Document 2030978

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №10
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Р.Акбаров, Н.Каримова
О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ
ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 04.09.2013 г.)
В статье исследуется линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка с
нагрузками и дополнительными условиями.
Ключевые слова: неоднородное линейное дифференциальное уравнение – нагрузка – дополнительные
условия.
В работе рассматривается неоднородное линейное дифференциальное уравнение (н.л.д.у.) nго порядка вида
n
L( y )  f ( x )  kk  x 
(1)
k 1
c дополнительными условиями типа
х
  x  y  x  dx  h ,
i
1
i
i  1, 2,, m.
(2)
х0
Здесь
L  y   y n  P1  x  y ( n1)  P2  x  y ( n2)  Pn1  x  y '  Pn  x  y
и
Pk  x  , f  x  , k  x  , i  x  
 a, b , hi i  1,2,, m 
– некоторые
(3)
заданные постоянные,
k  k  1,2,, n  – неизвестные параметры наряду с искомым решением у(x).
Уравнение
L( Z )  0
(4)
будем называть однородным линейным уравнением (о.л.у.) n-го порядка, соответствующим н.л.д.у.
(1).
Общее решение о.л.у. (4) даётся формулой
z  C1z1  C2 z2  Cn zn,
(5)
Адрес для корреспонденции: Акбаров Рахмат. 735360, Республика Таджикистан , г. Куляб, ул. С.Сафарова,
16, Кулябский государственный университет. E-mail: akbarov39@mail.ru
773
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №10
где z1 , z2  zn – некоторая фундаментальная система решений этого урав-нения, а C1 , C2 Cn –
произвольные постоянные.
Известно [1,2], что для нахождения общего решения н.л.д.у. (1) достаточно найти одно какоенибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего
о.л.у. (4).
Пусть y1 – какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда формула
n
y  y1  z  y1  Ck zk
(6)
k 1
даёт общее решение уравнения (1) в области
a  x  b,
y  , y '  ,, y ( n1)   .
(7)
Отметим, что знание фундаментальной системы z1 , z2  zn решений уравнений (4) даёт возможность найти и частное решение .
Частное решение будем искать методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных), то есть положим:
y  C1 ( x) z1  C2 ( x) z2  Cn ( x) zn ,
(8)
где C1  x  , C2  x  ,, Cn ( x) – дифференцируемые функции, подлежащие определению. Если подставим у , данное формулой (8), в (1), для нахождения C1  x  , , Cn ( x) получим одно уравнение.
Но мы имеем n-неизвестных C1  x  , , Cn ( x) . Поэтому как-то нужно это уравнение дополнить еще
какими-нибудь (n-1) уравнениями. Следуя Лагранжу, эти уравнения построим так.
Найдем у':
y '  C1  x  z1'  Cn  x  zn ' C1 '  x  z1  Cn '( x) zn .
(9)
Потребуем выполнения равенства
C1 '  x  z1  Cn '( x) zn =0
(10)
y ''  C1  x  z1''  C2  x  z2''  Cn  x  zn''  C1'  x  z1'  Cn'  x  zn' .
(11)
C1 '  x  z1 ' Cn '( x) zn ' =0.
(12)
C1 '  x  z1( к )  Cn '( x ) zn ( к )  0, к  0,1,, п  2,
(13)
После этого
Теперь полагаем
Продолжая так дальше, получим
774
Математика
Р.Акбаров, Н.Каримова
и
у ( к )  C1  x  z1( к )  Cn ( x) zn ( к ) , к  1,, п  1,
(14)
у ( n )  C1  x  z1( n )  Cn ( x) zn ( n ) + C1 '  x  z1( n1)  Cn '( x) zn ( n1) .
(15)
Подставляя эти значения y и у ( к ) из (8), (14) и (15) в уравнение (1), получим
C1L  z1   Cn L  zn   C1' ( x) z1( n1)  Cn'  x  zn n1 
n
 f ( x )   kk  x 
k 1
Так как L( zk )  0,
 k  1,2,, n  , то последнее равенство имеет вид
C1'  x  z1
n 1
  Cn'  x  zn 
n 1
n
 f ( x )  kk  x 
(16)
k 1
Равенства (13) и (16) являются n алгебраическими линейными неоднородными уравнениями с
n неизвестными C1'  x  ,, Cn'  x  .
Так как определитель системы (13) и (16) отличен от нуля (это определитель Вронского
W  x   W ( z1, z2 ,, zn )), то из неё однозначно определяются функции C1'  x  ,, Cn'  x  .
Имеем
Ck'  x  
Wnk ( x ) f ( x ) n Wnk ( x )k ( x )
 k
,
W ( x)
W ( x)
k 1
(17)
где Wnk ( x ) – алгебраическое дополнение элементов n-й строки определителя N(x). Все функции правой части (17) непрерывны в интервале (а, в). Из равенства (17) находим
n
W ( x) f ( x)
W ( x )k ( x )
Ck  x    nk
dx  k  nk
dx  Ck ,
W ( x)
W ( x)
k 1
x0
x0
x
x
(k  1,2,, n) , где Ck – произвольные постоянные, а x0 – любая точка из интервала (a, b).
Подставляя найденные значения функций Ck  x  в формулу (8), получим
n
n
W ( x) f ( x)
W ( x )k ( x )
y  x   zk  nk
dx  k zk  nk
dx  Ck zk
W ( x)
W ( x)
k 1
k 1
k 1
x0
x0
n
x
x
(18)
Полагая здесь C1  C2 ,,  Cn  0, получим (частное) решение н.л.д.у. (1):
x
n
Wnk  x 
W  x  k  x 
y1  x   zk 
f  x  dx  k zk  nk
dx
W  x
W  x
k 1
k 1
x0
x0
n
x
775
(19)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №10
Так что (18) можно записать в виде (6) и, следовательно, решение , опре-деляемое формулой
(18), есть общее решение уравнения (1) в области (7). Заметим, что частное решение (19), как нетрудно убедиться, удовлетворяет нулевым начальным условиям
у1  0, у '1  0,, у1( п1)  0 при x  x0 .
В частности, для н.л.у. второго порядка
n
y ''  P  x  y ' q  x  y  f  x   kk ( x )
(20)
k 1
имеем:
x
z2 f  x 
z f  x
dx  z2  1
dx  C1 z1  C2 z2 
W  x
W  x
x0
x
y   z1 
x0
n
x
k 1
x0
 z1 k 
x
n
z2k  x 
z   x
dx  z2 k  1 k
dx.
W  x
W  x
k 1
x0
(18)`
При этом
x
y1   z1 
x0
n
x
k 1
x0
x
z2 f  x 
z f  x
dx  z2  1
dx 
W  x
W  x
x0
x
n
z2k  x 
z   x
dx  z2 k  1 k
dx
W  x
W  x
k 1
x0
 z1 k 
есть частное решение (20), удовлетворяющее начальным условиям
у1  0, у '1  0, при x  x0 .
Для уравнения
n
 P  x   0.
y ''  q  x  y  f  x   kk  x 
k 1
формулы (18) ' и (19) ' принимают более простой вид:
x
y
x
z1
z2
z2 f  x  dx 
z1 f  x  dx  C1z1  C2 z2 

