разностные уравнения - Новгородский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
Ласунский А.В.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В. Новгород
2011
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
Ласунский А.В.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методическое пособие: конспект лекций
В. Новгород
2011
2
УДК 22.161.1
ББК 517.9
Печатается по решению
РИС НовГУ
Ласунский А.В. Разностные уравнения: мет. пособие: конспект лекций/ ФГБОУ ВПО
«Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011.– 62с.
Рецензент
Доктор ф.-м. наук, профессор Е.Ю.Панов
В учебном пособии изложены основы элементарной теории разностных уравнений. Приведены основные методы решения, которые проиллюстрированы примерами. Издание содержит расширенный курс лекций «Разностные уравнения», который
автор читает для студентов специальности 010500.62 Прикладная математика и информатика. Пособие содержит также задачи по этому курсу.
УДК 22.161.1
ББК 517.9
© ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный
университет имени Ярослава Мудрого», 2011
© Ласунский А.В., составление, 2011
3
СОДЕРЖАНИЕ
§1. Конечные разностные функции одной действительной переменной.
Основные понятия теории разностных уравнений
§2. Простейшие разностные уравнения первого порядка
§3. Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель
Казорати. Необходимый признак линейной зависимости функций
§4. Линейные однородные разностные уравнения n – го порядка
§5. Аналог формулы Абеля для линейного разностного уравнения
n – го порядка
§6. Линейные однородные разностные уравнения с постоянными
действительными коэффициентами
§7. Линейные неоднородные разностные уравнения
§ 8. Линейные неоднородные разностные уравнения с постоянными
действительными коэффициентами и со специальной правой частью
§ 9. Возвратные последовательности. Суммирование членов возвратных
последовательностей. Формула суммирования по частям
§10. Приложение теории разностных уравнений к вычислению
определителей
§11. Системы разностных уравнений, основные понятия
§12. Линейные системы разностных уравнений
§13. Метод Эйлера построения фундаментальной системы решений линейной
однородной системы разностных уравнений с постоянными
коэффициентами
§14. Линейная неоднородная система с постоянными коэффициентами
и со специальной правой частью
§15. Основные понятия теории устойчивости решений разностных уравнений
§16. Устойчивость линейных систем разностных уравнений
§17. Устойчивость линейной однородной системы разностных уравнений
с постоянной матрицей коэффициентов
Литература
4
7
13
14
19
23
27
30
33
37
39
42
48
52
55
56
57
62
4
§1. Конечные разности функции одной действительной
переменной. Основные понятия теории разностных уравнений
Рассмотрим функцию действительной переменной y t  и пусть h  0 . Выражение
(1.1)
yt   yt  h  yt 
называется первой конечной разностью или конечной разностью первого порядка
функции y t  . Разумеется, мы предполагаем, что функция y t  определена в рассматриваемых точках. Заметим, что в теории дифференциального исчисления функции одной переменной величину h называют приращением аргумента, а yt  приращением
функции (в точке t). В нашем изложении число h будем называть шагом. Конечные
разности высших порядков определяются рекуррентным образом формулой
n yt   n1 yt . Так, например, для n  2 имеем
2 yt   yt    yt  h  yt  
  yt  2h  yt  h   yt  h  yt   yt  2h  2 yt  h  yt  .
Для дальнейшего нам удобно будет положить 0 yt   yt  . Методом математической
индукции нетрудно убедиться в том, что операция взятия конечной разности n – го порядка является линейной операцией, т.е.
n  f t   g t   n f t   n g t  , n Cf t   Cn f t  .
Предлагаем в этом убедиться самостоятельно.
Значение n yt  легко выражается через значение функции y t  в равноотстоящих точках t , t  h,..., t  nh . Справедлива формула
n
n yt     1
nk
k 0
C nk yt  kh .
(1.2)
Убедимся в справедливости этой формулы методом математической индукции. При
n  1 формула (1.2) принимает вид yt    yt   yt  h , что верно по определению.
Предположив, что формула (1.2) справедлива для конечной разности n  1 - порядка,
осуществим переход от n  1 к n. Имеем
 n1

n  k 1
n yt    n1 yt      1
C nk1 yt  kh 
 k 0


n 1
   1
n  k 1
k 0

n 1
C nk1 yt  k  1h     1
n  k 1
k 0
C nk1 yt  kh .
В первой из сумм сделаем замену индекса суммирования k 1  m , а затем снова m
заменим на k, получим
n
n yt     1
nk
k 1
n 1
k 1
n  k 1
k 0
  1 C nn11 yt  nh     1
0
n 1
C nk11 yt  kh    1
nk
n 1
C nk11 yt  kh    1
k 1
nk
C nk1 yt  kh 
C nk1 yt  kh   1 C n01 yt  .
n
Так как для биноминальных коэффициентов справедливо равенство Cnk11  Cnk1  Cnk ,
то
n 1
n yt   yt  nh     1
k 1
nk
C nk yt  kh   1 yt  .
n
Учитывая, что C  C  1 , крайние слагаемые можно включить в общую сумму
0
n
n
n
5
n
n yt     1
nk
k 0
C nk yt  kh .
Формула (1.2) доказана.
Отметим, что если в формуле (1.2) сделать замену индекса суммирования
m  n  k и воспользоваться свойством биноминальных коэффициентов Cnk  Cnnk , то
формулу (1.2) можно записать в виде
n
n yt     1 C nm yt  n  mh  .
m
m 0
Аналогично методом математической индукции можно доказать, что справедлива формула
n
yt  nh    C nk k yt  .
(1.3)
k 0
Предлагаем в этом убедиться самостоятельно.
Разностным уравнением называется функциональное уравнение
(1.4)
F t , yt , yt ,..., n yt   0
Если в уравнении (1.4) все конечные разности раскрыть по формуле (1.2), то мы придем к уравнению вида
(1.5)
Gt , yt , yt  h,..., yt  nh  0 .
Уравнение (1.5) будем называть разностным уравнением n – го порядка, если левая
часть этого уравнения явно содержит y t  и yt  nh  .
Пример 1.1. Определить порядок уравнения


3 yt   2 yt   yt   yt   0 .
Так как yt   yt  h  yt  , 2 yt   yt  2h  2 yt  h  yt  ,
3 yt   yt  3h  3 yt  2h  3 yt  h  yt ,
то
3 yt   2 yt   yt   yt   yt  3h  2 yt  2h .
В уравнении yt  3h  2 yt  2h  0 можно сделать замену независимой переменной t  2h   . Уравнение y  h  2 y   0 имеет первый порядок.
Непрерывная функция y t  называется непрерывным решением уравнения
(1.5) на множестве T , если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество
на T .
Например, функция yt   3t является непрерывным решением уравнения
yt  2  9 yt   0 на множестве R.
Ясно, что любая функция вида yt   C t   3t , где C t  - произвольная периодическая функция с периодом T  2 , также является решением предыдущего уравнения.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что шаг h  1. Уравнение (1.5) в
этом случае принимает вид
(1.6)
Gt , yt , yt  1,..., yt  n  0 .
Дискретным решением уравнения (1.6), соответствующим точке t 0  Z  , называется такая последовательность чисел y0 , y1 ,..., y k ,..., что
Gt0  k , yk , yk 1 ,..., yk n   0
(1.7)
для k  0,1,2,... Здесь Z  - множество целых неотрицательных чисел.
6
Задачей Коши для уравнения (1.6) называется задача по отысканию такого дискретного решения y t  этого уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным
условиям
yt 0   y0 , yt 0  1  y1 ,..., yt 0  n  1  y n1 .
Числа y0 , y1 ,..., y n1 называются начальными значениями решения y t  , t 0 называется
начальной точкой.
Если y t  - непрерывное решение уравнения (1.6) на множестве t 0 ; , то последовательность yt 0 , yt 0  1,..., yt 0  k ,... будет дискретным решением этого уравнения. Как правило, в дальнейшем изложении t 0  0 . Дискретное решение мы будем
также записывать в виде y t  , но при этом следует помнить, что эта функция определена только в точках множества T0  t 0 , t 0  1,..., t 0  k ,... и yt 0  k   y k .
Мы будем предполагать, что уравнение (1.6) можно однозначно разрешить относительно yt  n  и y t  , т.е. записать в виде
(1.8)
yt  n  1 t , yt , yt  1,..., yt  n  1
и в виде
(1.9)
yt    2 t , yt  1,..., yt  n .
Если функция 1 t , u1 ,..., u n  , стоящая в правой части уравнения (1.8), определена при всех значениях t  Z  и любых значениях других аргументов u1 , u 2 ,..., u n , то
дискретное решение однозначно определяется, если произвольно задать числа
t0  Z  , y0 , y1 ,..., yn1 . Соотношение ynk  1 t 0  k , yk , yk 1 ,..., ynk 1 , k  0,1,... будет служить рекуррентной формулой, по которой можно последовательно найти
y n , y n1 ,...
Перед тем, как ввести понятие точки единственности решения Коши уравнения
(1.6), рассмотрим простой пример.
2
Пример 1.2. Для уравнения yt  1  y t  решением задачи Коши с начальным условием y0  1 является последовательность 1;1;1;1;…. Решение задачи Коши
с начальным условием y0  1 имеет вид -1;1;1;1;…. Различные начальные условия
порождают одно и то же решение. Ясно, что аналогичные примеры можно привести и
для уравнений более высокого порядка.
Определение 1.1. Точка t 0 , y0 , y1 ,..., y n1   Z   R n называется точкой единственности решения задачи Коши уравнения (1.6), если для любого решения  t  задачи Коши, удовлетворяющего начальным условиям
 t 0    0 ,  t 0  1  1 ,...,  t 0  n  1   n1 ,
 y0 , y1 ,..., yn1   0 ,1 ,..., n1  ,
следует, что для всех k  1
 yk , yk 1 ,..., yk n1    k , k 1 ,..., k n1 ,
т.е. различные начальные условия порождают различные решения.
Если мы потребуем, чтобы функция  2 t , u1 ,..., u n  , стоящая в правой части
уравнения (1.9), удовлетворяла условиям, аналогичным условиям, наложенным на
функцию 1 t , u1 ,..., u n  , то любая точка множества T0  R n является точкой существования и единственности решения задачи Коши.
7
Разностные уравнения, как правило, имеют бесконечно много решений. Разумеется, можно составить разностные уравнения, которые не имеют решений.
Уравнение y 2 t  1  y 2 t   1  0 не имеет действительных решений.
Определение 1.2. Пусть D – некоторое подмножество n  1 - мерного пространства R n 1 , каждая точка которого является точкой существования и единственности решения задачи Коши уравнения (1.6). Общим решением уравнения (1.6) в множестве D называется функция y  yt , C1 , C2 ,..., Cn  , удовлетворяющая двум условиям:
1) для любых допустимых значений произвольных постоянных C1 ,..., C n эта
функция является решением уравнения (1.6);
2) любое решение задачи Коши уравнения (1.6) с начальными данными из D
может быть получено из общего решения при некоторых значениях произвольных постоянных, которые определяются единственным способом.
Упражнения
Определить порядок уравнения.
3
1.  yt   32 yt   3yt   0 .
2. 3 yt   3 yt   2 yt   0 .
3. 4 yt   43 yt   62 yt   4yt   2 yt   0 .
4. Произведение t t  1t  2...t  n  1  t n  называют n – й обобщенной степенью
переменной t. Положим t ( 0)  1. Доказать, что
(1.10)
k t n   n k   t nk  .
n 
n
Если воспользоваться обозначениями комбинаторики, то t  At . Доказать, что
k Atn  Ank  Atnk и k Ctn  Ctnk .
5. Пусть Pn t  - многочлен степени n. Доказать, что Pn t   Qn1 t  , т.е. взятие конечной разности уменьшает степень многочлена на единицу.
6. Доказать, что   t  Pn t    t  Qn t ,   1, Pn t  и Qn t  - многочлены степени n.


Ответы и указания
1. yt  3  yt   0 . Уравнение третьего порядка.
2. yt  3  3 yt  2  0 . Уравнение первого порядка.
3. yt  4  yt   0 . Уравнение четвертого порядка.
4. Формулу (1.10) можно доказать методом математической индукции по k.
Учитывая, что Atn  n!Ctn , из формулы k Atn  Ank  Atnk имеем
k!n  k ! k n k
k n!Ctn   k!Cnk  n  k !Ctnk , откуда k Ctn 
C n Ct  Ctnk .
n!
§2. Простейшие разностные уравнения первого порядка
Рассмотрим некоторые разностные уравнения первого порядка. При построении
общих решений этих уравнений будем проводить аналогично с теорией дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим уравнение
yt   f t , t T0
(2.1)
8
yt 1  yt   f t  . Полагая в последнем равенстве последовательно
t  t 0  1,..., t  n  1, и суммируя, получаем с заменой n на t
или
t  t0 ,
t 1
yt   C   f k , C  y (t 0 ) .
(2.2)
k t 0
Заметим, что для дифференциального уравнения первого порядка y x   f x  соответствующее равенство (2.2) имеет вид
x
y x   C   f x dx .
x0
Рассмотрим теперь уравнение
yt  1  pt  yt ,
pt   0, t T0 .
(2.3)
Полагая, последовательно t  t 0 , t  t 0  1,..., t  n  1 и перемножая эти равенства, получаем с заменой n на t
t

k t 0 1
Если yt 0   0 , то из условия
t 1
t 1
k t 0
k t 0
yk    pk    yk  .
(2.4)
pt   0, t  T0 следует, что yt   0, t  T0 . Сокращая
t 1
равенство (2.4) на
 yk   0 , находим все нетривиальные решения уравнения
(2.3)
k t 0
t 1
yt   yt 0    pk ,
yt 0   0 .
(2.5)
k t 0
Полагая yt 0   C , получаем общее решение уравнения (2.3) в виде
t 1
y t   C   pk  .
(2.6)
k t 0
Заметим, что последняя формула на самом деле содержит и тривиальное решение уравнения (2.3), если C  0 . С аналогичной ситуацией мы встречаемся при решении дифференциального уравнения с отделяющимися переменными y   px y . Для этого
уравнения формула аналогичная формуле (2.6) имеет вид
yx   C exp
x
 px dx .
x0
Тривиальное решение уравнения y   px y при разделении переменных, формально
говоря, теряется.
Уравнение (2.3) является частным случаем линейного разностного уравнения
первого порядка
(2.7)
yt  1  pt yt   f t , pt   0, t  Z  .
Задача построения общего решения этого уравнения была решена еще Лагранжем. Рассмотрим метод построения общего решения, который называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа. Варьируя постоянную С в
общем решении (2.6) уравнения (2.3), попытаемся подобрать функцию C t  так, чтобы формула
t 1
y t   C t  pk 
k t 0
давала решение уравнения (2.7). Подставляя (2.8) в уравнение (2.7), получаем
(2.8)
9
t
t 1
k t 0
k t 0
C t  1   pk   pt C t  pk   f t  ,
1
 t

  pk  .






p
k


C
t

f
t
,





C
t

f
t


 k t

k t 0
 0

Последнее уравнение имеет вид (2.1), поэтому общее решение этого уравнения можно
записать в виде (2.2)
t
1
 k

C t   C   f k     pm  .
k t 0
 m t 0

Подставляя полученное выражение для C t  в формулу (2.8), находим общее решение
уравнения (2.7)
1

t 1
t 1
 k
 

(2.9)
y t    pk  C   f k   pm  .


k t 0
k t 0
m

t
 0
 

Рассмотрим еще один метод построения общего решения уравнения (2.7). Проводя
аналогию с теорией дифференциальных уравнений, этот метод будем называть методом Бернулли. Решение уравнения (2.7) будем искать в виде yt   ut   v t  . Имеем
u t  1  v t  1  pt u t v t   f t ,
u t  1 v t   pt u t v t   u t  1v t   f t  .
Подберем нетривиальную функцию u t  так, чтобы u t 1  pt u t  . Возьмем, наt 1
t 1
пример, u t    pk  . Функцию v t  находим тогда из уравнения u t 1 v t   f t 
k t 0
1
 t

или v t   f t   pk  . По формуле (2.2) получаем
 k t 0

t 1
v t   C  
k t 0
1
 k

f k   pm  ,
 m t 0

1

t 1
 k
 

откуда
y t    pk  C   f k   pm  ,


k t 0
k t 0
 m t 0
 

что совпадает с формулой (2.9).
Заметим, что для линейного дифференциального уравнения первого порядка
y   px y  f x  общее решение задается формулой
t 1
x

 t
 

yx   exp  pt dt C   f t exp    p d dt  .
 x
 

x0
x0
 0
 

В этом параграфе и в дальнейшем предполагается, что если верхнее значение индекса
суммирования меньше нижнего значения, то такая сумма равна нулю. Если верхнее
значение индекса произведения меньше нижнего значения, то такое произведение равно единице.
В заключение этого параграфа, следуя монографии 4, рассмотрим разностное
уравнение Риккати, которое заменой сводится к линейному разностному уравнению
первого порядка.
Рассмотрим разностное уравнение Риккати
x
10
(2.10)
yt  1yt   ayt  1  byt   c  0 ,
где a, b, c - действительные постоянные. Сделаем замену yt   ut    , где  - некоторая постоянная, подлежащая определению, получаем уравнение
ut  1ut   a   ut  1  b   ut    2  a  b  c   0 .
В качестве  возьмем корень уравнения  2  a  b  c  0 . Тривиальному решению u t  ≡ 0 соответствует постоянное решение y t  ≡  уравнения (2.10). Считая
1
1
. Для v t  получим уравнение
yt    , сделаем замену v t  

u t  yt   
b   v t  1  a   v t   1  0 .
Если b    0 и a    0 , то это линейное разностное уравнение первого порядка. Из
2
условия b    0 следует, что  b  a  b b  c  0 , т.е. c  ab . Из условия
a    0 следует, что также c  ab .
Уравнение (2.10) в случае c  ab принимает вид yt  1yt   ayt  1  byt   ab  0
или  yt  1  b yt   a   0 . Это уравнение имеет только два решения: yt   a ,
yt   b .
Пример 2.1. Решить уравнение
yt  1yt   2 yt  1  yt   4  0, t  Z  .
Чтобы уничтожить свободный член (- 4) сделаем замену yt   ut    . В качестве 
возьмем корень уравнения  2  3  4  0 . Пусть, например,   1 . После замены получим уравнение u t  1u t   3 u t  1  2 u t   0 .
Решению u t   0 последнего уравнения соответствует решение yt   1 исходного
1
уравнения. Теперь сделаем замену v t  
, получим уравнение
u t 
2 v t  1  3 v t   1  0
3
1
или
v t  1   v t   .
2
2
Общее решение этого уравнения найдем по формуле (2.9), положив в ней t 0  0 . Имеем
t
 k 1
t
t 1

 3  
 1  3 
 3 1

v t       C       
 C    .

