Полностью консервативные разностные схемы

Научные
953
сообщения
У Д К 518:517.944/.947
ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНЫЕ
Ю. П.
ПОПОВ,
А. А.
РАЗНОСТНЫЕ
СХЕМЫ
САМАРСКИЙ
(Москва)
1. Система уравнений газовой динамики выражает три закона сохранения — м а с ­
сы, импульса и |энергии.
При численном расчете газодинамических задач методом конечных разностей
система дифференциальных уравнений аппроксимируется разностной схемой, ч т о
эквивалентно введению вместо непрерывной среды некоторой ее дискретной модели.
Эта модель должна отражать основные свойства среды. Поэтому естественно, требо­
вать, чтобы в ней в первую очередь выполнялись соответствующие разностные ана­
логи законов сохранения, т. е. чтобы разностная схема была консервативной. На в а ж ­
ность этого обстоятельства в начале 50-х годов обратили внимание А. Н. Тихонов и
А. А. Самарский. Построен пример [*], когда неконсервативная разностная схема,,
и м е ю щ а я второй порядок аппроксимации на гладких решениях, расходится в случаеразрывного р е ш е н и я дифференциального уравнения.
Обычно считается, что д л я получения консервативной разностной схемы доста­
точно аппроксимировать три основных закона сохранения (баланса) (см. [ > ], гл. I I I
книги i[ ], где дан обзор работ по численным методам газодинамики).
Однако здесь существует один принципиальный момент.
В системе (уравнений газовой динамики уравнение энергии может быть записано»
в одном и з д в у х видов — дивергентном и недивергентном. В дифференциальной
форме эти виды полиостью эквивалентны и с помощью остальных уравнений диф­
ференциальной системы могут быть преобразованы д р у г в друга. Поэтому д л я систе­
мы уравнений газовой динамики в . дифференциальной форме одновременно спра­
ведливы и следуют друг и з друга к а к закон сохранения полной энергии, так и ба­
ланс в н у т р е н н е й энергии.
Д л я системы разностных уравнений положение иное. Недивергентное разностное
уравнение энергии, вообще говоря, не может быть с использованием остальных
разностных уравнений сведено к дивергентному разностному виду. В ходе преобра­
зования из-за '«рассогласованности» отдельных уравнений схемы появляются остаточ­
ные члены, приводящие к нарушению закона сохранения полной энергии.
Применение разностной схемы с дивергентным уравнением энергии приводит
к аналогичным д е ф е к т а м : при выполненном законе сохранения полной энергии ока­
зываются н а р у ш е н н ы м и балансы д л я отдельных видов энергии — внутренней и к и ­
нетической.
Величина (энергетических дисбалансов зависит от характера самого решения. На
гладких р е ш е н и я х она невелика и уменьшается с измельчением временного ш а г а
сетки. На силвноменяющихся р е ш е н и я х величина дисбаланса может стать сравнимой
с полной э н е р г и е й и существенно исказить характер рассчитываемого я в л е н и я .
Будем н а з ы в а т ь разностную схему полностью консервативной, если для нее
справедливы к а к законы сохранения массы, импульса, полной энергии, так и деталь­
н ы й баланс энергии, т. е. баланс по отдельным видам энергии — внутренней и кине­
тической.
;
В работе ^построены полностью консервативные разностные схемы д л я системы
уравнений газодинамики. Эти разностные схемы могут быть получены, например,
с помощью известного [ ] интегро-интерполяционного метода п р и соблюдении неко­
торого формального правила отбора. Это правило заключается в следующем: полно­
стью консервативные разностные схемы д о л ж н ы обладать тем ж е свойством, что и
система д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений, т. е. недивергентное разностное уравнение
энергии с использованием остальных разностных уравнений должно сводиться к ди­
вергентному разностному уравнению, и наоборот.
2
4
4
3
954
Ю. П. Попов,
А. А.
Самарский
Сильное влияние дисбаланса было отмечено при расчете системы магнитогидродинамическиу уравнений, где появляется еще один вид энергии — магнитной и где
д о л ж н о быть выполнено еще одно энергетическое балансное соотношение.
