A p k n

Занятие 04
Тема: Дискретные случайные величины
Раздел 1. Биномиальное распределение
Основная формула Бернулли. Если в одних и тех же условиях проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность наступления события A равна p , то вероятность того, что событие A наступит k раз в n испытаниях равна
Pn (k ) = Cnk p k q n−k , q = 1 − p .
Следовательно, если случайная величина X выражает количество успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p , то ее закон распределения задается таблицей
k
n
…
X
0
1
…
Pn (0) Pn (1) 0,3
Pn (k )
Pn (n)
…
…
P
Пример: Вероятность попадания в мишень равна 0,9. Найти закон распределения
случайной величины Х – числа попаданий из трех выстрелов.
Решение.
Число возможных попаданий в мишень при трех выстрелах: 0, 1, 2, 3. Вероятность
каждого случая находим по формуле Бернулли:
3!
⋅ 0,90 ⋅ 0,13 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0, 001 = 0, 001;
0!3!
3!
P3 (1) = C31 ⋅ p1 ⋅ (1 − p)3−1 =
⋅ 0,91 ⋅ 0,12 = 3 ⋅ 0,9 ⋅ 0, 01 = 0, 027;
1!2!
3!
P3 (2) = C32 ⋅ p 2 ⋅ (1 − p)3− 2 =
⋅ 0,92 ⋅ 0,11 = 3 ⋅ 0,81 ⋅ 0,1 = 0, 243;
2!1!
3!
P3 (3) = C33 ⋅ p 3 ⋅ (1 − p)3−3 =
⋅ 0,93 ⋅ 0,10 = 1 ⋅ 0, 729 ⋅ 1 = 0, 729.
3!0!
P3 (0) = C30 ⋅ p 0 ⋅ (1 − p)3−0 =
По этим данным строим таблицу – закон распределения
X
P
0
1
2
3
.
0, 001 0, 027 0, 243 0, 729
Раздел 2. Характеристики дискретной случайной величины
Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины
X
P
-1
0,2
0
0,5
1
0,3
Решение.
3
M ( X ) = ∑ xi pi = −1 ⋅ 0,2 + 0 ⋅ 0,5 + 1 ⋅ 0,3 = 0,1;
i =1
3
D ( X ) = ∑ xi2 pi − M 2 = ( −1)2 ⋅ 0,2 + 02 ⋅ 0,5 + 12 ⋅ 0,3 − 0,12 = 0,49;
i =1
σ ( X ) = D( X ) = 0,49 = 0,7.
Ответ: M(X)=0,1; D(X)=0,49; σ(X)=0,7.
Задачи на семинаре:
1. Анализ большого количества деклараций о доходах показал, что одна из десяти
деклараций заполнена с ошибками. Найти закон распределения случайной величины Х –
числа деклараций с ошибками среди 5 выбранных и закон распределения случайной величины Y – числа деклараций без ошибок среди 5 выбранных. Как связаны эти величины?
2. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины:
X
P
-1
0,2
0
0,3
1
0,3
2
0,2
Домашнее задание № 04.
Задача 1. Социологический опрос, проведенный в некотором городе, показал, что
30% всего взрослого населения читают городскую вечернюю газету. Случайным образом
выбираются четыре взрослых жителя города. Найти закон распределения случайной величины Х – числа читающих вечернюю газету среди четырех отобранных.
Задача 2. Вероятность принятия на работу в некоторую фирму равна 0,3. Найти закон
распределения случайной величины Х – числа принятых на работу из трех друзей, пришедших на собеседование. Какова вероятность того, что хотя бы один из трех будет принят?
Задача 3. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины:
X
P
-1
0,5
0
0,2
2
0,3
Задача 4. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины:
X
P
-2
0,2
-1
0,3
0
0,2
1
0,2
3
0,1