Поверхности и поверхностные интегралы. Часть I

Министерство образования Российской Федерации
Р ОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев
Поверхности и поверхностные интегралы.
Часть I
Методические указания для студентов 2-го курса
механико-математического факультета
и слушателей ФПК
Ростов-на-Дону
2002
Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев
Поверхности и поверхностные интегралы. Часть I
Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета и слушателей ФПК
Аннотация
Методическая разработка посвящена введению в теорию поверхностей и поверхностных
интегралов. В данном выпуске рассматривается теория поверхностей и определяются поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Даются примеры решения типичных задач.
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского
государственного университета, протокол № 3 от “20” ноября 2001 года.
Набрано в системе LATEX с использованием шрифтов ITC Officina Cyrillic и математических символьных шрифтов пакета AMS Fonts.
LATEX является зарегистрированным товарным знаком Addison Wesley Publishing Company. AMS,
TEX, AMS Fonts являются зарегистрированными товарными знаками Американского Математического Общества (American Mathematical Society). ITC Officina Cyrillic является зарегистрированным товарным знаком АО ParaGraph. ITC Officina является зарегистрированным товарным
знаком International Typeface Corporation.
Все упомянутые в данном издании товарные знаки и зарегистрированные товарные знаки принадлежат своим законным владельцам.
c 2002, Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, В.А. Савельев
3
1
1.1
Элементарные гладкие поверхности
Определения и основные свойства
Пусть Ω ⊂ R2 , Ω — открытое ограниченное множество, на Ω (замыкании Ω) определены непрерывные функции ϕ, ψ, χ и с их помощью определено отображение
r : Ω → R3 ,
r(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)).
Другой формой записи отображения r является векторная форма:
~r(u, v) = ϕ(u, v)~i + ψ(u, v)~j + χ(u, v)~k,
где (~i,~j, ~k) — правый репер в пространстве R3 единичных векторов координатных осей OX,
OY, OZ, соответственно.
Определение 1.1. Для любого открытого ограниченного множества Ω ⊂ R2 и непрерывного на Ω отображения r = (ϕ, ψ, χ) множество
S = { (x, y, z) ∈ R3 : x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ Ω }
называется поверхностью, заданной параметрически, u, v — параметрами поверхности, а
r = (ϕ, ψ, χ) — её параметризацией.
Пусть, в дополнение к предыдущим условиям, отображение r непрерывно дифференцируемо на Ω, то есть функции ϕ, ψ, χ имеют непрерывные частные производные в Ω, которые могут быть продолжены по непрерывности на Ω (то есть, на границу множества Ω,
которую будем далее обозначать ∂Ω). Определим в Ω два вектора
−
→0
ru (u, v) = ϕu0 (u, v)~i + ψu0 (u, v)~j + χu0 (u, v)~k,
−
→0
r (u, v) = ϕ 0 (u, v)~i + ψ 0 (u, v)~j + χ 0 (u, v)~k.
v
v
v
v
Их векторное произведение имеет вид
~i
→0 →
−
−0
ru × rv = ϕu0
ϕ0
v
~j
~k ϕ0 ψ0 ψ0 χ0 ϕ0 χ0 u
u u
u
u
u
0
0 = ~
~
~
ψu χu i 0
0
0 =
0 − j 0
0 + k ψ
χ
ϕ
χ
ϕ
ψ
v
v
v
v
v
v
ψv0 χv0 ~
~
~
= A(u, v)i + B(u, v)j + C(u, v)k.
(1.1)
Длина полученного вектора равна
q
−
→ −
→
| ru0 × rv0 | = A2 + B2 + C2 .
Если воспользоваться гауссовыми коэффициентами поверхности, известными из аналитической геометрии,
E = (ϕu0 )2 + (ψu0 )2 + (χu0 )2 ,
G = (ϕv0 )2 + (ψv0 )2 + (χv0 )2 ,
F = ϕu0 ϕv0 + ψu0 ψv0 + χu0 χv0 ,
то легко убедиться (сделайте это) в справедливости равенства
q
→0 −
−
→0
| ru × rv | = EG − F2 .
4
Определение 1.2. В пространстве R3 поверхность
S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω }
называется элементарной гладкой (параметризованной) поверхностью, если выполнены условия:
1) r взаимно однозначное отображает Ω на S;
2) r непрерывно дифференцируемо на Ω;
√
→ −
−
→
3) | ru0 × rv0 | = EG − F2 > 0, ∀(u, v) ∈ Ω.
Пусть в пространстве R3 задано некоторое множество S. Множество S называют элементарной гладкой поверхностью, если существует открытое ограниченное множество Ω
и отображение r : Ω → S, обладающие свойствами 1–3 из определения 1.2. Заметим,что r
является параметризацией S. Таких параметризаций может быть несколько.
Как и в теории кривых, две параметризации поверхности S
r : Ω ⊂ R2u,v → S ⊂ R3 и er : Ω 0 ⊂ R2u 0 ,v 0 → S,
удовлетворяющие условиям 1–3, называются эквивалентными, если существует такое непрерывно дифференцируемое биективное отображение g из Ω 0 в Ω, что
D(g1 , g2 )
> 0 в Ω 0 и er(u 0 , v 0 ) = r(g(u 0 , v 0 )) для ∀(u 0 , v 0 ) ∈ Ω 0 .
D(u 0 , v 0 )
Заметим, что если r и er —эквивалентные параметризации элементарной гладкой по!
→
−
→ D(g1 , g2 ) −1
−
→0
−
→0
−
, а поэтому
верхности S, то r u × r v = re0 u 0 × re0 v 0
D(u 0 , v 0 )
−
→
→ D(g1 , g2 ) −1
−
−
→
→
−
,
| r 0 u × r 0 v | = | re0 u 0 × re0 v 0 |
D(u 0 , v 0 ) ∀(u 0 , v 0 ) ∈ Ω 0 .
Рассмотрим свойства поверхностей, заданных параметрически.
Лемма 1.1. Пусть Ω — ограниченная область (ограниченное открытое связное множество) в R2x,y , и функция f : Ω → R1 непрерывно дифференцируема на Ω. Тогда множество S = { (x, y, z) | z = f(x, y); (x, y) ∈ Ω } — элементарная гладкая поверхность в R3 .
Доказательство. Одна из параметризаций множества S — отображение r(x, y) = (x, y, f(x, y)).
Поскольку (x1 , y1 , f(x1 , y1 )) 6= (x2 , y2 , f(x2 , y2 )) тогда и только тогда, когда (x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 ),
то первое условие определения 1.2 выполняется. Очевидно, что выполняется и второе условие, так как функция f, а значит и отображение r непрерывно дифференцируемо на Ω. Поскольку
→0
−
→
−
rx (x, y) = ~i + fx0 (x, y)~k, ry0 (x, y) = ~j + fy0 (x, y)~k,
то
−
→0 →
−0
rx × ry = ~i
1
0
~j
0
1
~k
fx0
fy0
= −fx0~i − fy0 ~j + ~
k.
Следовательно, на множестве Ω
q
→ −
−
→
| rx0 × ry0 | = 1 + (fx0 )2 + (fy0 )2 > 0.
Третье условие определения 1.2 выполняется и лемма доказана.
5
Часто поверхность S в R3 , которая является графиком непрерывно дифференцируемой
на замыкании области Ω ⊂ R2 функции f, называют поверхностью с явным заданием. Такие поверхности изучались в аналитической геометрии, они достаточно просто устроены и
часто встречаются на практике.
Элементарная гладкая поверхность с явным заданием имеет хотя бы одну из следующих
параметризаций:
r1 (x, y) = (x; y; f1 (x, y)), (x, y) ∈ Ω1 ,
r2 (x, z) = (x; f2 (x, z); z), (x, z) ∈ Ω2 ,
r3 (y, z) = (f3 (y, z); y; z), (y, z) ∈ Ω3 ,
в которой функция fk , графиком которой является поверхность, непрерывно дифференцируема на замыкании соответствующей области Ωk (k = 1, 2, 3). Геометрически такая поверхность взаимно-однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей.
Как утверждает следующая лемма, каждая элементарная гладкая поверхность, заданная
параметрически, в R3 локально (то есть в окрестности каждой своей точки) является поверхностью с явным заданием.
Лемма 1.2. Пусть S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω } — элементарная гладкая поверхность. Тогда
для любой точки M ∈ S найдётся в R3 окрестность UM такая, что часть поверхности
S ∩ UM является элементарной гладкой поверхностью с явным заданием.
Доказательство. Как показано при выводе формулы (1.1) для поверхности
S = { (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) | (u, v) ∈ Ω },
D(ψ, χ)
D(ϕ, χ)
D(ϕ, ψ)
A=
, B=−
, C=
,
D(u, v)
D(u, v)
D(u, v)
причём A2 + B2 + C2 > 0 в Ω. Следовательно, в каждой точке поверхности S хотя бы одно
и слагаемых не равно нулю.
