Занятие 8. Термодинамика Вариант 1 14.1.1. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при повышении его температуры? 1. Увеличивается 2. Уменьшается 3. Не изменяется 4. Это не связанные величины 14.1.2. Давление идеального газа увеличилось в 3 раза, а его объем уменьшился в 2 раза при неизменной массе. Как изменилось при этом внутренняя энергия газа? 1. Увеличилась в 6 раз 2. Увеличилась в 3 / 2 раза 3. Уменьшилась в 3 / 2 раза 4. Уменьшилась в 6 раз 14.1.3. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при его изотермическом сжатии? 1. Увеличивается 2. Уменьшается 3. Не изменяется 4. Сначала увеличивается, затем уменьшается 14.1.4. Два тела нагревают с помощью одинако1 вых нагревателей. На рисунках представлены граT фики зависимости температуры тел от времени 2 нагревания. У какого из тел больше теплоемкость? t Теплопотерями пренебречь. 1. У первого (график отмечен цифрой 1) 2. У второго (график отмечен цифрой 2) 3. Одинаковы 4. Мало информации для ответа 14.1.5. Телу массой 5 кг сообщили количество теплоты 1000 Дж, в результате чего его температура выросла на 2 К. Чему равна удельная теплоемкость вещества тела? 1. 100 Дж/(кг К) 2. 400 (Дж К)/кг 3. 2500 (Дж кг)/К 4. мало информации для ответа 14.1.6. Какую работу совершил 1 моль одноатомного идеального газа при изохорическом нагревании на величину T ? 1 1. A 3 / 2 νR T 5 / 2 νR T 2. A 3. A νR T 4. A 0 14.1.7. В изохорическом процессе газу сообщили количество теплоты Q . Чему равно изменение внутренней энергии газа U ? 1. U Q / 2 2. U 3. U Q Q 4. Мало информации для ответа 14.1.8. В изотермическом процессе газу сообщили количество теплоты Q . Чему равна работа A , совершенная над газом? 1. A Q / 2 2. A 3. A Q Q 4. Мало информации для ответа 14.1.9. Определить работу, совершаемую идеальным газом при адиабатическом расширении, если его внутренняя энергия уменьшилась на величину U ? 1. A U 2. A 3. A U 2 U 5 4. Мало информации для ответа 14.1.10. Идеальный газ получил количество теплоты 50 Дж и совершил работу величиной 40 Дж. На сколько изменилась внутренняя энергия газа? 1. Увеличилась на 90 Дж 2. Увеличилась на 10 Дж 3. Уменьшилась на 10 Дж 4. Уменьшилась на 90 Дж Вариант 2 14.2.1. С идеальным газом происходят проp цессы 1, 2, 3, графики которых в координатах 1 2 «давление-объем» представлены на рисунке. 3 V каком из этих процессов газ совершает бóльшую работу? 1. В процессе 1 2. В процессе 2 3. В процессе 3 4. Мало информации для ответа 2 В 14.2.2. С идеальным газом происходят процессы 1, 2, 3, графики которых в координатах «давление-объем» представлены на рисунке к предыдущей задаче. В каком из этих процессов газ получил большее количество теплоты? 1. В процессе 1 2. В процессе 2 3. В процессе 3 4. Мало информации для ответа 2 p 1 14.2.3. С идеальным газом происходят процессы 1, 2, 3 3 и 4, графики которых в координатах «давление4 V объем» представлены на рисунке. В каком из этих процессов газ совершает отрицательную работу? 1. В процессе 1 2. В процессе 2 3. В процессе 3 4. В процессе 4 14.2.4. С идеальным газом происходят два процесса 1-2 и 3-4, графики которых в координатах «давлениеp 2 абсолютная температура» приведены на рисунке. 1 3 Сравнить количество теплоты Q1 , полученное газом 4 Т в процессе 1-2, и количество теплоты Q2 , полученное газом в процессе 3-4. 1. Q1 Q2 2. Q1 Q2 3. Q1 Q2 4. Это зависит от давлений и температур в состояниях 1, 2, 3 и 4 14.2.5. С идеальным газом проводят процесс 1-2, зависимость давления от объема для которого приведена p 2 на рисунке. Известно, что газ получил в этом процессе 1 количество теплоты 100 кДж. Чему равно изменение Т внутренней энергии газа? 1. 50 кДж 2. 100 кДж 3. 40 кДж 4. 60 кДж 14.2.6. Определить работу, совершаемую p идеальным газом в процессе, график кото2 2 p0 1 рого в координатах «давление-объем» приp0 3 веден на рисунке. Величины p0 и V0 изV V 2V вестны. 0 0 3 1. A 3. A p0V0 1 p0V0 2 2. A 2 p0V0 2 p0V0 4. A 5 14.2.7. В некотором процессе над газом совершили работу A 10 Дж и забрали у него количество теплоты Q 5 Дж. Чему равно изменение внутренней энергии газа в этом процессе? 