0. Второй
множитель соответствует оси симметрии, то есть максимуму функции. Первый множитель
соответствует минимуму функции f(f(x)). При этом
f ( f ( x ))= f (
a +b
a +b
a+b
−(b−a)2 4 a
)=(
−a)⋅(
−b)=
= =a .
2
2
2
4
4
f(f(f(x))) = (f(f(x)) – a)(f(f(x)) – b).
Это уравнение 8 степени. График функции f(f(x)) – a получен из графика функции f(f(x))
путём сдвига на (– a) вверх, то есть минимумы f(f(x)) стали нулями, в остальных точках
функция выше нуля, значит, уравнение f(f(x)) – a = 0 имеет ровно два корня.
Уравнение f(f(x)) = b имеет 3 корня если b = 0.
Если b < 0, то график f(f(x)) – b сдвинут вверх, но меньше чем на (– a), то есть
уравнение f(f(x)) – b = 0 имеет 4 корня.
Если b > 0, то график f(f(x)) – b сдвинут вниз, уравнение f(f(x)) – b = 0 имеет 2 корня.
Значит, f(f(f(x))) = 0 имеет 4, 5 или 6 корней (примеры в решении 2).
Решение 2. f(x) = (x – a)(x – b), a < b. f(f(x)) = (f(x) – a)(f(x) – b). Один корень это
кратное решение уравнения f(x) = a, b=a+ √−4 a> a . Значит, a < 0.
Пусть c > 0, a = – c4, x = t – c4 – c2. Тогда b = c2 (2 – c2), f(x(t)) = t2 – c4, два корня t = ± c2
f(f(x(t))) = t2 (t2 – 2c2), три корня (0,± √ 2 c).
3
2
f(f(x(t))) = (t2 – c2)2((t2 – c2)2 – 2c2), возможны шесть корней (±с ,± √ c ±√ 2 c).
Если с=√ 2 , то действительных корней пять: a = 4, b = 0,
t=(0,±2,±√ 2), x=(−4,−2, 0,−2± √ 2).
Если с < √ 2 , то действительных корней четыре
a = –1, b = 1, t=(±1,± √ (1+ √ 2)) , x=(±1,± √( 1+ √ 2)).
(±с ,± √ c2 + √ 2 c). Например, с = 1,
Если с > √ 2 , то все шесть корней действительные. Например, с = 3, a = –81, b = –63,
t=(±3,± √(9±3 √ 2)) , x=(−75,−69,−72±√(9±3 √ 2)).
Ответ: 4, 5 или 6.
1.3 Число корней
При каких значениях параметра уравнение ax2 = ln x имеет ровно один корень.
Решение. Известно, что функция логарифм определена при положительных иксах и
монотонно возрастает от минус бесконечности до бесконечности принимая любые значения..
Если a ≤ 0, то функция f(x) = ax2 либо убывает, либо постоянная, значит уравнение
имеет ровно один корень.
Если a > 0, то функции f(x) = ax2 и g(x) = ln x имеют равные значение и наклон при
равенстве производных.
1
1
1
1
1
f ' ( x)=2 a x , g ' ( x)= , f ' (x)=g ' (x)→2 a x= →a x 2= →ln x= → x=√ e→ a= .
x
x
2
2
2e
x 1
− определяет
√e 2
касательную к функции g(x) = ln x и в силу выпуклости этой функции ax2 > h(x) ≥ ln x.
Уравнение не имеет корней.
Если а больше этого значения, то ax2 > ln x так как функция h( x)=
Если а меньше этого значения, то при x= √ e f(x) < g(x), при малых и больших иксах
наоборот, функции непрерывны, значит, существует по крайней мере один корень при
x < √ e и один при x > √ e .
Ответ: a=
1
2e
и a ≤ 0,
1.4 Функциональное уравнение.
Дана функция f(x) = |4 − 4|x||− 2. Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x?