Возьмём произвольную точку (u0 , v0 ) ∈ Ω и предположим (для определённости), что в
ней C 6= 0. Точка M0 (x0 , y0 , z0 ), где x0 = ϕ(u0 , v0 ), y0 = ψ(u0 , v0 ), z0 = χ(u0 , v0 ), — точка
на поверхности S. Так как
D(ϕ, ψ) 6= 0,
D(u, v) (u0 ,v0 )
то по теореме об обратном отображении, найдётся окрестность U(x0 ,y0 ) и окрестность W(u0 ,v0 )
такие, что отображение
x = ϕ(u, v)
y = ψ(u, v)
взаимно однозначно отображает W(u0 ,v0 ) на U(x0 ,y0 ) и существует обратное непрерывно
дифференцируемое отображение U(x0 ,y0 ) на W(u0 ,v0 ) вида
u = u(x, y),
v = v(x, y).
По определению обратного отображения ∀(x, y) ∈ U(x0 ,y0 )
ϕ(u(x, y), v(x, y)) = x,
ψ(u(x, y), v(x, y)) = y.
6
Следовательно, если VM0 = U(x0 ,y0 ) × R1 , то
S ∩ VM0 = {(x, y, χ(u(x, y), v(x, y))) | (x, y) ∈ U(x0 ,y0 ) },
и χ(u(x, y), v(x, y)) непрерывно дифференцируема в U(x0 ,y0 ) .
Пример 1.1. Поверхностью с явным заданием является параболоид вращения S = { (x, y, z) |
z = x2 + y2 , (x, y) ∈ Ω }, где Ω = {(x, y) : x2 + y2 < 1}.
Пример 1.2. Рассмотрим в R3 множество точек S = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 = a2 } — сферу
с центром в начале координат радиуса a, и отображение
ζ ∈ (0, 2π),
r(ζ, θ) = (a cos ζ cos θ, a sin ζ cos θ, a sin θ),
π π
θ∈ − , .
2 2
Очевидно, что Ω = { (ζ, θ) | ζ ∈ (0, 2π), θ ∈ (−π/2, π/2) } = (0, 2π) × (−π/2, π/2)
— открытое ограниченное множество в R2ζ,θ . Образом множества Ω при отображении r является множество Sb = { r(ζ, θ) | (ζ, θ) ∈ Ω }, которое совпадает со сферой S, из которой
удалены точки множеств
M0 =
π π r(0, θ) θ ∈ − ,
2 2
и
M2π =
π π r(2π, θ) θ ∈ − ,
,
2 2
называемых меридианами. Поскольку отображение r(ζ, θ) является 2π-периодическим по ζ,
то M0 = M2π .
Заметим, что условие 1 определения 1.2 выполняется, поскольку r(Ω) = Sb и отображение r : Ω → S взаимно однозначно. Ясно, что выполняется и условие непрерывной
дифференцируемости отображения r на Ω. Остаётся проверить условие 3:
~i
~j
~k
−0 −
→
→0
rζ × rθ = −a sin ζ cos θ a cos ζ cos θ
=
0
−a cos ζ sin θ −a sin ζ sin θ a cos θ = (a2 cos ζ cos2 θ)~i + (a2 sin ζ cos2 θ)~j + (a2 cos θ sin θ)~k.
Отсюда следует, что
→ −
−
→
| rζ0 × rθ0 | = a2 cos θ > 0,
∀(ζ, θ) ∈ Ω.
Итак, мы доказали, что множество Sb — сфера с меридианным разрезом — является элементарной гладкой поверхностью в R3 .
Определение 1.3. В R3 элементарная гладкая поверхность
S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω }
называется элементарной гладкой поверхностью с краем, если S \ S 6= ∅. Множество S \ S
обозначим через ΓS (или ∂S) и назовем краем поверхности. Если край поверхности S является гладкой или кусочно-гладкой линией в R3 , то S называют поверхностью, соответственно,
с гладким или кусочно-гладким краем.
7
Сфера с разрезом (см. пример 1.2) — элементарная гладкая поверхность с краем:
ΓbS = { (x, y, z) | x = a sin θ, y = 0, z = a cos θ, θ ∈ [0, π] }.
Параболоид вращения (см. пример 1.1) — также элементарная гладкая поверхность с краем,
который является множеством { (x, y, 1) | x2 + y2 = 1 }.
Нетрудно видеть, что поверхность S c явным заданием, например,
S = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ Ω },
является поверхностью с краем, причём краем является множество
{ (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ ∂Ω },
∂Ω — граница Ω.
Пример 1.3. Пусть Ω = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1 }. Рассмотрим в R3 конус
q
S = { (x, y, x2 + y2 ), (x, y) ∈ Ω }.
Легко видеть,
q что S не является элементарной гладкой поверхностью, поскольку функция
f(x, y) = x2 + y2 не дифференцируема в точке (0, 0) ∈ Ω. Рассмотрим в пространстве R3
заданную параметрически поверхность
∼
Se = { r(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, ρ) | (ρ, θ) ∈Ω },
f = { (ρ, θ) | ρ ∈ (0, 1), θ ∈ (0, 2π) }.
где Ω
От множества S множество Sb отличается наличием на последней дважды проходимого
разреза {(ρ, θ0 , ρ) : ρ ∈ [0, 1]} по образующей конуса, который получается при θ0 = 0 и
θ0 = 2π. Множество
L = { (ρ, 0, ρ) | ρ ∈ [0, 1] } ∪
∪ { (cos θ, sin θ, 1) | θ ∈ [0, 2π] } ∪ { (ρ, 2π, ρ) | ρ ∈ [1, 0] }
b Поскольку L — кусочно гладкая линия в R3 , то S
b является
является краем поверхности S.
поверхностью с кусочно-гладким краем.
Нетрудно видеть, что такая параметризация конуса с разрезом удовлетворяет условиям 1–2 определения 1.2. Кроме того,
~i
−
→0 →
−0
rρ × rθ = cos θ
−ρ sin θ
Поэтому
~j
sin θ
ρ cos θ
~k
1
0
= (−ρ cos θ)~i + (−ρ sin θ)~j + ρ ~
k.
√
−
→ −
→
∼
| rζ0 × rθ0 | = ρ 2 > 0, ∀(ρ, θ) ∈Ω,
и выполняется условие 3 определения 1.2. Мы доказали, что множество Se является в R3
элементарной гладкой поверхностью с кусочно-гладким краем.
Следует отметить, что большинство известных из аналитической геометрии поверхностей в R3 имеют несколько параметризаций. Некоторые из них, подобно конусу, становятся
элементарными гладкими поверхностями, если на них сделать некоторый разрез.
8
Пример 1.4. Пусть ϕ, ψ — функции, непрерывно дифференцируемые на [a, b], причём
(ϕ 0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 > 0,
∀t ∈ (a, b).
Тогда L = { (x, y) ∈ R2 | x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [a, b] } — гладкая параметризованная
линия в R2 . Рассмотрим множество
S = { (x, y, z) ∈ R3 | x = ϕ(t), y = ψ(t), z = u;
(t, u) ∈ Ω = (a, b) × (c, d) }
которое часто встречается на практике и называется z-цилиндрической поверхностью. Покажем, что S — элементарная гладкая поверхность с кусочно гладким краем. Прежде всего,
отображение r(t, u) = (ϕ(t), ψ(t), u) непрерывно дифференцируемо на Ω = [a, b] × [c, d],
и
→0 −
−
→
rt × ru0 = (ϕ 0 (t), −ψ 0 (t), 0)
следовательно,
q
→ −
−
→
| rt0 × ru0 | = (ϕ 0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 > 0,
∀(t, u) ∈ Ω.
Так как отображение r, очевидно, взаимно однозначно отображает Ω на S, то S — элементарная гладкая поверхность.
Краем поверхности S, как легко видеть, является множество
ΓS = { (x, y, c) ∈ R3 | (x, y) ∈ L } ∪ { (x, y, d) ∈ R3 : (x, y) ∈ L }∪
∪ { (ϕ(a), ψ(a), u) ∈ R3 | u ∈ [c, d] } ∪ { (ϕ(b), ψ(b), u) ∈ R3 | u ∈ [c, d] },
представляющее собой кусочно гладкую линию в R3 .
Рассмотрим ещё один класс часто встречающихся поверхностей.
Пример 1.5 (поверхность вращения). Пусть в плоскости XOY задана гладкая простая линия L = { (x(t), y(t)) | t ∈ [α, β] }, точки которой, кроме быть может концов, не лежит на
оси OX. Поверхность S, полученная вращением линии L вокруг оси OX, чаще всего параметризуется следующим образом:
S = { (x(t), y(t) cos ϕ, y(t) sin ϕ) | (t, ϕ) ∈ Ω },
где Ω = { (t, ϕ) | t ∈ [α, β], ϕ ∈ [0, 2π] }.
