Гладкие поверхности (Введение)

Гладкие поверхности (Введение)
Лекция 2.
Гладкие многообразия – Хирургия ориентированной поверхности –
Векторные поля – Дифференциальные формы – Цепи и интегрирование –
Лемма Пуанкаре – Когомологии де Рама – Потоки – Регуляризация –
𝑑-проблема на ориентируемой поверхности
Риманова поверхность (р.п.) – это, по определению, хаусдорфово
связное одномерное комплексное многообразие. Условие хаусдорфовости
обычно не упоминается, но всегда предполагается и всюду в дальнейшем
все многообразия у нас хаусдорфовы (любые две различные точки имеют
не пересекающиеся окрестности). Комплексные многообразия составляют подкласс гладких многообразий и мы начнём с основных понятий,
относящихся к таким более общим многообразиям, вводя терминологию,
которая будет постоянно использоваться в дальнейшем.
1. Гладкие многообразия
𝑀 – хаусдорфово топологическое пространство. 𝑛-мерная карта на
𝑀 – это пара (𝑈, 𝑥), где 𝑈 – открытое подмножество в 𝑀 и 𝑥 : 𝑈 →
𝐷 ⊂ R𝑛 – гомеоморфизм на открытое множество 𝐷 ⊂ R𝑛 . 𝑛-мерное
(топологическое) многообразие – это просто 𝑀 с набором 𝑛-мерных карт
(𝑈𝛼 , 𝑥𝛼 ), покрывающих 𝑀 (𝑀 = ∪𝑈𝛼 ).
𝑥𝛼 = (𝑥𝛼1 , ..., 𝑥𝛼𝑛 ) – локальные координаты (в 𝑈𝛼 ), 𝑥𝛽 ∘ (𝑥𝛼 )−1 : 𝑥𝛼 (𝑈𝛼 ∩
𝑈𝛽 ) → 𝑥𝛽 (𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ) – отображения перехода (замены координат). Многообразие 𝑀 принадлежит классу 𝐶 𝑘 , 𝑘 ≤ ∞, если все отображения перехода (определённые в соответствующих областях в R𝑛 ) являются отображениями класса 𝐶 𝑘 . Многообразия класса 𝐶 ∞ всюду в дальнейшем
называются просто гладкими. Если модельные области в R𝑛 заменить
на области в C 𝑛 ∼
= R2𝑛 и потребовать, чтобы отображения переходов были голоморфными, то в результате получаем комплексное многообразие
комплексной размерности 𝑛.
Всюду в дальнейшем под словом многообразие имеется в виду гладкое
многообразие.
Функции класса 𝐶 𝑘 (𝑀 ) – это отображения 𝑓 : 𝑀 → C такие, что
𝑓 |𝑈𝛼 ∘ (𝑥𝛼 )−1 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑥𝛼 (𝑈𝛼 )) для всех карт. 𝜑 : 𝑀 → 𝑁 – отображение
класса 𝐶 𝑘 , если 𝜑* 𝑓 := 𝑓 ∘ 𝜑 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑀 ), ∀ 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑁 ).
1
Набор {(𝑈𝛼 , 𝑥𝛼 )}, определяющий структуру 𝐶 𝑘 -многообразия на 𝑀 ,
называется атласом (класса 𝐶 𝑘 ). Если 𝑘 ≥ 1, то определены якобианы
𝛼
(на 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ). Атлас ориентирован, если все эти якобианы положи𝑑𝑒𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑥𝛽
тельны. 𝑀 с таким выделенным атласом называется ориентированным
(и ориентируемым, если такой атлас существует, но не указан).
Многообразия 𝑀 называется счётно-компактным, если оно является
не более чем счётным объединением своих компактных подмножеств,
𝑀 = ∪∞
1 𝐾𝑗 , 𝐾𝑗 – компакты.
Теорема Уитни. Всякое счётно-компактное 𝑛-мерное многообразие 𝑀 класса 𝐶 𝑘 , 𝑘 ≥ 1, допускает 𝐶 𝑘 -вложение 𝜑 : 𝑀 ˓→ R 2𝑛+1 ( 𝑀 →
𝜑(𝑀 ) 1 : 1 и ранг = 𝑛 всюду на 𝑀 ), причём такое, что 𝜑(𝑀 ) – замкнутое (в R 2𝑛+1 ) подмногообразие класса 𝐶 𝜔 (вещественно-аналитическое),
в частности, 𝐶 ∞ .
Всюду в дальнейшем мы будем работать с гладкими многообразиями,
т.е. многообразиями класса 𝐶 ∞ .
2. Хирургия ориентированной поверхности
Опишем вкратце дифференциальную топологию гладких поверхностей (= хаусдорфовых, связных, счётно-компактных, гладких многообразий размерности 2).
Функция исчерпания на таком многообразии 𝑀 – это гладкое собственное отображение 𝜌 : 𝑀 → R , т.е., множества {𝜌 ≤ 𝑅} компактны
(или пустые) для всех 𝑅 ∈ R . Если поверхность собственным образом
вложена в R 𝑁 (а это всегда можно сделать по теореме Уитни) то в качестве исчерпания можно взять функцию |𝑥|2 . Если 𝜌 ∈ 𝐶 ∞ (𝑀 ), то для
почти каждого 𝑅 > 𝑖𝑛𝑓 𝜌 уровень Γ𝑅 : 𝜌 = 𝑅 есть гладкая кривая и
𝑑𝑓 ̸= 0 в точках Γ𝑅 (лемма Сарда; см., напр., [??]). Фиксировав последовательность 𝑀𝜈 : 𝜌 ≤ 𝑅𝜈 ↑ ∞ с такими 𝑅𝜈 , мы получаем исчерпание поверхности 𝑀 более обозримыми поверхностями с краем. 𝑀 – поверхность
˜ так, что замыкание
с краем, если она вложена в бо́льшую поверхность 𝑀
¯
𝑀 – компакт, а граница 𝑀 ∖ 𝑀 есть конечный набор попарно не пересекающихся гладких простых замкнутых кривых (образов окружности)
˜ . Предполагая 𝑀
˜ ориентированной, эти кривые можно ориентирона 𝑀
вать согласованно с ориентацией 𝑀 : если в локальной карте (𝑈, (𝑥, 𝑦))
˜ поверхность 𝑀 выделяется условием 𝑦 > 0, то положительной
на 𝑀
на этой части края считается направление роста 𝑥 (как R относительно
верхней полуплоскости). Так ориентированную границу обозначим через
2
𝑏𝑀 ; таким образом, у нас ориентированная поверхность с краем – это
согласованно ориентированная пара (𝑀, 𝑏𝑀 ), причём 𝑀 ∪ 𝑏𝑀 – компакт.
Возле каждой компоненты края такой поверхности есть "воротник" 𝑉
– окрестность, диффеоморфная кольцу 𝐾 : 1 − 𝜀 < |𝑧| ≤ 1 в единичном
˜ уравнением 𝜌 < 0 с 𝑑𝜌 ̸= 0 в точкруге D ⊂ C (если 𝑀 выделяется в 𝑀
ках края 𝑏𝑀 , то для построения таких воротничков можно использовать
линии градиента и уровни функции 𝜌 как прообразы радиусов и окружностей в круге D ). После этого можно "заклеить дырку", соответствующую компоненте края, по построенному воротнику: отождествляя сначала 𝑉 ∋ 𝑥 ∼ 𝑧(𝑥) ∈ 𝐾, а затем факторизуя по этому отождествлению,
мы получаем гладкую ориентированную поверхность 𝑀 ′ = (𝑀 ⊔ D )/ ∼
уже с ме́ньшим числом компонент края. Проделав такую заклейку всех
˜ , содержащую
дыр, получим самую простую компактную поверхность 𝑀
нашу поверхность с краем.
Важный и очень нетривиальный факт из дифференциальной топологии заключается в том, что всякая гладкая компактная ориентируемая
поверхность диффеоморфна сфере с конечным числом "ручек" в R 3
(см., напр., [ДНФ], [Х]). Таким образом, всякая ориентирумая поверхность с краем диффеоморфна сфере в R 3 с 𝑔 ручками и 𝑚 дырками (с
гладкими краями).
Род поверхности (по Риману) – это максимальное число простых замкнутых попарно не пересекающихся кривых 𝛾𝑗 на 𝑀 таких, что 𝑀 ∖∪𝛾𝑗
связно. В описанной выше реализации в R 3 род поверхности есть 𝑔, число
ручек (дырки на род не влияют). Конечно, всё это надо доказывать, но
мы принимает как известные факты. Пару (𝑔, 𝑚), где 𝑔 – род и 𝑚 – число компонент границы, назовём типом поверхности 𝑀 ; таким образом,
поверхности одинакового типа диффеоморфны.
Для анализа на поверхности этого представления маловато, хорошо
бы все "выпрямить", положить на плоскость. Простейшая "развёртка"
получается разрезанием ручек: после удаления окружностей-разрезов
оставшееся множество диффеоморфно области с гладкой границей в
плоскости C , причем каждому разрезу соответствуют две компоненты
границы этой области и обратное отображение из области на поверхность
продолжается до гладкого отображения замыкания (с нигде не равным
нулю дифференциалом). Таким образом, результат простой развёртки
диффеоморфен кругу с 2𝑔 − 1 + 𝑚 дырками.
Далее можно разрезать эту область в C , добиваясь односвязности
(полная развёртка). На рис. ?,? показана полная развёртка тора (𝑔 = 1)
3
и кренделя (𝑔 = 2). Аналогично, общая компактная поверхность рода 𝑔
−1
−1 −1
развёртыватся в 4𝑔-угольник 𝑎1 𝑏1 𝑎−1
1 𝑏1 · · · 𝑎𝑔 𝑏𝑔 𝑎𝑔 𝑏𝑔 . Если есть дырки
𝑐𝑗 , то (см. рис. ?) надо ещё сделать к ним разрезы 𝛿𝑗 из фиксированной
базовой точки на внешней границе и к описанной выше границе добавить
(справа) цепочку из 𝛿𝑗 𝑐𝑗 𝛿𝑗−1 (порядок зависит от ориентации разрезов
𝛿𝑗 ). Кроме дыр, на 𝑀 можно отметить ("проколоть") несколько точек;
с топологической точки зрения это те же дыры и при развёртке до этих
проколов надо провести такие же разрезы 𝛿𝑗 (и в цепочке появятся пары
𝛿𝑗 𝛿𝑗−1 ).
