трибомеханический метод расчета коэффициента бокового

Том 32, № 6
ТРЕНИЕ И ИЗНОС
Vol. 32, No. 6
FRICTION AND WEAR
Ноябрь—декабрь 2011
November—December 2011
УДК 621.763:621.891
ТРИБОМЕХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА БОКОВОГО
ДАВЛЕНИЯ В ХРУПКИХ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛАХ
В. В. БАРСУКОВа+, Б. КРУПИЧб, В. Г. БАРСУКОВа
Предложена методика расчета коэффициента бокового давления в хрупких дисперсных материалах, учитывающая
совместное действие межчастичного и внешнего (пристенного) трения. Установлен диапазон изменения этого коэффициента в зависимости от соотношения коэффициентов межчастичного и внешнего (пристенного) трения.
Ключевые слова: коэффициент бокового давления, трение, дисперсный материал.
Введение. Во многих отраслях современной промышленности широко распространены технологические процессы, основанные на обработке дисперсных материалов деформирующими методами. Прессование лекарственных препаратов и металлических порошков, производство топливных брикетов и пеллет, кормовых гранул, силикатного кирпича и тротуарной плитки являются типичными представителями таких технологий. Значительную роль при компактировании дисперсных материалов играет трение, выступающее в виде трения дисперсных частиц в контакте между
собой (внутреннее, или межчастичное трение) и трения дисперсных частиц в контакте с формообразующими поверхностями деформирующего инструмента (внешнее, или пристенное трение).
Фрикционное взаимодействие в таких материалах существенно влияет на энергетические и силовые параметры процессов, а также, нередко, на качество получаемых изделий [1]. Достаточно обширные обзоры литературы по этой проблематике приведены в сборнике [2], монографиях [3—5],
статьях [6—10] и ряде других публикаций. Вместе с тем, в силу сложности рассматриваемых
явлений, многие вопросы на стыке трибологии и технологии остаются недостаточно изученными.
В частности, недостаточно изучено влияние внешнего трения на коэффициент бокового давления
при компактировании дисперсных материалов [4, 10]. Это приводит к появлению погрешностей в
вычислении нагрузок, действующих на формообразующую оснастку [5], что влияет на точность
деформационно-прочностных расчетов оснастки и возможность прогнозирования размеров
отформованных изделий. Поэтому исследования и разработки, направленные на усовершенствование методов определения коэффициента бокового давления, представляются актуальными.
Цель работы — создание методики расчета коэффициента бокового давления при компактировании хрупких дисперсных материалов, учитывающей совместное действие межчастичного и
внешнего трения, а также установление диапазона изменения этого коэффициента в зависимости
от соотношения коэффициентов межчастичного и внешнего трения.
Методы определения коэффициента бокового давления. Понятие “коэффициент бокового давления” перенесено в технологию порошковых материалов из механики грунтов [3, 11, 12], где под
коэффициентом бокового давления ξ понимается коэффициент пропорциональности между
приложенным осевым р и возникающим ответным боковым q давлением при сжатии деформируемого материала в замкнутом объеме, т. е. q = ξp (рис. 1).
а
б
+
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы. Беларусь, 230023, г. Гродно, ул. Ожешко, 22.
Белостокский политехнический университет. Польша, 15-351, г. Белосток, ул. Вейска, 45а.
Автор, с которым следует вести переписку. e-mail: barsukov2002@mail.ru.
489
В. В. БАРСУКОВ, Б. КРУПИЧ, В. Г. БАРСУКОВ
