Законы идеального газа - Томский политехнический университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Утверждаю
Проректор-директор ФТИ
__________О.Ю. Долматов
«__» __________2015 г.
Н.С. Кравченко, С.В. Обухов
ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Методические указания к выполнению лабораторной работы МФ-01
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Издательство
Томского политехнического университета
2015
УДК 53(076.5)
ББК 22.3Я73
К 772
Кравченко Н.С.
К772 Законы идеального газа: методические указания по выполнению лабораторной работы по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей / Н.С. Кравченко, С.В. Обухов; Томский политехнический университет.- Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2014. – 15
с.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3Я73
Учебно-методическое пособие рассмотрено и рекомендовано к изданию
методическим семинаром кафедры теоретической и экспериментальной
физики ФТИ «__»___________20___г.
Зав. кафедрой
проф., доктор физ.-мат. наук
В.Ф.Пичугин
Председатель учебно-методической комиссии
С.И. Борисенко
Рецензент
Доктор физико-математических наук, профессор Томского
государственного университета С.И. Борисенко
 ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, 2015
 Кравченко Н.С., Обухов С.В., 2015
 Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2015
ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Цель работы: изучить законы идеального газа; рассчитать универсальную газовую постоянную; определить термический коэффициент объемного
расширения и термический коэффициент давления газа.
Теоретическое содержание
Системы, состоящие из большого числа тел (молекул), называются макросистемами. К таким системам относятся, например, газы, жидкости, твердые
тела. Системы, между которыми возможен обмен энергией, без учета микроскопического строения тел, составляющих систему, называется термодинамической системой. Простейшим примером термодинамической системы является
идеальный газ.
Идеальным называется газ, молекулы которого приняты за материальные
точки и находятся в постоянном хаотическом движении. Между молекулами
идеального газа отсутствуют силы притяжения, а отталкивание при соударениях происходит по закону упругого удара.
Состояние термодинамической системы однозначно описывается конечным числом параметров, которые называются термодинамическими параметрами. Термодинамические параметры (параметры состояния) – физические
величины, характеризующие состояние термодинамической системы, например,
температура T, давление P, объём V , масса газа m (количество вещества или
число молей ν 
m
, где μ – молярная масса).
μ
Равновесным состоянием системы называют такое состояние, при котором все ее термодинамические параметры сколь угодно долго остаются неизменными в отсутствие внешнего воздействия, при этом давление и температура
имеют одинаковые значения во всех частях объема. Всякое изменение состояния системы, характеризующееся изменением ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом. Термодинамический процесс
называется равновесным, если при его протекании система проходит непрерывный ряд бесконечно близких равновесных состояний. Очевидно, что реальный процесс изменения состояния системы всегда протекает с конечной скоростью и поэтому не является равновесным. Однако реальный процесс будет тем
ближе к равновесному, чем медленней он протекает. Поэтому равновесные
процессы называют квазистатическими. Квазистатический (квазиравновесный)
процесс – бесконечно медленный переход термодинамической системы из одного равновесного состояния в другое, при котором термодинамическое состояние в любой момент времени бесконечно мало отличается от равновесного, и
его можно рассматривать как состояние термодинамического равновесия. Термодинамический процесс, при протекании которого один из термодинамических параметров остаётся постоянным, называется изопроцессом (при постоянной массе m  const ).
3
В термодинамике часто встречаются квазистатические изопроцессы: изохорный – процесс, происходящий при постоянном объеме ( m  const , V=const);
изобарный процесс – процесс, в котором давление остается постоянным
( m  const , P=const); изотермический процесс – процесс, происходящий при
постоянной температуре ( m  const , T=const) и т.д. Все квазистатические процессы можно изобразить в виде графика. Соответствующие кривые называются
изохорой (V=const), изобарой (P=const) и изотермой (T=const) и т.д.
Уравнение, выражающее связь между термодинамическими параметрами
макросистемы, называется уравнением состояния. Уравнение состояния в общем виде для термодинамической системы может быть записано: f(P,V,T)  0 .
Конкретный вид функции f предполагается известным из эксперимента. Изучая свойства идеального газа, установили ряд законов, определяющих связь
термодинамических параметров идеального газа.
Уравнение Клапейрона–Менделеева – уравнение состояния идеального
m
m
газа массы m: PV  RT  vRT , где v   количество вещества (количество
μ
μ
молей вещества), μ – молярная масса газа (масса 1 моля газа), R- универсальная газовая постоянная.
Для одного моля идеального газа, взятого при нормальных условиях:
3
P0  1,013  10 5 Па, T0  273,15K , V0=0,0224 м /моль, (согласно закону Авогадро объём одного моля равен V0=22,4 л) по уравнению Клапейрона-Менделеева можно
определить
( R  8,31
универсальную
газовую
постоянную
P0Vмоля
 const  R
T0
Дж
).
моль  К
Из уравнения состояния легко получить уравнения изопроцессов, происходящих в идеальном газе, например изохорного, изобарного и изотермического.
Название
Характеристики
Уравнение
изопро- График
изопроцесса
цесса
изопроцесса
T1< T2 <T3
Изотерми- m  const, T  const . Закон Бойля – МариP
ческий
отта: PV  const или
коэффициент все- P  const
стороннего сжатия
V
Для данной массы га1  V 
χ  

