Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 268–275

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 268–275
Науки о земле
УДК 669.187
Оценка эффективности методов
линеаризации нелинейного уравнения
фильтрации идеального газа при выделении
газовой смеси из выработанного
пространства
Н. М. Качурин, О. А. Афанасьев
Аннотация. Рассмотрены методы линеаризации Лейбензона
Л.С., Чарного И.А. для нелинейного уравнения фильтрации
идеального газа. Получены различные меры близости линеаризованных
методов с точным решением.
Ключевые слова: нелинейное уравнение, методы линеаризации,
точное решение, меры близости.
Шахты России — одни из первых в мире по количеству смертей горняков.
По данным МЧС, только в период с 2001 по 2010 гг. на шахтах РФ произошли
сотни аварии, большинство из которых из-за взрыва метана. Поэтому, все
задачи, так или иначе связанные с прогнозом газовыделений в шахтах,
являются актуальными.
Данная статья посвящена оценке эффективности методов линеаризации
нелинейного уравнения фильтрации газа из выработанного пространства,
определения мер близости между решениями точным и приближенными
методами, выработка рекомендаций по типам выбранных линеаризованных
решений задачи.
Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны
основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком
Л.С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения
неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси.
При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости
и проницаемости не изменяются с давлением, вязкость газа также не
зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа происходит при
неизменных во времени температурах (изотермический закон).
Дифференциальное
уравнения
неустановившейся
фильтрации
совершенного газа (полубесконечный стержень) называется уравнением
Оценка эффективности методов линеаризации нелинейного уравнения фильтрации 269
Лейбензона и имеет вид [1], [2]:
k
2ηm
µ
∂2P 2
∂x2
¶
=
∂P
,
∂t
(1)
где коэффициенты проницаемости и вязкости постоянны. Положим: k = 10−9
м2 , µ = 18, 6 · 10−6 Па·с, P0 = 105 Па, m = 0.1, r = 0.6 Па/с, 0 6 t 6 86400 c,
k
.
0 6 x 6 1000 м, a = 2µm
Существуют различные способы линеаризации уравнения (1). Лейбензон
предложил заменить переменное давление P в коэффициенте уравнения (1)
на постоянное давление Pa , равное начальному давлению в выработанном
пространстве. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент
в уравнении при различных значениях давления принимается константой,
называется линеаризацией по Лей6ензону. К линейному уравнению
применим весь хорошо разработанный аппарат теории теплопроводности (и
теории упругого режима) [3], [4].
Зададим закон изменения давления на границе выработанного
пространства, который имеет вид (Pa − rt), где Pa = 105 Па, r — параметр
изменения давления, t — время.
Линеаризация по Лейбензону Л.С.
Уравнение (1) можно записать следующим образом:
µ
¶
kP ∂ 2 P 2
∂P 2
=
,
∂t
ηm
∂x2
(2)
Лейбензон предложил заменить переменное давление P в коэффициенте
уравнения (2) на постоянное давление Pa , равное начальному давлению в
a
пласте. Тогда, обозначив K 2 = kP
ηm получим вместо уравнения (2) уравнение
вида уравнения теплопроводности, аналитическое решение которого хорошо
известно [5]. Произведем замену P 2 = Q. Тогда система примет вид:

∂Q
2 ∂2Q

 ∂t = K ∂x2
(3)
Q(0, x) = Pa2


2
Q(t, 0) = (Pa − rt)
Решения (2) являются приближенными, так как получены в результате
интегрирования линеаризованного уравнения, а не точного.
Линеаризация по Чарному И.А.
Предлагаемый Чарным И.А. [6], [7] метод линеаризации заключается в
следующим: уравнение состояния ρ = ρ(P ) в некотором интервале может
быть аппроксимировано экспоненциальной кривой зависимостью.
270
Н. М. Качурин, О. А. Афанасьев
Такая
аппроксимация
эквивалентна
осреднению
нелинейного
коэффициента в уравнении Лейбензона по его среднелогарифмическому
значению.
Таким образом, исходная задача сводится к решению следующей:

