Равновесие в теоретико-игровых моделях массового

Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной
математики - процессов управления
На правах рукописи
Мельник Анна Владимировна
Равновесие в теоретико-игровых моделях
массового обслуживания
01.01.09 – Дискретная математика и математическая кибернетика
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
д. ф.-м. н., проф.
Петросян Л.А.
Санкт-Петербург – 2014
2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1.
4
Дуополия Хотеллинга в метрике Манхеттена . . . . . .
15
1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2. Равновесие в модели Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену.
Дискретный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3. Модель Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену. Непрерывный
случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4. Оптимальное расположение фирм, асимптотическое поведение .
24
1.5. Равновесные цены в дуополии на квадрате с евклидовой метрикой 25
1.6. Задача о размещении на квадрате . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.7. Выводы к первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Глава 2.
Дуополия в системе обслуживания с очередями . . . .
33
2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2. Теоретико-игровая модель ценообразования . . . . . . . . . . . .
34
2.3. Конкурентные потоки и общественный транспорт . . . . . . . . .
38
2.4. Кооперативное поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.5. Конкуренция n игроков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.6. Выводы ко второй главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Глава 3.
Равновесие в транспортной системе М/M/m . . . . . .
48
3.1. Теоретико-игровая модель ценообразования в транспортной игре
48
3.2. Конкуренция игроков на сегменте . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3. Затраты, в которых учитывается время нахождения в очереди .
52
3.4. Конкуренция m игроков на сегменте . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.5. Конкуренция m игроков на линейном маршруте . . . . . . . . . .
56
3.6. Конкуренция игроков на графе G3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3
3.7. Выводы к третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4.
68
Равновесие в транспортной игре с BP R-задержками .
69
4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.3. Транспортная игра с линейной функцией задержки . . . . . . . .
71
4.4. Транспортная игра с квадратической функцией задержки . . . .
80
4.5. Транспортная игра с нелинейной функцией задержки . . . . . .
86
4.6. Транспортная игра на графе Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.7. Выводы к четвертой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Список иллюстративного материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4
Введение
Актуальность темы исследования. Модели принятия решений занимают важное место в экономической науке. Они помогают описать многие экономические процессы, исследовать их взаимосвязь. Подобными вопросами занимается относительно новая наука – экспериментальная экономика. Она также
занимается проблемами, которые возникают при попытке описать рациональное поведение лица или группы лиц, чтобы извлечь максимальную пользу или
получить максимальную прибыль. Существует большое количество математических моделей дуополии, олигополии, относящихся к задачам ценообразования, в которых по-разному строится это стремление, с точки зрения потребителей и производителей. Но стоит отметить, что не существует универсальной
системы, которая опишет экономическое поведение игроков.
Одна из особенностей экспериментальной экономики заключается в том,
что ее методами можно предсказывать поведение покупателей. Если они рациональны, то их поведение можно моделировать и находить равновесие. Одной
из основных проблем, встречающихся а анализе поведения потребителей и производителей является проблема рационального поведения. Она заключается в
том, что рациональный потребитель хочет получить максимальную удовлетворенность сделкой, а производитель максимизировать свою прибыль. С точки
зрения потребителя эта удовлетворенность иногда носит качественный характер, и в литературе есть много исследований о том, как именно представить ее
численно. Качественное и количественное связаны отношением предпочтения,
но для того, чтобы не возникало противоречий, следует считать, что потребитель способен выбрать любые из двух различных событий, в соответствии
со своими предпочтениями. Рассмотрим, например, рынок пассажирских перевозок. Рациональный пассажир сравнивает затраты от пользования фирмой,
которая занимается пассажироперевозками, которые, например, состоят из цены на обслуживание плюс время, которое ему потребуется, чтобы добраться до
5
точки назначения. Таким образом, в качестве отношения предпочтения следует
рассмотреть минимум этой функции затрат. Предположение о рациональности
поведения вызывает определенную критику. Например, нобелевский лауреат
Зельтен следует идее ограниченной рациональности. Согласно этой концепции,
в реальной жизни пассажиры делятся на некоторые социальные группы. Пенсионеры, например, пользуются услугами той транспортной компании, которая
предоставляет им максимальную скидку, а время путешествия для них не играет важной роли. Другая группа может содержать пассажиров, опаздывающих
на важные встречи. Для них необходимо добраться до места назначения как
можно быстрее, при этом они готовы заплатить практически любую стоимость
за проезд. В работе рассматривается теоретико-игровая модель массового обслуживания, связанная с функционированием торговых фирм и транспортных
компаний.
Классической моделью ценообразования является дуополия Курно, описанная в научной работе «Исследование математических принципов теории богатства» (1838), где идея заключается в том, что покупатели объявляют цены, а
продавцы приспосабливают свой объем выпуска к данным ценам. Формально,
схему можно описать следующим образом: на рынке конкурируют две фирмы, которые производят определенное количество однотипного товара q1 и q2
соответственно. Цена на товар на рынке складывается из начальной цены p,
объявленной покупателем, минус общее количество произведенной продукции
Q = q1 + q2 . Равновесие в такой игре находится решением оптимизационной
задачи, а именно, когда каждая из фирм максимизирует свою функцию выигрыша, которая представляет собой произведение цены товара на его количество
минус себестоимость произведенной продукции.
Другой моделью ценообразования является дуополия Бертрана, где на
рынке конкурируют две фирмы, производящие определенный однотипный товар A и B соответственно. Фирмы назначают цены за единицу производимого
товара, после чего на рынке формируется спрос на каждый товар. Спрос явля-
6
ется линейной функцией, причем если какая то из фирм увеличивает цену на
свой товар, то спрос на товар этой фирмы уменьшается. В конкуренции, когда
ни одна из фирм не знает, какую цену назначит другая фирма, равновесие строится следующим образом. Очевидно, что выбор какой-то из фирм зависит от ее
ожиданий относительно цены, назначаемой другой фирмой. Если она назначит
цену на товар ниже, чем у конкурента, это позволит ей получить весь спрос и,
тем самым, максимизировать свой доход. Таким образом, если фирма 1 ожидает, что фирма 2 назначит цену на товар, не превышающую своих издержек, то
ее наилучшим ответом на эту стратегию является цена равная издержкам. В
такой ситуации выигрыши фирм будут равны нулю.
Еще одной классической моделью ценообразования является дуополия Хотеллинга [1], которая, в отличие от моделей Курно и Бертрана, учитывает местоположение фирм на рынке. Рассмотрим линейный рынок, где конкурируют
две фирмы, и предположим, что покупатели распределены равномерно на этом
рынке. Каждая из фирм независимо задает цену на свой товар. После объявления цен на рынке происходит деление покупателей на два множества, тех, кто
предпочитает воспользоваться услугами первой фирмы, и тех, кто предпочитает
вторую. Причем сам покупатель является «рациональным» и руководствуется
в своем выборе затратами, которые равны сумме цены на продукт и транспортных расходов. Выигрыши фирм в данной модели представляют собой доходы
фирм, то есть цена на товар умноженная на количество людей, купивших его.
Эта модель исследовалась во многих работах методами как некооперативной,
так и кооперативной теории игр [2–5] при исследовании пространственной конкуренции.
В модели Хотеллинга основной проблемой является нахождение равновесных цен. Однако важной является и сама задача оптимального расположения
фирм на рынке. Равновесие в задаче ценообразования на линейном рынке было найдено, но задачу о равновесном размещении фирм для такой постановки
решить не удалось, так как оптимальным расположением для фирм является
7
расположение вблизи друг друга, для того, чтобы привлечь покупателей. Существует большое количество работ, посвященных задачам о размещении [6–9].
В работе [10] рассматривались квадратичные транспортные расходы. Было показано, что в такой модели, при расположении фирм в одной точке, как и в
модели Бертрана, существует только тривиальное решение. В работе также были сформулированы условия, когда равновесие существует. Для исследования
тех моделей, когда не для каждого местоположения игрока существует равновесие Нэша в игре ценообразования, в работе [11] предлагается использовать
безопасные стратегии для поиска равновесия, что позволяет полностью решить
игровую задачу. Использование равновесия в безопасных стратегиях обусловлено стремлением игроков к увеличению своего выигрыша, но при условии своей
безопасности относительно действий других игроков [12, 13]. Также, задача о
размещении анализировалась на линейном рынке в работе [14]. В модели [15]
транспортные расходы потребителей представлены в виде показательной функции.
Хотеллинг рассмотрел модель дуополии только на линейном рынке, на
плоскости и графе модель значительно усложнилась. Салоп [16] распространил
модель "линейного"города Хотеллинга на плоскость, представив модель «кругового» города, в которой фирмы располагаются вдоль окружности на одинаковом расстоянии друг от друга. Фирмы могут входить в рынок последовательно,
друг за другом.
Обзор моделей и методов, используемых в задачах размещения, можно
найти в [17]. В статьях [18, 19] были исследованы проблемы оптимального расположения в условиях конкуренции на плоскости и на графе соответственно,
причем рассматривалось не равновесие по Нэшу, а равновесие по Штакельбергу,
где существует иерархия игроков. В работе [20] рассматривались квадратичные
транспортные расходы и было показано, что равновесие в задаче размещения
двух фирм в городе, который был представлен в виде круга на плоскости, существует. Исследовался случай равномерного расположения покупателей и нерав-
8
номерного. В работе [21] рассматривается задача о размещении на плоскости,
где расстояние представлено в евклидовой метрике. В работе [22] рассмотрена
модель, когда потребительское затраты представлены квадратичной функцией,
а игроки имеют один или два магазина на рынке. Рассмотрена модель линейного рынка и рынка на окружности.
Эту же идею рационального поведения покупателей можно распространить на рынок потребительских перевозок, причем не только в конкуренции, но
и в кооперации. Оптимизационным задачам управления транспортными потоками было посвящено большое количество работ [23–28]. Значительно меньшее
внимание было уделено теоретико-игровым моделям управления транспортными потоками. В статье [29] исследуется конкуренция на рынке пассажироперевозок, когда обслуживание пассажиров описывается дискретным Марковским
процессом. Определен оптимальный график движения городского транспорта,
который является равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре на рынке пассажирских услуг. Теоретико-игровым задачам, определенных на процессах с
очередями посвящены работы [30–33]. В работе [34] рассматривается модель,
связанная с функционированием системы массового обслуживания с двумя параллельными сервисами M/M/2. Клиенты, прибывшие к обслуживающему сервису, сравнивали очереди в системе, и решали, следует ли им войти в систему. В
другой модели, исследованной в статье [35], рассматривалась игра N лиц на сетях с разной топологией, в которых каждый игрок обслуживал заданный поток,
направляя заявки из начального пункта до места назначения. В этой модели
использовались полиномиальные функции затрат и было доказано, что равновесие по Нэшу единственно. В работе [36] рассмотрена модель ценообразования
для двух игроков. В этой модели к каждому игроку образовывается очередь из