2  2 
 2  
 2 5
k 0 

1
Общее решение исходного уравнения задается формулой y t  
1.
t
 3 1
C   
 2 5
Отметим, что решение yt   1 можно формально получить из формулы общего решения при C   .
Пример 2.2. Решить уравнение
pt yt  1  qt yt  1yt   yt   0, pt   0 , t  Z  .
Рассмотреть частный случай pt   2, qt   3 .
1
Заметим, что yt   0 - решение уравнения. Сделаем замену v t  
, полуy t 
чим уравнение v t 1  pt v t   qt  с общим решением
11
1
t 1
t 1

 k
 
v t    pk  C   qk   pm   .

k 0
k 0
 m 0
 

Исходное уравнение имеет общее решение
1
t 1
 t 1

 k
  


y t    pk  C   qk   pm 
 k 0

k 0
 m 0
  


и решение yt   0 . В случае pt   2, qt   3 получаем


yt   C  2 t  3 ,
1
1
yt   0 .
Упражнения
Решить уравнения или решить задачу Коши ( t  0,1,2,... ).
1. yt   1.
2. yt    1 .
3. yt  1  t  1yt  .
4. yt  1  ayt   b,
5. yt   t .
6. yt   4t  2 .
t
a  0.
7. yt   t 2 .
8. yt  1  2 t yt  .
9. yt  1  2 yt   3t .
10. yt  1  2 yt   a  2t .
11. yt  1  3t  3yt   3t t  1!, y1  2 .
2
2
12. yt  1 
yt   .
t 1
t!
t2
13. yt  1 
yt   a t 2  2t , y0  a .
t 1
14. yt  1  2 cos 2t yt   sin 2t 1 , y0  0 .
t!
, y0  1 .
15. yt  1  t  1 yt  
t2
16. yt  1  t  1yt   2t 1  t , y0  2 .
17. yt  1  t  1yt   4  3t 2  t , y0  6 .

 
t 1
18. yt    yk   t ,

 
y0  0 .
k 0
19. Доказать, что все решения уравнения yt  1  yt  
на множестве Z  .
20. yt   yt  1  3 yt  1  yt   4  0 .
2
 0 ограничены
t  3  y 2 t 
2
12
Ответы и указания
1. yt   C  t .
2. y t   C 
3. yt   Ct! .
 1t 1 .
2
4. Если a  1 , то yt   Ca t 
t t  1
.
2
6. yt   C  2t 2 .
t  1t 2t  1 .
7. yt   C 
6
b
. Если a  1 , то yt   C  bt .
1 a
5. yt   C 
t t 1
2
8. yt   C  2
.
t
9. yt   C  2  3t .
at 

10. y t   2 t   C   .
2

t
t 1
11. yt   3  t! 3  t  1!.
C 2t 4
2
.
 
t!
t! t  1!
 t t  1 
yt   at  11 
.
2 

yt   t sin 2 t  .
t!
.
y t   
t 1
yt   t! 2 t .
yt   2  t! 4  3t .
12. yt  
13.
14.
15.
16.
17.
t
18. Так как yt  1   yk   t  1 , то yt  1  yt   yt   1 . Осталось решить задачу
k 0
Коши: yt  1  2 yt   1,
y0  0 . Ответ: yt   2 t  1 .
2
19. Из уравнения yt  1  yt    2
следует, что yt 1  yt  . Все решеt  3  y 2 t 
ния убывают, сверху ограничены значением y 0 . Проверим ограниченность снизу
t 1
t 1

2
2
1




yt   y0   2

y
0


y
0

2
.


2
2
2
k 0 k  3  y k 
k 0 k  3
k 0 k  3

1
Так как ряд  2
сходится, то все решения ограничены снизу.
k 0 k  3
1
 2.
20. yt   2 и y 
C t
13
§3. Линейная зависимость и линейная независимость функций.
Определитель Казорати. Необходимый признак линейной
зависимости функций
Определение 3.1. Функции 1 t ,  2 t ,...,  n t  называются линейно зависимыми на множестве T , если существует набор постоянных C1 , C2 ,..., Cn , среди которых
не все равны нулю, такой что
C11 t   ...  Cn n t   0, t  T .
Определение 3.2. Функции 1 t ,...,  n t  называются линейно независимыми
на множестве T , если равенство тождественному нулю на множестве T их линейной
комбинации
C11 t   ...  Cn n t   0, t  T
возможно лишь в единственном случае, когда C1  C2  ...  Cn  0 .
Отметим следующие очевидные свойства линейно зависимых функций.
1. Если среди функций 1 t ,  2 t ,...,  n t  есть нулевая функция, то эти функции
линейно зависимы.
2. Функции 1 t ,  2 t ,...,  n t  линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя
бы одна из этих функций выражается в виде линейной комбинации остальных
функций.
3. Если среди функций 1 t , ...,  n t  есть k линейно зависимых функций
k  n , то и все n функций линейно зависимы.
Докажем, например, свойство 3. Остальные свойства предлагаем доказать самостояn
тельно. Не нарушая общности, можно считать, что среди
функций
1 t ,  2 t ,...,  n t  первые k функций линейно зависимы. В противном случае нужно
сделать перенумерацию функций. По определению линейно зависимости функций
C11 t   ...  Ck  k t   0, t  T ,
(3.1)
причем C12  ...  Ck2  0 .
Рассмотрим линейную комбинацию
C11 t   ...  Ck  k t   0   k 1 t   ...  0   n t  ,
где постоянные C1 ,..., C k из (3.1). Эта комбинация равна тождественному нулю в силу
(3.1), причем
n
k
i 1
i 1
 Ci2   Ci2  0 . Значит, по определению функции 1 t ,  2 t ,..., n t 
линейно зависимы.
Определение 3.3. Определителем Казорати функций 1 t ,  2 t ,...,  n t  называется определитель n -го порядка
1 t 
 2 t 
...
 n t 
1 t  1
 2 t  1 ...  n t  1
K t  
.
...
...
...
...
1 t  n  1  2 t  n  1 ...  n t  n  1
Этот определитель в теории линейных разностных уравнений играет такую же роль,
какую играет определитель Вронского в теории линейных дифференциальных уравнений.
14
Теорема 3.1 (необходимый признак линейной зависимости функций).
Если функции 1 t ,  2 t ,...,  n t  линейно зависимы на T , то их определитель
Казорати тождественно равен нулю на этом множестве.
Доказательство. Имеем
(3.2)
C11 t   C2 2 t   ...  Cn n t   0, t T ,
C12  C22  ...  Cn2  0 . Предположим, что существует t 0  T такое, что
K t 0   0 . С помощью тождества (3.2) мы можем составить систему уравнений
причем
C11 t 0   C2 2 t 0   ...  Cn n t 0   0,
C  t  1  C  t  1  ...  C  t  1  0,
 1 1 0
2 2 0
n n 0
(3.3)

..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

C11 t 0  n  1  C2 2 t 0  n  1  ...  Cn n t 0  n  1  0.
Это линейная однородная система n уравнений с n неизвестными C1 , C2 ,..., Cn , причем определитель системы K t 0   0 . По теореме Крамера система (3.3) имеет единственное решение C1  C2  ...  Cn  0 . Противоречие с тем, что среди постоянных
C1 , C2 ,..., Cn есть ненулевая постоянная.
Замечание. Как и в теории дифференциальных уравнений обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Рассмотрим две функции дискретного аргумента (две последовательности)
1, t  1 mod 4,
1, t  3 mod 4,
1 t   
 2 t   
0, для остальных t ,
0, для остальных t.
Определитель Казорати этих функций равен тождественному нулю на множестве
T  Z  , по функции 1 t ,  2 t  линейно независимы на Z  (рекомендуем убедиться
в этом самостоятельно).
§4. Линейные однородные разностные уравнения n – го порядка
Определение 4.1. Линейным разностным уравнением n – го порядка называется
уравнение вида
yt  n  p1 t yt  n  1  ...  pn t yt   f t .
(4.1)
Будем предполагать, что коэффициенты уравнения pi t , i  1,..., n и правая
часть
f t 
определены на множестве
Z  , а также будем предполагать, что
pn t   0, t  Z  . В этих условиях любая точка множества Z  R является точкой
существования и единственности решения задачи Коши уравнения (4.1). Если
f t   0 , то уравнение (4.1) называется линейным однородным разностным уравнением (ЛОРУ) n – го порядка. В противном случае уравнение называется линейным неоднородным разностным уравнением (ЛНРУ) n – го порядка.
Уравнение
zt  n  p1 t zt  n  1  ...  pn t zt   0
(4.2)
называется ЛОРУ n – го порядка, соответствующим ЛНРУ (4.1). Для удобства в уравнениях (4.1) и (4.2) искомая функция обозначена разными буквами.
n
15
Теорема 4.1 (критерий линейной независимости решений ЛОРУ)
Решения z1 t ,..., z n t  уравнения (4.2) линейно независимы на Z  тогда и
только тогда, когда их определитель Казорати не обращается в нуль на этом множестве.
Доказательство. Утверждение теоремы в части достаточности справедливо для
любых функций не обязательно решений ЛОРУ. Это вытекает из необходимого признака линейной зависимости функций. Покажем, что для решений ЛОРУ справедливо
утверждение и в обратную сторону. Пусть решения z1 t ,..., z n t  линейно независимы
 
*
на Z  и тем не менее существует t  Z  такое, что W t *  0 . Рассмотрим линейную однородную алгебраическую систему n уравнений с n неизвестными
C1 , C2 ,..., Cn
 
 
 

C1 z1 t *  ...  C n z n t *  0,

*
*
C1 z1 t  1  ...  C n z n t  1  0,

..................................................
C z t *  n  1  ...  C z t *  n  1  0.
n n
 1 1

Определитель этой системы

W t 
*


(4.3)

по предположению равен нулю, поэтому система
(4.3) имеет нетривиальные решения. Пусть C1* ,..., Cn*  - какое-нибудь решение системы
(4.3), отличное от тривиального. Рассмотрим функцию
z * t   C1* z1 t   ...  Cn* z n t  .
Это решение уравнения (4.2), т.к. это линейная комбинация решений. Выясним, каким
начальным условиям в точке t * удовлетворяет это решение. В силу уравнений системы (4.3) имеем
z * t *  0, z * t *  1  0,..., z * t *  n  1  0 .
Нулевым начальным условиям также удовлетворяет нулевое решение уравнения (4.2).
В силу единственности решения задачи Коши z * t   0, t  Z  , т.е.
 




C1* z1 t   ...  Cn* z n t   0, t  Z  ,
 C 
n
i 1
* 2
i
 0,
что противоречит линейной независимости решений z1 t ,..., z n t  .
Теорема 4.2 (Хейман)
Определитель Казорати любых n решений уравнения (4.2) удовлетворяет
уравнению
n
K t  1   1 pn t K t  .
(4.4)
Доказательство. Пусть z1 t ,..., z n t  произвольные решения уравнения (4.2) не обязательно линейно независимые. Рассмотрим систему
 p1 t z1 t  n  1  ...  pn t z1 t    z1 t  n ,

(4.5)
....................................................................
 p t z t  n  1  ...  p t z t    z t  n ,
n
n
n
 1 n
в которой неизвестными будем считать p1 t ,..., pn t  . Эта система равносильна сис-
 p1 t     1 ,

теме ....................
 p t      ,
n
 n
16
что показывается в доказательстве теоремы Крамера. Рассмотрим уравнение
(4.6)
pn t      n .
Здесь через Δ обозначен главный определитель системы (4.5), а определитель  n
получается из определителя Δ заменой n – го столбца на столбец правых частей уравнений системы (4.5). Покажем, что это последнее уравнение (4.6) по сути другая
форма записи доказываемого соотношения (4.4).
Выразим определители Δ и  n через определитель Казорати. Для этого воспользуемся следующими свойствами определителя:
1) при транспонировании значение определителя не меняется,
2) при перестановке любых двух строк (столбцов) знак определителя меняется на
противоположный,
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно
выносить за знак определителя.
В определителе Δ осуществим перестановки соседних столбцов. Последний столбец переставим на первое место, при этом значение определителя умножится на
 1n1 . Новый последний столбец с аргументом t  1 переставим на место второго
столбца, при этом значение определителя умножится на  1
и т.д. После этих перестановок аргументы в любой строке будут идти в порядке возрастания. Перед опреn2
n 1
делителем будет множитель
тель, получим    1
 1 k   1
k 1
n  n 1
2
. Транспонируем последний определи-
n  n 1
2
K t  . Аналогично имеем
z1 t  n  1 . z1 t  1  z1 t  n 
z 2 t  n  1 . z 2 t  1  z 2 t  n 
.
.
.
.
n 

.
.
.
.
.
.
.
.
z n t  n  1 . z n t  1  z n t  n 
z1 t  n  z1 t  n  1
z 2 t  n  z 2 t  n  1
.
.
n
  1
.
.
.
.
z n t  n  z n t  n  1
Уравнение (4.6) принимает вид
pn t    1
n  n1
2
. z1 t  1
. z 2 t  1
n  n 1
.
.
n
  1   1 2  K t  1.
.
.
.
.
. z n t  1
K t    1   1
n
n  n1
2
K t  1
K t  1   1 pn t K t  .
или
Если решить последнее уравнение, то получим формулу
n
t 1
n  t t 0 
K t   K t 0   1 pn i   K t 0  1
i t 0
n
n 1
  pn i  .
i t 0
17
Эта формула является дискретным аналогом формулы Остроградского – Лиувилля из
теории дифференциальных уравнений.
Следствие 4.1. Если коэффициент pn t   0, t  Z 0 , то определитель Казорати
любых решений уравнения (4.2) либо тождественно равен нулю на Z  , либо никогда
в ноль не обращается.
Это следствие позволяет усилить критерий линейной независимости решений
ЛОРУ следующим образом.
Теорема 4.3 (усиленный критерий линейной независимости решений ЛОРУ).
Решения z1 t ,..., z n t  уравнения (4.2) линейно независимы на Z  тогда и
только тогда, когда их определитель Казорати не равен нулю хотя бы в одной точке
этого множества.
Определение 4.2. Любые n линейно независимых решений ЛОРУ (4.2) называются фундаментальной системой решений этого уравнения.
Теорема 4.4.Фундаментальная система решений существует.
Доказательство. Для уравнения (4.2) рассмотрим n задач Коши:
z1 t 0   1,
z 2 t 0   0,
... z n t 0   0,
z1 t 01   0,
z 2 t 01   1,
... z n t 01   0,
.................
...............
... ...................
z1 t 0  n  1  0, z 2 t 0  n  1  0, ... z n t 0  n  1  1.
Определитель Казорати этих решений в точке t 0 равен 1, поэтому решения
z1 t ,..., z n t  линейно независимы на Z  , а, следовательно, образуют фундаментальную систему.
Теорема 4.5 (об общем решении ЛОРУ)
Если z1 t ,..., z n t  фундаментальная система решений уравнения (4.2), то общее решение этого уравнения в множестве D  Z   R
n
может быть записано в виде
zt   C1 z1 t   ...  Cn zn t  , где C i - произвольные постоянные.
Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости обоих пунктов определения общего решения. Для любых значений произвольных C1 ,..., C n функция
n
z t    Ci z i t  является решением уравнения (4.2), т.к. любая линейная комбинация
i 1
решений сама является решением в силу линейности уравнения.
Пусть z t  - решение задачи Коши уравнения (4.2) с начальными данными из
D : zt 0   z 0 , zt 0  1  z 1 ,..., zt 0  n  1  z n1 . Рассмотрим систему
C1 z1 t 0   C 2 z 2 t 0   ...  C n z n t 0   z 0 ,

C1 z1 t 0  1  C 2 z 2 t 0  1  ...  C n z n t 0  1  z 1 ,
(4.6)

..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
......