∂ρ
kα ∂ 2 ρ


 ∂t = ηm ∂x2
ρ(0, x) = ρa
³
´


ρ(t, 0) = βρ0 exp r(tmax −t)
α
Т.о., опять получили уравнение вида уравнения теплопроводности. За
расчетную зависимость плотности от давления берется уравнение:
µ
¶
P − P0
ρ = βρ0 exp
,
α
где
1
α = (P1 − P0 )(ln(P1 P0−1 ))−1 , β = (P1 + P1 )(P1 − P0 )−1 ln(P1 P0−1 ).
2
Точное решение
Одним из эффективных путей точного решения уравнения Лейбензона
являются автомодельные решения, предложенные Баренблаттом [3], [4].
Автомодельные решения служат эталоном точности приближенных методов
линеаризации, и в этом их большое принципиальное значение. Имеем:

∂P
∂2P 2

 ∂t = a ∂x2
(4)
P (0, x) = Pa

P ( t, 0) = (P − rt)
a
И. Баренблаттом показано, что давление зависит от некоторого единого
комплекса, включающего в себя обе переменные x и t, а дифференциальное
уравнение в частных производных приводится к обыкновенному
дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы
установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ
размерностей.
Распределение давления в выработанном пространстве зависит, как
следует из постановки задачи, от определяющих параметров
[x] = L,
[t] = T,
[a] = [P ]−1 L2 T −1 ,
[r] = [P ]T −1 .
Из аргументов, от которых зависит давление, составим безразмерную
комбинацию
r
1
r
,
ε=x
a (Pa − rt)
Тогда в силу π-теоремы анализа размерностей выражение для
распределения давления можно представить в виде произведения
Оценка эффективности методов линеаризации нелинейного уравнения фильтрации 271
комбинации определяющих параметров на безразмерную функцию от
безразмерных комбинаций. Имеем:
P (x, t) = (Pa − rt)f (ε),
(5)
∂P
∂f
=r·ε·
− r · f,
∂t
∂ε
∂2P 2
r d2 f 2
=
.
∂x2
a dε2
Подставляя данные выражения в (2), получим:
d2 f 2
df
−ε
+f =0
dε2
dε
— получили обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решаем
численно.
Таким образом, решение (4) находим, использую выражение (5) на всей
области изменения параметров t и x.
Рис. 1. Точное решение
Рассмотрим наглядно результаты расчетов всех трех методов решения
исходной задачи при значении координаты, например x = 800 м, t ∈ [0, 86400]
с.
Расчет меры близости между точным и приближенными
методами решения
Показательной характеристикой сравнения
приближенными является мера близости [8],
точного решения с
используя процедуру
272
Н. М. Качурин, О. А. Афанасьев
Рис. 2. Графики значений давления при x = 800 м
дискретного вейвлет анализа. В частности, такие меры близости
можно рассчитать для расчетных значений давления между точным
и приближенным методом при фиксированных значениях координаты
xi . В этом случае, значения давления представимы в виде дискретного
временного ряда.
Меры близости
определяются как M S(x, y) = cos a,
¯
¯
¯ P
¯
¯
(x)
(y) ¯
(x)
(y)
где cos α = ¯
a · a ¯, где aj,n , aj,n — вейвлет коэффициенты
¯(j,n)∈S j,n j,n ¯
соответствующих рядов. M S ∈ [0, 1]. При использовании меры M S, большей
близости будет соответствовать большее значение меры.
Результаты расчетов мер близости приведены в таблице:
Таблица 1
Значения мер близости
Метод
линеаризации
Лейбензон
Чарный
Значения координаты x, метры
200м
400м
600м
800м
1000м
0,999993559 0,999981392 0,999971608 0,999967755 0,999970242
0,999997841 0,999996915 0,999999022 0,99999906 0,999990539
Рассмотренная мера близости M S характеризует, насколько сильна
нелинейная зависимость между рассматриваемыми временными рядами
(другими словами, показывает, насколько колебания временных рядов
по отношению к их линейным трендам схожи). Данная характеристика
является мерой силы и направленности связи между сравниваемыми
временными рядами и, чем он ближе к единице, тем более схоже поведение
этих рядов, а следовательно, и решений исходной задачи.
Оценка эффективности методов линеаризации нелинейного уравнения фильтрации 273
Расчет несовпадений между точным и приближенными
методами решения задачи
Коэффициент (индекс) Тейла [8], [9]. E(X, Y ) измеряет несовпадение
временных рядов X и Y и чем ближе он к нулю, тем ближе сравниваемые
ряды. Для удобства проведения расчетов, вместо коэффициента Тейла будем
использовать коэффициент близости U (X, Y ) = 1 − E(X, Y ), U ∈ [0, 1]. Чем
выше он (чем ближе он к единице), тем более близки ряды.
v P
u
(Xt − Yt )2
u
u t