клиентов, причем у различных потребителей различные временные затраты.
Каждый клиент должен выбрать, каким сервисом воспользоваться. Равновесием в такой модели является специализация фирм, у одной – обслуживание
потребителей с высокими временными затратами, а у другой – обслуживание
9
остальных.
Для моделирования дорожного трафика должны быть определены функции задержки на пути. Вид функции задержки может быть различным. Если
рассматриваются транспортные системы с заторами, то задержка может иметь
вид
1
,
c−λ
где c – пропускная способность канала, λ – размер трафика. Такой вид задержS(λ) =
ки используется в системах массового обслуживания M/M/m. Другой популярный вид задержки – это BP R-задержка, которая впервые была использована в
департаменте транспорта США [37]. В работах [25, 30, 38, 39] рассматривались
модели транспортных потоков с BP R-функцией задержки на ребрах графа.
Эта задержка используется во многих практических задачах. Она имеет вид
)
(
( λe )β
.
Se (λe ) = te 1 + h
de
Здесь Se (λe ) затраты на передвижение по ребру e и они зависят от потока на
этом ребре λe , удельных затрат на передвижение по пустому ребру te , пропускной способности ребра de . Эти параметры определяют время перемещения по
данному пути e, которое зависит от числа и ширины полос движения, качества
дорожного покрытия, числа светофоров и, конечно, интенсивности трафика.
Параметры функции задержки можно вычислить статистически [40]. Основным инструментом для нахождения решения является равновесие по Вардропу [41]. Идея равновесия по Вардропу состоит в том, что на дорогах, которые
используется для трафика, задержки всех участников движения одинаковые.
Такие игры, при соблюдении ряда условий, могут быть потенциальными [4].
В этом случае равновесие достигается как минимум потенциальной функции.
В последнее время появилось много работ, сравнивающих централизованное
управление трафиком и некооперативное, при котором каждый участник движения минимизирует свои затраты. Такое отношение затрат в равновесии и
централизованном управлении получило название цена анархии [42–48].
10
В данной работе, идея равновесия по Вардропу распространяется на случай, когда в затраты включены не только задержка на дороге, но и цены на
сервис. При выполнении ряда условий находится равновесие в задаче ценообразования. В транспортных моделях, как и в модели Хотеллинга, затраты потребителей можно представить как цену на билет плюс ожидаемое время обслуживания. Тогда поток пассажиров, который предполагается пуассоновским, будет
разбиваться на потоки пассажиров, которые будут использовать различные сервисы. Данную игру можно представить, как конкуренцию между транспортными компаниями, стратегиями которых является назначение определенной цены
на билет на всех отрезках их маршрутов. В этом случае, нахождение равновесия может дать рекомендации управлению транспортными перевозками: каким
образом вводить маршруты в городе, какой из транспортных компаний предоставить преимущество (например, муниципальный транспорт), а самим компаниям определить оптимальное количество транспортных средств на маршруте
и цены на билет.
Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей размещения
и ценообразования для двух и более лиц в условиях конкуренции и кооперации
методами теории игр. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
1. задача ценообразования и задача о размещении в дуополии Хотеллинга
на плоскости, когда расстояние представлено в евклидовой метрике и в
метрике Манхеттена;
2. задача ценообразования и определение оптимальной интенсивности в игре, связанной транспортной системой M/M/m на линейном сегменте;
3. задача нахождения равновесия в транспортной системе, включающей в
себя муниципальный транспорт (в условиях конкуренции и кооперации);
11
4. задача нахождения равновесия в транспортной игре на графе, с различными типами задержек;
Научная новизна. Научная новизна работы заключается в разработке
новых теоретико-игровых моделей ценообразования и размещения для двух и
более игроков.
В модели дуополии Хотеллинга в задаче ценообразования с метрикой Манхеттена найден аналитический вид равновесия по Нэшу. Полученное решение
использовано для определения оптимального расположения игроков.
В транспортной модели на сегменте найден аналитический вид равновесия в задаче ценообразования в симметричном случае, когда интенсивности
обслуживания игроков равны, и доказано, что оно существует. Найдено решение в условиях конкуренции игроков при наличии дополнительного игрока общественного транспорта. Для кооперативного поведения игроков построено
правило, по которому определяется характеристическая функция.
В транспортной модели на графе найден аналитический вид равновесия в
задаче ценообразования.
Равновесие найдено в транспортных моделях с различными типами задержек на ребрах графа.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные
в диссертации, могут быть использованы для задач оптимального расположения и ценообразования. Расстояние по Манхеттену возникает в задачах, когда
для передвижения по городу используются улицы, что с практической точки
зрения, является наиболее приближенным к реальности. Построенные транспортные модели объясняют закономерности в задачах ценообразования для различных видов графов маршрутов и различных интенсивностей обслуживания.
Они могут быть применимы в транспортных сетях различной топологии.
Положения, выносимые на защиту:
1. Найдено равновесие в задаче ценообразования и оптимальное расположе-
12
ние игроков в дуополии Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену.
2. Предложена теоретико-игровая модель ценообразования в транспортной
игре, в которой потоки пассажиров образуют пуассоновский процесс.
3. Предложена кооперативная постановка в транспортной игре. Разработана
схема построения характеристической функции и найдено решение такой
кооперативной игры.
4. Найдено равновесие в теоретико-игровой модели управления пассажиропотоками для различных видов транспортных сетей и различных типов
задержки.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
1. Конференция "Процессы управления и устойчивость"(2009), Санкт-Петербург,
2. Конференция "Процессы управления и устойчивость"(2010), Санкт-Петербург,
3. Конференция "Процессы управления и устойчивость"(2011), Санкт-Петербург,
4. Международный семинар "Scientific Publishing"(2011), Хельсинки - СанктПетербург,
5. Международный семинар "Networking Games and Management"(2012), Петрозаводск,
6. Международный семинар "4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stochastics"
Хельсинки,
7. Международная конференция "SING9"(2013), Виго.
13
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [49–51], 5 статей в сборниках
трудов конференций.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично
автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 112 страниц,
из них 104 страницы текста, включая 12 рисунков. Библиография включает 52
наименований на 5 страницах.
Во введении описана актуальность работы, поставлена цель исследования. Также отражена теоретическая и практическая значимость.
В первой главе рассматривается задача ценообразования и размещения в
модели дуополии Хотеллинга на плоскости, когда в затратах покупателей расстояние представлено в метрике Манхеттена и евклидовой метрике. Вначале
находится аналитический вид равновесных цен, когда город представлен в виде единичного квадрата, разбитый улицами, которые формируют равномерную
сетку, что очень удобно для моделирования такой задачи с использованием метрики Манхеттена. Далее находится равновесие в задаче о размещении в случае,
когда расстояние представлено метрике Манхеттена и в евклидовой метрике, когда выигрыши фирм включают в себя затраты на размещение. Показано, что
при отсутствии предпочтения к определенному месту на квадрате, так же как
в классической модели Хотеллинга, фирмы стремятся расположиться к центру
квадрата.
Во второй главе модель дуополии Хотеллинга распространяется на рынок пассажирских перевозок. Вначале, находится равновесие в задаче ценообразования, связанной с функционированием транспортной системы с участием двух компаний. Транспортная система представляет собой систему массово-
14
го обслуживания M/M/2, в которой участвуют два конкурирующих сервера.
Игроки, или транспортные компании, обслуживают пассажиров с экспоненциальным распределением времени обслуживания с параметрами µ1 и µ2 . Поток
пассажиров образует пуассоновский процесс с интенсивностью λ. Игра происходит следующим образом: игроки назначают цены на проезд, и пассажиры
выбирают сервис, которым им воспользоваться, сравнивая свои затраты от посещения каждого из них. Затраты складываются из назначенной компанией
цены на проезд плюс потери от пребывания пассажиры в системе обслуживания. Далее, модель усовершенствована путем введения дополнительного игрока
– общественного транспорта, у которого фиксирована цена на обслуживание и
интенсивность обслуживания. Рассматривается задача ценообразования в условиях конкуренции и кооперации в данной усовершенствованной модели. Введен
способ построения характеристической функции.
В третьей главе предложена общая постановки транспортной игры, когда поток пассажиров образует пуассоновский процесс. Каждый игрок – транспортная компания имеет ряд маршрутов, которые она обслуживает. На каждом
маршруте компания задает цену на проезд, и пассажиры выбирают услугу игрока с наименьшими затратами, которые складываются из цены на билет плюс
ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания. Рассмотрена модель пассажироперевозок, в которой исследуется конкуренции m игроков на графе.
В четвертой главе исследуются теоретико-игровые модели транспортных перевозок с BP R-функциями затрат для пассажиров. Проведено моделирования для различных параметров модели.
В заключении представлены выводы, полученные в ходе исследования
всех рассмотренных моделей.
15
Глава 1
Дуополия Хотеллинга в метрике Манхеттена
1.1. Введение
Рассмотрим модель Хотеллинга на плоскости. Представим город, где располагаются две фирмы. Каждая из них задает свою цену на производимый
товар, который один и тот же для обеих фирм. Пусть цены будут c1 и c2 соответственно. Город разбит на улицы, которые проходят параллельно осям x и y и
формируют равномерную сетку. Покупатели в городе располагаются равномерно вдоль улиц и двигаются по ним, причем расстояние, пройденное покупателем
из точки x = (i1 , j1 ) в точку y = (i2 , j2 ), определяется как расстояние Манхеттена.
Определение 1.1. Расстояние Манхеттена между двумя точками x = (i1 , j1 )
и y = (i2 , j2 ) определяется как сумма модулей разностей их координат, т. е.
ρ(x, y) = |i1 − i2 | + |j1 − j2 |.
Предположим, что каждый покупатель является рациональными и хочет
получить максимальную удовлетворенность сделкой. Для этого он сравнивает
затраты от посещения каждой из фирм, причем затраты складываются из цены
на товар плюс транспортные расходы, т. е. Li = ci +cρ(x, y), i = 1, 2, и выбирает фирму, посещение которой ему обойдется дешевле. В данном случае c – это
константа, отражающая тот факт, что расстояние имеет цену. Без ограничения
общности, положим c = 1. Под функцией выигрыша игрока будем понимать
произведение цены на товар на долю покупателей, выбравших данную фирму,
т. е.
H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 ,
H2 (c1 , c2 ) = c2 s2 ,
где s1 , s2 – это доли покупателей, которые предпочитают фирму I и фирму II
соответственно. Заметим, что в рассматриваемой модели каждый потребитель
16
покупает только одну единицу товара, причем эта величина не изменится при
увеличении цены на товар.
Очевидно, что цены будут зависеть от расположения фирм на рынке. Поэтому сначала найдем равновесие по Нэшу в игре ценообразования
Γ1 =< I, II, c1 , c2 , H1 (c1 , c2 ), H2 (c1 , c2 ) >,
которая происходит следующим образом:
1. Игроки одновременно и независимо друг от друга задают цену на производимый товар c1 и c2 соответственно.
2. Посетители выбирают фирму, посещение которой обойдется дешевле, и
фирмы получает выигрыши H1 (c1 , c2 ), H2 (c1 , c2 ) соответственно.
После нахождения равновесных цен, перейдем к нахождению равновесия
по Нэшу в игре размещения,
Γ2 =< I, II, (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), H1 (x1 , y1 , x2 , y2 ), H2 (x1 , y1 , x2 , y2 ) >,
проходящей в два шага:
1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают свое местоположение (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ).
2. Посетители выбирают фирму, посещение которой обойдется ему наименьшими затратами, и фирмы получают выигрыши
H1 (c1 (x1 , y1 , x2 , y2 ), c2 (x1 , y1 , x2 , y2 ), x1 , y1 , x2 , y2 ),
