обработка измерений геодезических сетей

Федеральное агентство по образованию
Томский государственный архитектурно-строительный университет
ОБРАБОТКА ИЗМЕРЕНИЙ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Методические указания
к практическим занятиям
Составитель Н.Г. Березин
Томск 2009
Обработка измерений геодезических сетей: методические
указания / Сост. Н.Г. Березин.  Томск : Изд-во Том. гос. архит.строит. ун-та, 2009.  32 с.
Рецензент профессор, д.т.н. В.М. Лазарев
Редактор Е.Ю. Глотова
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине
СД.Ф.10 «Инженерная геодезия» для студентов направлений 270100
«Строительство», 270200 «Транспортное строительство», специальности 120303 «Городской кадастр»; по дисциплине ОПД.Ф.5. «Основы
геодезии» для студентов направления 270300 «Архитектура».
Печатаются по решению методического семинара кафедры геодезии, протокол № 10 от 24.10.2008 г.
Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе В.В. Дзюбо
с 01.09.2009
до 01.09.2014
Формат 6080/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс.
Уч.-изд. л. 1,68. Тираж 100 экз. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ.
634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Сущность задачи совместного уравнивания нескольких
измерительных величин .................................................................. 4
2. Принцип наименьших квадратов ............................................... 6
3. Основные способы уравнивания ................................................ 7
3.1. Коррелатный способ уравнивания ...................................... 8
3.2. Решение нормальных уравнений по алгоритму
Гаусса .......................................................................................... 15
4. Контроль решения нормальных уравнений ................................ 21
3
1. СУЩНОСТЬ ЗАДАЧИ
СОВМЕСТНОГО УРАВНИВАНИЯ
НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
В теории ошибок измерений даны правила математической обработки многократно измеренных значений одной и той
же величины. Задача здесь решается полностью, если для достижения цели измеряются только необходимые величины (например, в треугольнике с одной известной стороной измерены
два угла).
Однако в геодезической практике, кроме необходимых,
измеряют избыточные величины, связанные математическими
соотношениями с необходимыми (в том же треугольнике измеряют все три угла).
Избыточные измерения повышают точность измеряемых
величин и позволяют производить надежную оценку их точности на основе математических связей между измеренными величинами.
Вычисление по формулам теории ошибок значения измеренных величин приходится при совместной обработке исправлять, учитывая математические связи между этими величинами.
В этом и заключается задача уравнивания.
Итак, пусть для решения некоторой задачи измерено «n»
величин, истинные значения которых обозначим через x1 , x2 ,
х3, ... xn . Результаты измерений x1 , x2 , ... xn , этих величин получим с различной точностью (как говорят, «с весами»,
p1 p2 , ... pn ). По условию задачи известно, что величины x1 ,
x2 , … xn связаны между собой уравнениями
1 ( x1.......xn )  0, 

........................... 
r ( x1.......xn )  0.
4
(1)
Математические соотношения между измеренными величинами, с учетом исходных данных, можно выразить различными уравнениями. Из них следует выбрать такие системы, которые состоят из независимых уравнений.
Система (1) содержит только не зависимые между собой
уравнения, причем число их, равное r, равно числу избыточно измеренных величин. Эти уравнения называют условными уравнениями. Поскольку число избыточно измеренных величин есть
только часть числа всех измеренных величин, то всегда r  n .
Следовательно, система условных уравнений (1), где число уравнений меньше числа неизвестных, имеет бесконечное
множество решений.
Если в систему (1) подставить измеренные значения
x1 , x2 , ... xn , то получится
1 ( x1 .......xn )  W1 , 

(2)
........................... 



r ( x1.......xn )  Wr , 
т. е. в правых частях системы получаются не нули, а величины
W1...Wr , называемые невязками.
Главная задача, которую надо решить при уравнивании –
устранить все невязки, т. е. надо исправить измеренные значения x1 , x2 , ... xn . Другая задача – оценить точность результатов уравнивания.
Обозначим
 i  1, 2 ... n  , где vi
исправленные
результаты
как
xi  vi
– искомые поправки и получим
1 ( x1  v1...xn  vn )  0, 
(3)

k ( x1  v1...xn  vn )  0.
Заметим, что значение xi + vi называют уравненным значением измеренных величин.
5
Система (3) как и (1) является неопределимой (n  r )
и допускает множество решений.
Понятно, что поправки vi  i  1, 2 ... n  должны устранять
невязки Wr и, кроме этого, должны быть возможно ближе к истинным ошибкам измерений.
2. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Для решения поставленной выше задачи используем некоторые вероятностные свойства значений ошибок измерений, которые можно использовать для нахождения искомых поправок.
Найдем вероятность некоторой совокупности ошибок
1... n . По известной теореме умножения вероятностей искомая
вероятность может быть записана в виде
P (1... n ) 