Покажем, что поверхность
S = { (x(t), y(t) cos ϕ, y(t) sin ϕ) | (t, ϕ) ∈ Ω }, где Ω = (α, β) × (0, 2π),
является элементарной гладкой поверхностью.
Действительно, её параметризация r(t, ϕ) непрерывно дифференцируема на Ω,
−0 −
→
→
rt × rϕ0 = (−x 0 (t)y(t) sin ϕ)~j + (−x 0 (t)y(t) sin ϕ)~k,
поэтому, учитывая гладкость L,
q
−0 −
→
→
0
| rt × rϕ | = |y(t)| x 0 2 (t) + y 0 2 (t) > 0,
∀(t, ϕ) ∈ Ω.
9
Значение параметра t0 определяет плоскость, перпендикулярную оси вращения, на которой лежит точка поверхности r(t0 , ϕ), ϕ ∈ (0, 2π). Параметр ϕ0 — угол, на который надо
повернуть точку (x(t), y(t)) ∈ L, чтобы получить точку поверхности r(t, ϕ0 ), t ∈ (α, β).
Значит, отображение r взаимно однозначно действует из Ω на S.
Краем этой поверхности является множество
ΓS = { (x(α), y(α) cos ϕ, y(α) sin ϕ) | ϕ ∈ [0, 2π] }∪
∪ { (x(β), y(β) cos ϕ, y(β) sin ϕ) | ϕ ∈ [0, 2π] }∪
∪ { (x(t), y(t), 0) | t ∈ [α, β] }.
которое, представляет собой кусочно-гладкую линию в R3 . Поэтому S — элементарная гладкая поверхность с кусочно гладким краем.
Замечание. Если линия L является графиком функции x = g(y), y ∈ [a, b], a > 0, то при
вращении L вокруг оси OX получим поверхность
q
S = { (x, y, z) | x = g( y2 + z2 ), (y, z) ∈ D },
где D = { (y, z) | a2 ≤ y2 + z2 ≤ b2 }.
1.2
Площадь элементарной гладкой поверхности
Рассмотрим сначала поверхность с явным заданием. Пусть Ω — ограниченная область
в R , функция f определена и непрерывно дифференцируема на Ω, тогда согласно лемме 1.1
S = { (x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) ∈ Ω } — элементарная гладкая поверхность в R3 .
Всюду далее будем считать, что область Ω — измеримое по Жордану множество. Пусть
Π — такой замкнутый прямоугольник в R2 , что Ω ⊂ Π. Рассмотрим произвольное разбиение τΠ = { Uj } прямоугольника Π (напомним, что каждая ячейка разбиения Uj — замкнутый прямоугольник). В каждой ячейке разбиения Uj , содержащейся в Ω, зафиксируем
произвольно точку Kj (xj , yj ) и через точку Mj (xj , yj , f(Kj )) ∈ S проведём к поверхности S
касательную плоскость Tj . Её уравнение имеет вид
2
z − f(Kj ) = fx0 (Kj )(x − xj ) + fy0 (Kj )(y − yj ).
Как известно из аналитической геометрии, поверхность S имеет в точке Mj два вектора
единичной нормали
−
→
n±
j =
1
q
± 1 + (fx0 (xj , yj ))2 + (fy0 (xj , yj ))2
−
fx0 (xj , yj ), −fy0 (xj , yj ), 1
.
Поскольку координаты единичного вектора нормали совпадают с косинусами углов, образуемых этим вектором с единичными векторами ~i, ~j, ~k соответствующих координатных
осей, то
q
~k) = 1/ 1 + (f 0 (xj , yj ))2 + (f 0 (xj , yj ))2 .
cos(~
n+
,
j
x
y
~+
~ j . На границе каждой ячейВ последующем будем говорить о векторе n
j , обозначая его n
ки разбиения Uj ⊂ Ω, как на направляющей, построим z-цилиндрическую поверхность с
10
образующей, параллельной оси OZ. Эта цилиндрическая поверхность вырежет на касательной плоскости Tj кусок Lj , который представляет собой прямоугольник, и потому имеет меру
(площадь) m(Lj ). Вычислим следующую сумму
X
σS (τΠ , K) =
m(Lj ).
Uj ⊂Ω
Определение 1.4. Площадью элементарной гладкой поверхности с явным заданием называется конечный предел limd(τΠ )→0 σS (τΠ , K), если он существует. Поверхность в этом случае называется квадрируемой, а площадь поверхности S обозначается через µ(S).
Заметим, что, если элементарная гладкая поверхность S с явным заданием лежит в координатной плоскости OXY (или любой другой), то, как следует из определения, она квадрируема и её площадь — жорданова мера плоской области Ω. Выясним, существует ли при
наложенных на область Ω и функцию f условиях предел, указанный в определении 1.4, и,
если существует, чему он равен.
Поскольку m(Lj ) cos(~
n, ~k) = m(Uj ), то
m(Lj ) = m(Uj )/ cos(~
nj , ~k) =
q
1 + (fx0 (xj , yj ))2 + (fy0 (xj , yj ))2 m(Uj ).
Таким образом,
X q
1 + (fx0 (xj , yj ))2 + (fy0 (xj , yj ))2 m(Uj ).
σS (τΠ , K) =
Uj ⊂Ω
Рассмотрим функцию
q
1 + (fx0 (xj , yj ))2 + (fy0 (xj , yj ))2 , (x, y) ∈ Ω,
g(x, y) =
0, (x, y) ∈ Π \ Ω.
Функция g ограничена на Π, множество её точек разрыва совпадает с множеством ∂Ω, которое является жордановым нуль-множеством (поскольку Ω — измеримое по Жордану множество). По критерию Лебега функция g интегрируема по Риману на прямоугольнике Π, а
потому существует конечный предел
lim
d(τΠ )→0
X
Uj
ZZ
g(Kj )m(Uj ) =
g(x, y) dx dy =
ZZ
ZZΠ q
→ −
−
→
0
2
0
2
1 + (fx (xj , yj )) + (fy (xj , yj )) dx dy = | rx0 × ry0 | dx dy,
=
Ω
Ω
который не зависит от выбора точек Kj из Uj . Выберем в каждой ячейке разбиения Uj точку K◦j так, чтобы g(K◦j ) = 0, если Uj * Ω, и K◦j = Kj , если Uj ⊂ Ω. Тогда,
X
g(Koj )m(Uj ) = σS (τΠ , Ko ).
Uj
Таким образом, мы доказали следующий результат:
11
Теорема 1.1. Если S = { r(x, y) = (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ Ω } — элементарная гладкая
поверхность с явным заданием, Ω — измеримое по Жордану открытое множество в R2 ,
то поверхность S квадрируема, и её площадь вычисляется по формуле
ZZ
ZZ q
→0 −
−
→0
µ(S) = | rx × ry | dxdy =
1 + (fx0 (xj , yj ))2 + (fy0 (xj , yj ))2 dx dy.
Ω
Ω
Поскольку элементарная гладкая поверхность в некоторой окрестности каждой своей
точки является элементарной гладкой поверхностью с явным заданием, то можно ожидать,
что аналогичный результат имеет место и для неё. Действительно, имеет место теорема
(приведём её без доказательства):
Теорема 1.2. Если S = { (x, y, z) ∈ R3 | x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ Ω }
— элементарная гладкая поверхность, причём Ω — измеримое по Жордану множество
в R2 , то поверхность S квадрируема, и её площадь вычисляется по формуле
ZZ
ZZ q
→0 −
−
→0
µ(S) = | ru × rv | du dv =
A2 + B2 + C2 du dv.
Ω
Ω
Замечание 1.2.1. Если S — элементарная гладкая поверхность, а S — её замыкание, то площадь S считаем равной µ(S).
Замечание 1.2.2. Если S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω } и отображение r удовлетворяет условиям 1,
3 определения
ZZ 1.2, непрерывно на Ω и непрерывно дифференцируемо на Ω (а не на Ω!), то
|ru0 × rv0 | du dv может быть несобственным. В случае сходимости его величину
интеграл
Ω
считают площадью поверхности S.
Теорема 1.3. Площадь элементарной гладкой поверхности S не зависит от эквивалентной параметризации.
Доказательство. Пусть r : Ω ⊂ R2u,v → S ⊂ R3 , er : Ω 0 ⊂ R2u,v → S — эквивалентные параметризации поверхности S, удовлетворяющие условиям 1–3 определения 1.2 (области Ω и
Ω 0 измеримы по Жордану в R2 ). Пусть g : Ω 0 → Ω — биективное непрерывно дифференцируемое отображение, для которого
D(g1 , g2 )
6= 0, ∀(u 0 , v 0 ) ∈ Ω 0 .