C z t  n  1  C z t  n  1  ...  C z t  n  1  z .
n 1
2 2 0
n n 0
 1 1 0
Главный определитель этой системы равен K t 0  . Так как K t 0   0 , то система при
любых правых частях имеет единственное решение C1  C10 ,..., Cn  Cn0 . Рассмотрим
18
функцию  t   C10 z1 t   ...  Cn0 z n t  , которая является решением уравнения (4.2), т.к.
это линейная комбинация решений. В силу уравнений системы (4.6) решение  t 
удовлетворяет начальным условиям  t 0   z 0 ,  t 0  1  z 1 ,...,  t 0  n  1  z n1 .
В
силу
единственности
решения
задачи
zt   C z t   ...  C z t  , что и требовалось доказать.
0
1 1
Коши
 t   z t  ,
т.е.
0
n n
Следствие 4.2. ЛОРУ n – го порядка не может иметь больше чем n линейно
независимых решений.
Действительно, возьмем любые n  1 решений ЛОРУ. Если первые n решений
линейно зависимы, то и вся система решений линейно зависима. Если первые n решений линейно независимы, то по теореме об общем решении ЛОРУ z n 1 t  можно представить в виде линейной комбинации z1 t ,..., z n t  , а, следовательно, все решения
z1 t ,..., z n t , z n1 t  линейно зависимы.
Теорема 4.6. (построение ЛОРУ по заданной фундаментальной системе решений).
По заданной фундаментальной системе решений ЛОРУ вида (4.2) восстанавливается однозначно.
Доказательство. Пусть z1 t ,..., z n t  фундаментальная система решений. Рассмотрим уравнение
z t 
z1 t 
...
z n t 
z t  1 z1 t  1 ... z n t  1
 0.
(4.7)
...
...
...
...
z t  n  z1 t  n  ... z n t  n 
Если раскрыть этот определитель (n  1) - го порядка по элементам первого столбца, то
получим
n2
zt   K t  1  ...   1  zt  n  K t   0 .
Так как в силу линейной независимости решений z1 t ,..., z n t  определитель Казорати
K t   0 , то уравнение (4.7) задает ЛОРУ n - го порядка. Функции z i t , i  1,..., n
являются решениями этого уравнения, т.к. определитель в левой части равенства (4.7)
равен нулю при z  z i t  в силу совпадения столбцов.
Докажем теперь единственность уравнения. Пусть по фундаментальной системе
z1 t ,..., z n t  можно восстановить два уравнения
zt  n  p1 t zt  n  1  ...  pn t zt   0
zt  n  q1 t zt  n  1  ...  qn t zt   0 .
и
Вычтем эти уравнения, получим уравнение
 p1 t   q1 t zt  n  1  ...   pn t   qn t zt   0
порядка не выше n  1 . Последнему уравнению удовлетворяют n линейно независимых решений, что невозможно (см. следствие 4.2 к предыдущей теореме).
19
§5. Аналог формулы Абеля для линейного разностного
уравнения n – го порядка
Как известно [9. С. 450-452], порядок линейного однородного дифференциального уравнения можно понизить на k единиц с сохранением линейности и однородности уравнения, если известны k линейно независимых частных решений исходного
уравнения. В частности, уравнение n – го порядка можно проинтегрировать в квадратурах, если мы знаем n – 1 линейно независимых частных решений этого уравнения. Аналогичный результат имеет место и для линейного однородного разностного уравнения
[6. С. 60-61]. Другое обоснование этого факта приведем, следуя монографии [9. С. 450452].
Рассмотрим уравнение
n
L z (t )   pi (t ) z (t  n  i)  0,
p0 (t )  1.
i 0
(5.1)
Пусть коэффициенты pi (t ) этого уравнения определены на Z  и pn (t )  0, t  Z  .
Предположим, что известно одно ненулевое частное решение z1 (t ) этого уравнения.
Покажем, что порядок уравнения (5.1) можно понизить на единицу с сохранением
свойства линейности и однородности уравнения. Для этого введем новую искомую
функцию u (t ) следующим равенством
t 1
z (t )  z1 (t )   u (k ) .
(5.2)
k 0
Уравнение (5.1) преобразуется к виду
n
t  n i 1
i 0
k 0
 pi (t ) z1 (t  n  i)
 u (k )  0
или
t  n 1
t  n2
t 1
k 0
k 0
k 0
z1 (t  n)  u (k )  p1 (t ) z1 (t  n  1)  u (k )    pn (t ) z1 (t ) u (k )  0 .
Последнее уравнение легко преобразуется к виду
t 1
t  n 1
t  n2
k 0
k t
k t
L z1 (t )   u (k ) z1 (t  n)  u (k )  p1 (t ) z1 (t  n  1)  u (k )   ...  pn1 (t ) z1 (t )u(t )  0 .
Учитывая, что L z1 (t )  0 , для u (t ) получаем линейное однородное разностное уравнение (n - 1) – го порядка
z1 (t  n) u(t  n  1)    ( z1 (t  n)  p1 (t ) z1 (t  n  1)    pn1 (t ) z1 (t  1))  u(t )  0 ,
которое с учетом равенства
z1 (t  n)  p1 (t ) z1 (t  n  1)    pn1 (t ) z1 (t  1)   pn (t ) z1 (t )
принимает вид
z (t )
u (t  n  1)    1
pn (t )  u (t )  0 .
(5.3)
z1 (t  n)
20
Заметим, что коэффициент перед u (t ) в уравнении (5.3) не обращается в нуль на Z  .
Если u 2 (t ),, u n (t ) образуют фундаментальную систему решений уравнения (5.3), то
функции
t 1
t 1
k 0
k 0
z1 (t ), z1 (t )   u 2 (k ),, z1 (t ) u n (k )
(5.4)
образуют фундаментальную систему решений исходного уравнения (5.1). Действительно, из замены (5.2) ясно, что это решения уравнения (5.1). Убедимся в их линейной
независимости. Предположим, что функции (5.4) линейно зависимы на Z  , тогда существует набор постоянных C1 , C2 ,, Cn такой, что
t 1
t 1
k 0
k 0
C1 z1 (t )  C2 z1 (t ) u2 (k )    Cn z1 (t ) un (k )  0 ,
причем не все
C2 , C3 ,, Cn
равны нулю. (Если все
C 2 ,  , Cn
равны нулю, то и
C1  0 , так как z1 (t )  0 ). Сокращая последнее тождество на z1 (t ) и применяя оператор  к обеим его частям, получим C2u2 (t )    Cnun (t )  0 . Последнее тождество
противоречит линейной независимости u2 (t ),, un (t ) .
Предположим теперь, что мы знаем k линейно независимых решений уравнения
(5.1).
Покажем, что в этом случае порядок уравнения можно понизить на k единиц с сохранением свойства линейности и однородности уравнения. Выполним замену (5.2) в
уравнении (5.1), получим для u (t ) уравнение (5.3) (n – 1) – го порядка. Заметим, что из
 z (t ) 
 . Уравнение (5.3) имеет k – 1 решение
формулы (5.2) следует, что u (t )  
 z1 (t ) 
 z (t ) 
 z (t ) 
 z (t ) 
u 2 (t )   2 , u3 (t )   3 , , u k (t )   k .
 z1 (t ) 
 z1 (t ) 
 z1 (t ) 
Эти решения линейно независимы, т.к. в противном случае из тождества
C2u2 (t )    Ck uk (t )  0
мы последовательно получаем
z 
z 
 C z    Ck z k 
  0,
C2  2     Ck  k   0 ,
 2 2
z1


 z1 
 z1 
C2 z 2    Ck z k
 C1 ,
z1
C1 z1  C2 z2    Ck zk  0 .
Так как среди коэффициентов C 2 ,, C k есть ненулевой, то получили противоречие
с линейной независимостью z1 , z 2 ,, z k .
Сделаем теперь в уравнении (5.3) замену
t 1
 u (t ) 
 ,
u (t )  u 2 (t )   v(k ) или v(t )  
k 0
 u 2 (t ) 
получим линейное однородное разностное уравнение (n – 2) – го порядка
u2 (t )
z (t )
v(t  n  2)   
 1
pn (t ) v(t )  0 ,
u2 (t  n  1) z1 (t  n)
у которого мы знаем k – 2 линейно независимых решений
21
 u (t ) 
 u (t ) 
v3 (t )   3 ,, vk (t )   k  .
 u 2 (t ) 
 u 2 (t ) 
Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим линейное однородное уравнение
(n – k) – го порядка.
Рассмотрим теперь случай, когда у уравнения (5.1) мы знаем n – 1 линейно
независимых решений z1 (t ),, z n1 (t ) . Пусть K(t) – определитель Казорати [6. С. 54]
этих решений. Покажем, что решение z n (t ) , которое дополняет набор решений
z1 (t ),, z n1 (t ) до фундаментальной системы решений, можно найти по формуле
k 1
t 1
 n1 (t , k )   (1) n pn (m)
k 0
K (k ) K (k  1)
z n (t )  
m 0
.
(5.5)
Здесь 1 (t , )  z1 (t ) ,
z1 (  1)
z 2 (  1)

z n1 (  1)
z1 (  2)
z 2 (  2)

z n1 (  2)
 n1 (t ,  ) 




.
(5.6)
z1 (  n  2) z 2 (  n  2)  z n1 (  n  2)
z1 (t )
z 2 (t )

z n1 (t )
Формулу (5.5) можно считать аналогом формулы Абеля для линейных однородных
разностных уравнений n – го порядка. Соответствующая формула для линейного однородного дифференциального уравнения n – го порядка приведена в [10. С. 165-166].
Заметим, что  n1 (t , ) при любом   Z  является решением уравнения (5.1),
т.к.
 n1 (t , ) является линейной комбинацией решений z1 (t ),, z n1 (t ) . Вычислим последовательно z n (t  1),, z n (t  n) .
Имеем
k 1
t
z n (t  1)  
 n1 (t  1, k )  (1) n  pn (m)
m 0
k 1
t 1

 n1 (t  1, k )  (1) n  pn (m)
m 0
,
K
(
k
)
K
(
k

1
)
K
(
k
)
K (k  1)
k 0
k 0
т.к.  n1 (t  1, t )  0 в силу совпадения первой и последней строк определителя.
Аналогично
k 1
t 1
 n1 (t  i, k )  (1) n pn (m)
k 0
K (k ) K (k  1)
z n (t  i )  
m 0
, i  2,3,, n  2,
k 1
t 1
 n1 t  n  1, k  (1) n  pn (m)
k 0
K (k ) K (k  1)
z n (t  n  1)  
m 0
k 1
t 1
 n1 t  n  1, k  (1) n pn (m)
k 0
K (k ) K (k  1)

m 0
t 1

 (1)
n
t 1

 n1 t  n  1, t  (1) n pn (m)
p n ( m)
m 0
K (t )
m 0
K (t ) K (t  1)

, т.к.  n1 (t  n  1, t )  K (t  1) ;
22
k 1
t 1
z n (t  n)  
 n1 (t  n, k )  (1) n pn (m)
t 1
 n1 (t  n, t )  (1) n pn (m)

K (k ) K (k  1)
K (t ) K (t  1)
Вычислим определитель  n1 (t  n, t ) . Имеем
m 0
m 0
t

  1
m 0
k 0
z1 (t  1)
z 2 (t  1)


 n1 (t  n, t ) 
z1 (t  n  2) z 2 (t  n  2)
z1 (t  n)
z 2 (t  n)

n
z1 (t  1)

z1 (t  n  2)
z 2 (t  1)

z 2 (t  n  2)
n
n
 p n m 
K t  1
.

z n1 (t  1)



 z n1 (t  n  2)

z n1 (t  n)



n
z n1 (t  1)

z n1 (t  n  2)

  pi (t ) z1 (t  n  i )   pi (t ) z 2 (t  n  i )    pi (t ) z n1 (t  n  i )
i 1
i 1
  p1 (t )  K (t  1)  pn (t ) (1)
n2
i 1
 K (t )   p1 (t )  K (t  1)  pn (t ) (1) n  K (t ).
Подставим вычисленные значения z n (t  i), i  1,, n в уравнение (3.7.1), получим
i 1
t 1

L( n1 (t , i))   (1) n  pn (m)
t 1
p1 (t )  (1) n pn (m)
t 1
p1 (t )  (1) n pn (m)
m 0
m 0
m 0


 0,
K
(
i
)
K
(
i

1
)
K
(
t
)
K (t )
i 0
т.к. L n1 t , i   0 .
Итак, мы доказали, что z n (t ) - решение уравнения (5.1). Покажем теперь, что
решения z1 (t ),, z n (t ) образуют фундаментальную систему решений. Для этого убедимся, что определитель Казорати этих решений при t = 0 отличен от нуля.
Имеем
1
z n (0)  z n (1)    z n (n  2)  0, z n (n  1)  K 0 , поэтому
z1 (0)
z 2 (0)
z1 (1)
z 2 (1)


z1 (n  2) z 2 (n  2)
z1 (n  1) z 2 (n  1)

z n 1 (0)

z n1 (1)


 z n1 (n  2)
 z n1 (n  1)
0
0
  1.
0
K 01
В заключение рассмотрим пример, иллюстрирующий формулу (5.5) при n = 3.
Пример 5.1. Решить уравнение
4t
2t  3
4t  2
z (t  3) 
z (t  2) 
z (t  1) 
z (t )  0 ,
2t  1
2t  1
2t  1
если известны два его решения
z1 (t )  (1)t , z2 (t )  2t .
Для нахождения решения z3 (t ) воспользуемся формулой (5.5). Имеем
23
t 1
z3 (t )  
k 0
t t 1
 1

 2 (t , )  (1) 1  2t  (1)t 1  2 1 , W (t )  3  (2) t ,
k 1
 1k 1  2t   1t 1  2 k 1     4m  2 
2t t 1 2k  1
2m  1 
m 0 




18 k 0 2 k
9  2 2 k 1


2t 
 1  2k  1    2  2t  4tt    1  1   1t  t  1t 

9 k 0
18 
2 2 
9
1
1
1
t
   2t   1  t .
9
9
3
Общее решение исходного уравнения можно записать в виде
t
z(t )  C1  1  C2  2t  C3t .
t
k


§6. Линейные однородные разностные уравнения с постоянными
действительными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение n – го порядка
Lz(t )  z(t  n)  a1 z (t  n  1)    an z(t )  0,
ai  R, i  1,2,, n, an  0, t  Z  .
Общее решение уравнения (6.1) может быть представлено в виде
n
z (t )   Ci z i (t ) ,
(6.1)
(6.2)
i 1
где zi (t ), i  1,2,, n - линейно независимые решения уравнения (6.1), C i - произвольные постоянные.
Следуя Эйлеру, будем искать нетривиальные решения уравнения (6.1) в виде
Имеем
Многочлен
L t    t   n  a1 n1   an  .
z (t )   t ,   C,   0 .
P( x)  x n  a1 x n1    an называется характеристическим многочленом для уравнения (6.1). Корни этого многочлена называются характеристическими числами. Так как
 t  0 при   0 , то L  t  0 тогда и только тогда, когда λ - корень характеристического многочлена. Заметим, что из условия a n  0 следует, что   0 не является характеристическим числом уравнения (6.1). Для построения фундаментальной
системы решений уравнения (6.1) рассмотрим теперь несколько случаев.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и простые. Пусть  1,  2 ,,  n - действительные простые корни характеристического
 
уравнения P( )  0 . Мы только что показали, что функции zi (t )   ti , i  1,, n
являются решениями уравнения (6.1). Покажем, что эти решения линейно независимы
на множестве Z  , тем самым мы убедимся в том, что решения zi (t ), i  1,2,, n образуют фундаментальную систему решений. Вычислим определитель Казорати этих
решений
z1 (t )
z 2 (t )

z n (t )
 1t
 t2   tn
z (t  1)
z 2 (t  1)

z n (t  1)
 t 1
 t21   tn1
K (t )  1
 1









z1 (t  n  1) z 2 (t  n  1)  z n (t  n  1)  1t  n1  t2 n1   tn n1
24
1
1

1

2  n
  1t  t2   tn  1
  1t   t2   tn    j   i .

  
j i
n 1
n 1
n 1
1
2  n
Мы воспользовались тем, что последний определитель представляет собой определитель Вандермонда, который равен   j   i . Так как  i  0, i  1,, n и
j i
все 


различны, то определитель Казорати K (t ) функций 
i
t
i
отличен от нуля, а
следовательно, функции  , i  1,, n линейно независимы. Отметим, что линейная
t
i
независимость функций zi (t )   ti , i  1,, n вытекает также из более общего утверждения, которое мы сформулируем и докажем, когда будем рассматривать случай 3.
n
Общее решение уравнения (6.1) может быть представлено в виде z (t )   Ci  ti .
i 1
Пример 6.1. Решить уравнение z(t  2)  5z(t  1)  6 z(t )  0 . Характеристичеимеет корни  1 2,  2  3 , поэтому функции
z1 (t )  2 , z 2 (t )  3 образуют фундаментальную систему решений данного уравнения. Общее решение уравнения имеет вид z (t )  C1 2 t  C2 3t .
Случай 2. Все корни характеристического уравнения простые, но среди них есть
комплексные.
Докажем сначала следующие две леммы.
Лемма 6.1. Если комплекснозначная функция z(t )  u(t )  iv (t ) является решением уравнения (6.1) с действительными коэффициентами, то действительнозначные
функции u (t ) и v(t ) также являются решениями этого уравнения.
Доказательство. В силу линейности оператора L имеем
Lz(t )  Lu(t )  iv (t )  Lu(t )  iLv(t )  0 . Так как Lu(t ) и Lv(t ) действительнозначны, то Lu(t )  0 и Lv(t )  0 .
Лемма 6.2. Пусть функции
z1 (t )  1 (t )  i 2 (t ), z 2 (t )  1 (t )  i 2 (t ),, z 2k 1 (t )   2k 1 (t )  i 2k (t ) ,
 2  5  6  0
ское уравнение
t
t
z 2k (t )   2k 1 (t )  i 2k (t ), z 2k 1 (t )   2k 1 (t ),, z n (t )   n (t )
линейно независимы на
Z  , тогда действительнозначные функции 1 (t ),,  n (t ) также линейно независимы
на этом множестве.
Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Пусть суще-
 1,, n ,  k R,
ствуют постоянные
n

k 1
Имеем
 1  2 i
n

k 1
k
 k (t )   1
 1  2 i
k
n
| 
k 1
k
|2  0 такие, что
 k (t )  0, t  Z  .
z1 (t )  z 2 (t )
z (t )  z 2 (t )
 2 1
    n z n (t ) 
2
2i
z 2 (t )     n z n (t )  0, t  Z  . Последнее равенство противо2
2
речит линейной независимости функций z1 (t ),, z n (t ) , так как среди коэффициентов
линейной комбинации есть хотя бы один ненулевой.