W  x0  x0
W  x0  x0
x
x
n
n
z1
z2


z

x
dx



k 2k
k z1k  x  dx
W  x0  k 1 x0
W  x0  k 1 x0
x
y1  
x
z1
z2
z2 f  x  dx 
z1 f  x  dx 

W  x0  x0
W  x0  x0
776
(19)`
Математика
Р.Акбаров, Н.Каримова
x
x
n
n
z1
z2

k  z2k  x  dx 
k z1k  x  dx.


W  x0  k 1 x0
W  x0  k 1 x0
Теперь потребуем, чтобы решение н.л.д.у. (1) удовлетворяло дополнительным условиям (2).
Тогда имеем
 x Wnk  x  f  x  
z

x



 k i  x W  x  dx  dx 
k 1 x0
0

n x
x
n
 x W  x  k  x  
  k  zki  x    nk
dx  dx  hi
W
x


k 1


x0
 x0
или
n

k
Aik  Bi , i  1, 2,, m ,
(21)
k 1
где
x
 x W  x  k  x  
Aik   zki  x    nk
dx  dx,(k  1, 2,, n; i  1, 2,, m)
W
x


x0
 x0

 x Wnk  x  f  x  
Bi  hi    zki  x   
dx  dx .
W  x
k 1 x0
 x0

n x
Равенство (21) представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений, состоящую из n неизвестных  k и m уравнений. Возможны следующее случаи: 1) m=n; 2) m<n; 3) m>n.
Для существования и единственности решения уравнений (1) и (2) достаточно изучить случай
(1).
Пусть m=n и определитель системы (21): det Aik  0, то н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение, задаваемое формулой (18).
Следовательно, имеет место
Теорема. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение п-го порядка (1) с дополнительными условиями (2) сводится к линейной алгебраической системе (21), состоящей из n неизвестных  k и m уравнений.
Если в (21) m=n и определитель системы (21) отличен от нуля, тогда н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение, задаваемое формулой (18).
Поступило 04.09.2013 г.
777
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №10
Л И Т Е РАТ У РА
1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и
техника, 1972, 664 с.
2. Матвеев Н.М. Методы и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:
Высшая школа , 1967, 564 с.
Р.Акбаров, Н.Каримова
ОИДИ ЊАЛЛИ МУОДИЛАИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТИИ
ЃАЙРИЯКЉИНСАИ ТАРТИБИ n-ўм БО САРБОРИИ АЪЗОЊОИ ОЗОД ВА
ШАРТЊОИ ИЛОВАГЇ
Донишгоњи давлатии Кўлоб ба номи А.Рўдакї
Дар маќола шартњои мављудият ва ягонагии њалли муодилаи дифференсиалии хаттии
ѓайриякљинсаи тартиби n-ўм бо сарбории аъзоњои озод ва шартњои иловагї ёфта шудааст.
Калимањои калидї: муодилаи дифференсиалии хаттии ѓайриякљинса – сарборї – шартњои иловагї.
R.Akbarov, N.Karimova
THE SOLUTIONS OF THE INHOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL
EQUATIONS OF THE n-ORDER WITH THE LOADED FREE MEMBERS AND
WITH ADDITIONAL CONDITIONS
A.Rudaki Kulyab State University
On the Solutions of the homogeneous linear differential equations of the n-order with loaded, in free
members and with additional conditions are studied relieved in the paper.
Key words: inhomogeneous linear differential equation with the – load – additional conditions.
778