0
0
D(u , v )
По теореме 1.2
ZZ
µ(S) =
→
−
→
−
| r 0 u × r 0 v | du dv.
Ω
Сделаем в интеграле замену переменных, полагая u = g1 (u 0 , v 0 ), v = g2 (u 0 , v 0 ). Тогда
→
−
→ D(g1 , g2 ) −1
−
−
→
→
−
| r 0 u × r 0 v | = | re0 u 0 × re0 v 0 |
D(u 0 , v 0 ) и на основании теоремы о замене переменных в двойном интеграле получим:
ZZ −
ZZ −
→
−
→ D(g1 , g2 ) −1 D(g1 , g2 ) →
→
−
0
0
e
e
e0 0 × re0 0 | du 0 dv 0 .
0
0
µ(S) = | r u 0 × r v 0 |
du
dv
=
|
r
u
v
D(u 0 , v 0 ) D(u 0 , v 0 ) Ω
Ω0
12
Приведём несколько примеров вычисления площади поверхности.
Пример 1.6. Вычислить площадь поверхности шара.
B Воспользовавшись результатами примера 1.2, замечаем, что сферическая поверхность
с меридианным разрезом
Se = (a cos ζ cos θ, a sin ζ cos θ, a sin θ) | (ζ, θ) ∈ Ω = (0, 2π) × (−π/2, π/2)
является элементарной гладкой поверхностью с кусочно гладким краем
∂S = (a cos θ, 0 , a sin θ) | θ ∈ [−π/2; π/2] .
e
По замечанию 1 к теореме 1.2 площадь сферы совпадает с площадью поверхности S.
Согласно предыдущей теореме
ZZ
2π
Z
a2 cos θ dζ dθ = a2
µ(S) =
π/2
Z
0
(0,2π)×(−π/2,π/2)
cos θ dθ = 4πa2 .C
dζ
−π/2
Пример 1.7. Вычислить площадь части гиперболического параболоида z = xy, вырезанной
из него цилиндром x2 + y2 = 8.
B Заметим, что S = { (x, y, xy) | (x, y) ∈ Ω }, где Ω = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 8 }.
Поскольку функция z = xy является непрерывно дифференцируемой в R2 , то S — элементарная гладкая поверхность. Граница области
√
√
∂Ω = { ( 8 cos ϕ, 8 sin ϕ) | 0 ≤ ϕ ≤ 2π }
является окружностью (гладкой линией в R2 ), поэтому Ω — измеримая по Жордану область.
По теореме 1.1 площадь указанной части гиперболического параболоида будет вычисляться
по формуле
ZZ u
u
S = t1 +
v
∂z
∂x
!2
∂z
+
∂y
!2
Ω
ZZ q
dx dy =
1 + y2 + x2 dx dy.
Ω
Переходя к полярным координатам, получим
√
2Z 2
2π
Z
S=
0
q
r 1 + r2 dr = 26π. C
dϕ
0
Пример 1.8. Найти площадь части поверхности z = 1 − (x2 + y2 )3/2 , отсекаемой от неё
плоскостью z = 0.
B Функция z = 1 − (x2 + y2 )3/2 непрерывно дифференцируема в R2 , так как
∂z
= −3x(x2 + y2 )1/2 ,
∂x
∂z
= −3y(x2 + y2 )1/2 ,
∂y
∀(x, y) ∈ R2 .
Часть S поверхности, отсекаемая плоскостью z = 0 проектируется на плоскость XOY в область Ω, границей которой является окружность x2 + y2 = 1 — линия пересечения поверхности S с плоскостью z = 0. Следовательно, Ω = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1 }, и
13
S = { (x, y, z(x, y)) | (x, y) ∈ Ω } — поверхность с явным заданием. Как и в предыдущем
примере
ZZ q
S=
1 + 9(x2 + y2 )2 dx dy =
G
2π
Z
=
2π
Z1 q
Z
Z1 q
1
dϕ r 1 + 9r4 dr =
dϕ
1 + 9u2 du =
2
0
0
"
0
u
1
=π
1 + 9u2 + ln 3u +
2
6
q
0
q
1+
9u2
# 1
=
0
√
1√
1
=π
10 + ln(3 + 10) .
2
6
"
#
C
Пример 1.9. Найти площадь части поверхности (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ), лежащей в сфере
x2 + y2 + z2 = a2 .
B Рассматриваемая поверхность является цилиндрической поверхностью; её образующая параллельна оси OZ, направляющей является линия L, лежащая в плоскости XOY и
задаваемая уравнением (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ). В полярной системе координат линия L
задаётся уравнением
√
L : r = a cos 2ϕ,
h π π i [h 3π 5π i
,
,
ϕ∈ − ,
4 4
4 4
поэтому
L=
√
(a cos 2ϕ cos ϕ; a
√
h −π π i [h 3π 5π i
cos 2ϕ sin ϕ) ϕ ∈
,
,
.
4 4
4 4
Функции
x(ϕ)
h
i h и y(ϕ),
i представляющие параметризацию линии L, непрерывны
на мно
−π π S 3π 5π
−π π S 3π 5π
жестве 4 , 4
,
и
непрерывно
дифференцируемы
на
множестве
,
,
,
4
4
4 4
4
4
2
причём x 0 2 (ϕ) + y 0 2 (ϕ) = cosa2ϕ > 0. Следовательно, L — кусочно-гладкая линия. Соответствующая z — цилиндрическая поверхность (см. пример 1.4) совпадает с множеством
√
√
(a cos 2ϕ cos ϕ, a cos 2ϕ sin ϕ, h)
h −π π i [h 3π 5π i
ϕ∈
,
,
, h ∈ [−h0 , h0 ] ,
4 4
4 4
где h0 — некоторое положительное число. В силу симметрии цилиндра и сферы относительно координатных плоскостей, часть S1 цилиндра, лежащая в сфере и в первом октанте
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), составляет восьмую часть искомой поверхности. Найдём параметризацию S1 . Точки (x, y, z) ∈ S1 удовлетворяют следующим условиям:

2
2 2
2 2
2

(x + y ) = a (x − y )
x2 + y2 + z2 ≤ a2


x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,
14
поэтому
S1 =
√
√
(a cos 2ϕ cos ϕ, a cos 2ϕ sin ϕ, h)
h πi
h
i
√
ϕ ∈ 0,
, h ∈ 0, a 1 − cos 2ϕ .
4
Пусть
Ω=
тогда
S1 =
π
√
(ϕ, h) ϕ ∈ 0, , h ∈ 0, a 1 − cos 2ϕ ,
4
√
√
(a cos 2ϕ cos ϕ, a cos 2ϕ sin ϕ, h) (ϕ, h) ∈ Ω .
→
→
a2
Для неё |−
r ϕ0 × −
> 0, ∀(ϕ, h) ∈ Ω, то есть S1 — элементарная гладкая поверхr h0 | = √cos
2ϕ
ность. По замечанию к теореме 1.2
√
a 1−cos
Z 2ϕ
π/4
Z
S = 8S1 = 8
√
dϕ
0
a
dh =
cos 2ϕ
0
π/4
Z
8
0
π/4
√
√
Z
d( 2 cos ϕ)
a2 2 sin ϕ
2
q
√
dϕ = −8a
=
2
cos 2ϕ
1
−
2(cos
ϕ)
0
π/4
√
√
= −8a2 arcsin ( 2 cos ϕ) = 8a2 arcsin ( 2 − 1).
0
1.3
C
Пример Шварца
Сложное по сравнению с определением длины параметризованной линии, определение
площади параметризованной поверхности нельзя упростить, аппроксимируя поверхность
многогранниками. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим цилиндрическую поверхность. Пусть
S — круговой z-цилиндр радиуса a и высоты h. Всегда можно считать, что его образующая
параллельна оси OZ, направляющая окружность — x2 + y2 = a2 , z ∈ [0, h]. Положим
Se =
r(u, v) = (a cos u, a sin u, v) u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, h) .
Se — элементарная гладкая поверхность с кусочно-гладким краем (см. пример 1.4), замыe На основании приведённой в теореме 1.2
кание которой совпадает с S. Поэтому µ S = µS.
формулы вычисления площади поверхности µS = 2πah (эта формула приводится и в курсе
математики средней школы).
Проведём следующие построения. Разделим сегмент [0, h] на m равных частей и проведём через полученные точки деления плоскости, параллельные основанию цилиндра. На
поверхности S получим m+1 окружность, каждую из которых разделим на n равных частей
так, чтобы точки деления на вышележащей окружности были расположены над серединами
возникающих при делении дуг нижележащей окружности. Используя две соседние точки
деления на окружности и точку над и под серединой этой дуги на вышележащей и нижележащей окружностях построим 2mn равных равнобедренных треугольника. В совокупности
эти треугольники составляют многоугольную поверхность S4 .