а
б
в
Рис. 1. Схемы деформирования дисперсных материалов: а — в замкнутом объеме;
б — в незамкнутом объеме; в — напряжения, действующие на элемент материала
Наряду с эмпирическими или полуэмпирическими формулами, устанавливающими линейную
[10] или степенную [13] связь величины ξ с плотностью конкретного формуемого материала при
оговоренных условиях нагружения, существуют методики расчета, основанные на анализе механики процессов деформирования. При этом можно выделить два подхода [2, 14]. Наиболее часто используемым в той или иной форме в различных областях науки и техники является подход, основанный на гипотезе континуума [2, 3, 6, 14], который позволяет составлять для объема частиц
уравнения равновесия, дополняя их физическими уравнениями, учитывающими свойства деформируемых сред.
Второй подход, основанный на изучении контактного взаимодействия отдельных частиц, разработан значительно меньше, лишь для решения ограниченного круга задач [8, 9], не всегда обеспечивает требуемую точность расчетов в области высоких давлений и применяется в силу этого
сравнительно редко [14]. Применительно к расчету коэффициента бокового давления при компактировании дисперсных материалов данный подход не используется.
Рассмотрим более подробно применяемые на практике способы расчета коэффициента бокового давления.
Наиболее простой и известный — из условия стесненности деформации в радиальном направлении εr [15]. Из обобщенного закона Гука следует:
εr =
1
[q − ν( p + q )] ,
E
(1)
где Е, ν — соответственно, модуль упругости и коэффициент Пуассона деформируемого материала.
Поскольку в процессах деформирования дисперсных материалов обычно принимают εr = 0, то
q=
ν
p.
1− ν
То есть, коэффициент бокового давления ξ по этой схеме расчета будет равен
ξ=
ν
.
1− ν
(2)
Формула (2) широко используется при расчете процессов прессования металлопорошков [3, 15] и
других дисперсных композитов [16], хотя в экспериментах с пластичными порошками отмечался
значительный рост коэффициента бокового давления с увеличением плотности материала, что
предлагалось учитывать при помощи эмпирической зависимости коэффициента Пуассона ν как
степенной функции относительной плотности θ прессуемого материала [17]:
m
ν = 0,5θ ,
где m = 1..2 — эмпирический коэффициент.
Вместе с тем, распространение формулы теории упругости (1) на область неупругого деформирования сопряжено с возникновением погрешностей. Кроме того, формула (2) не учитывает
влияние межчастичного и внешнего трения на условия сдвигового деформирования и поэтому
является весьма приближенной [18].
490
ТРИБОМЕХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
Второй способ определения коэффициента бокового давления основан на исследовании
напряженно-деформированного состояния дисперсного материала при сдвиге с учетом сил межчастичного трения. С использованием этого способа в работе [19] предложено находить коэффициент ξ для гранул и керамики по формуле
ξ=
1+ f 2 − f
1+ f 2 + f
,
(3)
где f — коэффициент межчастичного трения.
В механике грунтов для расчета коэффициента бокового давления используется следующая
зависимость [11, 12]:
π ϕ
ξ = tg2  − ,
4 2
(4)
где ϕ — угол трения (tgϕ = f ) .
Можно показать, что формулы (3) и (4) идентичны. Это будет сделано в дальнейшем при анализе условий сдвига с использованием предложенной расчетной схемы. Вместе с тем, приведенные формулы не учитывают влияние внешнего трения на условия сдвигового деформирования
дисперсных материалов.
