Лекция 8. Распределения непрерывных случайных величин

Лекция 8
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин, имеющих равномерное, показательное, нормальное и гамма-распределение.
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на участке от a до b , если ее плотность распределения f (x) на
этом участке постоянна:
1
f ( x)
, x (a, b);
b a
0 , x (a, b).
(4.24)
В дальнейшем для непрерывных случайных величин выражение для
плотности f (x) записывается только для тех участков, где она отлична от
нуля:
f ( x)
1
b a
,a
x b.
Значения f (x) в крайних точках a и b промежутка ( a, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек равна
нулю. Кривая распределения приведена
f (x )
на рис. 4.19. Иногда это распределение
называют прямоугольным. Математиче1
ское ожидание случайной величины X
b a
равно середине участка (a, b) :
mX
a b
.
2
a
x
mX b
Рис. 4.19. Кривая равномерного
распределения
62
Этот же результат можно получить, вычисляя интеграл вида
b
mX
xf ( x)dx
x
a
1
b a
dx
a b
2
.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:
b
( x mX ) 2 f ( x)dx
DX
x
X
DX
1
b a
2
a
b a
2
a b
dx
(b a) 2
12
;
.
2 3
Моды равномерное распределение не имеет. Медиана равна математическому ожиданию, так как равномерное распределение симметрично
относительно математического ожидания. Из этого же свойства следует,
что третий центральный момент тоже равен нулю ( 3 0 ).
Для определения эксцесса вычислим четвертый центральный момент:
b
4
( x mX ) 4 f ( x)dx
x
a
a b
2
4
1
b a
dx
(b a) 4
80
.
Таким образом, эксцесс случайной величины X равен
X
4
4
X
3
(b a) 4 (12) 2
80(b a) 4
3
1,2 .
Следовало ожидать, что эксцесс этой случайной величины будет отрицательным.
f (x )
F ( x)
1
b
1
a
a
x
b
Рис. 4.21. Функция распределения
a
x
b
Рис. 4.20. Вероятность попадания на участок ( , )
Вычислить вероятность попадания случайной величины X на любую часть ( , ) участка ( a, b) можно путем геометрических представлений (см. рис. 4.20):
63
P{
X
}
.
b a
Функция распределения F (x) является функцией, линейно взрастающей от нуля до единицы, при изменении аргумента от a до b . При
любом x функция распределения равна площади, ограниченной кривой
распределения и лежащей левее точки x (см. рис. 4.20).
0, x
x
x
F ( x)
f ( x)dx
a
a
1
b a
1, x
0, x
dx , a
a
x a
,a
b a
1, x b
x b
b
x b.
Моделью равномерного распределения является гармоническое колебание со случайной начальной фазой
x(t ) cos( 0t
0) ,
где 0 – частота, а начальная фаза 0 является непрерывной случайной
величиной с равномерным законом распределения:
f(
0)
1
2
,0
2 .
0
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид
f ( x)
e x, x
0, x 0
0
,
или
f ( x)
e
x
, (x
0) ,
0 – единственный параметр распределения.
где
Функция распределения:
x
F ( x)
(4.25)
x
f ( x)dx
e
64
x
dx 1 e
x
, (x
0) .
(4.26)
f (x )
F ( x)
1
x
0
Рис. 4.22. Плотность распределения
x
0
Рис. 4.23. Функция распределения
Математическое ожидание показательного распределения:
mX
xf ( x)dx
x e
0
x
1 .
dx
(4.27)
0
При интегрировании по частям необходимо учесть, что при x
e x
стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x .
Выражение (4.27) показывает, что математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру . При этом параметр
имеет размерность, обратную размерности случайной величины X .
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:
DX
2
m X2
x2 e
x
dx
1
1
2
2
,
X
DX
1
. (4.28)
0
Среднее квадратичное отклонение случайной величины X , распределенной по показательному закону, равно ее математическому ожиданию.
