Лекция 4. Классификация двумерных поверхностей

Лекция 4. Классификация
двумерных поверхностей
План лекции. Классификация двумерных поверхностей.
0.1
Классификация ориентируемых поверхностей
Наша цель – классифицировать двумерные поверхности с точностью до
гомеоморфизма. Прежде всего отметим, что достаточно ограничиться поверхностями, “состоящими из одного куска”; такие поверхности называются
связными.
Определение. Поверхность M называется связной, если любые две точки
M можно соединить непрерывной кривой, лежащей на M .
Замечание. Ясно, что на каждой связной поверхности существует связный граф, разбивающий ее на куски, гомеоморфные диску.
Начнем с классификации ориентируемых поверхностей без края. Обозначим через Mg поверхность, полученную из сферы приклейкой g ручек.
Теорема 0.1. Каждая связная ориентируемая триангулируемая поверхность без края гомеоморфна одной из поверхностей Mg .
Доказательство. Идея доказательства состоит в следующем. Пусть дана
поверхность Q. Мы будем выполнять с этой поверхностью ряд операций
(заменяющих ее на не гомеоморфную), в результате чего получится поверхность, гомеоморфная диску, т.е. сфере с вырезанной дыркой. Затем мы проследим, как восстанавливается по этой поверхности наша исходная поверхность Q и убедимся, что в процессе восстановления получается сфера, в
которой вырезано несколько дырок и некоторые из них заклеены ручками.
Вспоминая, что исходная поверхность края не имела, мы заключим, что
свободных дырок в нашей поверхности Q нет, т.е. она получается из сферы
приклейкой некоторого числа ручек.
1
2
Перейдем к реализации этой программы. Рассмотрим на Q связный
граф Γ, разбивающий ее на конечное число областей, каждая из которых
гомеоморфна диску. Окружим каждую вершину графа маленьким “кружком”, а каждое ребро заключим в узкую полоску, соединяющую построенные “кружки” (рис. 1). Другими словами, рассмотрим поверхность Qε ,
состоящую из точек P ∈ Q, находящихся от Γ на расстоянии, не большем
ε; здесь ε > 0 – достаточно малое число.
Рис. 1: Доказательство теоремы 0.1, шаг 1.
Вырежем теперь из поверхности Q все оставшиеся куски областей (внутренности); каждый кусок гомеоморфен диску, так что эта процедура сводится к вырезанию в поверхности нескольких дырок, а обратная к ней — к
заклеиванию дырок дисками.
Рассмотрим теперь получившуюся после такого удаления поверхность
Qε — она состоит из кружков, окружающих вершины графа, соединенных
ленточками, содержащими ребра. Рассмотрим в графе максимальное дерево и соответствующие перемычки. Каждую полоску, соответствующую
перемычкам, разрежем поперек; в результате получится новая поверхность
Q̂ (рис. 2).
Рис. 2: Доказательство теоремы 0.1, шаг 2.
Убедимся в том, что эта поверхность гомеоморфна диску. Действительно, рассмотрим максимальное дерево рассматриваемого графа. Это дере-
3
во можно строить, начиная с одного ребра, соединяющего две вершины и
добавляя каждый раз по одному ребру и одной вершине так, чтобы все
время получалось дерево. Два кружка, соединенных полоской, очевидно,
гомеоморфны диску; добавление полоски с кружком эквивалентно приклеиванию к диску прямоугольника по одной его стороне; в результате снова
получается поверхность, гомеоморфная диску. Таким образом, получая на
каждом шаге поверхность, гомеоморфную диску, мы построим максимальное дерево, окруженное полосками и кружками. Для того, чтобы получить
поверхность Q̂, осталось приклеить куски, образовавшиеся при разрезании
перемычек. Каждый такой кусок гомеоморфен прямоугольнику, который
приклеивается по одной стороне; при этом снова получается поверхность,
гомеоморфная диску.
