h и радиусом R . Под действием силы тяжести жидкость

Сборник научных трудов. Выпуск 32, 2012
УДК 614.8
И.А. Горпинич, нач. УПСЧ, НУГЗУ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РАЗЛИВА ГОРЮЧЕЙ
ЖИДКОСТИ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
(представлено д-ром техн. наук Басмановым А.Е.)
Построена математическая модель, описывающая динамику гравитационного растекания горючей жидкости по горизонтальной поверхности, учитывающая влияние сил трения и силы поверхностного натяжения.
Ключевые слова: горючая жидкость, растекание, радиус разлива.
Постановка проблемы. Аварии на железнодорожном транспорте, сопровождающиеся разливом горючих жидкостей, являются одними из самых опасных ввиду угрозы воспламенения разлива и каскадного распространения пожара. Оценка теплового воздействия пожара
на подвижной состав и сооружения требует знания геометрических
параметров разлива.
Анализ последних исследований и публикаций. В работе [1]
построены модели теплового воздействия пожара разлива горючей
жидкости на железнодорожные цистерны. Но при этом не рассмотренным остается вопрос о динамике растекания и зависимости радиуса разлива от объема вылившейся жидкости.
Постановка задачи и ее решение. Целью работы является построение математической модели динамики гравитационного растекания горючей жидкости на горизонтальной поверхности при ее истечении из поврежденной емкости и учитывающей влияние сил трения и
сил поверхностного натяжения.
Принцип расчета гравитационного растекания цилиндрического
слоя жидкости приведен на рис. 1 [3]. В начальный момент времени
t = 0 жидкость представляет собой цилиндр высотой h 0 и радиусом
R 0 . Под действием силы тяжести жидкость растекается, сохраняя в
любой момент времени t форму цилиндра с радиусом R (t ) ≥ R 0 и высотой h (t ) ≤ h 0 (рис. 1).
Растекание цилиндрического слоя происходит вследствие того,
что на боковую поверхность каждого сегмента цилиндра действует
сила давления
h
Fд = ∫ 2πR p(z )dz ,
0
50
И.А. Горпинич
Проблемы пожарной безопасности
где p(z ) – давление на глубине z : p(z ) = ρgz ; g – ускорение силы тяжести; ρ – плотность жидкости. Тогда
Fд = πRρgh 2 .
(1)
r
g
h (t )
R (t )
Рис. 1 – Принцип расчета гравитационного растекания цилиндрического слоя жидкости
Растеканию жидкости препятствует сила поверхностного натяжения
Fнат = 2πRσ ,
(2)
где σ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Растекание цилиндрического слоя на гладкой горизонтальной поверхности
прекращается, когда силы (1) и (2) уравновешивают друг друга:
πRρgh 2 = 2πRσ . Таким образом, растекание жидкости прекращается
при достижении ее слоем толщины h min
h min
2σ
V 2 ρg
4
=
, R max =
.
ρg
2π 2 σ
(3)
Рассмотрим теперь растекание жидкости при ее истечении из
емкости, предполагая, что объемный расход жидкости, вытекающей
из емкости, определяется зависимостью
Моделирование динамики разлива горючей жидкости на горизонтальной поверхности
51
Сборник научных трудов. Выпуск 32, 2012
v = v (t ) .
(4)
Тогда масса и объем разлившейся жидкости равны, соответственно,
t
t
0
0
V(t ) = ∫ v(τ)dτ , m(t ) = ρ ∫ v(τ)dτ .
(5)
Преобразуя формулу (1), получим
V2
ρgV 2 (t )
⎛ V ⎞
.
Fд = πRρgh = πRρg⎜
⎟ = πRρg 2 4 =
π R
πR 3
⎝ πR 2 ⎠
2
2
(6)
При движении жидкости возникает сила вязкого трения Fтр , величину которой оценим из соотношения [4, 5]
Fтр = 0,455(lg Re )− 2,58
ρw 2
S,
2
(7)
где w – скорость движения жидкости в горизонтальном направлении;
S – площадь соприкосновения: S = πR 2 ; Re – число Рейнольдса
Re = wL ν ; L – характерный размер; ν – кинематическая вязкость
жидкости ( м 2 с ). Полагая характерный размер равным радиусу разлива, получим
⎛ wR ⎞
Fтр (R ) = 0,455⎜ lg
⎟
ν ⎠
⎝
−2,58
ρw 2 πR 2 .