0
за при постоянной
V
V  P T
температуре (Т = График процесса –
const) произведение изотерма
давления на объем –
величина постоянная.
4
Изобарический
Изохорический
m  const, P  const Закон Гей-Люссака:
V
P1> P2
V  V0 ( 1+ α p t) или
P2
коэффициент объ- V
P1
=
const
емного расширеT
ния
идеального
Для данной массы га- 0
газа:
T
за при постоянном
1  dV 
давлении
P=const График процесса αр  

V0  dТ  р
объем газа изменяет- изобара
ся линейно с температурой
m  const, V  const Закон Шарля:
V1> V2
P  P0 ( 1+ αV t)
P
термический ко- P  const
эффициент дав- T
Давление
ления
αV 
1  dP 


P0  dT V
V2
V1
данной
массы газа при по- 0
стоянном объёме меняется линейно с График процесса
температурой.
изохора
T
-
Связь коэффициентов теплового расширения, термического коэффициента давления и коэффициента всестороннего сжатия
Если величинами, определяющими состояние газа, являются: давление P,
температура газа T, объём газа V, то их называют макропараметрами состояния.
Уравнение, связывающее все три величины для данной массы газа, называется
уравнением состояния и может быть записано в общем виде так: f(P,V,T) = 0 .
Это означает, что состояние идеального газа определяется только двумя параметрами (например, давлением и объёмом, давлением и температурой или объёмом и температурой), третий параметр однозначно определяется двумя другими. Следовательно, параметры состояния не являются независимыми. Каждый
из этих параметров является функцией двух других. Если термодинамическая
система характеризуется параметрами: давление P, температура газа T, объём
газа V, то объём V по уравнению состояния можно представить в виде функции
остальных двух переменных P и T, т.е. V  V(P,T) .
При термодинамическом равновесии изменения параметров системы связаны определенным соотношением. Если T=const , а давление изменяется на
бесконечно малую величину dP, то объём получит также бесконечно малое
 V 
приращение, определяемое выражением: dV  
 dP . Знак T у производной
 P  T
означает, что T=const.
5
Производные, получаемые дифференцированием какой-либо функции
двух (или нескольких) аргументов по одному из них в предположении, что все
остальные аргументы остаются постоянными, называются частными производными.
Если объём газа изменяется при изменении температуры при P=const.
Тогда бесконечно малое приращение dV при изменении температуры dT выра V 
зится формулой: dV  
 dT .
 T  P
Если изменяется и давление и температура, то приращение объёма равно
 V 
 V 
сумме: dV  
 dP + 
 dT .
 P  T
 T  P
Так как давление и температура связаны уравнением состояния идеального газа, то dP и dT не являются независимыми.
При изохорическом процессе dV=0, тогда можно записать:
 dP 
 V 
 P 
 V 
0
   .
 dP + 
 dT . Решим это уравнение относительно 
 dT V  T V
 P T
 T  P
 P 
 V 
 V   V 
 P 
Тогда    
  1 /
 /
 получим
 или, учитывая, что 
 T V
 P T
 T  P  P T
 V T
 P   V   T 
 P 
 P   V 
   
 
    1 .
 
