0 методе Чебышева для функциональных уравнений

1954
г.
т. IX,
УСПЕХИ
MATEMATII4ЕСЕИХ
вып.
2
(60)
HAVE
О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА Д Л Я ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
М. И. Нечепуренко
В этой заметке делается попытка обобщить на нелинейные функцио­
нальные уравнения один из эффективнейших методов решения алгебраи­
ческих и трансцендентных уравнений — метод разложения в быстро сходя­
щийся ряд П. Л . Чебышева [1]. Идея этого метода базируется на возмож­
ности обращения степенного ряда, тесно связанной с существованием обратной
функции.
,
Это разложение может явиться основой для составления приближённых
методов решения функциональных уравнений (методы Ньютона, Чебышева).
Сходимость первого из них в пространствах Банаха изучил Л . В. Кан­
торович [2]. Аналогично [2] ниже изучается сходимость алгоритма Чебы­
шева и даётся точный порядок сходимости при условиях более жёстких,
чем наложенные в [2]. Приводится некоторое сравнение метода Чебышева
с методом касательных гипербол [3], [4].
В виде приложения доказанного рассматривается решение обыкновен­
ных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом
плане несколько распространяются идеи С. А. Чаплыгина [5].
§ 1. Аналог ряда Чебышева для линейных нормированных
пространств
Пусть X — линейное нормированное пространство и <р преобразует X
в пространство Y того же типа. Рассмотрим уравнение
9(х)
= 0.
(1)
Предположим, что уравнение (1) имеет некоторое неособенное решение хк
(т. е. существует [ср' (£*)]~1), и известно приближённое решение а таш е,
что норма ||ср(а)|| достаточно мала.
Наложим на о условия, обеспечивающие существование оператора Ф,
обратного ср. Из теоремы о неявных функциях [6] вытекает следующая
Т е о р е м а . Если задана функция р = ср (а), такая, что
1) <р(х*) = 0;
2) ср к раз дифференцируема в смысле Фреше (или аналитическая) й
^окрестности точки х*\
И*
164
М. И. НЕЧЕПУРЕНКО
3) в ^-окрестности производные <?'(а) и ср" (а) непрерывны и ограничены
~по~норме;
4) существует Г(х*) = [ср' (ж*)]"1 (вследствие непрерывности ср'(а) огге~
ратор Г (а) определён для всех а ггз ^-окрестности х* и || Г (а) | | < В ) ,
то существует а = Ф(Р), к раз дифференцируемая (или, соответственно,
аналитическая) в некоторой ^^-окрестности нуля.
Пусть а таково, что || <? (а) || < т0 и || а — х* || < £. Тогда имеет смысл
разложение:
оо
ж *= Ф (о)=Ф(р-р)=2Ц
!1 1
- ф ( 0 (?)Р'=
i=0
^а-ф-(Р)т(а) + Ф ' , ( 32!) ^ ( а ) ! 2 - Ф ' , ' (3!У ( а ) ! 8 + - - Выражая Ф^ ((3) через ср О') (а), получим следующие пять первых членов
ряда:
я* = а - Г„ср (а) - 1 Г а? " (а) [Г, ? (а)]» - 1 Г»?" (а) Г е? " (а) [Г в? (а)]2 Г (а) ср (а) + i Г,<р'" (а) [ 1 > (а)]» +
+ 1 Г/f" (а) Г в ? ' " (а) [1>р (а)]» Гаср (а) -
+ | г в « р ' " (а) 1 > " (а) [Г, ? (а)]* [Г в? (а)]2 -
- 4г«?" (а) (г (*) <?* («) [г»? (а)]2)2 - 4 r ^ I V (a> 1Г«? wi 4 +••••;
здесь Г а = Г ( а ) .
Первые два члена ряда дают известный метод Ньютона приближённого
решения уравнений
где Гп = Г(я п ).
Три первых члена дают быстро сходящийся алгоритм;, впервые получен­
ный (в связи с указанным рядом) П. Л. Чебышевым:
*п+1 = Хп - Г п? (*п) - у J п?" (*п) [ [ > ( П Р ­
ЕСЛИ ограничиться первыми /г членами ряда, то, как известно,
а„=
п-1
* - 2 Цг ф(0 (?) & (*>]' I < т!г S U P и ф(п) (Р) в ( а >г II>
х
где р = &р и 0 < f r < l . Выражая Ф (п) в правой части неравенства через cp(i)
и взяв все ср(' с аргументом у, для которого ср (у) = &ср (a), получаем оценку
для 8П. Нахождение области, в которой лежат f> представляет единствен­
ную трудность в применении этой оценки.
