8.5. волны на поверхности жидкости

8.5. Волны на поверхности жидкости
Волновое движение возникает на поверхности жидкостей, когда меняются под действием
внешних причин формы её границ. Формирование волн этого типа происходит за счёт действия
сил тяжести и поверхностного натяжения, поэтому эти волны часто называют гравитационнокапиллярными. Если какое либо воздействие от порыва ветра на поверхности океана до тривиального булыжника в луже нарушает равновесное состояние поверхностного слоя жидкости, то указанные силы, стремясь восстановить состояние равновесия, передают от частицы к частице движение, которое и является, по сути, волновым. Возникающее волновое движение, строго говоря,
охватывает все слои жидкости, но в первом приближении, вполне достаточном для элементарного
рассмотрения, считать, что волновое движение сосредоточено в поверхностном слое. Однако следует оговориться, что такое становится возможным в
глубокой воде, когда высота слоя жидкости больше длины волны.
Всё многообразие форм и размеров волн на поверхности жидкости можно условно свести к четырём основным типам (Рис.8.42). На больших глубинах в открытом
море при сильном ветре образуются волны, профиль которых не является обычной гармонической функцией
(Рис.8.42,а). Эти волны описываются гиперболическими
функциями [26, 29].
После прекращения ветра на глубокой воде ещё довольно продолжительное время существуют волны, именуемые мёртвой зыбью (Рис.8.42,б), профиль этих волн
описывается трохоидой, которая представляет собой траекторию точки, расположенной на катящейся окружности.
Существенно отличны от остальных волны, набегающие на мелководье (Рис.8.42,в). По мере уменьшения
глубины профили волны меняется за счёт того, что условия движения верхушки волн отличаются от условий
перемещения подошвы, которая тормозится дном.
Совершенно загадочными являются одиночные волны – солитоны (Рис.8.42,г), изучение которых началось
совсем недавно, всего 150 лет назад. Первое объяснение
этого феномена появилось и того позже, в основе теории
солитонов лежит эффект «взаимодействия» нелинейности и дисперсии.
Рис.8.42. Типы волн [26]
Начнём рассмотрение гравитационно-капиллярных
волн с мёртвой зыби. На рисунке 8.43 показано, каким образом можно получить трохоиду. Выделим на окружности радиуса R
произвольную точку А, находящуюся на расстоянии R/2 от
центра и проследим за её траекторией при качении колеса
по горизонтальной поверхности скоростью. Крутизна трохоиды определяется очевидным соотношением
R
1
ς=
=
. (8.25)
2πR 2π
Рис.8.43. Образование мёртвой зыби [26]
110
Основы теории гравитационно-капиллярных волн
были заложены в работах Джона Уильяма Стретта (лорд
Рэлей) (1842 – 1919) и Джозефа Джона Томсона (лорд
Кельвин) (1856 – 1940). Был рассмотрен простейший
случай. Считалось, что движение поверхности жидкости
является плоским, при этом частицы жидкости движутся
по круговым траекториям, профиль волны аппроксимируется синусоидой (Рис.8.44).
Разлагая плоское движение на два более простых,
возможно для них записать следующие уравнения движения [29]
2πct
λ
Уравнение траектории в этом случае примет вид
x = ct ; y = r sin
y
A
c-v
v
x
B
c+v
Рис. 8.44.Схема волнового движения
(8.26)
2πx
.
(8.27)
λ
Тонкий слой на поверхности жидкости можно считать приближённо трубкой тока, т.е. объём, в
котором скорость всех частиц жидкости одинакова. Для трубки тока можно использовать уравнение Даниила Бернулли. Для точек А и В уравнение Бернулли будет иметь вид
2
2
ρ(c − v )
ρ(c + v )
+ 2ρgr = PB +
,
PA +
2
2
или
2ρc 2 = 2ρgr + (PA − PB ) ,
(8.28)
где ρ - плотность жидкости, c - скорость распространения волны вдоль оси ох, v – линейная скорость вращательного движения, РА, РВ – давления в точках А и В, которые можно представить в
виде суммы и разности атмосферного давления Р0 и лапласовского давлений РЛ
PA = P0 + σk ;
PB = P0 − σk ,
в данном случае безразмерная величина
d 2 y 4πr 2
(8.29)
k= 2 = 2 ,
dt
λ
является параметром кривизны. С учётом сделанных преобразований, уравнение (3.4) можно переписать следующим образом
4πσr
4πσr
, PB = P0 − 2 ,
PA = P0 +
(8.30)
2
λ
λ
4πσr
4πσr
ρc 2 = ρgr + 2 , ⇒ c = gr + 2 .
