МАЛЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим частицы

МАЛЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим частицы, фаза которых мало отличается от синхронной
фазы, т.е.  1 . Разлагая в ряд правую часть (5) и учитывая, что
cos   s   cos cos s  sin sin s  cos s  sin s ,
(36)
преобразуем (5) к виду
dW
dt
 eEvs sin s .
Или, используя обозначения c  RF
(37)
W tg s
eE 
, W  0 2 cos s , запишем (37) в
2 s
m0c
виде
eE sin s 
ps
RF 
c2 .
(38)
В результате получается следующая система дифференциальных уравнений
первого порядка:

 d
 dt   2 p v p ,
s s


2
 dp    ps vs  c   .
 dt
   
(39)
Система (39) может быть сведена к одному дифференциальному уравнению
второго порядка:
d 2 d
d c2
2

ln

p
v

  0,


s s
2
dt 2 dt
dt
(40)
которое, с учетом замены   t , сводится к виду
d 2
d
 2  
 2    0 ,
2
d
d
(41)
1
где
введены
 c 
,
 
     3 
обозначения:
   
1 d
3 2  1  c 
2
ln

p
v

ctgs ,

s s
2 dt
 3   
2
которые по условию (в силу малости колебаний и
возможности линеаризации) являются «медленными» функциями времени.
Для импульса синхронной частицы можно записать dps dt  eE0 или, переходя
от дифференциалов к конечным разностям
откуда
имеем
  2 s W ,
или,
переходя
ps m0c   2 ecE0 2 m0c 2  t ,
к
другим
обозначениям:
1 
  c  ctgs , получаем
  
1
2
3 2  1 1
1 tgs
.
   
,  2    2
2
2 
 
(42)
Решение уравнения (41) будем искать в виде:
       sin    .
(43)
Подставляя (43) в (41) и, группируя члены вокруг линейно независимых
базисов cos  и sin  , получаем следующую систему уравнений:
2
 d 2

d
 d  
   2  
 2  2
   0,
d
 d  
 d


 d  d
d 2

2





 0.

 dt  d
d 2



(44)
Из первого уравнения системы видно, что  e (как если бы решали
уравнение с постоянными коэффициентами), тогда   2 и   3 .
Пренебрегая в первом уравнении системы (44) членами порядка  3 , по
сравнению с  2  1 , получаем
d
    .
d
(45)
А из второго уравнения системы (44), пренебрегая членом   5 2 по
сравнению с членами  и  , которые пропорциональны  3 2 , получаем
уравнение:
1 d
1 d
    
.
 d
2   d
(46)
2
Разрешая уравнения (45) и (46) получаем, что величина    3 2c есть
мгновенное значение частоты малых продольных колебаний, которая
уменьшается в процессе ускорения. Если пренебречь изменением энергии
частиц в процессе ускорения (т.е. на последних этапах ускорения), то
получим, что частота продольных колебаний уменьшается в процессе
ускорения.
3