Тело, имеющее массу 4,00 кг, изготовлено из материала

Тело, имеющее массу 4,00 кг, изготовлено из материала, плотность
которого равна 6,40 г/см3. Из внутренней части тела удаляют
определенную массу материала, а образовавшуюся полость
заполняют другим материалом плотностью 1,40 г/см3. Найти
объем полости, заполнение которой материалом указанной
плотности обеспечит состояние безразличного равновесия тела в
жидкости плотностью 2,00 г/см3.
Состояние безразличного равновесия тела в жидкости означает, что
тело может плавать на любой глубине; тело при этом полностью
погружено в жидкость.
В состоянии безразличного равновесия на тело действуют две силы,
показанные на рисунке:
сила тяжести, модуль которой определяется формулой –
,
где – масса «составного»
тела, – масса тела после
удаления материала из полости, –
первоначальная масса тела (указанная в
условии задачи), – масса материала,
удаленного из полости, – масса
материала, заполняющего полость, –
модуль ускорения свободного падения;
сила Архимеда, модуль которой определяется формулой
,
где – плотность жидкости, – объем тела.
Под действием указанных сил тело находится в состоянии
безразличного равновесия (плавает на любой глубине); условие
равновесия определяется равенством
0,
или в проекции на вертикальную ось –
0.
В явном виде оно выглядит следующим образом:
.
Преобразуем данное выражение, заменив массы произведением
плотностей и объемов:
для массы –
;
для массы –
,
где – плотность материала, из которого состоит тело, – плотность
материала, заполняющего полость, – объем полости.
Подстановка полученных выражений в условие равновесия тела в
жидкости дает равенство
,
позволяющее выразить искомую величину:
.
Объем тела найдем как отношение
и подставим в полученное выражение:
1 ∙
.
Произведем вычисление:
4,0
6,4 ∙ 10 2,0 ∙ 10
∙
0,550 ∙ 10 м 550см .
6,4 ∙ 10 6,4 ∙ 10 1,4 ∙ 10
Таким образом, объем полости, обеспечивающий телу состояние
безразличного равновесия в указанной жидкости, составляет 550 см3.