(8)
Поскольку кромка жидкости движется со скоростью w к = R ′ , то
из предположения о постоянной толщине слоя следует, что на расстоянии r от центра разлива ( r ≤ R ) скорость движения равна
w (r ) = w к R r . Тогда средняя скорость равна
w=
1
πR
2
∫∫ w (r )ds =
Sр
2π R
1
πR
2
∫
∫ w (r )rdrdϕ =
0 0
2π R
1
πR
2
∫ ∫ w к Rdrdϕ = 2 w к = 2R ′ .
0 0
Тогда
⎛ 2 RR ′ ⎞
Fтр (R ) = 0,455⎜ lg
⎟
ν ⎠
⎝
52
− 2,58
ρ(R ′)2
πR 2 .
4
И.А. Горпинич
Проблемы пожарной безопасности
Модифицируем полученную формулу так, чтобы что сила трения была направлена противоположно направлению движения:
⎛ R R′ ⎞
⎟⎟
Fтр (R ) = −0,455⎜⎜ lg
2
ν
⎠
⎝
−2,58
4ρ R ′ R ′πR 2 ,
(9)
Кроме того, движение жидкости будет замедляться за счет диссипации кинетической энергии турбулентного движения. Оценим ее
вклад. Плотность кинетической энергии турбулентного движения
k = Wт m , где Wт – кинетическая энергия турбулентного движения,
связанная с кинетической энергией соотношением Wт = c12 Wк2 , где с1
– эмпирическая константа, имеющая порядок 0,25 для струйных течений. Тогда объемная плотность кинетической энергии может быть
выражена через скорость ее движения:
c12 Wк2 c12 mw 2 c12 w 2
k=
=
=
.
m
2m
2
(10)
Согласно гипотезе Колмогорова-Прандтля скорость диссипации
турбулентной энергии равна
k3 2
ε = cd
,
L max
(11)
где c d = 0,09 – эмпирическая константа [2]; L max – масштаб турбулентности, т.е. максимальный размер вихря. Упрощенно полагая, что
кинетическая энергия движения цилиндрического слоя жидкости
уменьшается на величину, равную диссипации энергии турбулентного
движения, получим
2 ⎞′
⎛
′ F w
mw
⎟ = mww = турб ,
− mε = Wк ′ = ⎜⎜
⎟
2
2
⎝ 2 ⎠
2mε
,
Fтурб = −
w
где Fтурб – дополнительная сила сопротивления движению, обусловленная диссипацией кинетической энергии турбулентного движения.
Подставляя (10) и (11) в последнюю формулу, получим
Моделирование динамики разлива горючей жидкости на горизонтальной поверхности
53
Сборник научных трудов. Выпуск 32, 2012
Fтурб
2m c d ⎛⎜ c12 w 2 ⎞⎟
=−
w L max ⎜⎝ 2 ⎟⎠
32
=−
c d c13
L max 2
mw w .
В соответствии со вторым законом Ньютона под воздействием
сил давления, трения и поверхностного натяжения цилиндрический
слой жидкости будет двигаться с ускорением a = w ′ = 2R ′′ в горизонтальном направлении:
Fд + Fтр + Fтурб − Fнат = ma ,
(12)
Объединяя (1), (2), (6), (12), получим
R ′′ =
gV(t )
πR 3
−2,58
2 R′ R′ 2
2c d c13 R ′ R ′
⎛ 2R R ′ ⎞
⎟⎟
πR −
−
− 0,455⎜⎜ lg
(
)
V
t
L
ν
max
⎠
⎝
2πRσ
.
(13)
−
ρV(t )
Поскольку максимальный размер вихря не может превосходить
толщины слоя жидкости, то
L max ≈ h (t ) =
V (t )
πR 2
.
Тогда (13) примет вид
R ′′ =
gV(t )
πR 3
⎛ 2R R ′ ⎞
⎟⎟
− 0,455⎜⎜ lg
ν
⎝
⎠
−2,58
2 R′ R′ 2
2πc d c13 R ′ R ′ R 2
πR −
−
V (t )
V (t )
2πRσ
.