1. U 2. U 5 Дж 5 Дж 3. U 4. U 15 Дж 15 Дж 14.2.8. Одноатомный идеальный газ в количестве 20 молей получил количество теплоты 2 103 Дж; при этом газ нагрелся на 10 С. Расширялся или сжимался газ в этом процессе? 1. Расширялся 2. Сжимался 3. Объем газа не менялся 4. Сначала расширялся, потом сжимался 14.2.9. В изобарическом процессе идеальному одноатомному газу сообщили некоторое количество теплоты Q . Какая доля этого количества пошла на увеличение внутренней энергии газа? 1. U Q 2. U 2 Q 5 3. U 3 Q 5 4. 4 Q 5 U 14.2.10. Чему равна теплоемкость cT одного моля одноатомного идеального газа в изотермическом процессе? 1. cT 5 R 3 2. cT 3. cT 4 3 R 5 4. cT 0 Работа газа в циклическом процессе. Тепловые двигатели. Вариант 1 15.1.1. На рисунках 1, 2 и 3 приведены графики трех циклических процессов, происходящих с идеальным газом. В каком из этих процессов газ совершил за цикл положительную работу? p p p V 1 V 2 3. В 3 V 3 1. В 1 2. В 2 4. Ни в одном 15.1.2. Идеальный газ, совершив некоторый циклический процесс, вернулся в начальное состояние. Суммарное количество теплоты, полученное газом в течение всего процесса равно Q . Чему равно изменение внутренней энергии газа в этом процессе? 1. U 2. U 0 Q 3. U Q 4. U 3Q / 5 15.1.3. Идеальный газ, совершив некоторый циклический процесс, вернулся в начальное состояние. Суммарное количество теплоты, полученное газом в течение всего процесса (разность полученного от нагревателя и отданного холодильнику количеств теплоты), равно Q . Какую работу совершил газ в течение цикла? 1. A 2. A 0 3. A Q 4. A 2Q / 5 Q 15.1.4. На рисунке приведен график циклического процесса, который происходит с рабочим телом некоp торого теплового двигателя. Параметры цикла приве- 2p дены на графике. Какую работу A двигатель совершаp V ет за цикл? V 2V 1. A pV / 2 2. A pV 3. A 3 pV / 2 4. A 2 pV 5 15.1.5. На рисунке приведен график циклического процесса, который происходит с газом. Параметры процесса приведены на графике. Какую работу A газ совершает в течение этого циклического процесса? 1. A 2 pV 2. A 3 pV 3. A 4. A 2 pV 3 pV 15.1.6. Идеальный газ совершает циклический процесс, график в координатах p V приведен на рисунке. Известно, что процесс 2-3 – изохорический, в процессах 1-2 и 3-1 газ совершил работы A1 2 и A3 1 соответственно. Какую ра- p 2p p V V p 1 3V 2 3 V боту A совершил газ в течение цикла? 1. A A1 2 A3 1 2. A A3 1 A1 3. A A1 2 A3 1 2 4. Работу газа нельзя найти ни по одной из перечисленных формул 15.1.7. Коэффициент полезного действия теплового двигателя показывает 1. Какую часть количества теплоты, полученного у нагревателя, двигатель отдает холодильнику 2. Какую часть количества теплоты, отданного холодильнику, двигатель превращает в работу 3. Какую часть затраченной работы составляет полезная работа двигателя 4. Какую часть количества теплоты, полученного у нагревателя, двигатель превращает в работу 15.1.8. В течение цикла тепловой двигатель получает от нагревателя количество теплоты Q1 и отдает холодильнику количество теплоты Q2 . 6 Какой формулой определяется коэффициент полезного действия двигателя? 1. η 3. η Q1 Q2 Q1 Q2 Q1 Q1 Q1 Q2 Q1 Q2 Q2 2. η 4. η 15.1.9. У идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, нагреватель имеет температуру 600 К, холодильник – 200 К. Чему равен кпд этого двигателя? 1. 1/ 4 2. 2 / 3 3. 3 / 4 4. 1/ 3 15.1.10. КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, равен 50 %. Температуру нагревателя увеличивают в два раза, температура холодильника не меняется. Каким будет КПД получившейся идеальной тепловой машины? 1. 25 % 2. 75 % 3. 60 % 4. 40 % Вариант 2 15.2.1. В течение цикла тепловой двигатель получает от нагревателя количество теплоты Q1 , отдает холодильнику количество теплоты Q2 , совершает работу A . Какой формулой не определяется коэффициент полезного действия двигателя? Q1 Q2 A 4. η Q1 Q1 15.2.2. Цикл теплового двигателя длится 10 с. За это время двигатель получает от нагревателя количество теплоты, равное 10 кДж, и отдает холодильнику количество теплоты 3 кДж. Какова мощность двигателя? 1. 70 кВт 2. 30 кВт 3. 700 Вт 4. Такого двигателя быть не может 1. η Q2 Q1 2. η A A Q2 3. η 7 15.2.3. Тепловой двигатель получает за цикл от нагревателя количество теплоты, равное 100 Дж, а отдает холодильнику количество теплоты 30 Дж. Каков КПД двигателя? 