Итак, вырезав внутренности областей и разрезав полоски, соответствующие перемычкам, мы получили из Q поверхность, гомеоморфную диску.
Посмотрим теперь, к чему приводит разрезание полосок и, главное, что
представляет собой обратная процедура их склейки. Рассмотрим произвольную полоску; пусть, разрезая ее, мы соединяем точки a и b на разных
сторонах. Ясно, что эти точки лежат на крае поверхности Qε (край Qε состоит из границ полосок и кружков); при этом a и b могут лежать как на
разных окружностях, образующих край, так и на одной.
Если они лежат на разных окружностях, разрезание по соединяющей
две окружности дуге приводит к уменьшению на единицу числа дырок в
поверхности (рис. 3); значит, обратный процесс склейки должен приводить
к вырезанию одной дырки.
Рис. 3: Доказательство теоремы 0.1, шаг 3.
Если точки a и b лежат на одной окружности, процесс разрезания можно представить себе следующим образом. Прежде всего, сдвинем точки a
и b в одну точку на крае; тогда разрезать придется по замкнутой кривой,
начинающейся и заканчивающейся на крае. Такую процедуру можно разбить на два этапа: сперва мы разрежем поверхность по замкнутой кривой
q, не пересекающейся с краем, а затем соединим этот разрез с краем по дуге
(рис. 4).
На втором этапе мы соединяем разрезом две точки, лежащие на раз-
4
Рис. 4: Доказательство теоремы 0.1, шаг 4.
ных окружностях, образующих край (одна из этих окружностей возникла
при разрезании по замкнутой кривой); как мы видели выше, эта процедура
сводится к заклеиванию дырки диском, а обратная — к вырезанию диска.
Наконец, осталось рассмотреть процедуру разрезания поверхности вдоль
замкнутой кривой q, не пересекающейся с краем. Если мы заключим эту
кривую в узкую полоску и вырежем эту полоску из нашей поверхности, вырезанный кусок будет гомеоморфен цилиндру. Действительно, если такую
полоску разрезать поперек, ее можно будет распрямить в прямоугольник.
При склеивании прямоугольника по двум противоположным сторонам получается либо цилиндр, либо лента Мебиуса; последняя содержит цепочку
симплексов, обращающую ориентацию, а таких в нашей поверхности быть
не может (напомним, что Q предполагается ориентируемой). Итак, полоска,
содержащая рассматриваемую замкнутую кривую q, гомеоморфна цилиндру, а ее разрезание по нашей кривой — разрезанию цилиндра по средней
окружности, в результате чего он распадается на два (рис. 5).
Рис. 5: Доказательство теоремы 0.1, шаг 5.
После такого разрезания на поверхности образуется две новых окружности, входящих в край; склеивание вдоль нашей замкнутой кривой q эквивалентно склейке двух таких окружностей. Если при склейке направление
обхода “против часовой стрелки” на одной окружности перейдет в такое
5
же направление на другой, узкая полоска, соединяющая окружности, склеится в ленту Мебиуса (рис. 6), что запрещено условием ориентируемости
поверхности.
Рис. 6: Доказательство теоремы 0.1, шаг 6.
Таким образом, направление “против часовой стрелки” на одной из склеиваемых окружностей соединяется с направлением “по часовой стрелке” на
другой; такая операция эквивалентна приклейке ручки (рис. 7).
Рис. 7: Доказательство теоремы 0.1, шаг 7.
Подведем итог. Исходная поверхность Q получается из поверхности Q̂,
гомеоморфной диску, при помощи серии операций (склейка полосок, соответствующих перемычкам в графе, и приклейка внутренностей областей),
каждая из которых эквивалентна одной из следующих:
а) вырезание дырки;
б) заклеивание дырки диском;
в) вклейка ручки.
Значит, поверхность Q гомеоморфна сфере с некоторым количеством
дырок и некоторым количеством ручек. Отсутствие края гарантирует отсутствие дырок, поэтому Q гомеоморфна одной из поверхностей Mg .