1
2

n
e
2 
1  2
  12 ... n2 
2  m1
mn 
d 1 d  n
...
.
m1
mn
(4)
Из этого равенства можно сделать вывод о том, что наибольшему значению величины P (1... n ) соответствует наименьшее абсолютное значение степени при е в правой части,
т. е. соблюдение условия
 i2
i m2  min .
i
n
(5)
Итак, если для искомых поправок vi поставить условия
vi2
i m2  min,
i
n
6
(6)
то можно ожидать, что абсолютные значения поправок vi будут
наилучшим образом приближаться к абсолютным значениям
v2
ошибок. Если все величины i 2 умножить на константу  2 ,
mi
и обозначить
2
 P , то получится
mi2
 2 
2
 2 v2    pv   min .
 mi 
(7)
2
называют весами измеренных величин.
mi2
Условие (7) является математическим выражением принципа наименьших квадратов, т. е.  pv 2   min .
Здесь p 
Изложенный принцип дает однозначное решение системы
(3) и обладает рядом преимуществ.
Отметим их:
1. Наличие в условиях минимума вторых степеней vi ограничивает крупные поправки, поэтому при равноточных измеренных величинах поправки более или менее равномерно распределяются между результатами измерений.
2. При неравноточных результатах измерений веса pi при
vi2 уменьшают поправки к более точным и, наоборот, увеличивают поправки к менее точным результатам.
3. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ УРАВНИВАНИЯ
Итак, совместное уравнивание измерений нескольких величин по методу наименьших квадратов является задачей на
условный экстремум.
7
Требуется найти минимум функции  pv 2   min , где переменные vi связаны независимыми условными уравнениями
1 ( x1  v1...xn  vn )  0, 

k ( x1  v1...xn  vn )  0.
(3)
Для решения этой задачи применяют два основных способа: способ Лагранжа с неопределенными множителями и способ
абсолютных экстремумов, для применения которого все измеренные величины xi представляют в виде функций некоторых
независимых неизвестных параметров.
Иногда первый способ называют способом условных измерений, а второй – способом посредственных измерений.
3.1. Коррелатный способ уравнивания
Сущность этого способа заключается в том, что задачу
определения минимума функции зависимых переменных  pv 2 
решают способом Лагранжа, вводя вспомогательные множители независимых условных уравнений.
Пусть измерено «n» величин x1 , x2 , ... xn , связанных между собой независимыми условными уравнениями
1 ( x1.......xn )  0, 

(8)
........................... 
k ( x1.......xn )  0.
Надо представить эти уравнения в таком виде, чтобы всегда в правой части были нули.
Пусть для величин xi получены результаты измерений
x1 , x2 , ... xn с весами p1 , ... pn и при подстановке в (8) получим равенство вида
8
i ( x1 ...xn )  Wi  i  1, ... r  .
(9)
Исправленные результаты измерений должны удовлетворять равенствам
i ( x1  v1...xn  vn )  0 .
(10)
Понятно, что из всех решений системы (10) выбирают такое, при котором  pv 2  принимает наименьшее значение, т. е.
в математическом смысле  pv 2   min , где vi связаны соотношением (10). Эту задачу на условный экстремум решают по
способу Лагранжа при помощи неопределенных множителей
условных уравнений.
Функцию Лагранжа составляем в виде
Ф(v1...vn )   pv 2   11   2 2  ...   r r ,
(11)
где i  i ( x1  v1...xn  vn )  i  1, ... r  и 11   2 2  ...   r r  0 .
Поправки vi должны удовлетворять равенствам вида
Ф
 0  i  1, ... n  .
vi
(12)
Присоединив к этой системе систему (10), получим n  r
уравнений с n  r неизвестными (поправками v1...vn и множителями 1... r ).
Приведем (10) к линейному виду. Для этого разложим
функции i в ряд Тейлора и, ограничивая членами первого порядка, получим
  
  
i ( x1  v1 , ... xn  vn )  i ( x1...xn )   i  v1  ...   i  vn . (12а)
 x1 0
 xn 0
9
  
Обозначив  i   aij (12а) и учитывая (9), получим
 x1 
aij v1  ...  anj vn  W j  0
a1 j v1  a2 j v2 ...  anj vn  W j  0
( j  1...r ) или
a11v1  ...  an1vn  W1  0, 
a12 v1  ...  an 2 vn  W2  0, 

....................................... 
a1r v1  ...  anr vn  Wr  0. 
(13)
Или в сокращенном виде
 a1v   W1  0, 

 a2v   W2  0,

..................... 
 ar v   Wr  0. 
(14)
Последние равенства (13) и (14) называют условными
уравнениями поправок. Невязки Wi являются свободными
членами этих уравнений.
Итак, требуется найти минимум функции  pv 2  , если переменные v связаны уравнением (13).
Для удобства вычислений обозначим
1  2k1 ;  2  2k2 , ...  r  2kr .
Эти k1...kr называют коррелатами.
Функцию Лагранжа теперь можно записать в виде
Ф(v1...vn )   pv 2   2k1  a1v   W1   ...  2kr  ar v   Wr  .
Далее запишем
10
Ф
 2 pi vi  2k1ai1  2k2 ai 2 ...  2kr air  0 .
vi
Откуда
vi  qi ai1k1  qi ai 2 k2  ...  qi air kr
 i  1, ... n  ,
(15)
a k  a k  ...  air kr
1
, или vi  i1 1 i 2 2
 i  1, ... n  . (16)
pi
pi
Последние два равенства называют коррелатными уравнениями поправок. Поправки из этих уравнений можно найти,
если будут известны коррелаты.
В системе равенств (14) умножим каждое поочередно на
ai1 , ai 2 ...air  i  1, ... n  и каждый раз, складывая их, получим
где
qi 
 a1v    qa1a1  k1   qa1a2  k2  ...   qa1ar  kr ,
 a2v    qa2 a1  k1   qa2 a2  k2  ...   qa2 ar  kr ,
....................................................................
 ar v    qar a1  k1   qar a2  k2  ...   qar ar  kr ,
или с учетом (14)
 qa1a1  k1   qa1a2  k2  ...   qa1ar  kr  W1  0, 

