+z - Сибирский государственный индустриальный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Вычисление и приложения
поверхностных интегралов
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.3(07)
В 949
Рецензент
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры прикладной информатики
О.А. Кондратова
В 949 Вычисление и приложения поверхностных интегралов:
метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. Е. В. Таскаева. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 16 с.
Изложены краткие теоретические сведения по вычислению и
приложениям поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода, рассмотрены примеры и приведены задачи для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ……………………………………….4
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода …………………..4
Приложения поверхностного интеграла 1-го рода……………………5
Вычисление и приложения поверхностного интеграла 2-го рода …..6
ПРИМЕРЫ……………………………………………………………….9
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………………..11
ОТВЕТЫ…………………………………………………………………15
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………15
3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода
Теорема существования. Если поверхность S – гладкая (т. е.
направление нормали к поверхности меняется непрерывно при перемещении точки по поверхности), а функция f(x,y,z) непрерывна на
этой поверхности, то поверхностный интеграл
 f ( x, y, z)dS от функS
ции f(x,y,z) по поверхности S существует.
Если поверхность задана уравнением z=z(x,y), и существуют непрерывные частные производные zx , zy , а, значит, проекция Dxy поверхности S на плоскость Oxy однозначна, то
 f ( x, y, z)dS  
S
f ( x, y, z( x, y )) 1  ( z x ) 2  ( z y ) 2 dxdy
Dxy
Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 1-го рода
сводится к вычислению двойного интеграла по области Dxy – проекции поверхности S на координатную плоскость Oxy.
Аналогично, если поверхность S задана уравнением y=y(x,z) и
yx , yz непрерывны в Dxz , то
 f ( x, y, z)dS   f ( x, y( x, z ), z )
S
1  y x 2  y z 2 dxdz .
Dxz
Если поверхность S задана уравнением x=x(y,z) и xy , xz непрерывны в D yz , то
 f ( x, y, z)dS  
S
f ( x( y, z ), y, z ) 1  xy 2  x z 2 dydz .
Dyz
Если поверхность S задана параметрически в виде x=x(u,v),
y=y(u,v),z=z(u,v), где x,y,z – непрерывно дифференцируемые функции
в некоторой области G на плоскости Ouv, то
 f ( x, y, z)dS   f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))
S
EH  F 2 dudv , где
G
E  xu  yu  zu 2 , H  xv 2  yv 2  zv 2 , F  xu xv  yu yv  zu zv
2
2
4
Свойства поверхностного интеграла 1-го рода аналогичны свойствам двойного интеграла.
Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
Пусть S – гладкая материальная поверхность с плотностью γ=
γ(x,y,z). В таблице 1 представлены механические характеристики, которые можно найти с помощью поверхностного интеграла 1-го рода.
Таблица 1 – Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
Площадь поверхности S
S  ds

S
Масса поверхности S
m    ( x, y, z )ds
S
Статические моменты по- M xy  z ( x, y, z )ds ,

верхности S относительно коS
ординатных плоскостей
M  y ( x, y, z )ds ,

xz
S
M yz   x ( x, y, z )ds
S
M yz
M xy
Координаты центра тяжести
M xz
z

y

x

,
,
поверхности S
m
m
m
Моменты инерции поверхно- J xy  z 2 ( x, y, z )ds ,

сти S относительно коордиS
натных плоскостей
J  y 2 ( x, y, z )ds ,
xz

S
J yz   x 2 ( x, y, z )ds
S
Моменты инерции поверхно- J x  ( y 2  z 2 ) ( x, y, z )ds ,

сти S относительно коордиS
натных осей и начала коорди- J  ( x 2  z 2 ) ( x, y, z )ds ,
y