U (X, Y ) = 1 − t P 2 P 2 ,
(6)
Xt − Y t
t
t
где X — точное решение, а Y — одно из линеаризованных, при
фиксированных значениях координаты xi .
Результаты расчетов приведены в таблице:
Таблица 2
Значения коэффициентов близости
Методы
линеаризации
Лейбензон
Чарный
Значения координаты x, метры
200м
400м
600м
800м
1000м
0,987700489 0,981914865 0,980495868 0,98259778 0,986410864
0,994474806 0,996168423 0,988639674 0,975905044 0,96277644
Таким образом, можно сделать вывод о том, что рассмотренные
методы линеаризации вполне допустимы, однако их решения оказываются
различными как относительно друг друга, так и по отношению к решению
точным методом. На разных удалениях от границе степень близости решений
линеаризованными методами к решению точным методом так же различны
и варьируются по мере удаления от границе.
Анализируя результаты, полученные при проведении анализа меры
близости решений, а также расчета несовпадений, между линеаризованными
методами решения исходной задачи с точным решением, можно сделать
вывод:
— на небольших удалениях от границы (800–900 метров) метод
линеаризации, предложенный Чарным, дает намного более лучший
результат относительно метода, предложенный Лейбензоном, в плане
того, что получаемые расчетные значения имеют схожие колебания по
отношению к их линейным трендам. Применение метода линеаризации
Чарного может дать возможность более точно рассчитывать динамические
характеристики, например скорость фильтрационного потока. Также на
удалениях от границы приблизительно до 700 метров применение метода
274
Н. М. Качурин, О. А. Афанасьев
линеаризации Чарного может дать возможность более точно рассчитывать
значения функции P (x, t) внутри выработанного пространства.
— однако, при значительно больших значениях координаты x, метод
линеаризации Чарного немного теряет свои позиции, в то время как метод
Лейбензона напротив, начинает все лучше приближать решение к точному.
Список литературы
1. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.II. Подземная гидрогазодинамика. М.: Изд.
Академии Наук СССР, 1953. С.107–110.
2. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде.
М.-Л.: ОГИЗ-ГОСТЕХИЗДАТ, 1947. 244 с.
3. Бареблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной
фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.
4. Баренблатт Г.И. О приближенном решении задач одномерной нестационарной
фильтрации в пористой среда // Прикладная математика и механика. 1954.
Т.XVIII, №3. С.351–370.
5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных
производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710 с.
6. Чарный И.А. О методах линеаризации нелинейных уравнений теплопроводности //
Изв. АН СССР. ОТН. 1951. №6. С.829–838.
7. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. М.: Гостехиздат, 1948. 378 с.
8. Оленев Н.Н. Основы параллельного программирования в системе MPI. М.: ВЦ
РАН. 2005. 80 c.
9. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика, 1971.
488 с.
Качурин Николай Михайлович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой,
кафедра геотехнологии и строительства подземных сооружений, Тульский
государственный университет.
Афанасьев Олег Александрович (leader-express@tula.net), аспирант,
кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный
университет.
Оценка эффективности методов линеаризации нелинейного уравнения фильтрации 275
Estimation of efficiency of linearization metods for the nonlinear
equation of the filtration the ideal gas in the time of the
allocation the gas mix from a developed space
N. M. Kachurin, O. A. Afanasiev
Abstract. The Leibenson L.S., Charny I.A methods of linearization for the
nonlinear equation of filtering the ideal gas are performed. Various measures of
closeness of the linearized methods with the exact solution were obtained.
Keywords: nonlinear equation, linearization techniques, the exact solution, a
measure of closeness.
Kachurin Nikolay, doctor of technical sciences, professor, head of department,
department of geotechnology and underground structure construction, Tula State
University.
Afanasiev Oleg (leader-express@tula.net), postgraduate student, department
of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 15.09.2011