(8.31)
λ
λ
Так как λ = 2πr , то
gλ 2πσ
c=
+
.
(8.32)
2π ρλ
Полученное уравнение демонстрирует зависимость фазовой скорости гравитационнокапиллярных волн от длины волны, что указывает, в свою очередь, на наличие дисперсии. Уравнение (8.32) впервые было получено лордом Кельвином при решении волнового уравнения. Подкоренное выражение состоит из двух слагаемых, одно из которых определяет вклад гравитационных сил, а второе сил, вызванных поверхностным натяжением. Если волны достаточно длинные,
т.е.
gλ
2πσ
>>
,
(8.33)
2π
ρλ
y = r sin
gλ
.
(8.34)
2π
Волны, удовлетворяющие условию (8.34) называются гравитационными волнами. В другом крайнем случае, для относительно коротких капиллярных волн
c Грав ≅
111
2πσ
.
(8.35)
ρλ
На рисунке 8.45 [58], в качестве примера, показана зависимость фазовой скорости вол на поверхности жидкости от их длины для глубокой воды.
Кривая с = f(λ) имеет две асимптоты, одна из которых соответствует случаю гравитационных волн
(8.34), а вторая – капиллярных волн (8.35).
Волны на поверхности морей и океанов, вызванные природными факторами, как правило, достаточно длинные, т.е. это гравитационные волны,
потому, что влияние сил поверхностного натяжения не существенно, превалирующую роль играют
силы инерциального происхождения.
Рассмотренная модель образования волн во
многом является условной. Эксперименты, провеРис.8.45 Зависимость фазовой
денные в реальных морских условиях, по данным
скорости
от длины волны [26]
академика Шулейкина [64], показали, что трохоидальный и синусоидальный профиль
волн на глубокой воде не наблюдается.
На рисунке 8.46 показана траектория
светящейся точки, помещённой на плавающем поплавке. Кружочками отмечены середины отрезков, полученных
при киносъёмке в те промежутки вреРис.8.46. Траектория движения поплавка [29]
мени, когда обтюратор открывал доступ света на фотоплёнку. Полученная
траектория движения далека от трохоиды: на плоское движение, рассмотренное выше в элементарной теории, накладывается «волновое» течение, обусловленное эффектом Стокса [29].
Несмотря на отмеченные недостатки, рассмотренная выше элементарная теория успешно может использоваться для приближённых оценок параметров морских ветровых волн, что вполне
удовлетворяет большинству практических задач. Так, например, для глубокой воды период волн
Т, их длина и скорость определятся соотношениями
gT 2
2πλ
≅ 0,8 λ ; λ =
,
(8.36)
T=
2π
g
c Капил ≅
λ
gλ
=
≅ 1,25 λ ≅ 1,56T .
(8.37)
T
2π
Исследование морских волн конечной амплитуды показало, что скорость их распространения зависит так же и от высоты волн h, несколько увеличиваясь с возрастанием h.
Суммарная энергия, приходящаяся на единицу площади взволнованной морской поверхности,
определяется уравнением
1
1
E Σ ≅ ρgh 2 γh 2 ,
(8.38)
8
8
где γ = 104 Н вес 1м3 воды. При высоте волн h = 0,5 м суммарная энергия составляет 312 Дж, это на
1м2 , что примерно соответствует энергии кирпича, поднятого над поверхностью земли на высоту
10м. А волны метровой высоты на площади 1м2 соответствуют энергетически кирпичу, вознесённому на 42м. Не трудно пересчитать энергию волн на 1км2 и т.д. Энергия волн переносится в направлении их распространения с групповой скоростью, равной половине фазовой
(8.39)
u = 0,5c .