15
B
A
O
D
C
B'
Рис. 1: Пример Шварца
Пусть 4ABC — один из её треугольников, BD — его высота, опущенная на основание.
Согласно построению, AB = BC и
π
|AC| = 2a sin ,
n
|BD| =
s
h 2
m
+ a2 1 − cos
π 2
,
n
здесь a(1 − cos nπ ) — длина части радиуса окружности, проходящего через точку D, расположенная между окружностью и хордой AC. Тогда площадь 4ABC равна
s
1
π h 2
π 2
|AC| · |BD| = a sin
+ a2 1 − cos
,
2
n
m
n
а площадь всей поверхности S4 равна
π
µ(S4 ) = 2mna sin
n
s
h2
π 2
2 1 − cos
+
a
.
m2
n
Заметим, что когда m и n неограниченно возрастают, то диаметры всех треугольников стремятся к 0, но площадь S4 , как мы сейчас покажем, предела не имеет. Действительно, пусть q
— произвольное положительное число и m и n такие, что существует предел
m
= q.
m→+∞ n2
n→+∞
lim
Тогда, учитывая, что lim n sin(π/n) = π, и применяя формулу Тейлора к функции 1−cos nπ ,
n→+∞
находим
16
s
lim µ(S4 ) = lim 2πam
m→+∞
n→+∞
m→+∞
n→+∞
h2
π 2
2 1 − cos
+
a
=
m2
n
s
= 2πa
h2
+
a2
π
m 1 − cos
n
2
q
= πa 4h2 + a2 q2 π4 .
Последнее означает, что предел зависит от числа q. Только при q = 0 получится хорошо
известная формула для площади цилиндрической поверхности. Значит площадь поверхности S нельзя аппроксимировать поверхностями S4 .
2
Гладкие и кусочно гладкие поверхности
2.1
Определения и основные свойства
Предыдущий материал касался наиболее простых из существующих поверхностей. Теперь рассмотрим более сложные.
Определение 2.1. Пусть S ⊂ R3 . Множество S называется гладкой (регулярной) поверхностью, если для любой точки M ∈ S в R3 существует окрестность UM точки M такая, что
множество S ∩ UM является элементарной гладкой параметризованной поверхностью.
Из определения и леммы 1.1 сразу следует, что любая элементарная гладкая параметризованная поверхность является гладкой поверхностью. Другой пример гладких поверхностей описывается в следующей лемме.
Лемма 2.1. Пусть G — открытое множество в R3 , функция F определена, непрерывно
дифференцируема на G, и (Fx0 )2 + (Fy0 )2 + (Fz0 )2 > 0 в каждой точке из множества G. Тогда
множество
S = { (x, y, z) ∈ G | F(x, y, z) = 0 },
при условии, что оно не пусто, является гладкой поверхностью.
Доказательство. Пусть точка M0 ∈ S (то есть F(M0 ) = 0) и, кроме того,
(Fx0 (M0 ))2 + (Fy0 (M0 ))2 + (Fz0 (M0 ))2 > 0.
Тогда одно из слагаемых в последней сумме не нуль, пусть для определенности (Fz0 (M0 )) 6=
0. Согласно теореме о существовании неявной функции, определяемой функциональным
уравнением, существуют окрестности V(x0 ,y0 ) , Wz0 такие, что в окрестности UM0 = V(x0 ,y0 ) ×
Wz0 уравнение F(x, y, z) = 0 определяет непрерывно дифференцируемую неявную функцию f : V(x0 ,y0 ) → Wz0 , причём f(x0 , y0 ) = z0 . Так как F(x, y, f(x, y)) ≡ 0, (x, y) ∈ V(x0 ,y0 ) ,
то
S ∩ UM0 = { (x, y, z) ∈ G | F(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ V(x0 ,y0 ) } =
= { (x, y, z) ∈ G | z = f(x, y), (x, y) ∈ V(x0 ,y0 ) }.
Последнее множество — поверхность с явным заданием. Лемма доказана.
Следствие. Рассмотренная ранее сфера S = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = a2 } является
гладкой поверхностью.
17
Доказательство. Действительно, в этом случае F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − a2 ,
(Fx0 )2 + (Fy0 )2 + (Fz0 )2 (x,y,z)∈S
= 4(x2 + y2 + z2 ) = 4a2 > 0.
По аналогии с определением 1.3 введём
Определение 2.2. Если для гладкой поверхности S множество ΓS = S\S не пусто, то его называют краем поверхности, а саму поверхность S называют гладкой поверхностью с краем.
Если, дополнительно, ΓS является кусочно гладкой линией в R3 , то говорят, что S — гладкая
поверхность с кусочно гладким краем. Если множество ΓS пусто, то поверхность S называют
поверхностью без края.
Пример 2.1. Пусть S = { (x, y, 1) | x, y ∈ (0, 1) } — квадрат в плоскости, параллельной
OXY и проходящий через точку (0, 0, 1). Как нетрудно видеть, это элементарная гладкая
поверхность (а значит — гладкая поверхность). Край этой поверхности
ΓS = { (1, y, 1) | y ∈ [0, 1] }
[
{ (0, y, 1) | y ∈ [0, 1] }
[
[
{ (x, 1, 1) | x ∈ [0, 1] }
[
{ (x, 0, 1) : x ∈ [0, 1] }
— есть кусочно гладкая линия в R3 .
Определение 2.3. Пусть Sj , 1 ≤ j ≤ p — элементарные гладкие поверхности с кусочно
гладкими краями Γj , соответственно, причём
1) Sj ∩ Sj = ∅, если i 6= j; но ∀ Sj ∃ Si (i 6= j): Γi ∩ Γj 6= ∅;
2) Γi ∩ Γj , 1 ≤ i, j ≤ p, либо пустое множество, либо кусочно гладкая линия.
Тогда каждое из следующих двух множеств
S=
p
[
j=1
!
Sj
[
i=p,j=p
[
!
Γi ∩ Γj ,
i=1,j=1
S=
p
[
Sj ,
j=1
называется кусочно гладкой поверхностью с кусочно гладким краем (или, короче, кусочно гладкой поверхностью). Краем такой поверхности является объединение тех частей кусочно гладких параметризованных линий Γj которые являются частью края только одной
элементарной гладкой поверхности Sj .
Определение 2.4. Кусочно гладкая (гладкая) поверхность без края называется замкнутой
кусочно гладкой (гладкой) поверхностью.
Примером замкнутой кусочно гладкой поверхности является граница куба, а примером
незамкнутой кусочно гладкой поверхности является поверхность
{ (x, y, 0) | x, y ∈ [0, 1] }
[
{ (0, y, z) | y, z ∈ [0, 1] }.
p
Определение 2.5.
PpПлощадью кусочно гладкой поверхности S = j=1 Sj из определения 2.3
называют число j=1 µ(Sj ) (µ(Sj ) — площадь элементарной гладкой поверхности Sj .)
S
18
Не будем останавливаться на доказательстве корректности данного определения, то есть
на доказательстве того, что величина площади такой поверхности не зависит от способа её
представления в виде объединения конечного числа элементарных гладких поверхностей
с кусочно гладкими краями. Желающие смогут найти рассмотрение этого и других вопросов, связанных с понятием площади поверхности в литературе. Ограничимся только одним
примером.
Пример 2.2. Найти площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями x2 +z2 = a2 ,
y2 + z2 = a2 .
B В силу симметрии данных цилиндров относительно координатных плоскостей ясно,
что часть поверхности тела, полученного от пересечения цилиндров, лежащая в первом октанте, составляет 1/8 искомой.
z
a
S2
S1
0
a
a
x
y
D
y=x
Рис. 2: Цилиндры
Более того, площадь части S1 кругового y-цилиндра x2 + z2 = a2 , лежащей в первом
октанте и вырезанной круговым x-цилиндром y2 + z2 = a2 , равна площади части S2 xцилиндра, лежащей в первом октанте и вырезанной y-цилиндром. Поэтому µS1 является
1/16 искомой площади. Найдём µS1 . Как и в примере 1.8 получаем, что y-цилиндр x2 + z2 =
a2 совпадает с множеством
(a cos ϕ, h, a sin ϕ) ϕ ∈ [0, 2π], h ∈ R .
Точки (x, y, z) ∈ S1 удовлетворяют условиям:

2
2
2

x + z = a
y2 + z2 ≤ a2


x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Поэтому точки (a cos ϕ, h, a sin ϕ) ∈ S1 таковы, что ϕ ∈ [0, π/4], h ∈ [0, a cos ϕ] и
S1 =
h
(a cos ϕ, h, a sin ϕ) ϕ ∈ 0,
πi
, h ∈ [0, a cos ϕ] .