6
Задача 0.2. Проследить, в каких местах доказательства использовалась
ориентируемость поверхности.
Задача 0.3. Проследить, в каких местах доказательства использовалось
отсутствие края.
Задача 0.4. Обозначим через Mgm поверхность, полученную из Mg вырезанием m дырок (сфера с g ручками и m дырками). Доказать, что любая
связная ориентируемая триангулируемая поверхность с краем гомеоморфна одной из поверхностей Mgm .
0.2
Классификация неориентируемых поверхностей
Из доказательства предыдущей теоремы видно, что, если отказаться от
требования ориентируемости, в поверхности могут появиться куски, гомеоморфные пленке Мебиуса. Оказывается, это единственный эффект неориентируемости, так что любая неориентируемая поверхность получается из
сферы при помощи применения конечного числа основных операций, перечисленных в конце предыдущей лекции (вырезание дырки, заклейка дырки
диском, вклейка ручки, вклейка пленки Мебиуса). Более того, мы докажем,
что в неориентируемом случае можно обойтись без ручек, так что главной
операцией будет вклейка пленки Мебиуса. Прежде всего, приведем новое
удобное описание этой операции. Прежде, чем вклеивать пленку Мебиуса в
поверхность, разрежем ее по средней линии; получим поверхность, гомеоморфную цилиндру. Обратную склейку средней линии можно представлять
себе как отождествление диаметрально противоположных точек одного из
оснований цилиндра (рис. 8; на рисунке одинаковыми буквами обозначены
точки, которые требуется отождествить). Тем самым, вклейку пленки Мебиуса в поверхность можно представлять себе следующим образом: сперва
в поверхности вырезается дырка и в нее вклеивается цилиндр (одно из его
оснований приклеивается к краю дырки), а затем на оставшемся основании
цилиндра отождествляются диаметрально противоположные точки. Ясно,
что вклейка цилиндра заменяет поверхность на гомеоморфную (дырка просто уменьшается в размере); таким образом, чтобы вклеить пленку Мебиуса, надо вырезать в поверхности дырку и отождествить на возникшей
компоненте края диаметрально противоположные точки.
Задача 0.5. Описать операцию отождествления диаметрально противоположных точек компоненты края поверхности в терминах триангуляции; убедиться, что при этом к поверхности присоединяется пленка
Мебиуса.
Теперь мы можем описать неориентируемые поверхности. Обозначим
через Nk поверхность, полученную из сферы вклейкой k пленок Мебиуса.
7
Рис. 8: Пленка Мебиуса.
Теорема 0.6. Каждая связная неориентируемая триангулируемая поверхность без края гомеоморфна одной из поверхностей Nk .
Доказательство. Будем действовать по тому же плану, что и при доказательстве предыдущей теоремы; легко понять, что ориентируемость поверхности в этом доказательстве используется в двух местах, причем оба
относятся к операции вырезания из поверхности ленточной окрестности замкнутой кривой (и к обратной операции вклейки).
Во-первых, сама вырезаемая ленточка может быть гомеоморфна либо
цилиндру, либо пленке Мебиуса; в ориентируемом случае возможен только
первый вариант, тогда как сейчас мы должны допустить и второй. Тем самым, к перечисленным выше операциям (вырезание дырки, заклейка дырки
диском, вклейка ручки), при помощи которых из сферы получается исходная поверхность Q, добавляется еще одна — вклейка пленки Мебиуса.