Полученные при этом цифры завораживают своими потенциальными возможностями в плане использования энергии ветровых волн на поверхности жидкости. Однако всё не так просто. Идея
волновых электростанций не нова, но пока сложна в реализации, да и нефти ещё есть некоторое
количество в недрах планеты, хотя войны за её обладанием уже происходят. Это тревожный симптом для глобальной энергетики.
c=
112
Для жидкости конечной глубины Н период и фазовая скорость волн определяется более сложными уравнениями, потому что траектории движения частиц становятся ещё более экзотическими
T=
c=
2πλ
.
2πH
gth
λ
(8.40)
gλ 2πH
.
th
λ
2π
(8.41)
Очевидно, для большой глубины, т.е. когда отношение H λ велико, гиперболический тангенс
th
2πH 2πH
≅
,
λ
λ
в этом случае фазовая скорость волн из уравнения (8.41) определяется как
(8.42)
c = gH .
Скорость, как видно, не зависит от длины вол, следовательно, перенос энергии осуществляется с
фазовой скоростью.
На мелководье групповая скорость волн определяется через гиперболический синус
u=
c⎛
2χH ⎞
⎜1 +
⎟,
2 ⎜⎝ sh (2χH ) ⎟⎠
(8.43)
где χ = 2π λ - частота формы волны. Из уравнения (8.43) следует зависимость групповой скорости
волн от глубины моря, кроме того, видно, что величина u может меняться в пределах
0,5c ≤ u ≤ c .
(8.44)
Перемещение энергии с фазовой скоростью имеет место и у одиночных волн, возникающих в
мелководных каналах и устьях рек при движении судов. Одиночные волны полностью располагаются над поверхностью воды, образуя подобие перемещающегося бугра. Частицы жидкости в такой волне движутся по полуорбитам, фазовая скорость одиночной волны равна
c = g(H + h ) .
(8.45)
Корабельные волны. При движении судов поверхность воды деформируется, и частицы жидкости, будучи выведенными, из положения равновесия, под действием силы тяжести начинают
совершать колебательные движения, которые, распространяясь вокруг, образуют систему гравитационных волн, распространяющихся далеко за судном. Глобально, причиной образования корабельных волн являются дополнительные скорости, вызванные судном. На рисунке 8.47 приведена
спутниковая фотография группы из пяти быстроходных военных судов, на которой отчётливо просматривается система кильватерных следов. Картина волн, занимающих пространство, существенно превышающее масштабы кораблей, позволяет на качественном уровне установить их периодичность и особенности геометрии.
При перемещении судна глубоко погруженного
в воду, вдоль его корпуса устанавливается распределение давлений: в носовой и кормовой частях
судна создаётся повышенное давление (Рис.8.48), а
в средней части – пониженное. Напомним, что в
механике сплошных сред давление следует рассматривать как систему распределённых сил. Изменение давления, как правило, сопровождается
перемещением сплошной среды.
Так как на невозмущённой поверхности жидкости давление постоянно и равно атмосферному
давлению Р0, то согласно уравнению Эйлера – Бернулли
Рис.8.47. Корабельные волны[19]
ρv 2
+ ρgz = const ,
(8.46)
P0 +
2
113
в кормовой и носовой оконечности корпуса
судна уровень жидкости должен повышаться, а в средней части понижаться.
Вследствие инерциальных свойств масс
воды форма поверхности не будет в точноРис.8.48. Образование корабельной волны [29]
сти следовать уравнению (8.46). На рис.
8.49. Пунктирной линией показан расчётный профиль носовой и кормовой волны, а
сплошной линией − экспериментальная
кривая (по данным А.А. Костюкова).Теоретические данные получены при
анализе волнового сопротивления корпуса
судна (метод Шигера, Виглея).
Волны, образуемые равномерно движущимся судном в спокойной воде, перемещаются вместе с корпусом с такой же
Рис.8.49. Профили корабельной волны
скоростью и не меняют своей относительной конфигурации [29]. Корабельные волны можно условно поделить на две группы: расходящиеся волны, образующие характерный конус и поперечные волны, заполняющие площадь конуса.