нат
S
J z   ( x 2  y 2 ) ( x, y, z )ds ,
S
J 0   ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )ds
S
5
Вычисление и приложения поверхностного интеграла 2-го рода
Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали (после обхода контура на этой поверхности без пересечения её границы направление вектора нормали к ней не меняется). Иначе поверхность называют односторонней. Любая поверхность, заданная уравнением
z=z(x,y), где ( x, y )  D и функции z, zx , zy непрерывны в D, является
двусторонней. Примером односторонней поверхности служит лист
Мёбиуса, получается при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка А совмещается с С, а В с D.
Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Пусть в точках двусторонней поверхности S определены непрерывные функции P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) . Вектор нормали n к выбранной стороне поверхности составляет с осями Ox, Oy, Oz углы
α,β,γ соответственно.
Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x,y), где z(x,y) – непрерывная функция в области Dxy – проекции поверхности S на плоскость Oxy. Тогда поверхностный интеграл от функции R( x, y, z ) по переменным x и y можно найти по формуле:
 R( x, y, z )dxdy    R( x, y, z( x, y ))dxdy
S
Dxy
Знак перед интегралом выбирается в зависимости от ориентации
поверхности. Выбираем знак «плюс», если cos   0 (т.е. γ – острый
угол), или знак «минус», если cos   0 (т.е. γ – тупой угол).
Аналогично, если поверхность задана уравнением y=y(x,z), где
y(x,z) непрерывна в области Dxz – проекции поверхности S на плоскость Oxz, то поверхностный интеграл от функции Q( x, y, z ) по переменным x и z можно найти по формуле:
 Q( x, y, z)dxdz    Q( x, y( x, z ), z )dxdz
S
Dxz
Выбираем знак «плюс», если cos   0 (т.е. β – острый угол), или
знак «минус», если cos   0 (т.е. β – острый угол).
Аналогично, если поверхность задана уравнением x=x(y,z), где
x(y,z) непрерывна в области D yz – проекции поверхности S на плос6
кость Oyz, то поверхностный интеграл от функции P( x, y, z ) по переменным y и z можно найти по формуле:
 P( x, y, z )dydz    P( x( y, z ), y, z )dydz
S
D yz
Выбираем знак «плюс», если cos  0 (т.е. α – острый угол), или
знак «минус», если cos  0 (т.е. α – тупой угол).
Данные формулы используют при вычислении общего поверхностного интеграла 2-го рода:
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z )dxdz  R( x, y, z )dxdy    P( x( y, z ), y, z )dydz 
S
D yz
  Q( x, y ( x, z ), z )dxdz 
Dxz
 R( x, y, z( x, y ))dxdy
Dxy
Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода связаны соотношением
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy   ( P cos  Q cos   R cos )dS
S
S
Если
поверхность задана уравнением в неявном виде
Ф( x, y, z )  0 , то направляющие косинусы нормали к этой поверхности
определяются по формулам:
cos   
Фx
(Фx )  (Фy )  Фz 
Фz
2
cos   
2
(Фx )  (Фy )  Фz 
2
2
2
2
, cos   
Фy
(Фx )  (Фy )  Фz 
2
2
2
,
,
где знак перед радикалами выбирается в зависимости от стороны поверхности.
Отметим два свойства поверхностного интеграла 2-го рода:
1. При перемене стороны поверхности поверхностный интеграл 2го рода меняет знак (на противоположный);
2. Если S1,S2,S3 – цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными соответственно осям Ox, Oy, Oz, то
 P( x, y, z )dydz  0 ,  Q( x, y, z )dxdz  0 ,  R( x, y, z )dxdy  0 .
S1
S2
S3
7
Если S – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по
её внешней стороне обозначается  P( x, y, z )dydz , а по внутренней
S
 P( x, y, z )dydz .
S
Потоком векторного поля F  ( P, Q, R) через поверхность S в
сторону,
определяемую
единичным
вектором
нормали
n  (cos ,cos  ,cos  ) к поверхности, называется поверхностный интеграл
 ( P cos  Q cos   R cos  )dS
S
Циркуляцией векторного поля F  ( P, Q, R) вдоль замкнутого
контура С, называется криволинейный интеграл
 Pdx  Qdy  Rdz .
C
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между
поверхностным интегралом 2-го рода по внешней стороне замкнутой
поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой
поверхностью
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy  (
S
V
P Q R