Размышляем: Функция y = f(x) чётная, f(f(x)) тоже.
f (0) = f (2) = f (−2) = 2, f (1) = f (−1) =−2. График функции y = f(x) похож на букву W с
осью симметрии, совпадающей с осью ординат, вершинами (−2,2),(−1,−2), (0,2), (1,−2),(2,2).
f(x) = 0 при х = ±0.5 и при х = ±1.5, f(x) = 2 при х = 0 и при х = ±2, f(x) = − 2 при х = ±1.
f(f(х)) = −2 при х = ±0.25 (f(x) = 1), при х = ±0.75 (f(x) = −1), при х = ±1.25 (f(x) = −1), при
х = ±1.75 (f(x) = 1). f(f(х)) = 2 при х = ±0.5 (f(x) = 0), при х = ±1 (f(x) = −2), при х = ±1.5 (f(x) =
0), при х = ±2 (f(x) = 2). График представляет собой ломаную с вершинами на прямых у = ± 2.
Решение 1. Заметим, что f(x) = 2 в трёх точках f (0) = f (2) = f (−2) = 2, f(x) = −2 в двух
точках f (1) = f (−1) =−2.
Заметим также, что f(x) = 1 в четырёх точках f (±0.25) = f (±1.75) = 1, f(x) = −1 в четырёх
точках f (±0.75) = f (±1.25) = −1, f(x) = 0 в четырёх точках f (±0.5) = f (±1.5) = 0.
4
График функции y = f(f(х)) линеен, значит, он состоит из отрезков или лучей, причём
линейный член функции ±16x.
f(f(х)) = −2
при х = ±0.25 (f(x) = 1),
при х = ±0.75 (f(x) = −1),
при х = ±1.25 (f(x) = −1),
при х = ±1.75 (f(x) = 1).
f(f(х)) = 2
при х = ±0.5 (f(x) = 0),
при х = ±1 (f(x) = −2),
при х = ±1.5 (f(x) = 0),
при х = ±2 (f(x) = 2).
На каждом из промежутков (n/4,n/4+0.25], где n = −8..8, функция f(f(х)) монотонно
изменяется от −2 до 2, уравнение f(f(х)) = х имеет ровно один корень. Например, если 0.25 > x
> 0, то 2 > f(x) = 2 − 4х > 1, f(f(x)) = 4f(x) − 6 = 2 − 16x, функция монотонно убывает от 2 до −2,
уравнение f(f(x)) = x имеет один корень х = 2/17. Число корней на шестнадцати промежутках
равно 16.
Если x > 2, то f(x) = 4х − 6, f(f(x)) = 16х − 30 > x, корней нет. Аналогично при x < −2.
Идея решения 2. График обратной функции х = f −1(у) похож на букву W лежащую на
правом боку. Уравнение f(f(x)) = x эквивалентно f (х) = f −1(х). Каждый отрезок одного W
пересекает четыре отрезка другого W. Значит, всего корней 16. При записи решения
требуется установить взаимно−однозначное соответствие точек пересечения графиков и
решений данного уравнения.
Ответ: 16.
1.5
Дана функция
Решение.
Вычислить значение функции
1
. Найдите f(f(...f(f(15)))), где символ f повторён 20 раз.
√1− x 3
f (x )= 3
f ( f ( x ))= f ( 3
1
√ 1− x3
√
f ( f ( f (x )))= f ( 3 1−
1
)=
x3 3
)=
1
√
(
1
3
1− 3
√1−x 3
1
√ (√
1−
3
1−
1
x3
=
) √
3
3
1−
1
=
) √
3
1
3
1
1−1+ 3
x
1
1−x 3
3
1−x 3 3
1
√
=
= 1− .
√
x
x3
=x .
Значит, число f(f(...f(f(15)))), где символ f повторён 18 раз, равно 15.
Число f(f(...f(f(15)))), где символ f повторён 20 раз, равно
Ответ:
√
3
1−
√
f ( f (15))= 3 1−
1
.
153
1
.
15 3
1.6 Квадратный трёхчлен
Существует ли квадратный трехчлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что для
любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число
5
P(n) также записывается одними единицами?
999...9 10n−1
=
.
9
9
a
b
10 m−1
Тогда a x 2 +b x +c=(102 n −2⋅10 n +1) +(10n−1) + c=
.
81
9
9
a b
n
Нужно сделать нулевым выражение (−2 + )⋅10
81 9
999...9 10 n−1
Решение: Если P(x) = 9x2 + 2x , то для x=
=
.
