Содержание программы 4 семестр Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности решения, следствие. Дискриминантная кривая, особое решение дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной. Методы решения уравнений, неразрешенных относительно производной: разрешение относительно производной, метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения, допускающие понижение порядка. Промежуточные интегралы. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию или независимое переменное. Понижение порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной производной. Непродолжаемые решения. Предложение о существовании непродолжаемого решения. Предложение о выходе непродолжаемого решения за границу ограниченного замкнутого множества, следствие для автономной системы. Пример. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения. Теорема о непрерывной зависимости решения от правой части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости решений от начальных условий. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра. Дифференцируемость решения по параметру. Теорема о дифференцируемости решения по параметру, система уравнений в вариациях. Следствие о дифференцируемости решения по начальным значениям, система уравнений в вариациях. Теорема о дифференцируемости по параметру высоких порядков, следствие о разложении решения по степеням малого параметра. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Понятие автономной системы и нормальной автономной системы. Кинематическая интерпретация решения автономной системы. Совпадение двух траекторий. Положения равновесия и замкнутые кривые. Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. Связь геометрической и кинематической интерпретаций решений нормальной системы. 1 Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Невырожденный случай. Вырожденный случай. Нулевые собственные значения. Система уравнений «Хищник-жертва». Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Функциональная независимость первых интегралов в области, ее связь с линейной независимостью. Теорема о существовании n независимых первых интегралов. Теорема о получении решения с помощью первых интегралов. Теорема о выражении любого первого интеграла через систему n независимых первых интегралов. Первые интегралы автономных систем, теорема о существовании n-1 независимого первого интеграла, не содержащего t. Теория устойчивости: Устойчивость решения по Ляпунову, асимптотическая устойчивость по Ляпунову, связь этих понятий. Переход от исследования устойчивости произвольного решения к исследованию устойчивости нулевого решения. Достаточное условие устойчивости для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова. Производная функции в силу системы уравнений. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Примеры. Теорема Четаева о неустойчивости. Пример. Теорема об устойчивости по первому приближению. Пример. Уравнения в частных производных первого порядка: Линейные однородные уравнения первого порядка. Выражение решения через первые интегралы. Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения в случае двух независимых переменных. Геометрический смысл условия существования и единственности. Список рекомендуемой литературы 1. Бибиков Ю.Н., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 2. Краснов М.Л., Киселев Л.И., Макаренко Г.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры. М.: КомКнига, 2005. 256с. 2 3. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2003. 272с. 4. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. РХД, Москва, Ижевск, 2001. 400с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 5. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений. М.: КомКнига/URSS, 2006. 472с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г., Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 7. Филиппов А.Ф.. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: КомКнига, 2007. 240с. 8. Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям. РХД, Москва, Ижевск, 2000. 175с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: КомКнига, 2006. 312с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) Список дополнительной литературы 1д.Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 240с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 2д.Дмитриев В.И., Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: КДУ, 2007. 220с. 3д.Зайцев В.Ф., Полянин А.Д., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576с. 4д.Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576с. 5д.Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Мн.: Высшая школа, 1974. 656с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ) 3 Рабочая программа № Темы занятий (4 семестр) Кол-во часов 1 Уравнения, неразрешенные относительно производной 2 2 Уравнения, допускающие понижение порядка. 2 3 Фазовая плоскость линейной однородной системы второго 4 порядка с постоянными коэффициентами и консервативной системы. 