 или 
 V T  T  P  P V
 T V
 V T  T  P
Полученные формулы позволяют установить связь между коэффициентом теплового расширения αP , термическим коэффициентом давления αV и модулем всестороннего сжатия (изотермический коэффициент сжимаемости) χ.
Коэффициент теплового расширения αP определяет отношение приращения объёма газа при нагревании на 1°С к его объёму V0 при 0°С при условии
1  V  V0 
1  dV 
P=const, то есть α p  
 или α р  
 .
V0  t  p
V0  dТ  р
Термический коэффициент давления αV определяет отношение увеличения давления газа при нагревании на 1°С к его давлению P0 при 0°С при
1  P  P0 
1  dP 
условии V=const , то есть αV  
 или αV  
 .
P0  t V
P0  dT V
Изотермический модуль всестороннего сжатия χ определяет относительное изменение объема, вызванного изменением давления на единицу при
1  V 
постоянной температуре: χ   
 , где dV – изменение объема газа, выV  P  T
зывающее изменение давления на величину dP; V – первоначальный объем (относительным изменением какой-либо величины называется отношение изменения этой величины к ее первоначальному значению). Индекс Т у производной
показывает, что она берется при Т = const.
6
 P   V   T 
Ввиду тождества 
 
    1 между коэффициентами αP ,

V

T

T 
 P  P V
PV α χ
αV и χ существует, подтвержденное опытом соотношение: 0 V  1 , где P0,
V0 α P
V0 – давление и объём газа при 0°С, а V - конечный объём газа при изотермическом процессе.
Воспользуемся уравнением Клапейрона – Менделеева и графиками изопроцессов для нахождения величин αP , αV и χ
1. Изотермический процесс (Т = const , m  const )
Для данной массы газа при постоянной температуре Т = const произведение давления на объем – величина постоянная PV = const или давление газа
const
изменяется
обратно
пропорционально
объему: P 
,
при
V
m  const, T  const .
1
График изотермического процесса в координатах (P, ) - прямая, прохоV
дящая через начало координат. Тангенс угΔP
P
ла наклона графика tgγ 
.
1

P2
Δ 
V 
Pср
ΔP
Из уравнения состояния идеального гаγ
P1
1
  за PV  m RT  νRT , имеем для изотермиV 
μ
1
P

ческого
процесса
 νRT , или
1
0
1
1 1
V 
V
V
V1 Vср 2
dP
1
dP  d  νRT , тогда
 νRT  tgγ .
1
V 
d 
V 
tgγ
Универсальная газовая постоянная равна R 
.
νT
1  V 
Определим коэффициент всестороннего сжатия χ   
 . Из уравнеV  P  T
dV
V
  . Из уравнения
ния состояния имеем PV  const : PdV +VdP  0 или
dP
P
dV
V2
dV

 χV . Найдем
Клапейрона – Менделеева: dP  νRT 2 , отсюда
dP
νRT
V
V
V
1
коэффициент всестороннего сжатия χ  
или χV   , тогда χ   при
P
P
νRT
Т = const, m  const .
7
1
указывает на то, что увеличение объема
P
приводит к уменьшению давления. Изотермический коэффициент сжимаемости
идеального газа равен, таким образом, обратной величине его давления. С ростом давления величина  уменьшается.
Знак минус в выражении χ  
2. Изохорический процесс (V=const, m  const ). Уравнение процесса
P
 const , график процесса в координатах P,T – прямая, проходящая через
T
начало координат.
Тангенс угла наклона графика
ΔP
P
tgα 
.
ΔT
Из уравнения состояния идеального P2
ΔP
Pср
m
газа PV  RT  νRT , имеем для изохорα
μ
P1
ΔT
ного
процесса
или
dPV  νRdT
dP νR