1. 30 % 2. 70 % 3. 35 % 4. 15 % 15.2.4. Тепловой двигатель совершает за цикл работу 400 Дж и отдает холодильнику количество теплоты, равное 600 Дж. Каков КПД двигателя? 1. 50 % 2. 66 % 3. 40 % 4. 33 % 15.2.5. Тепловой двигатель, КПД которого равен 20 %, в течение цикла отдает холодильнику количество теплоты 100 Дж. Какую работу совершает двигатель за цикл? 1. 25 Дж 2. 30 Дж 3. 35 Дж 4. 40 Дж 15.2.6. Тепловой двигатель, КПД которого равен 25 %, в течение цикла совершает работу 100 Дж. Какое количество теплоты двигатель отдает холодильнику за цикл? 1. 150 Дж 2. 200 Дж 3. 250 Дж 4. 300 Дж 15.2.7. Идеальный газ совершает циклический процесс, график в координатах p V приве- p 2 ден на рисунке. Известно, что процесс 2-3 – 3 адиабатический, в процессе 1-2 газ получил 1 V количество теплоты Q1 2 , в процессе 3-1 отдал количество теплоты Q3 1 . Какую работу A совершил газ в течение цикла? 1. A Q1 2 Q3 1 2. A Q1 2 Q3 1 3. A Q3 1 Q1 2 4. Работу газа нельзя найти ни по одной из перечисленных формул 15.2.8. На рисунке на V T диаграмме приведен V график циклического процесса, происходящего с 3 4 идеальным газом. Положительную или отрица1 2 T тельную работу газ совершает в течение цикла? V 1. Положительную 2. Отрицательную 8 3. Нулевую 4. Мало информации для ответа 15.2.9. На рисунке на p T диаграмме привеp ден график циклического процесса, происхо2 p 2 1 дящего с идеальным газом. На каком из участp 4 ков цикла 1-2, 2-3, 3-4 или 4-1 газ совершает 3 T максимальную по абсолютной величине рабоT 2T V ту? 1. На 1-2 2. На 2-3 3. На 3-4 4. На 4-1 15.2.10. Коэффициент полезного действия процесса 1-2-3-1 известен и равен η (см. рисунок). Чему равен коэффициент полезного действия η1 процесса 1-2-4-1? 1. η1 η / 2 2. η1 2η 3. η1 4η 4. η1 η/ 4 9 4p 3p V 2p p 2 4 1 3 V Ответы Термодинамика Вариант 1 Номер задачи 14.1.1-14.1.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ответ 1 2 3 2 1 4 3 2 2 2 Вариант 2 Номер задачи 14.2.1-14.2.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ответ 1 1 1 3 2 2 1 2 3 2 Работа газа в циклическом процессе. Тепловые двигатели Вариант 1 Номер задачи 15.1.1-15.1.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ответ 2 2 3 1 3 3 4 3 2 2 Вариант 2 Номер задачи 15.2.1-15.2.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ответ 1 3 2 3 1 4 1 1 2 1 10 Решения Термодинамика Изучение энергетических превращений в молекулярных системах составляет содержание термодинамики. Для решения задач на термодинамику необходимо знать определения внутренней энергии, количества теплоты, теплоемкости и ряда других величин. Необходимо также понимать и уметь использовать в простейших случаях первый закон термодинамики как балансовое соотношение, описывающее процессы превращения энергии из одних форм в другие. Также нужно знать основные свойства процессов перехода вещества из одних агрегатных состояний в другие. Рассмотрим эти вопросы. Внутренней энергией тела называется сумма кинетической энергии молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. Для жидкостей и твердых тел из-за сильного взаимодействия молекул друг с другом вычислить внутреннюю энергию не удается. Внутреннюю энергию можно вычислить только для идеальных газов, в которых можно пренебречь энергией взаимодействия молекул друг с другом и считать, что внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий молекул. Для одноатомного газа (т.е. газа, каждая молекула которого состоит из одного атома) внутренняя энергия U определяется соотношением U 3 νRT , 2 (14.1) где – количество вещества газа (число молей), R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. Заметим, что с помощью закона Клапейрона-Менделеева формула (14.1) может быть преобразована к виду U 3 pV , 2 (14.2) где p – давление, V – объем газа. Внутренняя энергия тела может измениться при теплообмене, когда молекулы тела сталкиваются с более быстрыми или более медленными 11 молекулами других тел и получают от них или отдают им энергию, или в процессе совершения механической работы над этим телом внешними силами. В связи с эти вводят следующие определения. Количеством теплоты, переданным некоторому телу, называют энергию, переданную