О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
165
Заметим, что так как у является одним из корней уравнения
Ф(Т) = ? ( Т ) - Ж * ) = 0,
(2)
то по теореме, доказанной Л. В. Канторовичем [2], найдём, что
ф<*>(т) = Т<«>(т). ф( а ) = т ( а ) - » ? ( а ) = ( 1 - » ) ? ( а ) , и следовательно,
llT_e|l<i^]OEfSE!:)1|0<bzj^llei
"О
;
"О
где
||Г(а)||<50,
ЦГ(а)ср(а)||<-г)0,
\\<?" (х)\\<К.
§ 2. Метод Чебышева в пространстве типа В
Пусть X — полное нормированное типа В. ср преобразует X в простран­
ство Y того же типа. Рассмотрим уравнение
(1)
Т (х) = 0,
где ср дважды дифференцируема в смысле Фреше. Имеет место
Т е о р е м а . Если
1) для оператора ср' (гг0) имеется обратный Г0 и при этом | | Г 0 | | < 5 0 ;
2) элемент х0 приближённо удовлетворяет (1): || Г0<р (х0) || <т}0;
3) || ср" (х) || <iv в используемой области, определяемой неравенством (3)1
i)B0yl0K=h0<Y^u
5) 8о = ^о ( 1 + ~у) ( w a основании 4) g0 < -^ J ,
иго уравнение (1) имеет решение х*9 которое может быть найдено при
помощи алгоритма Чебышева. Быстроту сходимости можно оценить нера­
венством
\\хп-х*\\<Ц0,ГоГ(Ъ§0)2П-*
(l+^)^l0,
(2)
я о 256
вдеЬ
= ж .
По теореме, доказанной Л. В. Канторовичем [2], при наложенных на ср
условиях решение х* уравнения (1) существует и единственно в области
\х-хо\\<
14-1/4 ~2ht
-ТГ0
Ч>
причем
l^-^iK1-^1-^^,
(3)
Поэтому вопрос о существовании и единственности решения здесь не затра­
гивается.
Приводимое далее доказательство не совершенно: ойо даёт очень гру­
бую оценку при сильных условиях, наложенных на ср; но и при этом
видно, что метод Чебышева имеет порядок сходимости по крайней мере
тот же, что и метод Ньютона, и близок, как показывает практика, к методу
166
М. И. ИЕЧЕИУРЕНКО
касательных гипербол [3], [4]:
Х
п\1 =
Х
п -
[ ! - ~2 Г п ? " (Хп) Г п ? (Хп) ]
Г
п¥ W
•
Так,
для уравнения xlg10x — 4,7772393 — 0 с .т0 = 6 и решением
ж* = 6,089114... метод касательных гипербол даёт ^ = 6,089112...,
а метод Чебышева (метод касательных парабол) хх = 6,089113...; для
уравнения х3 — 2х — 5 = 0 оба метода дают верных шесть первых десятич­
ных знаков. Вместе с тем следует указать, что в применении к функцио­
нальным уравнениям метод Чебышева более прост, так как нахождение
/ — -тт Гп<р"(.гп) Гп®(хп) J
связано с большими трудностями.
Введём в рассмотрение константу ?0, оценивающую сверху норму
х
II г
х
о \\ •
II *i - *о II = II Го? Ы + 1 Г0?" (*о) [Го? К ) ] 2 II <
<7104-
Y5OA'T(;-=1O(1+-2?)-EO.
Одновременно получаем, что gQ = BQKZ0.
Покажем, что при переходе от х0 к х1 сохраняются все условия, нало­
женные на ср в х0.
Следуя [2], введём в рассмотрение оператор Н:
i\ = W (^)Г1 = U + го (?' (*i) - ?' (^о))]'1 г0 = #г 0 .
Так
как || Г 0 ( ? ' (хх) — <?' (х0)) \\<B0KtQ = g0 < 1,
1
[| Н || < 1
; поэтому существует 1\ и
то Н
существует
и
Для нахождения т^ необходимо оценить сверху || I^cp (хг) ||:
. .Ц1\у(.г 1 )||^||яг 0? (^)|.< ,|Г ;!. ( ^ ) " •
Строим функцию
F0 (х) = х- Г 0 ? (х) - 1 Г 0? " (*0) [Г 0? (х0)]*.
Замечаем, что x1 = F0(x0)J
Поэтому
F'0(x0) =.•/ — Г0ср' (х0) = 0 и F'0' (х)= — Госр"0Ф
II Г0? (хг) || = || F0 (х,) - * , + 1 Г0?" (*„) [Г0? (*0)]21| <
Отсюда
- Л ^ж? С^а> II <
А
ьо
Далее,
|l^-*illOji+y5i^f<^_<||g050=Vo5o-5i.
