О соотношении неопределенности для сигналов В. И. Полищук, С. И. Челкак

О соотношении неопределенности
для сигналов
В. И. Полищук, С. И. Челкак
Аннотация. «Чем короче импульс, тем шире его спектр.» Эту
или подобную ей фразу можно найти в любом курсе лекций
по теории сигналов, однако, ее точный смысл обычно остается неясен. Между тем, даже самое поверхностное знакомство с
основами квантовой теории позволяет усмотреть прямую аналогию между высказанным принципом и так называемыми соотношениями неопределенности.
1. Введение
Открытые В. Гейзенбергом и формализованные Г. Вейлем, соотношения неопределенности накладывают ограничения на точность
совместного измерения таких пар величин как координата–импульс
или энергия–время.
Воспроизведем вывод Вейля, освободив его от квантово–механической терминологии.
Во всех последующих формулах, содержащих интегралы, областью интегрирования служит R, поэтому пределы интегрирования
не указываются.
Чтобы не загромождать изложения исследованием сходимости
несобственных интегралов и ясно видеть за выкладками их суть,
всюду ниже под сигналом удобно будет подразумевать определенную на всей временно́й оси R комплекснозначную гладкую (т. е.
неограниченно дифференцируемую) функцию u, все производные
которой убывают на бесконечности быстрее любой степени своего
аргумента: tm u(n) (t) → 0, где t → ∞, a m, n = 0, 1, 2, . . .
Обозначим через U линейное пространство всех сигналов. Как
устанавливается в курсе математического анализа, преобразование
1
2
В. И. ПОЛИЩУК, С. И. ЧЕЛКАК
Фурье u 7→ û, где
Z
1
(1)
û(ω) = √
e−iωt u(t) dt ,
2π
отображает U на себя с сохранением скалярного произведения
Z
(2)
u · v = u(t)v(t) dt ,
Равенство скалярных произведений u · v = û · v̂ составляет суть
теоремы Парсеваля.
Пример 1. Для гауссова сигнала g(t) = C exp(−t2 /2σ 2 ) преобразованием Фурье будет ĝ(ω) = Cσ exp(−ω 2 σ 2 /2).
Определение 1. Центр t0 и эффективную длительность δt
ненулевого сигнала u определим равенствами
Z
Z
2
(3)
t0 |u (t)| dt = t |u2 (t)| dt
Z
Z
2
(4)
2
(δt)
(t − t0 )2 |u2 (t)| dt
|u (t)| dt =
Определение 2. Среднюю частоту ω0 и эффективную ширину спектра δω > 0 ненулевого сигнала u определим равенствами
Z
Z
2
(5)
ω0 |û (ω)| dω = ω |û2 (ω)| dω
Z
(6)
Z
2
2
(δω)
|û (ω)| dω =
(ω − ω0 )2 |û2 (ω)| dω
Замечание. Введенные здесь характеристики сигнала, очевидно, вполне аналогичны таким характеристикам распределения вероятностей как среднее значение и среднеквадратичное уклонение.
Раскрывая скобки в правых частях равенств (4) и (6), приходим
к соотношениям, аналогичным формуле теории вероятностей, связывающей второй начальный момент распределения с его первым
моментом и дисперсией:
Z
Z
2
(7)
2
2
t20 )
2
ω02 )
t |u (t)| dt = ((δt) +
Z
(8)
|u2 (t)| dt
Z
2
2
ω |û (ω)| dω = ((δω) +
|û2 (ω)| dω
О СООТНОШЕНИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
3
Пример 2. Найдем значения δt и δω для гауссова сигнала. Ввиду четности сигнала, его центр и средняя частота — нули. В полном
согласии с теоремой Парсеваля,
Z
Z
Z
√
2
2
2
2
2
2
|g (t)| dt = |C|
exp(−t /σ )dt = |C| σ e−x dx = |C|2 σ π
Z
Z
2
2 2
ĝ (ω) dω = |C| σ
Z
2 2
2
exp(−ω σ )dω = |C| σ
√
2
e−x dx = |C|2 σ π
(интеграл Пуассона). Равенство (4) принимает вид
Z
√
2
2
2
t2 exp(−t2 /σ 2 )dt =
(δt) |C| σ π = |C|
√
= |C|2 σ 3 Γ (3/2) = |C|2 σ 3 π/2 ,
√
откуда находим, что δt = σ/ 2. Аналогично преобразуя равенство (6), имеем
Z
√
√
2 2
2 2
2
2
ω 2 e−ω σ dω = |C|2 (2σ)−1 π ,
(δω) |C| σ π = |C| σ
√
откуда δω = (σ 2)−1 .
Замечание. Очевидно, для гауссовых сигналов выполнено равенство δt·δω = 1/2 .
Теорема 1. Для произвольного ненулевого сигнала v выполнено неравенство
Z
Z
Z
Z
2
2
2
2
(9)
|v(t)| dt |v̂(ω)| dω 6 4 ω |v̂(ω)| dω t2 |v(t)|2 dt
равенство в котором достигается только на гауссовых сигналах.