этому телу в процессе хаотических столкновений молекул. Процесс передачи энергии в виде теплоты называют процессом теплопередачи. Если внешние силы не совершают над телом работы, для процесса теплопередачи справедливо следующее балансовое соотношение (14.3) U Q, где U – изменение внутренней энергии тела, Q – количество переданной этому телу теплоты. Поскольку изменение внутренней энергии тела может быть и положительным U 0 , и отрицательным U 0 , из закона (14.3) следует, что количеству теплоты следует придать алгебраический смысл: если энергия передается телу, количество переданной этому телу теплоты нужно считать положительным Q 0 , если забирается – отрицательным Q 0 . Внутренняя энергия тела изменяется при сжатии тела, трении и ряде других механических процессах. В этом случае на изменение внутренней энергии расходуется работа A , совершаемая над телом внешними силами (14.4) U A (конечно, здесь подразумевается, что работа A не расходуется на энергию движения тела как целого, а только на изменение внутреннего движения, т.е. все перемещения тела как целого или его макроскопических частей должны происходить бесконечно медленно). Очевидно, работа внешних сил положительна, если эти силы сжимают тело и его объем уменьшается, и отрицательна – если объем тела увеличивается. В первом случае, как это следует из (14.4), внутренняя энергия тела возрастает ( U 0 ), во втором убывает ( U 0 ). Одновременно с внешними силами при сжатии или расширении тел совершают раF F боту и сами эти тела. Рассмотрим, например, газ, находящийся в цилиндрическом сосуде и отделенный от атмо- 12 сферы поршнем (см. рисунок). И при сжатии, и при расширении газа силы, действующие на поршень со стороны газа, совершают над ним работу A (в первом случае отрицательную, во втором положительную). При этом, поскольку поршень перемещается бесконечно медленно, силы, действующие на него со стороны газа и внешние силы практически равны друг другу как при сжатии, так и при расширении газа (в противном случае в балансе энергии необходимо было учитывать кинетическую энергию, приобретенную поршнем). Поэтому работа, совершенная газом и внешними силами над газом равны по величине, но отличаются знаком1. Очевидно, работа газа положительна, если газ расширяется, и отрицательна, если газ сжимается. При решении задач на термодинаp мику следует помнить одно важное свойство работы газа, которое во мноp гих случаях позволяет ее легко вычислить. Работа газа в некотором процессе численно равна площади V1 V2 V фигуры под графиком зависимости давления от объема в этом процессе. В частности в изобарическом процессе при давлении p , в котором объем газа изменился от значения V1 до значения V2 , газ совершает работу (см. рисунок; площадь графика, соответствующая работе, выделена): A p V2 V1 p V νR T , (14.5) где ν – количество вещества газа, сматриваемом процессе. T – изменение температуры в рас- 1 В этой связи отметим, что в термодинамике иногда используются следующие обозначения: работа газа обозначается как A, работа внешних сил над газом – как A . Нам кажется, что лучше такие обозначения не использовать – все равно забудешь, у какой работы надо ставить штрих. Необходимо понимать разницу между этими величинами, а при чтении условий задач или при проведении термодинамических рассуждений отдавать себе отчет, о какой работе идет речь. 13 Если газ участвует в процессе, в котором одновременно имеет место и теплообмен, и совершается работа, то справедливо соотношение (14.6) Q U A, которое называется первым законом термодинамики (здесь A – работа газа). Закон (14.6) позволяет найти одну из входящих в него величин, если заданы две других. Если задается только одна из величин, входящих в закон (14.6), но как-то определяется процесс, происходящий с газом, то две остальные величины могут быть определены. Например, в изохорическом процессе не совершается работа, поэтому (14.7) Q U. В изотермическом процессе не меняется внутренняя энергия газа, поэтому (14.8) Q A. В адиабатическом процессе (процессе без теплообмена с окружающей средой) Q 0 , поэтому (14.9) 0 U A. В изобарическом процессе есть связь между изменением внутренней энергии газа и его работой. Из