При невозможности расчета коэффициента бокового давления его можно определить экспериментально, например, с использованием устройств, описанных в работах [4, 5, 20]. Однако
экспериментальные методы трудоемки и требуют изготовления специализированного оборудования. Причем возможность переноса результатов, полученных в одних условиях нагружения материала, на другие условия или другие типоразмеры формообразующей оснастки остается открытой
для обсуждения.
Расчетная модель для прогнозирования
влияния внешнего и межчастичного трения
на коэффициент бокового давления хрупких
дисперсных материалов. Наиболее наглядно расчетную схему предельного равновесия дисперсного материала можно составить с использованием круговой диаграммы напряжений Мора (рис. 2). На этой
диаграмме по оси абсцисс отложены нормальные напряжения, действующие в
дисперсном материале, а по оси ординат —
соответствующие касательные напряжения. Прямая ОВ представляет собой огибающую кругов Мора для предельных наРис. 2. Расчетная схема круговой диаграммы Мора
пряженных состояний. Ее наклон определяется межчастичным трением, так что tgϕ = f , где ϕ — угол внутреннего трения, а f — коэффициент межчастичного трения. При этом, если круг Мора не касается огибающей ОВ, то напряженное
состояние не предельное, необратимые сдвиговые явления в объеме материала отсутствуют. В
случае касания кругом Мора огибающей ОВ в дисперсном материале напряженное состояние соответствует условию сдвига, при котором сдвигающие напряжения равны удельным силам трения,
действующим между слоями материала на площадках сдвига.
Прямая ОВ2 соответствует закону трения Кулона на внешних гранях элемента (внешнее
трение). Тангенс угла ψ ее наклона равен коэффициенту µ внешнего трения ( tgψ = µ ).
Результаты исследований влияния межчастичного и внешнего трения на коэффициент бокового
давления хрупких дисперсных материалов. Из рис. 2 с учетом принятых обозначений видно, что
491
В. В. БАРСУКОВ, Б. КРУПИЧ, В. Г. БАРСУКОВ
ξ min =
OM 2
OC
OM
; ξ max =
; ξтек =
.
ON 1
OD
ON 2
(5)
Однако
OC = OA − AC = OA − R; OD = OA + AD = OA + R ,
где
R = AB = OA sin ϕ ,
причем
OA =
p+q
.
2
(6)
Здесь p — приложенное осевое давление; q — возникающее боковое давление;
R=
p+q
sin ϕ .
2
(7)
Рассмотрим некоторые наиболее характерные случаи деформирования.
Первый предельный случай — внешнее трение отсутствует или пренебрежимо мало.
В этом случае с учетом (5)—(7)
ξ min
p+q
−
= 2
p+q
+
2
p+q
sin ϕ
1 − sin ϕ
2
=
.
p+q
sin ϕ 1 + sin ϕ
2
(8)
1
1
1
, то cos2 ϕ =
=
.
2
2
cos ϕ
1 + tg ϕ 1 + f 2
Подставив соответствующие значения, запишем
Поскольку tgϕ = f , а 1 + tg2ϕ =
sin ϕ = 1 − cos 2 ϕ =
f
.
(9)
1+ f 2 − f
1 − sin ϕ
,
=
1 + sin ϕ
1+ f 2 + f
(10)
1+ f 2
В итоге получаем
ξ min =
что совпадает с известной формулой, приведенной в работе [19].
Но эта формула позволяет вычислять приближенные значения коэффициента бокового давления, поскольку не учитывает влияние внешнего трения. Она может быть применима только в тех
случаях, когда вклад внешнего трения мал.
Нетрудно проверить, что в рассматриваемом частном случае формулы (4) и (10) идентичны.
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Так, приняв 1 = cos 2 + sin 2 ; sin ϕ = 2 sin cos , после подставки в (10) получаем
2
2
2
2
ξmin
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ 
ϕ
ϕ 
ϕ
+ sin 2 − 2 sin cos
 cos − sin   1 − tg 
2
2
2
2
2
2
2 .
=
=
 =
ϕ
ϕ 
ϕ
ϕ 
ϕ
2 ϕ
2 ϕ
+ sin
+ 2 sin cos
cos
 cos + sin   1 + tg 
2
2
2
2 
2
2 
2
cos2
2
2
 1 − tg ϕ   tg π − tg ϕ 

