Equation Chapter 1 Section 1 1.3. Термодинамика сплошной среды.

Equation Chapter 1 Section 1
1.3. Термодинамика сплошной среды.
Для того чтобы научиться выводить определяющие уравнения, мы должны
научиться описывать термодинамические характеристики сплошной среды.
Кроме изученных выше параметров, сплошную среду описывает также ряд
параметров, характеризующих энергетические взаимодействия в сплошной
среде. К их изучению мы приступаем.
1.3.1. Термодинамические эффекты в сплошных средах.
Физический опыт показывает, что сплошные среды не представляют собой
чисто механическое явление. В частности, в процессе эволюции сплошной
среды (изменения параметров, ее характеризующих) происходят
превращения одних видов энергии в другие (например, удлинение металлов
при нагревании, нагревание газов при сжатии и т.п.).
Термодинамика – это раздел физики, в котором изучаются связи между
тепловой и другими видами энергии. В первую очередь нас будут
интересовать связи между тепловой и механической энергиями.
Если быть более точными, то мы будем заниматься изучением не
термодинамики, а термостатики, поскольку на первом этапе будем
описывать на языке математики лишь термодинамически равновесные (не
изменяющиеся со временем) состояния сплошной среды.
Для описания неравновесных тепловых процессов мы с помощью
специальной аксиомы позволим термодинамическим параметрам изменяться
во времени.
1.3.2. Параметры состояния
Основное понятие, которым оперирует термодинамика, – понятие состояния
сплошной среды. Математически оно описывается введением параметров
состояния. С некоторыми из этих параметров мы уже сталкивались. Это,
например, удельная плотность ρ и внутренняя энергия U.
Ниже мы встретимся с абсолютной температурой, энтропией и давлением.
Разумеется, набор параметров зависит от рассматриваемых сред, моделей и
задач исследования. Например, в некоторых случаях удобно считать
параметром состояния тензор напряжений или тензор скоростей деформации
и т.д.
Если состояние среды характеризуется набором параметров состояния
P={p1,…,pn}, то множество P всех допустимых наборов P, в которых может
находиться среда называется пространством состояний. Обычно
пространство состояний – это многообразие. Его размерность dimP (т.е.
минимальное количество числовых параметров, с помощью которых это
многообразие может быть параметризовано) определяет фактическое число
параметров состояния сплошной среды: если dimP=k, то среда называется kпараметрической. Таким образом, мы считаем, что (при соответствующей
1
параметризации) конкретная сплошная среда полностью характеризуется
набором P параметров состояния.
Для любых P1,P2∈P обозначим через CP(P1,P2) множество всех путей
(ориентированных (направленных) кривых, лежащих в P), ведущих из P1 в
P2, а через CP=∪{CP(P1,P2): P1,P2∈P} множество всех путей на P. В CP
выделяется некоторое подмножество EP путей, называемых процессами.
Процессы отвечают физически реализуемым процессам перехода сплошной
среды из состояния P1 в состояние P2. Процесс ε(P1,P2)∈EP называется
обратимым, если путь ε(P2,P1), идущий по той же кривой (в
противоположном направлении), также есть процесс. В противном случае
процесс ε(P1,P2) необратим. Например, процесс диффузии тепла по
металлическому стержню, нагретому с одного конца, необратим, а процесс
сжатия газа в цилиндре обратим.
1.3.3. Количество теплоты.
Такая характеристика среды, как количество теплоты Q, или тепловая
энергия, определяется как энергия броуновского движения молекул в
физическом теле. Эту характеристику нельзя считать параметром состояния,
так как количество теплоты Q, полученное или выделенное сплошной средой
при переходе из состояния P1 в P2 по пути ε(P1,P2), зависит от этого пути.
Приток тепла в обратимом процессе может быть задан дифференциальной
формой
k
dQ (P) = ∑ B j (P ) d p j
j =1
и тогда приток тепла при переходе из состояния P1 в P2 по пути
ε(P1,P2)={P(s): s∈[0,1]}={(p1(s),…,pk(s)): s∈[0,1], P(0)=P1, P(1)=P2} задается
криволинейным интегралом
1 k
Q = ∫ ε P1 ,P2 dQ (P) = ∫ ∑ B j p1 ( s ) ,..., pk ( s )  p′j ( s ) ds
( )
0
j =1
(1.25)
Физический смысл дифференциальной формы dQ есть элементарный приток
теплоты при элементарном процессе dP.
1.3.4. Абсолютная температура и энтропия.
Причиной зависимости притока тепла Q при переходе из состояния P1 в
состояние P2 от пути ε(P1,P2) заключается в том, что функция dQ(P), стоящая
в правой части интеграла (1.25), не является полным дифференциалом
некоторой функции. Оказывается, существует такой параметр состояния θ,
называемый абсолютной температурой, такой, что отношение dQ/θ для
любого обратимого процесса уже является полным дифференциалом
некоторой функции S, также являющейся параметром состояния и
называемой энтропией. Тогда для любого обратимого процесса
S2 − S1 = S (P2 ) − S (P1 ) = ∫
dQ
(
1
ε P ,P
2
) θ
2
1.3.5. Первое начало термодинамики.
Рассмотрим элементарный процесс dP. В этом процессе сплошной среде
сообщается количество теплоты dQ, при этом оно совершает некоторую
элементарную механическую работу dA и получает приращение внутренней
энергии dU.
Первое начало (или закон термодинамики) выражается равенством
dQ = dU + dA
и является термодинамическим аналогом всеобщего закона сохранения
энергии. Физически этот закон объявляет эквивалентность тепловой и
механической энергий.
1.3.5. Второе начало термодинамики.