4 Первые интегралы, уравнения с частными производными 2 первого порядка. 5 Устойчивость. Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость 2 по первому приближению. Итого за семестр: 12 Темы программы, вынесенные на самостоятельное изучение 4 семестр 1 Уравнения, неразрешенные относительно производной. 4 Особые решения. Уравнения Лагранжа и Клеро. 2 Уравнения, допускающие понижение порядка. 2 3 Непродолжаемые решения. 4 4 Непрерывная зависимость решения от правой части уравне- 4 ния, начальных значений и параметров. 5 Дифференцируемость решения по параметрам и начальным 4 значениям. Уравнения в вариациях. 6 Устойчивость по Ляпунову. Теоремы Ляпунова и Четаева. 4 Устойчивость по первому приближению. 7 Автономные системы дифференциальных уравнений и их 4 фазовые пространства. Кинематическая интерпретация решения автономной системы. 8 Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. 2 9 Фазовая плоскость линейной однородной системы второго 2 4 порядка с постоянными коэффициентами. 10 Фазовая плоскость консервативной системы с одной степе- 4 нью свободы. 11 Система уравнений «Хищник-жертва». 2 12 Уравнения с частными производными первого порядка. 4 Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения. Выполнение контрольной работы №2 20 Итого: 60 Методические указания студентам Изучение каждой темы следует начинать с проработки соответствующего теоретического материала в учебниках [1], [4], [5], [7], [9] или использовать собственный конспект лекций данной дисциплины. Для усвоения теоретического материала также нужно разобрать предлагаемые в лекционном курсе примеры. Только затем следует закрепить разобранный материал изучаемой темы самостоятельным решением задач из [8]. Успешное написание контрольных работ возможно только при внимательном, всестороннем и качественном изучении соответствующих лекционных конспектов и текстов учебников. Решение задач контрольные работы оформляется в отдельной тетради с указанием фамилии студента, варианта задания, текста задач и полным, подробным решением. 5 Вопросы к экзамену по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения», 4 семестр 1. Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности. Способы решения 2. Уравнения, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие явно искомой функции или независимого переменного, однородные уравнения, приведение к полной производной. 3. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. 4. Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Существование n независимых первых интегралов. Получение решения с использование первых интегралов. 5. Выражение решения линейного и квазилинейного уравнения в частных производных через первые интегралы. 6. Устойчивость решения, асимптотическая устойчивость. 7. Достаточное условие устойчивости положения равновесия для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. 8. Функция Ляпунова. Дифференцирование в силу системы уравнений. 9. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости. 10.Теорема Четаева неустойчивости. 11.Формулировка теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. 6 Контрольная работа №2 по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения» (сдается в 4 семестре) 1. Решить уравнение, не разрешенное относительно производной: 1.1. x 2 y 3xyy 2 y 2 0 1.5. x y yy 1 2 2 1.2. y 2 yy y 2 e 2 x 1 1.6. y 4 xy 2 y 2 x 2 0 x2 1.3. y y xy 2 1.7. y 2 xy 8 x 2 0 2 2 2 2 1.8. y xy 1.4. y y y x 2 y x 2 y 0 3 2 y2 1 2. Найти особое решение уравнения(для своего варианта) из предыдущего пункта 1. 3. Понизить порядок уравнения и решить его: 3.1. xyV y IV 0 3.5. xyy x y yy 0 3.2. y y 2e y 3.6. yy y y 3.3. yy y 3.7. yx ln x y 3.4. y y 0 3.8. x 2 yy y xy 2 2 2 2 2 2 4. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка: z z xy x x y 4.1. y 2 z z 1 y x y 2 4.2. x 4.3. x z z y 2z x y 4.4. y 2 4.5. tg x 4.6. xz 4.7. x z z xy x 3 z x y z z y z x y z z yz x 3 y x y z z y x2 z x y 4.8. z y z z x z y x x y 5. Определить характер положения равновесия (0,0), исследовать его на устойчивость и нарисовать фазовый портрет системы в окрестности точки (0,0): 7 x 2 x y 5.1. y x 2 y x x 3 y 5.5. y 6 x 5 y x y y 2 x y 6 x 2 x y 5.2. 7 y 14 x 3 y 5.6. x 2 x y 5.7. y 4 x 2 y x 3x 5.3. y 2 x y x 2 x y 5.8. . y 4 x y x x 5.4. y 2 x y 6. Найти все положения равновесия, исследовать их на устойчивость, найти первые интегралы и нарисовать фазовый портрет консервативной системы: 6.1. x 2 x 1 6.5. x 4 x 3 2 x 6.2. x 2 x 1 6.6. x 4 x 3 2 x 6.3. x 4x 3 6.7. x e x e x 6.4. x 4x 3 6.8. x e x e x 7. Найти три первых члена разложения в степенной ряд решения данного дифференциального уравнения для заданных начальных условий: 7.1. y 1 xy , y(0) 0 7.5. y y 2 x 2 , y (0) 1 7.2. y 1 2 xy , y(0) 2 7.6. y y 2 x 2 , y (0) 0 7.3. y y 2 x, y (0) 0 7.7. y sin( xy ), y(0) 1 7.4. y y 2 x, y(0) 0 7.8. y cos(xy ), y(0) 0 Лектор__________________ доцент кафедры ТУиО, к. ф.-м. н. Алеева С.Р. 8