Используя полную развёртку, нетрудно подсчитать, что эйлерова характеристика ориентированной поверхности 𝑀 конечного типа (𝑔, 𝑚)
равна 𝜒(𝑀 ) = 2 − 2𝑔 − 𝑚.
Кое-что из приведённых здесь результатов из дифференциальной топологии поверхностей мы докажем далее методами комплексного анализа, а пока ограничимся таким "наглядным" описанием.
3. Векторные поля
Векторное поле 𝑣 на гладком многообразии 𝑀 – это оператор дифференцирования 𝑣 : 𝐶 𝑘 (𝑀 ) → 𝐶 𝑘−1 (𝑀 ) (непрерывный линейный оператор,
удовлетворяющий правилу Лейбница, 𝑣(𝑓 𝑔) = 𝑔 𝑣(𝑓 ) + 𝑓 𝑣(𝑔)). В координатной карте (𝑈, 𝑥) он имеет вид 𝑣 = Σ 𝑎𝑗 𝜕𝑥𝜕 𝑗 , 𝑎𝑗 ∈ 𝐶 𝑘−1 (𝑈 ). =⇒ В
(𝑈˜ , 𝑥˜), 𝑣 = Σ 𝑎
˜𝜈 𝜕𝜕𝑥˜𝜈 = Σ (Σ𝑗 𝑎𝑗 𝜕𝜕𝑥𝑥˜𝜈𝑗 ) 𝜕𝜕𝑥˜𝜈 – правило преобразования коэффициентов векторного поля при замене координат.
Локально такие поля, как видим, существуют. Глобально их можно
строить при помощи разбиения единицы, предполагая, что гладкий атлас
образует локально конечное покрытие (на счётно-компактном многообразии это всегда можно сделать, измельчая карты и часть из них выбрасывая). Разбиение единицы для такого атласа – это набор {𝑒𝛼 }, 𝑒𝛼 ∈
𝐶 ∞ (𝑀 ), 𝑒𝛼 = 0 вне 𝑈𝛼 , 𝑒𝛼 ≥ 0 и Σ 𝑒𝛼 ≡ 1. Если 𝑣𝛼 – поля в координатных окрестностях, то 𝑣 = Σ 𝑒𝛼 𝑣𝛼 – поле на всём 𝑀 (слагаемые считаются
равными нулю там, где 𝑒𝛼 = 0).
Касательный вектор к 𝑀 в точке 𝑎 – это значение векторного поля 𝑣
в точке 𝑎, т.е. функционал 𝑓 ↦→ 𝑣(𝑓 )(𝑎). 𝑇𝑎 𝑀 , векторное пространство таких функционалов, называется касательным пространством к 𝑀 в точке
𝑎. Оно, очевидно, порождено функционалами 𝜕𝑥𝜕 𝑗 |𝑎 и, значит, является
R-линейным пространством размерности 𝑛. 𝑇 𝑀 = ⊔𝑇𝑎 𝑀 – касательное
расслоение. 𝑇 𝑀 |(𝑈,𝑥) ≈ 𝑈 × R 𝑛 (Σ𝑐𝑗 𝜕𝑥𝜕 𝑗 |𝑥 ↦→ (𝑥; 𝑐1 , ..., 𝑐𝑛 )) – координатные
4
карты на нём, превращающие 𝑇 𝑀 в гладкое многообразие с гладкой проекцией 𝜋 : 𝑇 𝑀 → 𝑀, 𝑇𝑎 𝑀 ↦→ 𝑎. Векторные поля на 𝑀 – это сечения
проекции 𝜋 (т.е. отображения 𝑠 : 𝑈 → 𝑇 𝑀, 𝑠(𝑎) ∈ 𝑇𝑎 𝑀, 𝑎 ∈ 𝑈 ⊂ 𝑀,
соответствующей гладкости).
Гладкие отображения многообразий 𝐹 : 𝑀 ′ → 𝑀 индуцируют гладкие же отображения 𝐹* : 𝑇 𝑀 ′ → 𝑇 𝑀 касательных расслоений и соответствующих векторных полей по правилу (𝐹* 𝑣)(𝑓 ) = 𝑣(𝑓 ∘ 𝐹 ) для всякого
векторного поля 𝑣 на 𝑀 ′ и всякой гладкой функции 𝑓 на 𝑀 .
4. Дифференциальные формы
Элементы пространства 𝑇𝑎* 𝑀 , сопряжённого к 𝑇𝑎 𝑀 , называются кокасательными векторами (или ковекторами) в точке 𝑎 ∈ 𝑀 . В координатной карте (𝑈, 𝑥), базисными ковекторами являются линейные функции 𝑑𝑥𝑗 |𝑎 , действующие по правилу 𝑑𝑥𝑗 |𝑎 (𝑣) := 𝑣(𝑥𝑗 )(𝑎). Многообразие
𝑇 * 𝑀 = ⊔𝑇𝑎* 𝑀 с картами 𝑇 * 𝑀 |(𝑈,𝑥) ≈ 𝑈 × R 𝑛 (Σ𝑐𝑗 𝑑𝑥𝑗 |𝑥 ↦→ (𝑥; 𝑐1 , ..., 𝑐𝑛 )),
где (𝑈, 𝑥) – карты на 𝑀 , называется кокасательным расслоением многообразия 𝑀 . Сечения проекции 𝜋 * : 𝑇 * 𝑀 → 𝑀, 𝑇𝑎* 𝑀 → 𝑎, называются
(дифференциальными) 1-формами. Локально такие формы имеют вид
𝜕𝑥
𝑥𝜈 – правило замены коэф𝛼 = Σ 𝑐𝑗 𝑑𝑥𝑗 . =⇒ в (𝑈˜ , 𝑥˜), 𝛼 = Σ (Σ𝑗 𝑐𝑗 𝜕 𝑥˜𝜈𝑗 ) 𝑑˜
фициентов 1-формы при замене координат.
Пример: Дифференциал функции 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘≥1 (𝑀 ) – это линейный оператор на векторных полях, (𝑑𝑓 )(𝑣) := 𝑣(𝑓 ) ∈ 𝐶 𝑘−1 (𝑀 ) (если 𝑣 ∈ 𝐶 𝑘−1 (𝑀 )).
Локально, 𝑣 = Σ 𝑐𝑗 𝜕𝑥𝜕 𝑗 , 𝑑𝑥𝜈 ( 𝜕𝑥𝜕 𝑗 ) = 𝛿𝑗𝜈 =⇒ 𝑣(𝑓 ) = Σ 𝑐𝑗 𝑓𝑥′ 𝑗 = (Σ 𝑓𝑥′ 𝜈 𝑑𝑥𝜈 )(𝑣)
=⇒ 𝑑𝑓 = Σ 𝑓𝑥′ 𝜈 𝑑𝑥𝜈 . При помощи разбиения единицы любая 1-форма класса 𝐶 𝑘 на 𝑀 представляется в виде локально-конечной суммы 𝛼 = Σ𝑎𝑗 𝑑𝑓𝑗 ,
где 𝑎𝑗 и 𝑓𝑗 ∈ 𝐶 𝑘+1 . По определению, 𝛼(𝑣) = Σ𝑎𝑗 𝑣(𝑓𝑗 ) для любого векторного поля 𝑣; это есть функция (соответствующей гладкости), определённая на пересечении областей определения 𝛼 и 𝑣.
В дальнейшем мы работаем в основном с комплексными (комплекснозначными) функциями и формами. Кокасательное расслоение удобно
комплексифицировать, заменяя вещественные слои 𝑇𝑎* 𝑀 на комплексные C𝑇𝑎* 𝑀 := C R 𝑇𝑎* 𝑀 (комплексный кокасательный вектор в точке
𝑎 ∈ 𝑀 – это R-линейная функция на 𝑇𝑎 𝑀 вида 𝛼 + 𝑖𝛽, где 𝛼, 𝛽 – элементы 𝑇𝑎* 𝑀 , т.е. вещественные линейные функции на 𝑇𝑎 𝑀 ). Таким образом,
комплексные 1-формы – это сечения комплексного кокасательного расслоения C𝑇 * 𝑀 .
5
Пусть 𝛼, 𝛽 – (комплексные) 1-формы. По определению, 𝛼 ∧ 𝛽 – это
билинейный кососимметричный оператор
полях, действу(︁ на векторных
)︁
𝛼(𝑢) 𝛼(𝑣)
ющий по правилу (𝛼 ∧ 𝛽)(𝑢, 𝑣) := 𝑑𝑒𝑡 𝛽(𝑢) 𝛽(𝑣) . Отсюда, 𝛽 ∧ 𝛼 = −𝛼 ∧
𝛽, 𝛼 ∧ 𝛼 = 0. Дифференциальная 2-форма – это, по определению, оператор вида 𝜑 = Σ 𝑐𝑗𝑙 𝛼𝑗 ∧ 𝛼𝑙 ; в карте (𝑈, 𝑥), 𝜑 = Σ𝑗<𝑙 𝑐𝑗𝑙 𝑑𝑥𝑗 ∧ 𝑑𝑥𝑙 .
Оператор 𝑑 определён выше для (в общем, комплексных) функций
𝑓 ∈ 𝐶 𝑘≥1 (𝑀 ). Для 1-форм 𝛼 = Σ 𝑐𝑗 𝑑𝑓𝑗 полагаем 𝑑𝛼 := Σ 𝑑𝑐𝑗 ∧ 𝑑𝑓𝑗 (в
частности, 𝑑(𝑑𝑓 ) = 0). Если 𝑑𝑖𝑚 𝑀 = 2, то по определению, 𝑑𝜑 := 0 для
всякой 2-формы.