Однако, чтобы lie загромождать изложения, в работе п р и н ц и п и а л ь н а я сторона
вопроса рассматривается на простейшем примере — схеме «крест» д л я одномерной
газодинамики. По этой же причине рассуждения ограничены случаем равномерных
сеток *К
2. Система уравнений газовой динамики (для плоского одномерного нестацио­
нарного случая) в л а г р а н ж е в ы х массовых координатах имеет вид
ди
др
di
дг
дх'
дц
V
dt
'
ди
d t ~
дг
дх
dt
ди
Р
~
дх'
^
Обозначения:
t — время,
г — эйлерова
координата,
л—удельный
объем,
-я* (dx = T[- dr) — л а г р а н ж е в а массовая координата, р — давлеяие, г — в н у т р е н н я я
.энергия газа, v — скорость.
Разностная схема «крест» д л я системы (I) записывается следующим образом
I ; ] (схема ( I I ) ) :
X
5
6
Vi
— IV
Pi+u
x
Hi
г
— Гг
j+i
Щ
, .
3
=
z
J+ /
з+у
V)i + i/ ~Цг + 1/
2
.
2
2
2
=
.
2
2
(2.2)
—,
m
з+Ч
£
Sz + y — г + у
\
j+i
J+i
Vi+i — Vi
T
2
(2.1)
m
r
3+4 2
—Pi-tL
*
11
=
V
3+У2
= —Риу
(2.3)
i+i
J+i
U
i + i ~~ i
(2.4)
2
т
m
Схема (II) записана на равномерной сетке (я*, •£•>}, x
~ ;с -J- т, i = 0, 1, . . .
, . . , iV, P+i — ti -f. т, / = 0, 1, . . . , которая введена в рассматриваемой области про­
странства х, t. Значения сеточных ф у н к ц и й r^',
относятся к у з л а м сетки (х , ti),
~
5+Ъ
э+у
з+у
.
.....
значения сеточных функции р
, е,-+у , цг+у — к полуцелым точкам (x \/
Р+чг).
Разностные у р а в н е н и я (2.2), (2.3) эквивалентны очевидному с физической точки
з р е н и я соотношению
з+i
i + i
{
{
2
1 + 1/г
2
2
2
i+y
г1
2
{+
i+
—
тЬ-+у =-'
21
гз
{
»
2
(
2
-
5
)
т
которое гарантирует д л я схемы (II) выполнение разностного аналога закона сохра­
н е н и я массы. В расчетах равенство (2.5) часто используется вместо у р а в н е н и я нераз­
рывности д л я определения удельного объема.
Для разностной с?:емы (II) справедлив т а к ж е закон сохранения импульса, что
следует из дивергентного вида записи у р а в н е н и я д в и ж е н и я (2.1).
Уравнение энергии (2.4) я в л я е т с я недивергентным. Рассмотрим для схемы (II)
вопрос о сохранении полной энергии.
Будем пользоваться для удобства проведения выкладок для сеточных ф у н к ц и й
безындексными обозначениями [ ]
7
у\ = у,
У—У
у$:=у,
У\+\
• УР = У,
Уг
=
Уг
,(2.6)
Уг-\
=
У-,
•
Аналогичные вопросы рассматривали В. Я. Гольдин и Н. Е . Калиткин.
(2.7)
1
Научные
2
i
-yiUim
=1
,
=
(у,
и),
сообщения
^ y i U i i n
-
г =
==}у,
•
и),
9 5 5
2
Уг^гШ
=
[у,
и].
(2.8)
?=о
Р
Для разностного суммирования справедлива формула
[*/, и ] = —[ух, u]+]y u
х
N
—у _ щ .
N
(2.9)
л
В обозначениях (2.6), (2.7) схема (II) имеет более компактный вид (схема I I I ) :
v = - p - ,
(2.10)
r =v,
(2.11)
t
t
> = * Ц .
'
(2.12)
^ = _J^.
(2.13)
Используя обозначения (2.8). просуммируем по полуцелым точкам
э н е р г и и (2.13) и применим формулу (2.9):
•
[l ,
t
1) = — [р, v ]=[p-,--.v]
—p v
x
N
где под формально введенными величинами p
н и я в граничных у з л а х сетки.