 qa2 a1  k1   qa2 a2  k2  ...   qa2 ar  kr  W2  0,
(17)

.................................................................... 
 qar a1  k1   qar a2  k2  ...   qar ar  kr  Wr  0. 
Последняя система есть система нормальных уравнений
коррелат, где r – число уравнений, равное числу неизвестных r .
Найдя коррелаты, вычисляют по формуле (16) поправки
vi в результаты измерений.
Итак, задачу уравнивания коррелатным способом решают
в такой последовательности.
1. Устанавливают систему результатов измерений x1...xn
и их весов p1... pn .
11
2. Выбирают и составляют условные уравнения (8). Необходимо, чтобы условные уравнения удовлетворяли следующим
требованиям:
а) уравнения должны быть взаимно независимыми;
б) число условных уравнений r должно равняться n  k ,
где n – число всех измерений; k – число необходимых величин.
3. По формулам (9) и (13) вычисляют свободные члены
и коэффициенты условных уравнений поправок.
4. Вычисляют коэффициенты aij нормальных уравнений
коррелат.
5. Решают нормальные уравнения, в результате чего получают коррелаты.
6. Выписав в таблицу значения коррелат, в заголовки соответствующих граф таблицы коэффициентов вычисляют поправки vi по формулам (16).
7. Вычисляют уравненные значения измеренных величин
1
xi  xi  vi .
8. Проводят окончательные контрольные вычисления, для
чего подставляют уравненные значения xi1 в основные уравнения (10).
Пример 1
В треугольнике (рис. 1) дана сторона АВ = 1000 м и измерены остальные две стороны и три угла. В качестве необходимых неизвестных удобнее выбрать два угла x1 и x2 , поскольку
для решения треугольника, в котором известна одна сторона,
необходимо иметь две измеренные величины.
Отсюда число условных уравнений r будет
r  n  k  5  2  3.
Выберем условные уравнения в виде
1) x '1  x '2  x '3  180  0 ,
12
c sin x '1
 x '4  0 ,
sin x '3
c sin x '2
 x '5  0 , или
3)
sin x '3
2)
1  x '1  x '2  x '3  180  0,


2  lg c1  lg sin x '1  lg sin x '3  lg x '4  0, 
3  lg c1  lg sin x2  lg sin x3  lg x '5  0. 
(18)
С
Х3
Х4
Х5
Х1
Х2
А
В
Рис. 1
Результаты измерений следующие:
x1  4625'13" с весом p1  1 ;
x2  6801'25" с весом p2  1 ;
x3  6533'07" с весом p3  1 ;
x4  79588,1 см с весом p4  4, 7 ;
x5  101866, 0 см с весом p5  3, 4 .
Подставляя в уравнение (18) результаты измерений, получим значения свободных членов условных уравнений:
W1  4625'13" 6801' 25" 6533'07" 180  15, 0 ;
W2  lg100000  lg sin 4625'13" lg sin 6533'07" lg 79588,1 
 62, 0 106 ;
13
W3  lg100000  lg sin 6801' 25" lg sin 6533'07"
 lg sin101866, 0  7, 0 106.
Система условных уравнений (13) в нашем случае:
a11v1  a21v2  a31v3  a41v4  a51v5  W1  0, 

a12 v1  a22 v2  a32 v3  a42 v4  a52 v5  W2  0, 
a13v1  a23v2  a33v3  a43v4  a53v5  W3  0. 
Коэффициенты a11...a51 в первом уравнении равны 1. Коэффициенты при v1...v5 во втором и третьем уравнениях связаны