H2 (c1 (x1 , y1 , x2 , y2 ), c2 (x1 , y1 , x2 , y2 ), x1 , y1 , x2 , y2 )
соответственно.
17
В этой игре необходимо найти такие точки (x∗1 , y1∗ ) и (x∗2 , y2∗ ), используя
найденные равновесные цены, что
H1 (c∗1 (x1 , y1 , x∗2 , y2∗ ), c∗2 (x1 , y1 , x∗2 , y2∗ ), x1 , y1 , x∗2 , y2∗ ) ≤
H1 (c∗1 (x∗1 , y1∗ , x∗2 , y2∗ ), c∗2 (x∗1 , y1∗ , x∗2 , y2∗ ), x∗1 , y1∗ , x∗2 , y2∗ ),
H2 (c∗1 (x∗1 , y1∗ , x2 , y2 ), c∗2 (x∗1 , y1∗ , x2 , y2 ), x∗1 , y1∗ , x2 , y2 ) ≤
H2 (c∗1 (x∗1 , y1∗ , x∗2 , y2∗ ), c∗2 (x∗1 , y1∗ , x∗2 , y2∗ ), x∗1 , y1∗ , x∗2 , y2∗ ),
где c∗1 (x1 , y1 , x2 , y2 ) и c∗2 (x1 , y1 , x2 , y2 ) – это равновесие по Нэшу в задаче ценообразования, когда игроки располагаются в фиксированных точках (x1 , y1 ) и
(x2 , y2 ).
1.2. Равновесие в модели Хотеллинга с расстоянием по
Манхеттену. Дискретный случай
Начнем с конкретной ситуации. Рассмотрим город, представленный в виде
единичного квадрата, разбитый улицами, вдоль которых равномерно располагаются покупатели. Для начала, разобьем каждую сторону квадрата на n = 3
части. Предположим, что фирмы размещаются в точках (0, 1) и (1, 0), а дороги,
как на рисунке 1.1. Пусть фирма II определила цену на товар c2 ≤ c1 , тогда в
нее пойдет больше покупателей, чем в фирму I, на рисунке это заштрихованная
j j+l
i
область. Для покупателей из точек ( i−l
n , n ), ( n , n ), где i = 1, 2, 3, j = 0, 1, 2,
затраты от посещения фирм I и II равны, причем l характеризует долю покупателей, предпочитающих ту фирму, которая назначила меньшую цену на
товар, т. е. фирму II:
c1 + 1 − l = c2 + 1 + l,
откуда
l=
c1 − c2
.
2
18
Рис. 1.1. Дуополия в метрике Манхеттена, дискретный случай
Функции выигрыша для игроков I и II имеют вид
1
1
H1 (c1 , c2 ) = c1 (4 + 6l) = c1 (4 + 3c2 − 3c1 ),
8
8
1
1
H2 (c1 , c2 ) = c2 (8 − 4 − 6l) = c2 (4 − 3c2 + 3c1 ),
8
8
Очевидно, что это вогнутые функции. Теперь можно найти равновесие по Нэшу
из условий
∂H1
1
= (4 − 6c1 + 3c2 ) = 0,
∂c2
8
1
∂H2
= (4 + 3c1 − 6c2 ) = 0.
∂c1
8
Отсюда следует, что c∗1 = c∗2 = 43 .
1.3. Модель Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену.
Непрерывный случай
Теперь перейдем к анализу общего случая. Предположим, что единичный
квадрат разбит равномерной сеткой улиц на n2 частей. Фирмы располагаются
19
в точках (x1 , y1 ) = (i1 /n, j1 /n) и (x2 , y2 ) = (i2 /n, j2 /n) соответственно, где 0 ≤
ik , jk ≤ n, k = 1, 2. Без ограничения общности будем считать, что i1 ≤ i2 и
j1 ≤ j2 .
Для заданных цен c1 , c2 покупатели разобьются на два множества. Множество покупателей S1 , предпочитающих фирму I, на рисунке 1.2 и 1.3 затемнено.
Теорема 1.1. В игре Γ1 =< I, II, c1 , c2 , H1 , H2 > существует ситуация равновесия по Нэшу (c∗1 , c∗2 ), которая принимает следующие значения:
1. если y2 − y1 > x2 − x1 , то равновесие имеет вид
1
c∗1 = (2 + y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ),
3
)
1(
c∗2 =
4 − (y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ) ,
3
2. если y2 − y1 < x2 − x1 , то цены в равновесии составят величину
1
c∗1 = (2 + x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ),
3
c∗2 =
)
1(
4 − (x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ) ,
3
3. если y2 − y1 = x2 − x1 , то цены в равновесии равны
1
c∗1 = (2 − 2y12 + (x1 + y2 )2 ),
3
1
c∗2 = (4 − y12 − (x1 + y2 )2 ),
3
Доказательство. Чтобы найти функцию выигрыша игрока I, нужно вычислить число покупателей, из множества S1 , или в контексте задачи, длину улиц,
принадлежащих множеству S1 .
Для удобства предположим, что (i2 − i1 ) + (j2 − j1 ) - нечетное число, иначе:
сдвинем одну из фирм в соседнюю клетку. Вначале рассмотрим случай
y 2 − y 1 > x 2 − x1 .
20
Симметричный случай
Предположим, что c1 = c2 . Тогда единичный квадрат разобьется на два
множества S10 и S20 с границей δ, на которой расстояния до фирм I и II одинаковы (см. рисунок 1.2). Вычислим число покупателей из множества S10 , находящихся на улицах, которые не пересекаются с границей δ. На рисунке 1.2 это
затемненная область под границей δ. Она состоит из двух множеств - прямоугольника S11 и трапеции S12 . Число покупателей в множестве S11 равно
s11 = (n + 1)
j1 +
(j2 −j1 )−(i2 −i1 )−1
2
n
(
)
(j2 − j1 ) − (i2 − i1 ) + 1
+ j1 +
,
2
где первое слагаемое представляет общую длину вертикальных улиц в множестве S11 , а второе - длину горизонтальных улиц. Число покупателей в множестве
S12 равно
(
s12 =
i2 − i1
i1
(i1 + 1)
+ (i2 − i1 )
n
n
)
1
+ (i2 − i1 )(i2 − i1 − 1).
n
Рис. 1.2. Дуополия в метрике Манхеттена, симметричный случай
21
Несимметричный случай
Теперь рассмотрим общий случай c1 ̸= c2 . Для определенности пусть c2 >
c1 . Тогда граница δ между соответствующими множествами S1 и S2 сдвинется ближе к фирме II (см. рисунок 1.3) на величину l, которая находится из
равенства затрат:
c2 − c1 + n1
l=
.
2
Теперь, чтобы вычислить число покупателей в множестве S1 нужно сложить число покупателей в множестве S10 с числом покупателей в полосе между
границей множества S10 и границей δ:
s13 = (n + 1)l + (i2 − i1 )l + [nl]
n − i2 + i1
,
n
где первое слагаемое представляет общую длину всех вертикальных улиц, а
второе - длину горизонтальных улиц, [nl] - целая часть числа nl.
Рис. 1.3. Дуополия в метрике Манхеттена, несимметричный случай
22
Общая длина всех улиц на данной сетке равна 2(n + 1). Таким образом,
доля покупателей из множества S1 равна
s1 =
s11 + s12 + s13
.
2(n + 1)
После упрощений находим
(
1
1
1
i22 − i21
s1 (n) =
(j2 + j1 + i1 − i2 )(1 + ) −
+
+
2(n + 1)
2n
2n
n
)
n − i2 + i1
+(n + i2 − i1 + 1)l + [nl]
.
n
(1.1)
Перейдем к пределу в выражении (1.1):
s1 = lim s1 (n) =
n→∞
)
1(
y2 + y1 + x1 − x2 + x22 − x21 + 2l ,
2
(1.2)
где l = (c2 − c1 )/2.
Тогда функция выигрыша для игрока I с учетом (1.2) равна
)
1 (
H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 = c1 y2 + y1 + x1 − x2 + x22 − x21 + c2 − c1 .
2
Соответственно функция выигрыша для игрока II имеет вид
)
1 (
H2 (c1 , c2 ) = c2 (1 − s1 ) = c2 2 − y2 − y1 − x1 + x2 − x22 + x21 − c2 + c1 .
2
Такой вид функции выигрыша имеют в случае y2 − y1 > x2 − x1 .
Если же y2 − y1 < x2 − x1 , то поменяем аргументы местами. Аналогичные
рассуждения приводят к выводу, что тогда функции выигрыша фирм можно
записать следующим образом:
)
1 (
H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 = c1 x2 + x1 + y1 − y2 + y22 − y12 + c2 − c1 ,
2
)
1 (
H2 (c1 , c2 ) = c2 (1 − s1 ) = c2 2 − x2 − x1 − y1 + y2 − y22 + y12 − c2 + c1 .
2
Наконец, самый простой случай, когда y2 − y1 = x2 − x1 . Тогда множества
S1 и S2 разбиваются прямой параллельной прямой y = −x и проходящей через
23
середину отрезка, соединяющего точки (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ). Несложно видеть, что
функции выигрыша игроков принимают вид
)
1 (
H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 = c1 (x1 + y2 )2 − y12 + c2 − c1 ,
2
)
1 (
H2 (c1 , c2 ) = c2 (1 − s1 ) = c2 2 − (x1 + y2 )2 − c2 + c1 .
2
Равновесие по Нэшу найдем из условий
∂H1
= 0,
∂c1
∂H2
= 0.
∂c2
Получаем, что для случая y2 −y1 > x2 −x1 цены в равновесии составят величину
1
c∗1 = (2 + y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ),
3
)
1(
4 − (y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ) ,
c∗2 =
3
и оптимальные значения выигрышей примут вид
)2
1 (
H1 (c∗1 , c∗2 ) =
2 + y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ,
(1.3)
18
)2
1 (
H2 (c∗1 , c∗2 ) =
4 − (y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ) .
(1.4)
18
Если же имеет место условие y2 − y1 < x2 − x1 , то равновесные цены равны
1
c∗1 = (2 + x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ),
3
)
1(
c∗2 =
4 − (x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ) ,
3
соответственно выигрыши игроков в равновесии )2
1 (
H1 (c∗1 , c∗2 ) =
2 + x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ,
18
)2
1 (
H2 (c∗1 , c∗2 ) =
4 − (x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ) .
18
(1.5)
(1.6)
Отметим, что найденные равновесные цены являются необходимыми, но
не достаточными условиями равновесия по Нэшу, поскольку, в частности, как
показано Хотеллингом [1] и д’Аспремонтом с соавторами [10], в описанной модели нет равновесия в смысле Нэша при слишком близком расположении игроков,
кроме единственного тривиального равновесия с нулевыми ценами.
24
1.4. Оптимальное расположение фирм, асимптотическое
поведение
Из (1.3)-(1.6) видно, что функции выигрыша игроков зависят от положения фирм в городе, поэтому представим их в виде функций Hi (x1 , x2 ; y1 , y2 ),
i = 1, 2. Следующей за задачей равновесных цен возникает задача оптимального расположения фирм на единичном квадрате. Выражения (1.3)-(1.6) определяют доходы фирм при равновесных ценах на рынке. Кроме этого, важным
является само расположение фирм, например, рядом с железной дорогой или со
складом товаров. Можно ввести затраты фирм на размещение в данной точке
и включить их в доходы от продажи товара.
Предположим что, для одной из фирм важно находиться рядом с началом
координат, а для другой - недалеко от правой верхней вершины квадрата. Рассмотрим симметричный случай, когда функции выигрыша игроков зависят от
некоторого параметра γ и имеют вид
Ĥ1 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) = H1 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) −
γ
(x1 + y1 )2 ,
18
(1.7)
γ
(2 − x2 − y2 )2 ,
(1.8)
18
т. е. для фирмы I невыгодно отклоняться от точки (0, 0), а для фирмы II Ĥ2 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) = H2 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) −
от точки (1, 1). Симметрия задачи позволяет предположить, что равновесное
расположение фирм находится на главной диагонали квадрата.
Теорема 1.2. В игре размещения Γ2 =< I, II, (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), Ĥ1 (x1 , y1 , x2 , y2 ),
Ĥ2 (x1 , y1 , x2 , y2 ) >, в которой x2 = y2 = k ≥ 1/2, x1 = y1 = b ≤ 1/2 и функции
выигрыша имеют вид (1.7)-(1.8) существует ситуация равновесия по Нэшу
((x∗1 , y1∗ ), (x∗2 , y2∗ )) = ((1 − k, 1 − k), (k, k)), где
k=
2γ + 3
.
2γ + 6
Доказательство. Предположим, что фирма II размещается на диагонали квадрата x2 = y2 = k ≥ 1/2. Будем считать, что фирма I также находится на диаго-
25
нали квадрата x1 = y1 = b ≤ 1/2 и первый игрок отклонился так, что x1 < y1 .
Тогда его выигрыш в данной точке имеет вид
Ĥ1 (x1 , y1 ; k, k) =
)2
1 (
γ
2 + y1 + x1 − x21 + k 2 − (x1 + y1 )2 .
18
18
Найдем наилучший ответ первого игрока по x1 . Для этого вычислим
)
1(
∂ Ĥ1
=
(2 + y1 + x1 − x21 + k 2 )(1 − 2x1 ) − γ(x1 + y1 ) .
∂x1
9
(1.9)
Предположим, что в силу симметрии задачи производная (1.9) равна нулю
в точке x1 = y1 = b = 1 − k. Подставляя в (1.9) и упрощая, для k получим
выражение
k=
2γ + 3
.
2γ + 6
(1.10)
Несложно показать, что при таком k наилучший ответ первого игрока действительно достигается при x1 = 1 − k, y1 = 1 − k. Тогда равновесным размещением фирм является расположение x1 = y1 = 1 − k,
x2 = y2 = k, где k
определено в (1.10). Заметим, что при изменении γ от 0 до ∞ k меняется от
1/2 до 1. Таким образом, при отсутствии предпочтения к определенному месту
на квадрате, так же как в классической модели Хотеллинга, фирмы стремятся
расположиться к центру квадрата.
1.5. Равновесные цены в дуополии на квадрате с
евклидовой метрикой
В работе [21] были найдены равновесные цены и решена задача о размещении на плоскости с евклидовой метрикой для случая, когда город был представлен в виде круга. Рассмотрим эту задачу для рассматриваемого здесь случая,
когда город представлен как единичный квадрат с равномерным распределением покупателей по его площади. При этом для удобства повернем квадрат на
π/4 и сдвинем его в начало координат (рисунок 1.4).
26
Рис. 1.4. Дуополия в евклидовой метрике
В этом городе располагаются две фирмы в точках (−k, 0) и (k, 0). Каждая из них задает свою цену на производимый товар, который один и тот же
для обеих фирм. Пусть цены будут c1 и c2 соответственно. Без ограничения
общности будем считать, что c1 ≤ c2 . Покупатель из точки (x, y) сравнивает
затраты от посещения каждой из фирм. Расстояние до каждой из фирм обо√
√
значим ρ1 (x, y) = (x + k)2 + y 2 и ρ2 (x, y) = (x − k)2 + y 2 соответственно.
Затраты складываются из цены на товар плюс транспортные расходы, т. е.
Li = ci + ρi (x, y), i = 1, 2. Тогда множество всех покупателей разделится на
два подмножества S1 и S2 , с границей, определяемой уравнением
c1 +
√
(x + k)2 + y 2 = c2 +
√
(x − k)2 + y 2 ,
или, после упрощений,
где a =
c2 −c1
2 ,
b=
√
x2 y 2
−
= 1,
a2 b2
k 2 − a2 .
Граница между областями S1 и S2 является гиперболой. Выигрыши игроков имеют вид
27
H1 (c1 , c2 ) = c1 S1 ,
H2 (c1 , c2 ) = c2 S2 .
Теорема 1.3. В случае симметричного расположения игроков в точках (−k, 0)
и (k, 0) в игре ценообразования Γ1 =< I, II, c1 , c2 , H1 , H2 > существует единственная ситуация равновесия (c∗1 , c∗2 ), где
 1
−1
√
∫2k √