 )dV
x y z
Если положить P=x, Q=y, R=z, то
 xdydz  ydxdz  zdxdy  (1  1  1)dV  3V , откуда
S
V
V
1
xdydz  ydxdz  zdxdy
3 
S
Если S – гладкая поверхность, ограниченная гладкой кривой C, и
P  P( x, y, z ) , Q  Q( x, y, z ) и R  R( x, y, z ) – непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула Стокса
R
Q
P
R
Q
P
 Pdx  Qdy  Rdz   [( dy  z )dydz ( dz  x )dxdz  ( dx  y )dxdy ,
C
S
где сторона поверхности выбирается так, чтобы со стороны нормали
к ней обход контура С был виден происходящим против часовой
стрелки.
Формула Стокса устанавливает связь между криволинейными
интегралами 2-го рода и поверхностными интегралами 2-го рода.
8
ПРИМЕРЫ
Пример 1.
Найти координаты центра тяжести части поверхности
x  4  z 2 , отсеченной плоскостями y=0 и y=6, если плотность в
каждой точке пропорциональна квадрату расстояния до плоскости
Oxy.
Решение. Расстояние от точки до плоскости Oxy равно аппликате z точки. Поэтому  ( x, y, z )  k  z 2 .
Построим поверхность:
На плоскости Oxz уравнение x  4  z 2 задает
полуокружность с радиусом 2, в точках которой
x>0 , а в пространстве –
цилиндрическую
поверхность с образующей, параллельной оси
Oy (см. рисунок 1)
Рисунок 1 – Поверхность интегрирования
Так как плотность на поверхности распределена симметрично относительно плоскостей z  0 и y  3 , то y  3 , z  0 .
Найдем x по формуле x 
M yz
m
.
Проекция Dyz поверхности на
плоскость Oyz однозначна (см.
рисунок 2).
ds  1  xy 2  xz 2 dydz ,
xy  0, xz 
Рисунок 2 – Проекция
1
2 4z
2
( 2 z ) 
z
4z
z2
2
ds  1 
dydz 
dydz
2
2
4z
4 z
9
2
,
поверхности на плоскость Oyz
m    ( x, y, z )ds 
S
 kz
D yz
2
24  ( 4  z 2 
0
24( )  24
m
4 z
2
(  z 2  4)  4
0
4 z
dydz  4  dy 

4  z kz
2
D yz

2
0
2
dz 
1
z
z 2
)dz  24( z 4  z 2  2arcsin  4arcsin ) | 
2
2
2 0
4  z2
S
M yz
6
2
4
M yz   x ( x, y, z )ds 
x
2
2
2
4  z2
6
2
0
2
dydz   dy  2kz 2dz  64
64
8

.
24 3
Пример 2.
Вычислить поток векторного поля F  ( z; 2 x  2 y  z;0) через
часть плоскости 2 x  2 y  z  4  0 , отсеченной координатными плоскостями, в направлении нормали, которая образует с осью Oz острый
угол.
Решение. Поток вычисляем как интеграл
I   zdydz  ( 2 x  2 y  z )dxdz  0dxdy .
S
По рисунку 3 видно, что нормаль
n к заданной стороне части
плоскости образует острые углы
с осями Ox и Oz и тупой угол с
осью Oy. Поэтому, после приведения интеграла к двойным интегралам, получим:
I
 zdydz   (2 x  2 y  z )dxdz
D yz
Dxz
Рисунок 3 – Поверхность
интегрирования и нормаль к ней
Вычислим два интеграла из правой части равенства:
10
4 2 y
0
 zdydz   dy 
D yz
2
0
zdz 