Расходящиеся волны располагаются симметрично по обе стороны корпуса рядами, состоящими из
отдельных сравнительно коротких гребней (Рис.8.50) волн. Середины гребней расходящихся волн
лежат на одной прямой линии, составляющих с диаметральной плоскостью угол α . При движении
по глубокой воде величина этого угла слабо зависит от скорости судна и лежит обычно в зависимости от остроты обводов носовой ветви ватерлинии в пределах α ≈ 18-200. Угол β между направлением гребней расходящихся волн и диаметральной плоскостью равен приблизительно 2α. При
перемещении судна в неограниченном фарватере расходящиеся кормовые и носовые волны не
взаимодействуют,
распространяясь,
независимо.
Первая поперечная носовая волна
возникает в непосредственной близости
от форштевня, а первая поперечная
кормовая волна располагается несколько впереди ахтерштевня. Гребни поперечных волн отстоят друг от друга на
расстоянии λ , являющемся длиной
этих волн. Длина поперечных волн связана со скоростью судна v 0 следующим
соотношением
2πv 02
.
(8.47)
λ=
Рис. 8.50. Образование кильватерного следа [29]
g
Картина волн за кормой судна представляется типичным интерференционным взаимодействием поперечных кормовых и носовых волн. На ограниченной глубине Н процесс волнообразования
изменяется. При скоростях судна больших критической скорости v k = gH резко увеличивается
угол α и может достигать своей предельной величины α ≅ 900. В этом случае судно «тащит» за
собой две одиночные поперечные волны, кормовую и носовую, которые имеют вид выпученности
над поверхностью. Скорость переноса энергии этой волной равна скорости её распространения.
В заключение отметим, что образование волн за движущимся судном является показателем
несовершенства конструкции транспортного средства. Бурун за кормой – это напрасно израсходованные тонны топлива: красиво, но совершенно бесполезно.
Приливные волны. Изменение взаимного расположения Земли, Солнца и Луны в той или
иной степени отражается на величине гравитационных сил, действующих на любую материальную точку, находящуюся на земной поверхности. С учётом расстояний и масс наиболее сильное
влияние оказывает положение Луны.
114
С незапамятных времён люди обратили внимание на периодическое изменение уровня морей и
океанов. Приблизительно через каждые 12ч 25 мин вблизи берегов уровень воды начинает подниматься, наступает прилив, который длится около 6ч 13 мин. После повышения уровня до максимального значения, начинается его понижение, наступает отлив. Таким образом, за 24ч 50 мин наблюдаются два прилива и два отлива. Как оказалось это время соответствует промежутку между
кульминациями Луны – верхней и нижней. Естественно было предположить, что приливы и отливы обусловлены именно положением нашего естественного спутника. Практически все древние
азиатские и американские цивилизации вели наблюдения за этим природным явлением. Первая
попытка количественной оценки явления была сделана Ньютоном на основе открытого им закона
тяготения.
Представим, подобно Ньютону, Землю в виде шара покрыМировой
C
того водой (Рис.8.51). Под действием притяжения Луны все
океан
точки земной поверхности получают некоторое ускорение,
Луна
поверхность океана в этой связи должна принимать вытянуA
Земля
тую по направлению к Луне форму. Ускорения в точках А и В B
поверхности условного океана определятся как
Gm
Gm
aA =
; aB =
,
r = 60R З
2
D
(r − 1)
(r + 1)2
где m – масса Луны. Разность ускорений в указанных точках
приводит к возникновению приливообразующего потенциала
Рис. 8.51. Модель Ньютона
гравитационного поля
⎞
⎛1
(8.49)
Ω = gΞ⎜ − cos 2 ϑ ⎟ ,
⎝3
⎠
где
3 ⎛ m ⎞ R 2З x 2
⎟
Ξ = ⎜⎜
.
(8.50)
2 ⎝ M З ⎟⎠ r 3
В уравнениях приняты следующие обозначения: МЗ – масса Земли, х – расстояние от Земной оси
до точки наблюдения,RЗ – радиус Земли, ϑ - зенитное расстояние центра Луны, измеренное в точке наблюдения.