z1 (t ) 
25
Лемма 6.2 доказана.
Пусть
 1, 2   1cos  1 i sin  1 ,,
 2k 1, 2k   k cos  k  i sin  k ,  2k 1,,  n простые корни характеристического уравнения, причем  2k 1,,  n R . Первые 2k
комплексно- сопряженных корней мы сразу записали в тригонометрической форме.
Отметим, что при выписывании характеристических чисел мы воспользовались следующим алгебраическим фактом: комплексные корни многочлена с действительными
коэффициентами всегда встречаются комплексно-сопряженными парами, причем кратности комплексно-сопряженных корней совпадают.
Функции zi (t )   ti , i  1,, n являются линейно независимыми решениями
уравнения (6.1). С целью овеществления этой фундаментальной системы применим
леммы 6.1 и 6.2. По формуле Муавра имеем  1t   1t cos  1t  i sin  1t  . Так как
Re  1t   1t cos  1t и Im  1  1sin  1t , то вещественная фундаментальная система
решений имеет вид:
 1t cos  1t ,  1t sin  1t ,,  tk cos  k t ,  tk sin  k t ,  t2k 1,,  tn . Ясно, что
на практике комплексно-сопряженные характеристические числа можно не рассматривать, т.к. они порождают те же самые решения в вещественной фундаментальной системе.
Пример 6.1. Решить уравнение z(t  4)  4 z(t )  0 .
t
t
 4  4   2  2  4 2   2  2  2 2  2  2  0


3
3 


имеет корни  1, 2  1  i  2  cos  i sin ,  3, 4  1  i  2  cos
 i sin  .
2
Характеристическое уравнение
4
4
4


Вещественная фундаментальная система решений имеет вид
t
t
t
t
t
t
3 t
3 t
2
2
2
2
2 cos , 2 sin , 2 cos
, 2 sin
.
4
4
4
4
t
2


Ответ: z (t )  2  C1 cos
t
4
 C2 sin
t
4
 C3 cos
4 
3t
3 t 
 C4 sin
.
4
4 
Случай 3. Среди корней характеристического уравнения встречаются кратные
корни.
Достаточно рассмотреть только случай кратных действительных корней, т.к. при
наличии кратных комплексных корней характеристического уравнения можно снова
применить леммы 6.1 и 6.2 для овеществления фундаментальной системы решений.
Лемма 6.3. Функции
n
t
 1, t 1t ,, t 1  1t ,  t2 , t   t2 ,, t n 2  t2 ,,  tk , t tk ,, t n k  tk ,
где  i C,  i  0,  i   j , ni  Z  , линейно независимы на множестве Z  .
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует набор постоянных,
среди которых не все равны нулю, такой, что линейная комбинация функций с этими
постоянными тождественно равна нулю на Z  . Выпишем эту линейную комбинацию,
причем сгруппируем слагаемые, содержащие один и тот же множитель  ti . Имеем
Pn 1 (t ) 1t    Pn k (t ) tk  0, t  Z  . Здесь Pn i (t ) - многочлены переменной t, причем
степень многочлена Pn i (t ), i  1,, k
не превосходит ni . Не нарушая общности,
можно считать, что многочлен Pn k (t ) отличен от тождественного нуля (в противном
случае нужно просто провести перенумерацию данных функций). Далее имеем
26
t
t
 
 
Pn 1 (t )  Pn 2 (t ) 2     Pn k (t ) k   0 . Применим к последнему тождеству опера1 
1 
n 11
тор
Так как этот оператор линеен, то, учитывая два его свойства
 .
~
~
Qk (t )  Rk 1 (t );  Qk (t )   t  Qk (t )   t ,   1 (здесь Qk (t ), Rk 1 (t ), Qk (t ) - многочлены, степени которых указаны нижними индексами), получаем


t
t
 
 
~
~
Pn 2 (t ) 2     Pn k (t )   k   0 .
1
1
t
t
 
 
~
~
~
Из этого тождества находим Pn 2 (t )  Pn 3 (t ) 3     Pnk (t ) k   0 . Применим те 2 
 2 
n 2 1
перь к обеим частям тождества оператор  , получим
t
t
~
~
 3 
 k 
~
~
    Pn k (t )
  0 .
Pn 3 (t )


 2
 2
С
помощью
аналогичных
преобразований
мы
придем
к
тождеству
t
  
P n k (t )   k   0, t  Z  , которое невозможно, т.к. многочлен P n k (t ) отличен от ну  k 1 
левой функции. Полученное противоречие доказывает лемму 6.3.
Покажем, что если  0 - характеристическое число кратности k, то функции
 t0 , t t0 ,, t k 1 t0 являются решениями уравнения (6.1). Линейная независимость
этих решений вытекает из леммы 6.3.
Мы докажем, что функции  t0 , t (1)  t0 , t ( 2)  t0 ,, t ( k 1)  t0 являются решениями
уравнения (6.1). Здесь t ( m)  t (t  1)(t  2)(t  m  1) - обобщенная степень переменной t. Так как обычная степень t n выражается в виде линейной комбинации обобn
щенных степеней t n   C k t ( k )
и наоборот, то сформулированные выше две задачи
k 0
равносильны. Итак, мы покажем, что Lt ( m)  t0   0, m  0,1,, k  1, если 
рактеристическое число кратности k. Так как
m

 m
  t
t
( m)

t m
0
- ха-
,  - параметр,
 m

L
 t  . Заметим, что оператор L и оператор дифференцироваm
 

ния по параметру  коммутируют. Действительно,
 t  n i  n

 
 n
L  t    ai


a i  t  n i 
L t .

 i 0

 
 i 0 

то L t ( m ) 
t
 
m
m
m
t
m 
L



P    t . Здесь P( ) - хаm
m


рактеристический многочлен уравнения (6.1). Воспользуемся формулой Лейбница для
вычисления старших производных от произведения двух функций

Далее имеем L t ( m ) 
n
t
 
m
 f ( x) g ( x)( n)   Cni f (i ) ( x) g ni  ( x) .
i 0
ли   
0



Имеем L t ( m ) 
t

    C
корень кратности k многочлена P( ) , то
m
m
i 0
i
m
 
P ( i ) ( )  
t
m i 
. Ес-
27
P( 0 )  P( 0 )    P k 1 ( 0 )  0, P ( k ) ( 0 )  0 . Отсюда имеем Lt ( m)  t0   0 ,
если m  k  1, что и требовалось доказать.
Пример 6.3. Решить уравнение z(t  3)  3z(t  2)  3z(t  1)  z(t )  0 .
Так как характеристическое уравнение  3  3 2  3  1    1  0 имеет корень
 0  1 кратности 3, то общее решение уравнения может быть записано в виде
3


z (t )  (1) t  C1  C2 t  C3t 2 .
Пример 6.4. Решить уравнение z(t  4)  2 z(t  2)  z(t )  0 .


2
Характеристическое уравнение  4  2 2  1   2  1  0 имеет корни
 1, 2  i,  3, 4   i . Комплекснозначная фундаментальная система решений исходного
уравнения имеет вид: i t , t  i t , ( i) t , t ( i) t . Так как i t  cos
t
 i sin
t
2
2
щественная фундаментальная система решений может быть записана в виде:
t
t
t
t
. Общее решение исходного уравнения
cos , sin , t cos , t sin
2
2
2
2
z (t )  C1  C2t cos
t
2
 C3  C4t sin
t
2
, то ве-
.
§7. Линейные неоднородные разностные уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение n – го порядка
Ly  yt  n  p1 t yt  n  1  ...  pn t yt   f t 
(7.1)
и соответствующее ему однородное уравнение
Lz  zt  n  p1 t zt  n  1  ...  pn t zt   f t 
(7.2)
Как обычно, будем предполагать, что коэффициенты уравнения pi t , i  1,..., n и
правая часть f t  определены на множестве Z  и, кроме того, pn t   0, t  Z  .
Отметим свойства решений ЛНРУ, которые являются следствием линейности
этого уравнения и аналогичны соответствующим свойствам решений линейных дифференциальных уравнений.
1. Разность любых двух частных решений уравнения (7.1) является частным решением соответствующего однородного уравнения (7.2).
2. Сумма частного решения неоднородного уравнения (7.1) и частного решения
однородного уравнения (7.2) является частным решением неоднородного уравнения (7.1).
3. Принцип суперпозиции или теорема о наложении частных решений ЛНРУ.
Пусть правая часть уравнения (7.1) представляет сумму нескольких слагаемых
k
f t    f i t  . Пусть Yi t ,, i  1,..., k
i 1
частное решение уравнения Lyt   f i t  ,
k
тогда Y t    Yi t  частное решение уравнения (7.1).
i 1
4. Теорема об общем решении ЛНРУ.
Если Y t  частное решение неоднородного уравнения (7.1), z1 t ,..., z n t  фундаментальная система решений уравнения (7.2), то общее решение уравнения
(7.1) может быть представлено в виде
28
n
yt   Y t    Ci z i t  ,
i 1
где C i - произвольные постоянные.
Доказательство. Убедимся в выполнении обоих пунктов определения общего
решения. Для любых конкретных значений произвольных постоянных Ci  Ci0 функn
ция y 0 t   Y t    Ci0 z i t  является решением ЛНРУ в силу предыдущего свойства 2.
i 1
Возьмем произвольное частное решение Y t  неоднородного уравнения. По свойству
1 решений этого уравнения разность Y t   Y t  является частным решением однородного уравнения (7.2), а потому по теореме об общем решении ЛОРУ существуют единственные значения C 1 ,..., C n такие, что
Y t   Y t   C 1 z1 t   ...  C n z n t 
или
Y t   Y t   C 1 z1 t   ...  C n z n t  .
Частное решение Y t  можно получить из общего решения при некоторых значениях
произвольных постоянных, которые определяются единственным способом.
Для построения общего решения линейного неоднородного разностного уравнения n – го порядка Ly(t )  f (t ) (7.1) достаточно знать частное решение этого уравнения Y (t ) и фундаментальную систему решений z1 (t ),, z n (t ) соответствующего однородного уравнения Lz(t )  0 (7.2). Оказывается, знание фундаментальной системы
решений однородного уравнения позволяет построить частное решение неоднородного
уравнения для любой правой части f (t ) . Если в теории линейных дифференциальных
уравнений частное решение неоднородного уравнения строилось с точностью до квадратур по фундаментальной системе решений соответствующего однородного уравнения, то в теории линейных разностных уравнений частное решение строится с точностью до вычисления сумм.
Теорема 7.1 (Лагранж). Пусть z1 (t ),, z n (t ) - фундаментальная система решений
уравнения (7.2), тогда частное решение уравнения (7.1) может быть найдено в виде
n
Y (t )   C k (t ) z k (t ) .
k 1
(7.3)
C1 (t ),, Cn (t )
Первые конечные разности
Ck (t ), k  1,, n можно найти из системы
неизвестных
 z1 (t  1)C1 (t )    z n (t  1)C n (t )  0,
 z (t  2)C (t )    z (t  2)C (t )  0,
 1
1
n
n

















 z1 (t  n)C1 (t )    z n (t  n)C n (t )  f (t ).
функций
(7.4)
Комментарии к формулировке теоремы
1. Определителем системы (7.4) является определитель Казорати K (t  1) решений
z1 (t ),, z n (t ) , вычисленных в точке t  1 . Так как решения z1 (t ),, z n (t ) линейно
K (t  1)  0 и система однозначно разрешима по теореме Крамера.
независимы, то
29
Все правые части уравнения системы (7.4) равны нулю, за исключением последнего
уравнения, в котором справа стоит неоднородность уравнения (7.1).
2. Если мы нашли конечные разности C k (t ) из системы (7.4), то сами функции
C k (t ) далее находим суммированием
t 1
C k (t )   C k (i), k  1,, n .
(7.5)
i 0
Постоянные суммирования Ck (0), k  1,, n обычно полагают равными нулю. Если их оставить произвольными постоянными Ck (0)  Ck , k  1,, n , то формула (7.3) даст не частное решение, а общее решение уравнения (7.1).
3. Метод вариации произвольных постоянных довольно громоздкий метод, т.к. нужно
решить систему (7.4) и вычислить n сумм по формуле (7.5).
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Непосредственной подстановкой
Y (t ) , задаваемого формулой (7.3), в левую часть уравнения (7.1) убедимся, что Y (t )
- решение этого уравнения, если функции Ck (t ), k  1,, n таковы, что удовлетворяются уравнения системы (7.4). Имеем
n
n
n
i 0
i 0
k 1
LY (t )   pi (t )Y (t  n  i)   pi (t ) Ck (t  n  i)  z k (t  n  i) , здесь p0 (t )  1 .
Так как для любой функции C (t ) справедливо равенство
C (t  m)  C (t )  C (t )  C (t  1)    C (t  m  1), m  Z  ,
то
n
n
i 0
k 1
LY (t )   pi (t ) Ck (t )  Ck (t )    Ck (t  n  i  1)   z k (t  n  i) 
n
n
n 1
n
i 0
k 1
i 0
k 1
  pi (t ) Ck (t ) z k (t  n  i)   pi (t ) Ck (t )    Ck (t  n  i  1) z k (t  n  i)
.
Далее имеем
n
n
 p (t ) C
i 0
i
k 1
k
n
n
n
k 1
i 0
k 1
(t ) z k (t  n  i)   Ck (t ) pi (t ) z k (t  n  i)   Ck (t ) L z k (t )  0 ,
т.к. для любого k  1,, n функции z k (t ) являются решениями уравнения (7.2).
Рассмотрим остальные суммы. Они все равны нулю в силу уравнений системы (7.4),
n
кроме единственной суммы
p0 (t )   Ck (t ) z k (t  n) , которая равна f (t ) в силу
k 1
последнего уравнения системы (7.4) с учетом того, что p0 (t )  1. Действительно из
уравнений системы (7.4) следует, что суммы вида
n
z
k 1
k
(m)C k (l ) равны нулю, если
разность аргументов m  l лежит в пределах от 1 до n – 1. Итак, LY (t )  f (t ) . Теорема доказана.
1
Пример 7.1. Решить уравнение y(t  2)  y(t )  2
.
t  2t
Найдем сначала фундаментальную систему решений однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид  2  1  0 , корни которого  1, 2  1 . По характеристическим числам выписываем фундаментальную систему решений однородного уравнения z1 (t )  1, z 2 (t )  (1) t . Частное решение неоднородного уравнения будем ис-
30
кать в виде Y (t )  C1 (t )  C2 (t )(1) t . Для нахождения функций C1 (t ), C2 (t ) выпи-
C1 (t )  (1) t 1  C2 (t )  0,

шем систему (7.4). 
1 .
t 2
C1 (t )  (1)  C2 (t )  2
t  2t

t
1
(1)
Имеем C1 (t )  2
. Положим C1 (1)  0, C2 (1)  0 и най, C 2 (t )  2
2 t  2t
2 t  2t
дем C1 (t ) и C 2 (t ) суммированием
t 1
1
1 t 1 1 1 t 1 1
3 1 1
1 
C1 (t )  

 
   
,

2
4 k 1 k 4 k 1 k  2 8 4  t t  1 
k 1 2 k  2k






(1) m

(1) k
1 t 1
1  1 t 1 (1) k 1 t 1
k 1
C 2 (t )  
  (1)   
  m
 
2
4 k 1
4 m 3
 k k  2  4 k 1 k
k 1 2 k  2k
t 1


1 (1) t
(1) t
.
 

8
4t
4(t  1)
Для частного решения Y (t ) получаем выражение
Y (t ) 
3 1
1
(1) t 1
1
3 (1) t 1
 

 
 
 .
8 4t 4(t  1)
8
4t 4(t  1) 8
8
2t
3 (1) t

является частным решением однородного уравне8
8
ния, то частным решением исходного неоднородного уравнения является также
1
Y (t )   . В соответствии с теоремой об общем решении линейного неоднородного
2t
1
разностного уравнения пишем ответ: y(t )    C1  C 2 (1) t .
2t
Так как функция
§ 8. Линейные неоднородные разностные уравнения
с постоянными действительными коэффициентами
и со специальной правой частью
Рассмотрим уравнение
Ly(t )  y(t  n)  a1 y(t  n  1)    an1 y(t  1)  an y(t )  f (t ) ,
где ak  R, k  1,, n, an  0,
(8.1)
f (t )   t Qk1 (t ) cos  t  Qk2 (t ) sin  t ,   0 ,
(8.2)

Qk1 (t )

и Qk2 (t ) - многочлены переменной t, степени которых указаны нижними
индексами. Функцию f (t ) указанного вида называют функцией специального вида.
Уравнение такого вида можно решить, применяя теорию предыдущих двух параграфов.
Оказывается, частное решение неоднородного уравнения (8.1) в рассматриваемом случае можно найти проще, не используя метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим соответствующую теорию.
Теорема 8. 1. Пусть f (t )  Qk (t )   t ,   0 , где  - комплексное число,
Qk (t ) - многочлен степени k с комплексными коэффициентами. Пусть число  из
31
вида f (t ) является характеристическим числом кратности S однородного уравнения
S  0.
В этом случае уравнение (8.1) имеет частное решение вида Y (t )  t S  Bk (t ) t . Коэффициенты многочлена Bk (t ) степени k находятся методом неопределенных коэффициентов из условия, что эта функция является решением уравнения (8.1). Решение
указанного вида единственно.
Доказательство. Нам будем удобно перейти к обобщенным степеням переменной t: t ( m)  t (t  1)(t  m  1) . Разложив многочлен t S Bk (t ) по обобщенным степеням t, получим
Y (t )  r0 t S k   r1t S k 1    rk 1t S 1  rk t S    t  v0 t S 1  v1t S 2     vS 1   t 
 Y (t )  Z (t ) .
Так как Z (t ) - частное решение соответствующего однородного уравнения с
учетом того, что  - характеристическое число кратности S, то достаточно доказать,
что у исходного неоднородного уравнения существует решение вида Y (t ) . Из единственности решения вида Y (t ) следует единственность решения вида Y (t ) , т.к. из
единственности коэффициентов r0 , r1 ,, rk следует единственность коэффициентов
b0 , b1 ,, bk многочлена Bk (t ) .
Подставим Y (t ) в левую часть уравнения (8.1), сократим на  t . Приравняв
коэффициенты при равных обобщенных степенях t, убедимся, что коэффициенты ri ,
i  0,, k рекуррентно определяются единственным образом. Имеем
k

 k
LY (t )  L  t   ri t S  k i     ri L  t  t S  k i  .
i 0

 i 0

Так как
m
 t  t m   
 m
t m

, то
S  k i
k
   S  k i
 k
t 
S  k i
S  k i 


LY (t )   ri L 



r

Lt .

