Лекция 12: Парабола - Кафедра алгебры и дискретной

Лекция 12: Парабола
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Вступительные замечания
В этой лекции изучается третья кривая второго порядка — парабола. В
некотором смысле это последняя невырожденная кривая второго порядка
(точный смысл этих слов станет ясен в следующей лекции). В школьном
курсе математики параболой называется график функции y = x 2 (или, в
чуть более сложном варианте, y = ax 2 + bx + c, где a 6= 0). Это уравнение
действительно задает параболу. Но в систематическом курсе математики
уравнение параболы принято записывать по другому (см. следующий
слайд). О том, как связано «школьное» уравнение параболы с тем,
которое будет рассматриваться ниже, будет сказано в конце данной
лекции.
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Определение параболы. Вершина, ось, фокус и директриса параболы
Определение
Параболой называется множество всех точек плоскости, координаты
которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению вида
y 2 = 2px,
(1)
где p > 0. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.
Число p называется параметром параболы.
Введем ряд понятий, играющих важную роль в изучении параболы. Пусть
парабола задана уравнением (1).
Определения
Точка O(0, 0) (начало координат) называется вершиной параболы, прямая
y = 0 (ось абсцисс) — осью параболы, а точка F ( p2 , 0) — ее фокусом.
Прямая с уравнением x = − p2 называется директрисой параболы.
Происхождение терминов «вершина параболы» и «ось параболы» станет
ясно позднее, после того, как мы изучим форму параболы.
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Расположение параболы на плоскости
Изучим «внешний вид» параболы. Ясно, график параболы симметричен
2
относительно оси Ox и x = y2p > 0, т. е. вся парабола расположена в
правой полуплоскости. Поэтому достаточно изучить вид параболы в
первой четверти. В этом случае из (1) вытекает, что
p
(2)
y = 2px .
Вычислив первую и вторую производные этой функции, получим:
1
y′ = √
2 2px
и
−1
y ′′ = p
.
4 2px 3
Следовательно, y ′ > 0, а y ′′ < 0 при любом x. Это означает, что в первой
четверти парабола возрастает и вогнута (т. е. выпукла вверх). Кроме того,
из (2) с очевидностью вытекает, что она пересекает оси абсцисс и ординат
в единственной точке — начале координат. С учетом симметрии
относительно оси абсцисс, получаем кривую, изображенную на рис. 1 на
следующем слайде. Внешне она напоминает одну из ветвей гиперболы, но
есть очень существенное отличие: в отличие от гиперболы, парабола не
имеет асимптот. На точки M, P и Q, проходящую через них прямую и
отрезок FM, присутствующие на рис. 1, можно пока внимания не
обращать — они появятся в нашем изложении позднее.
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Расположение параболы на плоскости (рисунок)
y
6
M(x, y )
s s
Q
s
P
-
s s
x
F ( p2 , 0)
x = − p2
O
Рис. 1
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Xарактеризация параболы (1)
Следующая теорема дает характеризацию параболы, которую нередко
принимают за ее определение.
Теорема 1
Точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда расстояние от
M до фокуса равно расстоянию от M до директрисы.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что ℓ — директриса
параболы, а точка M(x, y ) принадлежит параболе. Тогда
r
r
r
p 2
p 2 p p2
2
2
x−
x+
+ y = x − px +
= x + .
+ 2px =
|FM| =
2
4
2
2
Поскольку x > 0, а p > 0, получаем, что x + p2 > 0, и потому
|FM| = x + p2 . Проведем через точку M прямую, перпендикулярную оси
ординат. Точки пересечения этой прямой с осью ординат и с директрисой
параболы обозначим через P и Q соответственно (см. рис. 1). Ясно, что
d (M, ℓ) = |MP| + |PQ| = x +
p
.
2
Следовательно, |FM| = d (M, ℓ).
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Xарактеризация параболы (2)
Достаточность. Пусть M(x, y ) — произвольная точка плоскости и
расстояние от M до фокуса параболы равно расстоянию от M до ее
директрисы. Используя формулу (14) из лекции 6, получим
r
p
p 2
+ y 2 = x + .
x−
2
2
Возводя обе части последнего равенства в квадрат, имеем
x 2 − px +
p2
p2
+ y 2 = x 2 + px +
,
4
4
откуда y 2 = 2px. Следовательно, точка M принадлежит параболе.