Для формы 𝜑 степени
∫︀ 2 на счётно-компактной ориентированной поверхности 𝑀 интеграл 𝑀 𝜑 определяется при помощи разбиения единицы: если {(𝑈𝑗 , 𝑥𝑗 )} – локально-конечное покрытие 𝑀 координатными окрестностями с положительно упорядоченными коодинатами 𝑥𝑗 =
(𝑥𝑗1 , 𝑥𝑗2 ), {𝑒𝑗 } – соответствующее ему разбиение единицы и 𝜑 = 𝜑𝑗 𝑑𝑥𝑗1 ∧𝑑𝑥𝑗2
– координатные представления, то
∫︀
∫︀
∫︀
𝜑
:=
Σ
𝑒
𝜑
:=
Σ
𝑒 𝜑 𝑑𝑥𝑗1 𝑑𝑥𝑗2 ,
𝑗
𝑀
𝑈𝑗
𝑥𝑗 (𝑈𝑗 ) 𝑗 𝑗
где справа стоят обычные двойные интегралы. Если покрытие бесконечное, то интеграл несобственный, для его существования ряд должен
абсолютно сходиться. От (комплексных) коэффициентов 𝜑𝑗 надо предполагать локальную суммируемость в 𝑈𝑗 . Если такой интеграл существует,
то его значение не зависит от выбора покрытия и разбиения единицы
(простое упражнение).
Если (𝑀, 𝑏𝑀 ) – компактная ориентированная поверхность с гладким
согласованно ориентированным краем и 𝜑 = 𝑑𝛼, где 𝛼 есть 1-форма
класса 𝐶 1 на 𝑀 ∪ 𝑏𝑀 , то по формуле Стокса для плоских областей
∫︀
∫︀
∫︀
∫︀
𝜑
=
Σ
𝑒
𝑑𝛼
=
Σ
𝑒
𝛼
−
Σ
𝑑𝑒𝑗 ∧ 𝛼.
𝑗
𝑗
𝑀
𝑈𝑗
𝑈𝑗 ∩𝑏𝑀
𝑈𝑗
Последний интеграл равен нулю,
так как Σ𝑒𝑗 ≡ 1, а первый интеграл
∫︀
справа есть по определению 𝑏𝑀 𝛼. Таким образом получается формула
Стокса:
∫︀
∫︀
𝑑𝛼
=
𝛼.
𝑀
𝑏𝑀
Гладкие отображения многообразий 𝐹 : 𝑀 ′ → 𝑀 индуцируют гладкие отображения 𝐹 * : C𝑇 * 𝑀 → C𝑇 * 𝑀 ′ кокасательных расслоений по
правилу (𝐹 * 𝛼)(𝑣)|𝑎 := 𝛼(𝐹* 𝑣)|𝐹 (𝑎) для всякой 1-формы 𝛼 на 𝑀 и всякого векторного поля 𝑣 на 𝑀 ′ . Аналогично, для всякой 𝑝-формы 𝜑 на
6
𝑀, 𝑝 ≥ 1, её прообраз на 𝑀 ′ есть 𝑝-форма 𝐹 * 𝜑 на 𝑀 ′ , действующая по
правилу (𝐹 * 𝜑)(𝑣1 , ..., 𝑣𝑝 )|𝑎 = 𝜑(𝐹* 𝑣1 , ..., 𝐹* 𝑣𝑝 )|𝐹 (𝑎) .
Формы высших степеней на поверхностях равны нулю, поэтому мы не
рассматриваем общую теорию дифференциальных форм, ограничиваясь
степенями ≤ 2. Гладкие комплексные формы степени 𝑝 (≤ 2) на 𝑀 образуют C-линейное пространство, которое мы обозначаем через ∧𝑝 (𝑀 ); при
𝑝 = 0 это просто 𝐶 ∞ (𝑀 ). Пространство гладких 𝑝-форм с компактными
носителями далее обозначается как ∧𝑝𝑐 (𝑀 ).
5. Цепи и интегрирование
Сингулярный 𝑝-симплекс в гладком многообразии 𝑀 – это образ стандартного замкнутого 𝑝-мерного симплекса в R 𝑝 при гладком отображении его в 𝑀 вместе с параметризацией. (Образ как множество при этом
может быть весьма безобразным, сингулярным, но присутствует параметризация).
Скажем, 0-симплекс – это точка в 𝑀 (никакой параметризации нет),
1-симплекс – это гладкий путь, 2-симплекс – параметризованный гладкий
образ треугольника.
Два (сингулярных) 𝑝-симплекса считаем равными, если один получается из другого композицией с некоторым диффеоморфизмом стандартного 𝑝-симплекса, сохраняющим его структуру, т.е. переводящего грань
любой размерности в себя (это как переход от путей к кривым).
𝑝-цепь (сингулярная цепь размерности 𝑝) в 𝑀 – это конечная (!) целочисленная линейная комбинация 𝜎 = Σ 𝑛𝑗 [𝑆𝑗 ], где [𝑆𝑗 ] – сингулярные
𝑝-симплексы в 𝑀 и 𝑛𝑗 ∈ Z. Цепь назовём приведённой, если все её симплексы различны (т.е. коэффициенты при равных сложены). Цепь равна
0, если после приведения все её коэффициенты равны нулю.
Примером естественно возникающей цепи является ориентированная
граница [𝜕𝑆] стандартного симплекса в R 𝑝 .
Граница 𝑝-цепи Σ 𝑛𝑗 [𝑆𝑗 ] – это (𝑝 − 1)-цепь 𝜕(Σ 𝑛𝑗 [𝑆𝑗 ]) := Σ 𝑛𝑗 [𝜕𝑆𝑗 ], где
𝜕𝑆𝑗 – образ относительно отображения 𝑆 → 𝑆𝑗 границы 𝜕𝑆 стандартного
симплекса в R 2 , каждая грань которого (размерности 𝑝 − 1) ориентирована согласованно с 𝑆. Гладкий образ цепи, конечно же, – тоже цепь.
Например,
𝑝 = 0 : 𝜕(Σ 𝑛𝑗 [𝑎𝑗 ]) := 0;
𝑝 = 1 : 𝜕(Σ 𝑛𝑗 [𝛾𝑗 ] := Σ 𝑛𝑗 𝜕[𝛾𝑗 ]) := Σ 𝑛𝑗 ([𝑏𝑗 ] − [𝑎𝑗 ]), 𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑀 – начало и
конец пути 𝛾𝑗 .
7
Далее мы будем иметь дело только с цепями размерностей ≤ 2.
Гладкая 2-мерная ориентированная поверхность (𝑀, 𝑏𝑀 ) с ориентированным краем и с компактным замыканием допускает конечную триангуляцию, которая превращает её в 2-мерную цепь с коэффициентами
1 при всех 2-симплексах триангуляции (считаем, что при отображениях
треугольника в симплексы триангуляции 𝑀 ∪ 𝑏𝑀 ориентация сохраняется).
Цепь 𝜎 называется циклом, если 𝜕𝜎 = 0 и границей, если она имеет
вид 𝜕𝜎. Циклы и границы образуют линейные пространства над кольцом
Z. Легко видеть, что 𝜕 2 = 0, 𝜕(𝜕𝜎) = 0 (это достаточно проверить для
стандартного симплекса в R 𝑝 ), поэтому границы тоже являются циклами. 𝑝-мерная группа гомологий многообразия 𝑀 – это фактор-группа
𝐻𝑝 (𝑀, Z)= (𝑝-циклы)/(𝑝-границы),
с отождествлением 𝜎1 ∼ 𝜎2 , если 𝜎1 − 𝜎2 = 𝜕𝜎 для некоторой (𝑝 + 1)-цепи
𝜎. Границы называются также циклами, гомологичными нулю.
Пример: 𝑝 = 0. 0-граница – это цепь вида Σ 𝑚𝑗 ([𝑏𝑗 ] − [𝑎𝑗 ]), где 𝑎𝑗 , 𝑏𝑗
– начало и конец некоторого пути 𝛾𝑗 на 𝑀 . Пусть 𝑀𝜈 – связные компоненты 𝑀 . 0-цепь Σ 𝑛𝑗 [𝑐𝑗 ] является границей ⇐⇒ Σ𝑐𝑗 ∈𝑀𝜈 𝑛𝑗 = 0 , ∀ 𝜈 =⇒
𝐻0 (𝑀, Z) ∼
= Z𝑁 , если число компонент равно 𝑁 (в общем это ⊕𝜈 Z).
Определим теперь интеграл от дифференциальной 𝑝-формы по 𝑞цепи. По определению, он равен нулю, если 𝑞 ̸= 𝑝. Далее,
∫︀
𝑝 = 0, 𝜎 = Σ 𝑛𝑗 [𝑎𝑗 ], 𝑓 – функция (0-форма) =⇒ 𝜎 𝑓 := Σ 𝑛𝑗 𝑓 (𝑎𝑗 ).
𝑝 = 1, 𝜎 = Σ 𝑛𝑗 [𝛾𝑗 ], 𝛾𝑗 : [0, 1] → 𝑀 ; 𝛼 = Σ 𝑐𝜈 𝑑𝑓𝜈 =⇒
∫︀
∫︀ 1
∫︀ 1
𝛼 := Σ𝑗,𝜈 𝑛𝑗 0 (𝑐𝜈 ∘ 𝛾𝑗 ) 𝑑(𝑓𝜈 ∘ 𝛾𝑗 ) = Σ𝑗 𝑛𝑗 0 (𝛾𝑗* 𝛼).
𝜎
∫︀
𝑝 = ∫︀2, 𝜎 = Σ 𝑛𝑗 [𝑇𝑗 ], 𝑇𝑗 : 𝑇 → 𝑀, 𝜑 – 2-форма на 𝑀 =⇒
𝜑 :=
𝜎
*
Σ 𝑛𝑗 𝑇 (𝑇𝑗 𝜑).
Больше нам не понадобится (принцип понятен). Из определений и
формулы Стокса в плоских областях очевидно получается формула Стокса для интегралов по 2-цепям:
∫︀
∫︀
𝜓
=
𝑑𝜓 , ∀𝜎, 𝜑 ∈ 𝐶 1 .