 

π
2  = 4
2  = tg2  π − ϕ  .
Поскольку 1 = tg , то 


4
4 2
 1 + tg ϕ   1 + tg π tg ϕ 
2 
4 2

492
(11)
ТРИБОМЕХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
Таким образом, формулы для определения коэффициента бокового давления, используемые в
механике грунтов и при деформировании керамических гранул, идентичны. Однако они не учитывают влияние внешнего трения на величину ξ .
Второй предельный случай — внешнее трение велико. Коэффициент внешнего трения µ равен
коэффициенту межчастичного трения f или превышает его.
В этом случае прямая ОВ2, соответствующая закону трения Кулона на внешних гранях элемента, совпадет с огибающей семейства кругов Мора (линия ОВ), а коэффициент бокового давления достигнет максимального значения
ξ2 = ξ max =
OM
.
ON 1
Причем
π
OM = OA − R cos β = OA − R cos − ϕ  = OA − R sin ϕ ;
2

π
ON = OA + R cos β = OA + R cos − ϕ  = OA + R sin ϕ .
2

Подставив значения R и ОА из формул (6) и (7), получаем
R = OA sin ϕ =
p+q
sin ϕ .
2
Тогда
ξ max
p+q
−
= 2
p+q
+
2
p+q 2
sin ϕ
1 − sin 2 ϕ
2
.
=
2
p+q 2
sin ϕ 1 + sin ϕ
2
(12)
Выразим ξ max через коэффициент межчастичного трения f при помощи формулы (9):
f2
1
1+ f 2
.
=
=
2
f
1+ 2 f 2
1+
1+ f 2
1−
ξ max
На рис. 3 приведено соотношение η =
ξmax,
(13) ξmin,η
2,0
ξ max
ξ min
как функция коэффициента межчастичного трения. Из формул (13) и (10) следует, что
2 f 1+ f 2
.
η = 1+
1+ 2 f 2
3
1,5
1,0
1
0,5
2
0,0
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
f
Из данных, представленных на рис. 3, видно,
Рис. 3. Влияние коэффициента межчастичного трения
что диапазон изменения коэффициента бокового
на значения ξ max (1), ξ min (2) и η = ξ max (3)
давления весьма значителен и его необходимо
ξ min
учитывать.
Промежуточный случай — коэффициент внешнего трения µ меньше коэффициента межчастичного трения f .
С учетом формул (6) и (7) для текущего значения коэффициента бокового давления можно
записать
ξ = ξтек =
OM 2 OA − R cos λ 1 − sin ϕ cos λ
.
=
=
ON 2 OA + R cos λ 1 + sin ϕ cos λ
493
(14)
В. В. БАРСУКОВ, Б. КРУПИЧ, В. Г. БАРСУКОВ
Выразим тригонометрические функции углов λ и ψ через коэффициенты внешнего трения µ и
внутреннего трения f.
Из рис. 2 видно, что OM 2 tgψ = R sin λ , где OM 2 = OA − AM 2 = OA − R cos λ .
Тогда
 p + q − p + q sin ϕ cos λ  tgψ = p + q sin ϕ sin λ


2
2
 2

или
(1 − sin ϕ cos λ ) tgψ = sin ϕ sin λ.
Поскольку sin ϕ =
f
1+ f 2
(15)
, а tgψ = µ , то формула (15) преобразовывается к виду