2
0
z 2 4 2 y
dy
| 
2 0
0

2
(4  2 y )2
dy 
2
0
 2(2  y )
2
dy 
2
2( y  2)3 0 16

| 
3
3
2
 (2 x  2 y  z)dxdz 
 (2 x  2 y  (4  2 x  2 y))dxdz   (4)dxdz 
Dxz
Dxz
Dxz
1
 4  S  4 2  4  16
2
16
2
Тогда I   16  10 .
3
3
Пример 3.
Вычислить
 (2
y  4 z )dxdy  (2 x  yz )dydz  (3 y  x 2)dxdz , где S –
S
внешняя сторона поверхности пирамиды, образованной плоскостями
x y z
   1, x=0, y=0, z=0.
a b c
Решение. Используем формулу Остроградского-Гаусса:
P
Q
R
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy  ( x  y  z )dV
S
V
P=2x+yz, Q=3y+x2, R  2 y  4 z ,
Q
P
R
 3,
 2,
4
y
x
z
Перейдем к тройному интегралу по объему пирамиды
1
1
3abc
.
(2

3

4)
dV

9
dV

9
V

9
S
h

3
abc

осн


3
2
2
V
V
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Вычислить 1)
 ydS ; 2) 
S
R 2  x 2  y 2 dS ; 3)
S
2
 x
2 2
y dS ,
S
где S – полусфера z  R  x 2  y 2 .
2. Вычислить
4
 ( z  2 x  3 y )dS ,
S
6 x  4 y  3z  12 .
11
где
S
–
часть
плоскости
3. Вычислить площадь части поверхности x 2  y 2  z 2 , расположенной в первом октанте и отсеченной плоскостью x  y  a .
4. Вычислить площадь части плоскости x  y  z  2a , ограниченной цилиндром x 2  y 2  a 2 .
5. Вычислить площадь части сферы x 2  y 2  z 2  9 , расположенной внутри цилиндра x 2  y 2  4 .
6. Вычислить
площадь
части
поверхности
параболоида
z  25  x 2  y 2 , расположенной выше плоскости Oxy.
7. Найти площадь части параболоида 4z  x 2  y 2 ,отсекаемой цилиндром y 2  z и плоскостью z  3 .
8. Найти координаты центра тяжести части поверхности
x2  y2
при z  0 .
z 2
2
x2  y2
9. Найти момент инерции части поверхности z 
, при z  0
2
относительно оси Oz.
10.
Вычислить  xyzdS , где S – часть поверхности z  x 2  y 2
S
при 0  z  1.
11.
Найти координаты центра тяжести части сферы
x 2  y 2  z 2  R 2 (   const ),расположенной в 1-ом октанте.
12.
Найти момент инерции части боковой поверхности конуса
z  x 2  y 2 ( z  h ) относительно оси Oz .
13.
Найти массу части цилиндра x 2  y 2  R 2 ( 0  z  H ), если
плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния от
точки до начала координат.
14.
Найти  zdxdy , где S – внешняя сторона сферы
S
x y z R
2
2
2
2
.
12
Вычислить
15.
 xzdydz , где S
- внешняя сторона части боко-
S
вой поверхности цилиндра x 2  y 2  R 2 , расположенной в первом октанте между плоскостями z  0 и z  h .
Вычислить
16.
 x
2

 y 2 xdxdy , где S - внешняя сторона ча-
S
сти параболоида y  9  x 2  z 2 , отсеченная плоскостью Oxz .
Вычислить
17.
 ( x cos  y cos   z cos  )dS
по верхней поверх-
S
ности части плоскости x  y  z  a , расположенной в 1-ом октанте.
18.
Вычислить  z 2dxdy , где S – внешняя сторона эллипсоида
S
x
2
a
2
19.