 tgα , отсюда универсальная гаdT V
0
T1 Tср T2
T
V
Vtgα
зовая постоянная R 
, где ν 
,а
ν
V мол
Vмол=22,414 л.
1  dP 
Найдем термический коэффициент давления αV  
 . Так как
P0  dT V
dP
tgα T  tgα
 αV P0  tgα , то, учитывая уравнение процесса получим αV 
.

dT
P0
P  T0
T  tgα 1
νR
α


Так
как
,
то
tgα

V
V
P  T0 T0
V
V2
при V=const, m  const (T0=273,15 K).
ΔV
Vср
3. Изобарический процесс (P=const,
β
V1
V
ΔT
m  const ). Уравнение процесса  const ,
T
график процесса в координатах V,T – пря0
T1 Tср T2
мая, проходящая через начало координат.
T
Тангенс угла наклона графика
ΔV
tgβ 
.
ΔT
8
Из уравнения состояния идеального газа PV 
барного процесса PdV  νRdT или
постоянная R 
m
RT  νRT , имеем для изоμ
dV νR

 tgβ , отсюда универсальная газовая
dT
P
Ptgβ
V
, где ν 
, а Vмол=22,414 л.
ν
Vмол
Найдем коэффициент теплового расширения α р 
1  dV 

 . Так как
V0  dТ  р
dV
 α PV0  tgβ , то, учитывая уравнение процесса коэффициент теплового
dT
расширения будет равен αV 
T  tgβ 1
νR
tgβ T  tgβ

