Обратная задача для дифференциального уравнения с

Обратная задача для дифференциального уравнения
при неограниченной погрешности исходных данных
Меньшиков Ю.Л.
Днепропетровский национальный университет, г. Днепропетровск, Украина
Рассматривается задача определения правой части (неоднородности) обыкновенного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по по результатам обработки
частного решения этого уравнения, которое задано в виде графика с некоторой априори заданной
погрешностью в пространстве непрерывных функций. Иногда такие задачи называются задачами
идентификации внешних воздействий [1,2].
Задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра первого рода с приближенно
заданной правой частью. Если частное решение соответствует случаю ненулевых начальных
условий, то в правой части интегрального уравнения будут входить слагаемые, содержащие
производные различных порядков от заданного частного решения в начальный момент времени.
Погрешность указанных производных нельзя оценить и ее необходимо принимать равной
бесконечности. Будем называть эту погрешность неконтролируемой [3]. Если эта погрешность
равна нулю, тогда может быть использован алгоритм регуляризации А.Н.Тихонова с целью
получения устойчивого приближенного решения [4]. При этом верхняя оценка точности такого
решения находится с использованием априорной информации о множестве возможных решений .
Эта оценка в наиболее типичных случаях составляет приблизительно 100% – 1000% [5].
Если неконтролируемая погрешность не равна нулю, тогда погрешность правой части уравнения
идентификации равна бесконечности. В работе показано, что в этом случае решение задачи
идентификации добавляются слагаемые, которые представляют собой производные различных
порядков от дельта-функции.
Предлагается несколько методов устранения негативного влияния неконтролируемой погрешности
на приближенное решение. Одним из таких методов является метод предварительной фильтрации
приближенного частного решения с использованием полиномов Лежандра. После фильтрации
погрешность правой части становится конечной и возможно далее использовать регуляризацию
А.Н.Тихонова.
Для иллюстрации метода выполнен тестовый расчет задачи нахождения правой части
обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Метод предварительной
фильтрации исходных данных показал свою эффективность.
Литература
1. Mеньшиков Ю.Л. Идентификация внешних воздействий при минимуме априорной информации:
постановка, классификация и интерпретация.– Вестник Киевского нац. университета, Математика,
2, Киев, 2004, с.310-315.
2. Mеньшиков Ю.Л., Наконечный А.Г. Построение моделей внешних воздействий для систем
управления. Проблемы управления и информатики, Киев, 4, 2005, с.25 -35.
3. Mеньшиков Ю.Л. Неконтролирумая погрешность в обратных задачах. – Вестник Днепропетр.
унив-та .Математика, Днепр –вск, 1999, вып. 4, с. 60–68.
4. Тихонов А.Н., Арсение В.Я. Методы решения некорректных задач. – М:. Наука, 1979, 288с.
5. Mеньшиков Ю.Л. Оценка погрешности регуляризованного решения задачи синтеза и
распознавания внешних воздействий. – Вестник Днепропетр. унив-та .Математика, Днепр –вск,
2001, вып. 6, с. 84–93.