Во-вторых, если ленточка все же гомеоморфна цилиндру, вклейка этого цилиндра в поверхность эквивалентна склейке краев двух дырок; эта
склейка может осуществляться двумя различными способами, причем, если направление обхода “против часовой стрелки” на одной окружности переходит в такое же направление на второй, получается неориентируемая
поверхность. Нам осталось выяснить, что именно происходит при такой
операции. Рассмотрим поверхность, в которой вырезаны две дырки, а затем
края этих дырок склеены с учетом одинаковой ориентации на них. Представим эту процедуру следующим образом. Сперва разрежем поверхность
по двум отрезкам, соединяющим края дырок; при этом из поверхности выпадет связный кусок. Вклеим этот кусок назад поверхность, склеив сперва
края дырок по нужному правилу (для этого кусок придется “вывернуть наизнанку”); в результате снова получим поверхность с двумя дырками (край
каждой дырки – вновь проведенный разрез), но теперь требуется склеить
диаметрально противоположные точки на краях дырок. Выше мы видели,
что такая операция эквивалентна вклейке пленки Мебиуса; таким образом, вклейка в поверхность нашего цилиндра эквивалентна приклеиванию
к ней двух пленок Мебиуса. На(рис. 9 вырезаемый и вновь вклеиваемый кусок закрашен; одинаковыми буквами обозначены точки, которые требуется
8
отождествить.
Рис. 9: Склейка двух дырок эквивалентна вклейке двух пленок Мебиуса.
Итак мы доказали, что любая поверхность получается из сферы при помощи четырех операций: вырезание дырки, заклейка дырки диском, вклейка ручки и и вклейка пленки Мебиуса. В результате получится сфера с
некоторым количеством дырок, ручек и пленок Мебиуса. Поскольку мы
рассматриваем поверхности без края, дырок быть не может; кроме того,
поскольку поверхность неориентируема, хотя бы одна пленка Мебиуса присутствует. Таким образом, наша поверхность гомеоморфна сфере с g ≥ 0
ручками и s ≥ 1 пленками Мебиуса. Оказывается, такая поверхность гомеоморфна сфере, к которой приклеено s + 2g пленок Мебиуса (ручки приклеивать не надо). Другими словами, в присутствии хотя бы одной пленки
Мебиуса, любая ручка на поверхности эквивалентна двум пленкам Мебиуса. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим на поверхности ручку и пленку
Мебиуса; напомним, что приклейка ручки эквивалентна вырезанию двух
дырок и последующей склейке их краев с учетом противоположной ориентации, а приклейка пленки Мебиуса — вырезанию дырки и последующему
отождествлению диаметрально противоположных точек ее края. Вырежем
сперва все три дырки и затем разрежем поверхность по кривой, соединяющей точки на краю дырки, отвечающей пленке Мебиуса; при этом кривая
должна охватывать одну из двух дырок, отвечающих ручке и (вместе с
куском края дырки) ограничивать область, гомеоморфную диску. Из поверхности выпадет связный кусок; вклеим его назад так, чтобы совпали
диаметрально противоположные точки на крае дырки, соответствующей
пленке Мебиуса (для этого вырезанный кусок надо “вывернуть наизнанку”).
В результате на поверхности образуются три дырки – две были изначально и соответствовали ручке, а третья образовалась из вновь проведенного
разреза. Края этих дырок надо склеить следующим образом: две бывшие
ранее дырки склеить по краю с учетом одинаковой ориентации (направление изменилось в результате переворачивания вырезанного куска) и на крае
третьей отождествить диаметрально противоположные точки. Как мы видели выше, в результате этих операций к поверхности присоединяются три
пленки Мебиуса.
9
Рис. 10: Замена ручки на две пленки Мебиуса.
Задача 0.7. Сформулировать и доказать теорему классификации неориентируемых поверхностей с краем.
10
Упражнения к лекциям 0.
Упражнение 0.1. Пусть на поверхности нарисован граф, причем каждая из областей, на которые он делит поверхность, гомеоморфна диску.
Эйлеровой характеристикой такой карты называется число f + v − e, где
f – число областей, e – число ребер, и v – число вершин. Доказать, что
эйлеровы характеристики любых двух карт на поверхности совпадают.