𝜕𝜎
𝜎
Триангулируя компактную ориентированную поверхность с согласованно ориентированным краем, мы видим, что определённые выше интегралы по поверхности и её краю совпадают с интегралами по соответствующим цепям.
8
6. Лемма Пуанкаре
Лемма. В шаре 𝐷 ⊂ R 𝑛 всякая гладкая замкнутая 𝑝-форма (𝑝 > 0)
точна.
(форма 𝛼 замкнута, если 𝑑𝛼 = 0 и точна, если она = 𝑑𝛽 для некоторой
формы 𝛽.)
▷ Доказательство проведём для случая 𝑛 = 2, 𝑝 = 1 (𝑝 = 2 см. ниже).
𝛼 = 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦, 𝑑𝛼 = 0 (𝑏′𝑥 = 𝑎′𝑦 ). Можно считать, что центр круга 𝐷 – в
(0, 0).
∫︀ (𝑥,𝑦)
Положим 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 𝛼 (интеграл по отрезку). Тогда
(︃∫︁
(𝑥+Δ𝑥,𝑦)
∫︁
(𝑥,𝑦)
−
(0,0)
)︃
∫︁
𝛼=
(0,0)
∫︁
(𝑥+Δ𝑥,𝑦)
𝛼 = (𝑎(𝑥, 𝑦) + 𝑜(1)) ∆𝑥 ,
𝛼+
(𝑥,𝑦)
𝜕𝑇
где 𝑇 – треугольник с вершинами (0, 0), (𝑥, 𝑦), (𝑥 + ∆𝑥, 𝑑𝑦); интеграл по
его границе равен нулю по формуле Стокса. =⇒ 𝜕𝑓
= 𝑎; аналогично
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 𝑏 =⇒ 𝑑𝑓 = 𝛼. ◁
𝜕𝑦
Поверхность 𝑀 (𝑑𝑖𝑚R 𝑀 = 2) назовём гомологически тривиальной,
если 𝐻1 (𝑀, Z) = 0, т.е. всякий 1-цикл на 𝑆 является границей некоторой
2-цепи. Таковыми являются, например все односвязные поверхности. В
самом деле, всякий 1-цикл на поверхности имеет вид Σ 𝑛𝑗 [𝛾𝑗 ], где 𝑛𝑗 ∈ Z
и 𝛾𝑗 – петли, т.е. кусочно-гладкие отображения окружности 𝑆 1 = 𝜕D ⊂ C
(упр.6). Если 𝑀 односвязная, то существуют кусочно-гладкие отображения 𝑓𝑗 : D̄ → 𝑀 такие, что 𝑓𝑗 |𝑆 1 = 𝛾𝑗 . Так как любое конечное разбиение
𝑆 1 точками очевидно продолжается до триангуляции D̄, то все 1-циклы
на 𝑀 гомологичны нулю.
Следствие. На гладкой гомологически тривиальной поверхности 𝑀
всякая замкнутая 1-форма 𝛼 класса 𝐶 𝑘 , 𝑘 ≥ 1, точна, точнее, существует функция 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 (𝑀 ) такая, что 𝑑𝑓 = 𝛼.
Функция 𝑓 называется первообразной (или интегралом) формы 𝛼.
∫︀ 𝑝
▷ Фиксируем точку ∘ ∈ 𝑀 и положим 𝑓 (𝑝) := ∘ 𝛼, где интеграл берётся по произвольному кусочно-гладкому пути из ∘ в 𝑝; так как 𝑀 гомологически тривиальная, то, по формуле Стокса, это определение корректное, не зависит от выбора пути.
Пусть (𝑈, 𝑥) – координатная окрестность точки 𝑞 на 𝑀, 𝑥(𝑈∫︀) – круг
𝑝
в с центром (0, 0) = 𝑥(𝑞) в R2 . По построению, 𝑓 (𝑝) = 𝑓 (𝑞) + 𝑞 𝛼 для
9
всех 𝑝 ∈ 𝑈 . По лемме Пуанкаре (точнее, по её доказательству), 𝑑𝑓 = 𝛼,
откуда уже 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 . ◁
Лемма. 𝐷 ⊂ C , 𝑎 ∈ 𝐶 1 (𝐷) =⇒ ∃ 𝑏 ∈ 𝐶 1 (𝐷) :
Здесь и далее
𝜕
𝜕 𝑧¯
𝜕𝑏
𝜕 𝑧¯
= 𝑎.
𝜕
𝜕
:= 21 ( 𝜕𝑥
+ 𝑖 𝜕𝑦
).
▷ Напомним формулу Коши – Грина из ТФКП (см. [Ш1]): если функция 𝜑 непрерывно дифференцирума и имеет компактный носитель (класс
∫︀
𝑑𝑆𝜁
¯ если 𝜁 = 𝜉+𝑖𝜂.
𝐶𝑐1 (C )), то 𝜑(𝑧) = − 𝜋1 𝜕𝜑
, где 𝑑𝑆𝜁 := 𝑑𝜉∧𝑑𝜂 = 2𝑖 𝑑𝜁 ∧𝑑𝜁,
𝜕 𝜁¯ 𝜁−𝑧
1. Разберём сначала случай, ∫︀когда 𝐷 ограничена и 𝑎 равномерно огра𝑎(𝜁)𝑑𝑆
ничена. Положим 𝑏(𝑧) := − 𝜋1 𝐷 𝜁−𝑧 𝜁 . Так как 𝑎 ∈ 𝐶 1 (𝐷), то легко
¯ дифференцируема в 𝐷 и
проверяется что функция 𝑏 непрерывна в 𝐷,
1
¯ Далее, ∀ 𝜑 ∈ 𝐶𝑐 (𝐷) (с компактным носителем)
голоморфна в P1 ∖ 𝐷.
)︂
∫︁
∫︁ (︂ ∫︁
∫︁
∫︁
𝜕𝜑
1
𝜕𝑏
𝜕𝜑 𝑑𝑆𝑧
𝑏
𝑎
𝜑 𝑑𝑆𝑧 = −
𝑑𝑆𝑧 =
𝑎𝜑 𝑑𝑆𝜁
𝑑𝑆𝜁 =
¯
¯
𝜋 𝐷 𝜕 𝑧¯ 𝜁 − 𝑧
𝐷 𝜕𝑧
𝐷 𝜕𝑧
𝐷
𝐷
=⇒ 𝑏′𝑧¯ = 𝑎
¯
в 𝐷𝜈+1 , 𝐷 ∖
2. Общий случай. Представим 𝐷 = ∪∞
0 𝐷𝜈 , 𝐷𝜈 – компакт
∫︀ 𝑎(𝜁)𝑑𝑆
1
𝐷𝜈 не имеют компактных связных компонент. 𝑏𝜈 (𝑧) := − 𝜋 𝐷𝜈 𝜁−𝑧 𝜁 =⇒
𝜕𝑏𝜈
¯ 𝜈 =⇒ 𝑏𝜈+1 − 𝑏𝜈 =: ℎ𝜈 ∈ 𝒪(𝐷𝜈 ) =⇒ (теорема
= 𝑎 в 𝐷𝜈 и = 0 вне 𝐷
𝜕 𝑧¯
¯ 𝜈−1 . Положим
Рунге, ТФКП) ∃ ℎ̃𝜈 ∈ 𝒪(𝐷) такие, что |ℎ̃𝜈 − ℎ𝜈 | < 2−𝜈 в 𝐷
𝑏 := 𝑏1 +(ℎ1 −ℎ̃1 )+· · ·+(ℎ𝜈 −ℎ̃𝜈 )+· · · = 𝑏𝜈 −ℎ̃1 −· · ·−ℎ̃𝜈−1 +(ℎ𝜈 −ℎ̃𝜈 )+· · · =⇒
𝑏 ∈ 𝐶 1 (𝐷) и 𝑏′𝑧¯ = 𝑎 в 𝐷. ◁
Следствие. В любой области 𝐷 ⊂ R 2 всякая гладкая 2-форма точна.
▷ 𝜑 = 𝑎 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 = 2𝑖 𝑎 𝑑𝑧 ∧ 𝑑¯
𝑧 . 𝑎 = 𝑏′𝑧¯, 𝑑𝑏 = 𝑏′𝑧 𝑑𝑧 + 𝑏′𝑧¯ 𝑑¯
𝑧 =⇒ 𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑧 =
1
′
𝑏𝑧¯ 𝑑¯
𝑧 ∧ 𝑑𝑧 =⇒ 𝜑 = 𝑑( 2𝑖 𝑏 𝑑𝑧). ◁
7. Когомологии де Рама
Так как 𝑑 2 = 0 (см. п.4), то на гладком многообразии 𝑀 можно определить векторные пространства (группы когомологий де Рама)
𝑝
𝐻𝐷𝑅
(𝑀 ) := (замкнутые 𝑝-формы)/(точные 𝑝-формы),
фактор по отношению эквивалентности 𝜑1 ∼ 𝜑2 , если 𝜑1 − 𝜑2 = 𝑑𝜓.
10
Чтобы подчеркнуть коэффициенты, мы будем обозначать через 𝐻 𝑝 (𝑀, C )
и 𝐻 𝑝 (𝑀, R ) группы де Рама для комплексных и вещественных форм, соответственно; это обозначение не противоречит другим известным теориям когомологий (сингулярным, клеточным, Чеха), поскольку для многообразий все они совпадают.
𝑝 = 0 . Единственная точная форма здесь 0 (так удобно). Замкнутые
0-формы – это локально постоянные функции.
=⇒ 𝐻 0 (𝑀, C ) ≃ C 𝑁 , где 𝑁 – число связных компонент 𝑀 (аналогично,
для 𝐻 0 (𝑀, R )). В частности, если 𝐷 – область в R 2 , то 𝐻 0 (𝐷, C ) = C .