4
19
Пусть Ω = { (ϕ; h) | ϕ ∈ (0, π/4), h ∈ (0; a cos ϕ) }, тогда
S1 = (a cos ϕ, h, a sin ϕ) (ϕ, h) ∈ Ω .
Параметризация этой поверхности удовлетворяет условиям 1–2 определения 1.2. А так
−
→ −
→
→
−
→
−
как rϕ0 × rh0 = −a cos ϕ i − a sin ϕ k , то
−
→ −
→
∀(ϕ; h) ∈ Ω.
|rϕ0 × rh0 | = a > 0,
Следовательно, S1 является элементарной гладкой поверхностью и по теореме 1.2
π
ZZ
µS1 =
Z1
a dϕ dh =
Ω
π
a cos
Zϕ
Z2
a dh = a2
dϕ
0
0
cos ϕ dϕ = a2 .
0
Таким образом, искомая площадь равна 16a2 .
√
Заметим, что S1 можно считать поверхностью с явным заданием z = a2 − x2 , которая
проектируется на плоскость XOY в треугольник
D = { (x; y) | x ∈ [0; a], 0 ≤ y ≤ x },
поскольку линия пересечения цилиндров в первом октанте

2
2
2

x + z = a
y2 + z2 = a2


x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
проектируется на плоскость XOY в отрезок прямой y = x, x ∈ [0, a]. Но в этом представлении поверхность не является элементарной гладкой. Однако
1+
2
z 0x
+
2
z 0y
a2
= 2
,
a − x2
поэтому, в силу замечания 2 к теореме 1.2,
Za
µS1 =
dx
0
2.2
Zx
0
a
√
dy = a
a2 − x 2
Za
a
q
x
2
2
= a2 .
√
a
−
x
dx
=
a
a2 − x 2
0
C
0
Ориентация гладкой и кусочно гладкой поверхности
Пусть S — гладкая поверхность. Как следует из определения 2.1, в некоторой окрестности UM точки M ∈ S множество S ∩ UM — элементарная гладкая поверхность. Пусть
rM (u, v), (u, v) ∈ ΩM — её параметризация. Тогда в каждой точке поверхности S ∩ UM
существует касательная плоскость и векторы единичных нормалей
→0 −
−
→
ru × rv0
→
−
±
n M (u, v) = −
→ −
→.
±| ru0 × rv0 |
Таким образом, каждой точке M ∈ S можно поставить в соответствие один из векторов
→
−
3
n±
M , то есть определить отображение из S в R , которое называется вектором единичной
−
→
нормали и обозначается n ± .
20
Определение 2.6. Гладкая поверхность S называется ориентируемой (двусторонней), если
→
на S существует непрерывный вектор единичной нормали −
n . Если S ориентируема, то по→
−
верхность S вместе с функцией n называется стороной поверхности и обозначается через
→
→
(S, −
n ), а вектор −
n — её ориентацией.
Лемма 2.2. Элементарная гладкая поверхность — ориентируемая поверхность.
Доказательство. Как следует из формулы (1.1) и определения 1.2, в случае элементарной
гладкой параметризованной поверхности S = {r(u, v) : (u, v) ∈ Ω}, отображение
→0 −
−
→
A(u, v)~i + B(u, v)~j + C(u, v)~k
ru × rv0
−
→
n (u, v) = −
→0 −
→0 = q 2
A (u, v) + B2 (u, v) + C2 (u, v)
| ru × rv |
(2.1)
определяет непрерывный на S вектор единичной нормали.
Следствие 2.2.1. Элементарная гладкая поверхность S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω} имеет две
ориентации
−
→
n ± (u, v) =
−r 0 × −
→
→
r v0
u
=
→
→
±|−
r 0 ×−
r 0|
u
v
!
=
A
B
C
√
, √ 2
, √ 2
.
2
2
2
2
2
± A + B + C ± A + B + C ± A + B2 + C2
Следствие 2.2.2. Элементарная гладкая поверхность с явным заданием
S = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ Ω }
имеет две ориентации
−
→
n ± (x, y) =
−fx0
−fy0
1
!
q
, q
, q
.
± 1 + f 0 2x + f 0 2y ± 1 + f 0 2x + f 0 2y ± 1 + f 0 2x + f 0 2y
→
Сторону (S, −
n + ) элементарной гладкой поврехности с явным заданием обычно назы→
−
→
→
вают верхней (её вектор нормали −
n + образует острый угол с вектором k ), а (S, −
n −) —
нижней стороной поверхности.
Сфера S = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = a2 }, как показано выше, является гладкой
поверхностью. Можно показать, что она является ориентируемой поверхностью. Хорошо
известный лист Мёбиуса — пример гладкой неориентируемой поверхности.
Определение 2.7. Гладкая поверхность S с краем называется поверхностью, ориентируемой с краем, если S ориентируема и существующий на S непрерывный вектор единичной
нормали непрерывно продолжается на край поверхности. В этом случае ещё говорят, что
поверхность S ориентируема.
Пример 2.3. Сфера с разрезом (из примера 1.2)
Sb =
r(ζ, θ) = (a cos ζ cos θ, a sin ζ cos θ, a sin θ)
ζ ∈ (0, 2π), θ ∈ (−π/2, π/2)
21
является элементарной гладкой поверхностью, ориентируемой с краем.
B Действительно, как следует из проведённых там вычислений, вектор внешней едиb ζ ∈ (0, 2π), θ ∈ (−π/2, π/2), в
ничной нормали представим в каждой точке M(ζ, θ) ∈ S,
виде
→
−
n (ζ, θ) = a cos ζ cos θ~i + a sin ζ cos θ~j + a sin θ) ~k.
Откуда легко следует, что вектор единичной нормали, непрерывно продолжается на край
поверхности. C
Пример 2.4. Конус с разрезом (из примера 1.3)
Se = { r(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, ρ) | ρ ∈ (0, 1), θ ∈ (0, 2π) }
не является элементарной гладкой поверхностью, ориентируемой с краем.
B Дело в том, что сторона этой поверхности определяется в каждой точке M(ρ, θ) ∈ Se
одним из отображений
1 −
→
n ± (ρ, θ) = ± √ (− cos θ)~i + (− sin θ)~j + ~k ,
2
которые, очевидно, имеют непрерывное продолжение на все точки края поверхности, кроме точки (0, 0, 0). В точке (0, 0, 0) предел каждого их этих двух отображений не существует,
поскольку зависит, например, от того, по какой образующей конуса мы движемся к точке
(0, 0, 0). Действительно, если для фиксированной точки θ0 ∈ (0, 2π) рассмотреть точки конуса вида Mθ0 = M(ρ cos θ0 , ρ sin θ0 , ρ), то
1 →
lim −
n (Mθ0 ) = ± √ (− cos θ0 )~i + (− sin θ0 )~j + ~k . C
ρ→0
2
Определение 2.8. Пусть S элементарная гладкая ориентируемая с краем поверхность, и
край поверхности ΓS — кусочно гладкая параметризованная линия в R3 с некоторым выбранным направлением. Будем говорить, что ориентация поверхности S и края поверхности
→
ΓS согласованы, если при движении вектора единичной нормали −
n по краю ΓS в выбранном
→
на нем направлении точки выбранной стороны поверхности (S, −
n ) остаются слева.
Определение 2.9. Пусть S (или S = ∪pj=1 Sj ) — кусочно гладкая поверхность в смысле определения (2.3). Будем говорить, что поверхность S ориентируема с краем (или, что то же
самое, S ориентируема), если
1) элементарные гладкие поверхности Sj ориентируемы с краем;
2) ориентации поверхностей Si и Sj , для которых Γj ∩ Γi 6= ∅, таковы, что ориентации
краёв, согласованные с выбранными ориентациями поверхностей, на общей части Γj ∩
Γi противоположны.
Когда кусочно гладкая поверхность ориентируема и замкнута, то, если не оговорено другого, всегда выбирается внешняя сторона поверхности, то есть в каждой точке выбирается
вектор единичный нормали, направленный во внешность ограниченного данной поверхностью тела из R3 .
Поверхность куба — ориентируемая замкнутая кусочно гладкая поверхность, а поверхность, состоящая из кусков трёх пересекающихся по одной прямой плоскостей
22
{ (x, y, 0) | x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1] }
[
{ (0, y, z) | y ∈ [0, 1], z ∈ [0, 1] }
[
[
{ (x, y, x) | x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1] }
не является ориентируемой, поскольку после выбора ориентаций на двух плоскостях, выбрать ориентацию третьей плоскости так, чтобы выполнялось второе условие определения
(2.9) невозможно.