формул (14.1) и (14.5) заключаем, что работа одноатомного идеального газа и изменение его внутренней энергии в изобарическом процессе связаны соотношением U 3 A. 2 (14.10) Для характеристики процессов нагрева-остывания тела вводят понятие теплоемкости тела C , которая определяется как C Q , T (14.11) где Q – количество теплоты, сообщенное телу в некотором процессе, T – изменение его температуры в этом процессе. Подчеркнем, что Q и T в формуле (14.11) не независимы, а связаны друг с другом: T – это то изменение температуры, которое происходит благодаря сообщению телу количества теплоты Q . Поэтому теплоемкость (14.11) не за- 14 висит от Q и T , а зависит от свойств тела и происходящего с ним процесса. Если тело однородно, то его теплоемкость пропорциональна его массе m . Поэтому отношение C / m c является характеристикой вещества тела и называется его удельной теплоемкостью. Удельная теплоемкость представляет собой экспериментально измеряемую (табличную) характеристику веществ. Из определения удельной теплоемкости следует, что если телу массой m , изготовленному из вещества с удельной теплоемкостью c , сообщить количество теплоты Q , то будет справедливо соотношение (14.12) cm T Q где T – изменение температуры тела. Приведем теперь решения данных в первой части задач. В задаче 14.1.1 внутренняя энергии газа увеличится согласно формуле (14.1) – ответ 1. Для ответа на вопрос задачи 14.1.2 удобно использовать формулу для внутренней энергии газа в виде (14.2). По этой формуле находим, что внутренняя энергия увеличилась в 3 / 2 раза (ответ 2). Обратим внимание читателя, что причина изменения давления и объема может быть любой – ответ от этого не зависит. Может измениться или температура газа, или количество вещества, или и то и другое одновременно. Поскольку температура и количество вещества газа не изменялись в рассматриваемом в задаче 14.1.3 процессе, внутренняя энергия газа не изменилась (ответ 3). В задаче 14.1.4 следует воспользоваться определением теплоемкоT 1 сти (14.11). Для этого рассмотрим, T1 2 например, интервал времени t1 t2 , T2 выделенный жирным на оси времени (см. рисунок). За этот интервал t оба тела получили одинаковое коt2 t1 личество теплоты Q , поскольку нагреватели одинаковы. Изменение температур тел 15 T1 и T2 можно определить по графику – эти величины отмечены фигурными скобками T2 из формулы (14.11) заключана оси температур. Поскольку T1 ем, что C1 C2 – ответ 2. В задаче 14.1.5 следует воспользоваться определением удельной теплоемкости. По формуле (14.12) находим c Q m T 100 Дж/(кг К) (ответ 1). Для совершения работы необходимо механическое движение. Поскольку объем газа в задаче 14.1.6 не меняется, механическое движение отсутствует, работа газа равна нулю (ответ 4). Применяя к рассматриваемому в задаче 14.1.7 процессу первый закон термодинамики Q U A (14.6) и учитывая, что в изохорическом процессе работа газа равна нулю, заключаем, что U Q (ответ 3). В изотермическом процессе не меняется внутренняя энергия идеального газа. Поэтому U 0 , и работа A , совершенная над газом, определяется соотношением (14.4), (14.6): A Q (задача 14.1.8 – ответ 2). Адиабатический процесс происходит без теплообмена с окружающими телами: Q 0 . Поэтому из первого закона термодинамики (14.6) получаем в задаче 14.1.9 для работы газа A U (ответ 2). Применяя первый закон термодинамики (14.6) к процессу, происходящему с газом в задаче 14.1.10, найдем, что внутренняя энергия газа увеличилась на 10 Дж (ответ 2). Для решения задачи 14.2.1 можно использовать то обстоятельство, что работа газа чис- p 1 2 ленно равна площади фигуры, ограниченной 3 графиком зависимости давления от объема и V осью объемов. Из рисунка следует, что наибольшей является площадь под графиком процесса 1. Поэтому бóльшую работу газ совершает в процессе 1 (ответ 1). В задаче 14.2.2 следует применить ко всем трем процессам, графики 16 которых даны на рисунке к решению предыдущей задачи, первый закон термодинамики (14.6) Q U A . Учитывая, что начальная и конечная температура газа во всех трех процессах одинакова, и, следовательно, одинаковы изменения внутренней энергии газа U , а работа наибольшая в процессе 1 (см. решение предыдущей