𝑝 = 1 . В терминах когомологий следствие п.6 можно перефразировать так:
𝐻 1 (𝑀, C) = 0 для любой гомологически тривиальной поверхности 𝑀 ,
а его доказательство показывает, что
замкнутая
1-форма 𝛼 на поверхности 𝑀 точна тогда и только тогда,
∫︀
когда 𝛾 𝛼 = 0 для любой кусочно-гладкой петли 𝛾 : 𝜕D → 𝑀 .
𝑝 = 2 . Лемма п.6 означает, что 𝐻 2 (𝐷, C ) = 0 для любой области
𝐷 ⊂ R2 .
Лемма. Для ограниченной (𝑚+1)-связной области 𝐷 ⊂ C , 𝐻 1 (𝐷, C ) ≃
C 𝑚 при 𝑚 ≥ 1 и 0 при 𝑚 = 0.
∫︀
▷ Замкнутая 1-форма 𝛼 в 𝐷 точна тогда и только тогда, когда 𝛾 𝛼 =
0 для всякого кусочно-гладкого замкнутого пути 𝛾 в 𝐷 (см. следствие
леммы Пуанкаре). По формуле Стокса для цепей интегралы от 𝛼 по
гомологичным путям совпадают.
Базис в группе гомологий 𝐻1 (𝐷, Z) задают 1-циклы [𝛾𝑗 ] вокруг "дырок"
(компактных
компонент C∖𝐷) такие, что ∆𝛾𝑗 𝑎𝑟𝑔 (𝑧 −𝑎𝜈 ) =∫︀ 2𝜋 𝛿𝑗𝜈 , ∫︀𝑎𝜈 ∈ 𝜈∫︀
й дырке. 𝛾𝑗 𝑑𝑓 = 0 ∀𝑓 ∈ 𝐶 1 (𝐷) =⇒ отображение [𝛼] ↦→ ( 𝛾1 𝛼, ..., 𝛾𝑚 𝛼) ∈
C 𝑚 , где [𝛼] – класс 𝛼 в 𝐻 1 (𝑀, C ), является вложением. С другой сто𝑐
1
(Σ 𝑧−𝑎𝑗 𝑗 ) 𝑑𝑧 в качестве указанных
роны, ∀ (𝑐1 , ..., 𝑐𝑚 ) ∈ C 𝑚 форма 𝛼 = 2𝜋𝑖
периодов имеет (𝑐1 , ..., 𝑐𝑚 ) =⇒ это отображение на C 𝑚 , изоморфизм. ◁
На некомпактных многообразия наряду с определёнными выше когомологиями удобно использовать также когомологии де Рама с компактными носителями
𝐻𝑐𝑝 (𝑀, C):=(замкнутые 𝑝-формы с компактными носителями)/𝑑 ∧𝑐𝑝−1 (𝑀 ).
Пространства 𝐻 𝑝 (𝑀, C) и 𝐻𝑐𝑝 (𝑀, C) в общем не изоморфные.
11
8. Потоки
𝑀 – гладкое 𝑛-мерное многообразие. ∧𝑞𝑐 (𝑀 ) – пространство гладких дифференциальных 𝑞-форм с компактными носителями (носитель
𝜑 , обозначение 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜑 , есть замыкание множества, где 𝜑 ̸= 0). Топологию в этом пространстве определим следующим образом: обобщённая
последовательность 𝜑𝛼 → 𝜑, если существует компакт 𝐾 ⊂ 𝑀 , содержащий носители всех 𝜑𝛼 , и 𝜑𝛼 → 𝜑 равномерно на 𝐾, вместе с частными
производными всех порядков (точнее, 𝑣1 · · · 𝑣𝑚 𝜑𝛼 → 𝑣1 · · · 𝑣𝑚 𝜑 равномерно на 𝐾 для любых гладких векторных полей 𝑣𝑗 на 𝑀 и любого 𝑚 ∈ N).
∧𝑞𝑐 в теории потоков выступает как пространство "пробных" (test-) форм,
для которых потоки будут двойственными объектами.
Поток размерности 𝑞 (= степени 𝑝 = 𝑛 − 𝑞) на 𝑀 есть непрерывный
линейный функционал на ∧𝑞𝑐 (𝑀 ); линейное пространство всех таких потоков обозначим через ∧′𝑝 (𝑀 ). (Можно рассматривать потоки, не специфицируя степени, полагая 𝑇 (𝜑) = 0, если 𝑇 степени 𝑝, 𝜑 степени 𝑞 и
𝑝 ̸= 𝑛 − 𝑞.) Топология в ∧′𝑝 (𝑀 ) самая простая, поточечная: 𝑇𝑗 → 𝑇 , если
𝑇𝑗 (𝜑) → 𝑇 (𝜑) для любой пробной формы 𝜑. Совсем не очевидно, что
Если многообразие счётно-компактное, то пространство ∧′𝑝 (𝑀 ) полное и рефлексивное, т.е., сопряжённое к нему пространство есть
(𝑀 ) .
(∧′𝑝 (𝑀 ))* = ∧𝑛−𝑝
𝑐
Это теорема де Рама [Р] из функционального анализа (вполне доступная).
Поток 𝑇 равен нулю на открытом множестве 𝑈 ⊂ 𝑀 , если 𝑇 (𝜑) = 0
для всякой 𝜑 ∈ ∧𝑞𝑐 (𝑀 ) с носителем в 𝑈 ; носитель потока, 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑇 , – это
наименьшее замкнутое множество, вне которого он равен нулю.
Потоки степени 𝑝 с компактными носителями на счётно-компактном
многообразии 𝑀 образуют линейное топологическое пространство ∧′ 𝑝𝑐 (𝑀 ),
сопряжённое к пространству ∧𝑛−𝑝 (𝑀 ) гладких (𝑛−𝑝)-форм на 𝑀 (упр.24)
и тоже рефлексивное,
*
𝑛−𝑝
(∧′𝑝
(𝑀 )
𝑐 (𝑀 )) = ∧
(это тоже теорема де Рама).
Примеры: Локально интегрируемая
функция, 𝑓 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (𝑀 ), определя∫︀
ет поток [𝑓 ] степени 0 , [𝑓 ](𝜑) := 𝑀 𝑓 𝜑.
Дифференциальная форма 𝜓 степени 𝑝 с локально-интегрируемыми
ко∫︀
эффициентами определяет поток степени 𝑝 по формуле [𝜓](𝜑) := 𝑀 𝜓 ∧𝜑
(отсюда взято понятие степени потока).
12
𝑞-цепь 𝜎 ∫︀определяет поток размерности 𝑞 (степени 𝑛 − 𝑞) по формуле
[𝜎](𝜑) := 𝜎 𝜑 (отсюда – понятие размерности потока).
Кусочно-непрерывная функция 𝑓 на∫︀ (носителе) цепи 𝜎 дополняет последний пример потоками 𝑓 [𝜎] : 𝜑 ↦→ 𝜎 𝑓 𝜑.
Таким образом, потоки объединяют в себе и формы и цепи, и анализ
и геометрию.
Оператор 𝑑 на потоках определяется по двойственности: 𝑇 ∈ ∧′𝑝 =⇒
(𝑑𝑇 )(𝜑) := (−1)𝑝−1 𝑇 (𝑑𝜑) =⇒ 𝑑𝑇 ∈ ∧′𝑝+1 . Формула Стокса в этой терминологии почти тавтологична: 𝑑[𝜎] = (−1)𝑛−𝑞−1 [𝜕𝜎], дифференциал (анализ) с точностью до знака есть граница (геометрия); в частности, для
ориентируемой поверхности с краем, 𝑑[𝑀 ] = −[𝑏𝑀 ].
Поток 𝑇 называется замкнутым, если 𝑑𝑇 = 0, и точным, если 𝑇 =
𝑑𝑆 для некоторого потока 𝑆. Так как 𝑑 2 = 0 для форм, то, из определения, это же верно и для потоков, 𝑑(𝑑𝑇 ) = 0 и мы можем определить
фактор-пространство
𝐻 ′ 𝑝 (𝑀, C ) := (замкнутые потоки степени 𝑝)/(точные потоки).
Аналогично, 𝐻 ′ 𝑝𝑐 (𝑀, C ) := – это фактор-пространство
(замкнутые 𝑝-потоки с компактными носителями)/𝑑∧′ 𝑝−1
𝑐 (𝑀 ).
9. Регуляризация
Сначала на плоскости. Фиксируем некоторую функцию 𝜆 ∈ 𝐶 ∞ (C ),
зависящую только
∫︀ от |𝑧|, неотрицательную, = 0 при |𝑧| > 1 и с единичной массой, 𝜆 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 = 1. Для произвольного 𝜀 > 0 положим
𝜆𝜀 (𝑧) := 𝜀12 𝜆( 𝑧𝜀 ) и для функции 𝑓 ∈ 𝐶(C ) определим (𝜀-)регуляризацию
∫︁
∫︁
∫︁
𝜀
𝑓 (𝑧) := 𝑓 (𝑧 + 𝜀𝜂)𝜆(𝜂) 𝑑𝑆𝜂 = 𝑓 (𝑧 + 𝜁)𝜆𝜀 (𝜁) 𝑑𝑆𝜁 = 𝑓 (𝜁)𝜆𝜀 (𝜁 − 𝑧) 𝑑𝑆𝜁 ,
где 𝑑𝑆𝜁 := 𝑑𝜉 ∧ 𝑑𝜂, если 𝜁 = 𝜉 + 𝑖𝜂. Интегрирование идёт по кругам
радиусов < 𝜀 , поэтому носитель 𝑓 𝜀 лежит в 𝜀-окрестности носителя 𝑓 .
Из последнего представления видно, что 𝑓 𝜀 ∈ 𝐶 ∞ (C ), а из первого ясно,
что 𝑓 𝜀 → 𝑓 при 𝜀 → 0 и что 𝐷(𝑓 𝜀 ) = (𝐷𝑓 )𝜀 для частных производных
𝐷, если функция 𝑓 непрерывно дифференцируема; в частности, если
𝑓 ∈ ∧0𝑐 (C ) (гладкая функция с компактным носителем) то 𝑓 𝜀 → 𝑓 в
топологии пространства ∧0𝑐 (C ).
