Рихард Курант УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
advertisement
Рихард Курант УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода Предисловие к русскому изданию Предисловие Глава I. Вводные замечания § 1. Общие сведения о совокупности решений 1. Примеры 2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функций § 2. Системы дифференциальных уравнений 1. Вопрос об эквивалентности системы дифференциальных уравнений 2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоянными коэффициентами 3. Определенные, переопределенные, недоопределенные системы § 3. Методы интегрирования некоторых специальных дифференциальных уравнений 1. Разделение переменных 2. Построение других решений посредством суперпозиции, фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона § 4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными. Полный интеграл 1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка 2. Полный интеграл 3. Особые интегралы 4. Примеры § 5. Теория линейных и квазилинейных уравнений первого порядка 1. Линейные дифференциальные уравнения 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения § 6. Преобразование Лежандра 1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных 2. Преобразование Лежандра для функций n переменных 3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным уравнениям в частных производных § 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 1. Введение и примеры 2. Сведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений 3. Определение производных вдоль начального многообразия 4. Доказательство существования решений аналитических дифференциальных уравнений 5 9 11 15 16 16 21 24 24 27 28 30 30 32 34 34 36 37 38 40 40 42 43 43 46 46 50 50 54 57 58 4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях 63 4б. Замечание о неаналитических дифференциальных уравнениях 64 5. Замечания о критических начальных данных. Характеристики 64 Приложение 1 к главе I. Дифференциальное уравнение Лапласа для опорной 66 функции минимальной поверхности Приложение 2 к главе I. Системы дифференциальных уравнений первого 67 порядка и дифференциальные уравнения высших порядков 1. Эвристические соображения 67 2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в частных 68 производных первого порядка и дифференциального уравнения второго порядка Глава II. Общая теория дифференциальных уравнений с частными 71 производными первого порядка § 1. Геометрическая теория квазилинейных дифференциальных уравнений с 71 двумя независимыми переменными 1. Характеристические кривые 71 2. Задача Коши 73 3. Примеры 75 § 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п независимыми 78 переменными § 3. Общие дифференциальные уравнения с двумя независимыми 84 переменными 1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус Монжа 84 2. Решение задачи Коши 88 3. Характеристические кривые как элементы ветвления. Дополнительные 91 замечания. Интегральный коноид. Каустики § 4. Полный интеграл 93 § 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа 95 § 6. Примеры 97 97 1. Дифференциальное уравнение световых лучей ( grad u ) 2 = 1 100 2. Уравнение F (u x , u y ) = 0 3. Дифференциальное уравнение Клеро 4. Дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей 5. Соотношение однородности § 7. Общее дифференциальное уравнение с п независимыми переменными § 8. Полный интеграл и теория Гамильтона—Якоби 1. Построение огибающих и характеристические кривые 2. Канонический вид характеристических дифференциальных уравнений 3. Теория Гамильтона — Якоби 4. Пример. Задача двух тел 5. Пример. Геодезические на эллипсоиде § 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление 101 103 104 105 111 111 113 115 117 118 120 1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде 2. Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производные. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби 3. Однородные подинтегральные функции 4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби 5. Конус лучей. Конструкция Гюйгенса 6. Инвариантный интеграл Гильберта для представления эйконала 7. Теорема Гамильтона и Якоби § 10. Канонические преобразования и их приложения 1. Каноническое преобразование 2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби 3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений) Приложение 1 к главе II § 1. Дальнейшее изучение характеристических многообразий 1. Замечания о дифференцировании в пространстве n измерений 2. Задача Коши. Характеристические многообразия § 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой главной частью. Новое построение теории § 3. Доказательство теоремы единственности Хаара Приложение 2 к главе II. Теория законов сохранения Глава III. Дифференциальные уравнения высших порядков § 1. Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка с двумя независимыми переменными 1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические виды. Смешанные типы 2. Примеры 3. Канонический вид квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными 4. Пример. Минимальные поверхности 5. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка § 2. Общая классификация и характеристики 1. Обозначения 2. Системы первого порядка с двумя независимыми переменными. Характеристики 3. Системы первого порядка с п независимыми переменными 4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гиперболичность 5. Дополнительные замечания 6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака § 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1. Канонический вид и классификация уравнений второго порядка 121 123 126 128 132 132 134 135 135 136 137 138 138 138 141 146 151 153 159 159 160 165 168 171 173 174 174 175 177 178 180 180 184 184 2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка 3. Плоские волны 4. Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия 5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны в кабелях 6. Цилиндрические и сферические волны § 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения 1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобразование тетафункции 2. Задача Коши для волнового уравнения 3. Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздывающие потенциалы 3a. Принцип Дюамеля для систем первого порядка 4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве. Метод спуска 5. Задача излучения 6. Явления распространения и принцип Гюйгенса § 5. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 1. Метод Коши применения интеграла Фурье 2. Пример 3. Обоснование метода Коши § 6. Типичные задачи для уравнений математической физики 1. Вводные замечания 2. Основные принципы 3. Замечания о «некорректно поставленных» задачах 4. Общие замечания о линейных задачах Приложение 1 к главе III § 1. Лемма Соболева § 2. Сопряженные операторы 1. Матричные операторы 2. Сопряженные дифференциальные операторы Приложение 2 к главе III. Теорема единственности Гольмгрена Глава IV. Теория потенциала и эллиптические дифференциальные уравнения § 1. Основные понятия 1. Уравнения Лапласа и Пуассона и связанные с ними уравнения 2. Потенциалы распределения масс 3. Формула Грина и ее применения 4. Производные потенциалов распределения масс § 2. Интеграл Пуассона и его приложения 1. Краевая задача и функция Грина 2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и полупространства 3. Следствия формулы Пуассона 187 190 192 196 197 200 201 204 205 208 208 210 211 213 213 215 218 224 224 228 232 233 234 234 236 236 238 239 242 242 242 247 253 259 262 262 265 269 § 3. Теорема о среднем значении и ее приложения 1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного уравнения 2. Обращение теорем о среднем значении 3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных распределений 4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических уравнений § 4. Краевая задача 1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от граничных значений и от области 2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего метода Шварца 3. Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно гладкой границей 4. Замечания о граничных значениях 4а. Емкость и выполнение граничных условий 5. Метод субгармонических функций Перрона § 5. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние 1. Предмет изложения 2. Условие излучения Зоммерфельда 3. Рассеяние § 6. Краевые задачи для более общих эллиптических уравнений. Единственность решения 1. Линейные дифференциальные уравнения 2. Нелинейные уравнения 3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения Монжа—Ампера 4. Принцип максимума и его применения § 7. Априорные оценки Шаудера и их приложения 1. Оценки Шаудера 2. Решение краевой задачи 3, Сильные барьеры и их приложения 4. Некоторые свойства решений уравнения L[u ] = f 6. Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; поведение вблизи границы § 8. Решение уравнений Бельтрами § 9. Краевая задача для некоторого специального квазилинейного уравнения. Метод неподвижной точки Лере — Шаудера § 10. Решение эллиптических дифференциальных уравнений с помощью интегральных уравнений 1. Построение частных решений. Фундаментальные решения. Параметрике 2. Дальнейшие замечания Приложение к главе IV. Нелинейные уравнения 276 276 277 284 286 290 290 293 298 302 304 306 312 312 313 317 319 319 321 322 324 329 330 334 339 342 345 348 355 360 361 365 365 1. Теория возмущений 2. Уравнение ∆u = f ( x, u) Дополнение к главе IV. Теоретико-функциональная точка зрения на эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными § 1. Определение псевдоаналитнческих функций § 2. Одно интегральное уравнение § 3. Принцип подобия § 4. Приложения принципа подобия § 5. Формальные степени § 6. Дифференцирование и интегрирование псевдоаналитических функций § 7. Пример. Уравнения смешанного типа § 8. Общее определение псевдоаналитических функций § 9. Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении § 10. Одна нелинейная краевая задача § 11. Обобщение теоремы Римана об отображениях § 12. Две теоремы о минимальных поверхностях § 13. Уравнения с аналитическими коэффициентами § 14. Доказательство теоремы Привалова § 15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке Глава V. Гиперболические дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными Введение § 1. Характеристики дифференциальных уравнений ( в основном второго порядка) 1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения 2. Характеристики на интегральных поверхностях 3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распространение разрывов 4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка 5. Дифференциальные уравнения высших порядков 6. Инвариантность характеристик при преобразовании координат 7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка § 2. Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем первого порядка 1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы 2. Случай k=2. Линеаризация с помощью преобразования годографа § 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости 1. Одномерное изэнтропическое течение 2. Сферически симметричное течение 3. Стационарное безвихревое течение 4. Системы трех уравнений для неизэнтропического течения 366 367 372 373 375 376 380 383 384 387 389 390 393 397 398 399 400 401 405 405 406 406 412 414 417 419 421 421 422 422 425 426 427 429 430 431 5. Линеаризованные уравнения § 4. Единственность. Область зависимости 1. Области зависимости, влияния и определенности 2. Доказательство единственности для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 3. Общая теорема единственности для линейных систем первого порядка 4. Единственность для квазилинейных систем 5. Энергетические неравенства § 5. Представление решений в форме Римана 1. Задача Коши 2. Функция Римана 3. Симметрия функции Римана 4. Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на задачи более высокого порядка 5. Примеры § 6. Решение задачи Коши для линейных и почти линейных гиперболических уравнений с помощью итераций' 1. Построение решения уравнения второго порядка 2. Обозначения и результаты для линейных и почти линейных систем первого порядка 3. Построение решения 4. Замечания. Зависимость решений от параметров 5. Смешанные начальные и граничные задачи § 7. Задача Коши для квазилинейных систем § 8. Задача Коши для одного гиперболического дифференциального уравнения высшего порядка 1. Сведение к характеристической системе первого порядка 2. Представление оператора L[u ] через характеристики 3. Решение задачи Коши 4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара 5. Замечания § 9. Разрывы решений. Ударные волны 1. Обобщенные решения. Слабые решения 2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы сохранения. Ударные волны Приложение 1 к главе V. Применение характеристик в качестве координат § 1. Дополнительные замечания относительно общих нелинейных уравне1. Квазилинейное дифференциальное уравнение 2. Общее нелинейное уравнение § 2. Исключительный характер уравнения Монжа-Ампера § 3. Переход в комплексной области от эллиптического оператора к гиперболическому 433 435 435 437 442 445 446 446 447 447 451 452 453 458 458 460 462 467 467 472 474 476 477 479 480 482 482 482 484 487 487 487 491 492 495 § 4. Аналитичность решений в эллиптическом случае 1. Замечание из теории функций 2. Аналитичность решения уравнения ∆u = f ( x, y , u, p, q) 