задачи), заключаем, что газ получил большее количество теплоты в процессе 1 (ответ 1). Работа газа положительна, если газ расширяется. Для доказательства этого утверждения представим газ в сосуде, ограниченном подвижным поршнем. Если газ расширяется, то и перемещение поршня и сила, действующая на него со стороны газа, направлены одинаково, поэтому работа газа положительна. При сжатии газа его работа отрицательна. Поэтому в задаче 14.2.3 работа газа положительна в процессе 3 (ответ 3). Так как графики процессов 1-2 и 3-4 в задаче 14.2.4 – прямые, проходящие через начало координат, эти процессы - изохорические, и газ не совершает в них работу. А поскольку изменение внутренней энергии газа в этих процессах одинаково, то одинаковы и количества теплоты, сообщенные газу в этих процессах (ответ 3). Задача 14.2.5 аналогична предыдущей. Рассматриваемый процесс – изохорический, поэтому изменение внутренней энергии газа равно сообщенному количеству теплоты U 100 кДж (ответ 2). Вычисляя площадь под графиком процесса в задаче 14.2.6, находим работу газа A 2 p0V0 (ответ 2). В условии задачи 14.2.7 дано количество теплоты Q , которое забрали у газа. Первый закон термодинамики, в который входит эта величина, имеет вид U A Q, где A – работа, совершенная над газом в рассматриваемом процессе. Подставляя в эту формулу данные в условии величины, находим U 5 Дж (ответ 1). Чтобы понять, расширялся или сжимался газ в рассматриваемом в задаче 14.2.8 процессе, из первого закона термодинамики найдем работу газа: если она окажется положительной, газ расширялся, если отрицательной – сжимался. Из закона (14.6) находим 17 A Q U Q 3 νR T 2 2 103 2,5 103 0. Поэтому газ сжимался (ответ 1). Чтобы найти долю количества теплоты, которая пошла на увеличение внутренне энергии газа в изобарическом процессе (задача 14.2.9) воспользуемся формулой (14.5) для работы газа в этом процессе A νR T . Поскольку изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа равно U (3/ 2)νR T , заключаем, что изменение внутренней энергии газа составляет 3 / 2 от его работы. Поэтому 2 / 5 количества теплоты, сообщенного газу в изобарическом процессе тратится на работу, 3 / 5 - на изменение внутренней энергии газа (ответ 3). Чтобы найти теплоемкость газа в изотермическом процессе (задача 14.2.10), применим к этому процессу определение теплоемкости (14.11) C Q . T Поскольку в изотермическом процессе T 0 при ненулевом количестве сообщенной теплоты, то теплоемкость газа равна бесконечности. Это означает следующее – в изотермическом процессе газу сообщают теплоту, а он не нагревается, что и означает бесконечную теплоемкость газа (теплота расходуется только на совершение работы). Работа газа в циклическом процессе. Тепловые двигатели В программу школьного курса физики входит ряд вопросов, связанных с тепловыми двигателями. Школьник должен знать основные принципы работы теплового двигателя, понимать определение коэффициента полезного действия (КПД) циклического процесса, уметь находить эту величину в простейших случаях, знать, что такое цикл Карно и его КПД. Тепловым двигателем (или тепловой машиной) называется процесс, в результате которого внутренняя энергия какого-то тела превращается в механическую работу. Тело, внутренняя энергия которого превращается двигателем в работу, называется нагревателем двигателя. Механическая работа в тепловых машинах совершается газом, который принято называть рабочим телом (или рабочим веществом) тепловой 18 машины. При расширении рабочее тело и совершает полезную работу. Для того чтобы сделать процесс работы двигателя циклическим, необходимо еще одно тело, температура которого меньше температуры нагревателя и которое называется холодильником двигателя. Действительно, если при расширении газ совершает положительную (полезную) работу (левый рисунок; работа газа A1 2 численно равна площади «залитой» фигуры), то при сжатии газа он совершает отрицательную («вредную») работу, которая должна быть по абсолютной величине меньше полезной работы. А для этого сжатие газа необходимо проводить при меньших температурах, чем расширение, и, следовательно, газ перед сжатием необходимо охладить. На среднем рисунком показан процесс сжатия