3
Поверхностные интегралы
3.1
3.1.1
Определения и основные свойства
Поверхностные интегралы 1-го рода
Будем предполагать, что в пространстве R3 параметрически задана элементарная гладкая поверхность S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω }, при этом Ω — открытое измеримое по Жордану множество в R2 . Пусть f : S → R1 . Рассмотрим произвольный прямоугольник Π в R2
такой, что Ω ⊂ Π, и возьмём произвольное разбиение τΠ = { Uj } прямоугольника Π. По
каждой ячейке разбиения Uj , построим замкнутое жорданово множество Ωj = Ω ∩ Uj .
Конечный набор τΩ = { Ωj } будем называть разбиением множества Ω. Пусть, наконец,
Sj = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ωj }, d(Sj ) = supM,N∈Sj ρ(M, N) и d(τΩ ) = maxj d(Sj ). Из условий, наложенных на отображение r, следует, что
lim d(τΩ ) = 0.
d(τΠ )→0
Выберем произвольно точку Kj (uj , vj ) из Ωj , тогда Mj = r(uj , vj ) — соответствующая
точка поверхности Sj . Следующую сумму
X
σS (τΠ , K, f) =
f(Mj ) µ(Sj ), где µ(Sj ) — площадь поверхности Sj ,
Sj
назовём интегральной суммой, составленной по функции f и поверхности S.
Определение 3.1. Если существует число I такое, что
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : I − σS (τΠ , K, f) < ε
для любого разбиения τΠ с диаметром d(τΠ ) < δ при любом выборе точек Kj ∈ Sj , то говорят, что существует предел интегральных сумм σS (τΠ , K, f), равный I. Записывают этот
факт в виде
lim σS (τΠ , K, f) = I.
(3.1)
d(τΠ )→0
Число I называют поверхностным интегралом первого рода от функции f по элементарной
гладкой поверхности S, обозначают его символом
ZZ
I = f ds,
S
а функцию f называют интегрируемой по поверхности S.
23
Для функции f, определённой и ограниченной на S, как и в теории определённого интеграла, можно ввести верхнюю и нижнюю сумму Дарбу
X
S(τΠ , f) =
Mfj µ(Sj ),
Sj ⊂Ω
S(τΠ , f) =
X
mfj µ(Sj ),
Sj ⊂Ω
где Mfj = sup{ f(x) | x ∈ Sj }, mfj = inf{ f(x) | x ∈ Sj }. Можно доказать следующий критерий:
Критерий типа Дарбу. Если функция f ограничена на замыкании элементарной гладкой
поверхности S, то для интегрируемости её по поверхности S необходимо и достаточно,
чтобы
lim (S(τΠ , f) − S(τΠ , f)) = 0.
d(τΠ )→0
Из определения (3.1) и сказанного выше следует, что поверхностный интеграл первого
рода обладает следующими свойствами, которые доказываются так же, как соответствующие свойства определённого интеграла:
1. Если f непрерывна на S, то она интегрируема по поверхности S.
2. Если функции f и ϕ интегрируемы по поверхности S, то функция αf + βϕ интегрируема по S для любых чисел α и β, при этом
ZZ
ZZ
ZZ
(αf + βϕ) ds = α f ds + β ϕ ds.
S
S
S
3. Если поверхности S1 и S2 пересекаются по конечному числу кусочно гладких линий и
функция f интегрируема по S1 и S2 , то f интегрируема по поверхности S = S1 ∪ S2 и
ZZ
ZZ
ZZ
f ds = f ds + f ds.
S
S1
S2
ZZ
4.
1 ds = µ(S).
S
5. Если функция f интегрируема по поверхности S, то функция |f| интегрируема по S и
ZZ
ZZ
f ds ≤
|f| ds.
S
S
6. Если функции f и ϕ интегрируемы по поверхности S и f(x) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ S, то
ZZ
ZZ
f ds ≤ ϕ ds.
S
S
24
В частности, если f ограничена на S и интегрируема, то
ZZ
f
mS µ(S) ≤ f ds ≤ MfS µ(S),
S
где mfS = inf f(x), MfS = sup f(x).
x∈S
x∈S
7. Если функция f непрерывна на S, а функция ϕ интегрируема на S и ϕ(x) ≥ 0, то
ZZ
ZZ
∃ x0 ∈ S :
fϕ ds = f(x0 ) ϕ ds.
S
S
Можно было бы ввести понятия верхнего и нижнего интегралов Дарбу:
I(f, S) = inf
S(τΠ ),
τ
Π
I(f, S) = sup S(τΠ )
τΠ
и с их помощью ввести понятие поверхностного интеграла от функции f по поверхности S
следующим образом:
Определение 3.2. Пусть функция f : S → R ограничена, S — элементарная гладкая поверхность. Если I(f, S) = I(f, S), то функция f называется интегрируемой по поверхности S,
а общее значение интегралов Дарбу называют поверхностным интегралом первого рода от
функции f по поверхности S.
Предлагаем студентам доказать равносильность этого определения и определения 3.1.
Теорема 3.1. Пусть в пространстве R3 параметрически задана элементарная гладкая
поверхность S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω }, Ω — открытое измеримое по Жордану множество
в R2 . Пусть f : S → R1 , причём f ◦ r — непрерывная функция на Ω. Тогда поверхностный
интеграл первого рода от функции f по S существует и вычисляется по формуле
ZZ
ZZ
f ds = (f ◦ r)(u, v)|~ru0 × ~rv0 | du dv =
S
ZZ
Ω
q
(f ◦ r)(u, v) A2 (u, v) + B2 (u, v) + C2 (u, v) du dv. (3.2)
=
Ω
Доказательство. Интеграл в правой части последней формулы существует, так как, в силу
наложенных условий, подынтегральная функция непрерывна, а потому интегрируема, на
Ω. Обозначим величину этого интеграла через I и докажем формулу (3.2).
Так как функция f ◦ r непрерывна на Ω, то согласно теореме Кантора она равномерно
непрерывна на нем. Значит для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что для точек K, K 0 ∈ Ω,
для которых ρ(K, K 0 ) < δ, выполняется неравенство
|(f ◦ r)(K) − (f ◦ r)(K 0 )| <
Поскольку µ(Sj ) =
d(τΠ ) < δ, получим
RR
√
Ωj
ε
.
µ(S)
A1 + B2 + C2 du dv, то, выбирая произвольное разбиение τΠ с
25
|σS (τΠ , K, f) − I| =
q
X
X ZZ
2
2
2
= (f ◦ r)(Kj ) µ(Sj ) −
(f ◦ r)(u, v) A + B + C du dv =
Sj
ZZ q
X
= (f ◦ r)(Kj )
A2 + B2 + C2 du dv−
j
−
≤
Ωj Ω
j
X ZZ
X ZZ
j Ω
j
Ωj
(f ◦ r)(u, v) A2 + B2 + C2 du dv ≤
q
|(f ◦ r)(uj , vj ) − (f ◦ r)(u, v)|
j Ω
j
ε X
<
µ(S) j
q
ZZ q
A2 + B2 + C2 du dv =
A2 + B2 + C2 du dv <
ε
µ(S)
Ωj
ZZ q
A2 + B2 + C2 du dv = ε.
Ω
Итак, для ∀ε > 0 найдено δ > 0 такое, что для любого разбиения τΠ с dτΠ < δ выполняется неравенство |σS (τΠ , K, f) − I| < ε. Последнее означает, что существует поверхностный
интеграл первого рода от функции f по поверхности S и справедлива формула (3.2).
ZZ
Следствие 3.1.1. В условиях теоремы поверхностный интеграл f ds не зависит от экS
вивалентной параметризации поверхности S.
Cледует из теоремы 1.3.
Следствие 3.1.2. Если поверхность S имеет явное задание z = ϕ(x, y), ϕ — непрерывно дифференцируемая в измеримой области D функция и f : S → R, причём функция
f(x, y, ϕ(x, y)) непрерывна на D, то
ZZ
ZZ
q
f ds = f(x, y, ϕ(x, y)) 1 + ϕ 0 2x (x, y) + ϕ 0 2y (x, y) dx dy.
S
3.1.2
D
Поверхностные интегралы 2-го рода
В дополнение к предыдущим построениям, пусть выбрана сторона элементарной глад~ + ) (соответственно (S, n
~ − )). Тогда, как уже отмечалось,
кой поверхности (S, n
cos(~
n± ,~i) =
cos(~
n± ,~j) =
cos(~
n± , ~k) =
A(u, v)
q
± A2 (u, v) + B2 (u, v) + C2 (u, v)
B(u, v)
q
± A2 (u, v) + B2 (u, v) + C2 (u, v)
C(u, v)
q
± A2 (u, v) + B2 (u, v) + C2 (u, v)
;
;
,
(3.3)
26
где (A, B, C) = ~ru0 × ~rv0 . Пусть определены функции P, Q, R : S → R1 . По аналогии с инте~ + ) суммы:
гральной суммой σS (τΠ , K, f) определим, например, на (S, n
X
→
→
σS (τΠ , K, P, −
n +) =
P(Mj ) cos(−
n + (Mj ),~i) µ(Sj );
Sj
X
−
→
σS (τΠ , K, Q, →
n +) =
Q(Mj ) cos(−
n + (Mj ),~j) µ(Sj );
Sj
→
σS (τΠ , K, R, −
n +) =
X
→
R(Mj ) cos(−
n + (Mj ), ~k) µ(Sj ).