. Так как tgβ 
, то αV 
при

V  T0 T0
P
V0
V  T0
P=const, m  const ; (T0=273,15 K).
Описание экспериментальной установки
Экспериментальная установка для исследования экспериментальных газовых
законов приведена на рисунке 1.
Рисунок 1. Схема установки для исследования газовых законов.
1. – стеклянный корпус;
2. – подвижный поршень (шприц находится внутри стеклянного корпуса);
3. – плитка;
4. – датчик давления;
5. – устройство Cobra;
6. – резиновая трубка-переходник;
9
7. ,8 – отверстия в стеклянном корпусе;
9. – магнит;
10. – термодатчик.
В стеклянном корпусе (1) находится шприц с подвижным поршнем (2). Под
стеклянным корпусом, не касаясь его, расположена плитка (3). Датчик давления
(4), подключают к входу S1 устройства Cobra (5). Короткая резиновая трубкапереходник (6) соединяет датчик давления со шприцом. Этот датчик позволяет автоматически производить измерение давления во внутренней камере шприца.
Стеклянную емкость через отверстие (7) заполняют водой. В воду помещают магнитную мешалку. Можно перемешивать воду, обеспечивая равномерный прогрев
воздуха во внутренней камере шприца, поднося магнит (9) к стеклянному корпусу
(1). В отверстие (8), закрытое специальной пробкой с отверстием, помещают термодатчик (10), также подключив его к разъему S2 устройства Cobra (5).
Осуществить изотермический процесс можно при постоянной температуре,
изменяя объем воздуха в шприце, перемещая поршень (2). Давление при этом будет меняться, что автоматически зафиксирует датчик давления (4). Температуру
при этом будет фиксировать термодатчик (10).
Изобарический и изохорический процессы можно изучать одновременно.
Температуру воздуха в шприце можно увеличить при нагревании воды, находящейся в стеклянном корпусе. Для этого используют плитку (3). Нагревание воздуха в шприце приведет к его расширению, поршень будет перемещаться таким образом, чтобы давление оставалось равным атмосферному (р = const). Фиксируя
изменение объема воздуха вручную и соответствующую температуру по показаниям термодатчика (10), можно получить данные о зависимости V(T) для изобарического процесса.
В то же время, можно получить данные о зависимости р(Т) для изохорического процесса, возвращая поршень (2) в исходное положение (к начальному объему, то есть поддерживая V = const) после повышения температуры на определенную величину Т (например, 5К). Давление автоматически будет фиксировать
датчик давления (4).
Во всех случаях количество воздуха в шприце остается неизменным, то
есть  = const.
Порядок выполнения работы
При выполнении работы необходимо строго выполнять требования техники безопасности и охраны труда, установленные на рабочем месте студента в
лаборатории.
Лабораторная работа имеет компьютерное сопровождение. Прежде чем
приступить к измерениям, изучите правила пользования компьютерной программой.
Внимание! Лабораторная работа состоит из двух частей:
 проверка закона Бойля-Мариотта при комнатной температуре,
 проверка законов Гей-Люссака и Шарля при нагревании газа,
Подготовка к работе
10
1. Убедитесь, что установка собрана в соответствии с рис. 1. Не подключайте
пока трубку-переходник (6) к датчику давления (4).
2. Убедитесь, что, стеклянная емкость заполнена дистиллированной водой и
отверстие закрыто крышкой.
3. Резиновую трубку, закрепленную на «отростке» отверстия (7), опустите в
стеклянный стакан для стекания жидкости при последующем нагревании.
4. Перемещая поршень (2), установите начальный объем шприца Vo = 50 мл.
5. Подключите трубку (6) к датчику давления (4).
6. Устройство Cobra подключено к USB – порту компьютера.
7. Включите компьютер.
8. Запустите программу для проведения измерений. Для этого на рабочем
столе компьютера выберите ярлык программы Phywe Measure 4. В открывшемся окне в пункте меню Прибор>Кобра3 Идеальный газ. В появившемся
диалоговом окне в закладке Каналы установите настройки измерений в соответствие с рис. 2. Необходимо пройти все вкладки и нажать все нужные
флажки.
Рисунок 2 Окно настроек работы по изучению изотермического процесса.
В закладке Начало/Конец выберите «по нажатию клавиши».
9. В закладке Другие установки поставьте флажки в поле Цифр. дисплей 1.
В появившемся диалоговом окне в разделе Канал выберите Давление р в соответствии с рис. 3а, 3б. Поставьте флажок в поле Цифр. дисплей 2. В появившемся
диалоговом окне в разделе Канал выберите Температура Т.
10. Поставьте флажок в поле Диаграмма 1, затем в появившемся диалоговом
окне Параметры дисплея заполните поля в соответствии с рис. 4. В разделе Канал в поле давление р задается диапазон возможных значений давления. В разде11
ле ось х в полях задается число возможных измерений. Рекомендуется в качестве
максимального значения выбрать
Рисунок 3б. Окно параметры дисплея
Рисунок 3а. Закладке Другие установки
11. В поле режим установите не автодиапазон.
