ЛЕКЦИИ №24 Квантовая теория теплоемкости твердых тел

ЛЕКЦИИ №24
Квантовая теория
теплоемкости твердых тел
(Для студентов элитного отделения ЭТО –II)
1) Твердые тела сохраняют форму и
размеры.
2) Жидкости сохраняют объем, но не
сохраняют форму. Жидкости текучи.
3) Газы не сохраняют форму и размеры.
ТИПЫ СВЯЗЕЙ В КРИСТАЛЛАХ
1) Ионная (гетерополярная) – в узлах
расположены
положительные
и
отрицательные ионы.
2) Ковалентная (гомеополярная) – в узлах
нейтральные атомы.
ТИПЫ СВЯЗЕЙ В КРИСТАЛЛАХ
3) Металлическая - в узлах кристаллической
решетки находятся положительные ионы,
образуются они после отрыва от атомов
свободных электронов
4) Молекулярные кристаллы - в них действуют
ван-дер-ваальсовы силы притяжения и
отталкивания
ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
1)
2)
3)
Атом может выйти из узла и занять
положение
между
узлами
(в
междоузлии) – дефект по Френелю
Атом испаряется – уходит наружу –
дефект по Шоттки
Примесные дефекты (атомы примеси
в узлах)
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ТЕПЛОЁМКОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ.
ЗАКОН ДЮЛОНГА И ПТИ
Энергия трёхмерного классического
осциллятора: ε= 3kT .
dU
Тогда: U = 3kT ⋅ N A = 3RT , CV =
= 3R.
dT
Так как объем твердого тела при
нагревании изменяется незначительно
CV ≈ C p , отсюда C = 3R − закон
Дюлонга и Пти
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ТЕПЛОЁМКОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
ПО ЭЙНШТЕЙНУ
Модель
Эйнштейна:
кристалл
рассматривается как система N атомов,
каждый из которых является квантовым
осциллятором.
Колебания
атомов
происходят независимо друг от друга с
одинаковой частотой.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ТЕПЛОЁМКОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
ПО ЭЙНШТЕЙНУ
ℏω
+
ε =
2
ℏω
e
ℏω
kT
ℏω
U = 3 N Aε = 3 N A
−1
e
ℏω 2
ℏω 2
3kN A ( ) ℏω 3R( ) ℏω
dU
kT e kT =
kT e kT .
C=
=
ℏω
ℏω
dT
(e kT − 1) 2
(e kT − 1) 2
ℏω << kT , C = 3R.
T → 0, C
ℏω 2
3R ( ) ℏω
ℏω
−
1 kT
kT
kT
=
e → 2e .
2 ℏω
T
kT
e
ℏω
kT
−1
ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ ТЕПЛОЁМКОСТИ
ДЕБАЯ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ ФОНОННОГО ГАЗА
4π p 2 dp 4πv 2 dv
dZ =
=
.
3
3
h
υ
dn = γf (ε )dZ
dU = hvdn.
f (ε ) =
U = aT 4 ;
1
ε
.
e kT − 1
12πh
U = ∫ hvdn = 3
υ
3π 4 R
a=
.
3
5θ D
4
12π
R 3
3
C = 4aT =
T – закон кубов Дебая
3
5θ D
vmax
∫
0
v3 dv
e
hv
kT
−1
,
Экспериментальная зависимость
молярной теплоемкости твердых
тел от температуры
CV
3R
2R
− Cu
− Al
− Ag
R
0
T/θ
Вклад электронного газа в
теплоемкость твердого тела
2
3
5π kT 2
ε = ε F [1 +
( ) ]
5
12 ε F
C'эл
Cреш = 3R.
∂ε π2 kT
R.
= NA
=
⋅
∂T
2 εF
2
Cэл
π
kT
=
⋅
Среш
6 εF
kT << εF