Лекция 3,4 Общие законы и уравнения статики Цель: изучение

Лекция 3,4
Общие законы и уравнения статики
Цель: изучение дифференциальных уравнений покоящейся жидкости
Задача: Показать математическую суть описания покоящейся жидкости. Рассмотреть основное уравнение гидростатики, закон Паскаля, жидкостные приборы для измерения давления.
Желаемый результат: Понимание студентами математической модели описания покоящейся жидкости.
Студенты должны знать: математические основы описания покоящейся жидкости. Основное уравнение гидростатики, принципы работы
жидкостных приборов для измерения давления
Учебные вопросы:
1. Дифференциальные уравнения покоящейся жидкости.
2. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля.
3. Приборы для измерения давления.
В 1755 г. Л. Эйлером были получены дифференциальные уравнения
равновесия жидкости:
где
– градиенты давления в направлении соответствующих
координатных осей; X, Y, Z – проекции единичных массовых сил на соответствующие координатные оси; ρ- плотность жидкости.
После преобразований данную систему уравнений можно представить в виде
уравнения
Полученное уравнение выражает изменение давления вдоль координатных осей в общем случае равновесия, и называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.
Поверхностью уровня называется такая поверхность, во всех точках
которой рассматриваемая функция имеет одно и то же значение. Для задач
гидравлики особое значение имеет поверхность равного давления. Эту поверхность будем называть поверхностью уровня.
Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, то есть P=const, то dP=0. Из основного дифференциального уравнения гидростатики имеем
поскольку плотность не равна нулю ρ≠0, запишем
поверхность уровня имеет следующие свойства:
1) две поверхности уровня не пересекаются между собой;
2) массовые силы направлены нормально к поверхности уровня.
Поверхность уровня на границе жидкой и газообразной среды называется свободной поверхностью.
Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим случай равновесия жидкости, находящейся в сосуде, в состоянии абсолютного покоя под действием сил тяжести и внешнего давления
на свободной поверхности. В этом случае проекции единичной силы тяжести
на координатные оси равны: X=0, Y=0, Z= -g.
После подстановки в уравнение
После интегрирования имеем
получаем
Постоянную интегрирования С находим из граничных условий при z=z0, P=Po:
После совместного решения уравнений получаем
или
Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики, позволяющие определять любое давление в точке.
Закон Паскаля
Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в
объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P 0.
Давление, приложенное к поверхности покоящейся жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИБОРОВ
По назначению приборы для измерения давления подразделяются на:
1. Приборы для измерения атмосферного давления - барометры.
2. Приборы для измерения избыточного давления и вакуума: манометры,
вакуумметры, мановакуумметры.
Положительное избыточное давление измеряется манометрами. Приборы,
измеряющие недостаток давления до атмосферного, т.е. вакуум, называются
вакуумметрами. Для измерения избыточного давления и вакуума используются мановакуумметры.
3. Приборы для измерения абсолютного давления: манометр, барометр,
вакуумметр. Если абсолютное давление больше атмосферного, то оно равно
сумме показаний манометра и барометра. Если абсолютное давление меньше
атмосферного, то оно равно разности показаний барометра и вакуумметра.
4. Приборы для измерения разности давлений - дифференциальные манометры.
По принципу действия приборы для измерения давления делятся на:
жидкостные, в которых давление уравновешивается высотой столба жидкости; поршневые, где давление уравновешивается силой, действующей на
поршень определенного сечения; деформационные, в которых измеряемое
давление уравновешивается силой упругой деформации трубчатой пружины,
мембраны или сильфона; приборы электрические или пневматические.
УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ПРИБОРОВ
Жидкостные приборы. Принцип действия жидкостных приборов
ос-
нован на уравновешивании измеряемого давления давлением столба жидкости. Мерой давления служит высота столба жидкости. Жидкостные приборы
позволяют измерять атмосферное давление, вакуум, избыточное давление и
разность давлений.
1. Пьезометр применяется для измерения избыточного давления и представляет собой вертикально установленную стеклянную трубку с открытым
верхним концом, сообщающимся с атмосферой. Нижний конец трубки соединяется с резервуаром или трубкой, где измеряется давление (рис.1).
Рис.1
Пьезометр состоит из резервуара (1), стеклянной трубки (2), шкалы (3), крана (4), соединительного шланга (5), штуцера (6).
Величина избыточного давления Ризб в рассматриваемой точке определяется
по формуле:
Pизб.
g h h0 , Па ,
где ρ – плотность жидкости, кг/м3; g – ускорение свободного падения; h показание по шкале пьезометра, м; h0 – разность по вертикали между нулем
шкалы и рассматриваемой точкой, м.
2. Дифференциальный манометр (рис.2) состоит из U – образной стек-
лянной трубки (1), примерно наполовину заполненной рабочей жидкостью,
соединительных шлангов (2), штуцеров (3), из труб с различными давлениями (4). Открытые концы трубки присоединены с точками измерения давления. Под действием разности давления рабочая жидкость перетекает в сторону меньшего давления, и по шкале определяется разность уровней рабочей
жидкости.
Рис.2
Разность давлений Р1 – Р2 определяется по формуле:
P1
где
P2
gh
- плотность рабочей жидкости, кг/м3;
gh1 ,
- плотность жидкости, нахо-
дящейся над рабочей жидкостью, кг/м3; h - разность уровней рабочей жидкости по шкале, м; h 1 – разность отметок точек измерения давления, м.
В качестве рабочей жидкости в дифференциальных манометрах используется ртуть. При измерении небольших перепадов давления газов используется вода. В случае измерения небольших перепадов давления в трубах, заполненных водой, используются пьезометры, подключенные в точках измерения перепада давления.
Дифференциальный манометр может также использоваться в качестве
манометра и вакуумметра. В этом случае один конец трубки сообщается с
атмосферой.
Основными достоинствами жидкостных приборов для измерения давления являются простота устройства и высокая точность. Для увеличения чувствительности при измерениях малых давлений используются жидкости с
малой плотностью. При невозможности применения жидкостей с малой
плотностью для измерения давлений используются приборы с наклонной
трубкой, в которых наполнение стеклянной трубки зависит от угла наклона
, измеряемого по неподвижной шкале. Пьезометр с наклонной трубкой
(рис.3) состоит из резервуара или трубы (1), стеклянной трубки (2), шкалы
(3) и шкалы угломера (4). Избыточное давление Р в рассматриваемой точке
определяется по формуле:
P
g h0 l sin
Чувствительность прибора увеличивается с уменьшением угла наклона трубки α.
Рис.3
Основной недостаток жидкостных приборов - малый диапазон изменяемых давлений. С увеличением диапазона измеряемого давления увеличивается длина стеклянных трубочек. Кроме того, во многих жидкостных приборах
в качестве рабочей жидкости используется ртуть, пары которой,
являются ядовитыми.
Простота устройства, стабильность показаний, высокая чувствительность определяют широкое применение жидкостных приборов в лабораторной практике, а также их применение для градуировки и тарировки других
приборов для измерения давления.