Задание 1. Исследовать все ситуации игры на равновесие по

Задание 1.
Исследовать все ситуации игры на равновесие по Нэшу.


1,4 0,2 
3,4 5,3
Решение:
1) x 11 =( x1I ; x1II )
1
1
K 1 ( x I ; x II )=1 ,
K 2 ( x 1I ; x 1II )=4
K 1 ( x 2I ; x1II )=3 ,
K 2 ( x 1I ; x 2II )=2
1>3(не верно) ,
4>2(верно)
x 11 =( x1I ; x1II )−не NE
2) x 12 =( x1I ; x 2II )
1
2
K 1 ( x I ; x II )=0 ,
1
2
K 2 ( x I ; x II )=2
2
2
K 1 ( x I ; x II )=5 ,
K 2 ( x I ; x II )=4
1
1
0>5( не верно) ,
2>4(не верно)
x 12 =( x1I ; x 2II )−не NE
3) x 21=( x 2I ; x 1II )
2
1
K 1 ( x I ; x II )=3 ,
1
1
K 1 ( x I ; x II )=1 ,
3>1(верно) ,
2
1
K 2 ( x I ; x II )=4
2
2
K 2 ( x I ; x II )=3
4>3(верно)
x 21=( x 2I ; x 1II )− NE
4) x 22=( x 2I ; x 2II )
2
2
K 1 ( x I ; x II )=5 ,
K 1 ( x 1I ; x 2II )=0 ,
2
2
K 2 ( x I ; x II )=3
K 2 ( x 2I ; x 1II )=4
5>0(верно) , 3>4 (не верно)
x 11 =( x1I ; x1II )−не NE
Ответ: ситуация x 21=( x 2I ; x 1II ) является равновесной по Нэшу.
Задание 2.
Найти все максиминные и минимаксные стратегии игроков, нижнюю и
верхнюю цену игры; указать все ситуации равновесия и решение игры.
Решение:
min a i j
(
max a i j
0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3
) }
1
4
10
1
max min a ij =10
ν=10, i=3
10
18 40 17
⏟
min max a ij =10
ν=10, j=1
Так как ν = ν , ситуация равновесия существует
Решение (цена) игры: ν =10 ,
(3; 1) — ситуация равновесия.
Ответ: max min a ij =ν=10 , min max a ij =ν=10 , ν =10 , (3; 1) —
ситуация равновесия.
Задание 3.
Найти ситуацию равновесия и решение игры в смешанных стратегиях
графоаналитическим методом.
 
1 0
2 1
−3 5
Решение:
Второй игрок имеет две чистые стратегии, следовательно его
смешанная стратегия S B={q 1, q 2 } , где вероятности применения чистых
стратегий удовлетворяют соотношению: q 1+q 2=1 .
В соответствии с теоремой об активных стратегиях, оптимальная
смешанная стратегия обладает тем свойством, что обеспечивает игроку
максимальный средний выигрыш, равный цене игры  , независимо от
того, какие действия предпринимает другой игрок, если тот не выходит за
пределы своих активных стратегий. В частности, если игрок B использует
свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок A - свою чистую
активную стратегию Ai , то цена игры  равна :
(13)
a i 1⋅q 1+a i 2⋅q 2= ν
Учитывая, что q 2 =1−q 1 , получаем систему линейных уравнений с
двумя неизвестными q 1 и  :
{
1⋅q1 +0⋅(1−q 1 )=ν (1)
2⋅q 1+1⋅(1−q 1)=ν (2)
−3⋅q 1+5⋅(1−q 1 )=ν (3)
Построим графическое изображение данной игры в координатах q 1 и
 . Первой чистой стратегии игрока А будет соответствовать прямая
ν(q1 ; 1) , второй — прямая ν(q1 ; 2) , третьей - прямая ν(q1 ; 3) .

5

(p1; 3)
min max
2
(p1; 2)
0
 (p1; 1)
1
1
q1
-3
Верхняя огибающая семейства кривых будет соответствовать функции
максимальных значений выигрыша ν(q1 ) . Точка, в которой достигается
минимум
функции
ν(q1 ) при
q 1 ∈[0 ; 1] дает
требуемый
набор
активных стратегий игрока B (q1 ; 1−q1 ) и цену игры  . Координаты
точки вычисляются аналитически решением системы двух уравнений,
соответствующих активным стратегиям
2 и
3
игрока A (прямым,
пересекающимся в точке минимакса):
{
2⋅q 1+1⋅(1−q 1)=ν (2)
−3⋅q1+5⋅(1−q 1 )=ν (3)
2⋅q1+1⋅(1−q 1 )=−3⋅q 1+5⋅(1−q 1)
2⋅q1+1−q 1=−3⋅q1 +5−5 q1
q 1+8q 1=5−1
q 1=
4
4 5
, q 2 =1− =
9 9
9
S B=
ν=
{ }
4 5
;
9 9
2⋅4 1⋅5 13
+
=
9
9
9
Так как стратегии 2 и 3 игрока А являются активными, то
p 3≠0 , а стратегия 1 не является активной и
p 2≠0 и
p1 =0 .
Для нахождения смешанной стратегии игрока А ( S A={ p1, p 2, p 3 } )
составим систему уравнений:
{
1⋅p 1+2⋅p 2−3⋅p 3= ν
0⋅p 1+1⋅p 2+5⋅p 3= ν
Учитывая, что p1 =0 и p 3=1− p 2 , получим
{
2⋅p 2−3⋅(1− p 2 )= ν
1⋅p 2+5⋅(1− p 2)=ν
2⋅p 2−3+3⋅p2 =1⋅p 2+5−5⋅p 2
5⋅p 2 +4⋅p2 =5+3
p 2=
8
8 1
, p 3=1− =
9
9 9
{
}
8 1
S = {0 ; , } ,
9 9
8 1
S A= 0 ; ,
9 9
Ответ:
A
S B=
{ }
4 5
;
9 9
, ν=
13
.
9