Для g1 имеем:
в - Б К1 <-JE^M—
__rf_ < 16 ^ 1
О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
167
Следовательно,
/4<]/l + 2.l_t = j / | _ 1 .
Таким образом, для ср в хг соблюдены все условия, аналогичные усло­
виям в xQ. Имеется возможность продолжать определение элементов хп
и чисел Вп, 7]л, £п, hn, gn дальше. При этом
К = ^iffn-l^n-l = - - . = ^ g n - l £ n - 2 ' ' ' So&0-
А так как
ТО
е
< - Я 2 п - 1 г ? 2 п _ (^Уо)2>г
Отсюда
^<*"^Ч-+,ГЧ-(0,75Г(>й)>-»6„
II *„ - *П+Р |1< *„ + Wi + • • • + W i < (^оГ-^о "§ (0,75)"+' =
= 4 (»g0)2»-i [(0,75)" - (0,75)»+"] So.
Этим доказаны существование предела lim ж„ = ж* и неравенство (2).
п->оо
Отметим, что если
sup
||ср'(;)||</ и для всех ^ из (3) (на
е=ж,+»(х*-жэ),
о^ *< 1
основании доказанного в § 1) || Г( т )|| < Б , |jcp" ( т ) || < if, | | ? ' " ( T ) I I < L » то мож­
но судить о точном порядке сходимости метода Чебышева. Действительно,
IIЧ - х* II = II j
г
(Т) ?" (Т) Г (т) ?" (Т) [Г (Т) ? (*о)12Г (Т) ? (*о) ~
-4 г (т)?"'(т)[1Чт)тК)] 3 11<
< £ ( 3 5 ^ + L) [sup || ср' (£) ||]« || х* - х01|» =
= ^(3B^-bL)7»||z*-x 0 ||».
Отсюда
2
| | x n - ^ | | < [ ^ ( 3 5 ^ + L)/»]
\\х*-х0\Г.
Если введённые константы удовлетворяют условиям теоремы [2], то
j^C-vh^)s\r,
1К-**11 < [%(звк* + ь)
где
^о>ИГо?(^о)1|. К =
ВК
Ъ-
168
М. И. НЕЧЕПУРЕНКО
§ 3. Алгоритмы Ньютона и Чебышева для обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка
Рассмотрим уравнение
<Р(*) = 5 ? - / ( ' , * ) = 0;
(П
здесь х — неизвестная функция действительного переменного £. Считаем,
что Ф, обратный ср, имеет значения в подпространстве непрерывных на
некотором интервале (г0, Т) функций, удовлетворяющих условию х(t0) = x0.
Пусть на [t0, Т] известно приближённое решение a(t) ^ x(t), такое,
что ср(ос) сохраняет на [/0, Т] знак и a(t0) = x0, oL'(t0) = x'0. В этом случае
согласно [5] на всём интервале выполняется одно из следующих неравенств:
oi(t)>x(t),
если
ср(а)>0,
а (/)<#(/),
если
ср(а)<0.
или
Одновременно с уравнением (1) рассмотрим уравнение
t
ty(x) = x(t) — xQ— { f(t, x)dt = 0.
to
Простые вычисления показывают, что
Г
ф(0(а)А*=(
Г
h(t)—\fa(t,a)h(t)dt
(0
для
г = 1;
(
\ f[V(t, ^)hl(l)dt
для г > 1.
to
t
Так
как
ф'(ос)/г = /г(/) — \ f'a{t, a)h(t)dt = g(t)
и,
следовательно,
/г'(/) — /i(£, oi)h(t) = gf (t), то по формуле решения линейного уравнения
t
r ( a ) g = 6'o
t
[c+}g'{t)e
<o
dt\,
to
где
c=[r(a)g]t^i0.
Заметим, что если h = T(a)g
= W(z)h]t=to = k(to) = cТаким образом,
и g = Y(a)h,
t
r ( a ) g = e'o
то c = h(t0) и g{tQ) =
t
[ * ( / „ ) + $ * ' ( 0 е '"
*J
< 2)
или, преобразовав,
! /I* '
-I />
(3)
О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА
ДЛЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
169*
Из (3) убеждаемся, что T(cn)g есть непрерывный оператор. Пользоваться
в дальнейшем удобнее выражением (2). Так как ф (а)/==/о — a (ttJ) — х0 = О, то
нетрудно показать, что метод Чебышева для приближённого решения диф­
ференциальных уравнений имеет вид:
/
t
*n+i = * n - * ' o
^
e
*o
<?(xn)dt +
to
t
\ f'x dt
t
t
\ f'x dt
*o
t
_ ] * j'x
l
dt
to
Два первых члена в правой части дают метод Ньютона (впервые при­
менённый к дифференциальным уравнениям С. А. Чаплыгиным).