уравнение
+ ~p_iv
N
(2.14)
0)
и р_\ понимаются з н а ч е н и я давле­
N
Из (2.10) после у м н о ж е н и я на v и суммирования по узлам следует
[v, v ] = - [~р-, v] = - [(P-О.Ъ
%p )-,
t
v] = — ["£_, v] + 0.5 т [ ^ . , » ] .
t
;
(2.15)
Подставляя (2.15) в (2.14) с учетом тождества
vv
t
= 0 . 5 ( ^ ) ^ + 0.5x1;^
(2.16)
и суммируя далее получающееся равенство по времени н а интервале [Р\,
прихо­
дам к разностному аналогу интегрального закона сохранения полной энергии
к
[ё> l)|j; + 0 . 5 [ ^ , l]|j-+-T 2 .{%v -p^iV }==^E
N
0
(2.17)
9
i=ii
.7*2
АЕ = 0.5x2 ^
1]}.
7
; tx
(2.18)
Отсюда видно, что этот закон н а р у ш а е т с я . Дисбаланс полной энергии АЕ н а к а п ­
л и в а е т с я со временем и на гладких р е ш е н и я х имеет порядок О (х).
При этом баланс внутренней энергии строго выполнен:
[8,
+
i ) = °>
что можно получить, суммируя по времени и пространству уравнение энергии (2.13).
Отметим, что величина АЕ не зависит от ш а г а сетки по массе т, поэтому измель­
чение пространственной сетки не приводит к заметному уменьшению дисбаланса.
Появление в схеме (III) дисбаланса полной энергии связано с недивергентностью
у р а в н е н и я энергии (2.13). Однако использование в схеме дивергентного у р а в н е н и я
энергии, например, в виде
7+
Г
2
2
0.25(г; + г>(+1) )* =
. v(+i)
=
Р* = 0 . 5 ( ^ + ' / +
2
pi-y )
2
приводит к подобным ж е трудностям. Конечно, закон сохранения полной энергии
956
K) П. Попов,
А. А.
s
Самарский
будет теперь выполнен, но н а р у ш и т с я баланс внутренней энергии, в чем нетрудно
убедиться, проводя выкладки,- подобные ('2.14) — (2.18). .
Несмотря на сохранение полной энергии, баланс внутренней, а следовательно,
и кинетической энергии по отдельности не соблюдается. Это означает, в частности,
что в схеме (III) плохо аппроксимируется температура. Последнее обстоятельство
может оказаться существенным, если, например, в рассчитываемой задаче присут­
ствуют процессы, сильно зависящие от температуры (электропроводность, теплопро­
водность и т. д.).
Наличие в разностной схеме энергетического дисбаланса можно трактовать к а к
присутствие в схеме некоторых источников и стоков энергии чисто разностного про­
исхождения. На гладких р е ш е н и я х «мощность» этих источников невелика и и х в л и я ­
ние на ход изучаемого процесса мало. Однако н а сильноменяю щи кся р е ш е н и я х инте­
гральный вклад этих фиктивных источников может стать сравнимым с полной энер­
гией и существенно исказить характер я в л е н и я .
Эффекты, связанные с дисбалансами, проявляются и д л я других разностных
схем, широко применяющихся д л я расчетов задач газовой динам п ш , ' например [ - ] .
3. Рассмотрим семейство разностных схем, аппроксимирующих систему уравне­
ний газовой динамики (I) (схема I V ) ) :
2
х
= — Р- \
1
(3.1)
X
(3.2)
r = У«Ч
t
\
3
{
(3.3)
z
v ° \
=
в, = = t £ 4
(3.4)
( ( Т )
+ L
Использовано обозначение /
= of + (1 — о)/, / = / ? , / = / | .
Все сеточныефункции берутся на одних и тех ж е временных слоях. Функции г, v по-прежнему
относятся к узлам сетки, /?, е, п — к полуцелым точкам.
Параметры 0 ^ a ^ 1, k —- 1, 2, 3, 4, суть весовые множители, п р и помощи к о ­
торых можно осуществить тот и л и иной вид интерполяции по времени д л я соответ­
ствующих членов разностных уравнений.
Исследуем вопрос, п р и к а к и х з н а ч е н и я х параметров Ok в схеме (IV) будут в ы ­
полняться разностные аналоги газодинамических законов сохранения.
A. З а к о н с о х р а н е н и я м а с с ы .
Продифференцируем разностно по х уравнение (3.2) и воспользуемся очевидным
соотношением
h
/<«) = / < « + ( р - а ) т Л .