Образующаяся под действием приливообразующих сил поверхность с высокой степенью точности совпадает с поверхностью вытянутого эллипсоида, большая ось которого совпадает с направлением Земля – Луна. Вследствие вращения Земли и
Луны приливная волна перемещается по поверхности океана. Аналогичный эллипсоид образуется и
вследствие взаимодействия масс воды с Солнцем.
Эффект от солнечной гравитации примерно в 2,17
раза слабее.
Ускорения, вызываемые приливообразующими
потенциалами, имеют порядок около 10 –7 g. Важным
этапом в развитии теории приливных волн была,
опубликованная в 1775 г., динамическая теория Лапласа. Основу теории составляли общие уравнения
гидродинамики, решения которых имели период,
близкий к периоду собственных колебаний океана.
Со временем уравнения Лапласа были распространены и на жидкие внутренние слои земной
структуры. Эти уравнения предсказывали приливные
волны в жидких слоях нашей планеты. По современным данным температура внутри нашей планеты не
однородна (Рис. 8.52), предполагается, что начиная,
примерно, с 1000 К вещество находится в пластическом и жидком состояниях. В 50-е гг. эти волны были обнаружены экспериментально. Под действием
приливных сил Земля периодически деформируется,
Рис.8.52. Температура Земли[11]
115
причём смещение земной поверхности может достигать 50 см. Установлено, что земные приливные волны в Азии меньше, чем в Европе. Наличие приливных внутренних волн сказывается на
угловой скорости вращения Земли.
Приливные волны на поверхностях морей и океанов описываются обычным волновым уравнением
∂2y
∂2y
=
gH
,
(8.51)
∂t 2
∂x 2
где gH = c фазовая скорость волн. Для полусуточного прилива, когда Т = 12ч 25 мин наблюдаются
следующие значения длин вол в зависимости от глубины (Таблица 8.3)
Н, м
с, м/с
λ , км
Н, м
с, м/с
10
50
100
500
9,9
21
31
70
444
992
1400
3130
1000
5000
10000
99
210
310
Таблица 8.3
λ , км
4440
9920
14000
Необходимо отметить, что даже для максимально возможной глубины 10000 м длина волны
составляет 14000 км, что в 1400 раз превышает глубину, в более мелкой воде разница становится
ещё значительнее. Энергия приливных волн вычисляется из условия постоянства смещений частиц воды, находящихся на одной вертикали. Применительно к каналу шириной b на элементарном
участке dx потенциальная энергия может быть вычислена через элементарную работу, совершаемую при подъёме массы m в = ρby , на высоту 0,5y, т.е. на высоту центра тяжести слоя воды, находящегося над не взволнованной поверхностью. На расстоянии λ потенциальная энергия определится интегралом вида
λ
1
П = ρgb ∫ y 2 dx .
(8.52)
2
0
Кинетическая энергия той же массы воды определится как
λ
2
1
⎛ dy ⎞
(8.53)
K = ρHb ∫ ⎜ ⎟ dx .
2
dt ⎠
0 ⎝
Полная энергия приливной волны, как и положено законом сохранения энергии, равна сумме кинетической и потенциальной Энергий, т.е.
E = K + П ; ⇒ K = П = 0,5E .
(8.54)
Волны цунами. Цунами представляют собой длинные океанские волны, возникающие, главным образом, при подводных извержениях вулканов и землетрясениях, когда на достаточно больших площадях происходит смещение дна. Длина волн цунами изменяется от десятков до сотен
километров.
Механизм образования волн цунами в упрощённом варианте можно представить следующим
образом. Предположим, что участок океанского дна сместился вверх. Ввиду не сжимаемости воды
на поверхности возникнет холм небольшой высоты (Рис.8.53). Развитие волны можно условно
разделить на четыре этапа: первый этап – зарождение волны, образование над поверхностью океана холма; второй этап – перемещение волны по поверхности морей
и океанов; третий этап – взаимодействие волны с береговой линией;
четвёртый этап – перемещение водных масс над берегом.
При рассмотрении особенностей перемещения этих волн необходимо обязательно учитывать их гигантскую длину. Для цунами
все океаны и моря представляют собой мелководье, поэтому скорость распространения описывается уравнением
c = gH .