Третий центральный момент:
3
x
3
1
e
x
dx
2
3
,
0
и соответственно коэффициент асимметрии
SX
3
3
X
2.
Следовало ожидать, что асимметрия показательного распределения будет
положительной.
65
Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени между двумя соседними событиями в
простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром,
равным интенсивности потока, т. е.
f (t )
e
t
, (t
0) .
Для этого найдем функцию распределения F (t ) случайной величины
T – интервала времени между соседними событиями в потоке:
F (t )
P{T
t} .
На оси времени 0t отметим инt


тервал T между соседними событиями


потока (см. рис. 4.24). Чтобы выполня0
T
лось неравенство T t , необходимо,
Рис. 4.24. Случайная величина Т
чтобы хотя бы одно событие потока
попало на участок длины t . Вероятность того, что это так,
R1 1 P{ни одно событие не попало } 1 P0
где вероятность P0 для пуассоновского потока равна
t
1 e
( t )0
e
0!
t
t
,
,
откуда функция распределения будет иметь вид
F (t )
R1
1 e
t
,
после дифференцирования которой получаем искомую плотность распределения
f (t )
F (t )
e
t
, (t
0) .
Показательное распределение широко используется в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности.
66
Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному (гауссовому)
закону с параметрами m и , если ее плотность распределения имеет вид
( x m) 2
1
f ( x)
e
2
2
,
x
.
(4.29)
2
Кривая нормального распределения
(см. рис. 4.25) имеет симметричный холмообразный вид. Максимальное значение кривой, равное
1
f (x )
1
2
, достигается при
2
x m , т. е. мода M X
m.
Вычислим основные характеристики
случайной величины X , распределенной
по нормальному закону. Математическое
ожидание
M[X ]
mX
( x m) 2
1
xf ( x)dx
x
m
Рис. 4.25. Кривая нормального
распределения
xe
2
2
dx .
2
Сделаем замену переменной интегрирования
x m
t
dx
; dt
2
;x
2 t
m
(4.30)
2
и получим
1
mX
( 2 t
m) e
t2
dt
2
te
t2
dt
m
e
t2
dt .
Первый из интегралов равен нулю, как интеграл в симметричных
пределах от нечетной функции; второй – это известный интеграл Эйлера –
Пуассона
e
t2
dt 2 e
t2
dt
.
0
67
Таким образом, математическое ожидание нормального распределения
mX
m
(4.31)
совпадает с параметром распределения m . Иногда m называют центром
рассеивания случайной величины X .
Дисперсия гауссовой случайной величины X
D[ X ]
DX
( x m) 2
1
2
( x m X ) f ( x)dx
2
( x m) e
2
2
dx .
2
Используя замену переменной (4.30), получаем
2
2t 2e
DX
t2
интегриров ание по частям :
dt
u
2
te
t2
t; du
e
t2
dt; dv
2te
t2
;v
e
t2
dt .
Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю, так как при t
e
t2
0 быстрее, чем возрастает t . Второе слагаемое равно
Таким образом, дисперсия
DX
2
.
.
(4.32)
Значит, параметр распределения
есть не что иное, как среднее квадратичное отклонение гауссовой случайной величины X :
X
DX
.
Размерности
и m совпадают с размерностью случайной величины X .
Положение кривой распределения и ее форма полностью определяются параметрами m и .
Вычислим моменты нормальной случайной величины X . Так, s -й
центральный момент будет
s
s
( x m) f ( x)dx
1
2
68
( x m) 2
s
( x m) e
2
2
dx .
После замены переменой (4.30) получаем
( 2 )s
t se
s
t2
dt .
(4.33)
Естественно, что при любом нечетном s
0 , как интеграл в
s
симметричных пределах от нечетной функции. Для четных s :
интегриров ание по частям :
( 2 )s
t
s
s 1
te
t2
dt
t s 1; du
u
dv
( 2 )s
1
2
e
s 1
t2 s 1
t
2
te
t2
( s 1)t s 2 dt;
;v
1
2
e
t2
2
t s 2et dt .