Получим равенство
r
tx =
=
4
а з )
- f ( а — a ) xv
8
2
=
xi
т], +
(o — о )
8
а
%v
s:t4
из которого вытекает, что 'только при: условии о = о*2 справедлива формула ц —
= г , которая обеспечивает соблюдение закона сохранения массы.
Б. Выполнение з а к о н а с о х р а н е н и я и м п у л ь с а
следует непосредст­
венно и з дивергентного вида записи у р а в н е н и я д в и ж е н и я (3.1).
B. Д л я в ы я с н е н и я вопроса о з а к о н е с о х р а н е н и я п о л н о й
энергии
последовательно повторим выкладки, проведенные в п. 2:
3
х
[ , 1), = - [ ? < * > , v^)
8
= [p^\
№]-p№v№+pl*Vf'\
Из уравнения (3.1) после у м н о ж е н и я на
-
(
[p f
2
У
(ОГ
<)
vW] = |>(Ч u ] = 0 . 5 b , 1], t
И
(3.5)
суммирования по узлам имеем
(0.5 - 0 )
4
1].
(3.6)
• f
Научные
сообщения
957
Подставляй (3.6) в (3.5), получим для промежутка времени [th, Щ
баланс полной [энергии:
[е, 1) \]\ + 0.5 \v\ 1] | j ; +
2W
т
- •
-
=
Р^Ч^}
Д/?
следующий
зл
ь
< )
к
Дй = ( 0 . 5 - а ) ^ 2
И'
4
( 3
^
8 )
*
Таким образом, чтобы обеспечить в схеме (IV) строгое выполнение закона со­
х р а н е н и я полйой энергии, н у ж н о наложить требование о*4 = 0.5.
Кроме того, из самого процесса вывода (3.8) ясно, что и н т е р п о л я ц и я по време­
н и сеточной ф у н к ц и и д а в л е н и я в у р а в н е н и я х (3.1) и (3.4) д о л ж н а быть одинаковой.
В противном случае в (3.7) появится дополнительный дисбалансный член.
Г. Б а л а н с в н у т р е н н е й
энергии
соблюдается в силу * использования
в схеме (IV) недивергентного вида у р а в н е н и я энергии.
Будем называть разностную схему, аппроксимирующую систему уравнений га­
зовой динамики, полностью консервативной,, если д л я нее выполнены законы сохра­
н е н и я массы,! импульса, полной энергии, а т а к ж е д е т а л ь н ы й баланс энергии, т. е.
баланс для отдельных видов энергии — внутренней и кинетической.
Д л я того чтобы схема (IV) была полностью консервативной, достаточно выпол­
н е н и я условий
:
а = 0.5,
Оз = 02.
(3.9)
Т а к и м образом, существует двухпараметрическое семейство (со свободными па­
раметрами 01 j 02) полностью консервативных схем IV. Все эти схемы имеют аппро­
к с и м а ц и ю О (тг + го ).
Имеется только одна полностью консервативная схема второго порядка аппро­
ксимации по i и га. Она определяется условиями (3.9) и условиями
а
0.5,
02 = 0.5.
(3.10)
4
2
1 = =
4. Заменим в схеме IV при условии (3.9) последнее уравнение дивергентным
уравнением энергии
+ 0.25(i; + 17(4-1)*).» = - ( р ^ р(о.в))
2
8 f
X f
(
4
1
)
где использованы обозначения / ( + 1 ) = /i+i, /(—1) = / г - i ,
= 0.5(/?г+у + Р г - у ) .
Разностное уравнение (4.1) полностью эквивалентно разностному уравнению
(3.4) и можерг быть сведено к нему с помощью остальных уравнений схемы ( I V ) .
Действительно, у м н о ж а я (3.1) на у<°- >, имеем
2
2
5
, _
!
_
=
^(o.5) ^
=
о.5 г;|,
5
(4.2)
2
( + 1 ) г7<°- >.'(+1) == 0.5 v (+l) .
t
'
(4.3)
Б е р я полусумму равенств (4.2) и (4.3) и складывая ее с (4.1), получаем у р а в ­
нение (3.4). ;•
Нетрудно видеть, что схема (IV), где (3.4) заменено на (4.1), т а к ж е будет пол­
ностью консервативна *).