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Оптическое свойство параболы (1)
Парабола обладает следующим оптическим свойством:
Теорема 2
Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь от параболы,
собирается в ее фокусе; и наоборот, свет от источника, находящегося в
фокусе, отражается параболой в пучок параллельных ее оси лучей.
Доказательство. Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 2.
Изображенная на нем прямая ℓ касается параболы в точке M(x0 , y0 ), через
A обозначена точка пересечения прямой ℓ с осью абсцисс, а через ℓ′ —
прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку M.
Поскольку угол падения равен углу отражения, требуется доказать, что
угол между прямыми ℓ и ℓ′ равен ∠AMF (на рис. 2 эти углы обозначены
через α и β соответственно). Будем считать, что точка M расположена в I
четверти (если она находится в IV четверти, доказательство проводится
вполне аналогично).
Докажем, что |AF | = |FM|. Из доказательства теоремы о параболе
вытекает, что |FM| = x0 + p2 . Для того, чтобы найти длину отрезка AF ,
найдем уравнение прямой ℓ. Продифференцируем по x обе части
канонического уравнения параболы (считая y функцией от x и используя
при дифференцировании левой части правило дифференцирования
сложной функции).
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Оптическое свойство параболы (2)
Получим 2yy ′ = 2p, откуда y ′ = yp . Подставим найденное выражение для
y ′ в общий вид уравнения касательной, т. е. в уравнение
y = y0 + y ′ (x − x0 ). Получим y = y0 + yp0 (x − x0 ). Используя, что точка
M(x0 , y0 ) лежит на параболе, имеем
yy0 = y02 + px − px0 = 2px0 + px − px0 = p(x + x0 ).
0)
. Подставив в него
Таким образом, прямая ℓ имеет уравнение y = p(xy+x
0
y = 0, получим x = −x0 . Таким образом, точка A имеет координаты
(−x0 , 0), и потому |AF | = x0 + p2 = |FM|.
Итак, |AF | = |FM|. Следовательно, углы ∠MAF и ∠AMF равны, как углы
при основании равнобедренного треугольника △AMF . Поскольку первый
из этих углов, очевидно, равен α, а второй мы обозначили через β,
получаем, что α = β.
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
Оптическое свойство параболы (рисунок)
y
6
ℓ
M(x0 , y0 )
s α
ℓ′
β
s α
A
O
-
s s
x
F ( p2 , 0)
Рис. 2
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
«Школьная» парабола(1)
Как уже отмечалось в начале лекции, в школьном курсе математики
параболой называется график функции y = ax 2 + bx + c, где a 6= 0. Легко
понять, что «школьная» парабола является параболой и в смысле
определения, введенного в начале данной лекции. В самом деле, выделив
в правой части равенства y = ax 2 + bx + c полный квадрат по x, получим
2
b 2
) − b4a + c. Сделав замену неизвестных
y = a(x + 2a
( ′
b
x = x + 2a
,
(3)
′
b2
y = y + 4a − c,
получим уравнение y ′ = a(x ′ )2 . Применяя теперь замену неизвестных
′′
x = y ′,
y ′′ = x ′ ,
(4)
1
(напомним, что a 6= 0), мы приходим к уравнению
и полагая p = 2a
(y ′′ )2 = 2px ′′ . Если p > 0, мы получили каноническое уравнение параболы.
В противном случае, чтобы прийти к тому же результату, надо еще
сделать замену неизвестных
′′′
x = −x ′′ ,
(5)
y ′′′ = y ′′ .
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола
«Школьная» парабола(2)
Отметим, что замены системы координат, определяемые формулами (3),
(4) и (5), имеют простой геометрический смысл: первой из них
соответствует параллельный перенос системы координат, переводящий
2
b
, − b4a + c), второй —
начало координат в точку с координатами (− 2a
переименование осей координат, а третьей — изменение направления
вдоль оси Ox.
В этой и предыдущей лекциях для приведения к каноническому виду
«школьных» уравнений гиперболы и параболы использовались
четыре преобразования системы координат: поворот, параллельный
перенос, переименование осей и изменение направления вдоль одной
из осей. Как мы увидим в следующей лекции, этих четырех
преобразований достаточно, для того, чтобы определить тип
произвольной квадрики на плоскости и привести ее уравнение к
простейшему виду.
Б.М.Верников
Лекция 12: Парабола