с логарифмами синусов углов, т. е. aij  i . И эти коэффициенты
xi
можно получить при помощи таблиц логарифмов, учитывая, что
изменение логарифма на единицу аргумент изменяет на 1''lg sin x,
и на 1 см lg x4 и lg x5 . Коэффициенты вписаны в табл. 1.
Таблица 1
Коэффициенты системы условных уравнений
№ измерения
14
q
1
p
ai1
ai 2
ai 3
k1 
k2 
k3 
3.11
5.34
1.67
2,0
1
1
1
2
1
1
3
1
1
4
5
W
0,21
0,29
–1,0
S
Поправки
vi
3,0
13''8
0,8
1,8
1''8
–1,0
–1,0
0 ''6
–5,5
–4,3
–70,0
–6,2 см
2,1 см
–5,5
–15,0
–62,0
–4,3
7,0
lg a1
3,0
1,0
–0,20
3,8
lg a2
1,0
11,35
1,0
13,37
lg a3
0,2
1,0
7,0
7,8
Коэффициенты нормальных уравнений (17) здесь будут
 qa1a1   11  11  11  3,
 qa12   1 2  1(1)  1,
 qa13   1 0,8  1(1)  0, 2,
 qa2 a2   0, 21(5,5)(5,5)  (1)(1)  2  2  11,35,
 qa2 a3   (1)(1)  1,
 qa3a3   0, 29(4,3)(4,3)  (1)(1)  (0,8)(0,8)  7, 0.
Нормальные уравнения записаны в нижней части табл. 1
и выглядят так:
3k1  k2  0, 20k3  15  0,
k1  11,37k2  k3  62  0,
0, 20k1  k2  7k3  7  0.
Коррелаты выписаны в верхней части табл. 1, поправки
a k a k a k
vi  i1 1 i 2 2 i 3 3 в последнем столбце табл. 1.
pi
3.2. Решение нормальных уравнений
по алгоритму Гаусса
Применяют две вычислительные схемы: полная схема Гаусса – Дулижля и сокращенная.
Рассмотрим порядок решения по полной схеме на примере
решения системы трех нормальных уравнений.
N11 z1  N12 z2  N13 z3  L1  0, 

N 21 z1  N 22 z2  N 23 z3  L2  0, 
N 31 z1  N 32 z2  N 33 z3  L3  0. 
(19)
Напомним, что система (19) нормальных уравнений обладает симметричностью неквадратичных коэффициентов отно15
сительно главной квадратной диагонали, т. е.
N13  N 31 , N 23  N 32 и вообще N ij  N ji .
N12  N 21 ,
Определим неизвестное z1 из первого уравнения (19)
и выразим его через другие неизвестные:
N
N
L
z1   12 z2  13 z3  1 .
(20)
N11
N11
N11
Полученное уравнение называется эллиминационным
уравнением, обозначим его через Е.
Подставим z1 во второе и третье уравнения системы (1)
и, учитывая симметричность коэффициентов, будем иметь




N12 N13 
N12 N12 
N12 L1 
 N 22 
 z2   N 23 
 z3   L2 
  0, 
N11 
N11 
N11 




 (21)



N12 N13 
N13 N13 
N13 L1 

 N 23 
 z2   N 33 
 z3   L3 
  0. 
N11 
N11 
N11 




Введем обозначения:

N12 N12 
(1)
 N 22 
  N 22 ;
N11 


N12 N13 
(1)
 N 23 
  N 23 ;
N11 


N12 L1 
(1)
 L2 
  L2 .
N
11 


N13 N13 
(1)
 N 33 
  N 33 ;
N11 


N13 L1  (1)
 L3 
  L3 .
N11 

Знак (1) означает что исключено первое неизвестное. Система (21) теперь будет:
(1)

N 22(1) z2  N 23
z3  L(1)
2  0, 

N 23(1) z2  N 33(1) z3  L(1)
3  0. 

16
(22)
Исключаем теперь из системы (22) второе неизвестное z2 :
N 23(1)
L(1)
2
z

.
(23)
3
N 22(1)
N 22(1)
Получили второе эллиминационное уравнение Е и вторую
преобразованную систему, состоящую из одного уравнения:
(1)
(1)
(1) (1)
 (1) N 23

 (1) N 23
N 23
L2 
N

z

L

 33
 3  3
  0.
(1)
(1)
N 22 
N 22 


Введем аналогичные обозначения
(1)
 (1) N 23
N 23(1) 
(2)

N
 33
  N 33 ;
(1)
N


22
(24)
(1) (1)
 (1) N 23 L2 
(2)
 L3 
  L3 .
N 22(1) 

Тогда вторая преобразованная система примет вид
z2  
N 33(2) z3  L(2)
3  0.
(25)
L(2)
3
– это третье эллиN 33(2)
минационное уравнение. Подставив z3 во второе эллиминационное уравнение, найдем z2 . Наконец, подставив z2 и z3 в первое эллиминационное уравнение, получим z1 .
Изложим ниже схему заполнения таблицы решений системы.
В первую строку схемы N ij (табл. 2) в зависимости от
Из этого равенства получим z3  
способа уравнивания (коррелатного со столбцами коррелат vi
и параметрического со столбцами i поправок) вписываем все
коэффициенты при неизвестных первого нормального уравнения и его свободный член, а также их сумму Si – подсчитывается по формуле N11  N12  N13  L1  S1 (числовой пример ниже).
17
В строку Eij вписываются все коэффициенты, свободный
член и контрольные суммы первого эллиминационного уравнения. Проверив вычисления коэффициентов (о контроле решений нормальных уравнений смотри ниже), в строку N2j вписывают второе нормальное уравнение, начиная с квадратичного
коэффициента N22, и сумму его коэффициентов:
N12  N 22  N 23  L2  S2 .
Таблица 2
Решение системы нормальных уравнений
Действия
z1
z2
z3
N1 j
1
N11
2
N12
3
N13