Для дифференциальных форм в C регуляризацию определим покоэффициентно. =⇒ Те же свойства, в частности, 𝜑𝜀 → 𝜑 в ∧𝑞𝑐 (C ), если
13
𝜑 ∈ Λ𝑞𝑐 (C ) и 𝑑(𝜑𝜀 ) = (𝑑𝜑)𝜀 . Но тут есть и кое-что новое, а именно, если
форма замкнута, 𝑑𝜑 = 0, то разность 𝜑 − 𝜑𝜀 – точная форма 𝑑𝜓, причём 𝜓 равна нулю вне 𝜀-окрестности носителя 𝜑. В самом деле, пусть
𝜑 = 𝑓 𝑑𝑧 + ℎ 𝑑¯
𝑧 замкнута, т.е. 𝑓𝑧¯ = ℎ𝑧 , и
)︂
∫︁ (︂∫︁ 1
¯
(𝐴𝜀 𝜑)(𝑧) :=
[𝜁𝑓 (𝑧 + 𝑡𝜁) + 𝜁ℎ(𝑧 + 𝑡𝜁)]𝑑𝑡 𝑑𝑆𝜁𝜀 ,
0
где 𝑑𝑆𝜁𝜀 := 𝜆𝜀 (𝜁) 𝑑𝜉 ∧ 𝑑𝜂. Эта функция, очевидно, равна нулю вне 𝜀окрестности носителя 𝜑. Так как ℎ𝑧 = 𝑓𝑧¯, то
)︂
∫︁ (︂∫︁ 1
𝑑
𝜕(𝐴𝜀 𝜑)
(𝑧) =
𝑓 (𝑧 + 𝑡𝜁) 𝑑𝑡 𝑑𝑆𝜁𝜀 = (𝑓 𝜀 − 𝑓 )(𝑧) .
𝜕𝑧
𝑑𝑡
0
Аналогично, 𝜕(𝐴𝜀 𝜑)/𝜕 𝑧¯ = ℎ𝜀 − ℎ и, значит, 𝑑(𝐴𝜀 𝜑) = 𝜑𝜀 − 𝜑.
Для форм второй степени 𝜑 = 𝑎 𝑑𝑧 ∧𝑑¯
𝑧 это же равенство выполняется
(легко проверить) с формой
)︂
)︂
(︂∫︁ ∫︁ 1
(︂∫︁ ∫︁ 1
𝜀
𝜀
𝜁¯ 𝑎(𝑧 + 𝑡𝜁) 𝑑𝑡𝑑𝑆𝜁 𝑑𝑧 ,
𝜁 𝑎(𝑧 + 𝑡𝜁) 𝑑𝑡𝑑𝑆𝜁 𝑑¯
𝑧−
𝐴𝜀 𝜑 =
0
0
тоже сосредоточенной в 𝜀-окрестности носителя 𝜑.
Регуляризация потоков определяется по двойственности, 𝑇 𝜀 (𝜑) :=
𝑇 (𝜑𝜀 ). Ясно, что носитель 𝑇 𝜀 также лежит в 𝜀-окрестности носителя 𝑇 ,
что 𝑇 𝜀 → 𝑇 при 𝜀 → 0 в топологии ∧′𝑝 (C ) и что 𝑑(𝑇 𝜀 ) = (𝑑𝑇 )𝜀 . Так же
полагая (𝐴𝜀 𝑇 )(𝜑) := 𝑇 (𝐴𝜀 𝜑), мы получаем, что поток 𝐴𝜀 𝑇 сосредоточен
в 𝜀-окрестности потока 𝑇 и для 𝑇 замкнутого (это условие актуально
лишь для степени 𝑝 = 1, так как у нас всегда будет 𝑛 = 2) имеет место
равенство 𝑇 𝜀 − 𝑇 = 𝑑(𝐴𝜀 𝑇 ).
Покажем, наконец, что 𝑇 𝜀 ∈ ∧𝑝 (C ), на примере потоков типа (0, 1)
(для остальных аналогично); бистепень потока определяется тоже по
двойственности: 𝑇 0,1 (𝜑) := 𝑇 (𝜑1,0 ), 𝑇 1,0 (𝜑) := 𝑇 (𝜑0,1 ).
∫︀
𝜀
Для
𝜑
=
ℎ
𝑑𝑧
,
𝜑
=
(
ℎ(𝜁)𝜆∫︀𝜀 (𝜁 − 𝑧) 𝑑𝑆𝜁 ) 𝑑𝑧. Поэтому 𝑇 𝜀 (𝜑) = 𝑇 (𝜑𝜀 ) =
∫︀
ℎ(𝜁)𝑇𝑧 (𝜆𝜀 (𝜁 − 𝑧) 𝑑𝑧) 𝑑𝑆𝜁 = 2𝑖1 (𝑇𝑧 (𝜆𝜀 (𝜁 − 𝑧) 𝑑𝑧)) 𝑑𝜁¯ ∧ ℎ 𝑑𝜁 (здесь индекс
указывает, что 𝑇 действует по 𝑧, остальные переменные – как параметры). Ключевое второе равенство следует из того, что поток – линейный
непрерывный функционал и потому он перестановочен с интегралом Римана. Таким образом, 𝑇 𝜀 как функционал на ∧1,0
𝑐 (C ) (т.е. как поток) сов1
падает с (представляется) (0, 1)-формой 2𝑖 (𝑇𝜁 (𝜆𝜀 (𝑧 − 𝜁) 𝑑𝜁)) 𝑑¯
𝑧 из ∧0,1 (C ).
14
Аналогично, для 𝑇 ∈ ∧′2 (C ) поток 𝑇 𝜀 совпадает с гладкой 2-формой
(𝑇𝜁 (𝜆𝜀 (𝑧 − 𝜁))) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦.
Чтобы определить регуляризацию на произвольной р.п., удобно определить её сначала в единичном круге D , используя подходящий диффеоморфизм 𝑓 : D → C , например, такой, что arg 𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑟𝑔 𝑧, а |𝑓 (𝑧)| = |𝑧|
при |𝑧| < 1/3, = 𝑒1/(1−|𝑧|) при |𝑧| > 2/3 и в целом монотонный. Регуляризацию форм в круге определим так: сначала выйдем на плоскость,
усредним там и вернёмся назад, т.е., это операция 𝜑 ↦→ 𝜑𝜀D := 𝑓 * ((𝑓* 𝜑)𝜀 ).
Если 𝜑 определена в окрестности D̄ , то вне D положим 𝜑𝜀D = 𝜑. Ввиду
экспоненциального роста |𝑓 | возле 𝜕D , гладкие формы в окрестности D̄
после такой операции остаются гладкими (там же). Так как 𝑓 * 𝑑 = 𝑑 𝑓 *
то замкнутость форм при этом тоже сохраняется.
Пусть теперь 𝑀 – произвольная (счётно-компактная) р.п. и (𝑈𝑗 , 𝑧𝑗 ) –
координатные окрестности такие, что 𝑧𝑗 (𝑈𝑗 ) ⊃ D̄ и 𝑧𝑗−1 (D ) тоже покрывают 𝑀 . Используя координаты, усредним сначала формы и потоки в 𝑈1
с параметром 𝜀1 (ничего не меняя вне 𝑧1−1 (D )), результат усредним в 𝑈2
с параметром 𝜀2 – и т.д. На любом компакте 𝐾 ⊂ 𝑀 эта процедура закончится через конечное число шагов, а параметры 𝜀𝑗 > 0 можно брать
произвольно. Таким образом, по схеме де Рама из [Р], для римановых
поверхностей (а больше нам и не надо) доказана следующая
Теорема (де Рам). 𝑀 – гладкое счётно-компактное многообразие с
фиксированной метрикой =⇒ ∀ 𝜀 > 0 в пространстве потоков ∧′ (𝑀 )
существует линейный непрерывный оператор регуляризации 𝑇 ↦→ 𝑇 𝜀 со
следующими свойствами:
1. 𝑇 ∈ ∧′𝑝 =⇒ 𝑇 𝜀 ∈ ∧𝑝 , гладкая 𝑝-форма,
2. Носитель 𝑇 𝜀 лежит в 𝜀-окрестности носителя 𝑇 ,
3. 𝑇 𝜀 → 𝑇 в топологии ∧′ при 𝜀 → 0,
4. 𝑑(𝑇 𝜀 ) = (𝑑𝑇 )𝜀 ,
5. 𝑑𝑇 = 0 =⇒ 𝑇 − 𝑇 𝜀 = 𝑑𝑆𝜀 , причём носитель потока 𝑆𝜀 лежит в
𝜀-окрестности носителя 𝑇 .
Следствие.
*
𝐻 ′ 𝑝 (𝑀, C ) = 𝐻 𝑝 (𝑀, C ) ,
𝐻 ′ 𝑝𝑐 (𝑀 ) = 𝐻𝑐𝑝 (𝑀 ) .
10. 𝑑-проблема на ориентируемой поверхности
𝑀 – гладкая поверхность, ориентированная, компактная или с краем.
Решаем на 𝑀 "𝑑-проблему" , которая для 𝑝 = 1 заключается в нахождении гладкой функции 𝑓 , удовлетворяющей уравнению 𝑑𝑓 = 𝛼 с гладкой
15
правой частью, 𝛼 ∈ ∧1 , и необходимым условием 𝑑𝛼 = 0 (поскольку
𝑑(𝑑𝑓 ) = 0).
Пробуем решить эту проблему при помощи полной развёртки. Пусть
𝛾𝑗 – кусочно-гладкие циклы-разрезы на 𝑀 , исходящие из одной базовой
точки ∘ и гладкие вне ∘, или компоненты края с разрезами из отмеченной точки (см. п.2) и 𝜌 : 𝑀 ∖ Γ → D – отображение развёртки, где Γ –
объединение всех разрезов и края. Отображение 𝜌 можно выбрать гладким, причём так, что обратное к нему непрерывно на D̄ , гладко в D и
кусочно гладко на 𝜕D = 𝑆 1 . Форма 𝛼
˜ := (𝜌−1 )* 𝛼 замкнутая и гладкая в
D , непрерывная на D̄ =⇒ 𝛼
˜ = 𝑑𝑓˜, 𝑓˜ гладкая в D , непрерывная в D̄
˜
(см. п.6). =⇒ 𝑓 := 𝑓 ∘ 𝜌 – гладкая на 𝑀 ∖ Γ и такая, что там 𝛼 = 𝑑𝑓 . Но
что происходит на Γ ?
