УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА

С. С. ГИРШИН
В. Н. ГОРЮНОВ
Е. А. КУЗНЕЦОВ
А. В. КАРПЕНКО
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
УДК 621.316.3
Омский государственный
технический университет
УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ
В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ
В статье изложены результаты применения метода наименьших квадратов для
упрощения уравнений теплового баланса воздушных линий электропередачи в задачах расчета потерь энергии. Также предложены расчетные формулы и проанализированы их погрешности в сравнении с ранее существовавшими методами.
Ключевые слова: уравнение теплового баланса, воздушные линии, потери энергии,
вынужденная конвекция, аппроксимация уравнения.
Статья опубликована при финансовой поддержке Министерства образования и науки
РФ в рамках выполнения соглашения ¹ 14.В37.21.0332 от 27 июля 2012 г.
1. Введение и постановка задачи. В настоящее
время при расчете потерь энергии в электрических
сетях все чаще учитывается температурная зависимость активных сопротивлений. Данный подход связан с вычислением температур элементов сети на основе уравнений теплового баланса. Эти уравнения в
большинстве случаев нелинейны и для их решения
могут быть использованы численные методы. Применение численных методов имеет определенные
недостатки. В частности, требуются специальные
компьютерные программы, возникают затруднения
при анализе результатов и отсутствует возможность
решения обратных задач. Поэтому на практике получили распространение различные способы упрощения уравнений теплового баланса [1, 2].
Тепловой поток Q от провода в окружающую
среду обусловлен конвекцией (Qк) и тепловым излучением1 (Qл):
, (1)
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
148
где Tвнеш и Tокр — абсолютные температуры внешней поверхности провода и окружающей среды; Aк
и Aл — постоянные коэффициенты; k — показатель
степени, зависящий от условий конвекции.
В большинстве случаев (охлаждение провода на
открытом воздухе при наличии ветра) конвекция
является вынужденной. Этому соответствует k=1, и
нелинейность уравнений обусловлена только наличием лучистого теплообмена. Наиболее распространенным способом упрощения уравнений является
приближенное представление величины Qл квадратичной функцией температуры провода [1, 2]. Однако существующие способы такого представления
ориентированы прежде всего на расчет допустимых
токовых нагрузок. Поэтому они дают удовлетворительные результаты только при максимальных рабочих температурах и, кроме того, допускают погрешности в сторону некоторого занижения теплового
потока.
При расчете потерь энергии требуется высокая
точность на всем диапазоне рабочих температур.
Наиболее математически обоснованным способом
достижения максимальной точности является метод наименьших квадратов. В своей классической
форме он относится к численным методам. Однако
в данном случае исходная функция задана аналитически. Это позволяет при минимизации отклонений
перейти от суммирования по конечному числу точек
к интегрированию на всем заданном диапазоне, что
в конечном итоге приводит к аналитическим формулам для коэффициентов аппроксимации. В статье
изложены результаты такого преобразования, предложены расчетные формулы и проанализированы
их погрешности в сравнении с ранее существовавшими методами.
2. Приведение уравнения теплового баланса
к квадратичному виду. Из формулы (1) видно, что
для представления теплового потока квадратичной
функцией температуры при вынужденной конвекции достаточно преобразовать только одну величину:
. Распишем ее следующим образом:
.
(2)
где ∆Θ — превышение температуры поверхности
провода над температурой окружающей среды.
Обозначим «неквадратичную» составляющую
(2) как функцию
(3)
.
Ниже произведено преобразование F по методу
наименьших квадратов к функции H вида
.
(4)
В качестве нижней границы диапазона преобразования естественно принять Tвнеш=Tокр, т.е. ∆Θ=0.
,
. (12)
Полностью уравнение теплового баланса провода в случае вынужденной конвекции может быть записано следующим образом [4]:
(5)
где Tдоп — допустимая абсолютная температура токоведущей жилы; Θдоп — то же в °C; ∆Pдоп — потери
активной мощности в проводе на единицу длины
при допустимом токе и допустимой температуре
(технически допустимые потери); Sиз — тепловое сопротивление изоляции на единицу длины; Iдоп — допустимый ток провода; r0 — погонное активное сопротивление при 0 °C; α — температурный коэффициент сопротивления.