(8.55)
При глубине океана 2000 м, что вполне реально в условиях камчат- Рис.8.53 Образование цунами
ского шельфа, скорость цунами оказывается равной
116
c = 10 ⋅ 2000 ≅ 510 км ч ,
т.е. скорость волны соизмерима со скоростью
современных летательных аппаратов.
Энергия цунами определяется амплитудой и
длиной волны, которые в свою очередь, зависят
от силы подземных толчков и от того, на сколько
близко от поверхности дна находится эпицентр
землетрясения. На рисунке 8.54 показана динамика распространения волны цунами, возникшей
22 мая 1960 г. вблизи берегов Чили. Побережья
Камчатки эта волна достигнет примерно через 18
часов. К Новой Зеландии и Японии волна подкатит через 22 часа.
В открытом море волна цунами совершенно
Рис. 8.54. Распространение цунами [27]
не опасна, она воспринимается в виде плавного
подъёма и, не менее плавного опускания судна на высоту волны (порядка 1 4 метра) относительно
статического уровня.
Приближение волны к берегу характеризуется уменьшением её длины и увеличением амплитуды. При изменении глубины с Н1 до Н2 изменение скорости составит
Δc = gH1 − gH 2 .
(8.56)
Длина волны, при этом, изменится на величину
Δλ = T gH1 − gH 2 .
(8.57)
Определим энергию волны, для чего рассмотрим её гребень шириной L, длиной λ 2 и высотой h.
Масса воды, в этой полуволне, находящейся выше уровня невозмущённой поверхности определится как
m = ρL(λ 2)h .
(8.58)
Потенциальную энергию этой части волны можно определить в предположении, что её центр
масс поднимается на высоту h 2
(
)
2
⎛ ρLhλ ⎞ h ρgLh λ
.
(8.58)
П=⎜
⎟⋅g =
4
⎝ 2 ⎠ 2
На самом деле гребень не является прямоугольным параллепипедом, т.е. в уравнение (8.58) необходимо добавить коэффициент формы α < 1/4
П = αρgLh 2 λ .
(8.59)
В первом приближении можно считать, что при подходе к берегу будут меняться параметры волны от h1, λ1 до h2,λ2, а запасённая в ней энергия сохранится, т.е.
h 12 λ1 ≅ h 22 λ 2 .
(8.60)
Из уравнения (3.31) определим величину λ
c = λν =
λ
; ⇒ λ = T gH ,
T
и подставим в (3.37)
h 12 H1 = h 22 H 2 ,
откуда следует, что
h2
H
=4 1 .
h1
H2
(8.61)
Определим изменение высоты волны, которая зародилась на глубине Н1 = 5000 м, и подошла к
берегу, где глубина составляет Н2 = 50м. Если на глубокой воде h1 = 2м при λ1 = 10000м, то при
приближении к берегу скорость волны с с1 = 1000 км/ч уменьшится до с2 = 100 км/ч, а высота волны возрастёт до h2 = 6,3 м.
Таким образом, на стометровом отрезке в соответствии с уравнением (8.59) волна обладает при
подходе к берегу энергией порядка 1⋅1011 Дж, это эквивалентно потенциальной энергии массы в
1⋅106 кг, поднятой на высоту 10 км.
117
Динамика цунами существенно отличается от динамики ветровых волн. Скорость установившихся штормовых волн составляет примерно 0,8 от скорости ветра. При восьми бальном шторме
скорость ветра достигает 40 м/с (144 км/ч), это, несомненно, скорость внушительная, но всё равно
гораздо меньшая скорости цунами, которые могут проходить до 1000 км за один час. К тому же,
длина штормовых волн не превышает 500 м, в то время как волны цунами могут легко достигать
длины в 10 км. А вот высота штормовых волн больше. В открытом океане штормовые волны могут иметь высоту до 20 м, а цунами, только 3-5 м. Естественно, что крутизна, наконец-то это слово
употребилось в его исконном смысле, штормовых волн больше, поэтому они представляют для
всего плавающего большую опасность.
118