9
9
Размышляем: Пусть х = 11111, то есть
P (x )=
x=
10 2 n−2⋅10 n+ 1 2(10 n−1) 10 2 n−1
+
=
=11...1 .
9
9
9
Ответ: Да.
1.7
Квадратный трёхчлен (2012/13 − 3 − 11)
Пусть P(x) и Q(x) – приведенные квадратные трёхчлены, имеющие по два различных
корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена P(x)
в трёхчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена Q(x)
в трёхчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трёхчленов P(x) и Q(x) равны.
Размышляем: Формализуем выражения: P(x) = х2 − p1x + p0, Q(x) = х2 − q1x + q0.
Формализуем условие: P(xq) + P(xQ) = хq2 − p1xq + p0 + хQ2 − p1xQ + p0 =
= q12 − p1q1 + 2p0 − 2q0 =...
6
2
Свойства функции
2.1 Непрерывность
О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1
функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей
прямой.
Размышляем. Важно, что из непрерывности функции следует непрерывность
комбинации функций (есть ряд исключений, например, деление на нуль), а из непрерывности
комбинации ничего не следует для отдельной функции (контрпример одна функция f(x) = 0
при x < 0, f(x) = 1 при x ≥ 0, вторая 1 – f(x) ). В подобных задачах запрещено делать
добавочные предположения о виде функции, считать, что непрерывная функция имеет
производную (контрпример f(x) = |x|) и так далее. Допустимо составлять комбинации
заданного в условии вида и с их помощью выразить f(x).
Решение: Функции g(x) = f(x) + f(2x) и F(x) = f(x) + f(4x) непрерывны по условию.
Функция g(2x) = f(2x) + f(4x) непрерывна, так как g(x) – непрерывная функция
Известно, что сумма и разность непрерывных функций – непрерывные функции, то
есть g(x) + F(x) – g(2x) = (f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) – (f(2x) + f(4x)) = 2 f(x) – непрерывна.
Следовательно, f(x) – непрерывна.
2.2
Расстояние между точками
Докажите, что на графике функции y = x3 можно отметить такую точку A, а на графике
функции y = x3+|x|+1 – такую точку B, что расстояние AB не превышает малое число d
(например, d = 1/1000).
Размышляем. Ординаты второго графика всегда больше, чем ординаты первого при тех
же иксах на |x|+1. При больших иксах графики идут почти вертикально и расстояния между
точками с одинаковыми ординатами малы, причём расстояния между точками с одинаковыми
абсциссами сколь угодно велики и равны х + 1.
Рассмотрим точки с одинаковыми ординатами и абсциссами х >> 1 на втором графике и
x + d на первом, то есть выберем х так, что x3+|x|+1 = (x + d)3. Отбросим малое d3 и получим,
√(3 d 2 −1)2 +12 d −(3 d 2−1) =
2
2
что x≈
≈
.
2
2
2
6d
√(3 d −1) +12 d +(3 d −1) 1+6 d −21 d 2 +3 d 2−1
2
1
1
≈
+ 1∼
. Последний знак, это «оценка величины икса». Для d =
6 d (1−3 d ) 3 d
3d
1/1000 это х =333.333. Предпоследнее выражение это приближённое значение икса. Для d =
1/1000 это х = 334.333. Если выполнить решение на компьютере, получим х = 334.329. Видно,
что если приближённое значение очень близко к истинному, то оценка заметно от него
отлична. Если записать, что расстояние меньше, чем d, если х ≥ 333.333, то утверждение не
верно, так как расстояние окажется чуть–чуть больше, чем d. Для записи решения
воспользуемся любой точкой, лежащей заметно правее найденного значения.
x≈
√
1 1 1
1 1
1 1
, + +1) и A( 3 3 + +1 , 3 + +1).
d d3 d
d d
d d
Расстояние между ними меньше, чем d, так как из d < 2 + 3d2 + d4 , следует
3
3
1 1
1 √ 1+d 2 + d 3−1 √ 1+3 d 2 +3 d 4+ d 6−1 1+d 2−1
| AB |= 3 3 + +1− =
<
=
=d .
d
d
d
d
d d
Решение. Рассмотрим точки графиков
√
B(
7
3
Функциональные уравнения
3.1
Уравнение
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению: ( x−1) f
x+ 1
( x−1
)− f ( x)= x
при всех x ≠ 1. Найдите все такие функции.
