56 К вычислению моментов инерции полушара Д.ф.-м.н

Секция 9 «ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА».
К вычислению моментов инерции полушара
Д.ф.-м.н., проф. Козлов В.И.
МГТУ «МАМИ»
Вычисление момента инерции тела (вывод нужной формулы) обычно состоит в
том, что, исходя из определения момента инерции материальной точки и согласно
определению момента инерции протяженного тела, мы разбиваем рассматриваемое тело
на дифференциально малые элементы и путем интегрирования получаем нужную
формулу. Но эта процедура удается лишь в небольшом числе случаев (правда, самых
интересных и важных), когда геометрия тела достаточно проста. Рассмотрим случай,
когда это не так, но момент инерции можно получить очень просто (и красиво).
Рассмотрим полушар, и пусть нас интересует его момент инерции относительно
оси, проходящей через край его плоской поверхности в некоторой точке так, что диаметр
этой поверхности, проходящий через эту же точку, лежит в одной плоскости с осью (см.
рис. 1).
B
B′
О′
A′
О
B ′′
С
А
O ′′
A′′
Рисунок 1
Ось, относительно которой надо найти момент инерции полу-шара, – это ось B ′B ′′ .
Она проходит через край плоской стороны полу-шара в т. B. Центр масс полу-шара
находится в т. А. Центр плоской части полу-шара – это т. О. Если искать момент инерции
J 1B/ ′2B′′шара стандартным образом, то разбиение полушара на дифференциально малые
элементы и последующее объединение их моментов инерции совершенно очевидно будет
неприемлемо громоздким.
Вот если бы мы знали момент инерции полушара относительно оси А′А″,
проходящей через его центр масс, то мы легко нашли бы интересующий нас момент
инерции J 1B/ ′2B′′шара по теореме Штейнера. Искать же момент инерции J 1А/ ′2А′′шара стандартным
образом, разбивая полушар на соответствующие дифференциально малые элементы так
же нецелесообразно, как и при поиске момента инерции J 1B/ ′2B′′шара .
При взгляде на рисунок обращает на себя внимание наличие такой интересной
точки как точка О – центр плоской стороны полушара, центр полного шара, из которого
вырезан рассматриваемый полушар. Вот если бы мы знали момент инерции J 1О/ ′2О′′шара
относительно оси О′О″, то по теореме Штейнера нашли бы момент инерции J 1А/ ′2А′′шара
относительно параллельной ей оси А′А″. Искать момент инерции J 1О/ ′2О′′шара стандартным
образом так же нецелесообразно, как и в предыдущих случаях.
Но здесь обратим внимание на то, что точка О – точка симметрии полного шара, из
которого вырезан рассматриваемый полушар. Момент инерции твердого тела, его
физическая характеристика – аддитивна (!). В силу этого момент инерции полного шара
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
56
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
Секция 9 «ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА».
относительно какой-либо оси просто слагается из моментов инерции его половин
относительно этой же оси, которые, естественно, равны друг другу и, в силу этого, равны
половине момента инерции полного шара. Таким образом, можно записать:
1 O′O′′ 2
J 1O/ ′2O′′шара = J шара
= m1 / 2 шара R 2 .
(1)
2
5
А теперь для получения выражения для момента инерции J 1B/ ′2B′′шара пойдем по
пройденному в наших рассуждениях пути в обратном направлении. Момент инерции
рассматриваемого полушара относительно оси А′А″ связан с моментом инерции J 1О/ ′2О′′шара
по теореме Штейнера следующим образом;
J 1О/ ′2О′′шара = J 1А/ ′2А′′шара + m1 / 2 шара ⋅ ( AC ) ,
2
(
(2)
)
где из геометрии рисунка легко находится AC = 9R 8 73 . Интересующий нас момент
инерции выражается из (2) следующим образом:
J 1А/ ′2А′′шара = J 1О/ ′2О′′шара − m1 / 2
шара
2
81
8339
2
⋅ ( AC ) = ( −
)m1 / 2 шара R 2 =
m1 / 2 шара R 2 . (3)
5 64 ⋅ 73
23360
И, наконец, по теореме Штейнера:
J 1B/ ′2B′′шара = J 1А/ ′2А′′шара + m1 / 2 шара ⋅ ( AB ) ,
2
(4)
где AB = R 73 8 . Подставляя в правую часть соотношения (4) найденные величины,
получаем:
J 1B/ ′2B′′шара =
8339
m1 / 2
23360
шара
R 2 + m1 / 2 шара ⋅
73 2 4373
R =
m1 / 2 шара R 2 ≈ 1,50 ⋅ m1 / 2 шара R 2 .
64
2920
(5)
Замечание. Интересно отметить, что момент инерции полушара относительно оси,
проходящей через т. О – центр его плоской поверхности – не зависит от ориентации этой
оси (!). Это является следствием независимости момента инерции шара относительно оси,
проходящей через его центр, от ориентации этой оси.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
57