i
S  k i
S  k i



i 0

  
 i 0
Мы воспользовались тем, что оператор L и оператор дифференцирования по параметру λ коммутируют. Так как L  t  P    t , то применяя формулу Лейбница для
высшей производной от произведения двух функций, получим
 
 
k
LY (t )   ri 
S  k i

S  k i
i 0
C
j 0
k
S  k i
i 0
j S
  ri
C
j
S  k i
j
S  k i
P  j     t S  k i  j   
P  j   t S  k i  j   
t j
t  s  k i  j

.
Во внутренней сумме мы начали суммирование с
j  S , так как
P   P     P S 1    0 . Сделаем замену индекса суммирования j  S  m ,
получим
k
k i
i 0
m 0
LY (t )   ri  C SSkmi P S  m   t k i m   
Разложив многочлен
Qk (t )
LY (t )  f (t ) на  t , получим
по обобщенным степеням
t  m S
t
.
и сократив равенство
32
k
k i
i 0
m 0
 ri  CSSkmi P S m   t k im   
m S
k
  q j t k  j  .
j 0
Приравняем коэффициенты при равных обобщенных степенях t. Перед t k  имеем
r0 C SS k P S      S  q0 ,
откуда коэффициент r0 определяется однозначно, т.к.   0 и P S     0 . Перед
степенью t k 1 имеем (i  m  1, j  1)
r0 CSSk1 P S 1   S 1 r1CSSk 1 P S    S  q1 ,
откуда коэффициент r1 определяется однозначно. Пусть мы определили коэффициенты r0 , r1 ,, rl 1 . Для нахождения коэффициента rl приравняем коэффициенты перед
t  k l  .
Имеем i  m  l ,
и
j  l , поэтому i  l , m  0, j  l или 0  i  l  1, m  l  i, j  l
rl CSS k l P S    S   r0 , r1 ,, rl 1   ql .
Здесь  r0 , r1 ,, rl 1  - некоторое выражение, зависящее от ранее найденных коэффициентов. Ясно, что коэффициент rl определяется единственным образом. Теорема
8.1 доказана.
Теорема 8.2. Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.2), пусть
k  maxk1 ; k 2  и    cos   i sin   является характеристическим числом S однородного уравнения S  0 . Частное решение уравнения (8.1) в этом случае может
быть найдено в виде
(8.3)
Y (t )  t S   t U k (t ) cos t  Vk (t ) sin  t ,
где U k (t ) и Vk (t ) - многочлены степени не выше k. Решение указанного вида единственно.
Доказательство. Преобразуем функцию f (t ) , задаваемую формулой (8.2). Имеем

e i t  e i t
e i t  e i t 

 
f (t )    Qk1 (t )
 Qk2 (t )
2
2
i


i
i
1

1

  t e i t  Qk1 (t )  Qk2 (t )    t e i t  Qk1 (t )  Qk2 (t )  
2
2
2

2

t
  t Qk (t )   t Q k (t )  f1 (t )  f 2 (t ) .
Отметим, что функции f1 (t ) и f 2 (t ) имеют вид, рассмотренный в теореме 8.1. Для
построения частного решения Y (t ) можно воспользоваться принципом суперпозиции
Y (t )  Y1 (t )  Y2 (t ) . Здесь Yi (t ) - частное решение уравнения Ly  f i (t ), i  1,2. Заметим, что Y1 (t )
находится по теореме 8.1 единственным образом в виде
Y1 (t )  t S Bk (t ) t . Так как f 2 (t )  f1 (t ) , а коэффициенты a k уравнения (8.1) дейст-
вительные числа, то Y2 (t )  Y1 t  - решение уравнения Ly  f 2 (t ) . Осталось показать,
что сумму Y1 (t )  Y1 t  можно преобразовать к виду (8.3). Имеем
Y1 (t )  Y1 (t )  2 Re Y1 (t )  2t S  ReBk (t ) t  


 2t S Re Re Bk (t )  i Im Bk (t ) t  cos  t  i sin  t  
 2t  Re Bk (t ) cos  t  Im Bk (t ) sin  t   t  U k (t ) cos  t  Vk (t ) sin  t  .
Теорема 8.2 доказана.
S
t
S
t
33
Пример 8.1. Решить уравнение y(t  2)  3 y(t  1)  2 y(t )  2t  1 .
Корни характеристического уравнения  2  3  2  0 равны  1 1 и  2  2 , поэтому z1 (t )  1 и z 2 (t )  2 t образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Правая часть уравнения f (t )  2t  1 имеет специальный вид. В соответствии с теоремой 8.1 частное решение неоднородного уравнения можно найти в виде
Y (t )  t at  b  at 2  bt , т.к. k  1 и S  1 . Далее имеем
a(t  2) 2  b(t  2)  3 a(t  1) 2  b(t  1)  2at 2  2bt  2t  1 ,
at 2  4at  4a  bt  2b  3at 2  6at  3a  3bt  3b  2at 2  2bt  2t  1 ,
 2at  a  b  2t  1 ,
откуда a  1, b  2, Y (t )  t 2  2t .
Ответ: y(t )  t 2  2t  C1  C2 2t .


§ 9. Возвратные последовательности. Суммирование
членов возвратных последовательностей.
Формула суммирования по частям
Определение 9.1. Последовательность u1 , u 2 ,, u n , называется возвратной
последовательностью порядка k, если существуют числа a1 , a2 ,, ak , (ak  0) такие, что
unk  a1unk 1  a2unk 2    ak un (n  1) .
(9.1)
Таким образом, в возвратной последовательности каждый член, начиная с номера k  1 ,
выражается через одно и то же количество k непосредственно предшествующих ему
членов. Ясно, что возвратная последовательность порядка k определяется единственным образом, если заданы первые k членов этой последовательности: u1 , u 2 ,, u k .
Термин “возвратная” или рекуррентная происходит от французского recurrente – возвращающаяся, рекуррентная. Действительно, для вычисления последующих членов
возвратной последовательности нужно возвращаться к предыдущим членам.
С возвратными последовательностями мы уже сталкивались в школьной программе.
Пример 9.1. Для геометрической прогрессии уравнение (9.1) имеет вид
u n1  qu n , q  0 . Геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью первого порядка.
Пример 9.2. По определению арифметической прогрессии имеем u n1  u n  d ,
но это соотношение не имеет вида
(9.1).
Однако, из двух соотношений
u n2  u n1  d , u n1  u n  d мы легко находим u n 2  2u n1  u n . Арифметическая
прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка.
Рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что последовательность с общим
членом u n  n 2 является возвратной последовательностью третьего порядка. Она
удовлетворяет уравнению u n3  3u n2  3u n1  u n .
С точки зрения разностных уравнений возвратная последовательность порядка k
является решением линейного однородного разностного уравнения порядка k с постоянными коэффициентами. Задание первых k членов возвратной последовательности
равносильно заданию начальных условий задачи Коши для разностного уравнения.
Теория решения линейных однородных разностных уравнений с постоянными коэффи-
34
циентами позволяет найти формулу общего члена возвратной последовательности.
Проиллюстрируем это на конкретном примере.
u n2
Пример 9.3. Найти формулу общего члена последовательности Фибоначчи:
 u n1  u n , u1  u 2  1 . Характеристическое уравнение имеет вид  2    1 .
Корни этого уравнения  1 
1 5
1 5
, поэтому общее решение уравнения
,  2
2
2
n
n
1 5 
1 5 
  C2 

u n 2  u n1  u n задается формулой u n  C1 

 2  . Значения коэф2




фициентов С1 и С2 находятся из начальных условий u1  u 2  1 . Решая систему

1 5
1 5
 C2
 1,
C1 
2
2

2
2

C   1  5   C   1  5   1,
2 

 1  2 


 2 

1
1
получим C1  
. Формула общего члена последовательности Фибонач, C2 
5
5
чи имеет вид
n
n
1   1  5   1  5  
 
 .
(9.2)
un 
 
5   2   2  


Формула (9.2) называется формулой Бинэ (по имени математика, который ее вывел).
При решении разностных уравнений часто приходится вычислять различные
суммы. Рассмотрим вопрос о суммировании членов возвратных последовательностей.
Пусть
u n  - возвратная последовательность порядка k, удовлетворяющая уравнению (9.1).
n
Покажем, что последовательность S n   u i
также является возвратной, но порядка
i 1
k  1 . Так как u m  S m  S m1 , то из уравнения (9.1) имеем
S nk  S nk 1  a1 S nk 1  S nk 2     ak 1 S n1  S n   ak S n  S n1 ,
S nk  a1  1S nk 1  a2  a1 S nk 2    ak  ak 1 S n  ak S n1 .
Заменяя n – 1 на n, получим
S nk 1  a1  1S nk  a2  a1 S nk 1    ak  ak 1 S n1  ak S n .
(9.3)
Это возвратное уравнение порядка (k + 1). Найдем связь характеристических многочленов уравнений (9.1) и (9.3). Характеристический многочлен уравнения (9.3) имеет вид Q( )   k 1 a1  1 k  a2  a1  k 1   ak  ak 1   ak .
Нетрудно видеть, что λ =1 - корень этого многочлена. Разделив многочлен Q( ) на
λ – 1, например, по схеме Горнера, получим
1
1 1
 a1  1
a1  a 2
…
ak 1  ak
 a1
 a2
…
 ak
ak
0
35
Итак,
Q( )    1  k  a1 k 1 a2  k 2    ak , но P( )   k  a1 k 1 a2  k 2    ak характеристический многочлен уравнения (9.1), поэтому характеристические многочлены уравнений (9.1) и (9.3) связаны соотношением Q      1P  . При переходе
от уравнения (9.1) к уравнению (9.3) к характеристическим числам добавляется единица. Этот факт позволяет методом неопределенных коэффициентов суммировать члены возвратных последовательностей. Рассмотрим это на конкретных примерах.


n
Пример 9.4. Вычислить сумму S n   i 1 .
Последовательность u n  n 1
n
i
i 1
является решением уравнения u n 2  2u n1  u n  0 ,
т.к. общее решение этого уравнения имеет вид u n  C1  1  C2 n 1 . Характеристические многочлены P( ) и Q( ) имеют вид
P    2  2  1, Q     1  2  2  1   3   2    1 .
Последовательность
Sn
является
одним
из
решений
уравнения
S n3  S n2  S n1  S n  0 , поэтому Sn может быть получено из формулы общего реn

n

шения S n  C1  C2  1  C3 n 1 при некоторых значениях С1, С2, С3. Значения
этих постоянных найдем из начальных условий S 0  0, S1  1, S 2  1.
n
n
C1  C2  0,

Решив систему C1  C2  C3  1,
C  C  2C  1,
2
3
 1
n
1
1
1
получим C1   , C 2  , C3  .
4
4
2
 i 1
Ответ:
i 1
i
1 1
1
n
n
    1  n 1 .
4 4
2
n
Пример 9.5. Вычислить сумму S n   sin k .
k 1
Если
   m, m  Z , то S n  0. Пусть    m, m  Z . Последовательность
u n  sin n ,    m, m  Z является решением уравнения u n2  2 cos  u n1  u n  0
с характеристическими числами  1, 2  cos   i sin  .
Последовательность Sn удовлетворяет возвратному уравнению третьего порядка с характеристическим многочленом
Q     1  2  2 cos   1   3  2 cos   12  2 cos   1  1 .
Вид
Sn
может
быть
найден
из
формулы
общего
решения
S n  C1  C2 sin n  C3 cos n . Значения постоянных С1, С2, С3 находим из начальных
условий:
S 0  0, S1  sin  , S 2  sin   sin 2 .
Имеем
C1  C3  0,

C1  C2 sin   C3 cos   sin  ,
C  C sin 2  C cos 2  sin   sin 2 ,
2
3
 1
откуда
1  cos 
1
1  cos 
C1 
, C 2  , C3  
.
2 sin 
2
2 sin 


36
1
1  cos 
1  cos n 
sin n 
2
2 sin 
Выражение
легко
преобразуется
к
n
n 1
 sin

2
2
. Заметим, что последнее выражение при     2 n, n  Z

sin
2
ращается в нуль. Окончательно имеем
если   2 n, n  Z ,
0,
 n
n 1

S n   sin 2  sin 2 
, если   2 n, n  Z .


sin

2

В заключение этого параграфа докажем следующую формулу
виду
sin
n
 ai bi  ai bi
i  n0
n 1
n0
об-
n
  ai 1  bi ,
i  n0
которую называют формулой суммирования по частям. Эта формула является в известном смысле аналогом формулы интегрирования по частям
b

b
a
Имеем
b
f x g x dx  f x g x  a   f x g x dx .
a
ai bi   ai 1bi 1  ai bi  ai 1bi 1  ai 1bi  ai 1bi  ai bi  ai 1bi  ai  bi .
Просуммируем равенства ai bi   ai 1bi  ai bi по n0 от 1 до n , получим
n
n
n
i  n0
i  n0
i  n0
 ai bi    ai1bi   ai bi .
Так как
n
n
 a b    a
i
i  n0
i
i  n0
b  ai bi   an1bn1  an bn  ai bi
i 1 i 1
0
0
n 1
n0
,
то мы убеждаемся в справедливости формулы суммирования по частям.
Пример 9.6. Вычислить сумму
n
i a ,
i
a  1.
i 1
Имеем


1  i n1 n i 1 
i  a i 1  a i
1 n
i
a 
ia  


 a  i  a  1  a  i 1  
a 1
a  1 i 1
i 1
i 1
i 1

n

i
n

1  n 1
a2 1 an
 a  n  1  a 
a 1
1 a
Итак,
n
i ai 
i 1
  n  1a


a 1
n 1

a  1n  1a n1  a n2  a ,
a  12
a n2
a  1
2
a  1.

a
a  12
.
37
§10. Приложение теории разностных уравнений к вычислению
определителей
Рассмотрим трехдиагональный определитель n – го порядка
c a 0 0 ... 0
b c a 0 ... 0
J n  0 b c a ... 0 .
(10.1)
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... c
Если ab  0 , то определитель (10.1) является треугольным и равен произведению диагональных элементов J n  c n . Если ab  0 , то для вычисления этого определителя разложим его по элементам первой строки, получим
b a 0 0 ... 0
0 c a 0 ... 0
J n  cJ n 1  a  0 b c a ... 0 .
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... c
Если последний определитель раскрыть по элементам первого столбца, то окончательно получим
J n  cJ n1  abJ n2 .
(10.2)
Заметим, что
(10.3)
J 1  c и J 2  c 2  ab
Задача вычисления определителя (10.1) свелась к решению задачи Коши (10.2) –
(10.3). Уравнение (10.2) можно переписать в виде J n2  cJ n1  abJ n  0, n  1,2,3,...
Это линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид общего решения зависит от вида корней характеристического уравнения
 2  c  ab  0 .
Если c 2  4ab , то
n
n
2
 c  c 2  4ab 


  C  c  c  4ab  .
J n  C1 
2




2
2




Если c 2  4ab , то
n
n
c
c
J n  C1    C 2 n  .
2
2
Если c 2  4ab , то
n
J n  ab  2  C1 cos  n  C2 sin  n  ,
где
cos  
c
, sin  
4ab  c 2
.
2 ab
2 ab
Учитывая, что sin   0 , аргумент  можно задать формулой
38
  arccos
c
.
2 ab
Значения постоянных C1 и C 2 легко находятся из начальных условий (10.3).
Рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что
6 1 0 ... 0 0
4 4 0 ... 0 0
5 6 1 ... 0 0
1 4 4 ... 0 0
n 1
0 5 6 ... 0 0 5  1
0 1 4 ... 0 0
1)
,
2)

 2 n  n  1 ,
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
4
0 0 0 ... 6 1
0 0 0 ... 4 4
0 0 0 ... 5 6
0 0 0 ... 1 4
4
8
0
3)
...
0
0
1
4
8
...
0
0
0
1
4
...
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
0
...
4
8
0
0
n
3 n 1
0
n
 n
 n  1
2
 8  cos
 sin
.
  2 2  sin
...
4
4 
4

1
4
Рассмотрим теперь другой определитель n – го порядка
a
b
b ... b b
b a
b ... b b
J n   b  b a ... b b .
... ... ... ... ... ...
 b  b  b ...  b a
Левый угловой элемент определителя запишем в виде a  a  b  b
данный определитель в виде суммы двух определителей
ab 0
0
b
a
b
Jn 
...
... ...
b b b
... 0 0
b
b
b
... b b  b a
b

... ... ... ... ... ...
...  b a  b  b  b
и представим
... b b
... b b
.
... ... ...
...  b a
Первый из складываемых определителей равен a  b J n1 . Во втором из складываемых
определителей первую строку прибавим ко всем последующим, получившийся треn 1
угольный определитель равен ba  b  . Итак,
J n  a  bJ n1  ba  b
n 1
Если
a  b , то
Jn  2
n 1
 a . Если
n
b  0 , то
.
(10.4)
J n  a . Если
n
a  b  0 , то
J n  2aJ n1 , J 1  a . Решая задачу Коши, получаем J n  2 n1  a n . Во всех остальных
случаях уравнение (10.4) является линейным неоднородным разностным уравнением
первого порядка со специальной правой частью. Ищем частное решение в виде
1
n
u n  Aa  b , получаем A  . Общее решение уравнения (10.4) имеет вид
2
39
1
a  bn . Из начального условия J 1  a , находим C  1 . Итак,
2
2
n
n
a  b  a  b
(10.5)
Jn 
2
Отметим, что все ранее рассмотренные частные случаи значений параметров а
и b получаются из общего ответа (10.5).
Рекомендуем самостоятельно вычислить определитель
x y y ... y y
z x y ... y y
z z x ... y y
Jn 
.
... ... ... ... ... ...
z z z ... x y
z z z ... z x
J n  C a  b  
n
Если z  y , то значение этого определителя J n 
z x  y   yx  z 
.
zy
n
n
Если z  y , то J n  x  n  1y x  y  .
n1
§11. Системы разностных уравнений, основные понятия
Канонической системой разностных уравнений называется система
 y1 t  k1   f1 t , y1 t ,..., y1 t  k1  1,..., y m t ,..., y m t  k m  1,

