Приложение 1 1. Определение случайной величины

Приложение 1
1. Определение случайной величины
Определение. Случайной величиной называется переменная величина,
которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая.
Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского
алфавита (X, Y, Z), и их значения – соответствующими строчными буквами.
Случайные величины делятся на прерывные (или дискретные) и
непрерывные.
Определение. Дискретной случайной величиной называют такую
случайную величину, которая принимает счетное множество значений, т.е.
такое множество, элементы.
Дискретная случайная величина считается заданной, если перечислены все
ее возможные значения и вероятности, с которыми она может принимать эти
значения. Примером дискретной величины является количество студентов на
лекции, число бракованных изделий в поставленной продукции, число
новорожденных за сутки.
Определение. Непрерывной случайной величиной называют случайную
величину, которая может принимать любые значения в определенном
интервале.
Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал,
принципиально невозможно. Эти значения образуют несчетное бесконечное
множество. Примером непрерывной величины является температура тела
пациента за определенный промежуток времени, дальность полета футбольного
мяча.
Случайная величина считается заданной, если известен закон
распределения случайной величины.
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины
называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в
виде таблицы:
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
1
События X  xi i  1, 2, 3, ..., n являются несовместными и единственно
возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их
вероятностей равна единице:
n
p1  p 2  p3  ...  p n   pi  1
i 1
.
2. Определение математического ожидания и дисперсии случайной
величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но
при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные
значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее
пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в сжатой
форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие
показатели называются числовыми характеристиками случайной величины.
Основными из них являются: математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение.
Математическое ожидание характеризует положение случайной величины
на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого
сосредоточены все возможные значения случайной величины.
Определение. Математическим ожиданием М дискретной случайной
величины X называется сумма произведений значений случайной величины на
вероятность этих значений:
n
M ( X )   xi  pi .
i 1
Определение. Дисперсия, используемая в качестве характеристики
рассеяния случайной величины, равна
D( X )  M ( X 2 )  M ( X ) 2 .
Среднее квадратическое отклонение дает представление о размахе
колебаний случайной величины около математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением случайной величины
называется корень квадратный из дисперсии
 x  D(X ) .
Пример. Случайная величина X задана законом распределения:
2
X
Xi
0,1
2
10
20
pi
0,4
0,2
0,15
0,25
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Решение:
( )
( )
(
)
( ( ))
√ ( )
√
Закон больших чисел (теорема Бернулли): при неограниченном
увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по
вероятности к вероятности события, т.е.
pq
m

P  p     1   (причем 0    2 ),
n
 n

если вероятность события от испытания к испытанию не изменяется и равна p
(q=1-p).
3