Второе слагаемое в (5) представляет собой перепад температуры в изоляции провода ∆Θиз. Очевидно, что для верхней границы диапазона преобразования вполне достаточно лишь приближенного
соответствия максимально допустимой температуре. Поэтому в расчетах можно принять некоторое
постоянное типичное значение перепада температуры в изоляции. Расчет для проводов SAX разных
сечений по данным [3] дает ∆Θиз=6,7…10,2 °C. В качестве типичного значения можно принять 8°C.
Тогда верхняя граница диапазона преобразования
для изолированных проводов в окончательном виде
равна
(13)
где αвын — коэффициент теплоотдачи вынужденной
конвекцией; εп — коэффициент черноты поверхности провода для инфракрасного излучения; C0=
=5,67·10-8 Вт/(м2·К4) — постоянная излучения абсолютно черного тела; Θвнеш и Θокр — температуры поверхности провода и окружающей среды в °C; As —
поглощательная способность поверхности провода
для солнечного излучения; qсолн — плотность потока
солнечной радиации на провод; dпр — диаметр провода; ∆P0’— потери активной мощности в проводе на
единицу длины при Θвнеш=0 °C, равные
(6)
. (15)
.
Для неизолированных проводов
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
В качестве верхней границе примем максимально
допустимую температуру поверхности провода в
нормально режиме. Для изолированных проводов
эта температура может быть рассчитана по формуле
(14)
,
где I — ток в проводе.
Расписав в (13) Т4внешпо формуле (2) и произведя
замену F на H, после преобразований получим уравнение
Здесь введены следующие обозначения:
(7)
.
(16)
Условие преобразования F к H имеет вид
(17)
(8)
где δск — среднеквадратичная разность функций H и F.
Минимум δск определяется системой уравнений
(18)
Уравнение (15) представляет собой уравнение
теплового баланса провода, приведенное к квадратичному виду. Его решение имеет вид
.
(19)
(9)
,
(10)
, (11)
.
(20)
3. Анализ результатов. С практической точки
зрения критерием эффективности проведенной
аппроксимации является точность вычисления температуры провода и потерь активной мощности. Од-
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
Произведя интегрирование и решив систему (9)
относительно M2, M1 и M0, получим следующие формулы для коэффициентов аппроксимации:
Второй корень уравнения является посторонним, поскольку может давать Θвнеш<Θокр, что противоречит физическому смыслу решаемой задачи.
Потери активной мощности на единицу длины
провода равны
149
Таблица 1
Результаты сравнительных расчетов потока теплового излучения провода
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
∆Θ, °C
10
20
30
40
50
60
70
80
Q’л, 108∙K4
8,784
18,54
29,35
41,26
54,38
68,75
84,48
101,6
Qаппр, 108∙K4
8,763
18,4
29,24
41,26
54,48
68,9
84,5
101,3
Q1, 108∙K4
8,823
18,63
29,43
41,22
53,99
67,75
82,5
98,24
Q2, 108∙K4
8,773
18,45
29,04
40,54
52,94
66,25
80,47
95,59
δаппр, %
–0,24
–0,76
–0,37
0
0,18
0,22
0,024
–0,3
δ 1, %
0,44
0,49
0,27
–0,097
–0,72
–1,45
–2,34
–3,31
δ2, %
–0,13
–0,49
–1,39
–1,75
–2,65
–3,64
–4,75
–5,92
Таблица 2
Исходные данные для решения уравнений
теплового баланса
Численное
значение
Наименование и обозначение параметра
Погонное активное сопротивление при 0 °C r0
0,000663 Ом/м
Тепловое сопротивление изоляции на единицу длины Sиз
0,193566 м∙К/Вт
Температурный коэффициент сопротивления α
0,0043 °C–1
Диаметр провода dпр
Коэффициент теплоотдачи вынужденной
конвекцией αвын
13,3764 Вт/(м2∙K)
Степень черноты поверхности провода εп
0,8
Поглощательная способность поверхности
провода для солнечного излучения As
0,9
Плотность потока солнечной радиации qсолн
526,291 Вт/м2
Допустимая температура токоведущей жилы
Θдоп
.