.....................................................................................................
 y t  k   f t , y t ,..., y t  k  1,..., y t ,..., y t  k  1.
m
m
1
1
1
m
m
m
 m
(11.1)
Здесь k1 ,..., k m натуральные числа, y1 t ,..., y m t  - искомые функции переменной t.
Нормальной системой разностных уравнений называется система
 y1 t  1  f1 t , y1 t , y 2 t ,..., y n t ,
 y t  1  f t , y t , y t ,..., y t ,
 2
2
2
2
n
(11.2)

........................................................
 y n t  1  f n t , y1 t , y 2 t ,..., y n t .
Отметим, что любую каноническую систему (11.1) введением новых искомых
функций можно свести к нормальной системе (11.2). Действительно, положим в системе (11.1)
y1 t   u11 t , y1 t  1  u12 t ,..., y1 t  k1  1  u1k1 t ,
......................................................................................
ym t   u m1 t , ym t  1  u m 2 t ,..., ym t  k m  1  u mkm t ,
получим нормальную систему
40
u11 t  1  u12 t ,
..........................

u1k1 t  1  f1 t , u11 t ,..., u1k1 t ,..., u m1 t ,..., u mkm t  ,

...............................................................................

u m1 t  1  u m 2 t ,
u m 2 t  1  u m 3 t ,

............................
u t  1  f t , u t ,..., u t ,..., u t ,..., u t  .
m
11
1k1
m1
mk m
 mkm




В дальнейшем мы будем изучать только нормальные системы разностных уравнений.
Систему (11.2) можно записать в более компактной матричной форме. Введем
вектор – функции
 y1 t  
 f1 t , y1 t ,..., y n t  




y t    ....... , f t , y t    ..............................  ,
 y t 
 f t , y t ,..., y t 
1
n
 n 
 n

тогда система (11.2) принимает вид
(11.3)
yt  1  f t , yt  .
Любая упорядоченная совокупность n функций y1 t , y 2 t ,..., y n t  называется
решением системы (11.2) на множестве T, если она обращает все уравнения этой системы в тождества на T.
Пример 11.1. Для системы
 yt  1  yt   z t ,
(11.4)

 z t  1  2 y t   4 z t 
легко убедиться, что совокупность функций yt   2 t , z t   2 t является решением
этой системы на множестве целых чисел. Система (11.4) имеет и другие решения.
Легко убедиться, что при любых значениях постоянных C1 и C 2 пара функций
y t   C1 2 t  C 2 3t ,
z t   C1 2 t  2C 2 3t
является решением системы (11.4) на множестве целых чисел.
Задачей Коши для системы (11.2) называется задача по отысканию такого решения y1 t ,..., y n t  , которое удовлетворяет заданным начальным условиям
y1 t 0   y10 , y 2 t 0   y 20 ,..., y n t 0   y n0 .
(11.5)
Ясно, что если функции f k t , u1 ,..., u n , k  1,..., n , стоящие в правых частях уравнений
системы (11.2), определены при всех значениях t  T и любых значениях других аргументов u1 , u 2 ,..., u n , то решение однозначно определяется, если произвольно задать
числа y10 , y 20 ,..., y n0 .
Перед тем, как ввести понятие точки единственности задачи Коши системы
(11.2), рассмотрим пример.
Пример 11.2. Для системы
 yt  1  2 yt   z t ,

 z t  1  4 yt   2 z t 
41
рассмотрим две задачи Коши:
1) y0  1, z0  1,
2) y0  0, z0  3 .
Решение первой задачи Коши имеет вид:
y0  1, yt   3  4 t 1 , t  1,2,...,
z 0  1, z t   6  4 t 1 , t  1,2,...
Решение второй задачи Коши имеет вид:
y0  0, yt   3  4 t 1 , t  1,2,...,
z 0  3, z t   6  4 t 1 , t  1,2,...
Различные начальные данные порождают одно и то же решение. Это неудивительно,
т.к. определитель матрицы коэффициентов системы равен нулю.
Определение 11.1. Точка t 0 , y 0  называется точкой единственности решения
задачи системы (11.3), если для любого решения  t  задачи Коши, удовлетворяющего начальному условию  t 0    0 ,  0  y0 , следует, что для всех k  1
yt 0  k    t 0  k  .
Будем предполагать, что уравнения системы (11.2) можно однозначно разрешить относительно y1 t ,..., y n t  , т.е. систему (11.2) можно записать в виде
 y1 t   g1 t , y1 t  1,..., y n t  1,
 y t   g t , y t  1,..., y t  1,
 2
2
1
n
(11.6)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

 y n t   g n t , y1 t  1,..., y n t  1
или в матричном виде yt   g t , yt  1 .
Если функции g k t , v1 ,..., vn , k  1,..., n определены при всех значениях t  T
и любых значениях других аргументов v1 , v2 ,..., vn , то любая точка множества T  R n
является точкой единственности решения задачи Коши системы (11.2). Действительно,
возьмем произвольную точку t 0 , y0   T  R n . Пусть y t  решение задачи Коши с на-
чальным условием yt 0   y0 . Возьмем произвольное решение  t  системы (11.2),
удовлетворяющее начальному условию  t 0    0 ,  0  y0 . Предположим, что
yt 0  k    t 0  k , k  1,..., m  1 и yt 0  m   t 0  m . Из уравнений системы
(11.6) следует, что
 t 0  m  1  g t ,  t 0  m,
y t 0  m  1  g t , y t 0  m .
Так как yt 0  m   t 0  m , то yt 0  m  1   t 0  m  1 и мы пришли к противоречию с тем, что yt 0  m  1   t 0  m  1 .
Определение 11.2. Пусть D множество точек существования и единственности
решения задачи Коши системы (11.2). Общим решением системы (11.2) n – го порядка на множестве D называется вектор – функция y  yt , C1 , C2 ,..., Cn  , удовлетворяющая двум условиям:
1) для любых допустимых значений произвольных постоянных C1 ,..., C n функция
y  yt , C1 , C2 ,..., Cn  является решением системы;
42
2) любое решение задачи Коши с начальными данными из множества D может
быть получено из общего решения при некоторых значениях произвольных постоянных, которые определяются единственным образом.
Следуя теории дифференциальных уравнений, решение y t  системы (11.2) на
множестве T будем называть частным решением, если любая точка t 0 , yt 0 , t 0  T
является точкой единственности решения задачи Коши.
Так как общее решение по определению задается во множестве существования и
единственности решения задачи Коши, то решение, которое получается из общего решения при конкретных значениях C1 , C2 ,..., Cn , является частным решением.
§12. Линейные системы разностных уравнений
Линейной системой разностных уравнений называется нормальная система вида
 y1 t  1  p11 t  y1 t   ...  p1n t  y n t   q1 t ,
 y t  1  p t  y t   ...  p t  y t   q t ,
 2
21
1
2n
n
2
(12.1)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....

 y n t  1  p n1 t  y1 t   ...  p nn t  y n t   q n t 
или в матричной форме
yt 1  Pt yt   qt .
0
 
0
Если q t     , то система называется линейной однородной системой. В противном
...
 
0
 
случае система называется линейной неоднородной системой. Если функции
pi , j t , qi t , i, j  1,..., n определены для всех t  T , то любая точка t 0 , y0   T  R n
является точкой существования решения задачи Коши. Если det Pt   0, t  T , то
систему (12.1) можно однозначно разрешить относительно y t  :
yt   P 1 t  yt  1  qt  .
В этом случае любая точка t 0 , y0   T  R n является и точкой единственности решения
задачи Коши системы (12.1).
В дальнейшем будем предполагать, что pi , j t , qi t  определены для всех
t  T , быть может для всех t  Z , и det Pt   0, t  T .
Так как решение линейной неоднородной системы сводится к решению соответствующей линейной однородной системы, то сначала рассмотрим однородную систему
zt  1  Pt zt , det Pt   0 .
(12.2)
Как в скалярном случае введем понятия линейной зависимости и линейной независимости вектор – функций и понятие определителя Казорати.
Определение 12.1. Вектор – функции 1 t ,...,  n t  линейно зависимы на мно-
жестве T, если существуют постоянные C1 ,..., C n такие, что
C11 t   ...  Cn n t   0, t  T .
n
C
i 1
2
i
0 и
43
В противном случае вектор – функции 1 t ,...,  n t  линейно независимы на T.
Определителем Казорати вектор – функций 1 t ,...,  n t  называется определитель n –
го порядка
K t   det t  ,
где столбцами матрицы t  записаны 1 t ,...,  n t  .
Теорема 12.1.(необходимый признак линейной зависимости вектор - функций).
Если вектор – функций 1 t ,...,  n t  линейно зависимы на T, то их определитель Казорати K t   0, t  T .
Доказательство. Пусть 1 t ,...,  n t  линейно зависимы на T и тем не менее
 t 0  T такое, что K t 0   0 . По определению линейной зависимости существуют постоянные C1 ,..., C n , среди которых не все равны нулю, такие что
C11 t   ...  Cn n t   0, t  T .
Полагая t  t 0 , получаем
C11 t 0   ...  Cn n t 0   0 .
Последнее уравнение можно рассмотреть как линейную однородную алгебраическую
систему n уравнений с n неизвестными C1 ,..., C n . Так как K t 0   det t 0   0 , то по
теореме Крамера эта система имеет единственное нулевое решение, что противоречит
тому, что среди постоянных C1 ,..., C n есть хотя бы одна ненулевая.
Замечание. Как и в скалярном случае обратное утверждение к теореме неверно.
 0
0
Пример 12.1. Вектор – функции 1 t    ,  2 t     линейно независимы
1
t 
на множестве Z, хотя их определитель Казорати является нулевой функцией.
Если 1 t ,...,  n t  являются решениями линейной однородной системы (12.2),
то справедливо и обратное утверждение.
Теорема 12.2 (критерий линейной независимости решений линейной однородной системы).
z1 t ,..., z n t  системы (12.2) линейно независимы на множестве T
Решения
тогда и только тогда, когда их определитель Казорати K t   0 , t  T .
Доказательство. Справедливость теоремы в части достаточности справедлива
для любых вектор – функций, не обязательно решений линейной однородной системы.
Это вытекает из предыдущей теоремы. Докажем необходимость. Пусть решения
z1 t ,..., z n t  линейно независимы на T и тем не менее существует t 0  T такое, что
K t 0   0 . Рассмотрим линейную алгебраическую систему n уравнений с n неизвестными в матричной форме
t 0   C  0 .
(12.3)
 C1 
 
Здесь C   ...  столбец неизвестных, t  матрица, столбцами которой записаны
C 
 n
решения z k t , k  1,..., n . По предположению K t 0   det t 0   0 , поэтому однород-
44
ная система (12.3) имеет бесконечно много решений. Возьмем какое-нибудь решение
 C10 
 
этой системы C 0   ...  , отличное от нулевого, и рассмотрим функцию
C 0 
 n
 t   t C0  C10 z1 t   ...  Cn0 z n t  .
Это решение линейной системы (12.2), т.к.  t  является линейной комбинацией решений этой системы. Выясним, каким начальным условиям в точке t 0 удовлетворяет
это решение. В силу уравнений системы (12.3) имеем  t 0   0 . Нулевым начальным
условиям в любой точке t 0 удовлетворяет нулевое решение системы (12.2), поэтому
по единственности решения задачи Коши  t   0, t  T , т.е.
C10 z1 t   ...  Cn0 z n t   0, t  T .
Последнее тождество по определению означает линейную зависимость решений
z1 t ,..., z n t  на множестве T. Полученное противоречие и доказывает необходимость
теоремы.
Определение 12.2. Любая совокупность n линейно независимых решений
z1 t ,..., z n t  системы (12.2) называется фундаментальной системой решений.
Матрица
t   z1 t ,..., z n t  , столбцами которой записаны линейно независимые решения, называется фундаментальной матрицей системы (12.2). Очевидно, что
t  1  Pt t , det t   K t   0, t  T . Наоборот, если матрица  t  удовлетворяет матричному уравнению t  1  Pt t  , то столбцы матрицы  t  являются решениями соответствующей линейной однородной системы. Если дополнительно det t   0 , то  t  фундаментальная матрица. Итак, любое неособое решение
матричного уравнения t  1  Pt t  является фундаментальной матрицей системы zt 1  Pt zt  .
Теорема 12.3 (аналог формулы Остроградского – Лиувилля - Якоби).
Пусть t  фундаментальная матрица системы (12.2), K t   det t  , тогда
t 1
K t   K t 0    det Pi , t 0  T .
i t 0
Доказательство. Фундаментальная матрица t  удовлетворяет матричному
уравнению t  1  Pt t  . Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то K t  1  det Pt   K t  . Решая простейшее разностное
уравнение для определителя Казорати, получаем доказываемую формулу.
Следствие 12.1. Решение z1 t ,..., z n t  системы (12.2) линейно независимы на
множестве T тогда и только тогда, когда их определитель Казорати не обращается в
нуль хотя бы в одной точке t 0  T .
Теорема 12.4. Фундаментальная система решений системы (12.2) существует.
Доказательство. Возьмем произвольную неособую числовую матрицу
B  b1 ,..., bn , det B  0
z1 t ,..., z n t  таких, что
и рассмотрим n решений
zi t 0   bi , i  1,..., n, t 0  T . Так как det t 0   det B  0, t   z1 t ,..., z n t , то по
предыдущему следствию построенные решения линейно независимы на T. Ясно, что
фундаментальная система решений определяется не единственным способом.
45
Определение 12.2. Если матрица B совпадает с единичной матрицей, то построенная в теореме фундаментальная система решений называется нормированной в точке
t0 .
Теорема 12.5 (о связи между фундаментальными матрицами).
1. Если t  фундаментальная матрица системы (12.2), то для любой постоянной
неособой матрицы С матрица
(12.4)
t   t C
также является фундаментальной.
2. Любые две фундаментальные матрицы t  и  t  связаны между собой равенством (12.4), т.е. отличаются друг от друга неособым правосторонним матричным множителем С.
Доказательство. 1. Нужно убедиться в том, что  t  неособое решение
матричного уравнения Z t 1  Pt Z t  . Действительно, det t   det t   det C  0 .
Кроме того, t  1  t  1C  Pt t C  Pt t C   Pt t  .
2. Пусть t  и  t  фундаментальные матрицы. Рассмотрим матрицу
t   t  1 t 0 t 0 , t 0  T .
В силу предыдущего t  также является фундаментальной матрицей. Далее
t 0   t 0  и поэтому в силу единственности решения задачи Коши t   t  . Ис-
комая матрица C   1 t 0 t 0  .
Теорема 12.6 (об общем решении линейной однородной системы).
Пусть t   z1 t ,..., z n t  фундаментальная матрица системы (12.2), тогда вектор –
функция z t   t C , где С вектор произвольных постоянных, представляет общее
решение системы (12.2) в множестве T  R n .
Доказательство. Проверим оба пункта определения общего решения нормальной системы разностных уравнений. Во-первых, для любого постоянного вектора С
функция z t   t C является решением, т.к. это линейная комбинация решений
z1 t ,..., z n t  . Во-вторых, возьмем произвольное решение z t  задачи Коши с началь-
ными данными из T  R n . Пусть z t 0   z 0 . Рассмотрим систему t0   C  z 0 , из которой однозначно находим C   1 t 0 z 0 . Положим  t   t C0 . Это решение системы
(12.2), причем
 t0   z 0 . В силу единственности решения задачи Коши
zt    t , t  T , т.е. zt   t  1 t0 z 0 . Теорема доказана.
Отметим, что по фундаментальной матрице t  линейная однородная система
восстанавливается однозначно. Действительно, из равенства t  1  Pt t  однозначно находим матрицу коэффициентов системы Pt   t  1 1 t  . Любая другая
фундаментальная матрица  t  восстанавливает ту же матрицу коэффициентов Pt  .
Действительно, по теореме о связи между фундаментальными матрицами
t   t C, det C  0 ,
поэтому
t  1 1 t   t  1CC 1 1 t   t  1 1 t   Pt  .
Рассмотрим теперь линейную неоднородную систему (12.1)
yt 1  Pt yt   qt 
46
и соответствующую ей однородную систему (12.2)
zt 1  Pt zt  .
Отметим свойства решений линейной неоднородной системы (12.1), которые
полностью аналогичны соответствующим свойствам решений линейных неоднородных
уравнений.
1. Разность любых двух частных решений системы (12.1) является решением системы (12.2).
2. Сумма частного решения системы (12.1) и частного решения системы (12.2)
является частным решением системы (12.1).
3. Если вектор – функция qt  системы (12.1) представляет сумму нескольких
k
вектор – функций qt    f i t  и Yi t , i  1,..., k , частные решения систем
i 1
yt 1  Pt yt   f i t  ,
k
то Y t    Yi t  является частным решением системы (12.1).
i 1
4. Теорема об общем решении линейной неоднородной системы.
Пусть z1 t ,..., z n t  - фундаментальная система решений однородной системы
(12.2), а Y t  частное решение неоднородной системы (12.1), тогда вектор функция
(12.5)
yt   Y t   C1 z1 t   ...  Cn zn t  ,
где C1 ,..., C n произвольные скалярные постоянные, представляет собой общее
решение системы (12.1) во множестве T  R n .
Доказательство. Проверим, что вектор – функция (12.5) удовлетворяет определению общего решения нормальной системы разностных уравнений. Возьмем конn
кретные значения произвольных постоянных C10 ,..., C n0 . Функция z 0 t    Ci0 z i t  явi 1
ляется частным решением однородной системы (12.2), а поэтому по свойству 2 решений неоднородной системы функция y0 t   Y t   z 0 t  является решением системы
(12.1). Возьмем теперь произвольное решение Y t  задачи Коши системы (12.1) с начальными данными из множества T  R n . Пусть Y t0   Y0 ,
t0 T . По свойству 1
решений неоднородной системы разность Y t   Y t   z t  является частным решением системы (12.2). По теореме об общем решении линейной однородной системы существуют единственные значения постоянных C 1 ,..., C n такие, что z t  
n
 C i zi t ,
i 1
n
следовательно, Y t   Y t    C i z i t  .
i 1
5. Теорема Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).
Пусть t   z1 t ,..., z n t  фундаментальная матрица системы (12.2), тогда частное решение неоднородной системы (12.1) можно найти в виде
t 1
Y t   t   1 i  1qi  .
(12.6)
i t 0
Доказательство. Будем искать частное решение системы (12.1) в виде
Y t   t C t  ,
(12.7)
47
где C t  вектор – функция переменной t. Обратим внимание, что если С не зависит
от t, то имеем общее решение однородной системы. Выясним, какому уравнению
должна удовлетворять вектор – функция C t  , чтобы формула (12.7) давала частное
решение системы (12.1). Имеем Y t  1  t  1C t  1, поэтому
t  1Ct  1  Pt t Ct   qt  .
Так как t  фундаментальная матрица, то t  1  Pt t  , следовательно,
t  1Ct  1  t  1C t   qt  .
Из последнего уравнения имеем
C t  1  C t    1 t  1qt  ,
откуда
t 1
C t   C t 0     1 i  1qi  .
Подставляя C t  в формулу (12.7), получаем
i t 0
t 1
Y t   t C t 0   t   1 i  1qi  .
i t 0
(12.8)
Вектор C t 0  можно задать произвольным образом. Полагая C t 0   0 , получаем формулу (12.6). Если постоянный вектор суммирования C t 0  не полагать равным
нулю, то формула (12.8) дает общее решение системы (12.1).
 4  3
 3 
 yt   
 , если известна
Пример 12.2. Решить систему yt  1  
2