B Для фиксированного ненулевого сигнала v и любого действительного x неотрицательный квадратный трехчлен
Z
(10)
F (x) = |xv̇(t) + tv(t)|2 dt
принимает нулевое значение тогда и только тогда, когда сигнал v
гауссов. Действительно, пусть F (x∗ ) = 0. Тогда при всех t ∈ R
непрерывная функция x∗ v̇(t) + tv(t) обращается в нуль. Решая
дифференциальное уравнение x∗ v̇(t) + tv(t) = 0, находим, что
v(t) = C exp(−t2 /2x∗ ). Ввиду ограниченности сигнала v, число x∗
положительно, так что сигнал v гауссов. Как легко проверить, верно и обратное: если v(t) = C exp(−t2 /2σ 2 ), то F (σ 2 ) = 0.
4
В. И. ПОЛИЩУК, С. И. ЧЕЛКАК
Следовательно, для отличных от тождественного нуля негауссовых сигналов v все значения функции
Z
F (x) = (xv̇(t) + tv(t))(xv̇(t) + tv(t))dt =
Z
Z
Z
2
2
2
=x
|v̇(t)| dt + x t d |v(t)| + t2 |v(t)|2 dt =
Z
Z
Z
2
2
2
=x
|v̇(t)| dt − x |v(t)| dt + t2 |v(t)|2 dt
строго положительны. Условием строгой положительности трехчлена F (соответственно, условием равенства F нулю в некоторой
точке) является отрицательность (соответственно, равенство нулю)
его дискриминанта
µZ
¶2
Z
Z
2
2
D=
|v(t)| dt − 4 |v̇(t)| dt t2 |v(t)|2 dt .
Теорема Парсеваля позволяет записать дискриминант D в виде
Z
Z
Z
Z
2
2
2
ˆ
(11)
D = |v(t)| dt |v̂(ω)| dω − 4 |v̇(ω)|
dω t2 |v(t)|2 dt .
Остается, проинтегрировав по частям представление
Z
Z
iω
1
−iωt
ˆ
e
v̇(t) dt = √
e−iωt v(t) dt = iωv̂(ω) ,
v̇(ω) = √
2π
2π
подставить результат в выражение (11).
C
Если в установленном неравенстве (9) просто заменить v на u и
применить затем соотношения (7) и (8), то получим неравенство
((δt)2 + t20 )((δω)2 + ω02 ) > 1/4 ,
которое обращается в равенство только на гауссовых сигналах. Как
показывает следующая теорема, в этом неравенстве можно освободиться от слагаемых t20 и ω02 .
Теорема 2 (Соотношение неопределенности). Для произвольного ненулевого сигнала u выполнено неравенство
δt · δω > 1/2 ,
равенство в котором достигается только на сигналах вида
u(t) = eiω0 (t−t0 ) g(t − t0 ) ,
где сигнал g гауссов.
О СООТНОШЕНИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
5
B В неравенстве (9) положим v(t) = e−iω0 t u(t + t0 ), тогда
Z
Z
Z
2
2
|v(t)| dt = |u(t + t0 )| dt = |u(t)|2 dt ;
Z
Z
2
2
t |v(t)| dt = t2 |u(t + t0 )|2 dt =
Z
Z
2
2
2
= (t − t0 ) |u(t)| dt = (δt)
|u(t)|2 dt .
Вычислим теперь преобразование Фурье v̂ сигнала v:
Z
Z
1
1
−iωt
v̂(ω) = √
e
v(t) dt = √
e−i(ω+ω0 )t u(t + t0 ) dt =
2π
2π
Z
i(ω+ω0 )t0 1
√
=e
e−i(ω+ω0 )(t+t0 ) u(t + t0 ) dt = ei(ω+ω0 )t0 û(ω + ω0 ) ;
2π
Отсюда следует, что
Z
Z
Z
2
2
|v̂(ω)| dω = |û(ω + ω0 )| dω = |û(ω)|2 dω ;
Z
Z
2
2
ω |v̂(ω)| dω = ω 2 |û(ω + ω0 )|2 dω =
Z
Z
2
2
2
= (ω − ω0 ) |û(ω)| dω = (δω)
|û(ω)|2 dω .
Теперь неравенство (9) преобразуется к виду
Z
Z
Z
Z
2
2
2
2
2
|u(t)| dt |û(ω)| dω 6 4(δt)
|u(t)| dt · (δω)
|û(ω)|2 dω .
Сокращая на положительный общий множитель, приходим к требуемому неравенству 1/2 6 δt · δω. Равенство здесь достигается
тогда и только тогда, когда оно имеет место в неравенстве (9), т. е.
когда сигнал v гауссов: v(t) = e−iω0 t u(t + t0 ) = g(t). Но последнее
требование равносильно условию u(t) = eiω0 (t−t0 ) g(t − t0 ).
C
Список литературы
[1] Горелик Г.С. Колебания и волны. — М.: Физматгиз, 1959. — 572 с.
[2] Харкевич А.А. Спектры и анализ. — М.: Гостехиздат, 1957. — 236 с.