Об упорядочивании дискретных случайных величин

ОБ УПОРЯДОЧИВАНИИ ДИСКРЕТНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
О.А.ЕМЕЦ,
Полтавский университет экономики и торговли
yemetsli@mail.ru,
Т.Н.БАРБОЛИНА,
Полтавский национальный педагогический университет
имени В.Г.Короленко
tn_b@rambler.ru
Предлагается подход к введению порядка на множестве
дискретных случайных величин, который может быть
использован при построении моделей задач стохастической
оптимизации. Доказано, что порядок является линейный,
исследованы некторые свойства введенного отношения.
Ключевые слова: стохастическая оптимизация, дискретная
случайная величина, линейный порядок.
Актуальным направлением исследований в области
оптимизации является изучение задач с неопределенностью
различного характера. В литературе (см., например, [1, 2])
предлагается подход к решению оптимизационных задач
интервальной и нечеткой оптимизации, основанный на введении
отношения порядка. В данном докладе предлагается развитие
указанных идей на случай вероятностной неопределенности.
Будем обозначать дискретные случайные величины большими
латинскими буквами ( X , Y , Z ), их возможные значения — малыми
( xi , yi , zi ), а соответствующие вероятности через pix , piy , piz .
Полагаем, что возможные значения случайной величины
упорядочены по возрастанию.
Через M ( X ) будем обозначать математическое ожидание
случайной величины X , а через D ( X ) — дисперсию.
Введем бинарное отношение упорядочивания на множестве
дискретных случайных величин в соответствие со следующим
определением.
171
Определение 1. Будем называть две дискретные случайные
величины X и Y упорядоченными в возрастающем порядке ≺ (и
обозначать этот факт X ≺ Y ), если выполнено одно из
следующих условий:
1. M ( X ) < M (Y ) ;
2.
M ( X ) = M (Y ) и D ( X ) < D (Y ) ;
3.
M ( X ) = M (Y ) , D ( X ) = D (Y ) и найдется такой индекс t , что
xi = yi , pix = piy для всех i < t , и при этом:
3.1. либо xt < yt ,
3.2. либо xt = yt и ptx < pty .
Утверждение 1. Отношение ≺ на множестве дискретных
случайных величин является строгим порядком.
Доказательство. Как известно, для того, чтобы отношение
было строгим порядком необходимо и достаточно, чтобы оно было
антирефлексивным, сильно антисимметричным и транзитивным.
Антирефлексивность означает, что ни при каком X не имеет
места X ≺ X . Действительно, M ( X ) = M ( X ) , D ( X ) = D ( X ) и
xi = yi , pix = piy для всех i = 1, 2,..., , то есть ни одно из условий
определения 1 не выполняется.
Докажем сильную антисимметричность, то есть тот факт, что
ни для каких X и Y соотношения X ≺ Y и Y ≺ X не могут
выполняться одновременно. Предположим обратное: X ≺ Y и
Y ≺ X . Тогда вследствие X ≺ Y имеем M ( X ) ≤ M (Y ) , а из Y ≺ X
— M (Y ) ≤ M ( X ) , откуда M ( X ) = M (Y ) . Аналогично получаем
D ( X ) = D (Y ) . Таким образом, условия 1 и 2 определения 1 не
{
выполняются, поэтому для индекса t = min i xi ≠ yi ∨ pix ≠ piy
}
должно выполняться условие 3.1 или 3.2. Но одновременное
выполнение условий xt < yt и yt < xt невозможно. Таким образом,
должно иметь место условие 3.2, то есть ptx < pty и pty < ptx что
также невозможно. Значит, предположение неправильно и
отношение ≺ сильно антисимметрично.
172
Для доказательства транзитивности положим X ≺ Y и Y ≺ Z и
рассмотрим следующие случаи:
1) M ( X ) ≠ M (Y ) или M (Y ) ≠ M ( Z ) . Тогда место одно из
трех соотношений:
1.1) M ( X ) < M (Y ) < M ( Z ) ;
1.2) M ( X ) = M (Y ) < M ( Z ) ;
1.3) M ( X ) < M (Y ) = M ( Z ) .
Следовательно M ( X ) < M ( Z ) , то есть X ≺ Z .
M ( X ) = M (Y ) = M ( Z ) ,
2)
но
D ( X ) ≠ D (Y )
или
D (Y ) ≠ D ( Z ) . Аналогично случаю 1 получаем D ( X ) < D ( Z ) , то
есть X ≺ Z .
3) M ( X ) = M (Y ) = M ( Z ) и D ( X ) = D (Y ) = D ( Z ) . Тогда для
X и Y , Y и Z имеют место условия 3. Пусть
t = min i xi ≠ yi ∨ pix ≠ piy , τ = min j y j ≠ z j ∨ p zj ≠ p zj . Тогда
{
{
}
{
}
min l xl ≠ zl ∨ plx ≠ plz = min {t ,τ } .