3. Замечание об общем дифференциальном уравнении F ( x, y, u, p, q, r, s, t ) = 0 § 5. Применение комплексных переменных для продолжения реПриложение 2 к главе V. Нестационарные задачи и операционное исчисление Хевисайда § 1. Решение нестационарных задач с помощью интегральных представлений 1. Пример явного решения. Волновое уравнение 2. Общая формулировка задачи 3. Интеграл Дюамеля 4. Метод суперпозиции экспоненциальных решении § 2. Операторный метод Хевисайда 1. Простейшие операторы 2. Примеры операторов и приложения 3. Приложение к уравнению теплопроводности 4. Волновое уравнение 5. Обоснование операторного исчисления § 3. Общая теория нестационарных задач 1. Преобразование Лапласа 2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа 3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения Глава VI. Гиперболические уравнения со многими независимыми переменными Введение Часть I. Единственность, построение и геометрические свойства решений § 1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Геометрия характеристик 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго порядка 2. Линейные дифференциальные уравнения 3. Лучи или бихарактеристики 4. Характеристика как фронт волны 5. Инвариантность характеристик 6. Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей 7. Связь с римановой метрикой 8. Двойственные преобразования 9. Построение фронта волны по Гюйгенсу 10. Поверхности пространственного типа. Направления временного типа § 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик 1. Разрывы второго порядка 2. Дифференциальное уравнение на характеристической поверхности 497 497 497 511 501 503 504 504 507 507 510 513 513 516 520 522 523 530 530 533 539 544 544 545 545 545 550 551 553 555 556 558 559 562 563 563 564 566 3. Распространение разрывов по лучам 4. Пример. Решение задачи Коши для волнового уравнения с тремя пространственными переменными § 3. Геометрия характеристик для операторов высших порядков 1. Обозначения 2. Характеристические поверхности, формы и матрицы 3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей. Характеристические нуль-векторы и собственные значения 4. Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи, конус лучей, коноид лучей 5. Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и поверхность нормалей 5а. Пример 6. Свойства инвариантности 7. Гиперболичность. Многообразия пространственного типа, направления временного типа 8. Симметрические гиперболические операторы 9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков 10. Кратные характеристические поверхности и приводимость 11. Лемма о бихарактеристических направлениях § 3а. Примеры. Гидродинамика, кристаллооптика, магнитная гидродинамика 1. Введение 2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики 3. Кристаллооптика 4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей 5. Задача Коши для уравнений кристаллооптики 6. Магнитная гидродинамика § 4. Распространение разрывов и задача Коши 1. Введение 2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Уравнение переноса 3. Разрывы начальных значений. Введение обобщенных функций. Бегущие волны 4. Распространение разрывов для систем первого порядка 5. Характеристики постоянной кратности 5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем одного измерения. Коническая рефракция 6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши 6а. Характеристические поверхности как фронты волны 7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на волны 8. Системы второго и высших порядков 567 569 571 571 573 575 577 579 582 583 583 587 588 590 591 593 593 594 597 599 603 606 611 611 612 614 618 620 621 622 626 626 626 9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны § 5. Колеблющиеся начальные значения. Асимптотическое разложение решения. Переход к геометрической оптике 1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка 2. Построение асимптотических решений 3. Геометрическая оптика § 6. Примеры теорем единственности и области зависимости для задачи Коши 1. Волновое уравнение λ 2. Дифференциальное уравнение utt − ∆u − ut = 0 (уравнение Дарбу) t 3. Уравнения Максвелла в вакууме § 7. Области зависимости для гиперболических задач 1. Введение 2. Описание области зависимости § 8. Интегралы энергии и теоремы единственности для линейных симметрических гиперболических систем первого порядка 1. Интегралы энергии и единственность решения задачи Коши 2. Интегралы энергии первого и высших