Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения являются функциями двух параметров.

Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения
Поверхность – это множество точек пространства, координаты которых
являются функциями двух параметров.
Поверхность можно получить в результате перемещения в
пространстве некоторой линии u (образующей) по определенному закону
(кинематический способ образования поверхностей).
Закон перемещения образующей может быть задан кривыми
(направляющими).
Совокупность независимых условий, однозначно определяющих
поверхность,
называется
определителем
поверхности.
Например,
определители сферы: (0,R), ( A, B, C, D) .
На чертеже кинематические поверхности можно задавать проекциями
элементов определителя. Более наглядно задание поверхности очерковыми
линиями. Очерковая линия k j - проекция контурной линии k на плоскость
проекций j . Контурная линия – множество точек касания проецирующих
прямых с поверхностью .
По виду образующей различают: линейчатые (образующая – прямая),
циклические (образующая – окружность) и поверхности зависимых сечений
(образующая – плоская кривая переменной формы). По закону перемещения
образующей различают поверхности параллельного переноса, вращения,
винтовые.
Различают поверхности
алгебраические
и
трансцендентные.
Алгебраические поверхности в декартовой системе координат определяются
уравнением в явной форме:
z
( x, y )
или в неявной форме:
( x, y, z) 0 ,
где ( x, y), ( x, y, z) - алгебраические многочлены n -го порядка.
Если уравнение поверхности содержит трансцендентные функции
(показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные
тригонометрические), то поверхность является трансцендентной.
Порядок алгебраической поверхности равен степени ее уравнения.
Графически порядок определяется числом точек пересечения поверхности с
произвольной прямой или порядком кривой, по которой поверхность
пересекается с произвольной плоскостью.
Поверхность задана на чертеже полно, если по одной проекции точки,
принадлежащей поверхности, можно найти недостающие проекции
(критерий полноты задания поверхности на чертеже). Точка принадлежит
поверхности, если она принадлежит некоторой линии, лежащей на данной
поверхности.
Поверхности вращения
Поверхность вращения ( k , i ) образуется при вращении плоской или
пространственной кривой линии k (образующей) вокруг неподвижной
прямой i - оси поверхности.
Если образующая - кривая n -го порядка, то в общем случае поверхность
будет поверхностью 2n -го порядка. Однако, если образующая n -го порядка
имеет плоскость симметрии, а ось вращения лежит в этой плоскости, то
получается поверхность n -го порядка.
Окружности, которые описывают точки образующей при вращении,
называются параллелями. Параллель, радиус которой меньше радиусов
смежных параллелей, называется горловиной или горлом, а параллель с
большим радиусом – экватором Поверхность может иметь несколько
горловин и экваторов.
Меридиональная плоскость
проходит через ось поверхности
вращения. Меридиональные плоскости пересекают поверхность вращения по
меридианам поверхности. Меридианы, расположенные в плоскостях,
параллельных плоскостям проекций, называются главными.
Свойства поверхностей вращения:
- меридиан поверхности вращения, проходящий через две точки
поверхности, является кратчайшей линией между этими точками
(геодезической линией);
-все меридианы поверхности конгруэнтны;
-каждая из параллелей поверхности пересекает меридианы под прямым
углом;
-каждая из нормалей к поверхности вращения пересекает ось
поверхности.
Пользуясь условием принадлежности точек поверхности, можно
строить недостающие проекции точек, принадлежащие поверхности
вращения.
Рис. 8.7
Способы задания поверхностей вращения
На комплексном чертеже поверхность вращения можно задать:
- проекциями геометрической части определителя поверхности;
- очерками;
- каркасом параллелей (меридианов).
Примеры поверхностей вращения
Тор
Тором называют поверхность, образованную вращением окружности u
вокруг оси i, лежащей в плоскости этой окружности. Тор может быть
открытым, или закрытым.
Сфера
Сфера образуется при вращении окружности вокруг одного из
диаметров.
Очерками сферы на фронтальной, горизонтальной и профильной
плоскостях проекций являются одинаковые окружности, радиусы которых
равны радиусу сферы. Недостающие проекции точки, принадлежащей сфере,
можно найти с помощью параллели, на которой расположена данная точка.
Эллипсоид вращения
Поверхность эллипсоида вращения получается при вращении эллипса
вокруг его большой или малой осей.
а
б
Параболоид вращения
Параболоид вращения образуется при вращении параболы вокруг своей
оси.
Гиперболоид вращения
Однополостный гиперболоид вращения образуется при вращении
гиперболы вокруг мнимой оси гиперболы .
Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении
гиперболы вокруг действительной оси.
а
б
Линейчатые поверхности вращения
Такие поверхности получаются при вращении прямой u вокруг оси i.
Если прямая u параллельна оси i , то получается цилиндр вращения, если
прямые u и i скрещиваются, получается однополостный гиперболоид, если u
пересекает ось i - конус вращения.
а
б
в
Эти поверхности бесконечно простираются в направлении их
образующих и называются незамкнутыми. При изображении незамкнутых
поверхностей на комплексном чертеже их обычно ограничивают какимилибо линиями.