Указание: рассмотреть карту, получающуюся “наложением” двух карт,
т.е. объединением их границ.
Упражнение 0.2. Эйлеровой характеристикой поверхности называется
число
χ = f + v − e,
где f, v и e – числа областей, вершин и ребер любой карты, нарисованной
на поверхности (согласно утверждению из задачи 1, это число не зависит
от карты и, тем самым, характеризует саму поверхность). Вычислить
эйлеровы характеристики цилиндра, тора и ленты Мебиуса.
Упражнение 0.3. Поверхность M получается из сферы вырезанием k
круглых дисков (на рисунке закрашены черным).
Рис. 11: Вырезание дырок.
Найти эйлерову характеристику поверхности M .
Упражнение 0.4. Ручкой называется поверхность, полученная из тора
вырезанием диска (на рисунке закрашен).
Вычислить эйлерову характеристику поверхности ручки.
Упражнение 0.5. Поверхность M получается из поверхности N вырезанием k дисков. Выразить χ(M ) через χ(N ).
Упражнения к лекциям 0.
11
Рис. 12: Ручка.
Упражнение 0.6. Каждая из двух поверхностей M и N имеет край,
представляющий собой замкнутую кривую, состоящую из одного куска
(на рисунках края – границы закрашенных дисков).
Рис. 13: .
Поверхность Q получается из поверхностей M и N склеиванием краев.
Выразить χ(Q) через χ(M ) и χ(N ).
Упражнение 0.7. Поверхность M получается из восьмиугольника так,
чтобы совпали стрелки на сторонах, обозначенных одинаковыми буквами.
Вычислить χ(M ).
12
Рис. 14: .
Рис. 15: Склейка из восьмиугольника.
Упражнение 0.8. Поверхность Mg получается из сферы вырезанием g
дисков и приклеиванием по образовавшимся краям g ручек. Вычислить
χ(Mg ).
Упражнение 0.9. В шаре высверлены два отверстия, не пересекающиеся
между собой. Какой из поверхностей Mg гомеоморфна полученная поверхность?
Упражнение 0.10. В шаре высверлены два отверстия, проходящие через
центр шара. Какой из поверхностей Mg гомеоморфна полученная поверхность?
Упражнения к лекциям 0.
13
Упражнение 0.11. В шаре высверлены m отверстий, не пересекающихся между собой. Какой из поверхностей Mk эквивалентна полученная поверхность?
Упражнение 0.12. В шаре высверлены m отверстий, проходящих через
центр шара. Какой из поверхностей Mk эквивалентна полученная поверхность?
Упражнение 0.13. Какая поверхность получится, если в пятиугольнике
склеить стороны так, как показано на рисунке (сторона c не склеивается
ни с чем)?
Рис. 16: Склейка пятиугольника.
Упражнение 0.14. Сторонам многоугольника приписаны буквы a, b, c, ...
в следующем порядке: a, b, a, b, c, d, c, d, .... Затем стороны, помеченные одноименными буквами склеиваются, причем стрелка на каждой стороне
направлена по направлению обхода, когда соответствующая буква встречается первый раз, и против направления обхода, когда буква встречается
второй раз. Доказать, что, если число разных букв равно 2g, то полученная поверхность эквивалентна сфере с g ручками.
Упражнение 0.15. На поверхности Mg проведено m замкнутых кривых,
причем, если по ним разрезать поверхность, она останется связной. Доказать, что m ≤ g.
Упражнение 0.16. На замкнутой ориентируемой поверхности нарисована карта, причем каждая грань – пятиугольник и в каждой вершине
сходится по четыре границы. Доказать, что число стран в этой карте
делится на восемь.
Упражнение 0.17. Нарисовать на “развертке” тора (прямоугольнике)
карту так, чтобы каждая страна была гомеоморфна диску.
14
Упражнение 0.18. Вычислить эйлерову характеристику чайника со снятой крышкой (у него есть ручка и носик).