Найдём оценки для остаточных членов способом, указанным в § 1,
Д л я f имеем ф(^) = &ф(ос) или, развёрнуто,
t
t
f{t,t)dt=-b*(t)-K-*\f{t>a)dt
Т(0 —То~ 5
to
to
или
•г'(0 - / С т)-»«'(') + »/(',«) = о,
?(7)-»?(«) = 0.
Это—обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. На осно­
вании [5] решение, проходящее через (/0, х0), заключено между а и хг.
так как величины
<р(а)-»?(а) = ( 1 - » ) ? ( а ) ,
ср (#) — 8ср (а) = — &ср (а)
противоположны по знаку.
Если известно, кроме а, ещё а1У между которыми заключено х (будем,
записывать х£[а . . . ах]) и для ах выполнено начальное условие, то f за­
ключено тем более между а и ах (и для f также выполнены начальные
условия). Подставив -j в (/г+1)-й член разложения и взяв sup среди все­
возможных таких 7, получим удобную оценку погрешности. Пусть / такова,
что Т— t0 = a; max j \ — M\ min f^ = mf max \f\'2\=K;
max |/тУ|=.йГ;.
Tf6[*...ei]
max
тб[«... «i]
t
1f£h...«ll
T6L«...«l]
Tf6[«...eri]
*
*
*
*
J /"3' I = Лт, и пусть || &n || и || Дч || — соответственно погрешности мето-
дов Ньютона и Чебышева, а так как
ЦДн||<||!Г(т)?"(т)111|Г(7)?(а)||2,
1|Дч||<[|-||Г( т ) Т '( т )||»+1||г( т )«р'"(т)1|]||г(т)?(«)|| 3 ,
170
М. И. НЕЧЕПУРЕНКО
и, как нетрудно проверить,
т
llr(7)?(*)|l<ea(M-m>5[c?(a)!^'
(о
r
a
il (T)?"(7)ii< ^o(M-m)>
11 г (l) ? ' " (Т) !| < a^Ve0 (АГ-™>,
Ш!<^еЗа<м-*»>[$|?(а)|л]а .
k
Ш\<а1™+т
е*ш^[1\9{*)\*]я.
to
Если при помощи введённых констант провести оценку способом,
указанным в [2], то получим для метода Ньютона оценку менее точную
в четыре раза:
т
\\Ьн\\к2аКе*а№-т)\
^ | ? (a)|tf* j 2 .
В качестве иллюстрации найденных оценок рассмотрим пример, ра­
зобранный С. А. Чаплыгиным в [5]. Решается уравнение
£ + *»-/« = 0.
Функции а = -~
и
ах = 0 ограничивают решение соответственно сверху и
снизу на интервале [t^, Т]:=[0, 1]. Простые вычисления показывают, что
т
1
С
1
а—1; М~0\ т——77, К— 2, iV = 6; \ cp(a)cfa = — ; следовательно,
1
II Дн || < W ' W ^ 7 T i ) r < 0,000042;
II Дч I! <
l(3
" 1 b 2 ^ 6 ) e* ^
W i
< 0,0000004.
В заключение считаю долгом выразить благодарность аспиранту
Ю. П. Кривенкову, замечаниями и советами которого я руководствовался.
Поступило в редакцию 15 октября 1953 г.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] П. Л. Ч е б ы ш е в , Собр. соч. V, АН СССР, М.—Л., 1951, 7—25.
[2] Л . В . К а н т о р о в и ч , О методе Ньютона для функциональных уравнений, ДАН
СССР 59, № 7 (1948), 1237—1240.
[3] Г. С. С а л е х о в, О сходимости процесса касательных гипербол, ДАН СССР 82,
№ 4 (1952), 525—526.
[4] М. А. М е р т в е ц о в а, Аналог процесса касательных гипербол для общих функ­
циональных уравнений, ДАН СССР 88, № 4 (1953), 611—614.
[5] С.А. Ч а п л ы г и н , Новый метод приближённого интегрирования дифференциаль­
ных уравнений, Гостехиздат, 1950
[6] Л. А. Л ю с т е р н и к и В. И. С о б о л е в , Элементы функционального анализа,
Гостехиздат, 1951, 316—321.