(14)
−
ρV(t )
Уравнение (14) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно радиуса разлива и
описывает динамику изменения радиуса во времени. Начальные условия определяются соотношениями R (0) = R 0 , R ′(0 ) = 0 , где в качестве
начального радиуса R 0 может быть принят диаметр отверстия, из которого происходит истечение жидкости.
Если вытекание жидкости происходит с постоянным объемным
расходом v в течение интервала времени (0, t 0 ) , то
54
И.А. Горпинич
Проблемы пожарной безопасности
⎧ 2
⎪πR 0
⎪
V (t ) = ⎨
⎪ πR 2
⎪⎩ 0
2σ
+ vt, t < t 0 ,
ρg
2σ
+ vt, t ≥ t 0 .
ρg
При численном решении уравнения (14) необходимо учесть, что
слагаемое, соответствующее силе трения, имеет неопределенность
при R ′(t ) = 0 , а его предельное значение в этом случае равно 0. Поэтому при численном решении достаточно полагать это слагаемое
равным 0, если R ′(t ) = 0 .
В качестве примера на рис. 2 приведено изменение радиуса разлива мазута во времени при ее истечении с объемным расходом
v = 10 л с в течение времени t 0 = 100 c .
R, м
2
1
t, с
Рис. 2 – Изменение радиуса разлива мазута с течением времени: 1 – радиус разлива; 2 – предельное значение радиуса разлива для данного объема
жидкости
Линией 2 показано предельное значение радиуса разлива R max ,
соответствующее текущему объему разлившейся жидкости, и рассчитанное по формуле (3). Физические характеристики мазута приняты
ρ = 900 кг м 3 , σ = 0,03 Н м , ν = 4 ⋅ 10 −6 м 2 с .
Анализ приведенных зависимостей показывает, что наличие сил
трения замедляет растекание жидкости: в то время вытекания составляет 100 с, время достижения разливом максимального радиуса составляет около 300 с.
Моделирование динамики разлива горючей жидкости на горизонтальной поверхности
55
Сборник научных трудов. Выпуск 32, 2012
Выводы. Построена математическая модель, описывающая динамику гравитационного растекания горючей жидкости на горизонтальной поверхности при ее истечении из поврежденной емкости,
учитывающая влияние сил трения и сил поверхностного натяжения.
Показано, что зависимость радиуса разлива от времени описывается
нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, и проведено численное его решение для случая постоянного объемного
расхода при вытекании жидкости из поврежденной емкости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов Ю.О. Математична модель пожежі нафтопродукту
на залізничному транспорті / Ю.О. Абрамов, М.Р. Байтала // Пожежна
безпека: теорія і практика: Збірник наукових праць. – Черкаси: АПБ
ім. Героїв Чорнобиля, 2009. – №4. – С. 10-13.
2. Белов И.А. Моделирование турбулентных течений /
И.А. Белов, С.А. Исаев. – СПб: Балт. гос. техн. ун-т, 2001. – 108 с.
3. Козлитин А.М. Количественный анализ риска возможных
разливов нефти и нефтепродуктов / А.М. Козлитин, А.И. Попов,
П.А. Козлитин // Управление промышленной и экологической безопасностью производственных объектов на основе риска. – Саратов:
СГТУ, 2005. – С. 135-160.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Леонид Григорьевич Лойцянский. – М.: Наука, 1987. – 840 с.
5. Луканин В.Н. Теплотехника / В.Н. Луканин, М.Г. Шатров,
Г.М. Камфер и др. – М.: Высш. шк., – 2002. – 671 с.
nuczu.edu.ua
І.А. Горпинич
Моделювання динаміки розливу горючої рідини на горизонтальній
поверхні
Побудовано математичну модель, що описує динаміку гравітаційного розтікання горючої рідини по горизонтальній поверхні, що враховує вплив сили тертя і сили поверхневого натягу.
Ключові слова: горюча рідина, розтікання, радіус розливу.
I.A. Gorpinich
Modeling the flammable liquids spill dynamics on horizontal surface
Mathematical model of flammable liquids spill dynamics on horizontal surface
is constructed. It considers gravitational force, friction force, surface tension.
Keywords: flammable liquids, spill, spill radius.
56
И.А. Горпинич