1

10




1 3  2 t 
 однородной системы.
фундаментальная матрица t   
t 1 
1 2 
Так как
1  2 t 1  3  2 t 
1
,
 t    t 
2  1
1 
то полагая в формуле (12.6) t 0  0 , получаем
1 3  2 t  t 1  1  2 k  2  3  2 k 1  3 
   k 1 

Y t   
t 1 
 1
  10  
2
1
2
1




 k 0


1 3  2 t  t 1   36  1 3  2 t   36t    36t  39  2 t  39 
13  
13  



 
t 1 
t 1  13 

  36t  26  2 t  26  .
t 
1 2  k 0  2 k 1  1 2 


2 
Общее решение исходной системы имеет вид
  36t  39  2 t  39  1 3  2 t  C1    36t  1 3  2 t  C 1 

   
  ,
  
yt   
t
t 1 
t 1 
 

  36t  26  2  26  1 2  C 2    36t  13  1 2  C 2 
где C1  C 1  39, C2  C 2  13 .
48
§13. Метод Эйлера построения фундаментальной системы
решений линейной однородной системы разностных
уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему
(13.1)
zt  1  Az t , det A  0
с постоянной действительной матрицей коэффициентов. Будем искать частные решения этой системы в виде    t ,   0,   0 . Компоненты вектора  и число  ,
вообще говоря, комплексные числа. Имеем
(13.2)
   t 1 A t или  A  E   0 .
Для того чтобы система (13.2) имела нетривиальное решение  , необходимо и
достаточно, чтобы det  A  E   0 , т.е.  должно быть собственным числом матрицы
А, а  соответствующим собственным вектором.
Отметим, что так как det A  0 , а произведение всех собственных чисел матрицы равно определителю этой матрицы, то невырожденная матрица не имеет нулевых
собственных чисел.
Рассмотрим конкретные случаи.
I. Все собственные числа матрицы А различные действительные числа
 1,  2 ,...,  n .
Для каждого собственного числа 
k
строим собственный вектор  k . Вектор -
функции z k t    k  tk , k  1,..., n являются решениями системы (13.1). Если мы докажем линейную независимость этих решений, то фундаментальная система решений
построена. Предположим, что решения z k t  линейно зависимы, т.е.  постоянные
C1 ,..., C n не все равные нулю, такие что
C1 1 1t  C2 2  t2  ...  Cn  n  tn  0 .
(13.3)
Пусть для определенности Ci  0 . Так как  i собственный вектор, но хотя бы одна
  i1 
 
 i2 
его компонента отлична от нуля. Пусть  i    и  ij  0 . Из системы (13.3) выпи...
 
 
 in 
шем
j – е уравнение C1 1 j  1t  C2 2 j  t2  ...  Ci  ij  ti  ...  Cn  nj  tn  0 . Так как Сi  ij  0 , то
последнее равенство означает, что  1t ,  t2 ,...,  tn линейно зависимы. Противоречие с
соответствующим утверждением в скалярном случае о линейной независимости
 1t ,  t2 ,...,  tn .
Пример 13.1. Решить систему
 1  2
 z t  .
z t  1  
5 
4
Найдем собственные числа матрицы коэффициентов
1   2
 0, 2  4  3  0,  1 1,  2  3 .
4
5
49
Ищем теперь соответствующие собственные векторы. Для   1 имеем систему
 2 11  2 12  0,
откуда  11   12 . Полагая  12  1 , находим собственный вектор

4 11  4 12  0,
 4 21  2 22  0,
1
откуда  22  2 21 . Полагая
 1    . Для   3 имеем систему 
  1
4 21  2 22  0,
 1 
 21  1 , находим собственный вектор  2    . Фундаментальная система решений
  2
исходной системы имеет вид
 3t 
1
.
z1 t    , z 2 t   
t 

1

2

3
 


Общее решение системы может быть записано в виде
1
3t  C1 

  .
z t   
t 

1

2

3

 C 2 
II. Все собственные числа матрицы А различны, но среди них есть комплексные числа.
Сформулируем две леммы, доказательство которых аналогично доказательству
соответствующих лемм скалярного случая.
Лемма 13.1. Если вектор – функция  t   1 t   i 2 t  является решением системы zt 1  Pt zt  с вещественной матрицей Pt  , то вещественные вектор –
функции 1 t  и  2 t  тоже являются решениями этой системы.
Лемма 13.2. Пусть вектор – функции f1 t ,..., f n t  линейно независимы на Т,
причем первые 2k из них комплексно сопряжены, а остальные n  2k вещественны,
т.е.
f1, 2 t   1 t   i 2 t ,
.......................
f 2 k 1, 2 k t    2 k 1 t   i 2 k t ,
f 2 k 1 t    2 k 1 t ,..., f n t    n t .
Тогда совокупность вектор – функции 1 t ,...,  n t  линейно независима на Т.
Так как матрица А вещественна, то комплексные собственные числа встречаются комплексно сопряженными парами. Комплексно сопряженным собственным числам соответствуют комплексно сопряженные собственные векторы, поэтому на практике комплексно сопряженные собственные числа при построении фундаментальной
системы решений не рассматривают. Лемма 13.1 позволяет построить вещественные
решения, лемма 13. 2 утверждает, что операция овеществления системы решений сохраняет линейную независимость.
Проиллюстрируем этот случай на примере.
Пример 13.2. Решить систему
 3 2
 z t  .
z t  1  
 1 1
Собственными числами матрицы коэффициентов являются числа  1, 2  2  i . Для числа  1 2  i найдем собственный вектор. Рассмотрим систему
50
1  i   2  0,

   1  i   0,
которая равносильна одному уравнению   1  i   0 . Полагая   1  i , находим
1  i 
 . Исходная сис  1 . Числу  1 2  i соответствует собственный вектор   
 1 
1  i 
t
 2  i  . Для построения вещественной
тема имеет комплексное решение   1t  
 1 
фундаментальной системы отделим вещественную и мнимую части этого решения. Для
этого запишем число  1 2  i в тригонометрической форме и применим формулу
1
1 
 2
Муавра. Имеем 2  i  5  

i   5 cos   i sin   , где   arctg . По форму2
5 
 5
ле Муавра
2  i t
t
 5 2 cos  t  sin  t  .
Далее имеем
t
t
1  i  2
 cos  t  sin  t 
5 cos  t  i sin  t   5 2 
 ,
Re
 1 
  cos  t 
t
1  i  2t
 cos t  sin  t 
2
5 cos t  i sin  t   5 
 .
Im

1

sin

t




Общее решение системы может быть записано в виде
t
 cos  t  sin  t cos  t  sin  t 
1
  C , где   arctg .
z t   5 2 
 sin  t 
2
  cos  t
III. Случай кратных собственных чисел матрицы коэффициентов.
Достаточно рассмотреть только случай кратных вещественных собственных чисел матрицы коэффициентов, т.к. в случае кратных комплексных собственных чисел
достаточно применить операцию овеществления фундаментальной системы решений.
Пусть  вещественное собственное число матрицы А кратности k . Этому
собственному числу в фундаментальной системе решений соответствует k линейно
независимых решений вида  t  t , где  t  векторный многочлен переменной t
степени не выше k  1 , т.е.
  k 1,1 
  01    11 


   
  k 1.2  k 1
  02    12 
 t        t  ...  
t .
... 
...
...


   
   


 0 n   1n 
 k 1,n 
Коэффициенты  i j векторного многочлена  t  находятся методом неопределенных
коэффициентов из условия, что  t  t решение системы. При этом k коэффициентов могут принимать произвольные значения, а остальные определяются через них однозначно. Произвольными значениями k коэффициентов можно распорядиться так,
что получится k линейно независимых решений, соответствующих собственному
числу  . Обоснование метода Эйлера для случая кратных собственных чисел матрицы коэффициентов будет дано в следующем параграфе. Здесь мы привели только техническую сторону метода Эйлера. Можно ли уменьшить степень векторного многочле-
51
на  t  , до какой степени и в каких случаях? Ответы на эти вопросы мы дадим в следующем параграфе. Отметим лишь, что уменьшение степени векторного многочлена
 t  уменьшает объем выкладок, т.к. уменьшается количество неизвестных коэффициентов многочлена. А это важно с практической точки зрения.
Рассмотрим теперь два примера, иллюстрирующих случай кратных собственных
чисел матрицы коэффициентов.
Пример 13.3. Решить систему
 3 1
 z t  .
z t  1  
  1 1
Матрица коэффициентов имеет двукратное собственное число   2 . Ищем решение
 at  b  t
 2 . Подставляя z t  в систему и сокращая на 2 t , полусистемы в виде z t   
 ct  d 
чаем
2 at  a  b   3 at  b   ct  d ,

2 ct  c  d   at  b   ct  d .
Приравнивая коэффициенты при равных степенях t, получаем систему
2a  3a  c,
2a  2b  3b  d ,


2c  a  c,
2c  2d  b  d .
Эта система равносильна системе
a  c  0,
a  c,
или 

2 a  b  d
b  2c  d .
Коэффициенты c и d могут принимать произвольные значения, два других коэффициента a и b однозначно через них выражаются. Положим c  1, d  0 , тогда
t  2 t
 2 .
a  1, b  2 . Этому набору коэффициентов соответствует решение 
 t 
Положим c  0, d  1, тогда a  0, b  1 . Этому набору коэффициентов соответст1
вует решение   2 t .
  1
Общее решение системы может быть записано в виде
t  2 1 
 C .
z t   2 t 
  t  1
Пример 13.4. Решить систему
 4  1  1


z t  1   1 2  1 z t  .
1 1 2 


Матрица коэффициентов имеет следующие собственные числа:
 1 2,  2   3  3 .
 1
 
Собственному числу  1 2 соответствует собственный вектор  1  1 . Проверьте!
 1
 
52
1
 
Система имеет решение  1 1t  1 2 t . Кратному собственному числу   3 соответст1
 
 at  b 


вует два линейно независимых решения вида  ct  d  3t . В данном примере степень
 mt  k 


векторного многочлена можно уменьшить до нуля. Действительно, будем искать собственные векторы, соответствующие собственному числу   3 . Составим систему
m  n  p  0,

m  n  p  0,
m  n  p  0,

которая равносильна одному уравнению m  n  p . Полагая n  1, p  0 , а затем
n  0, p  1 , найдем два линейно независимых собственных вектора для числа   3 :
1
1
 
 
 2   1 ,  3   0 .
0
1
 
 
Исходная система имеет еще два решения:
быть записано в виде
 2t

z t    2 t
 2t

 2 3t ,  3 3t . Общее решение системы может
3t
3t
0
3t 

0 C .
3t 
Отметим, что наличие двух линейно независимых векторов двукратного собственного
числа   3 позволило уменьшить степень векторного многочлена в общем виде решений для этого числа. Жорданова форма матрицы А чисто диагональна
 2 0 0


B   0 3 0 .
 0 0 3


§14. Линейная неоднородная система с постоянными коэффициентами
и со специальной правой частью
Рассмотрим систему
yt  1  Ay t   f t , det A  0 .
(14.1)
Общее решение этой системы имеет вид
yt   Y t   At  C ,
причем частное решение Y t  можно найти методом вариации произвольных постоянных
t 1
Y t   At   A k 1  f k  .
k t 0
53
Последний метод с вычислительной точки зрения довольно громоздок. Если вектор –
функция f t  имеет специальный вид, то частное решение Y t  можно найти несколько быстрее. Рассмотрим без доказательства следующие две теоремы.
Теорема 14.1. Пусть f t    t  Pk t  , где Pk t  векторный многочлен переменной t степени k. Пусть  является собственным числом матрицы А кратности s
( s  0 , если  не является собственным числом матрицы А). Частное решение Y t 
системы (15.1) в этом случае можно найти в виде
(14.2)
Y t    t  Rk  s t  ,
где Rk  s t  векторный многочлен переменной t степени не выше k  s .
Комментарии к формулировке теоремы 15.1.
1. В отличие от линейного уравнения с постоянными коэффициентами частное
решение Y t  нужно искать в виде (15.2), а не в виде Y t    t  t s Rk t  . В векторном многочлене решения Y t  могут присутствовать все младшие степени
переменной t.
2. Если s  1 , то степень векторного многочлена Rk  s t  можно уменьшить до
k  m , где m наивысший порядок клетки Жордана, соответствующей числу 
в жордановой форме матрицы А.
3. Если s  0 , то решение вида (14.2) не является единственным. В этом легко
убедиться с помощью следующих рассуждений. Пусть s  0 , тогда однородная
система zt 1  Az t  имеет частное решение вида z t    s 1 t    t , где
 s 1 t  - векторный многочлен степени не выше s  1 . По свойству решений ли-
нейной неоднородной системы сумма Y t   z t   Rk  s t    s 1 t    t снова является частным решением неоднородной системы, но последнее означает, что
коэффициенты векторного многочлена в формуле (15.2) не могут определяться
однозначно.
Пример 14.1. Решить задачу Коши
  3 2
 0 
1
 yt   
yt  1  
, y0    .
t 

  2 1
  1 
1
Собственными числами матрицы коэффициентов являются числа  1  2  1 . Находим собственный и присоединенный вектор для числа   1. Для собственного век 2 11  2 12  0,
тора имеем систему 
откуда  11   12 . В качестве собственного век 2 11  2 12  0,
1
тора возьмем вектор  1    . Для нахождения присоединенного вектора имеем систе1
му
 1
 2 21  2 22  1,
 .
В
качестве
присоединенного
вектора
возьмем
вектор



2
 2

2


2


1
.
21
22

 0 
Однородная система имеет следующие два линейно независимых решения:
54
1

 Ct1

1
t
t

t

t


z1 t    1     1 , z 2 t     1   2   1 
2   1 . Решение z 2 t  заме
1
 

 t 
 2t  1
t
  1 . Одной из фундаментальных матриц однородним на решение  2 z 2 t   
 2t 
ной системы является матрица
t 1 2t  1
 .
t    1 
1 2t 
 0 
Вектор – функция f t   
t 
 имеет вид, указанный в теореме 15.1. В обозначениях
  1 
этой теоремы
k  0,   1, s  2 . Частное решение ищем в виде
t
 At 2  Bt  C 
  1t . Степень векторного многочлена уменьшить нельзя, т.к.
Y t    2

 Et  Dt  F 
1 1 
 . Отметим заранее, что
жорданова форма матрицы коэффициентов имеет вид 
 0  1
решение указанного вида неединственно. Подставляя Y t  в систему и сокращая на
 1t , получаем
 At 2  2 At  A  Bt  B  C    3 2   At 2  Bt  C   0 
  
    .
  2
  2


 Et  2 Et  E  Dt  D  F    2 1   Et  Dt  F   1 
Приравнивая коэффициенты при равных степенях t, имеем
 A  3 A  2 E ,
 2 A  B  3B  2 D,

 A  B  C  3C  2 F ,

 E  2 A  E ,
 2 E  D  2 B  D,

 E  D  F  2C  F  1.
Последняя система равносильна системе
 A  E,
 A  B  D  0,


 A  B  2C  2 F  0,
 A  D  2 F  2C  1  0,
откуда
 B  D  1,
 A  1,


 E  1,
2C  D  2 F  2.
Полагая D  0, F  0 , находим B  1, C  1. Исходная система имеет частное реше t 2  t  1
  1t . Общее решение системы имеет вид
ние Y t   
2

 t

55
 t 2  t  1
1 2t  1
  1t .
 C  
yt    1 
2

1 2t 
 t

Подберем значение вектора С так, чтобы удовлетворялось начальное условие. Имеем
t
1
1 1 
 1  1

 C       , откуда C  
1 0 
 0  1
1
Решение задачи Коши имеет вид
1 2t  1 1 
t 2
    1t 
 1t 
1 2t   1

1
1  0  0 1   0  1 
    
     .
0   1   1  1  1    1
2
 t  1
t  t  t 1 







1
 t 2  2t  1 .
t 2 


Теорема 14.2. Пусть вектор – функция f t  имеет вид
f t   r t Qk1 t cos  t  Qk2 t sin  t , r  0 .