Упражнение 0.19. На замкнутой ориентируемой поверхности нарисована карта, причем каждая страна – n-угольник и в каждой вершине сходится по k ребер. Доказать, что
1
1
1
χ
+ = + ,
n k
2 2e
где χ – эйлерова характеристика поверхности, а e – число ребер карты.
Привести пример такой карты на сфере при n = 2, k = 4.
Упражнение 0.20. У фигуры, нарисованной ниже, каждые два одинаково обозначенных отрезка склеены с перекручиванием. Ориентируема ли
полученная поверхность? Из скольких кусков состоит ее край?
Рис. 17:
Упражнение 0.21. Вычислить эйлерову характеристику ленты Мебиуса.
Упражнение 0.22. Вычислить эйлерову характеристику смирительной
рубашки (рукава сшиты между собой).
Упражнение 0.23. На замкнутой ориентируемой поверхности нарисована карта, причем каждая страна – пятиугольник и в каждой вершине
сходится по четыре границы. Доказать, что число стран в этой карте
делится на восемь.
Упражнение 0.24. В 4n-угольнике попарно склеены с учетом направлений одинаково обозначенные стороны. Какая поверхность получилась?
Упражнения к лекциям 0.
15
Рис. 18: Склейка из 4n-угольника.
Рис. 19: Бутылка Клейна.
Упражнение 0.25. Вычислить эйлерову характеристику бутылки Клейна:
Упражнение 0.26. Вычислить эйлерову характеристику проективной
плоскости:
Упражнение 0.27. Вычислить эйлерову характеристику сахарницы.
Упражнение 0.28. Вычислить эйлерову характеристику поверхности,
полученной разрезанием ленты Мебиуса по средней линии.
Упражнение 0.29. На развертке кренделя нарисовать карту, каждая
16
Рис. 20: Проективная плоскость.
страна в которой гомеоморфна диску. Вычислить для этой карты n, e и
f.
Рис. 21: Развертка кренделя.
Упражнение 0.30. На торе нарисована карта, причем все грани – nугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число границ. Доказать, что n = 3, 4 или 6.
Упражнение 0.31. В каждой из поверхностей M и N вырезали по дырке;
кроме того, две дырки вырезали в торе. Затем один из получившихся краев
тора приклеили к краю дырки в поверхности M , а второй – к краю дырки в
Упражнения к лекциям 0.
17
N . Выразить эйлерову характеристику получившейся поверхности через
эйлеровы характеристики M и N .
Упражнение 0.32. В бутылке Клейна вырезали дырку и вклеили туда
ленту Мебиуса. Найти эйлерову характеристику получившейся поверхности.
Упражнение 0.33. Какие типы компактных ориентируемых поверхностей имеют эйлерову характеристику -3?
Упражнение 0.34. Нарисовать на плоскости многоугольник, при склейке
которого получается тор с двумя дырками.
Упражнение 0.35. На бутылке Клейна нарисована карта, причем все
грани – n-угольники и в каждой вершине сходится одинаковое число границ. Может ли n быть равным 7?
Упражнение 0.36. Четыре сферы попарно соединили цилиндрами. Вычислить эйлерову характеристику полученной поверхности.
Упражнение 0.37. В торе вырезали две дырки и вклеили в них ленты
Мебиуса. Найти эйлерову характеристику получившейся поверхности.
Упражнение 0.38. Компактная поверхность имеет эйлерову характеристику 1. Верно ли, что эта поверхность – сфера с дыркой?
Упражнение 0.39. Нарисовать на плоскости многоугольник, при склейке
которого получается крендель с дыркой.
Упражнение 0.40. На ленте Мебиуса нарисована карта, причем все грани – n-угольники и в каждой вершине сходится одинаковое число границ.
Может ли n быть равным 8?
Упражнение 0.41. Три тора попарно соединили цилиндрами. Вычислить
эйлерову характеристику полученной поверхности.