(21)
. (22)
Имеет смысл дополнить анализ другими методами аппроксимации потока теплового излучения,
приводимыми в [1] и [2]. Согласно [2], величина Q’л
заменяется функцией
.
(26)
Обозначим приближенный аналог величины Q’л,
полученный согласно [1], как Q1. Тогда из (26) и с
учетом (24) получается
. (27)
Аппроксимированный аналог этой функции получается путем подстановки (2) в (21) и замены F на
H:
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
Из сравнения (1) и (13) следует, что Aл=πdпрeпC0.
Тогда
90 °C
нако эти величины зависят от многих факторов. Поэтому путем численного анализа трудно установить,
насколько «типичны» получающиеся результаты.
Чтобы исключить эти факторы, сначала проанализируем точность аппроксимации результирующего
потока теплового излучения Qл, а точнее, величины
150
(25)
.
0 °C
(24)
где T — абсолютная температура провода; в [1] рассматриваются неизолированные провода, поэтому
Tвнеш=T.
По смыслу коэффициент теплопередачи излучением представляет собой отношение потока теплового излучения к площади поверхности провода и
разности температур провода и окружающей среды:
.
0,0127 м
Температура окружающей среды Θокр
,
(23)
Данная функция фактически получена путем
разложения Q’л в ряд Тейлора в окрестностях точки
∆Θ=0.
В [1] приведена следующая формула для коэффициента теплопередачи излучением:
Ниже приведены исходные данные для численного анализа.
Допустимая температура жилы Tдоп =363 K, что
соответствует проводам с изоляцией из сшитого полиэтилена.
Принимаем ∆Θд=80 °C. Тогда согласно формуле
(6) Tокр =275 K.
Данное соотношение температур, строго говоря,
справедливо только для изолированных проводов.
У неизолированных проводов величина ∆Θд должна
быть несколько меньше. Тем не менее в дальнейшем
для лучшей сравнимости результатов используется
только ∆Θд = 80 °C. Это эквивалентно некоторому
расширению диапазона аппроксимации для неизолированных проводов, что вполне допустимо при
сравнительных расчетах.
В формулу (27) входит коэффициент черноты неизолированных проводов. Согласно [5, 6], для этих
проводов εп=0,6.
При этих условиях формулы (10)–(12) дают следующие значения коэффициентов аппроксимации:
M2 =142971 K2,
M1 =–4692114 K3, M0=31670857 K4.
Результаты сравнительных расчетов потока теплового излучения представлены в табл. 1. Погреш-
Таблица 3
Результаты решения уравнений теплового баланса
I, А
80
120
160
200
240
Θпр, °C
10,54
16,08
25,74
40,19
60,4
87,61
Θвнеш, °C
10,33
15,2
23,69
36,34
53,93
77,43
∆P, кВт/км
1,109
4,537
10,6
19,91
33,41
52,58
Θпр, °C
10,54
16,11
25,78
40,2
60,37
87,65
Θвнеш, °C
10,33
15,23
23,73
36,35
53,9
77,47
∆P, кВт/км
1,109
4,537
10,61
19,91
33,4
52,58
δΘпр, °C
0
0,03
0,04
0,01
–0,03
0,04
δ(∆P), %
0
0
0,094
0
–0,03
0
Расчет по исходному уравнению (13)
Расчет по аппроксимированному
уравнению (15)
Погрешности
ности определения величин Qаппр, Q1 и Q2 относительно Q’л обозначены соответственно δаппр, δ1 и δ2.