Здесь Qk 1 t  и Qk 2 t  векторные многочлены переменной t степеней k1 и k 2 соответственно. Пусть число   r cos   i sin   является собственным числом матрицы
А кратности s ( s  0 , если  не является собственным числом матрицы А), пусть
k  maxk1 , k 2 . Частное решение системы (16.1) в этом случае можно найти в виде
Y t   r t U k  s t cos  t  Vk  s t cos  t ,
где U k  s t  и Vk  s t  векторные многочлены переменной t степени не выше k  s .
Для этой теоремы справедливы комментарии, аналогичные комментариям к
формулировке теоремы 15.1.
§15. Основные понятия теории устойчивости решений
разностных уравнений
Рассмотрим нормальную систему разностных уравнений
yt  1  f t , yt , y  R n .
(15.1)
n
Будем предполагать, что на некотором множестве T  R выполнены достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Будем также
предполагать, что f t , yt  удовлетворяет условию Липшица равномерно по t:
f t , yt   f t , xt   L y  x .
(15.2)
Обозначим через yt , t 0 , y0  решение системы (16.1) с начальными данными

назовем это решение невозмущенным. Решение y t , t 0 , y 0

t 0 , y0  ,
назовем возмущенным ре-
шением, а разность y 0  y 0 возмущением начальных данных. Аналогично обыкновенным дифференциальным уравнениям введем следующие определения.
Определение 15.1. Решение y t  системы (16.1) называется устойчивым (по
Ляпунову), если для любых   0, t 0  T существует     , t 0   0 такое, что из
условия
y 0  y 0   следует, что


yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   для t  t 0 .
Определение 15.2. Решение y t  называется равномерно устойчивым, если
число  в определении 15.1 может быть выбрано не зависящим от t 0 .
Определение 15.3. Решение y t  называется притягивающим, если для любого
t 0  T существует t 0   0 такое, что для любого   0 найдется     , t 0 ,  
56
такое, что из условия
y 0  y 0   следует, что


t  t 0   , т.е. lim yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0  0 , если
t 


yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   для всех
y0  y 0   .
Определение 15.4. Решение y t  называется равномерно притягивающим, если
существует   0 такое, что для любого   0 найдется       T , что из условия



yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   следует, что

yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   для всех t  t 0   .
Определение 15.5. Решение y t  называется асимптотически устойчивым, если
оно устойчиво и притягивающее. Решение y t  называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и равномерно притягивающее.
В теории дифференциальных уравнений мы знаем, что факт устойчивости решения не зависит от конкретного выбора t 0 , так как на любом конечном промежутке близость решений при малости возмущения гарантируется теоремой об интегральной непрерывности. Аналогичный факт имеет место и для решений нормальных систем разностных уравнений. Действительно, пусть решение y t  системы (15.1) устойчиво
для какого-нибудь фиксированного момента t 0  T . Докажем, что оно будет устойчиво
для любого другого момента t 0  T . Действительно, пусть при
имеем


y0  y 0    ,t 0   
yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   при t  t 0 . Если t 0  t 0 , то достаточно взять    .
Пусть t 0  t 0  k . Имеем


y0  y 0  yt0   yt0   f t0  1, yt0  1  f t0  1, yt0  1 
 L yt 0  1  yt 0  1  ...  Lk yt 0   yt 0  .
   , t 0    , t 0 
,...,
Возьмем   0 , положим    min  ,
  0 , тогда если
L
Lk 

yt 0   yt 0     , то
y 0  y 0    ,t 0  и, следовательно,


yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   при t  t 0 .
Кроме того, yt 0   yt 0       ,


yt 0  1  yt 0  1  f t 0 , yt 0   f t 0 , yt 0   L yt 0   yt 0  L      и т.д.
Итак,


yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0   при t  t 0 .
§16. Устойчивость линейных систем разностных уравнений
Наряду с линейной неоднородной системой
yt 1  Pt yt   f t  ,
(16.1)
det Pt   0, t  T будем рассматривать соответствующую ей линейную однородную
систему
zt 1  Pt zt .
(16.2)
Фиксируем t 0  T .
57
Теорема 16.1. Устойчивость (по Ляпунову) произвольного решения системы
(16.1) при любом свободном члене f t  (в том числе и для f t   0 ) равносильна устойчивости тривиального решения однородной системы (16.2).
Доказательство. Пусть t  фундаментальная матрица системы (16.2), нормированная в точке t 0 : t 0   E . Решение yt , t 0 , y0  системы (16.1) по методу вариации произвольных постоянных можно записать в виде
t 1


yt , t 0 , y0   t  y0    1 k  1 f (k )  .
k t


(16.3)
0
Если f t  ≡ 0 при t  t 0 , то формула (16.3) принимает вид yt , t 0 , y0   t y0 и мы
имеем решение однородной системы (16.2).
Составим разность невозмущенного и возмущенного решений
yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0  t  y0  y 0 .






Мы видим, что разность z t   yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0
при любом свободном члене
f t  , в том числе и при f t  ≡ 0, есть решение однородной системы (16.2) с начальным условием z t 0   y0  y 0 . Напишем определение по Ляпунову тривиального решения однородной системы (16.2): для любого   0 существует     , t 0   0 такое,
что из условия
z t 0    следует, что z t    для всех t  t 0 . Заменяя в этом опре-


делении z t 0  на y 0  y 0 и z t  на разность yt , t 0 , y0   y t , t 0 , y 0 , мы приходим к
выводу, что невозмущенное решение yt , t 0 , y0  устойчиво по Ляпунову по определению тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение соответствующей однородной системы. Аналогичное утверждение справедливо и для асимптотической устойчивости.
Итак, все решения линейной системы однородной или неоднородной по отношению к свойству устойчивости (асимптотической устойчивости) ведут себя одинаково: либо все устойчивы, либо все неустойчивы. В силу выше сказанного корректна следующая терминология: устойчивая линейная система, неустойчивая линейная система,
асимптотически устойчивая линейная система.
Нелинейные системы таким свойством не обладают.
Для нелинейных конечно-разностных уравнений ограниченность и даже стремление к нулю всех его решений еще не гарантирует устойчивости. Приведем пример из
статьи Демидовича В.Б. 11 .

21 t 

 2 t 1

t

2
z 2 t  
 z1 t  1 
2 
z1 t ,

t

1
Пример 16.1.

1

 z 2 t  1  2 z 2 t .
При начальных условиях z1 0  z10 , z 2 0  z 20  0 решением этой системы служит

2t 


 t 2  0 



z 2  0

z1 ; 2 t z 20  . Ясно, что lim z t   0 . Тем не
нетривиальный вектор z t    t  12
t 




менее решения системы, близкие к тривиальному, являются неустойчивыми. Так, на-
пример, решение z t  , отвечающее начальным условиям z 1  0, z 2   , является не0
0
58
устойчивым, так как в точке N 
2

для любого другого решения z t  системы, отве-
чающего условию z10   , справедливо неравенство z1 N   2 . Здесь  всегда можно подобрать таким, что N 
2

будет целым числом.
Итак, устойчивость любого решения линейной однородной или неоднородной
системы равносильна устойчивости тривиального решения однородной системы. Перейдем к изучению однородных систем.
Теорема 16.2. Линейная однородная система (16.2) устойчива тогда и только
тогда, когда все ее решения ограничены при t  t 0 .
Доказательство. Пусть система (16.2) устойчива и, тем не менее, у нее есть
неограниченное решение z t  . Ясно, что z t 0   0 . Возьмем   0 , для него по определению устойчивости тривиального решения существует
z t 0    , то

 0
такое, что если
z t  
 . Так как
z t    для всех t  t 0 . Построим решение z t  
z t 0  2
z t  
  , т.е.
z t 0  2
2 z t 2 
и решение z t  ограниче2

но. Противоречие.
Покажем теперь, что из ограниченности всех решений системы (16.2) следует устойчивость тривиального решения этой системы, а значит устойчивость самой системы.
Пусть t  нормированная в точке t 0 фундаментальная матрица системы (16.2).
Столбцами матрицы t  являются решения системы (16.2). Так как столбцов конечное число и все решения ограничены, то t   K , t  t 0 . Любое решение системы
z t 0  
  , то
z t  
(16.2) можем записать в виде
ределим

z t  
zt   t zt 0 , t 0   E . Возьмем   0 , по нему оп-

z t 0    следует неравенство
 0 , тогда из неравенства
K
 t   zt 0    при t  t 0 . Тривиальное решение устойчиво по оп-
zt   t zt 0 
ределению.
Следствие 16.1. У устойчивой линейной неоднородной системы (16.1) все решения ограничены или неограниченны одновременно при t  t 0 .
Действительно, общее решение системы (16.1) может быть записано в виде
yt   Y t   t C , где Y t  - частное решение этой системы, а t  - фундаментальная матрица соответствующей однородной системы. Так как в силу устойчивости матрица t  ограничена, то ограниченность произвольного решения y t  полностью
определяется ограниченностью решения Y t  .
Теорема 16.3. Линейная однородная система (17.2) асимптотически устойчива
тогда и только тогда, когда все ее решения стремятся к нулю при t   .
Доказательство. Пусть система (16.2) асимптотически устойчива, а следовательно, асимптотически устойчиво ее тривиальное решение. По определению асимптотической устойчивости существует   0 такое, что из условия z 0   следует, что
59
lim z t   0 . Возьмем произвольное решение z t  системы (17.2). Если z t  ≡ 0, то
t 
lim z t   0 . Пусть z t 0   0 . Рассмотрим раньше z t  
t 
z t  
 . Так как
z t 0  2

  , то lim z t   0 , а следовательно, и lim z t   0 .
t 
t 
2
Пусть, наоборот, все решения системы (16.2) стремятся к нулю при t   . Решения
системы (16.2) – это векторные числовые последовательности. Так как они имеют предел, то они ограничены при t  t 0 . Из ограниченности всех решений следует устойчивость системы (16.2). Кроме того, тривиальное решение является притягивающим с
   . Система (16.2) асимптотически устойчива.
z t 0  
§17. Устойчивость линейной однородной системы разностных
уравнений с постоянной матрицей коэффициентов
Рассмотрим систему
(17.1)
zt  1  Az t , det A  0
с постоянной матрицей коэффициентов. Теоремы предыдущего параграфа для этого
частного случая дают следующий результат.
Теорема 17.1. 1) Система (17.1) устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов по модулю не превосходят единицы, причем
собственным числам, модуль которых равен единице, соответствуют клетки Жордана
только первого порядка в жордановой форме матрицы А.
2) Система (17.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы А по модулю меньше единицы.
Доказательство. Общее решение системы (17.1) можно записать в виде
z t   At C .
Структура элементов матрицы A t была выяснена ранее. Среди элементов матрицы
A t могут встречаться следующие: 0,  t , t k  t , r t cos  t , r t sin  t , t k r t cos  t , t k r t sin  t , а
также их линейные комбинации. Заметим, что степенной множитель присутствует
лишь тогда, когда соответствующему собственному числу соответствует клетка Жордана выше первого порядка. Ясно, что все элементы матрицы A t ограничены при
t  t 0 тогда и только тогда, когда модули всех собственных чисел   1 , причем если
  1 , то должен отсутствовать степенной множитель, вызывающий неограниченный
степенной рост решения. Мы убеждаемся в справедливости утверждения 1) теоремы.
Все решения системы (17.1) стремятся к нулю при t   , а следовательно,
система (17.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные
числа по модулю меньше единицы. В этом случае порядок клеток Жордана не принципиален. Справедливость утверждения 2) установлена.
Задача исследования на устойчивость системы (17.1) свелась к алгебраической
задаче. Нужно выяснить расположение корней характеристического уравнения матрицы А по отношению к единичному кругу на комплексной плоскости. Покажем, как
решение этой задачи можно свести к критерию Гурвица о расположении корней многочлена в левой полуплоскости.
Пусть
P   a0  n  a1 n1 ...  an1  an
(17.2)
60
характеристический многочлен матрицы А. Рассмотрим преобразование
z 1
(17.3)

z 1
комплексной плоскости. Покажем, что это преобразование преобразует левую полуплоскость Re z  0 во внутренность единичного круга   1 . Положим z  u  iv , то-
u  12  v 2
u  12  v 2
гда  
u  12  v 2
. Неравенство   1 равносильно неравенству

 u  1  v 2 , которое равносильно u  0 .
Осуществим в многочлене (17.2) замену (17.3), получим
2
n 1
n

z 1
 z  1
 z  1
 z  1
P
 an 
  a0 
  a1 
  ...  a n1
z 1
 z 1
 z 1
 z 1
n
n 1
n 1
n
a0 z  1  a1 z  1  z  1  ...  a n1 z  1z  1  a n z  1
z  1
Qz  не превосходит
n

Q z 
z  1n
.
n. Если многочлен Qz  обz 1
ращается в нуль в точке z, то P  обращается в нуль в точке  
. Если степень
z 1
многочлена Qz  равна n, то все нули Qz  связаны с нулями P  соотношением
(17.3). Если же степень Qz  равна l  n , то P  имеет нуль   1 кратности
Q z 
может обраn  l . Действительно, если z не является нулем Qz  , то P  
z  1n
титься в нуль лишь при z   , но бесконечно удаленной точке соответствует   1 .
Если степень многочлена Qz  меньше n, то P  имеет корни, равные единице, и система не будет асимптотически устойчивой. Мы убедились в справедливости
следующего утверждения.
Теорема 17.2. Для асимптотической устойчивости системы (17.1) необходимо
и достаточно, чтобы многочлен Qz  имел степень n, а его коэффициенты удовлетвоz 1
Q z 
ряли критерию Гурвица. Здесь P  
, 
, а P  - характеристический
n
z 1
z  1
многочлен матрицы А.
Посмотрим, какой результат дает эта теорема при n  2 . Характеристическое
уравнение для матрицы А второго порядка имеет вид  2  p  q  0 , где
(17.4)
p  SpA, q  det A .
z 1
Положим  
, получим
z 1
Отметим, что степень многочлена



z  1  p z 2  1  qz  1
 z  1
 z  1


  p
q 
z  12
 z 1
 z 1

1  p  q z 2  21  q z  1  p  q 
Q z 


.
2
z  1
z  12
Еще раз убеждаемся, что степень многочлена Qz  меньше 2, если   1 является корнем характеристического уравнения P   0 . Действительно, 1  p  q  0
равносильно P1  0 .
2
2
2
61
Многочлен второй степени Qz   1  p  q z 2  21  q z  1  p  q  является
многочленом Гурвица тогда и только тогда, когда все его коэффициенты одного знака.
Решаем две системы:
1  p  q  0,
1  p  q  0,


 1  q  0,
 1  q  0,
1  p  q  0,
1  p  q  0.


Вторая система несовместна, а первая равносильна двойному неравенству
p  1  q  1.
Учитывая обозначения (17.4), получаем
SpA  1  det A  1
(17.5)
Итак, система zt 1  Az t  второго порядка асимптотически устойчива тогда и
только тогда, когда выполнено условие (17.5).
Пример 17.1. При наших значениях параметра m система
2
1 

 z t 
z t  1  
 m  2  2m  6 3  m 
асимптотически устойчива?
Условие (17.2) приводит к неравенству
m  1  1  m  2  1,
которое равносильно системе
1  m  3,
1  m  3,
или 

m  2  0,
m  2  m  2
откуда m  1; 2 .
Пример 17.2. При каких значениях параметра а матрица коэффициентов системы
 1 a 0


z t  1    1 1 1  z t 
 1 1 0


не вырождена и система устойчива по Ляпунову?
Характеристическое уравнение имеет вид
1     2    a  1  0 .
Матрица коэффициентов вырождается только при a  1. Выясним, при каких а корни многочлена  2    a  1 по модулю меньше 1. Условие (17.5) дает неравенство


0  a  1  1 , откуда a   1; 0 . Если a   1; 0 , то  1 1,
 2,3  1 и есть устойчи-
вость по Ляпунову.
Рассмотрим случай
a  0 . Имеем
 2    1  0, 
Система устойчива по Ляпунову.
Условию задачи удовлетворяют значения a   1; 0 .
2,3

1 i 3
,
2

2,3
 1.
62
Литература
1. Адрианова, Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. – С.-Пб: Изд-во С.-Петербургского университета, 1992.
2. Батунер, Л.М. Математические методы в химической технике. 5-е изд./
Л.М.Батунер, М.Е.Позин. Л., Химия, 1968.
3. Бахвалов, Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М. Кобельников. М.: Бином, 2008
4. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей/А О.Гельфонд. М., Наука, 1967.
5. Гноенский, Л.С. Математические основы теории управляемых систем./
Л.С.Гноенский, Г.А. Каменский, Л.Э.Эльсгольц. М., Наука, 1969.
6. Демидович, Б.П. Лекции по математической устойчивости./ Б.П.Демидович. М.,
Наука, 1967.
7. Демидович, В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных
уравнений – II. Правильные уравнения // Дифференц. уравнения. 1975. Т.11, №6.
С.1091-1107.
8. Каменский, Г.А. Лекции по теории функций комплексного переменного, операционному исчислению и теории разностных уравнений/Г.А. Каменский. – М.:
Высшая школа, 2008.
9. Кузенков, О.А. Математическое моделирование процессов отбора/ О.А.Кузенков,
Е.А.Рябова.– Нижний Новгород: Изд - во Нижегородского университета, 2007.
10. Кузнецов, С.П. Динамический хаос (курс лекций)./ С.П.Кузнецов. М.: Физматлит, 2001.
11. Мартынюк, Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений/Д.И.
Мартынюк. Киев, Наукова думка, 1972.
12. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений, 4-е изд./ Н.М.Матвеев. – Минск: Вышэйшая школа, 1974
13. Миролюбов,
А.А.
Линейные
однородные
разностные
уравнения/
А.А.Миролюбов, М.А.Солдатов. М.: Наука, 1981.
14. Миролюбов,
А.А.
Линейные
неоднородные
разностные
уравнения/
А.А.Миролюбов, М.А.Солдатов. М.: Наука, 1986.
15. Романко, В.К. Разностные уравнения/ В.К.Романко. М.: Бином, 2006.
16. Самарский, А.А. Введение в численные методы/А.А. Самарский. СПб.: Лань,
2005.
17. Самойленко, А.М. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи/.А.М. Самойленко, С.А.Кривошея, Н.А.Перестюк. М.: Высш. шк., 1989.