2 dt
c∗1 = c∗2 = 0.5 
1
+
t
k

 .
0
Доказательство. Так как S1 + S2 = 1, достаточно найти S2
∫y1
1
S2 = − 2 dy
2
0
√
2
a 1+ yb2
√
2
2
∫
√
2
2 −y
∫
dx − 2
dx =
dy
y1
0
∫
0
y1
=
√
2y1 − y12 − 2ab
∫b √
1 + t2 dt,
0
где y1 есть точка пересечения границы областей S1 и S2 и стороной квадрата,
т. е. определяется из системы
x2 y 2
−
= 1,
a2 b2
√
2
x+y =
.
2
Решением этой системы, удовлетворяющим условию x > 0, является точка
√
√ 2
2b − 2ba b2 + 21 − a2
y1 =
.
(1.11)
2(b2 − a2 )
Равновесие по Нэшу (c∗1 , c∗2 ) найдем из условий
∂H1 (c1 , c2 )
∂S2
= 1 − S2 − c 1
= 0,
∂c1
∂c1
(1.12)
∂S2
∂H2 (c1 , c2 )
= S 2 + c2
= 0.
∂c2
∂c2
(1.13)
28
Для S2 имеем
1
√
b
∫
2
b2 + y12
a
y
∂S2
b2 − a2 √
1
=
1 + t2 dt −
+
∂c1
b
b3
0
(
)(
√
)
2
2
√
2a b + y1
1 ∂y1
a ∂y1
+
2 − 2y1 −
+
.
−
b
2 ∂a
2b ∂b
y
Так как
∂a
∂c1
∂a
= − ∂c
и
2
∂S1
∂c1
1
= − ∂S
∂c2 , приходим к соотношению
S2 (1 +
c1
) = 1,
c2
которое свидетельствует о том, что если решение системы (1.11)-(1.13) существует, то это может быть лишь при c1 = c2 .
Тогда S1 = S2 =
√
получаем, что y1 =
2
2 .
1
2
и a = 0, b = k. При таких значения a и b из (1.11)
И
√1
2k
∂S2
=k
∂c1
∫ √
1 + t2 dt.
0
Из системы (1.11)-(1.13) находим, что равновесные цены имеют вид

c∗1
=
c∗2

= 0.5 
k
−1
√1
2k
∫ √
1+


t2 dt
.
0
Равновесные цены при k = −0.5 равны
c∗1 = c∗2 = 0, 5562.
При этом оптимальные выигрыши игроков составят H1∗ = H2∗ = 0.2781.
(1.14)
29
1.6. Задача о размещении на квадрате
В случае рационального поведения покупателей в модели Хотеллинга существуют равновесные цены, которые зависят от расположения фирм в городе.
Возникает вопрос, существует ли равновесное расположение фирм. Введем также затраты фирм на размещение, и включим их в доходы от продажи товара.
Пусть фирмы располагаются в точках (k1 , 0) и (k2 , 0), где k1 ≤ 0 ≤ k2 . Предположим также, что c1 ≤ c2 . Очевидно, что в данной задаче стратегии игроков
заключаются только в выборе координат, а не в выборе цены на товар, как в п.
3. Тогда множество всех покупателей разделится на два подмножества S1 и S2 ,
с границей, определяемой уравнением
c1 +
√
(x − k1
)2
+
y2
= c2 +
√
(x − k2 )2 + y 2 ,
или, после упрощений,
(x − k̄)2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
где
√
c2 − c1
a=
, b = k02 − a2 ,
2
k2 + k1
k2 − k1
k̄ =
, k0 =
.
2
2
Таким образом, граница между областями S1 и S2 является гиперболой.
Предположим, что затраты игроков имеют такой же вид, как в модели
с расстоянием по Манхеттену. Игроки заинтересованы располагаться ближе к
крайним точкам главной диагонали, и затраты зависят от некоторого параметра
γ.
√
γ
2
H1 (c1 , c2 ) = c1 S1 − (−
− k1 )2 ,
18
2
√
γ
2
H2 (c1 , c2 ) = c2 S2 − (
− k2 )2 .
18 2
Будем менять положение k1 и k2 этих фирм, каждый раз находя равновесные
цены c1 , c2 . Они будут удовлетворять условиям
30
∂S1
∂H1 (c1 , c2 )
= 1 − S2 + c1
= 0,
∂c1
∂c1
∂S2
∂H2 (c1 , c2 )
= S2 − c 2
= 0.
∂c2
∂c2
Так как
∂a
∂c1
∂a
= − ∂c
, то
2
∂S1
∂c1
1
= − ∂S
∂c2 и
∂S1
∂c1
=
∂S2
∂c2 .
Тогда систему можно представить
в виде
∂S2
∂H1 (c1 , c2 )
= 1 − S2 + c1
= 0,
∂c1
∂c2
∂H2 (c1 , c2 )
∂S2
= S 2 + c2
= 0.
∂c2
∂c2
(1.15)
(1.16)
Равновесие, определяемое условиями (1.15), (1.16), обусловливается положением фирм ki , i = 1, 2. Таким образом, функции выигрыша игроков также зависят от расположения фирм. Запишем это в виде
Hi (k1 , k2 ) = Hi (c1 (k1 , k2 ), c2 (k1 , k2 ), ki ), i = 1, 2.
Перейдем к нахождению равновесия, т. е. координат (k1∗ , k2∗ ), для которых
выполняется условие
H1 (k1 , k2∗ ) ≤ H1 (k1∗ , k2∗ ), H2 (k1∗ , k2 ) ≤ H2 (k1∗ , k2∗ ).
Симметрия задачи позволяет упростить построение равновесия. Зафиксируем положение фирмы I k1 , и будем менять положение фирмы II, каждый
раз находя равновесные цены c1 , c2 , которые будут зависеть от k2 :
H2 (k2 ) = H2 (c1 (k2 ), c2 (k2 ), k2 ).
Найдем максимальный выигрыш фирмы II. Если он будет достигаться
в точке k2 , симметричной относительно начала координат от точки k1 , этого
будет достаточно для того, чтобы точка (−k, k) была равновесием по Нэшу в
задаче о размещении. Перейдем к построению равновесия.
31
γ
Функция H2 (k2 ) в данном случае имеет вид H2 = c2 S2 − 18
(
√
2
2
2 − k2 ) .
Здесь
S2 может быть представлена как
√
∫y1 ( √
2
2 −y
∫y1
∫
S2 = 2 dy
2
− y − k̄ − a
2
dx = 2
√
2
k̄+a 1+ yb2
0
√
1+
y2
)
b2
dy,
0
где y1 есть точка пересечения границы областей S1 и S2 и стороной квадрата,
т.е. определяется из системы
(x − k̄)2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
√
2
x+y =
.
2
Решением системы при условии x > 0 является точка
√
√
√
2
b
(
2
−
2
k̄)
−
ab
4
k̄(
k̄
−
2) + 4(b2 − a2 ) + 2
1
y1 =
.
2
b2 − a 2
Максимум выигрыша достигается в точке, для которой выполняется условие
dH2
dk2
= 0. Тогда условие максимума примет вид
)
γ (√
2 − 2k2 − c2
18
(
∂S2 ∂c1 ∂S2
−
∂c2 ∂k2 ∂k2
Получая выражения для производных
∂c1 ∂S2
∂k2 , ∂c2
и
)
∂S2
∂k2
(1.17)
= 0.
в равновесии, неслож-
но показать, что условие (1.17) для оптимальной стратегии k2 = k можно представить следующим образом:

√

√
∫
(√
)
2
 2

c
γ
y
2

c2 
2 − 2k .
 3 − 2k 2 √k 2 + y 2 dy  = 18
2
2
(1.18)
0
Система из условий (1.14) и (1.18) для равновесных цен задает условие для
равновесного расположения фирм. На графике зависимости k от γ (рисунок
1.5) видно, что при изменении γ от 0 до ∞ k меняется от 0.309 до
√
2
2 .
При
32
отсутствии предпочтения к определенному месту на квадрате фирмы стремятся
расположиться в точках k2∗ = −k1∗ = 0.309.
Рис. 1.5. График зависимости k от γ
1.7. Выводы к первой главе
Итак, равновесие в задаче о размещении найдено в случае, когда расстояние представлено в евклидовой метрике и метрике Манхеттена, когда выигрыши фирм включают в себя затраты на размещение. Проведем сравнение полученных результатов.
Пусть, например, параметр γ = 1. В модели города с расстоянием по Манхеттену, рассмотренной в п. 1.3, установлено, что фирмы должны располагаться в точках (k, k), и (1 − k, 1 − k), где k = 3/8 = 0.375, или на расстоянии
√
2(1/2 − 3/8) ≈ 0.176 от центра квадрата. Во второй модели из системы (1.14),
(1.18) находим, что k ≈ 0.342, т. е. фирмы должны располагаться на расстоянии 0.342 от центра квадрата, или примерно в 2 раза дальше, чем в модели с
расстоянием по Манхеттену.
33
Глава 2
Дуополия в системе обслуживания с очередями
2.1. Постановка задачи
Рассматривается бескоалиционная игра двух лиц с ненулевой суммой, связанная с функционированием системы массового обслуживания c двумя параллельными сервисами M/M/2. Есть два конкурирующих сервера (это игроки),
которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени
обслуживания с параметрами µ1 и µ2 соответственно. Заявки на обслуживание образуют пуассоновский процесс с интенсивностью λ. Предположим, что
λ < µ1 + µ2 . Это условие вытекает из того, что если загрузка системы ρ =
λ
µ1 +µ2
больше единицы, то число ожидающих требований в системе будет возрастать
бесконечно. Далее игроки назначают цену на обслуживание и посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Подобный подход использовался
в дуополии Хотеллинга при определении равновесных цен на рынке. При этом
затраты каждого покупателя вычислялись как цена на товар плюс транспортные расходы. В данной модели затраты вычисляются как цена на на обслуживание плюс потери на пребывание в системе обслуживания. Таким образом,
входящий поток разбивается на два пуассоновских потока с интенсивностями
λ1 и λ2 , где λ1 + λ2 = λ. Тогда выигрыши игроков можно записать как доход
в единицу времени от обслуживания данного потока, который будет пропорционален назначенной цене на обслуживание. В качестве иллюстрации можно
представить две транспортные компании в городе, которые развозят пассажиров. Тогда µi ,
i = 1, 2 зависят от количества транспортных единиц, которые
они используют. Возникает проблема, какую плату за проезд и какую интенсивность обслуживания компаниям выгодно назначать.
34
2.2. Теоретико-игровая модель ценообразования
Пусть игроки I и II обслуживают входящий поток, при этом их время
обслуживания имеет экспоненциальный вид с интенсивностями µ1 и µ2 . Игроки
назначают соответственно цены на свои услуги c1 и c2 . Тогда посетители будут
выбирать сервис с меньшими затратами, и входящий поток разобьется на два
пуассоновских потока с интенсивностями λ1 и λ2 , где λ1 + λ2 = λ. При этом
затраты посетителя, воспользовавшегося i-м сервисом, будут равны
ci +
c
,
µi − λi
i = 1, 2,
здесь 1/(µi − λi ) – ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания [52], и c – его потери за единицу времени ожидания. Без ограничения
общности положим c = 1. Тогда интенсивности потоков λ1 и λ2 = λ − λ1 для
соответствующих сервисов можно найти из условия
c1 +
1
1
= c2 +
.
µ1 − λ1
µ2 − λ 2
(2.1)
Теперь можно записать выигрыши игроков
H1 (c1 , c2 ) = λ1 c1 ,
H2 (c1 , c2 ) = λ2 c2 .
Нас будет интересовать равновесие в данной игре.
Симметричная модель
Начнем рассмотрение задачи с симметричного случая, когда оба сервиса
одинаковые, т. е. µ1 = µ2 = µ.
Теорема 2.1. В игре Γ =< I, II, c1 , c2 , H1 (c1 , c2 ), H2 (c1 , c2 ) > существует ситуация равновесия по Нэшу (c∗1 , c∗2 ), которая равна
c∗1 = c∗2 =
λ
.
(µ − λ2 )2
Доказательство. Для нахождения равновесия по Нэшу, найдем наилучший
ответ первого игрока на стратегию c2 второго игрока. Определим максимум
35
H1 (c1 , c2 ) по c1 для фиксированного c2 . Условие первого порядка для максимума
dH1 (c1 , c2 )
dλ1
= λ 1 + c1
= 0,
dc1
dc1
отсюда
λ1
.
dλ1 /dc1
Уравнение (2.1) для интенсивности λ1 примет вид
c∗1 =
c1 +
1
1
= c2 +
.
µ − λ1
µ − λ + λ1
(2.2)
Дифференцируя (2.2) по c1 , находим
1+
1
dλ1
1
dλ1
=
−
,
(µ − λ1 )2 dc1
(µ − λ + λ1 )2 dc1
откуда
(
)−1
1
dλ1
1
=−
.
(2.3)
+
dc1
(µ − λ1 )2 (µ − λ + λ1 )2
Из симметрии задачи очевидно, что в равновесии должно быть c1 = c2 и
λ1 = λ2 = λ2 . Тогда из (2.3) вытекает, что
(µ − λ2 )2
dλ1
=−
.
dc1
2
Следовательно,
λ
.
(2.4)
(µ − λ2 )2
Несложно проверить, что условия второго порядка для существования максиc∗1 = c∗2 =
мума также выполняются. Действительно,
d2 H1
dλ1
d2 λ1
=
2
+
c
.
1
dc21
dc1
dc21
Дифференцируя (2.3) по c1 , находим
(
)[
]
dλ1
2
2
d2 λ1
=
−
.
dc21
dc1
(µ − λ1 )3 (µ − λ + λ1 )3
В равновесии λ1 = λ/2, откуда вытекает, что
d2 λ1
dc21
= 0. Следовательно,
(
)2
d2 H1 (c∗1 , c∗2 )
dλ1
λ
=2
=− µ−
< 0.
dc21
dc1
2
36
Таким образом, если один из игроков использует стратегию (2.4), максимум выигрыша другого игрока достигается при той же самой стратегии. Это означает
равновесие данного набора стратегий.
Несимметричная модель
Теорема 2.2. В игре Γ =< I, II, c1 , c2 , H1 (c1 , c2 ), H2 (c1 , c2 ) > существует ситуация равновесия по Нэшу (c∗1 , c∗2 ) в несимметричном случае µ1 ̸= µ2 , которая находится из системы
(
c∗1 + c∗2 = λ
1
(µ1 −
c∗1 − c∗2 =
c∗1
2
∗
c1 +c∗2 λ)
1
µ2 −
c∗2
∗
c1 +c∗2
λ
+
−
)
1
(µ2 −
c∗2
∗
c1 +c∗2
1
µ1 −
c∗1
∗
c1 +c∗2 λ
λ)2
.
.
Доказательство. Предположим, что сервисы неодинаковы, т. е. µ1 ̸= µ2 , пусть
для определенности µ1 > µ2 . Кроме того, предположим что выполняются условия
λ − µ 2 < µ 1 ≤ λ + µ2 .
(2.5)
Определим равновесие в задаче ценообразования в этом случае. Зафиксируем c2 и найдем наилучший ответ первого игрока. Также как и в симметричном
случае
dH1 (c1 , c2 )
dλ1
= λ 1 + c1
= 0,
dc1
dc1
откуда
c∗1 =
λ1
.
dλ1 /dc1
Продифференцировав равенство (2.1), с одной стороны, находим
)
(
1
1
+
c∗1 = λ1
.
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ + λ1 )2
Аналогично для второго игрока имеем
(
)
1
1
c∗2 = λ2
+
.
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ + λ1 )2
(2.6)
(2.7)
37
Из (2.6), (2.7) следует, что
c∗1
c∗2
= ,
λ1
λ2
т. е. в равновесии интенсивности пропорциональны установленным ценам. Отсюда
c∗1
c∗2
λ1 = λ ∗
, λ2 = λ ∗
.
c1 + c∗2
c1 + c∗2
Подставив эти выражения в (2.6), (2.7), приходим к уравнению
(
)
1
1
c∗1 + c∗2 = λ
+
.
∗
∗
1
2
2
2
(µ1 − c∗c+c
(µ2 − c∗c+c
∗ λ)
∗ λ)
1
2
1
(2.8)
2
С другой стороны, из (2.1) получаем
c∗1 − c∗2 =
1
µ2 −
c∗2
∗
c1 +c∗2
λ
−
1
µ1 −
c∗1
∗
c1 +c∗2
λ
.
(2.9)
Из системы уравнений (2.8), (2.9) можно определить равновесные цены c∗1
и c∗2 . Покажем, что решение этой системы, такое что c∗1 ≥ 0 и c∗2 ≥ 0, существует.
Для упрощения выкладок предположим, что λ = 1, и сделаем замену x =
c∗2
∗
c1 +c∗2
.
Поскольку для µ1 > µ2 c∗1 > c∗2 , то x ∈ [0; 0, 5]. Систему (2.8), (2.9) можно
переписать в виде
(
)
c∗1 (1 − 2x)
1
1
= (1 − 2x)
+
,
(2.10)
1−x
(µ1 − 1 + x)2 (µ2 − x)2
c∗1 (1 − 2x)
1
1
=
−
.
(2.11)
1−x
µ 2 − x µ1 − 1 + x
