Листок 16

Листок 16
18.V.2011. ÷ÙÛËÁ. 2-Ê ËÕÒÓ. íÏÄÕÌØ IV.
Элементы теории Галуа.
Терминология.
Группа Aut k
Gal
f =k
F
k ⊂ F называется расширением Галуа , если dimk F = |Aut k F|.
группой Галуа F над k и обозначается Gal F=k. Группа Галуа
√
2i
n
1 = e n ∈ C.
группа Галуа его поля разложения. Мы полагаем
Конечное расширение
называется в этом случае
многочлена
f ∈ k[x]
| это
А161. Пусть k ⊂ F | расширение Галуа с группой Галуа G. Покажите, что
а ) ∃ # ∈ F, G-орбита которого есть базис F как векторного пространства над k.
б ) все f ∈ k[x], имеющие в F корень, полностью разлагаются там на линейные множители.
А162. Покажите, что при char k =
6 2 группа Галуа многочлена
f ∈ k[x]
осуществляет лишь
D(f ) является квадратом в k.
а ) x3 − 3 x +1 б ) x3 +2 x +1 в ) x4 − 5 x2 +6
чётные перестановки его корней, если и только если
А163. Найдите группу Галуа над Q многочленов
г ) x4 + x2 + 1 д ) x4 + 1 и выразите их корни через квадратные и кубические радикалы.
А164. Предъявите угол, который нельзя разбить на три равных угла циркулем и линейкой.
А165. Найдите группу Галуа над Q поля √
7
в ) полученного присоединением к Q всех 5.
группу Галуа над
Q
√
√
Q( 2 + 3)
а)
А166* . Найдите группу Галуа над Q многочлена x4 + 2 x2 + x + 3.
А167* . Предъявите f ∈ Z[x] с deg f = 6 и Gal f=Q ' S .
А168. Выразите
А169. Пусть
а)
1
√
17
б)
1
p > 2 | простое, F
√
√
Q( 3 1 + 3 2)
Опишите все подполя этих полей и вычислите
тех, что являются расширениями Галуаполя
√
5
б)
Q.
6
√
√
13
через квадратные корни, а в )
13 через
1
√
p
= Q[ 1]. Покажите, что G = Gal F=Q содержит единствен-
ную подгруппу индекса 2 и опишите соответствующее квадратичное расширение
Q.
p ∈ N | простое, и a ∈ Q не является p-той степенью. Покажите, что группа
xp − a над Q изоморфна группе аффинно-линейных автоморфизмов аффинной прямой над Fp .
А1611* (квадратичный закон взаимности). Пусть p; q > 2 | простые. Положим q ∗ =
√
q−1
(−1) 2 q , K = Q[ q ∗ ] и O ⊂ K подкольцо всех его целых над Z. Покажите, что:
а ) [q ∗ ]p квадрат в Fp ⇐⇒ O=(p) = Fp ⊕ Fp ⇐⇒ автоморфизм Фробениуса 'p : z 7→ z p
тождественно действует на O=(p) (кстати, какова альтернатива 2-го и 3-го условий?)
√
q
б ) существует вложение полей K ⊂ - Q[ 1] ⊂ C, такое что действие 'p является привеz7→zp дением по модулю p ограничения на O отображения C
C.
√ ∗
в ) Получите явное выражение q через корни q -той степени из единицы, выясните как
действует на него возведение в p-тую степень (по модулю p), и установите квадратичный
p−1 q−1
закон взаимности1 : [p=q ] · [q=p] = (−1) 2 · 2
А1610. Пусть
Галуа многочлена
А1612. Постройте правильный 17-угольник циркулем и линейкой.
√
√
Q[ p] ⊂ Q[ 4p 1] при простом p ≡ 3 (mod 4)
√
m
б ) любое квадратичное расширение Q содержится в некотором круговом поле Q[ 1].
А1614. Пусть u = p(t)=q (t), где p; q ∈ k[t] взаимно просты. Покажите, что:
а ) dimk(u) k(t) = max(deg p; deg q )
б ) Aut k k(t) = PGL2 (k) это группа дробно линейных замен переменной t.
А1615. Пусть G = PGL2 (Fq ), а P ⊂ G и N ⊂ P состоят из замен t 7→ at + b (с a =
6 0) и t 7→ t + b.
“ 2 ”q+1 !
Покажите, что подполя инвариантов этих групп в Fq (t) суть
tq −t
а ) Fq (t)N = Fq (tq − t)
б ) Fq (t)P = Fq ((tq − t)q−1 )
в ) Fq (t)G = Fq
2
(tq −t)q +1
А1613. Покажите, что
а)
А1616* . Покажите, что алгебраическое замыкание
Fp
получается присоединением к
примитивных корней из единицы всех простых степеней, отличных от
1 напомним,
p,
что
символ Лежандра { Якоби [n=p]
и 1 в остальных случах
равен
−1,
если
n
p.
не квадрат по модулю
p,
0, если
n
Fp
всех
делится на