Формальное требование, предъявляемое к полностью консервативным схемам
д л я решения;! у р а в н е н и й газодинамики, состоит в том, чтобы недивергентное разност­
ное уравнение энергии с помощью остальных у р а в н е н и й схемы преобразовывалось
к дивергентному виду, и наоборот **>.
*) Аналогичная схема была получена В. Я. Гольдиным и Н. Н. К а л и т к и н ы м из
других соображений. К подобной ж е полностью консервативной схеме сводится при­
веденная в Р], стр. 426, схема, основанная на идее «предиктор-корректор». ( П р и м .
п р и корр.)
.........
*'*> Подобные соображения в ы с к а з ы в а л Харлоу применительно к методу частиц
в я ч е й к а х [ ].| (Л р и м. п р и к о р р . )
8
958
Ю. П. Попов,
А. А.
Самарский
Дивергентное уравнение (4.1) может быть получено с помощью интегро-интерполяционного метода [*]. Сущность этого метода состоит в том, чтс разностные у р а в н е ­
н и я строятся на основе интегральных соотношений, в ы р а ж а ю щ и х законы сохране­
н и я д л я элементарной ячейки сетки. При этом на сетке вводится определенная ин­
т е р п о л я ц и я искомого р е ш е н и я и коэффициентов у р а в н е н и я , м е н я я которую можнополучать различные разностные схемы.
Сформулированное выше формальное требование можно рассматривать к а к пра­
вило для отбора полностью консервативных схем из класса cxeiv:, д а в а е м ы х интегроинтерполяционным методом.
В частности, интегро-интерполяпионный метод позволяет построить еще д в а
дивергентных разностных у р а в н е н и я :
2
• (е + 0.5i; ) * = — (pW (—1)
{ &
+
(
0.5v(+iy) ==-(p(°Jv(0V) ,
t
4
4
>
(4.5)
x
которые эквивалентны (3.4).
Из эквивалентности (4.4) и (4.5) уравнению (3.4) вытекает любопытный факт:
у р а в н е н и я (4.4) и (4.5) имеют второй порядок аппроксимации по пространству0(т ),
в то в р е м я к а к отдельные члены этих уравнений аппроксимируются с пер­
в ы м порядком.
5. Для суждения о качестве разностных схем для уравнений г а з о д и н а м и к и
часто используют модельные у р а в н е н и я акустики. Заметим, чтс» эффекты, связан­
ные с неполной консервативностью схем, н е могут быть в ы я в л е н ы в этом прибли­
ж е н и и , так к а к в нем фактически отсутствует уравнение энергии.
Мы не останавливаемся на исследовании устойчивости полученных схем, т а к
к а к устойчивость этих схем очевидна в силу их неявности.
Авторы благодарны П. П. Волосевичу и С. П. Курдюмову ;;а полезные обсуж­
дения.
2
Поступила
в редакцию
25.03.196У
Ц и т и р о в а н н а я литература
1. А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Об однородных разностных схемах. Ж. в ы ­
числ. матем. и матем. физ., 1961, 1, № 1, 5—63.
2. С. К. Г о д у н о в . Разностный метод численного расчета р а з р ы в н ы х решений гид­
родинамики. Матем. сб., 1959, 47(89), 271—306.
3. В. Ф. К у р о п а т е н к о. О разностных методах для уравнений гидродинамики. Т р .
Матем. ин-та АН СССР, 1966, 74.
4. Б . Л . Р о ж д е с т в е н с к и й , Н. Н. Я н е н к о. Системы к в а з и л и н е й н ы х уравне­
ний. М., «Наука», 1968.
5. J. Von N e u m a n n , R. D. R i c h t m y e r . A method for n u m e r i c a l calculation of
h y d r o d y n a m i c shocks. J. Appl. Phys., 1949, 21, 232—237.
6. P. Д. Р и х т м а й е р . Разностные методы р е ш е н и я к р а е в ы х задач. М., Изд-во шт.
лит., 1960.
7. А. А. С а м а р с к и й. Априорные оценки д л я р е ш е н и я разностного аналога д и ф ­
ференциального у р а в н е н и я параболического типа. Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 1961, 1, № 3, 4 4 1 - 4 6 0 .
8. Ф. X. X а р л о у. Численный метод частиц в я ч е й к а х для зад^ч гидродинамики.
В об. «Вычисл. методы в гидродинамике». М., «Мир», 1967, 316—342.