12. Восстановление фазы комплексной амплитуды при расчете

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗЫ КОМПЛЕКСНОЙ АМПЛИТУДЫ ПРИ
РАСЧЕТЕ ПОЛЯ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
И.И. Пахомов, А.В. Морозов, А.Г. Аниканов, А.М. Хорохоров, М. Е. Фролов
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Тел. 8(499) 263-66-89;
E-mail: mavrus@gmail.com, agaalex12@gmail.com, alex@rl2.bmstu.ru, maxfrolov@gmail.com
Рассматривается методика восстановлени фазы комплексной амплитуды при расчете поля
комплексными методами, основанная на определении линий разрывов фазы и
дальнейшего нахождения необходимых приращений фазы только вблизи этих линий .
Расчет рапространения лазерного излучения через различные оптические системы,
с использованием различных представлений дифракционного интеграла является весьма
трудоемкой задачей, которая, в то же время, может быть решена с упрощением, но без
потери точности на основе непосредстренного расчета прохождения пучка лучей,
соответствующих рассчитываемому полю, через некоторую часть ситемы с учетом набега
фазы для каждого луча. Одной из основных проблем при таком подходе, является
необходимость перехода от комплексной амплитуды поля к набору лучей, направление
распространения которых определяется как нормаль к волновому фронту в
соответствующих точках. При расчете комплексной амплитуды поля с использованием
численных представлений дифракционного интеграла информация о фазе в конкретной
точке определяется как аргумент комплексной величины. Соответственно, если реальное
значение комплексной амплитуды поля в данной точке определяется как
(1)
A( x , y ) = I ( x, y ) exp( iϕ ( x , y )
то при вычислении аргумента от (1) возвращенное значение будет находиться в диапазоне
±π. Таким образом, информация о реальном распределении фазы будет утеряна.
Для восстановления реального распределения фазы комплексной амплитуды поля
необходимо произвести компенсацию разрывов фазы, т.е. определить насколько увеличить
или уменьшить (кратно 2π) фазу в каждой точке поля для устранения разрывов. Таким
образом, выражение для восстановленной фазы комплексной амплитуды поля может быть
записанно в виде:
Φ( x, y ) = arg( A( x, y ) + Φ1 ( x, y )
(2)
где, Φ1 ( x, y ) = T ( x, y ) ⋅ 2π , функция T ( x, y ) ∈ Z = {....,−2,−1,0,1,2,..... }
Чаще всего, для определения функции T ( x, y ) используют хорошо известный метод,
основанный на вычислении локального градиента измененения фазы относительно
определенной точки (например, геометрического центра поля), с последующим
определением (эктраполяцией) ожидаемого значения фазы в соседней точке поля по
направлению градиента. В случае большого расхождения ожидаемого и реального
значений фазы поля в анализируемой точке, по определенным правилам определяют
изменение функции T ( x, y ) . После этого продолжают движение по спирали от выбранной
точки поля. Такой подход к восстановлению фазы поля подразумевает неоднократное
вычисление вектора градиента фазы поля для каждой точки, а также многопроходность
для устранения вновь возникающих разрывов. Реализация подобного метода вызывает ряд
266
сложностей и требует дополнительных алгоритмов для устранения точек разрыва первой
производной по фазе поля, что в свою очередь значительно усложняет алгоритм.
Предлагаемый метод восстановления фазы основывается на том, что в общем
случае фаза комплексной амплитуды поля не имеет разрывов, за исключением случаев
апертурных ограничений в плоскости анализируемого распределения поля. В своей основе
предлагаемый способ предполагает на первом этапе произвести определение линий
разрывов фазы, причем, все эти линии, в общем случае, будут замкнутыми. Полная карта
разрывов фазы поля используется для последующего анализа значений только вблизи
линий разрыва с целью определения величины приращения значения фазы на всей области,
ограниченной замкнутой линией разрыва фазы. Исходя из выше сказанного очевидно, что
изменение значения функции T ( x, y ) будет наблюдаться только при переходе через линию
разрыва фазы, в тоже время, во всех точках, ограниченых замкнутой линией разрыва,
значение функции будет оставаться постоянным.
Для примера рассмотрим поле с единичной интенсивностью и распределением фазы по
закону:
A( X m , Yn ) = exp( −i 4π (sin( 4 X m ) sin( 4Yn )))
(3)
Распределение фазы просле вычисления аргумента приведено на Рис.1
Рис. 1. Дискретное распределение фазы
Как видно из рисунка, после дискретизации фаза имеет некоторое колличество линий
разрыва, при переходе через которые происходит скачкообразное изменение значения
фазы на 2π.