y
2
2

z
2
2
 1.
b
c
Вычислить
 xzdxdy  xydydz  yzdxdz , где S – внешняя стоS
рона пирамиды, образованной плоскостями x  0 , y  0 , z  0 ,
x  y  z  1.
 ( x
Вычислить
20.
3
cos   y 3 cos   z 3 cos  )dS ,
взятый
по
S
внешней поверхности шара x2+y2+z2=a2.
21.
Вычислить
2
2
2
2
2
2
 (( z  y )cos  ( x  z )cos   ( y  x )cos  )dS ,
взятый
по
S
внешней стороне полусферы x 2  y 2  z 2  a 2 ( z  0 ).
22.
Вычислить
 xdydz  ydxdz  zdxdy , где S – внешняя сторона
S
поверхности цилиндра x 2  y 2  a 2 ( h  z  h ).
23.
Найти поток векторного поля F  x 2i  y 2 j  z 2k через
часть сферы x 2  y 2  z 2  4 , расположенную в 1-ом октанте в
направлении внешней нормали.
13
24.
Найти поток векторного поля F  ( y  x)i  ( x  y ) j  yk через часть плоскости x  y  z  1, вырезанной координатными
плоскостями (нормаль к поверхности образует острый угол с
осью Oz).
25.
Найти поток векторного поля F  x 2i  y 2 j  z 2k через
часть сферы x 2  y 2  z 2  R 2 , расположенную в 1-ом октанте, в
направлении внешней нормали.
26.
С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл
 z
2
dxdy  x 2 dydz  y 2 dxdz , где S - внешняя сторона поверх-
S
ности куба 0  x  1, 0  y  1, 0  z  1 .
Используя формулу Остроградского-Гаусса найти поток
27.
векторного поля F  x3i  y 3 j  z 3k через внешнюю поверхность
тела, ограниченного поверхностями z  x 2  y 2 и z  1 .
Показать
28.

с
помощью
формулы
Стокса,
что
yzdx  xzdy  xydz по любому замкнутому контуру равен нулю.
С
Проверить это вычислением интеграла по контуру треугольника
OAB с вершинами O(0;0;0) , A(a; a;0) , B(a; a; a ) .
29.
Написать и проверить формулу Стокса для интеграла
 x( y  z)dx  y( z  x)dy  z( x  y )dz по контуру треугольника
С
ABC с вершинами A(a;0;0) , B(0; a;0) , C (0;0; a) .
30.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
F  ( x  y )i  ( x  z ) j  ( y  z )k по контуру треугольника OAB с
вершинами O(0;0;0) , A(0;1;0) , B(0;0;1) .
31.
Найти циркуляцию векторного поля F  y 2i  x 2 j  z 2k по
контуру,
получаемому
при
пересечении
поверхности
y  1  x 2  z 2 с координатными плоскостями, в положительном
направлении относительно вектора a  i  j  k .
14
ОТВЕТЫ
2
2a 2
6
 R ; 2. 4 61 ; 3.
1. 1) 0; 2)  R ; 3)
; 4. 3 a 2 ; 5.
15
2
307  15 5
112

; 8. (0; 0;
); 9.
12 (3  5) ; 6.
( 1013  1) ; 7.
310
9
6
4 (1  6 3)
125 5  1
R R R
 2h 4
; 10.
; 11. ( , ; ) ; 12.
; 13.
15
420
2 2 2
2
H
4 R 3
 R 2h 2
2 k  arctg ; 14.
; 15.
; 16. 0; 17. 0,5a 3 ; 18. 0; 19.
R
3
8
 R4
2
5
0,125; 20. 2,4 a ; 21. 0; 22. 4 a h ; 23. 6 ; 24. 0,5; 25.
; 26. 3;
8
31
27. 0,9 ; 30. 1; 31.  .
30
3
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в
2 ч.] Ч. 2 / Д. Т. Письменный. – 6-ое изд. – Москва. : Айрис-Пресс,
2008. – 256 с.: ил.
2. Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. / К. Н.
Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко; под. ред. С.
Н. Федина. – 3-е изд., испр. – М. : Айрис-Пресс, 2005. – 592 с.: ил.
3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с.
4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Т.1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : Высшая школа, 2003. – 304 с.
5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для вузов. В 2-х т. Т.2. / Н. С. Пискунов. – Москва : Интеграл-Пресс, 2001. – 544 с.
15
Учебное издание
Составитель
Таскаева Елена Валерьевна
Вычисление и приложения
поверхностных интегралов
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 31.03.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 0,93 л. Уч.-изд. 1,04 л. Тираж 40 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
16