}
Рассмотрим
возможные
соотношения между t и τ :
3.1) t < τ , тогда yt = zt и pty = ptz ; следовательно,
• либо xt < yt = zt ,
• либо xt = yt = zt и ptx < pty = ptz .
Таким образом X ≺ Z .
3.2) t > τ , тогда xτ = yτ и pτx = pτy ; следовательно,
•
xτ = yτ < zτ
• или xτ = yτ = zτ , причем pτx = pτy < pτz .
Таким образом, X ≺ Z .
3.3) t = τ , тогда возможны следующие случаи:
• xt < yt < zt ;
• xt = yt < zt ;
• xt < yt = zt ;
• xt = yt = zt , тогда ptx < pty < ptz .
В любом случае X ≺ Z .
173
Таким образом, отношение ≺ транзитивно. Утверждение
доказано.
Определение 2. Будем называть две дискретные случайные
величины X и Y упорядоченными в неубывающем порядке ≺ (и
обозначать этот факт X ≺Y ), если X ≺ Y или X = Y .
Поажем, что введенное отношение является линейным
порядком. Для этого сначала докажем сначала вспомогательное
утверждение.
Лемма 2. Если X и Y — различные дискретные случайные
величины, имеющие соответственно k и m значений. Тогда
найдется такой индекс t ≤ min {k , m} , что xt ≠ yt или ptx ≠ pty .
Доказательство.
Пусть для определенности
k ≤ m.
Предположим, что для всех t ≤ k имеют место равенства xt = yt и
ptx = pty . Так как случайные величины X и Y различны, то в этом
случае должно быть m > k . Следовательно,
m
k
∑p =∑p
t =1
y
t
t =1
y
t
+
m
k
k
∑ p >∑p =∑p
t = k +1
y
t
t =1
y
t
t =1
x
t
=1,
что невозможно Таким образом, предположение неверно. Лемма
доказана.
Утверждение 3. Отношение ≺ на множестве дискретных
случайных величин является линейным порядком.
Доказательство. Так как отношение
≺
является
объединением строгого порядка ≺ и диагонали, то оно является
порядком [3].
Покажем, что этот порядок является линейным, то есть для
любых двух дискретных случайных величин X и Y выполняется
одно из неравенств X ≺Y или Y ≺ X .
Предположим, что неравенство X ≺Y не имеет места.
Следовательно, X и Y — различные случайные величины,
причем M ( X ) ≥ M (Y ) . Если M ( X ) > M (Y ) , то согласно условия
1 определения 1 Y ≺ X , а значит, Y ≺ X .
Если M ( X ) = M (Y ) , но D ( X ) > D (Y ) , то также Y ≺ X .
174
Рассмотрим
теперь
случай,
когда
M ( X ) = M (Y )
и
D ( X ) = D (Y ) . Так как X и Y — различны, то в соответствии с
леммой 1 существует такой индекс t , что xt ≠ yt или ptx ≠ pty . По
X ≺Y
предположению
неравенство
не
выполняется.
Следовательно, xt ≥ yt . При xt > yt имеем Y ≺ X согласно
условию 3.1 определения 1 . Если xt = yt , то ptx > pty , а значит,
Y ≺ X (условие 3.2 определения 1). Таким образом, если для
случайных величин X и Y не имеет места соотношение X ≺Y , то
Y ≺ X . Утверждение доказано.
Существенным в задачах оптимизации является определение
минимума и максимума на заданном множестве дискретных
случайных величин. Используя введенный в определении 2
линейный порядок, упорядочим элементы заданного конечного
множества независимых дискретных случайных величин,
пронумеровав их согласно линейного порядка: X 1 ≺ X 2 ≺ ... ≺ X s .
Максимумом назовем величину X s , а минимумом – величину X 1 .
Введенные в докладе понятия и отношения могут быть
использованы для формализации ряда задач, в которых возникает
стохастическая неопределенность, а также могут служить для
разработки достаточного общего подхода к описанию задач
стохастической оптимизации.
Литература
1. Сергиенко И.В. Задачи оптимизации с интервальной
неопределенностью: метод ветвей и границ / И. В. Сергиенко,
О. А. Емец, А. О. Емец // Кибернетика и системный анализ. 2013. - 5. - С. 38-50.
2. Ємець О.О. Розв'язування задач комбінаторної оптимізації на
нечітких множинах : монографія / О. О. Ємець, Ол-ра О.
Ємець. - Полтава : ПУЕТ, 2011. - 239 с.
3. Общая алгебра. Т.1 / О.В.Мельников, В. Н. Ремесленников,
В.А.Романьков и др. ; под общ. ред. Л.А.Скорнякова. - М. :
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 592 с.
175