РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ СПОСОБ
РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ
Мамедяров Д.М., к.п.н., доц.
НОУ ВПО «Социально-педагогический институт»
г. Дербент
Аннотация: Задача развития логического мышления учащихся ставится и
определѐнным образом решается в массовой школе. Эффективно решать эту
проблему можно с помощью задач с параметрами, в ходе решения которых
развивается умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, что присуще
логическому мышлению.
Ключевые
слова:
логическое
мышление;
параметры;
совокупность
уравнений.
Abstract: The objective of the development of logical thinking of students placed in
a certain way and solved in regular school. Effectively solve this problem by using the
task with the parameters in the solution of which is developing the ability to build a
logical
chain
of
reasoning
that
is
inherent
in
logical
thinking.
Keywords: logical thinking; options; set of equations.
Развитие логического мышления школьников в процессе обучения
математике является предметом особой заботы учителей и методистов. Во всех
школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету
отмечена – развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н.Толстой
отмечал, что математика имеет задачей не счисление, но обучение человеческой
мысли при счислении. [1. c. 213]. Но программы по математике не содержат
расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по- своему и посвоему ее решает. Выработка умений учащихся логически мыслить протекает
быстрее, если обучение организовано определенным образом. Одним из
эффективных способов развития логического мышления учащихся считаем –
решение задач с параметрами. Изучение многих физических процессов и
геометрических задач часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее
трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в
зависимости от параметра. Задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ
(задания С5) по математике и часто оказываются не по силе учащимся, поскольку у
большинства учащихся нет навыков в решении таких задач. Появление задач с
параметрами на экзамене не случайно, так как с их помощью проверяется техника
владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и
неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений и уровень
логического мышления учащихся.
Что такое уравнение с параметром?
Пусть дано уравнение
. Если ставится задача отыскать все такие
пары
, которые удовлетворяют данному уравнению, то она рассматривается
как уравнение с двумя переменными (равноправными)
и . Можно считать
переменные неравноправными, тогда, если придать переменной , какое – либо
фиксированное значение, то
превращается в уравнение с одной
переменной , и решение этого уравнения зависит от выбранного значения . Так
как букву можно заменит любым числом, то имеем дело с целым семейством
уравнений. Если уравнение
нужно решить относительно переменной
, а под понимается произвольное действительное число, то уравнение называют
уравнением с параметром .
Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:
1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение
имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то
есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых
значений. [2 c.5].
Решение любой задачи с параметром можно считать мини – исследовательской
работой.
Приведем несколько примеров решения таких задач.
Исследовать и решить уравнения с параметром.
1.
.
Раскроем скобки:
,
. Соберем
слагаемые с переменным влево, а с параметром вправо:
Приведем уравнение к стандартному каноническому
виду:
. Найдем контрольные или особые точки, то
есть точки, при переходе через которые происходит качественное изменение
уравнения. Эти точки:
Рассмотрим случаи:
a) Если
, получаем
:
b) Если
, то
, то есть уравнение имеет бесконечное множество
решений (любой есть решение).
c) Если
, то
, следовательно решений нет.
Теперь запишем ответ:
1.
При
,
.
2. При
3. При
, любое - есть решение.
, решений нет.
2.
Найдем ОДЗ. Д
. Выполним необходимые преобразования и
приведем уравнение к каноническому виду:
–
,
канонический вид линейного уравнения с параметром
a) Если
.
, то существует единственный , такой что
; тогда
b)
, то есть
; тогда
c)
, то есть
, тогда
d)
, следовательно
;
;
, то есть решений нет.
Запишем ответ:
1. При
2. При
, существует единственное решение
,
.
уравнение не определено. 5. При
3. При
,
,
.
.
4. При
,
.
3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
, имеет ровно 3 различных корня. Замечаем, что
неотрицательное число (по определению модуля).
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений.
, далее
Уравнение будет иметь 3 корня, если какие – то два из них равны между собой.
Это возможно, если
или
. В первом случае имеем
(не подходит, так как
). Из второго имеем
При
, уравнение имеет два корня.
Ответ: 4.
4. Найдите все значения , при которых уравнение
ровно три корня.
.
имеет
Уравнение равносильно совокупности уравнений.
.
Уравнение будет иметь ровно 3 корня, если
или
равны 0. Если
будет рано 0, то из второго уравнения имеем, что
, то есть
, что невозможно. Значит
, отсюда
. При
первое
уравнение имеет два корня, а второе один корень.
При решении задач с параметрами, также развиваются такие качества как:
умение проводить анализ, исследовательские умения, гибкость мышления,
внимательность.
Л и т е р а т у р а:
1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней
школе. Ростов – на – Дону. «Феникс» 2005 – 248 с;
2. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. Санкт –
Петербург, Москва 2004 – 275 с.