ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 11

ЧАСТЬ 6
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Лекция 11
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести
классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы
двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.
Понятие о функции случайной величины
Среди практических приложений теории вероятностей особое место
занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или
числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства
поступает случайное воздействие X ; устройство подвергает воздействие
и на выходе дает
X некоторому функциональному преобразованию
(X ) (см. рис. 6.1). Нам известен закон распреслучайную величину Y
деления случайной величины X , и требуется найти закон распределения
и/или числовые характеристики случайной величины Y .
X
X1
X2
Y
Y

Xn
X1
X2
Y1
Y2

Xn

Yn
Рис. 6.1. Функции случайных величин
Можно выделить три основные возникающие задачи:
1. Зная закон
распределения случайной величины X (или случайного

вектора X ( X 1 , X 2 ,, X n ) ), найти закон распределения выходной
случайной величины Y

( X ) (или Y
97
( X 1 , X 2 ,, X n ) ).
2. Зная закон распределения случайной величины X , найти только числовые характеристики выходной случайной величины.
3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины X , а достаточно знать только его
числовые характеристики.
Рассматриваем случайную величину Y , зависящую функционально
от случайной величины X , т. е. Y
( X ) . Пусть случайная величина
X дискретна и известен ее ряд распределения:
, x1
Х:
p1
…
x2
p2
…
xi
pi
…
…
xn
pn
,
n
где pi
P{ X
xi }, (i 1,2);
pi
1.
i 1
При подаче на вход значения случайной величины X xi на выходе
получим Y yi
( xi ) с вероятностью pi . И так для всех возможных
значений случайной величины X . Таким образом, получаем табл. 6.1.
Таблица 6.1
( x1 )
p1
( x2 )
p2
…
…
( xi )
pi
…
…
( xn )
pn
Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины Y , так как значения в верхней строке таблицы
могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые ( xi )
могут даже совпадать.
Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины Y необходимо упорядочить возможные значения yi
( xi ) по возрастанию, а вероятности совпадающих значений ( xi ) нужно сложить.
Для нахождения числовых характеристик случайной величины Y
преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их
можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величины Y на их вероятности,
получаем
n
my
M [Y ]
M [ ( X )]
( xi ) pi .
i 1
98
(6.1)
Таким образом, зная только закон распределения аргумента X , можно
найти математическое ожидание функции случайной величины.
Аналогично находим дисперсию случайной величины Y :
DY
M [Y 2 ] M [(Y
n
mY ) 2 ]
( ( xi ) mY ) 2 pi .
i 1
Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых
порядков случайной величины Y
(X ) :
n
s
n
[ ( xi )]s pi ;
(Y )
s
[ ( xi ) mY ]s pi .
(Y )
i 1
i 1
Для непрерывной случайной величины X , имеющей плотность распределения f (x) , получаем
mY
M [Y ]
DY
M [Y 2 ]
s
(Y )
M [ ( X )]
( x) f ( x)dx ;
( ( x) mY ) 2 f ( x)dx ;
[ ( x)]s f ( x)dx ;
s
[ ( x) mY ]s f ( x)dx .
(Y )
Видим, что для нахождения числовых характеристик функции ( X )
вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона
распределения аргумента X .
Теоремы о числовых характеристиках
функций случайных величин
В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных

( X 1 , X 2 , , X n ) можно определить как функции числовых
величин Y

характеристик системы случайных величин X ( X 1 , X 2 , , X n ) . В этом
случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения f ( x1, x2 , , xn ) , а достаточно
иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин.
Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:
99
1. M [C ]
3. M [CX ]
C,
CM [ X ] ,
2. D[C ] 0 ,
4. D[CX ] C 2 D[ X ] ,
где C – неслучайная величина.
5. M [ X1 X 2 ] M [ X1 ] M [ X 2 ] для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.
6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин X1, X 2 , , X n равно той же линейной функции от математических
ожиданий рассматриваемых случайных величин:
n
M [a0
n
ai X i ] a0
i 1
ai M [ X i ] .
i 1
7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы Kij этих случайных величин
n
D[
n
n
Xi ]
i 1
Kij .
i 1 j 1
Так как корреляционная матрица K ij симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу
перепишем в виде
n
D[
n
Xi ]
i 1
D[ X i ] 2
i 1
K ij .
i j
Если случайные величины X1, X 2 , , X n не коррелированы, то справедлива теорема о сложении дисперсий:
n
D[
n
Xi ]
i 1
D[ X i ] .
i 1
8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по
формуле
n
D[a0
n
ai2 D[ X i ] 2
ai X i ]
i 1
i 1
ai a j Kij .
i j
100
9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация
M [ X1 X 2 ] M [ X1]M [ X 2 ] K12 .
Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий
M [ X1 X 2 ] M [ X1 ]M [ X 2 ] .
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин X1, X 2 ,
, X n выражается формулой
n
D
n
Xi
i 1
n
( Di
mi2 )
n
mi2
i 1
i 1
n
mi2
2i
i 1
i 1
Если случайные величины X1, X 2 , , X n независимые и центрированные, получаем
n
D
i 1
X i
n
D[ X i ] .
i 1
Закон распределения функции случайного аргумента
Есть непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f (x) , связанная со случайной величиной Y функциональной зависимостью Y
( X ) . Требуется найти закон распределения случайной
величиной Y .
Рассмотрим случай, когда
( X ) строго монотонна, непрерывна и
дифференцируема на интервале ( a, b) всех возможных значений случайной величиной X .
Функция распределения G ( y ) случайной величины Y по определению есть G ( y ) P{Y y} . Если функция (x) монотонно возрастает на
участке всех возможных значений случайной величиной X , то событие
{Y
y} эквивалентно событию { X
101
1
( y )} , где
1
( y ) есть функция,
обратная функции
(x) . Когда
y
случайная величина X принимает
значения на участке ( a, b) , то
случайная точка ( X , Y ) перемещается по кривой y
(x) (ор-
Y
y
дината полностью определяется
абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности (x) следует
монотонность
1
1
x
a


