Идеальный одноатомный газ в идеальной тепловой машине

Идеальный одноатомный газ в идеальной тепловой машине
совершает циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух
изобар. Максимальное давление газа в 4,00 раза больше
минимального давления. Максимальный объем газа в 6,00 раз
больше минимального объема. Определить коэффициент полезного
действия идеальной тепловой машины.
На рисунке изображен циклический процесс,
происходящий
с
определенной
массой
идеального одноатомного газа, в координатах
. Процесс состоит из двух изохор и двух
изобар:
1-2 – изохора ( );
2-3 – изобара ( );
3-4 – изохора ( );
4-1 – изобара ( ).
Коэффициент полезного действия цикла 1-2-3-4-1, изображенного на
рисунке, определяется формулой
∙ 100%,
получ.
где – работа, совершаемая газом на участке 1-2, – работа,
совершаемая газом на участке 23, – работа, совершаемая газом на
участке 3-4, – работа, совершаемая газом на участке 4-1, получ. –
количество теплоты, полученной газом за цикл.
Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:
• участок 1-2 (изохора) –
,
где 0 – работа газа при изохорном процессе на участке 1-2,
1,5"#$ % $ – изменение внутренней энергии газа на участке
1-2, $ – начальная температура газа на участке 1-2, $ – конечная
температура газа на участке 1-2, " – количество вещества (газа), # –
универсальная газовая постоянная;
• участок 2-3 (изобара) –
,
где % – работа газа при изобарном процессе на участке
2-3, – давление газа на участке 2-3, – начальный объем газа на
участке 2-3, – конечный объем газа на участке 2-3, 1,5"#$ % $ – изменение внутренней энергии газа на участке 2-3, $ –
начальная температура газа на участке 2-3, $ – конечная температура
газа на участке 2-3;
• участок 3-4 (изохора) –
,
где 0 – работа газа при изохорном процессе на участке 3-4,
1,5"#$ % $ – изменение внутренней энергии газа на участке
3-4, $ – начальная температура газа на участке 3-4, $ – конечная
температура газа на участке 3-4;
• участок 4-1 (изобара) –
,
где % – работа газа при изобарном процессе на участке
4-1, – давление газа на участке 4-1, – начальный объем газа на
участке 4-1, – конечный объем газа на участке 4-1, 1,5"#$ % $ – изменение внутренней энергии газа на участке 4-1, $ –
начальная температура газа на участке 4-1, $ – конечная температура
газа на участке 4-1.
Газ получает теплоту на участках 1-2 и 2-3, т.к. именно на этих участках
количество теплоты является положительным. Следовательно,
полученное за цикл количество теплоты определяется формулой:
получ. 1,5"#$ % $ % 1,5"#$ % $ .
После преобразований получим:
получ. % 1,5"#$ % $ .
Таким образом, коэффициент полезного действия цикла:
% % ∙ 100%.
% 1,5"#$ % $ Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для состояний
идеального газа, обозначенных на графике точками 1 и 3:
"#$ ,
"#$ .
В выражении для коэффициента полезного действия произведем
соответствующую замену:
% % ∙ 100%,
% 1,5 % раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
% % ∙ 100% % 1,5 % 1,5 % % ∙ 100%.
2,5 % % 1,5 Выполним почленное
произведение ( ):
деление
числителя
и
знаменателя
на
%
%
%
1
%
∙ 100% ∙ 100%.
2,5 1,5 2,5 %
%
%
%
1,5
С учетом того, что и являются минимальными значениями
давления и объема газа, а и – максимальными, выполним
подстановку:
4,00 ,
6,00 ;
искомый коэффициент полезного действия составит
15,0
4,00 ∙ 6,00 % 4,00 1,00 % 6,00
∙ 100% ∙ 100% * 27,5.
54,5
2,5 ∙ 4,00 ∙ 6,00 % 4,00 % 1,50