3.20. Площадь сферы

3.20. Площадь сферы. После того, как получена формула для вычисления объема шара,
уже нетрудно вывести формулу для площади его сферы:
S=4πR2.
(29)
Представим себе шар радиуса R состоящим из очень тонких пирамид Т1,…,Тn с общей
вершиной в центре шара и с основаниями на его поверхности (рис.3.112).
Рис.3.112
Тогда можно считать, что объем V шара является суммой объемов V1,…, Vn этих
пирамид:
(30)
V ≈ V1 + …+Vn
Площадь S сферы приблизительно равна сумме площадей S1,…, Sn оснований пирамид
Т1,…,Тn :
S ≈ S1+…+Sn.
(31)
Поскольку все высоты пирамид Т1,…,Тn приблизительно равны радиусу сферы, т.е.
приблизительно равны R, то
1
1
V1 ≈ S1R, …, Vn ≈ SnR.
(32)
3
3
Из соотношений (30)- (32), которые могут быть сделаны сколь угодно точными, следует,
1
что два числа V и SR сколь угодно близки. Но это означает, что они равны:
3
1
V= SR.
(33)
3
4
4
1
Поскольку V= πR3, то из равенства (33) следует, что πR3 = SR. Поэтому S=4πR2.
3
3
3
Формула (29) выведена.
Задачи
Работаем с формулой. 20.1. Из формулы для площади сферы выразите радиус сферы.
20.2. Выразите объем шара через площадь его поверхности.
20.3. Выразите площадь сферы через объем ограниченного ею шара.
Вычисляем. 20.4. Отношение площадей двух сфер равно а. Чему равно отношение
объемов ограниченных ими шаров? Как изменится объем шара, если площадь его поверхности
уменьшилась втрое? (У)
20.5. Отношение объемов двух шаров равно с. Чему равно отношение площадей сфер,
ограничивающих эти шары? Как изменится площадь сферы, если объем ограниченного ею шара
вырос вдвое? (У)
20.6. Найдите площадь поверхности полушара радиуса R.
Оцениваем. 20.7. Сравните площадь сферы с площадью вписанного в нее куба. (У)
20.8. Объемы куба и шара равны. Сравните площади их поверхностей.
20.9. Площади поверхностей куба и шара равны. Сравните их объемы.
20.10. Из металлического шара радиуса R изготовили n равных шаров. Сравните
площадь поверхности исходного шара с суммой площадей поверхностей изготовленных шаров.
(У)
Доказываем. 20.11. Докажите, что площадь поверхности цилиндра, образуемого
вращением квадрата вокруг стороны, равна площади сферы, имеющей радиусом сторону
квадрата.
Применяем геометрию. 20.12. Вычислите площадь поверхности Земли, считая Землю
шаром с радиусом 6375 км. Найдите, сколько квадратных километров земной поверхности
занимает суша, если водой покрыто 75% всей земной поверхности. (Р)