Для построения полной карты разрывов фазы необходимо провести поиск точек
разрывов (первого рода) фазы по всем четырем направлениям, т.е. опредилить такие
значения ( X m , Yn ) при прохождении которых в сторону увеличения (уменьшения)
значений вдоль оси 0X и/или 0Y происходит скачкообразное изменение фазы:
• в сторону увеличения значений X m
• в сторону уменьшения значений X m
• в сторону увеличения значений Yn
• в сторону уменьшения значений Yn
Это необходимо, т.к. при постоении карты разрывов только по одному направлению
всегда будут области, в которых анализ точек разрыва фазы не проводился.
Нами разработаны алгоритмы вычисления карты разрывов фазы в каждом из четырех
направлений
.После выполнения всех проходов будет определена полная карта разрывов фазы (см. Рис.
2).
267
Рис. 2. Карта разрывов фазы
При соблюдении всех накладываемых условий и ограничений, таких как:
• расстояние между ближайшими разрывами значения фазы по всем направлениям
большее чем Xmin и Ymin (минимальное количество отсчетов фазы, на котором не может
встречаться более одного разрыва.для осей X и Y соответственно);
• отсутствие в фазе преобразуемой амплитуды комплексного поля артефактов,
вызываемых применением дискретных методов расчета, таких как быстрое
преобразования Фурье, или недостаточностью дискретизации поля при выполнении
операций когерентного сложения полей;
На полученной карте разрывов фазы будут присутствовать только замкнутые
кривые или участки кривых, оба конца которых будут замыкаться на границы
рассматриваемого участка поля, соответствующие собственно линиям разрыва фазы. В
случае, если какие-либо из условий не были выполнены, на полученой карте разрывов
фазы будут обнаружены не замкнутые линии разрывов. Для устранения таких артефактов
необходимо применять методы локального анализа фазы (например, дополнительная
дискретизация поля), однако, в данной статье такие методы не рассматриваются.
После получения карты разрывов фазы на основании алгоритма создания карты
компенсаций разрывов фазы строится матрица, показывающая, какую подставку, кратную
2π, и с каким знаком, необходимо использовать в каждой области, ограниченной линиями
разрывов фазы (происходит определение функции T ( X m , Yn ) . Принцип построения карты
компенсаций разрывов фазы основывается на анализе поведения фазы в окрестности точки
разрыва. При анализе значения фазы до и после точки разрыва определяется ситуация,
когда следующая за анализируемой точка пересекает линию разрыва фазы вовнутрь
области значений фазы с постоянным значением функции T ( X m , Yn ) и наоборот. В
соответствии с тем, какое пересечение было обнаружено (вовнутрь или наружу), значение
функции T ( X m , Yn ) изменяется на (+1) или (−1). В том сучае, если в данном (и
следующем) положении анализируемой точки нет линии разрыва, значение функции
T ( X m , Yn ) устанавливается равным своему значению в ближайшей точке слева от маркера.
Таким образом, за один проход по всей карте разрывов (а следовательно и фазы)
определяются финальные значения функции T ( X m , Yn ) для всех точек фазы и исключается
возможность появления новых разрывов.
На Рис. 3 показана карта компенсаций разрывов фазы, соответствующая аргументу в
выражении (3) и карте линий разрывов, изображенной на Рис. 2.
268
Рис. 3. Карта компенсации разрывов фазы
После этого, в соответствии с (2), можно определить полное значение фазы комплексной
амплитуды поля в любой точке. В результате получается полностью восстановленная, не
ограниченная интервалом ±π) фаза (см. Рис. 4).
Рис. 4. Восстановленная фаза
Таким образом, мы показали, что предлагаемый способ восстановления фазы
позволяет получить требуемый результат без использования большого количества
проходов по матрице дискретизированной фазы. Кроме того, все промежуточные
результаты предлагаемого алгоритма имеют простой физический смысл, например, карта
линий разрывов фазы есть ни что иное, как линия эквидистантных значений реальной
фазы. Благодаря такому разбиению шагов, необходимых для выполнения предлагаемого
способа, реализация описанного алгоритма на любом языке программирования не
представляет особых сложностей. Указанные выше промежуточные результаты позволяют
свести процесс отладки конечного кода к визуальной оценке промежуточных массивов
(карты разрывов фазы и карты компенсаций разрывов фазы). Предложенный алгоритм
позволяет существенно уменьшить вычислительную сложность асчета, кроме того данная
методика расчета адаптирована для применения в параллельных вычистельных системах и
не представляет особых сложностей при реализации, что дает существенный выигрыш во
времени расчета, по сравнению с агоритмами, основанными на расчете локального
градиента.
269