порядков 3. Энергетические неравенства для смешанных задач 4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка § 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 1. Введение 2. Энергетические тождества и неравенства для решений гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга 3. Другие методы § 10. Теорема существования 1. Введение 2. Теорема существования 3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса 4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемости 5. Замечания о квазилинейных системах 6. Замечания о задачах высших порядков и о несимметрических системах Часть II. Представление решений § 11. Введение 1. Общие понятия. Обозначения 2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на плоские волны § 12. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Задача Коши 2. Построение решения для волнового уравнения 628 629 629 630 634 636 636 639 640 642 642, 643 646 645 647 650 654 656 656 656 660 663 663 665 667 669 670 671 672 672 672 673 677 677 679 3. Метод спуска 4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса 5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля 6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка 7. Задача излучения § 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу 1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений 2. Связь с волновым уравнением 3. Задача излучения для волнового уравнения 4. Обобщенные бегущие сферические волны § 13а. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью сферических средних: § 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами 1. Общий метод 2. Применение к решению волнового уравнения § 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики и к другим уравнениям четвертого порядка 1. Решение задачи Коши 2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны § 15. Решение задачи Коши как линейный функционал от начальных данных. Фундаментальные решения 1. Описание. Обозначения 2. Построение функции излучения с помощью разложения δ-функции 3. Регулярность матрицы излучения 3а. Обобщенный принцип Гюйгенса 4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами частного вида. Теорема о лакунах 5. Пример. Волновое уравнение 6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка 7. Дальнейшие примеры. Случай двух независимых переменных. Замечания § 16. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения и общие дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении 2. Другое доказательство теоремы о среднем значении 3. Применение к волновому уравнению 4. Решение характеристической задачи Коши для волнового уравнения 5. Другие приложения. Теорема о среднем значении для софокусных эллипсоидов § 17. Задача Коши для многообразий непространственного типа 682 684 687 688 631 694 691 696 698 699 701 705 706 710 719 719 717 721 721 724 727 729 730 731 734 738 738 738 742 742 743 745 747 1. Функции, определенные с помощью средних значений по сферам с центрами на некоторой плоскости 2. Приложения к задаче Коши § 18. Замечания о бегущих волнах, передаче сигналов и принципе Гюйгенса 1. Неискажающиеся бегущие волны 2. Сферические волны 3. Излучение и принцип Гюйгенса Приложение к главе VI. Обобщенные функции или распределения § 1. Основные определения и понятия 1. Введение 2. Идеальные элементы 3. Обозначения и определения 4. Повторное интегрирование 5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма 6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций 7. Лемма об r-непрерывности 8. Некоторые вспомогательные функции 9. Примеры § 2. Обобщенные функции 1. Введение 2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов 3. Определение с помощью слабых пределов 4. Определение с помощью линейных функционалов 5. Эквивалентность. Представление функционалов 6. Некоторые выводы 7. Пример. Дельта-функция 8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций 9. Определенные интегралы. Конечные части § 3. Операции над обобщенными функциями 1. Линейные процессы 2. Замена независимых переменных 3. Примеры. Преобразование дельта-функции 4. Умножение и свертка обобщенных функций § 4. Дополнительные замечания. Модификации теории 1. Введение 2. Различные пространства основных функций. Пространство σ. Преобразования Фурье 3. Периодические функции 4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные нормы. Сильные определения 5. Замечание о других классах обобщенных функций Библиография 747 749 753 753 755 757 758 758 758 