В общем случае, функция 𝑓 разрывна (в некоторых точках Γ), но
непрерывно продолжается на каждую 𝛾𝑗 ∖ ∘ с каждой стороны этой кривой. Посмотрим, что это значит с точки зрения потоков. Пусть 𝜑 – гладкая 1-форма на 𝑀 , = 0 в окрестности края. Тогда
∫︁
∫︁
∫︁
∫︁
∫︁
𝑓𝑗± 𝜑 ,
𝛼∧𝜑+Σ
𝑓𝜑 = −
𝛼∧𝜑+
𝑓 𝑑𝜑 = −
𝜕(𝑀 ∖Γ)
𝑀
𝑀
𝛾𝑗
𝑀
где 𝑓𝑗± = 𝑓𝑗+ − 𝑓𝑗− , скачки предельных значений функций 𝑓𝑗 на 𝛾𝑗 . В
терминах потоков, это означает,
[𝛼] − 𝑑[𝑓 ] = Σ𝑓𝑗± [𝛾𝑗 ]. =⇒
∫︀ что
∫︀ поток в
правой части замкнут, т.е., Σ 𝛾𝑗 𝑓𝑗± 𝑑ℎ = 0 , ∀ℎ ∈ ∧0𝑐 (𝑀 ) =⇒ 𝛾𝑗 𝑓𝑗± 𝑑ℎ =
0 , ∀𝑗 и всех ℎ ∈ ∧0𝑐 (𝑀 ), равных 0 в окрестности базовой точки ∘ =⇒
𝑓𝑗± ≡ 𝑐𝑗 , 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =⇒ [𝛼] ∼ Σ 𝑐𝑗 [𝛾𝑗 ] (разность этих двух потоков точна).
Γ ∩ 𝑀 – это канонические циклы 𝑎𝜈 , 𝑏𝜈 , соответствующие ручкам (см.
п.2), и разрезы 𝛿𝜈 от базовой точки ∘ до компонент края. Потоки [𝑎𝜈 ], [𝑏𝜈 ]
замкнуты на 𝑀 (формула Стокса), а 𝛿𝜈 – нет (один конец 𝛿𝜈 – это точка
∘ ∈ 𝑀 ). Так как поток Σ𝑐𝑗 [𝛾𝑗 ] замкнут, то значит
Σ {𝑐𝑗 : 𝛾𝑗 = некоторому 𝛿𝜈 } = 0
(*)
(в частности, если 𝑚 = 1, то коэффициент при единственном разрезе 𝛿
равен нулю).
Так как 𝑏𝑗 и некоторые 𝑎
˜𝑗 ∼ 𝑎𝑗 (гомологичные) пересекаются трансверсально, то
∫︁
∫︁
∫︁
∫︁
𝜀
𝜀
𝜀
˜
˜
[˜
𝑎𝜈 ] = −
[𝑏𝑗 ] = −𝛿𝑗𝜈 , а
[ 𝑏𝜈 ] =
[𝑎𝜈 ]𝜀 = 0 ,
𝑏𝑗
𝑎𝜈
𝑏𝑗
16
𝑎𝑗
если 𝜀 > 0 достаточно мало (см. упр.19 и картину в локальных координатах в кольцах вокруг 𝑎
˜𝜈 , ˜𝑏𝜈 ). Так как [˜
𝑎𝜈 ]𝜀 , [˜𝑏𝜈 ]𝜀 – замкнутые формы из
∧1𝑐 (𝑀 ), то это значит, что замкнутые формы [𝑎𝜈 ], [𝑏𝜈 ] не точны и любая
их ненулевая линейная
(с коэффициентами из C ) тоже не
∫︀ комбинация
∫︀
точна (например, (𝑐1 𝑎𝜈 +𝑐2 𝑏𝜈 )[𝑏𝜈 ]𝜀 = 𝑐1 ).
Если 𝛾𝑗 – компоненты края
(куда идут∫︀ соотв. разрезы
𝛿𝑗 из базовой
∫︀
∫︀
𝜀
𝜀
𝜀
точки ∘), то, аналогично, 𝛿𝑗 [˜
𝛾𝜈 ] = 𝛿𝑗𝜈 , 𝑎𝑗 [˜
𝛾𝜈 ] = 𝑏𝑗 [˜
𝛾𝜈 ] = 0. =⇒
Поток Σ 𝑐𝑗 [𝛾𝑗 ] на 𝑀 замкнут ∀ 𝑐𝑗 ∈ C , удовлетворяющих условию (*), но
точен =⇒ все 𝑐𝑗 = 0.
Мы говорим, что 𝑀 – поверхность конечного типа, если она либо
компактна, либо представима в виде возрастающей последовательности
компактных поверхностей с краями 𝑀𝜈 ⊂ 𝑀 , причём 𝜒(𝑀𝜈 ) ≥ −𝑁 >
−∞. Переходя к подпоследовательности, можно считать тогда, что род
𝑔 одинаков (равен роду 𝑀 ) и число компонент у границ одно и то же ( =
𝑚), если 𝜈 достаточно большое. Пару (𝑔, 𝑚) называем (топологическим)
типом поверхности 𝑀 .
Теорема. 𝑀 – гладкая ориентируемая поверхность конечного типа
(𝑔, 𝑚), 𝛼 – гладкая 1-форма
на 𝑀 . Уравнение 𝑑𝑓 = 𝛼 разрешимо с 𝑓 ∈
∫︀
∞
𝐶 (𝑀 ) ⇐⇒ 𝑑𝛼 = 0 и 𝛾𝑗 𝛼 = 0, 𝑗 = 1, ..., 2𝑔 + 𝑚, где 𝛾𝑗 – канонические
разрезы ручек и компоненты края поверхностей 𝑀𝜈 при достаточно
большом 𝜈. 𝐻 1 (𝑀, C ) ∼
= C2𝑔 , если 𝑀 компактна и ∼
= C2𝑔+𝑚−1 , если
𝑚 > 0.
▷ Условия, очевидно, необходимые (формула Стокса). Пусть 𝛼 удовлетворяет указанным условиям. Тогда, по доказанному выше, для каждого
𝜈 существует гладкая функция 𝑓𝜈 на 𝑀𝜈 такая, что там 𝑑𝑓𝜈 = 𝛼. Нормируем её условием 𝑓𝜈 (∘) = 0, ∘ ∈ 𝑀 . Так как 𝑓𝜈+1 − 𝑓𝜈 ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0 на 𝑀𝜈 ,
то 𝑓𝜈 (𝑧) не зависит от 𝜈 для 𝑧 ∈ 𝑀𝑗 , 𝑗 ≤ 𝜈, и значит, это одна единая
функция 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ (𝑀 ).
1
Для замкнутой 1-формы 𝛼 на 𝑀 обозначим ∫︀через [𝛼]
∫︀ ∈ 𝐻 (𝑀, C ) её
класс когомологий де Рама. Если 𝛽 ∈ [𝛼], то 𝛾 𝛼 = 𝛾 𝛽 для всякого
1-цикла∫︀ 𝛾 на 𝑀∫︀(по формуле Стокса) и, значит, определено отображение
[𝛼] ↦→ ( 𝛾1 𝛼, ..., 𝛾2𝑔+𝑚 𝛼) ∈ C 2𝑔+𝑚 . По доказанному выше, таким образом
получаются все (𝑐1 , ..., 𝑐2𝑔+𝑚 ) ∈ C 2𝑔+𝑚 , удовлетворяющие единственному
C-линейному соотношению (*), пустому, если 𝑚 = 0. ◁
Замечание. По лемме Пуанкаре, уравнение 𝑑𝑓 = 𝛼 разрешимо в окрестности каждой точки и разность двух различных решений есть локально17
постоянная функция. Поэтому если это уравнение разрешимо хотя бы в
потоках, то решение всё равно будет гладким.
В приведённых выше доказательствах мы использовали некоторые
результаты из дифференциальной топологии гладких поверхностей. Для
утверждений, которые будут использоваться в дальнейшем, соответствующие топологические результаты будут доказаны методами комплексного анализа (и, конечно, без ссылок на этот параграф).
*****
Упражнения
Всюду ниже 𝑀 – счётно-компактное гладкое многообразие размерности 𝑛.
1. 𝑢, 𝑣 – векторные поля класса 𝐶 𝑘≥1 на 𝑀 =⇒ [𝑢, 𝑣] : 𝑓 ↦→ 𝑢(𝑣(𝑓 )) −
𝑣(𝑢(𝑓 )), 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ (𝑀 ), – тоже векторное поле (скобка Пуассона полей 𝑢, 𝑣)
гладкости 𝐶 𝑘−1 .
2. 𝑢, 𝑣 – векторные поля и 𝛼 – 1-форма (все класса 𝐶 𝑘≥1 ) на 𝑀 . Доказать
тождество (𝑑𝛼)(𝑢, 𝑣) = 𝑢(𝛼(𝑣)) − 𝑣(𝛼(𝑢)) − 𝛼([𝑢, 𝑣]).
3. Поверхность 𝑀 (𝑑𝑖𝑚R 𝑀 = 2) ориентируема ⇐⇒ существует 2-форма 𝜔,
нигде на 𝑀 не равная нулю.
4. 𝜑 : 𝑀 → 𝑁 – гладкое отображение гладких многообразий, 𝜑* 𝑓 := 𝑓 ∘ 𝜑
для 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘≥1 (𝑁 ), (𝜑* 𝑣)(𝑓 ) := 𝑣(𝜑* 𝑓 ) для полей 𝑣 на 𝑀 , наконец, (𝜑* 𝛼)(𝑣) :=
𝛼(𝜑* 𝑣) для 1-форм 𝛼 на 𝑁 . Доказать, что 𝜑* 𝑑 = 𝑑 𝜑* , т.е. 𝜑* (𝑑𝑓 ) = 𝑑(𝜑* 𝑓 ) и
𝜑* (𝑑𝛼) = 𝑑(𝜑* 𝛼).