E1 j
N2 j
–1
E12 N1 j
N
(1)
2j
N12
N11

L1
N11

S1
N11
N 23
L2
S2
E12 N12
E12 N13
E12 L1
E12 L1
(1)
22
–1
N

N3 j
(1)
23
(1)
N 22
(1)
N 22
(1)
2
S2(1)
L

L(1)
2
N 22(1)

S2(1)
(1)
N 22
N 33
L3
S3
E13 N1 j
E13 N13
E13 L1
E13 L1
(1)
2j
(1)
23
E23 N
E23 N
N 3(2)j
(1)
23 2
E L
E23 S 2(1)
L(2)
3
S3(2)
N 33(2)
E3 j
18
N13
N11
N 22
N
E2 j

S
5
S1
L
4
L1
–1
z1  E12 z2
z2 
 E13 z3 
E23 z3
 E14
 E24
z3 
E34 

L(2)
3
N 33(2)

(2)
3
(2)
33
L
N

(2)
3
(2)
33
S
N
Контроль
6
E
ij
N
E
(1)
2j
2j
N
E
(2)
3j
3j
Строку E12 N ij получают последовательным умножением
N12
на все коэффициенты первой строки N ij
N11
без учета квадратичного N11 .
коэффициента 
Строка N 2(1)j получается как сумма строк N 3 j и E12 N1 j (это
второе нормальное уравнение эквивалентной системы). По
(1)
(1)
(1)
 N 23
 L(1)
подсчитываем контрольное знаформулам N 22
2  S2
чение S 2(1) . Строка E2 j – это второе эллиминационное уравнение, которое получается, если элементы строки N 2(1)j умножить
1
. Далее, в строку N 3 j вписываем в сокраN 22(1)
щенном виде третье нормальное уравнение, начиная с N 33 . Теперь надо получить третье нормальное уравнение эквивалентной системы.
Делают это так.
N
Заполняют строку E13 N1 j . Для этого элемент E13   13
N11
из первого эллиминационного уравнения умножают последовательно на N13 , L1 и S1 первого нормального уравнения.
Строка E23 N 2 j составляется аналогично, т. е. элемент
на величину 
E23  
N 23(1)
из второго эллиминационного уравнения умножаN 22(1)
(1)
ется последовательно на N 23(1) , L(1)
2 и S2 .
Сложив по столбцам последние три строки N 3 j , E13 N1 j ,
E23 N 2(1)j , получают третье нормальное уравнение эквивалентной
системы N 3(2)j .
19
Последнее эллиминационное уравнение E3 получается
1
умножением чисел строки N 3(2)j на множитель  (2) и записыN 33
вается в строку E3 j .
k1  E12 k2  E13 k3  E14  3,11,
k2  E23 k3  E24  5,338,
(27)
k3  E34  1, 675.
Таблица 3
Результаты решения нормальных уравнений из табл. 1
k1
k2
k3
W
S
1,0
–0,20
–15,0
–11,2
–0,333
0,067
5,0
–3,73
11,35
1,0
–62,0
–0,33
0,067
4,95
N 2(1)j
1,067
–57,05
E2 j
–0,094
5,177
N3 j
7,0
7,0
N1 j
E1 j
3,0
N2 j
Eij N ij
–1
E13 N1 j
11,02
–0,013
–1,0
E23 N 2 j
–1,0
–0,103
5,534
N 3(2)j
6,884
11,534
E3 j
–1,0
–1,675
Возвратимся к табл. 1 примера 1. Записав коррелаты
в графы ai1 , ai 2 , ai 3 , вычислим поправки vi по формуле
vi 
20
ai1k1  ai 2 k2  ai 3 k3
(i  1...5) .
pi
4. КОНТРОЛЬ РЕШЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основным промежуточным контролем в алгоритме Гаусса
является проверка определения коэффициентов и свободных
членов первых уравнений преобразованных систем. Это контроль по методу сумм.
Пусть надо проверить коэффициенты и свободные члены
в первых уравнениях преобразованных систем:
(1)
N 22(1) z2  N 23
z3  L(1)
2  0,
N 33(2) z3  L(2)
3  0.
(28)
Для этого составим суммы вида
N11  N12  N13  L1  S1 ;
N 21  N 22  N 23  L2  S 2 ;
N 31  N 32  N 33  L3  S3 ;
(29)
(1)
N 22(1)  N 23(1)  L(1)
2  S2 ;
(2)