759 761 761 762 763 765 765 766 767 767 768 770 771 772 774 775 776 779 782 789 783 783 7У5 786 786 786 788 790 791 743 Предметный указатель 814 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Альтернирующий метод Шварца 293 Геодезическое расстояние 124, 128 Аналитичность гармонических Геометрическая оптика 634 Гиперболические квазилинейные функций 270 системы 670 Анизотропия 593 Асимптотические решения 630 Гипотеза Адамара 757 Барьер 310 Главная часть дифференциального Бегущая волна 617, 753 оператора 185, 572 — — относительно неискажающаяся Двойственная порождающая пара 385 617 Двойственное преобразование 557, — — плоская 192 559 Дисперсия 194 — — полная 617 Дифференциальное уравнение — — порядка N 617 — — сферическая 200, 699 Бельтрами 164 — — Гамильтона — Якоби 125, 128 Билинейная форма 763 —— Бихарактеристики (лучи) 551, 577 Дирака 182 Бихарактеристические направления 591 — — квазилинейное 16, 42 — — линейное 16, 40 — полосы 552, 577 — — Максвелла 182 Вектор нормальной скорости 554 — — Эйлера 121 — скорости в направлении луча 554 Ветвление интегральной Дифференциальный оператор гиперболический 193, 412, 418, поверхности 413 420, 549, 583 Внутренний дифференциальный — — параболический 185 оператор 410, 548, 563, 573, 575 Внутренняя полость конуса нормалей — — ультрагиперболический 185, 549, 673, 738 (сердцевина) 585, 643 — — эллиптический 161, 168, 191, — производная 140, 174 420 Волновая оптика 634 Волновое уравнение 549, 636, Емкость 304 Задача Коши 73, 80, 83, 88 670,678, 710, 742 — Плато 226, 227 Волны Альфвена 607 — плоские 190, 662, 673, 706 — Римана об отображении 227 Законы сохранения 485 — стоячие 197 Запаздывающий потенциал 207 — сферические 197, 775 Затухающие волны 195 — цилиндрические 197 Выводящая производная 140 Инвариантность характеристик 555, 583 Выпуклая оболочка конуса лучей 585 Инвариантность характеристических Гармонические функции 242 лучей 583 Геодезическая сфера 132 — — матриц 583 Инварианты Римана 455 Индекс инерции 549 Интеграл Дирихле 255 — Дюамеля 507, 545, 687 — Фурье 678 Интегральная поверхность дифференциального уравнения 16 — полоса 88, 408, 409, 546 — теорема для функций Бесселя 529 — формула Пуассона для полупространства 269 — — — — сферы 266 Интегральный коноид 92, 132 Интегралы энергии 437, 611, 636, 647, 654,660 Интенсивность излучения 691 Каноническая система дифференциальных уравнений 114, 117, 122 — форма вариационной задачи 122 Канонически сопряженные переменные 122 Канонический вид квадратичной формы 185 — — уравнения второго порядка 162 Каноническое преобразование 135 Каустическая поверхность 130 Каустические кривые 92, 98 Квазиконформное отображение 390 Коллинеация 557 Конечная часть расходящегося интеграла 734, 778, 780 Коническая рефракция 621 Коноид лучей 556, 559 Консервативный гиперболический оператор 647 Конус лучей 132, 556, 577 — — направленный вперед 557, 563, 584 — — — назад 558, 563, 584 — Монжа (локальный конус лучей) 35, 84, 556, 578 — нормалей 556, 563, 575, 577 Корректно поставленная задача 218, 230, 482 Кратные характеристические поверхности 590 Кривая временного типа 756 Лакуны 643, 717, 721, 730 Линза пространственного типа 644 Линии Маха 433 — тока 433 Линия ветвления 74 Лучи (бихарактеристики) 551, 577 Луч трансверсальный к фронту волны 554 Максимальное неотрицательное граничное пространство 652 Максимум-норма 463, 466, 761 Метод Бельтрами 570 — выметания Пуанкаре 296 — мажорант 60 — разделения переменных 31 — спуска 208, 682 — сферических средних 694 Многообразие полос 106, 141 Направление временного типа 559, 563, 583 Негативные нормы 790 Неискажающаяся волна 192 Неравенство Харнака 270 Нерегулярный рациональный оператор 515 Нижние (верхние) функции 308 Нормальная скорость 575, 576 — форма системы 424 Носитель функции 763 Нуль-векторы 574, 576, 588, 590, 612, 620, 730 Нуль-непрерывность функционала 764 r-непрерывность функционала 764 Область влияния 230, 436, 642 — зависимости 212, 230, 436, 636, 642, 717 — — в точном смысле 643, 721 — определенности 436, 636 Обобщенные решения 425, 665 — функции (распределения) 614, 676, 721, 758, 767 Обратный коноид зависимости 643 Однородные функции 24 Операторный метод Хевисайда 504 Опорные плоскости 561, 579, 580 Основные функции 762 Особое решение 37, 94 Ось Монжа 35, 72 Плоские средние значения 705 Поверхности Френеля 599 Поверхность вращения 23 — лучей 580, 581 Поверхность нормалей 575, 576 — нормальных скоростей (взаимная поверхность