Индивидуальные расчётные задания (типовые расчёты

Индивидуальные расчётные задания (типовые расчёты)
Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Теория поля
Вариант 1
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
x = 5 − y 2 , x = −4y.
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
30y
x2 + y 2 = 8, x = 2y, x = 0, z =
, z = 0.
11
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + y, y − x, z) через часть поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 0
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (z, x, y).
Вариант 2
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
3√
3
y=
x, y = , x = 9.
2
2x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
x + y = 2, y = x, z = 12y, z = 0.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + xy 2 , y − yx2 , z − 3) через часть
поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 1. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = cos t,
y = 3 sin t,
z = 2 cos t − 3 sin t − 2
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (x, 2z 2 , y).
Вариант 3
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
p
√
2
y = 6 − x , y = 6 − 6 − x2 .
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√ ¢
5x
5√
5¡
x, y = , z = 0, z = 3 + x .
y=
3
9
9
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x3 + xy 2 , y 3 + x2 y, z 2 ) через часть
поверхности S : x2 +y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 3. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 1
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (2z, −x, y).
Вариант 4
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
p
2
y = 6 − 36 − x , y = 36 − x2 , x = 0 (x > 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5¡
5√
5y
√ ¢
3+ y .
x=
y, x = , z = 0, z =
6
18
18
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + xy, y − x2 , z − 1) через часть
поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 3. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
√
√
2
2
Γ: x=
cos t, y =
cos t, z = sin t
2
2
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (y, −x, z 2 ).
Вариант 5
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
x2 + y 2 = 72, 6y = −x2 (y 6 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
√
1
y = 17 2x, y = 2 2x, z = 0, x + z = .
2
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y + yz 2 , z − zy 2 ) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
√
√
3
Γ : x = 4 cos t, y = 4 sin t, z = 3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (−x2 y 3 , 1, z).
Вариант 6
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
y = sin x, y = cos x, x = 0 (x 6 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5√
5y
5¡
√ ¢
x=
y, x = , z = 0, z = 3 + y .
3
9
9
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + z, y, z − x) через часть поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 4 cos t,
y = 4 sin t,
z = 4 − 4 cos t − 4 sin t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (4y, −3x, x).
Вариант 7
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
p
√
2
y = 18 − x , y = 3 2 − 18 − x2 .
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
p
1
x = 17 2y, x = 2 2y, z = 0, z + y = .
2
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, 1) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 1. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
√
√
2
2
Γ : x = cos t, y =
sin t, z =
cos t
2
2
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (x2 , y, −z).
Вариант 8
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
p
x = 36 − y 2 , x = 6 − 36 − y 2 .
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
x + y = 4, y = 2x, z = 3y, z = 0.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + xz 2 , y, z − zx2 ) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 9 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
√
√
Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 1
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (−x2 y 3 , 2, xz).
Вариант 9
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
√
y = 24 − x2 , 2 3 · y = x2 , x = 0 (x > 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
p
x = 7 3y, x = 2 3y, z = 0, z + y = 3.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y + yz, z − y 2 ) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = cos t,
y = 4 sin t,
z = 2 cos t − 4 sin t + 3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (x, −3z 2 , y).
Вариант 10
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
y = 11 − x2 , y = −10x.
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
p
1
x = 20 2y, x = 5 2y, z = 0, z + y = .
2
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + z, y + z, z − x − y) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 3 cos t,
y = 3 sin t,
z = 3 − 3 cos t − 3 sin t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (3y, −3x, x).
Вариант 11
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
y = 32 − x2 , y = −4x.
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
√
√ ¡
√ ¢
y = 15x, y = 15x, z = 0, z = 15 1 + x .
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, sin z) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 5. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = 4 cos t, y = 4 sin t, z = 1 − cos t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (y−z, z −x, x−
y).
Вариант 12
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
√
1
y = x, y = , x = 16.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
¡
√
√ ¢
x = 15 y, x = 15y, z = 0, z = 15 1 + y .
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (xyz, −x2 z, 3) через часть поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 2. Нормаль внешняя
к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = cos t,
y = 2 sin t,
z = 2 cos t − 2 sin t − 1
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (x, z 2 , y).
Вариант 13
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
1
y = , y = 6ex , y = 1, y = 6.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
√
y = 16 2x, y = 2x, z = 0, x + z = 2.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, z −2) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 1. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 2 cos t,
y = 3 sin t,
z = 4 cos t − 3 sin t − 3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (x, −z 2 , y).
Вариант 14
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
p
√
2
y = 12 − x , y = 2 3 − 12 − x2 , x = 0 (x > 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
x + y = 2,
x=
√
y,
z=
12x
,
5
z = 0.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, 2z) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 3. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = 5 cos t, y = 5 sin t, z = 4
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (−z, −x, xz).
Вариант 15
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
5
25
y=
− x2 , y = x − .
4
2
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
2
2
x + y = 8,
y=
√
2x,
y = 0,
z = 0,
z=
15x
.
11
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, xyz) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 5. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = cos t, y = sin t, z = 2(1 − cos t)
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (y−z, z −x, x−
y).
Вариант 16
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
√
1
x
y=
, y = , x = 16.