Размышляем. Если х = 0, то −f(−1) − f(0) = 0, если х = −1, то −2f(0) −f(−1) = − 1.
Значит, f(−1) = −1, f(0) = 1.
Простейшая возможная функция f(х) = 1 + 2х. Она удовлетворяет уравнению.
Требуется доказать, что другой функции нет.
Заметим, что
x+1
+1
x−1
=x.
x +1
−1
x−1
x +1
x−1
Решение. Подставив в данном уравнении вместо x дробь
и учитывая, что
x+1
+1
x−1
x +1
x +1
=
.
= x . Получим уравнение ( x−1) f ( x)− f
x +1
x−1
x−1
−1
x−1
( )
Получена система из двух уравнений с неизвестными f(х) и f
x +1
( x−1
) решая которую
находим: f(х)=1+ 2х. Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет уравнению.
Ответ: 1 + 2х.
3.2 Линейное уравнение
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению: 2 f (1− x)+1= x f ( x).
Размышляем. Если х = 0.5, то 1 − x = x, f(0.5)= −2/3. Если х = 0, то f(1)= −1/2.
Если х = 1, то f(0)= −3/4.
Если х = 1 − y, 2 f(y) + 1= (1 − y) f(1−y) то есть 2 f(х) + 1= (1 − х) f(1−х).
Найдено второе уравнение для пары функций f(х) и f(1−х). Решаем полученную систему
уравнений.
Решение. Подставив в данном уравнении х = 1 − y, получим 2 f(y) + 1= (1 − y) f(1−y) то
есть 2 f(х) + 1= (1 − х) f(1−х). Решив систему двух уравнений для двух неизвестных f(х) и
x−3
. Проверка показывает, что она удовлетворяет уравнению.
f(1−х), получим f ( x )= 2
x −x + 4
3.3
Дробно−линейное уравнение
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению:
f
( 1−x1 )+ f (x )=x
x ≠ 1. Найдите все такие функции.
Размышляем. Выполним замены так же, как в предыдущей задаче.\
при всех
8
1
1
.
Ответ: 2 f ( x )=x +1− −
x 1− x
3.4 Квазифункциональное уравнение
Дана функция f(х) = x2 + 2ax + b. Известно, что для любого xR существует такое уR,
что уравнение f(у) = f(х) – 2у имеет решение. Найдите наименьшее возможное значение а.
Решение: Уравнение f(у) = f(х) – 2у имеет вид у2 + 2aу + b = x2 + 2ax + b – 2у,
у2 + 2(a + 1)у = x2 + 2ax, (у + a + 1)2 = x2 + 2ax + (a + 1)2 = (x + a)2 + 2a + 1.
1
Для х = – а уравнение имеет решение при 2 a +1≥0 ⇔ a≥− .
2
1
Если a≥− , уравнение (у + a + 1)2 = (x + a)2 + 2a + 1 имеет решение.
2
Ответ: – 0,5.
3.5 Функциональное уравнение
Ненулевые функции f(х) и g(x) определены при всех xR и удовлетворяют равенству:
f(х) + f(х – у) = f(х) g(y) при всех x,yR. Какое наибольшее значение может принимать
наименьшее значение функции g(x)?
Решение: Выразим g(x). Поменяв х и у, получим, что f(у) + f( у – х) = f(у) g(х). То есть
g ( x)−1=
f ( у− x)
.
f ( у)
Пусть у = kх, k = 1,2,... Тогда если у = х, то g ( x)−1=
f (0)
. Если у = 2х, то
f ( х)
f ( х)
. Аналогично для следующих значений k получим
f (2 х)
f (0)
f (х)
f (2 х)
f ((n−1) х)
g ( x)−1=
=
=
=...=
.
f ( х) f ( 2 х ) f (3 х )
f ( n х)
g ( x)−1=
Приравнивая правые части, находим, что
f (2 x )=
f 2 (x )
f 3(x )
f n (x )
, f (n x)= n−1
.