x
1
( y)
x
b
( y)
Рис. 6.2. Функция случайного аргумента
( y ) , и поэтому
функцию распределения случайной величиной Y можно записать следующим образом:
1
G( y)
P{Y
y}
1
P{ X
( y )}
P{a
X
1
( y)
f ( x ) dx .
( y )}
a
Дифференцируя это выражение по y , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величиной Y в виде
g ( y)
dG( y )
dy
1
f(
( y ))
d
1
( y)
dy
f(
1
( y ))(
1
( y )) .
(6.2)
Если функция
(x) на участке ( a, b) возможных значений случай-
ной величиной X монотонно убывает, то, проведя аналогичные выкладки, получаем
g ( y)
f(
1
( y)) (
1
( y)) .
(6.3)
Диапазон возможных значений случайной величиной X может быть
в выражениях (6.2) и (6.3) от
до
.
Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то
формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну
g ( y)
f(
1
( y )) (
1
( y )) .
102
(6.4)
Пример. Пусть функция случайной величины
( X ) является линей-
ной, т. е. Y aX b , где a 0 . Непрерывная случайная величина X
имеет плотность распределения f (x) , и тогда, используя выражение
(6.4), найдем закон распределения g ( y ) , учитывая, что обратная функция
есть
1
y b
, а модуль ее производной равен (
a
( y)
g ( y)
1
( y ))
1
a
y b 1
.
a
a
f
,
(6.5)
Если случайная величина X имеет нормальное распределение
1
f ( x)
( x mX ) 2
exp
2
2
X
,
2
X
то согласно (6.5) получаем
1
g ( y)
2
X
1
2
X
a
a
exp
2
y b
a
2
mX
2
X
( y (amX b))2
.
2 2
2 Xa
exp
Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим
ожиданием mY
ным отклонением
amX
Y
b , дисперсией DY
a
X
a2
2
X
и средним квадратич-
.
В результате линейного преобразования нормально распределенной
случайной величины X получаем случайную величину Y , также распределенную по нормальному закону.
103
Закон распределения суммы двух случайных величин.
Композиция законов распределения
Имеем систему двух непрерывных случайных величин ( X1 , X 2 ) и их
сумму – случайную величину Y X1 X 2 . Необходимо найти закон распределения случайной величины Y , если известна совместная плотность
распределения системы f ( x1, x2 ) .
Функция распределения G( y) P{Y y} P{X1 X 2 y} – это
площадь области D ( y ) на плоскости x1 0 x2 , где выполняется неравенство
X1 X 2 y (см. рис. 6.3), т. е.
y x1
G( y)
f ( x1 , x2 )dx1dx2
f ( x1 , x2 )dx2 dx1 .
D( y)
Продифференцировав это выражение по y , получаем плотность распределения вероятности случайной велиx2
чины Y X1 X 2
g ( y)
f ( x1 , y
x1 )dx1 .
y
D(y)
x1
Учитывая симметрию слагаемых,
можно записать аналогичное соотношение
g ( y)
Рис. 6.3. Закон распределения суммы
случайных величин
f (y
x2 , x2 )dx2 .
Если случайные величины X1 и
X 2 независимы, т. е. выполняется равенство f ( x1, x2 )
две последние формулы примут вид:
f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) , то
g ( y)
f1 ( x1 ) f 2 ( y x1 )dx1 ;
(6.6)
g ( y)
f1 ( y x2 ) f 2 ( x2 )dx2 .
(6.7)
104
В том случае, когда складываются независимые случайные величины
X1 и X 2 , то говорят о композиции законов распределения. Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная
запись: g f1 f 2 .
Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при
композиции законов распределения этого типа получается снова тот же
закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две
независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.