нормалей) 577, 581 — пространственного типа 549,563, 583 Подобные комплексные функции 376 Поле эстремалей 129 Полный интеграл 36, 93, 115 Полоса 85 Полугруппа 668 Порождающая пара псевдоаналитических функций 384 Порядок дифференциального уравнения 15 Последующая пара 386 Построение Гюйгенса 579 Потенциал двойного слоя 253 — распределения масс 247 Почти линейная система 175 — линейное уравнение 550 Преобразование годографа 425, 427 — Лапласа 530 — Лежандра 43, 46, 49, 121 — Лоренца 744 — Фурье обобщенных функций 787 Приводимость 590 Принцип Гюйгенса 212, 684, 693, 712, 737, 753, 757 — — малый 667 — — обобщенный 729, 738 — Дюамеля 663, 723 — отражения 272 — смещения Хевисайда 520, 526 — Ферма 124 Проблема излучения 691, 698 Продолжимые начальные значения 467 — свойства гладкости 466 Проекция характеристической кривой 79, 409 Производная по направлению нормали 139 Прямой коноид зависимости 643 Псевдоаналитическая функция второго рода 374 — — первого рода 374 Пучок Монжа 72 Развертывающаяся поверхность 24 Разделяющий оператор 658 Распространение разрывов 567, 618 — — вдоль лучей 568 Рассеяние 312, 317 Рассеянная волна 317 Ребро возврата интегральной поверхности 75, 92, 104 Регулярная точка 310 Решение уравнения с частными производными 15 Самосопряженный оператор 237 Свертка обобщенных функций 785 Свободная линия 65, 175 — поверхность 177, 547, 573 — полоса 408 Семейство характеристических кривых 79 Сильное определение обобщенных функций 790 Симметричная система 424 — — гиперболических уравнений 544, 587, 588, 644, 663 Система дифференциальных уравнений вполне гиперболическая 178 — — — квазилинейная 423 — — — линейная 422 — — — недоопределенная 28, 85 — — — определенная 28 — — — переопределенная 28 — — — почти линейная 423 — — — эллиптическая 176 — законов сохранения 629 — уравнений гидродинамики 594, 603 — — магнитной гидродинамики 606 Скорость Альфвена 607 — звука 595, 608 Слабая непрерывность функционала 764 ∞ -непрерывность 765 ω-непрерывность 765 Слабо сходящаяся последовательность 770 Слабое определение обобщенных функций 767 — решение 484, 485, 628 Смешанные задачи 650 Сопряженный оператор 238 Сохранение свойств начальных значений 667 Субгармоническая функция 306 Супергармоническая функция 306 Сферический фронт волны 557, 558, 580 Тангенциальная производная 140 Телеграфное уравнение 454, 539, 690 Теорема компактности гармонических функций 275 Теорема о вихре 434 — — среднем значении Асгейрссона 738 — — — — для шаров 741 — — сходимости Вейерштрасса 273 — — — Харнака 274 — умножения 524 Теория канонических возмущений 137 Трансверсаль 129 Трубчатая поверхность 39, 103 Угол Маха 434 Ударные волны 629 Уравнение Дарбу 639, 694, 740 — Клеро 39, 48, 101 — Лапласа 242 — Монжа 95, 595 — Монжа — Ампера 322 — переноса 612, 628, 632 — Пуассона 243, 247 — эйконала 125 Уравнения кристаллооптики 597, 712 — Максвелла 640 Условие Гёльдера 250 — излучения Зоммерфельда 313 — на ударной волне 629 — полосы 85, 106 — трансверсальности 129 Условия согласования 469 Фаза 192 Фазовая функция 753 Финитные функции 483, 762 Фокальная полоса 85, 91 Фокальные кривые 85, 95, 98 Форма волны 192, 193, 753 Формула Парсеваля 787, 789 — преобразования тета-функции 204 Формулы Вейерштрасса 172 Фронт волны 97, 553, 562, 579, 625 — — плоский 580 — — типа плоского 581 Фундаментальное решение 188, 246, 721 Функция Грина 262, 263 — излучения 724 — Лежандра 121 Функция Хевисайда 615, 676,733,737 Характеристики 64, 405, 547 — постоянной кратности 620 Характеристическая задача Коши 65, 447, 638, 744 — матрица 177, 573 — поверхность 177, 545, 547, 550, 553, 563, 573 — полоса 86, 88, 105, 417, 420 — — интегральная 417 — производная 142 — система дифференциальных уравнений 87, 105 — форма 179, 185, 547, 573 Характеристические кривые 40, 65, 72, 84, 88, 111, 409 — — для уравнения второго порядка 163, 176 — поверхности «типа плоскостей» 644 Характеристический вектор 81 — — полосы 107 — канонический вид системы 176 — конус нормалей 576 — линейный элемент 72, 409 — определитель системы 175 Характеристическое многообразие 81, 107, 142 — — полос 108 — направление 85, 142 — соотношение 410, 547, 144, 142, 420 — уравнение 191 Циклиды Дюпена 755 Эйконал 123, 124 Экспоненциальный оператор 519 Элемент ветвления интегральной поверхности 91 — поверхности пространственного типа 559, 563, 589 Энергетическое неравенство 446, 662 — — для задачи Коши 648 — — — смешанных задач 650 — — — уравнений высших порядков 656