Первый член в фигурных скобках равен нулю, и поэтому получаем
( s 1)( 2 ) s
s
t2
t s 2e
dt .
(4.34)
2
Подставим в формулу (4.33) ( s
( 2 )
2) вместо s :
s 2
t s 2e
s 2
t2
dt .
(4.35)
Сравнение выражений (4.35) и (4.34) показывает, что эти формулы различаются только множителем ( s 1)
s
2
( s 1)
s 2
2
. Следовательно,
.
Получено простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные
моменты более низких порядков. Если учесть, что для любой случайной
2
4
величины 0 1 , то получаем 2
; 4 3 ; 6
Эксцесс нормального распределения равен нулю:
4
4
3
X
4
4
3
0.
69
15
6
.
Вероятность попадания случайной величины X на участок от
определятся следующим образом:
P{
X
}
1
f ( x)dx
замена :
( x m) 2
e
2
2
до
dx
2
t
x m
m
1
e
2
где
m
dt
m
,
(4.36)
m
1
( x)
t2
2
2
x
e
t2
2
dt – функция Лапласа.
0
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения гауссовой
случайной величины X от своего математического ожидания m окажет0 , равна
ся меньше любого
P{| X
m|
} 2 (
).
Если в выражении (4.36) положить
(4.37)
x и учесть, что
,
1 , то получаем функцию распределения нормальной слу2
чайной величины X в виде
(
)
1
F ( x)
2
x m
.
(4.38)
Модель нормального распределения. Складывается большое количество независимых случайных величин X1 , X 2 , , X n
F ( x)
n
X
1
Xi ,
i 1
1/ 2
при этом предполагается, что каждая
из X i сравнима по степени своего
влияния на рассеивание суммарной
случайной величины X . Закон рас70
0
m
x
Рис. 4.26. Функция распределения
нормальной случайной величины
пределения суммы этих случайных величин (случайной величины X )
будет тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых n , вне зависимости от того, какие законы распределения имеют отдельные величины X1 , X 2 , , X n . Таково содержание центральной предельной теоремы
теории вероятностей.
Гамма-распределение и распределение Эрланга
Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение,
если ее плотность распределения выражается формулой
k k 1
x
f k ( x)
где
0, k
e
(k )
x
, ( x 0) ,
0 – параметры распределения;
(4.39)
(k ) – гамма-функция
e t t k 1dt ,
(k )
(4.40)
0
которая обладает следующими свойствами:
e t dt 1 .
(k 1) k (k ) ; (1)
(4.41)
0
Для целых неотрицательных k получаем
(k 1)
k! .
Математическое ожидание случайной величины X , подчиняющейся
гамма-распределению,
mX
0
x k x k 1e
(k )
1
(k ) 0
x
dx
e t t k dt
замена : t
x, dx
dt
(k 1)
.
(k )
Учитывая свойства (4.41), окончательно получаем
mX
k
.
(4.42)
71
Второй начальный момент находим по формуле
2
0
x 2 k x k 1e
(k )
1
2
(k ) 0
x
замена : t
dx
(k
e t t k 1dt
2
2)
x, dx dt
(k
2
(k )
2)
(k )
k (k 1)
2
,
откуда дисперсия
DX
mX2
2
k (k 1)
2
k2
k
2
2
.
(4.43)
При k 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром , так как
(1)
0! 1
f1 ( x)
e
x
, (x
0) .
При k целых и бóльших единицы (k 1) гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка:
f k ( x)
( x) k 1 e
(k 1)!
x
, (x
0, k
2, 3, ) .
(4.44)
Закон распределения Эрланга k-го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским потоком с интенсивностью .
Модель распределения Эрланга k-го порядка. Складывается k независимых случайных величин X1 , X 2 , , X k , каждая из которых подчиняется показательному закону с одним и тем же параметром
. В этом
k
случае суммарная случайная величина X
X i имеет распределение
i 1
Эрланга k-го порядка.