f
f
1 −
cos λ µ =
1 − cos2 λ .
2
2


1+ f
1+ f


(16)
Возведя обе части уравнения (16) в квадрат и решив его относительно cos λ , после преобразований получаем
cos λ1,2 =
µ2 1 + f 2 ± f 2 − µ2
.
f (1 + µ 2 )
(17)
Проанализируем полученное решение.
Функция будет определена в случае, если выражение над знаком радикала будет положительным, т. е. µ ≤ f .
Такое же условие должно выполняться и с физических позиций, поскольку в противном случае
(превышение внешнего трения над внутренним) сдвиг будет реализовываться на площадках
действия внешнего трения с возможностью прилипания материала к стенкам формы.
Для выбора действительного и побочного решений учтем, что, как видно из рис. 2 и 4, б, при
положительных значениях µ и ψ cos λ должен быть положительным.
Область определения cos λ изображена в виде заштрихованного участка на рис. 4, а.
Расчетные значения cosλ 1 и cosλ 2 приведены в таблице, из которой видно, что побочным
является решение cosλ 2 .
Принимая в качестве искомого решение со знаком плюс в формуле (17), для произведения
sin ϕ cos λ1 , входящего в формулу (14), с учетом значения sin ϕ из формулы (9) запишем
sin ϕ cos λ =
f 2 − µ2
µ2
.
+
2
1+ µ
(1 + µ 2 ) 1 + f 2
Тогда значение коэффициента бокового давления, учитывающее действие внешнего и внутреннего трения, может быть вычислено из следующей зависимости:
ξ=
1+ f 2 −
(1 + 2µ )
2
f 2 − µ2
1+ f 2 +
f 2 − µ2
.
(18)
Результаты расчета коэффициента бокового давления для различных сочетаний коэффициентов внешнего µ и внутреннего f трения приведены на рис. 5.
Из данных рис. 5 видно, что учет внешнего трения приводит к повышению точности расчетов
коэффициента бокового давления в хрупких дисперсных материалах, которое оказывается
существенным при высоких значениях коэффициента внешнего трения µ , приближающихся к
значению коэффициента межчастичного трения f .
494
ТРИБОМЕХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
a
б
Рис. 4. Графическое изображение корней решения уравнения (18): а — диапазон изменения значений cos λ1 и cos λ2;
б — расположение углов λ1 и λ2 на круговой диаграмме напряжений Мора
Результаты расчета значений cos λ
f
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
µ = 0,2f
cos λ2
µ = 0,4f
µ = 0,8f
µ = 0,2f
cos λ1
µ = 0,4f
µ = 0,8f
–0,97539
–0,97009
–0,96380
–0,95644
–0,94796
–0,93830
–0,92744
–0,91538
–0,90213
–0,88772
–0,89900
–0,87826
–0,85410
–0,82643
–0,79261
–0,76074
–0,72311
–0,68269
–0,63986
–0,59504
–0,53227
–0,45775
–0,37779
–0,29416
–0,20882
–0,12369
–0,04046
0,039501
0,115206
0,186035
0,983422
0,986376
0,988765
0,990688
0,992234
0,993478
0,994482
0,995296
0,995960
0,996504
0,931105
0,943113
0,952907
0,960848
0,967267
0,972456
0,976659
0,980075
0,982868
0,985163
0,660095
0,712300
0,756859
0,794376
0,825665
0,851607
0,873062
0,890806
0,905512
0,917742
Заключение. Разработана методика расчета коэффициента бокового давления в хрупких
дисперсных материалах, учитывающая совместное влияние межчастичного и внешнего трения.
Результаты выполненных исследований показывают, что наличие внешнего трения приводит к
увеличению коэффициента бокового давления таких материалов.
Обозначения
Е — модуль упругости; f — коэффициент межчастичного трения; р — осевое давление; q — боковое давление; η — отношение максимального значения коэффициента бокового давления к
минимальному; ϕ — угол межчастичного трения; λ и β — вспомогательные углы в круге напряжений Мора; µ — коэффициент внешнего трения; ν — коэффициент Пуассона; ξ — коэффициент бокового давления; εr — радиальная деформация; ψ — угол внешнего трения.
Литература
1. Спиглазов А. В., Ставров В. П. Закономерности трения композиций “полипропилен — древесные частицы” в состоянии переработки // Трение и износ. — 2003 (24), № 4, 425—428