Наш физический опыт показывает, что не все тепловые процессы возможны
(например, процесс, обратный к вышеописанной диффузии тепла в
металлическом стержне, нагретом с одного конца).
Второе начало (или закон термодинамики выделяет возможные тепловые
процессы. Он гласит:
«Если сплошная среда теплоизолирована (т.е. отсутствует внешний
приток или отвод тепла), то энтропия этой среды не убывает».
Математически это выражается неравенством
θ dS ≥ dQ
(1.26)
Для полноты коллекции приведем историческую эволюцию формулировок
этого физического закона.
1850 г., Клаузиус:
Невозможен процесс, единственным результатом которого является
передача тепла от холодного тела к более горячему.
1851 г., Кельвин:
Невозможен процесс, единственным результатом которого является
превращение теплоты в работу.
1909 г., Каратеодори:
В любой окрестности любого состояния P1 существует состояние P2,
которое не может быть конечным состоянием процесса ε(P1,P2) с
нулевым притоком тепла.
Для обратимых процессов из второго начала термодинамики вытекает, что
θ dS = dQ
или, что то же (основное термодинамическое тождество):
θ dS = dU + dA
(1.27)
Термодинамические требования к сплошной среде представляют собой
новую аксиому.
1.3.6. Аксиома термодинамики
Для сплошной среды выполнены первое и второе начала
термодинамики.
3
1.3.7. Термодинамические процессы.
Описанное выше понятие процесса, безусловно, является идеализацией,
поскольку непрерывная последовательная смена равновесных (не
изменяющихся во времени) состояний сплошной среды может быть
реализована лишь приближенно. Однако, для описания неравновесных
тепловых процессов можно воспользоваться понятиями, введенными для
термодинамически равновесных состояний.
Мы аксиоматически определим понятия энтропии и абсолютной
температуры сплошной среды.
Энтропией сплошной среды называется непрерывная мера на R3: для любого
объема ωt определено число S(ωt). Как и ранее, это гарантирует
существование удельной энтропии, т.е. такой функции s: D →R, что для
любого объема ωt
S (ω t ) = ∫∫∫ s ( x, t ) ρ ( x, t ) dω = ∫∫∫ s ρ dω
(1.28)
ωt
ωt
Кроме того предполагается существование неотрицательной функции
Θ : D→R+, называемой абсолютной температурой.
Предположим, что наша среда термостатически полностью описана, т.е.
известно ее пространство состояний P, в котором лежат наборы P=(p1,…,pk)
параметров состояния, полностью характеризующих равновесные состояния
среды. Это означает, в частности, что удельная внутренняя энергия U,
плотность ρ, удельная энтропия s, абсолютная температура Θ и т.д. являются
заданными функциями параметров состояния P=(p1,…,pk).
Возможность перехода от термостатического описания к
термодинамическому постулирует следующая аксиома.
1.3.8. Аксиома локального равновесия.
Состояние любой частицы x сплошной среды в любой момент времени
t полностью характеризуется параметрами P=(p1,…,pk), причем все
термодинамические параметры частицы (U, ρ, s, Θ и т.д.)
определяются по P теми же самыми функциями, что и в
термостатическом описании.}
На интутивном уровне эта аксиома означает, что каждая частица сплошной
среды в каждый момент времени отождествляется с равновесной
термодинамической системой, описываемой параметрами состояния
P=(p1,…,pk).
1.3.9. Неравенство Клаузиуса–Дюгема.
Второе начало термодинамики (1.26) (в динамическом, а не в равновесном
случае) в этих терминах может быть выражено по разному. Например,
предполагается выполненным неравенство
d
q⋅n
S (ωt ) ≥ − ∫∫
dσ
dt
Θ
∂ωt
(1.29)
4
В самом деле, если считать объем ωt теплоизолированным, т.е. предполагать,
что q⋅n=0 на ∂ωt, то
d
S (ωt ) ≥ 0 , что полностью совпадает с
dt
«термостатическим» вторым началом термодинамики (см. начало п. 1.3.6.).
Если заменить в (1.29) S по формуле (1.28), а затем, как это неоднократно
делалось выше, применить формулу (1.12) дифференцирования под знаком
интеграла и формулу Гаусса–Остроградского, то получим неравенство

ds
q
 ρ + div  dω ≥ 0
∫∫∫
Θ
dt
ω 
t
Применение же аналога леммы 1.2.3 приводит к так называемому
неравенству Клаузиуса–Дюгема, являющемуся локальным (не интегральным)
эквивалентом второго начала термодинамики
ρ
ds
q
+ div ≥ 0
Θ
dt
(1.30)
Следующая аксиома позволяет выразить в уравнении сохранения энергии
(1.23) вектор потока тепла через абсолютную температуру.
1.3.10 Аксиома Фурье.
Вектор потока тепла пропорционален градиенту температуры:
q = − k ∇Θ
(1.31)
где κ – (неотрицательный) параметр состояния, называемый
коэффициентом теплопроводности.
Аксиома Фурье представляет собой математический эквивалент физического
закона Фурье, полученного как результат обобщения физических
наблюдений. Знак «−» в (1.31) соответствует тому физически наблюдаемому
факту, что тепло может передаваться только от «горячих» областей к
«холодным». Ниже мы покажем, что аксиома Фурье может быть выведена из
общего принципа независимости определяющих уравнений от системы
отсчета.
Коэффициент κ теплопроводности в моделях конкретных сплошных сред
есть известная функция других параметров состояния. Для многих сред он
вообще постоянен.
Аксиома Фурье позволяет уменьшить число неизвестных в модели (DM) на
единицу, заменяя в уравнении сохранения энергии (1.23) векторную
неизвестную q на две скалярных Θ и κ:
ρ
dU
= P : D + div ( k ∇Θ ) .
dt
5