Существование решения системы (2.10), (2.11) на интервале [0, 1/2] следует из
того, что значение правой части в (2.10) при x = 0 строго положительно, а
значение правой части (2.11), в силу условия (2.5), неположительно. Кроме
того, при x = 1/2 значение правой части (2.10) равно нулю, а значение правой
части (2.11) положительно. Таким образом, найдется такое значение x, при
котором значения правых частей (2.10) и (2.11) совпадут.
Находя производную по x правой части уравнения (2.10), получаем
(
)
(
)
1
1
1
1
−2
+
−
+ 2(1 − 2x)
≤ 0,
(µ2 − x)2 (µ1 − 1 + x)2
(µ2 − x)3 (µ1 − 1 + x)3
38
x ∈ [0, 1/2 − (µ1 − µ2 )/2],
а из (2.11)
(
1
1
2
+
(µ2 − x)2 (µ1 − 1 + x)2
)
> 0,
x ∈ [0, 1/2].
Отсюда следует, что x, при котором правые части (2.10) и (2.11) совпадают,
лежит в интервале x ∈ [1/2 − (µ1 − µ2 )/2, 1/2]. Значения равновесных цен для параметров λ = 10 и различных µ1 и µ2
представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10
µ2
µ1
6
7
8
9
6
(10;10)
7
(5.38;5.05)
8
(3.94;3.53) (1.75;1.64) (1.11;1.11)
9
(3.26;2.81) (1.38;1.22) (0.87;0.81) (0.625;0.625)
10
(2.5;2.5)
10 (2.86;2.39) (1.18;0.98) (0.73;0.64)
(0.52;0.49)
(0.4;0.4)
2.3. Конкурентные потоки и общественный транспорт
Рассмотрим случай трех игроков. Игроки I и II обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени с параметрами µ1 и µ2 соответственно, игрок O (общественный транспорт) обслуживает заявки с параметром µ0 .
Игроки назначают цену на обслуживание c1 и c2 соответственно, а c0 – это
фиксированная цена общественного транспорта. Посетители выбирают услугу
игрока с меньшими затратами. Таким образом, входящий поток разбивается на
три пуассоновских потока с интенсивностями λ0 , λ1 и λ2 , где λ0 + λ1 + λ2 = λ.
Определим равновесные цены.
39
Симметричный случай
Пусть два сервиса одинаковые, т. е. µ1 = µ2 = µ. Тогда интенсивности
потоков λ0 , λ1 и λ2 для соответствующих сервисов можно получить из системы
c0 +
1
1
1
= c1 +
= c2 +
,
µ0 − λ 0
µ − λ1
µ − λ2
(2.12)
λ0 + λ1 + λ2 = λ.
С одной стороны, дифференцируя (2.12) по c1 и решая относительно
находим
dλ1
dc1
и
dλ2
dc1 ,
dλ1
(µ − λ1 )2 ((µ − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 )
=−
.
dc1
(µ − λ2 )2 + (µ − λ1 )2 + (µ − λ + λ1 + λ2 )2
Аналогичным образом получаем
c∗1 = λ1
c∗2
(
(
= λ2
dλ2
dc2 ,
откуда c∗1 и c∗2 :
1
1
+
(µ − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ − λ1 )2
1
1
+
(µ − λ1 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ − λ2 )2
)
,
(2.13)
.
(2.14)
)
Из симметрии задачи очевидно , что в равновесии должно быть c1 = c2 и λ1 =
λ2 =
λ−λ0
2 .
Тогда из (2.13), (2.14) следует
(
1
λ − λ0
c∗1 = c∗2 =
2
(µ0 − λ0 )2 + (µ −
λ−λ0 2
2 )
+
1
0
µ − λ−λ
2
)
.
(2.15)
С другой стороны, из (2.12)
c0 +
1
1
= c∗1 +
.
0
µ0 − λ0
µ − λ−λ
2
(2.16)
Системой уравнений (2.15), (2.16) определяются равновесные цены c∗1 и c∗2 .
Несимметричный случай
Пусть сервисы неодинаковы и для определенности µ1 > µ2 . Тогда
dλ1
dH1 (c1 , c2 )
= λ 1 + c1
= 0,
dc1
dc1
dλ2
dH2 (c1 , c2 )
= λ 2 + c2
= 0,
dc2
dc2
40
откуда
c∗i =
λi
,
dλi /dci
i = 1, 2.
Уравнения для интенсивностей λ1 и λ2
c0 +
1
1
= c1 +
,
µ0 − λ0
µ1 − λ 1
c1 +
1
1
= c2 +
,
µ1 − λ1
µ2 − λ 2
(2.17)
λ0 + λ1 + λ2 = λ.
Дифференцируя (2.17) по c1 и решая относительно
dλ1
dc1
и
dλ2
dc1 ,
получим
(µ1 − λ1 )2 ((µ2 − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 )
dλ1
=−
.
dc1
(µ2 − λ2 )2 + (µ1 − λ1 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2
Аналогичным образом определяем
c∗1
(
= λ1
c∗2 = λ2
(
dλ2
dc2 .
Затем находим c∗1 и c∗2
1
1
+
(µ2 − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ1 − λ1 )2
1
1
+
(µ1 − λ1 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ2 − λ2 )2
Приходим к системе уравнений
(
)
1
1
c∗1 = λ1
+
,
(µ2 − λ2 )2 + (µ0 − λ0 )2 (µ1 − λ1 )2
(
)
1
1
c∗2 = λ2
+
,
(µ1 − λ1 )2 + (µ0 − λ0 )2 (µ2 − λ2 )2
1
2
1
2c∗1 − c∗2 = c0 +
+
−
,
µ0 − λ0 µ2 − λ2 µ1 − λ1
)
,
)
.
(2.18)
λ0 + λ1 + λ2 = λ.
Системой уравнений (2.18) определяются равновесные цены c∗1 и c∗2 . Их значения для параметров λ = 10, c0 = 1, µ0 = 3 представлены в таблице 2.2. Из нее
видно, что с ростом интенсивностей обслуживания µ1 и µ2 каждой из конкурирующих фирм интенсивность потока пассажиров, использующих общественный
транспорт, убывает.
41
Таблица 2.2. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, c0 =1, µ0 =3
µ2
6
µ1
6
7
8
9
10
7
8
9
(c∗1 ;c∗2 )
(0.3;0.3)
(λ0 ; λ1 ; λ2 )
(5.33;2.34;2.34)
(c∗1 ;c∗2 )
(0.29;0.25)
(0.24;0.24)
(λ0 ; λ1 ; λ2 )
(5.08;2.68;2.23)
(4.87;2.56;2.56)
(c∗1 ;c∗2 )
(0.28;0.22)
(0.23;0.2)
(0.19;0.19)
(λ0 ; λ1 ; λ2 )
(4.9;2.96;2.13)
(4.72;2.84;2.44)
(4.6;2.7;2.7)
(c∗1 ;c∗2 )
(0.26;0.18)
(0.21;0.17)
(0.17;0.15)
(0.14;0.14)
(λ0 ; λ1 ; λ2 )
(4.8;3.19;2.03)
(4.61;3.07;2.32)
(4.5;2.93;2.56)
(4.43;2.78;2.78)
(c∗1 ;c∗2 )
(0.25;0.16)
(0.2;0.14)
(0.16;0.13)
(0.13;0.12)
(λ0 ; λ1 ; λ2 )
(4.68;3.39;1.93)
(4.54;3.27;2.2)
(4.44;3.13;2.42)
(4.38;2.99;2.64)
2.4. Кооперативное поведение
Рассмотрим модель конкурентных потоков и общественного транспорта,
которая описывалась в предыдущем разделе. Предположим, что игроки I и II
могут организовать коалицию, которая обслуживает заявки с экспоненциальным распределением времени с параметром µ12 = µ1 + µ2 . Игрок O (общественный транспорт), как и раньше, обслуживает заявки с параметром µ0 .
Коалиция назначает цену на обслуживание c12 , а общественный транспорт
– c0 . Как и раньше, посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами.
Таким образом, входящий поток разбивается на два пуассоновских потока с
интенсивностями λ0 , λ12 , где λ0 + λ12 = λ. Эти интенсивности можно найти из
условия
c0 +
1
1
= c12 +
.
µ0 − λ0
µ12 − λ12
С одной стороны, дифференцируя (2.19) по c12 и решая относительно
(2.19)
dλ12
dc12 ,
по-
42
лучим
dλ12
(µ12 − λ12 )2 (µ0 − λ + λ12 )2
=−
,
dc12
(µ12 − λ12 )2 + (µ0 − λ + λ12 )2
откуда
(
1
1
= λ12
+
(µ0 − λ0 )2 (µ12 − λ12 )2
С другой стороны, из (2.19) имеем
c∗12
c0 +
)
.
1
1
= c∗12 +
.
0
µ0 − λ0
µ12 − λ−λ
2
(2.21)
Таблица 2.3. Значение v(0), v(1), v(2), v(12) при λ=10, c0 =1, µ0 =3
µ2
µ1
6
7
8
9
10
7
8
9
(2.20)
v
6
10
v(0)
5.33
v(1)
0.7
v(2)
0.7
v(12)
2.15
v(0)
5.08
4.87
v(1)
0.78
0.61
v(2)
0.56
0.61
v(12)
2.22
2.28
v(0)
4.9
4.72
4.6
v(1)
0.28
0.65
0.51
v(2)
0.47
0.49
0.51
v(12)
2.28
2.31
2.34
v(0)
4.8
4.61
4.5
4.43
v(1)
0.829
0.645
0.498
0.3892
v(2)
0.37
0.39
0.38
0.3892
v(12)
2.31
2.34
2.37
2.4
v(0)
4.68
4.54
4.44
4.38
4.33
v(1)
0.85
0.654
0.5
0.3887
0.31
v(2)
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
v(12)
2.34
2.37
2.4
2.42
2.43
43
Системой уравнений (2.20), (2.21) определяется оптимальная цена c∗12 . В кооперативной игре игроки должны разделить общий доход. В качестве правила
дележа можно использовать вектор Шепли. Для игры двух лиц этот дележ
имеет вид
1
1
ϕ1 (v) = v(1) + (v(12) − v(2)),
2
2
1
1
ϕ2 (v) = v(2) + (v(12) − v(1)),
2
2
где v – характеристическая функция в кооперативной игре.
Рассмотрим случай, когда стоимость проезда на общественном транспорте
фиксирована и равна c0 = 1, а интенсивность обслуживания µ0 = 3. Посчитаем
выигрыши игроков в двух случаях: в условиях конкуренции и кооперации. Результаты приведены в таблице 2.3. В ней v(i) = Hi (c∗1 , c∗2 ) = λi c∗i , i = 0, 1, 2; c∗1 , c∗2
– решение системы (2.18) и кооперативный выигрыш v(12) = H12 (c∗12 ) = λ12 c∗12 ,
где c∗12 – решение системы (2.20), (2.21).