5. 𝑀 – триангулированная поверхность ( 𝑑𝑖𝑚 𝑀 = 2), на рёбрах триангуляции
фиксированы некоторые ориентации (направления). Доказать, что всякая 0цепь на 𝑀 гомологична 0-цепи, состоящей из вершин триангуляции. Вывести
отсюда, что всякий 1-цикл на 𝑀 гомологичен 1-циклу, состоящему из рёбер
триангуляции (с подходящими коэффициентами).
6. Окружность 𝑆 1 – это 1-цикл на плоскости C ([0, 1] ∋ 𝑡 ↦→ 𝑒2𝜋𝑖𝑡 ∈ 𝑆 1 ). Доказать, что всякий цикл на триангулируемой поверхности гомологичен циклу
вида Σ 𝑛𝑗 [𝛾𝑗 ], где 𝛾𝑗 : 𝑆 1 → 𝑀 .
7. Всякая простая замкнутая кривая 𝛾 (гомеоморфный образ 𝑆 1 ) на ориентируемой поверхности 𝑀 двусторонняя, т.е. ∃ связная окрестность 𝑈 ⊃ 𝛾 такая,
что 𝑈 ∖ 𝛾 не связно.
8. 𝐷 – замкнутая область в C с фиксированной триангуляцией, 𝐷∘ – внутренность 𝐷, 𝛾 : 𝑆 1 → 𝐷∘ – гладкое отображение такое, что 𝛾(𝑆 1 ) содержится в
18
объединении рёбер триангуляции. Для всякого треугольника 𝑇𝑗 триангуляции
1
положим 𝑛𝑗 := 2𝜋
Δ𝛾 𝑎𝑟𝑔 (𝑧 − 𝑎𝑗 ), 𝑎𝑗 ∈ 𝑇𝑗∘ , и определим 2-цепь 𝜎 := Σ 𝑛𝑗 [𝑇𝑗 ].
Доказать, что 1-цикл [𝛾] гомологичен нулю (является границей) тогда и только
тогда, когда 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜎 ∩ 𝐷∘ – компакт; при этом 𝛾 = 𝜕𝜎.
∫︀
9. 1-цикл 𝛾 в области 𝐷 ⊂ C является границей ⇐⇒ 𝛾 𝛼 = 0 для всякой
гладкой замкнутой 1-формы 𝛼 в 𝐷.
10. ∫︀Замкнутая 1-форма 𝛼 на ориентированной поверхности 𝑀 точна =⇒
a) 𝛾 𝛼 = 0 для всякого 1-цикла 𝛾 на 𝑀 ,
∫︀
b) 𝑀 𝛼 ∧ 𝛽 = 0 для любой замкнутой 1-формы 𝛽 с компактным носителем.
11. 𝐷 – область в R 2 . Доказать, что всякая гладкая 2-форма 𝜑 в 𝐷 точна
(= 𝑑𝜓), не используя ТФКП.
^ – объединение 𝐾 и всех связных ком12. 𝐾 – компакт на поверхности 𝑀 и 𝐾
^ – тоже компакт.
понент 𝑀 ∖ 𝐾 с компактными замыканиями. Доказать, что 𝐾
13. Доказать формулу из п.2 для эйлеровой характеристики сферы с 𝑔 ручками
и 𝑚 дырками (или проколами), используя полную развёртку.
14. 𝜓 – распределение в R 2 (т.е., линейный непрерывный функционал на "пробных" функциях, ∧0𝑐 (R 2 )). Какова его степень как потока? Чему равен дифференциал этого потока?
15. 𝜓1 , 𝜓2 – распределения в R 2 . Определим поток 𝑇 = 𝜓1 𝑑𝑥 + 𝜓2 𝑑𝑦 степени
1, полагая 𝑇 (𝛼 = 𝑎1 𝑑𝑥 + 𝑎2 𝑑𝑦) := 𝜓1 (𝑎2 ) − 𝜓2 (𝑎1 ), 𝛼 ∈ ∧1𝑐 (R 2 ). Доказать, что
всякий поток степени 1 в R 2 представляется в таком виде, а всякий поток
степени 2 – в виде 𝑇 = 𝜓 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦 , где 𝜓 – распределение и 𝑇 (ℎ) := 𝜓(ℎ). А как
связаны с распределениями потоки степени 0?
∫︀
16. 𝛾 : [0, 1] → R 2 , 𝑡 ↦→ (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), – путь класса 𝐶 1 , [𝛾](𝛼) := 𝛾 𝛼 – поток в
R 2 степени 1. Записать [𝛾] в виде обобщённой формы (как в упр.15). Найти
коэффициенты 𝜓1 , 𝜓2 для путей 𝑥(𝑡) = 𝑡, 𝑦(𝑡) = 0 и 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡, 𝑦(𝑡) =
𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑡 (тут проще полярные координаты).
17. Область 𝐷 ⊂ R 2 задаётся неравенством 𝜌 < 0, где 𝜌 ∈ 𝐶 1 (R 2 ) и 𝑑𝜌 ̸= 0 в
точках 𝜕𝐷. Доказать, что поток 𝑑 [𝐷] представляется в виде 𝜇 𝑑𝜌, где 𝜇 – мера
на 𝜕𝐷. Какая?
18. 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 – собственное отображение гладких многообразий, 𝑇 – поток
на 𝑀 . Определим поток 𝑓* 𝑇 на 𝑁 условием (𝑓* 𝑇 )(𝜑) := 𝑇 (𝑓 * 𝜑). Для ситуаций
𝑓 : R 2 → R , 𝑇 = [{𝑓 < 0}] и 𝑓 : R → R 2 , 𝑇 = [(−∞, 0]] описать потоки 𝑓* 𝑇 и
𝑓* (𝑑𝑇 ).
19
19. Гладкие пути 𝛾1 , 𝛾2 : [−1, 1] → C пересекаются только в 0 = 𝛾𝑗 (0), причём
′
их касательные 𝛾1′ (0),
∫︀ 𝛾2 (0)𝜀 образуют положительно ориентированный базис
в C . Доказать, что 𝛾1 [𝛾2 ] = 1 при всех малых 𝜀. (Начать со случая осей
координат.)
20. 𝑀 = ∪𝑀𝜈 , все 𝑀𝜈 связные, 𝑀𝜈 ⊂ 𝑀𝜈+1 ; 𝛼 – 1-форма на 𝑀 , точная на
каждом 𝑀𝜈 =⇒ 𝛼 точна на 𝑀 , а условие 𝑀𝜈 ⊂ 𝑀𝜈+1 нельзя ослабить до
∩𝑀𝜈 ̸= ∅ .
21. Доказать, что 𝐻 0 (P1 , C ) ≃ C ≃ 𝐻 2 (P1 , C ), а 𝐻 1 (P1 , C ) = 0. Для замкнутой
1-формы 𝛼 на P1 найти первообразную (формулой). Привести пример вещественной гладкой 2-формы на P1 , нигде не равной нулю. Точна ли она?
22. 𝛾 : 𝑆 1 → C
∫︀ – гладкий путь-вложение, 𝜓 – кусочно-непрерывная 1-форма на
𝛾(𝑆 1 ). Если 𝛾 𝜓 = 0 , то существует непрерывная функция 𝑓 на 𝛾(𝑆 1 ) такая,
∫︀
∫︀
что 𝑑(𝑓 [𝛾]) = 𝜓 ∧ [𝛾] (по определению, (𝜓 ∧ [𝛾])(ℎ) = − 𝛾 ℎ𝜓). Если же 𝛾 𝜓 ̸= 0,
то поток 𝜓 ∧ [𝛾] не представляется в виде 𝑑 𝑇 , где 𝑇 – поток в C с компактным
носителем.
23. Доказать, что поток 𝑇 степени 2 на связной компактной ориентированной поверхности 𝑀 является точным (= 𝑑𝑆) ⇐⇒ 𝑇 (1) = 0 . В частности,
𝐻 2 (𝑀, C ) ≃ C . Указать гладкую 2-форму, класс которой (в 𝐻 2 ) отличен от
нуля.
24. Поток 𝑇 степени 𝑝 на 𝑀 продолжается до линейного непрерывного функционала на ∧𝑛−𝑝 (𝑀 ) ⇐⇒ 𝑇 имеет компактный носитель.
25. Доказать, что 𝐻 2 (𝑀, C ) = 0 для ориентируемой поверхности с непустым
краем 𝑏𝑀 , при условии, что 𝑀 связная (𝑀 ∪ 𝑏𝑀 – компакт).
𝐻 2 (𝑀, C ) = 0 для всякой связной ориентируемой некомпактной поверхности.
26. Гладкие комплексные функции на многообразии 𝑀 , нигде не равные нулю, образуют группу по умножению 𝐶*∞ (𝑀 ), а функции вида 𝑒ℎ , ℎ ∈ 𝐶 ∞ (𝑀 ),
составляют в ней подгруппу 𝑒𝑥𝑝. Положим 𝐻 1 (𝑀, Z) := 𝐶*∞ (𝑀 )/𝑒𝑥𝑝 (факторгруппа). Для ориентируемого многообразия 𝑀 доказать:
𝑑𝑓
a) отображение 𝑓 ↦→ 2𝜋𝑓
индуцирует гомоморфизм 𝜄 : 𝐻 1 (𝑀, Z) → 𝐻 1 (𝑀, C ),
b) гомоморфизм 𝜄 является вложением,
c) класс эквивалентности замкнутой 1-формы
𝛼 содержится в образе 𝐻 1 (𝑀, Z)
∫︀
⇐⇒ все периоды 𝛼 целочисленны, т.е. 𝛾 𝛼 ∈ Z для всякой 1-цепи 𝛾.
20