Sj
Определение 3.3. Если существует конечный предел каждой из перечисленных интегральных сумм, то он называется поверхностным интегралом второго рода соответственно от
дифференциальных форм P dy dz, Q dz dx, R dx dy по выбранной стороне заданной параметрически элементарной гладкой поверхности S. Их обозначают соответственно символами
ZZ
→
−
+
lim σS (τΠ , K, P, n ) :=
P dy dz;
d(τΠ )→0
(S,~
n+ )
−
lim σS (τΠ , K, Q, →
n + ) :=
ZZ
Q dz dx;
d(τΠ )→0
(S,~
n+ )
−
n + ) :=
lim σS (τΠ , K, R, →
ZZ
d(τΠ )→0
R dx dy.
(S,~
n+ )
Причина этих обозначений проста — величина cos(~
n+ (Mj ),~i)µ(Sj ) равна площади проекции куска поверхности Sj на координатную плоскость OYZ, величина cos(~
n+ (Mj ),~j)µ(Sj )
равна площади проекции куска поверхности Sj на координатную плоскость OXZ, величина
cos(~
n+ (Mj ), ~k)µ(Sj ) равна площади проекции куска поверхности Sj на координатную плоскость OXY.
Сумма последних трёх интегралов, если они существуют, называется полным (или общим) поверхностным интегралом второго рода по выбранной стороне элементарной гладкой поверхности S и обозначается символом
ZZ
P dy dz + Q dz dx + R dx dy.
(S,~
n+ )
Непосредственно из определений следует, что:
• Поверхностный интеграл первого рода по элементарной гладкой параметризованной
поверхности S не зависит от стороны поверхности, а поверхностные интегралы второго рода меняют знак при изменении стороны поверхности, поскольку, например,
cos(~
n+ (Mj ), ~k) = − cos(~
n− (Mj ), ~k).
• Каждый поверхностный интеграл второго рода сводится к поверхностному интегралу
первого рода, если в качестве подынтегральных функций в поверхностном интеграле
27
~
~
~
первого рода взять функции P(M) cos(~
n+
n+
n+
M , i), Q(M) cos(~
M , j) или R(M) cos(~
M , k)
соответственно, которые удовлетворяют, как легко видеть, всем нужным условиям.
Другими словами, имеют место формулы
ZZ
ZZ
P dy dz = P(M) cos(~
n+ (M),~i) ds;
(S,~
n+ )
S
ZZ
ZZ
Q(M) cos(~
n+ (M),~j) ds;
Q dz dx =
(S,~
n+ )
(3.4)
S
ZZ
ZZ
R(M) cos(~
n+ (M), ~k) ds.
R dx dy =
(S,~
n+ )
S
Из теоремы 3.1, пользуясь формулами (3.3) и определениями интегральных сумм для
поверхностных интегралов второго рода, получаем теорему существования поверхностного интеграла второго рода
Теорема 3.2. Пусть S = { r(u, v) | (u, v) ∈ Ω } — элементарная гладкая поверхность, Ω
— открытое измеримое по Жордану множество в R2 . Пусть P, Q, R : S → R, причём P ◦ r,
Q ◦ r, R ◦ r — непрерывные функции на Ω. Тогда полный поверхностный интеграл второго
рода от функций P, Q, R по выбранной стороне поверхности S существует и вычисляется
по формуле
ZZ
P dy dz + Q dz dx + R dx dy =
(S,~
n± )
=±
ZZ h
i
(P ◦ r)A + (Q ◦ r)B + (R ◦ r)C du dv.
Ω
Следствие 3.2.1. Если поверхность S имеет явное задание z = ϕ(x, y), где ϕ — непрерывно дифференцируемая в измеримой области D функция, P, Q, R : S −→ R, причём
P(x, y, ϕ(x, y)), Q(x, y, ϕ(x, y)), R(x, y, ϕ(x, y)) — непрерывные на D функции, то пол→
ный поверхностный интеграл по выбранной стороне поверхности (S, −
n ± ) вычисляется
по формуле:
ZZ
P dy dz + Q dz dy + P dx dy =
→
(S,−
n ±)
ZZ = ± −P(x, y, ϕ(x, y))fx0 (x, y) − Q(x, y, ϕ(x, y))fy0 (x, y)+
D
+ R(x, y, ϕ(x, y)) dx dy.
Доказательство. Для доказательства достаточно учесть, что верхняя сторона поверхности
соответствует вектору единичной нормали, образующему с осью OZ острый угол, то есть
−
→
n+ =
−ϕ 0 x (x, y)
q
1 + ϕ 0 2x + ϕ 0 2y
,q
−ϕ 0 y (x, y)
1 + ϕ 0 2x + ϕ 0 2y
,q
1
1 + ϕ 0 2x + ϕ 0 2y
!
.
28
Пусть теперь параметрически задана гладкая линия L:
L = (x, y) ∈ R2 x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [a, b] .
Поэтому функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] и ϕ 0 2 (t) +
ψ 0 2 (t) > 0, ∀t ∈ [a, b]. Пусть, кроме того, на L определены непрерывно дифференцируемые
функции f1 и f2 такие, что f1 (x, y) ≤ f2 (x, y), ∀ (x, y) ∈ L. В пространстве R3x,y,z можно
рассмотреть z-цилиндрическую поверхность
S = (x, y, z) ∈ R3 x = ϕ(t), y = ψ(t), f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y) .
Лемма 3.1. z-цилиндрическая поверхность S является элементарной гладкой. Если функция R непрерывна на S, то
ZZ
Rdxdy = 0.
S±
Доказательство. В данном случае r(t, u) = (ϕ(t), ψ(t), u), а криволинейная трапеция
Ω = {(t, u) ∈ R2 | t ∈ [a, b], f1 (ϕ(t), ψ(t)) ≤ u ≤ f2 (ϕ(t), ψ(t))}, в силу наложенных
ограничений, измерима по Жордану в R2 . Так как
~i
~j
~k
0
0
0
0
~rt × ~ru = ϕ (t) ψ (t) 0
0
0
1
q
= ψ 0 (t)~i − ϕ 0 (t)~j + 0~
k,
то A = ψ 0 (t), B = ϕ 0 (t), C = 0, |~rt0 × ~ru0 | = ϕ 0 1 + ψ 0 2 > 0, t ∈ (a, b). Тогда по теореме 3.2
S является элементарной гладкой поверхностью, и
ZZ
Z
R dx dy = ± R(r(t, u)) 0 dt du = 0.
S±
Ω
Понятия поверхностных интегралов первого и второго рода естественным образом переносятся на кусочно гладкие поверхности.
Определение 3.4. Пусть S — кусочно гладкая поверхность (S = pj=1 Sj ), пусть функция
f : S → R1 непрерывна на S. Поверхностным интегралом первого рода от функции f по
кусочно гладкой поверхности S называют число
ZZ
p ZZ
X
f ds =
f ds.
S
S
j=1 S
j
Определение 3.5. Пусть S — кусочно гладкая ориентируемая поверхность (S = pj=1 Sj ) и
функции P, Q, R : S → R1 непрерывны на S. Полным поверхностным интегралом второго
~ ± ) кусочно гладкой ориентируемой
рода от функций P, Q, R по выбранной стороне (S, n
поверхности S называют число
ZZ
ZZ
p
X
P dy dz + Q dz dx + R dx dy =
P dy dz + Q dz dx + R dx dy.
S
(S,~
n± )
j=1
(Sj ,~
n± )
29
u
z
z=f2(x,y)
u = f2(ϕ(t),ψ(t))
S
Ω
n
u = f1(ϕ(t),ψ(t))
z=f1(x,y)
0
y
a
0
b
t
L
x
Рис. 3: z-цилиндрическая поверхность
Список литературы
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3. — М.:
Наука, 1968.
[2] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2-х томах. — М.: Наука, 1988.
[3] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и
упражнениях. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
[4] Кибель И.А., Кочин Н.Е., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Наука, 1987.
Содержание
1 Элементарные гладкие поверхности
3
1.1 Определения и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Площадь элементарной гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Пример Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Гладкие и кусочно гладкие поверхности
16
2.1 Определения и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Ориентация гладкой и кусочно гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . 19
30
3 Поверхностные интегралы
3.1 Определения и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Поверхностные интегралы 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Поверхностные интегралы 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
22
25