495
В. В. БАРСУКОВ, Б. КРУПИЧ, В. Г. БАРСУКОВ
a
б
в
Рис. 5. Влияние коэффициентов межчастичного трения (а), внешнего трения (б) и их отношения (в) на коэффициент
бокового давления хрупких дисперсных материалов: 1 — µ = 0,2f; 2 — µ = 0,4f; 3 — µ = 0,8f; 4 — µ = 0; 5 — µ = f
2. Briscoe B. J. and Adams M. J. Tribology in Particulate Technology. — Bristol and Philadelphia: Adam Higler. — 1987
3. Smith G. N. Elements of Soil Mechanics for Civil and Mining Engineers. — London—Granada. —
1982
4. Барсуков В. Г., Крупич Б. Трибомеханика дисперсных материалов. Технологические приложения. — Гродно: ГрГУ. — 2004
5. Heift R. Cisnieniowa aglomeracja materialow roslinnych. — Bialystok: Politechnika Bialostocka,
Instytut technologii eksploatacji w Radomiu. — 2002
6. Беркович И. И. Фрикционное взаимодействие дисперсных материалов с твердой поверхностью // Трение и износ. — 1995 (16), № 6, 1079—1117
7. Briscoe B. J. The Interfacial Friction of Compacted Maize Powder // J. Phys. D: Appl. Phys. —
1985, no. 18, 1069—1085
8. Mathia T. and Louis F. Powder Mechanics in Tribology // Powder Technology. — 1984, no. 37,
155—167
9. Thornton C. Computer-Simulated Experiments on Particulate Materials // In “Tribology in Particulate Technology” / Ed. B. J. Briscoe and M. J. Adams. — Bristol and Philadelphia: Adam Higler. —
1987, 292—302
10. Буркин С. П., Бекетов А. Р., Обабков Н. В. и др. Определение коэффициентов трения при
прессовании порошков тугоплавких металлов // Трение и износ. — 2009 (30), № 2, 122—131
11. Гольдштейн М. Н., Царьков А. А., Черкасов И. И. Механика грунтов, основания и фундаменты. — М.: Транспорт. — 1981
12. Зенков Р. Л. Механика насыпных грузов. — М.: Машиностроение. — 1964
13. Клячко Л. И., Уманский А. М., Бобров В. Н. Оборудование и оснастка для формования порошковых материалов. — М.: Металлургия. — 1986
496
ТРИБОМЕХАНИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
14. Коликов А. П., Полухин П. И., Крупин А. В. и др. Новые процессы деформации металлов и
сплавов: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высшая школа. — 1986
15. Роман О. В., Габриэлов И. П. Справочник по порошковой металлургии: порошки, материалы,
процессы. — Минск: Беларусь. — 1988
16. Шаповалов В. М., Барсуков В. Г., Купчинов Б. И. Технология переработки высоконаполненных композитов / Под общ. ред. Ю. М. Плескачевского. — Гомель: ИММС НАНБ. — 2000
17. Кипарисов С. С., Падалко О. М. Оборудование предприятий порошковой металлургии: Учебник для вузов. — М.: Металлургия. — 1988
18. Барсуков В. В., Крупич Б. Влияние межчастичного трения на условия сдвигового деформирования пресс-порошков и пресс-волокнитов // Материалы, технологии, инструменты. 2003
(8), № 4, 16—19
19. Page N. M., Yousuff M., and Wauchope C. I. Interparticle Friction in Granular Ceramic Materials //
Nat. Conf. Publ. / Inst. Eng. Austal. — 1992-92/7, 267—271
20. Demianiuk L. Stanowisko do rejestracji sił występujących podczas brykietowania w komorze
zamkniętej // VII konferencja naukowo-techniczna, budowa i eksploatacja maszyn przemysłu
spożywczego. — Białystok-Białowieża. — 1998, 67—74
Поступила в редакцию 27.04.11.
Barsukov V. V., Krupich B., and Barsukov V. G. The Tribomechanical Method of Calculation of Lateral Pressure Coefficient by Dispersed Crisp materials.
The method of calculation of lateral pressure coefficient by dispersed crisp materials for combined action of interparticulate and
external (wall) friction is developed. The variation range for this coefficient in dependence at relationship for interparticulate and external (wall) friction is determinate.
Keywords: , reliability.
497