Из табл. 2.3 видно, что v супераддитивная. Воспользуемся вектором Шепли, чтобы разделить выигрыш. При параметрах µ12 = 19 или µ1 = 10, а µ2 = 9
получим
1
1
ϕ1 (v) = v(1) + (v(12) − v(2)) = 1.24,
2
2
1
1
ϕ2 (v) = v(2) + (v(12) − v(1)) = 1.18.
2
2
Таким образом, игрокам I и II выгодно сформировать коалицию, при этом
кооперативный выигрыш им следует разделить в данной пропорции.
2.5. Конкуренция n игроков
Рассмотренную в п. 5 модель конкуренции двух серверов можно распространить на случай n игроков. Представим, что есть n конкурентных серверов,
44
которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени соответственно с параметрами µ1 , µ2 , ..., µn . Игроки назначают цены на свои
услуги c1 , c2 , ..., cn . Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами и входящий поток разобьется на n пуассоновских потока с интенсивностями λ1 , λ2 ,..., λn , где λ1 + λ2 + .. + λn = λ. При этом затраты посетителя,
воспользовавшегося i-м сервисом, будут равны
ci +
1
,
µi − λi
i = 1, 2, ..., n.
Тогда интенсивности потоков λ1 , λ2 , ..., λn для соответствующих сервисов можно найти из условия
c1 +
1
1
1
= c2 +
= ... = cn +
.
µ1 − λ1
µ2 − λ2
µn − λn
Как и раньше, введем в рассмотрение особого игрока, который интерпретируется в модели как общественный транспорт. В случае, когда число игроков
равно n, интенсивности λi , i = 1, ..., n, определяются уравнениями
c0 +
ci +
1
1
= c1 +
,
µ0 − λ0
µ1 − λ 1
1
1
= ci+1 +
,
µi − λi
µi+1 − λi+1
n
∑
λ0 +
λi = λ.
i = 1, ..., n − 1,
(2.22)
i=1
Дифференцируя (2.22) по ci и решая относительно
получим
∑
(µi − λi )2 ( nj=0,j̸=i (µj − λj )2 )
dλi
∑n
=−
,
2
dci
i=0 (µi − λi )
Приходим к системе уравнений
(
c∗i = λi
c∗i +
dλ1 dλ2
dci , dci ,
i = 1, ..., n.
1
1
+
2
(µi − λi )2
j=0,j̸=i (µj − λj )
∑n
1
1
= c∗i+1 +
,
µi − λ i
µi+1 − λi+1
n
... , dλ
dci , i = 1, ..., n,
)
,
i = 0, ..., n − 1,
(2.23)
45
λ0 +
n
∑
λi = λ.
i=1
Системой уравнений (2.23) определяются равновесные цены c∗1 ,..., c∗n .
Как и для случая двух игроков, можно предложить кооперативную схему
объединения всех игроков в одну коалицию с последующим дележом общего
дохода для всех участников, используя вектор Шепли. Рассмотрим, например,
трех игроков, которые обслуживают заявки с экспоненциальным временем с
параметрами µ1 = 4, µ2 = 6, µ3 = 9 соответственно. Игроки могут организовать
∑
коалицию, причем она обслуживает заявки с интенсивностью
µi , где S –
S
размер коалиции. Игрок O, как и раньше, обслуживает заявки с параметром
µ0 = 3.
Таблица 2.4. Значения v(S) при λ=10, c0 =1, µ0 =3
v(0)
4.559
c∗0
1
λ0
4.559
µ0
3
v(1)
0.039
c∗1
0.064
λ1
0.608
µ1
4
v(2)
0.213
c∗2
0.126
λ2
1.694
µ2
6
v(3)
0.590
c∗3
0.188
λ3
3.139
µ3
9
v(0)
4.38
c∗0
1
λ0
4.38
µ0
3
v(12)
0.389
c∗12
0.13
λ12
2.99
µ12
10
v(0)
4.507
c∗0
1
λ0
4.507
µ0
3
v(13)
0.872
c∗13
0.227
λ13
3.842
µ13
13
v(0)
4.861
c∗0
1
λ0
4.861
µ0
3
v(23)
1.525
c∗23
0.371
λ23
4.11
µ23
15
v(0)
5.569
c∗0
1
λ0
5.769
µ0
3
v(123) 2.416 c∗123 0.571 λ123 4.231 µ123 19
Чтобы определить характеристическую функцию в кооперативной игре, нужно рассчитать ее значения для каждой коалиции S. Это можно сделать двумя
46
способами. Первый, традиционный, когда оставшиеся игроки объединяются в
коалицию и играют против S. В этом случае для коалиции N \ S собственный выигрыш не важен, ее задача минимизировать выигрыш коалиции S. Тогда коалиция N \ S в качестве своей стратегии может использовать cN \S = 0,
увеличивая тем самым свой поток λN \S , но получая выигрыш, равный нулю.
Выигрыш коалиции S в данном случае уменьшится. В настоящей работе применяется другой подход, при котором характеристическая функция строится
следующим образом. Предположим, что s игроков решили сформировать коалицию S. Она играет как один игрок, а остальные n − s игроков находятся в
равновесии с ней, т. е. в качестве стратегий используются равновесные цены.
Эти цены являются равновесием по Нэшу в игре n − s + 1 лиц и находятся
из системы (2.23) при количестве игроков n − s + 1. Тогда значение характеристической функции есть выигрыш рассматриваемого игрока или коалиции в
ситуации равновесия по Нэшу. Вычисления представлены в таблице 2.4.
В кооперации игроки могут получить совместный доход, равный 2.416.
После этого они могут его разделить. В качестве правила дележа можно использовать вектор Шепли. Для игры трех лиц этот дележ имеет вид
1
1
1
1
ϕ1 (v) = v(1) + (v(12) − v(2)) + (v(13) − v(3)) + (v(123) − v(23)),
3
6
6
3
1
ϕ2 (v) = v(2) +
3
1
ϕ3 (v) = v(3) +
3
1
(v(12) − v(1)) +
6
1
(v(13) − v(1)) +
6
1
(v(23) − v(3)) +
6
1
(v(23) − v(2)) +
6
1
(v(123) − v(13)),
3
1
(v(123) − v(12)),
3
где v – характеристическая функция в кооперативной игре. Из таблицы 2.4
видно, что v супераддитивная. Для данной игры вектор Шепли
ϕ1 (v) = 0.386,
ϕ2 (v) = 0.799,
ϕ3 (v) = 1.229,
47
причем плата за проезд будет общая для всех транспортных компаний и равна
c∗123 = 0.571. Таким образом, частным компаниям выгодно сформировать коалицию. Из таблицы 2.4 видно, что увеличение конкуренции приводит к возрастанию потока пассажиров, которые предпочитают использовать конкурирующий
транспорт, а не общественный.
2.6. Выводы ко второй главе
Итак, найдено равновесие в задаче ценообразования, связанной с транспортной системой, которая представляет собой систему массового обслуживания M/M/2, в которой участвуют два конкурирующих сервера. В модель введен дополнительный игрок – муниципальный транспорт, у которого фиксированная цена на проезд и интенсивность обслуживания. Моделирование проводится в условиях конкуренции и кооперации, и, так как характеристическая
функция является супераддитивной, то игрокам выгодно вступать в коалиции.
Показано, что увеличение конкуренции приводит к возрастанию потока пассажиров, которые предпочитают использовать конкурирующий транспорт, а не
общественный.
48
Глава 3
Равновесие в транспортной системе М/M/m
3.1. Теоретико-игровая модель ценообразования в
транспортной игре
Рассматривается бескоалиционная игра m лиц с ненулевой суммой, связанная с функционированием системы массового обслуживания M/M/m на графе.
Определение 3.1. Γ =< N, G, Zi,i∈N , Hi,i∈N > – транспортная игра, в которой
N = {1, ..., m}-множество игроков (транспортные компании), обслуживающие
пассажиров на графе G =< V, E >, где V – множество вершин и E – множество
ребер.
Будем считать, что все вершины пронумерованы, V = {v1 , ..., vn }. Для
каждого игрока i существует набор маршрутов Zi из вершины vs ∈ V в vt ∈ V ,
которые обслуживает игрок i. Таким образом, Zi = (R1i , R2i , ..., Rki i ), i = 1, .., m.
Каждый маршрут представляет собой путь,
Определение 3.2. Путем на графе G =< V, E > будем называть последовательность вершин, соединенных ребрами R = (vs , vs+1 , ..., vt ), в которой конец
одного ребра является началом другого ребра, т.е. (vs , vs+1 ), ..., (vt−1 , vt ) ∈ E.
Маршруты будем обозначать большими буквами R, а подпути обозначим
малыми буквами r. Чтобы подчеркнуть, что начало пути есть vs , а конец есть
vt , будем обозначать такой путь Rst или rst .
Определение 3.3. Будем говорить, что путь rs′ t′ является подпутем пути rst
и писать rs′ t′ ⊂ rst , если путь rs′ t′ является подпоследовательностью вершин,
содержащихся в rst .
Обслуживание пассажиров игроком i имеет экспоненциальное распределение времени обслуживания с параметром µR
i на каждом маршруте R ∈ Zi .
Введем в рассмотрение матрицу интенсивностей {λst } потоков из точки vs в
49
точку vt для различных s, t = 1, ..., n