N 33(2)  L(2)
3  S3 .
Вторично вычислить контрольные суммы можно так:
S 2(1)  S 2 
S
(2)
3
N12
S1 ;
N11
N
N (1)
 S3  13 S1  23(1) S 2(1) .
N11
N 22
(30)
Далее необходимо проверить правильность вычисления
коэффициентов и свободных членов эллиминационных уравнений (табл. 4). Для этого вначале подсчитываются суммы:
S E1  
1
 N11  N12  N13  L1  ;
N11
21
S E2  
1
N (1)  N 23(1)  L(1)
2 ;
(1)  22
N 22
1
S E3   (2)  N 33(2)  L(2)
3 .
N 33
(31)
С учетом того, что в скобках здесь записаны суммы S, получим следующие контрольные формулы:
S E1  
S (2)
S1
S (1)
; S E2   2(1) ; S E3   3(2) .
N11
N 22
N 33
(32)
Итоговый контроль решения системы с проверкой вычисления неизвестных проводится по суммарному уравнению
 S1  L1  z1   S2  L2  z2  ...   Sm  Lm  zm   L   0 ;
(33)
k1  11,37k2  k3  62,9  0 ;
0, 20k1  k2  7 k3  7  0 .
Коррелаты k1, k2, k3, полученные из решения этой системы, записаны в первой строке табл. 1 коэффициентов условных
уравнений.
Подставив полученные значения коррелат в сумму коэффициентов нормальных уравнений, получим
3,80  3,11 + 13,37  5,33 + 7,80 (–1,67) – 70,00 = 0,02.
Поправки v1, подсчитанные по формуле
v1 
ai1k1  ai 2 k2  ai 3 k3
,
p1
записаны в последнем столбце табл. 1.
Пример 2
Уравнять коррелатным способом нивелирную сеть и получить высоты определяемых реперов Rp 86, 92, 93 и 12.
22
М 22
19 2.3 53
М 18
1 83 .506
1
6 .1 25
3
5 .58 0
8.3 10
R p 9 3 (H = t3)
6.
4
1.3 86
R p 12 (H = t2)
2
R p 9 2 (H = t2)
94
4
8
11 .652
6
R p8 6 (H = t1 )
5
4.6 04
-0.90 5
9
7
-5 .58 5
М 96
1 9 1.8 90
Вычислить средние квадратичные ошибки уравненных
элементов сети:
1) высот определяемых реперов;
2) разностей высот Н93 – Н86 и Н12 – Н02;
3) одного километра нивелирования.
За измеренные величины примем суммы превышений
в ходах х1…х9 с указанием стрелками их направлений.
Веса этих ходов обычно принимают пропорционально
длинам ходов. Для получения обратных весов, близких к едиS
1
нице, используем формулу q 
 i .
pср 15
Решение (исходные данные берем из таблицы):
23
Ход
Длина хода S, км
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12,6
16,4
14,1
19,0
16,3
20,4
12,0
13,2
15,4
Рср = 15,0
Вес p 
15
S
0,8
1,1
0,9
0,7
1,1
1,4
0,8
0,9
1,0
1. Число всех измерений n = 9, необходимых k = 4, избыточных z = n – k = 5.
2. Число независимых условных уравнений будет равно
числу избыточных измерений, т. е. z = 5.
Выберем эти независимые условные уравнения:
1  x5  x7  x9  0;
2  x5  x8  x6  0;
3  x2  x8  x4  0;
(34)
4  191,890  x9  x6  x3  192,353  0;
5  183,506  x1  x2  x3  192,353  0.
3) По формулам вычислим коэффициенты и свободные
члены условных уравнений поправок:
1
 a51  1;
x5
2
 a52  1;
x5
24
1
 a71  1;
x7
2
 a82  1;
x8
1
 a91  1;
x9
2
 a62  1;
x6
13
3
3
 a23  1;
 a83  1;
 a43  1;
x2
x8
x4
4
4
4
 a94  1;
 a64  1;
 a34  1;
x9
x6
x3
(35)
15
5
5
 a15  1;
 a25  1;
 a35  1.
x1
x2
x3
Для получения свободных членов подставим в условные
уравнения результаты измерений, т. е. сумму превышений по
ходам:
w1 = 4694 + 905 – 5585 = +14;
w2 = 4694 + 6944 – 11652 = –14;
(36)
w3 = 8320 – 6944 – 1368 = +8;
w4 = 191890 – 5585 + 11652 – 5580 – 192353 = +24;
w5 = 183506 + 6125 + 8320 – 5580 – 192353 = +18.
Составим уравнения поправок по коэффициентам при неизвестных и свободных членах. Они здесь будут:
v5  v7  v9  14  0;
v5  v6  v8  14  0;
v2  v4  v8  8  0;
(37)
v3  v6  v9  24  0;
v1  v2  v3  18  0.
Полученные значения занесем в табл. 4 – коэффициентов
и свободных членов условных уравнений поправок и нормальных уравнений коррелат, в которой предусмотрены дополнительные графы для частных производных функций, точность
которых надо оценить, т. е.
F1  H 93  H 86  x6  x2 ;
F2  H12  H 02  x8 ;
25
F3  H 93  x1 ;
F4  H12  H 22  x3 ;
F5  H 86  H 96  x9 ;
(38)
F6  H 02  H 96  x7 .
и
F1
 f 2  1;
x2
F1
 f 6  1;
x6
F2
 f8  1;
x8
F3
 f8  1;
x8
F4
 f 3  1;
x3
F5
 f 9  1;
x9
(39)
F6
 f 7  1.
x7
В графе 14 выписаны контрольные суммы Si, полученные
по формулам Si  ai1  ai 2  ...  air (i = 1...n).
4) Вычислим теперь коэффициенты нормальных уравнений
[qa1a1 ]  [qa12 ]...[ qa1az ],
[qa1a2 ]  [qa2 a2 ]...[ qa2 az ], [qa j az ]  [qai az ]...[qai az ],
помня, что [qa1a1 ]  q1a11a11  q2 a21a21  qn an1an1 и т. д.
К примеру, для третьего столбца
[qa1a1] = 1,1  1  1 + 0,8 (–1) (–1) + 1,0  1  1 = 2,9;
для четвертого столбца [qa1a2] = 1,1  1  1 = 1,1;
[qa2a2] = 1,1  1  1 + 1,4 (–1) (–1) + 0,9  1  1 = 3,4;
[qa4a4] = 0,9 (–1) (–1) + 1,4  1  1 + 1,0  1  1 = 3,3.
В графах 8–13 определим значения коэффициентов
[qa1 f ], [qa2 f ]...[qff ] , а потом контрольные суммы [qa1s ],
[qa2 s ]...[qa5 s] , где [qa1s ]  q1a1s1  q2 a2 s2  ...  qn an sn .
26
К примеру,
[qa1s] = q5a51s5 + q7a71s7 + q9a91s9 =
= 1,1  1  2 + 0,8 (–1) 0 + 1,0  1  3 = 5,2.
5) Решив нормальные уравнения по полной схеме Гаусса,
получим k1…k5.
6) Выпишем теперь значения коррелат в заголовки таблицы, используя формулы для поправок:
v1  q1a11k1  q1a12 k2  ...  q1a1z k z ,
v2  q2 a21k1  q2 a22 k2  ...  q2 a2 z k z ,
.....................................................
vn  qn an1k1  qn an 2 k2  ...  qn anz k z ,
(40)
n  1...9.
Подсчитаем эти поправки v и запишем их в графе «V»
табл. 4.
К примеру,
v1 = 0,8  1 (–7,53) = –6,02;
v2 = 1,1  1  2,58 + 1,1  1 (–7,53) = –5,44.
7) Уравненные значения x1 , x2 ...x9 измеренных величин
x1 , x2 ...x9 получим как xi  xi  vi (в мм).
x1  x1  v1  6125  6, 0  6119, 0;
x2  x2  v2  8320  5, 4  8314, 6;
x3  x3  v3  5580  6,5  5586,5;
x4  x4  v4  1368  1,8  1366, 2;
x5  x5  v5  4694  0,3  4693, 7;
x6  x6  v6  11652  10, 0  11642, 0;
x7  x7  v7  905  6, 2  898,8;
27
x8  x8  v8  6944  4, 4  6948, 4;
x9  x9  v9  5585  7,5  5592,5.
8) Проверка правильности уравнительных вычислений осуществляется правильностью составления условных уравнений
1  x5  x7  x9  0,
2  x5  x8  x6  0,
3  x2  x8  x4  0,
4  191,890  x9  x6  x3  192,353  0,
3  183,506  x1  x2  x3  192,353  0.
9) Оценим точность уравнивания элементов сети.
Средняя квадратичная ошибка единицы веса:

[ pv 2 ]
320,9

 8, 0 мм.
nk
5
(41)
Обратные веса разностей высот
H 93  H 86  F1 , H12  H 02  F2
и высот определяемых реперов
H 93  F3 ; H12  F4 ; H 86  F5 ; H 02  F6
вычислены по формуле
1
 [qff ]  E1 f N1 f  E2 f N 2(1)f  E3 f N 3(2)f 
pF
 E4 f N
(3)
4f
 E5 f N ,
(4)
5f
а именно:
1
 2,50  0, 0  0, 47(1, 4)  0, 626(1,52)  0,124  0, 22 
pF 1
0,55  0,35  0, 67.
28
(42)
1
 0,90  0, 27  0,16  0, 09  0,38 и т. д.
pF 2
Сумма элементов в столбцах 9, 10, 11, 12, т. е. f3, f4, f5, f6,
1
1
1
1
 0,39;
 0, 44;
 0, 49;
 0,34.
т. е. числа
pF 3
pF 4
pF 5
pF 6
Средние квадратичные ошибки высот определяемых реперов (в мм):
Аналогично:
mH 93  
1
 8, 0 0,39  5, 0;
pF 3
mH 12  
1
 8, 0 0, 44  5,3;
pF 4
mH 86
1

 8, 0 0, 49  5, 6;
pF 5
mH 02  
(43)
1
 8, 0 0,34  4, 7.
pF 6
Средние квадратичные ошибки разностей высот, т. е.
функций F1 и F2:
M F1  
1
 8, 0 0, 67  6,8 мм;
pF 1
MF2  
1
 8, 0 0,38  4,9 мм.
pF 2
Средняя квадратичная ошибка нивелирования одного ки1
лометра хода: m1км  8
 2.1 мм, т. к. обратный вес хода
15
S
1
(в примере q  ).
протяженностью S1 = 1 км, равен
15
15
29
30
2
0,8
1,1
0,9
0,1
1,1
1,4
0,8
0,9
1,0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
W
[ga1]
[gf]
[ga5]
[ga4]
[ga3]
[ga2]
q
ход
+1
+14
2,9
3,4
–14
+1,1
+1
+1
–1
+1
–1
4
3
+1
+24
+1,0
+1
–1
6
2,7
3,3
0
–0,9 –1,4
+8
0
–1
–1
+1
5
2,8
+0,9
+1,1
0
+18
0
7
+1
+1
–1
2,5
–1,1
+1,4
–1,1
–1,4
0
+1
–1
8
0,9
0
0
–0,9
+0,9
0
+1
9
0,8
0
0
0,9
1,0
0
0,8
0
0
0
0
13
f
H02
+3,6
+5,3
+0,9
+1,7
14
+2
+1
–1
–1
+2
+1
0
+1
+3
S
V
15
–6,02
–5,44
+6,54
–1,81
–0,34
–10,02
+1
+6,18
+4,36
+1
–7,47
2
[ kw]  [ pv ] 320,76
+1,0 –0,3 +5,2
12
f
H86
–0,9 +1,0
0
0
0
+1
11
f
H12
+0,8 –0,9
0
0
0
0
10
+1
1
ai2
ai3
ai4
ai5
f
f
f
ai1
p –7,73 +7,42 +2,58 +0,26 –7,53 H93–H86 H12–H02 H93
Коэффициенты и свободные члены условных уравнений поправок
и нормальных уравнений коррелат
v2
q
16
45,30
26,90
47,52
4,68
0,11
72,71
77,74
21,12
55,80
320,88
pv 2 
Таблица 4
31
1,1
0
–1,06
–0,12
1,78
–1
E34N3(2)
(3)
E4(4)
N5
2,8
–0,64
1,14
0,24
0
0
–0,34
E14N1
N
2,17
–5,83
0
8,0
6,480
–19,31
–5,31
–14,0
–4,828
14,0
6
w
0,9
0
0,9
0
0
8
F2
0,22
–0,34
–0,84
0
1,4
0,626
–1,52
–0,42
0
–1,1
0,40
–0,14
0,54
0
0
0,259
–0,63
0,27
0
–0,9
0,470 –0,302
–1,40
0
–1,4
0
0
7
f1
1,80
–1,1
0
–4,562 –0,124 –0,225
8,12
0,48
–11,53
–4,83
24,0
–0,453 –0,893
1,10
E24N2(1)
0,222
–0,54
–0,54
0
1,1
0
0
0
0
0
0
5
K5
0,9
–1
2,43
0
0
0,597
–1,78
–0,38
–1,4
–0,345
1,0
4
K4
3,3
N4
E3
(3)
N3(2)
E23N2
–0,27
0
E12N1
(1)
2,7
0,302
–0,90
0
–0,9
0
0
3
K3
N3
E2
–1
2,98
N(1)
(2)
–0,42
E12N1
–0,379
3,4
–1
N2
2,9
2
1
E1
K2
K1
N1
Действия
0,8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
F3
0,09
0,09
0
0
–0,101
0,30
0,30
0
0,276
–0,8
12
F6
–0,41
0,02
–0,23
–0,34
1,0
0,48
0,02
0,18
0,28
0
–0,045 –0,037
–0,11
–0,11
0
0
0,128
–0,38
–0,379
0
–0,345
1,0
11
F5
–0,9
0
0
0,506 –0,230 –0,270
–0,90
0
0
0
–0,9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
F4
Решение нормальных уравнений по полной схеме Гаусса
21,6
–6,545
11,65
0,66
–11,69
–6,62
29,3
–1,234
2,99
–5,91
0
8,9
6,574
–19,58
–7,28
–12,3
–6,621
19,2
13
S’ =
=S+w
–6,545
11,65
–1,230
2,99
6,574
–19,58
–6,623
14
Контроль
Таблица 5
32
11,82
0
–2,81
K1
–0,09
0,16
0,78
7,42
K2
0
0
3,41
–4,56
–0,66
–0,19
0,67
1
pF
–0,03
–0,95
–4,83
6,48
–0,89
4,82
0,26
0,06
2,58
K3
0
–7,53
K4
0,03
–0,26
0,29
0
0
F2
0,58
0
0
0
F4
0,80 –0,32
0
0
0
0
F3
0
0
0
0,8
0,38
0
0,39
0
–0,09 –0,41
–0,16
–0,27
0
0,9
0,44
–0,46
0
0
0
0
0,9
0,350 –0,019 –0,51 0,204
–0,55
K5
–7,529
0,69
–0,14
2,5
–1
–5,20
–0,98
0
0
f1
[qf]
E5(5)
N5
–7,73
–0,73
E45N4(3)
1,57
–0,50
E35N3(2)
(4)
0
0
0
0
K4
E15N1
K3
E25N1(1)
K2
w
K1
K5
Действия
0,49
–0,03
–0,09
0
–0,05
–0,34
1,00
0,134
–0,21
–0,26
0,05
0
0
F5
0,34
–0,08
–0,13
0
–0,03
0,23
0,80
0,223
–0,35
–0,31
–0,04
0
0
F6
–8,146
12,79
–7,46
–1,35
0
0
S’ =
=S+w
–8,147
12,79
Контроль
Окончание табл. 5