газа 2-1, в котором газ совершает отрицательную работу A2 1 , абсолютная величина которой показана на среднем рисунке более светлой «заливкой». Чтобы суммарная работа газа за цикл p p 1 p 1 2 1 2 V V 2 V была положительна, площадь под графиком расширения должна быть больше площади под графиком сжатия. А для этого газ перед сжатием следует охладить. Кроме того, из проведенных рассуждений следует, что работа газа за цикл численно равна площади цикла на графике зависимости давления от объема, причем со знаком «плюс», если цикл проходится по часовой стрелке, и «минус» – если против. A1 2 A2 1 Таким образом, двигатель превращает в механическую работу не всю энергию, взятую у нагревателя, а только ее часть; остальная часть этой энергии используется не для совершения работы, а передается холодильнику, т.е. фактически теряется для совершения работы. Поэтому величиной, характеризующей эффективность работы двигателя, является отношение 19 η A , Qн (15.1) где A – работа, совершаемая газом в течение цикла, Qн – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл. Отношение (15.1) показывает, какую часть количества теплоты, полученного у нагревателя, двигатель превращает в работу и называется коэффициентом полезного действия (КПД) двигателя. Если в течение цикла рабочее тело двигателя отдает холодильнику количество теплоты Qх (эта величина по своему смыслу положительна), то для работы газа справедливо соотношение A Qн Qх . Поэтому существует ряд других форм записи формулы (15.1) для КПД двигателя η Qн Qх Qн 1 Qх Qн A . A Qх (15.2) Французский физик и инженер С. Карно доказал, что максимальным КПД среди всех процессов, использующих некоторое тело с температурой T1 в качестве нагревателя, и некоторое другое тело с температурой T2 ( T2 T1 ) в качестве холодильника, обладает процесс, состоящий из двух изотерм (при температурах нагревателя T1 и холодильника T2 ) и двух адиабат (см. рисунок). p 1 2 4 3 V Изотермам на графике отвечают участки графика 1-2 (при температуре нагревателя T1 ) и 3-4 (при температуре холодильника T2 ), адиабатам 20 – участки графика 2-3 и 4-1. Этот процесс называется циклом Карно. КПД цикла Карно равен ηКарно T1 T2 T1 1 T2 . T1 (15.3) Теперь рассмотрим задачи. В задаче 15.1.1 необходимо использовать то обстоятельство, что работа газа в циклическом процессе численно равна площади цикла на графике зависимости давления от объема, причем со знаком «плюс», если цикл проходится по часовой стрелке, и «минус» – если против. Поэтому во втором цикле работа газа положительна, в третьем отрицательна. Первый цикл состоит из двух циклов, один из которых проходится по, второй – против часовой стрелки, причем, как следует из графика 1, площади этих циклов равны. Поэтому работа газа за цикл в процессе 1 равна нулю (правильный ответ – 2). Поскольку в результате совершения циклического процесса газ возвращается в первоначальное состояние (задача 15.1.2), то изменение внутренней энергии газа в этом процессе равно нулю (ответ 2). Применяя в задаче 15.1.3 первый закон термодинамики ко всему циклическому процессу и учитывая, что изменение внутренней энергии газа равно нулю (см. предыдущую задачу), заключаем, что A Q (ответ 3). Поскольку работа газа численно равна площади цикла на диаграмме «давление-объем», то работа газа в процессе в задаче 15.1.4 равна A pV / 2 (ответ 1). Аналогично в задаче 15.1.5 газ за цикл совершает работу A 2 pV (ответ 1). Работа газа в любом процессе равна сумме работ на отдельных участках процесса. Поскольку процесс 2-3 в задаче 15.1.6 – изохорический, то работа газа в этом процессе равна нулю. Поэтому A A1 2 A3 1 (ответ 3). 21 По определению КПД показывает, какую часть количества теплоты, полученного у нагревателя, двигатель превращает в работу (задача 15.1.7 – ответ 4). Работа двигателя за цикл равна разности количеств теплоты, полученного от нагревателя Q1 и отданного холодильнику Q2 : A Q1 Q2 . Поэтому КПД цикла есть η Q1 Q2 Q1 (задача 15.1.8 – ответ 3). По формуле (15.3) находим КПД цикла Карно в задаче 15.1.9 η T1 T2 T1 2/3 (ответ 2). Пусть температура нагревателя первоначального цикла Карно равна T1 , температура холодильника T2 (задача 15.1.10). Тогда по формуле (15.3) для КПД первоначального цикла имеем η 1 Отсюда находим T2 / T1 получаем T2 T1 0,5 . 