Из таблицы видно, что погрешности аппроксимации теплового потока излучения предложенным
методом не превышают долей процента. Методы [1]
и [2] дают хорошие результаты при небольших температурах, однако при приближении температуры к
допустимой их погрешности возрастают. Метод [2]
дает максимальную погрешность, превышающую
5 %. Метод [1] приводит к меньшей погрешности, однако он не в достаточной мере учитывает температуру окружающей среды, и при других ее значениях
погрешность метода [1] может быть существенно
больше (например, при Tокр=255 K и ∆Θ= 80° C����
получается δ1 =8 %).
Таким образом, разработанный метод аппроксимации дает высокую точность на всем диапазоне
температур и может быть использован при расчете
потерь энергии и выборе мероприятий по их снижению.
Методы [1] и [2] в целом также дают удовлетворительную с инженерной точки зрения точность.
Тем не менее в определенных ситуациях, в частности при технико-экономическом обосновании ввода
мероприятий по снижению потерь, их погрешности
могут заметно сказаться на результатах расчета.
В заключение приведем результаты сравнительных расчетов температуры и потерь активной мощности по аппроксимированному уравнению (15) и
исходному (13). Расчет температуры внешней поверхности провода и потерь мощности по аппроксимированному уравнению производился по формулам (19), (20). Температура токоведущей жилы определялась по очевидному выражению
уравнение в рабочем диапазоне температур фактически эквивалентно исходному.
(28)
ГИРШИН Станислав Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение
промышленных предприятий».
ГОРЮНОВ Владимир Николаевич, доктор технических наук, заведующий кафедрой «Электроснабжение промышленных предприятий», декан энергетического института.
КУЗНЕЦОВ Евгений Александрович, студент
группы Э-419.
КАРПЕНКО Алексей Валерьевич, аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».
Адрес для переписки: dima598@mail.ru
.
Примечание
1
Здесь подразумевается не тепловое излучение собственно провода, а результирующий поток энергии с учетом излучения окружающих тел.
Библиографический список
1. Поспелов, Г. Е. Влияние температуры проводов на потери
электроэнергии в активных сопротивлениях проводов воздушных линий электропередачи / Г. Е. Поспелов, В. В. Ершевич //
Электричество. – 1973. – № 10. – С. 81–83.
2. Основы кабельной техники / Под ред. И. Б. Пешкова. –
М. : Академия, 2006. – 432 с.
3. Макаров, Е. Ф. Справочник по электрическим сетям
0,4–35 кВ и 110–1150 кВ. В 5 т. Т. 2 / Е. Ф. Макаров. – М. :
Папирус Про, 2003. – 640 с.
4. Особенности моделирования электрических и тепловых режимов распределительных сетей в задачах расчета потерь электроэнергии / C. С. Гиршин [и др.] // Энергетика и
энергосбережение : межвуз. тематический сб. науч. трудов /
Омский государственный технический университет. – Омск,
2011. – С. 154–162.
5. Левченко, И. И. Нагрузочная способность и мониторинг
воздушных линий электропередачи в экстремальных погодных
условиях / И. И. Левченко, Е. И. Сацук // Электричество. –
2008. – № 4. – С. 2–8.
6. Зарудский, Г. К. Уточнение выражений для расчета температуры проводов воздушных линий электропередачи сверхвысокого напряжения / Г. К. Зарудский, С. Ю. Сыромятников //
Вестник МЭИ. – 2008. – № 2. – С. 37–42.
Статья поступила в редакцию 07.11.2012 г.
© С. С. Гиршин, В. Н. Горюнов, Е. А. Кузнецов,
А. В. Карпенко
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
Расчет по уравнению (13) производился на основе решения этого уравнения методом последовательных приближений.
В качестве объекта вычислений выбран провод
марки SAX-50. Исходные данные (за исключением
тока) приведены в табл. 2, а результаты расчетов —
в табл. 3. При этом введены обозначения δΘпр и
δ(∆P) — абсолютная погрешность расчета температуры провода и относительная погрешность расчета
потерь мощности по аппроксимированному уравнению (15) по сравнению с исходным уравнением (13).
При этих данных по формуле (6) получаем ∆Θд=
=82 ° C.
Из таблицы видно, что погрешности практически
отсутствуют. Следовательно, аппроксимированное
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
40
151