2
2x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
x2 + y 2 = 18,
x=
p
3y,
x = 0,
z = 0,
z=
10y
.
11
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (xy, −x2 , 3) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 1. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
1
1
Γ : x = cos t, y = sin t, z = 8
3
3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (−2z, −x, x2 ).
Вариант 17
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
y = sin x, y = cos x, x = 0 (x > 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
6y
x2 + y 2 = 50, x = 5y, x = 0, z = 0, z = .
11
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, −z) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 4. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = cos t, y = sin t, z = sin t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (xz, x, z 2 ).
Вариант 18
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
2
y = , y = 5ex , y = 2, y = 5.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
√
5 x
5x
y = 5 x, y = , z = 0, z = 5 +
.
3
3
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + y, y − x, xyz) через часть
поверхности S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 4.
Нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = cos t, y = sin t, z = sin t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (xy, x, y 2 ).
Вариант 19
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
x = 27 − y 2 , x = −6y.
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
x2 + y 2 = 2, y = x, y = 0, z = 0, z = 15x.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (y, −x, 1) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 4. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x=
1
cos t,
2
y=
1
sin t,
3
z = cos t −
1
1
sin t −
3
4
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a =
µ
¶
1 2
x, − z , y .
3
Вариант 20
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
√
x2 + y 2 = 36, 3 2 · y = x2 (y > 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
x2 + y 2 = 2, x = y, x = 0, z = 0, z = 30y.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (xz + y, yz − x, z 2 − 2) через часть
поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 3. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
√
√
Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2 cos t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (z, y 2 , −x).
Вариант 21
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
x = 8 − y 2 , x = −2y.
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
5x
x2 + y 2 = 18, y = 3x, y = 0, z = 0, z = .
11
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + y, y − x, z − 2) через часть
поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 2. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 2 cos t,
y = 2 sin t,
z = 2 − 2 cos t − 2 sin t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (2y, −3x, x).
Вариант 22
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
√
3
y = 3 x, y = , x = 9.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
4x
x + y = 6, x = 3y, z = , z = 0.
5
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, z 3 ) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 1. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = cos t, y = sin t, z = 3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (y, −x, z).
Вариант 23
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
y = 20 − x2 , y = −8x.
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
x + y = 8, y = 4x, z = 3y, z = 0.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (xz, yz, z 2 − 1) через часть поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 4. Нормаль внешняя
к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
1
Γ : x = 6 cos t, y = 6 sin t, z =
3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (7z, −x, yz).
Вариант 24
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
3
y = , y = 8ex , y = 3, y = 8.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
3x
x + y = 4, x = 2y, z = , z = 0.
5
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x, y, z) через часть поверхности
S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 2. Нормаль внешняя к
замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 3 cos t,
y = 4 sin t,
z = 6 cos t − 4 sin t + 1
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (x, −2z 2 , y).
Вариант 25
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
3√
3
y=
x, y = , x = 4.
2
2x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
y=
5√
x,
6
y=
5x
,
18
z = 0,
z=
√ ¢
5¡
3+ x .
18
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x − y, x + y, z 2 ) через часть поверхности S : x2 + y 2 = 1, вырезаемой плоскостями p1 : z = 0 и p2 : z = 2. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 3
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (6z, −x, xy).
Вариант 26
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
√
x2 + y 2 = 12, − 6 · y = x2 (y 6 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
p
x = 16 2y, x = 2y, z + y = 2, z = 0.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (y 2 x, −yx2 , 1) через часть поверхности S : x2 + y 2 = z 2 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 5. Нормаль внешняя
к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 3 cos t,
y = 3 sin t,
z = 2(1 − cos t)
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (y−z, z −x, x−
y).
Вариант 27
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
p
x = 72 − y 2 , 6x = y 2 , y = 0 (y > 0).
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
x + y = 6, y = 3x, z = 4y, z = 0.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + xy, y − x2 , z) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = cos t,
y = sin t,
z = 4 − cos t − sin t
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (2y, −z, x).
Вариант 28
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
2
y = , y = 7ex , y = 2, y = 7.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
√
√
y = 6 3x, y = 3x, z = 0, x + z = 3.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + xy 2 , y − yx2 , z) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 9 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ:
x = 2 cos t,
y = 2 sin t,
z = 3(1 − cos t)
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (y−z, z −x, x−
y).
Вариант 29
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
3
y = , y = 4ex , y = 3, y = 4.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
p
p
x = 19 2y, x = 4 2y, z = 0, z + y = 2.
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x + xz, y, z − x2 ) через часть
поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 4 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 4
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (−x2 y 3 , 4, x).
Вариант 30
Задача 1. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
√
3
y = 3 x, y = , x = 4.
x
Задача 2. С помощью тройного интеграла найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5√
5¡
5y
√ ¢
x=
y, x = , z = 0, z = 3 + y .
2
6
6
Задача 3. Найдите поток векторного поля ~a = (x − y, x + y, z) через часть поверхности S : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0), вырезаемой плоскостью p : z = 0. Нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.
Задача 4. Найдите циркуляцию векторного поля ~a = P~i + Q~j + R~k = (P, Q, R)
вдоль контура
Γ : x = cos t, y = sin t, z = 5
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если ~a = (−x2 y 3 , 3, y).