0,5 . Поэтому для КПД нового цикла Карно η1 1 T2 2T1 0, 75 (ответ 2). В задаче 15.2.1 формулы (2), (3) и (4) представляют собой разные варианты записи определения КПД теплового двигателя (см. формулы (15.1) и (15.2)). Поэтому не определяет КПД двигателя только формула 1. (ответ 1). 22 Мощностью двигателя называется работа, совершенная двигателем в единицу времени. Поскольку работа двигателя равна разности полученного от нагревателя и отданного холодильнику количеств теплоты, имеем для мощности двигателя N в задаче 15.2.2 N 10 103 3 103 10 700 Вт (ответ 3). По формуле (15.2) имеем для КПД двигателя в задаче 15.2.3 η Qн Qх Qн 100 30 100 70 % , где Qн – количество теплоты, полученное от нагревателя, Qх – количество теплоты, отданное холодильнику (правильный ответ – 2). Для нахождения КПД теплового двигателя в задаче 15.2.4 удобно использовать последнюю из формул (15.2). Имеем A A Qх 400 400 600 0, 4 , где A – работа газа, Qх – количество теплоты, отданное холодильнику. Поэтому правильный ответ в задаче – 3. Пусть газ совершает за цикл работу A (задача 15.2.5). Поскольку количество теплоты, полученное от нагревателя равно A Qх ( Qх – количество теплоты, отданное холодильнику), и работа A составляет 20 % от этой величины, то для работы справедливо соотношение A 0, 2( A 100) . Отсюда находим A 25 Дж (ответ 1). Поскольку работа теплового двигателя в задаче 15.2.6 равна 100 Дж при КПД двигателя 25 %, то двигатель получает от нагревателя количество теплоты 400 Дж. Поэтому он отдает холодильнику 300 Дж теплоты в течение цикла (ответ 4). p В задаче 15.2.7 газ получает или отдает теп2 лоту только в процессах 1-2 и 3-1 (процесс 2-3 3 по условию адиабатический). Поэтому данное в 1 V условии задачи количество теплоты Q1 2 явля- 23 ется количеством теплоты, полученным от нагревателя в течение цикла, Q3 1 – количеством теплоты, отданном холодильнику. Поэтому работа газа равна A Q1 2 Q3 1 (ответ 1). Цикл, данный в задаче 15.2.8, состоит из двух изотерм 2-3 и 4-1 и двух изохор 1-2 и 32 4. Работа газа в изохорических процессах 1 3 равна нулю. Сравним работы газа в изотермических процессах. Для этого удобно по4 V строить график зависимости давления от объема в рассматриваемом процессе, поскольку работа газа есть площадь под этим графиком. График зависимости давления от объема для заданного в условии процесса приведен на рисунке. Поскольку изотерме 2-3 соответствует бóльшая температура, чем изотерме 4-1, то она будет расположена выше на графике p V . Объем газа в процессе 2-3 увеличивается, в процессе 4-1 уменьшается. Таким образом, график процесса на графике p V проходится по часовой стрелке, и, следовательно, работа газа за цикл положительна (ответ 1). p Для сравнения работ газа на p различных участках процесса в 1 2 2p задаче 15.2.9 построим график зависимости давления от объема. 3 4 p Этот график представлен на рисунке. Из рисунка следует, что V работы газа в процессах 1-2 и 3-4 4V 2V V одинаковы по модулю (этим работам отвечают площади прямоугольников, «залитых» на рисунке светлой и темной «заливкой»). Работе газа на участке 4-1 отвечает площадь под графиком 4-1, которая меньше площади под графиком 1-2. Работе газа на участке 2-3 отвечает площадь под кривой 2-3 на рисунке, которая заведомо больше площади «залитых» прямоугольников. Поэтому в 24 процессе 2-3 газ и совершает наибольшую по абсолютной величине (среди рассматриваемых процессов) работу (ответ 2.). Согласно определению коэффициент полезного действия представляет отношение работы газа за цикл A к количеству теплоты Q , полученному от нагревателя η A / Q . Как следует из данного в условии задачи 15.2.10 графика, и в процессе 1-2-4-1 и в процессе 1-2-3-1 газ получает теплоту только на участке 1-2. Поэтому количество теплоты, полученное газом от нагревателя в процессах 1-2-4-1 и 1-2-3-1 одинаково. А вот работа газа в процессе 1-2-4-1 вдвое меньше (так площадь треугольника 1-2-4 как вдвое меньше площади треугольника 1-2-4-1). Поэтому коэффициент полезного действия процесса 1-2-4-1 1 вдвое меньше коэффициента полезного действия процесса 1-2-3-1 η : η1 η / 2 (ответ 1). 25