, f (3 x)= 2
f (0)
f (0)
f (0)
Функция f ( x )=a e b x удовлетворяет этим уравнениям и условию, что она определена
при всех xR. Тогда g ( x)=1+ e−bx >1. Значение g(x) = 1 не достигается. В этом случае
говорят не о минимуме, а об инфинимуме функции. При любом ненулевом b инфинимум
функции равен 1. Однако если b = 0, то функция постоянная и минимум функции равен 2.
Ответ: 2.
3.6
Дробно−линейное уравнение
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению: 2 f
+ x f (x )=1 при
( x−1
x +1 )
всех x ≠ 0 и ±1. Найдите все такие функции.
Размышляем. Заметим, что если
z = x.
u=
x−1
u−1
1
v−1 x +1
w−1
,v=
=− , w=
=
,z=
,
x+1
u +1
x
v+ 1 1−x
w+1
то
9
Решение. Пусть u=
x−1
u−1
1
v−1 x +1
w−1
,v=
=− , w=
=
,z=
.
x+1
u +1
x
v+ 1 1−x
w+1
Тогда z = x.
Значит: 2f(u) + xf(x) = 1, 2f(v) + uf(u) = 1, 2f(w) + vf(v) = 1, 2f(x) + wf(w) = 1.
Исключим f(u) из первых двух уравнений: 4f(v) = xuf(x) + 2 − u.
Исключим f(w) из последних двух уравнений: 4f(x) = vwf(v) + 2 − w.
Исключим f(v) из этих уравнений:
f ( x )=
4 x 2−x+1
.
5( x−1)
2
Ответ:
f (x )=
4
4 x −x+1
.
5(x−1)
Рациональные и иррациональные числа
4.1 Косинусы (2010/11 − 3 − 11)
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа
cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Размышляем. Ответ «Да» требует лишь одного примера с конкретным значением α,
ответ «Нет» требует доказательства. Для этого можно составить выражение которое для
любого α было одновременно рационально и иррационально.
Решение. Рассмотрим число cos α + cos 5α = 2 cos 2α cos 3α
Правая часть рациональна, левая иррациональна. Противоречие. Такого не существует.
5
Монотонность
5.1 Доказательство
Функции f(x) − x и f(x ) − x6 определены при всех положительных x и возрастают.
3
Докажите, что функция f (x 3)− √ x 6 также возрастает при всех положительных x.
2
2
Размышляем. Хочется применить производную … Однако, он может и не существовать.
Как, например, у монотонно возрастающей функции 2х − |x|. Значит, можно применять только
разности.
Решение. При всех положительных x функции xn возрастают монотонно, поэтому
возрастание функции f(x) − xk эквивалентно возрастанию функции f(xn) − xkn.
Пусть X > x > 0. По условию функция f(x) − x возрастает.
f(X) − X > f(x) − x . Значит,
f(X) − f(x) > X− x.
Функция f(x2) − x6 возрастает. Значит, f(x) − x3 возрастает и f(X) − f(x) > X3− x3.
Функция f(x3) − √3x6/2 возрастает одновременно с функцией f(x) − √3x2/2/
3
Требуется доказать, что f ( X )− f ( x)> √ ( X 2−x 2 ) .
2
Неравенство
3
X −x≥ √ ( X 2−x 2) выполнено при
2
X + x≤
2
. Значит при таких
√3
10
3
иксах из возрастания функции f(x) − x следует возрастание функции f ( x 3)− √ x 6 так как
2
3
f ( X )− f ( x)> X −x≥ √ ( X 2−x 2 ).
2
Неравенство
условии
3
3
X −x ≥
√ 3 ( X 2−x 2) или
2
√3 ( X + x)>1 , так
2
2
X + xX + x ≥
√ 3 ( X + x ) выполнено при
2
как 4 ( X 2 + xX + x 2)−3( X + x)2=( X −x )2≥0, то
есть
2
3
2
2
2
√3
X + xX + x ≥ ( X + x ) ≥ ( X + x) . Использовано то, что квадрат числа, большего чем
4
2
единица, больше самого числа.
2
. Значит при таких
√3
3
иксах из возрастания функции f(x2) − x6 следует возрастание функции f ( x 3)− √ x 6 так как
2
3
f ( X )− f ( x)> X 3−x 3≥ √ ( X 2−x 2) .
2
Неравенство
3
X 3−x 3≥ √ ( X 2−x 2) выполнено при
2
X + x>