Рисунок 5 Закладка Калибровать
Рисунок 4 Окно Параметры
дисплея.
12. Откалибруйте датчик. Для этого в закладке Калибровать введите в соответствующие поля значения комнатной температуры и давления, измеренные
термометром и барометром соответственно.
13. Нажмите Далее в закладке Калибровать. На экране появится четыре окна: температура Т, давление P, Измерение, окно для построения графика зависимости давления от числа измерений. Расположите дисплеи, появившиеся на
экране, в удобном порядке.
14. Сохраните исходные данные измерения температуры То, давления Pо,
нажав на кнопку Сохранить значения в окне Измерения (рис. 6) или Enter.
12
15. Рисунок
6 Окно Измерения.
Упражнение 1. Проверка закона Бойля – Мариотта при комнатной температуре
1. Рассчитайте число молей воздуха в шприце (V1 – начальный объем воздуха,
равный 50 мл)
2. Перемещая вращательным движением поршень (2) шприца вправо, увеличьте объем на 1 мл. Давление воздуха в шприце изменится.
3. Постепенно увеличивайте объем воздуха с шагом в 1 мл до объема приблизительно в 60 мл. Результаты измерений занести в таблицу №1.
4. Постройте график зависимости P=f(V)
5. Убедитесь, что график зависимости P=f(V) действительно является гиперболой. Для этого линеаризируйте его, построив график зависимости
P=f(1/V).
6. Рассчитайте тангенс угла наклона  полученного графика. Определите
универсальную газовую постоянную R и модуль всестороннего сжатия χ.
Упражнение 2. Проверка законов Гей-Люссака и Шарля при нагревании газа
1. Перемещая поршень (2), установите начальный объем шприца V1 = 50 мл.
и установите начальное давление, для этого отсоедините датчик давления и потом
подсоедините его обратно.
2. Запишите исходные данные измерения температуры Т1, давления P1 в отчет.
3. Рассчитайте число молей воздуха в шприце.
4. Включите нагреватель.
Примечание: В процессе измерений не забывайте перемешивать воду в
стеклянном корпусе, поднося к нему магнитную мешалку
Внимание: пп. 5, 6 выполняются одновременно.
5. После каждого увеличения температуры примерно на Т = 5 К, перемещая
поршень шприца вращательным движением, доводите объем в шприце до начального V1 и заносите результаты измерения давления и температуры в таблицу №2
(изохорный процесс).
6. После каждого увеличения объема воздуха в шприце на 1 мл фиксируйте
этот объем и соответствующее ему значение температуры и записываем в таблицу
№3. Завершите измерения после достижения объема воздуха 60 мл (изобарный
процесс).
13
7. Постройте график зависимости V=f(T). Рассчитайте объем воздуха Vo,
соответствующий температуре 0оС.
8. Рассчитайте тангенс угла наклона полученного графика. Определите
универсальную газовую постоянную R и коэффициент теплового расширения
αV .
9. Постройте график зависимости P=f(Т). По графику зависимости P=f(Т).
экстраполяцией в область значений Т=273К найдите значение P0.
10. Рассчитайте тангенс угла наклона полученного графика. Определите
универсальную газовую постоянную R и термический коэффициент давления
αP .
11. Проведите статистическую обработку результатов измерений R, полученных разными способами и сравните коэффициенты αV и α P . Определите их
теоретическое значение: α P = αV =
1
, (T0=273,15K).
T0
Список литературы
1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. – М. Высшая школа, 2011.
2. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. – М.: Наука, 2006.
3. Сивухин Д.В.Общий курс физики. – М.: Наука, 2000, Т.2.
4. Иродов И.Е. Физика макросистем. – М.: Наука, 2004.
5. Гершензон Е.М., Малов Н.Н., Мансуров А.Н. Молекулярная физика. – М.:
АСАDEMA, 2000.
6. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, т. 2, 3.
2011.
7. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2008.
8. Савельев И. В. Курс общей физики. – М.: Наука, 2007. Т. 1.
Контрольные вопросы
1. Какой газ называется идеальным? При каких условиях реальный газ можно
считать идеальным?
2. Напишите уравнения состояния для идеального газа?
3. Сформулируйте закон Бойля – Мариотта? Каким уравнением он описывается?
4. Сформулируйте закон Гей-Люссака? Каким уравнением он описывается?
5. Сформулируйте закон Шарля? Каким уравнением он описывается?
6. Каков физический смысл термического коэффициента давления? Как в
данной работе он определяется?
7. Каков физический смысл термического коэффициента объемного расширения? Как в данной работе он определяется?
8. Каков смысл коэффициента всестороннего сжатия? Как в данной работе он
определяется?
9. Как связаны между собой коэффициенты объемного расширения, термический коэффициент давления и коэффициент всестороннего сжатия?
10. Выведите законы изопроцессов из уравнения состояния идеального газа.
11. Изобразите графики изопроцессов в координатах P(V), V(T), P(T).
12. Выведите формулы для расчета универсальной газовой постоянной, используя графики изопроцессов.
14