0


 λ21
Λ=

 ...

λn1

λ12 ... λ1n


0 ... λ2n 
.

... ... ... 

λn2 ... 0
r
Игрок i назначает цены на свои услуги cR
i , ci на каждом маршруте R ∈ Zi
и всех его подпутях r ⊂ R. Формируется профиль стратегий {cZi i } = {cri }, r ⊂
R ∈ Zi , i = 1, ..., m. Предположим, что пассажиры минимизируют свои затраты, которые представляют собой цену на билеты плюс ожидаемое время обслуживания, и выбирают сервис, который дешевле остальных.
Тогда входящий поток λst разбивается на пуассоновские потоки с интенсивm
∑
ностями λist , где
λist = λst , причем, если ни в одном из маршрутов множества
i=1
Zi игрока i нет подпути rst , то λist =0.
Затраты посетителя, воспользовавшегося i-м сервисом по подпути r какого-то маршрута R ∈ Zi будут равны
cri +
∑
e∈r
µR
i −
1
∑
rst :e∈rst ⊂r
λist
,
i = 1, 2, ..., n.
Таким образом, в равновесии затраты всех пассажиров на конкурентных
направлениях будут совпадать для всех сервисов. Отсюда можно найти интенсивности λist для всех сервисов i = 1, ..., m и подпутей rst . А именно,
cri
+
∑
e∈r
µR
i −
1
∑
rst :e∈rst ⊂r
λist
=
crj
+
∑
′
e∈r
µR
j −
1
∑
rst :rst ⊂r′
λjst
,
для всех i, j таких, что r ⊂ R ∈ Zi и r′ ⊂ R′ ∈ Zj . Если цена на маршруте
какого-то сервиса слишком высока, то поток пассажиров распределится между другими сервисами, и данный сервис не будет участвовать в конкуренции.
Поэтому равновесные цены следует искать среди сбалансированных цен.
50
Выигрыш игрока i можно записать как доход в единицу времени от обслуживания всех потоков на всех маршрутах игрока, т.е.
∑
Hi ({cZi i }i∈N ) =
λist cri .
rst :rst ⊂r⊂R∈Zi
3.2. Конкуренция игроков на сегменте
Начнем исследование предложенной модели с простого примера, рассмотренного в предыдущей главе. Есть две конкурирующие транспортные компании, которые обслуживают пассажиров на сегменте G1 = {V1 , E1 }, изображенном на рисунке 3.1, с экспоненциальным распределением времени обслуживания с параметрами µ1 и µ2 соответственно. В графе G1 есть две вершины v1 , v2
и одно ребро e. У игроков маршруты совпадают, т.е. Zi = (v1 , v2 ) для i = 1, 2.
Заявки на обслуживание образуют пуассоновский процесс с интенсивностью λ.
Предположим, что λ < µ1 +µ2 . Игроки назначают цену на обслуживание c1 и c2
соответственно, и посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами.
Тогда входящий поток разобьется на два пуассоновских потока с интенсивностями λ1 и λ2 , где λ1 + λ2 = λ. При этом затраты посетителя, воспользовавшегося
i-м сервисом будут равны
ci +
1
,
µi − λi
i = 1, 2,
где 1/(µi − λi ) ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания [52]. Понятно, что если
c1 +
1
1
< c2 + ,
µ1 − λ
µ2
то все пассажиры выберут первый сервис, или наоборот
c2 +
1
1
< c1 + ,
µ2 − λ
µ1
то все пассажиры выберут второй. Такое решение тривиальное, так как в этом
случае конкуренции нет. Для того, чтобы создать конкуренцию, игроки должны балансировать цены таким образом, чтобы эти условия не выполнялись.
51
В работе рассмотрен конкурентный случай, когда пассажиры используют оба
сервиса.
Рис. 3.1. Конкуренция игроков на сегменте
Без ограничения общности положим c = 1. Тогда интенсивности потоков
λ1 и λ2 для соответствующих сервисов можно найти из условий
c1 +
1
1
= c2 +
,
µ1 − λ1
µ2 − λ 2
λ1 + λ2 = λ.
(3.1)
(3.2)
Выигрыши игроков имеют вид
H1 (c1 , c2 ) = λ1 c1 ,
H2 (c1 , c2 ) = λ2 c2 .
Пусть для определенности µ1 > µ2 . Зафиксируем c2 и найдем наилучший
ответ первого игрока. В отличии от предыдущей главы, в которой использовался традиционный подход, когда ситуации равновесия находились путем дифференцирования функций выигрыша, мы воспользуемся методом Лагранжа,
который позволит определить стационарные точки задачи оптимизации с ограничениями в виде равенств [52]. Формально схема этого метода представима в
следующем виде. Найдем максимум функции H1 , при ограничениях (3.1)-(3.2)
)
(
1
1
− c2 −
.
L1 = c1 λ1 + k1 c1 +
µ1 − λ1
µ2 − λ + λ 2
Дифференцируем
∂L1
= λ1 + k1 = 0,
∂c1
k1 = −λ1 ,
52
∂L1
= c 1 + k1
∂λ1
откуда
c∗1 = λ1
(
(
1
1
+
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ2 )2
1
1
+
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ2 )2
)
,
)
.
Аналогично находим цену для второго игрока
(
)
1
1
c∗2 = λ2
.
+
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ2 )2
Из (3.3)-(3.4) следует, что
(3.3)
(3.4)
c∗
c∗1
= 2,
λ1
λ2
т. е. в равновесии интенсивности пропорциональны установленным ценам. Отсюда
λ1 = λ
c∗1
,
c∗1 + c∗2
λ2 = λ
c∗2
.
c∗1 + c∗2
Подставив в (3.3)-(3.4), приходим к уравнению
(
)
1
1
+
.
c∗1 + c∗2 = λ
∗
c∗2
1
2
2
λ)
λ)
(µ1 − c∗c+c
(µ
−
∗
2
c∗ +c∗
1
2
1
(3.5)
2
С другой стороны, из (3.1) получаем
c∗1 − c∗2 =
1
µ2 −
c∗2
∗
c1 +c∗2
λ
−
1
µ1 −
c∗1
∗
c1 +c∗2 λ
.
(3.6)
Системой уравнений (3.5)-(3.6) однозначно определяются равновесные цены c∗1
и c∗2 .
3.3. Затраты, в которых учитывается время нахождения в
очереди
В настоящем параграфе покажем, как изменится вид равновесных цен,
если рассматривать не задержки пассажиров в системе, а задержки в очереди. Как и раньше, рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц с ненулевой
53
суммой. Игроки I и II обслуживают входящий поток, при этом их время обслуживания имеет экспоненциальный вид с интенсивностями µ1 и µ2 . Игроки
назначают цены на свои услуги c1 и c2 соответственно. Тогда посетители будут
выбирать сервис с меньшими затратами, и входящий поток разобьется на два
пуассоновских потока с интенсивностями λ1 и λ2 , где λ1 + λ2 = λ. При этом
затраты посетителя, воспользовавшегося i-м сервисом, будут равны
ci +
λi
,
µi (µi − λi )
i = 1, 2,
здесь λi /µi (µi − λi ) – ожидаемое время пребывания пользователя в очереди на
обслуживание [52]. Тогда интенсивности потоков λ1 и λ2 = λ − λ1 для соответствующих сервисов можно найти из условия
c1 +
λ1
λ2
= c2 +
.
µ1 (µ1 − λ1 )
µ2 (µ2 − λ2 )
Выигрыши игроков равны
H1 (c1 , c2 ) = λ1 c1 ,
H2 (c1 , c2 ) = λ2 c2 .
Равновесие по Нэшу
Найдем наилучший ответ первого игрока на стратегию c2 второго игрока используя метод множителей Лагранжа. Для фиксированного c2 функция
Лагранжа имеет вид
(
L1 = λ 1 c 1 + k c 1 +
λ1
λ2
− c2 −
µ1 (µ1 − λ1 )
µ2 (µ2 − λ2 )
)
+ γ(λ1 + λ2 − λ).
Дифференцируем
∂L1
= λ1 + k = 0,
∂c1
∂L1
k
kλ1
= c1 +
+
+ γ = 0,
∂λ1
µ1 (µ1 − λ1 ) µ1 (µ1 − λ1 )2
k
kλ2
∂L1
=−
−
+ γ = 0.
∂λ2
µ2 (µ2 − λ2 ) µ2 (µ2 − λ2 )2
(3.7)
54
Симметричный случай
Пусть оба сервиса одинаковые, т. е. µ1 = µ2 = µ. Из симметрии задачи
очевидно, что в равновесии должно быть c∗1 = c∗2 = c∗ и λ1 = λ2 = λ2 . Тогда
решением системы (3.7) будет
)
(
λ
2
λ
,
c∗ =
+
2 µ(µ − λ2 ) µ(µ − λ2 )2
преобразуя это выражение, получаем
c∗ =
λ
.
(µ − λ2 )2
Несимметричный случай
Предположим, что сервисы неодинаковы. В этом случае решением (3.7)
является
c∗1 = λ1
(
1
λ1
λ2
1
+
+
+
2
µ1 (µ1 − λ1 ) µ2 (µ2 − λ2 ) µ1 (µ1 − λ1 )
µ2 (µ2 − λ2 )2
(
)
1
1
= λ1
+
.
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ + λ1 )2
)
=
Аналогично для второго игрока
(
)
1
1
λ
λ
1
2
c∗2 = λ2
+
+
+
=
µ1 (µ1 − λ1 ) µ2 (µ2 − λ2 ) µ1 (µ1 − λ1 )2 µ2 (µ2 − λ2 )2
(
)
1
1
= λ2
+
.
(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ + λ1 )2
Таким образом видим, что модели конкуренции двух обслуживающих сервисов с задержками в очереди и задержками в системе полностью совпадают.
3.4. Конкуренция m игроков на сегменте
Рассмотренную выше модель конкуренции двух серверов несложно распространить на случай m игроков. Представим, что есть m конкурентных серверов,
которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени обслуживания соответственно с параметрами µ1 , µ2 , ..., µm . Игроки назначают
55
цены на свои услуги c1 , c2 , ..., cm соответственно. Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами и входящий поток разобьется на m пуассоновских потоков с интенсивностями λ1 , λ2 ,..., λm , где λ1 + λ2 + .. + λm = λ. При
этом затраты посетителя, воспользовавшегося i-м сервисом будут равны
ci +
1
,
µi − λi
i = 1, 2, ..., m.
Тогда интенсивности потоков λ1 , λ2 , ..., λm для соответствующих сервисов можно найти из условия
1
1
1
= c2 +
= ... = cm +
.
µ1 − λ 1
µ2 − λ2
µm − λ m
c1 +
(3.8)
Выигрыш i-ого игрока имеет вид
Hi (c1 , c2 , ..., cm ) = λi ci ,
i = 1, ..., m.
Воспользовавшись методом Лагранжа, найдем наилучший ответ первого
игрока. Зафиксируем ci i = 2, 3, ..., m. Найдем максимум функции H1 , при
ограничениях (3.8)
L 1 = c1 λ 1 +
m
∑
i=2
(
ki
1
1
− ci −
c1 +
µ1 − λ 1
µi − λi
)
m
∑
+ γ(
λi − λ).
i=1
Условия на экстремум первого порядка дают равенства
∑
∂L1
= λ1 +
ki = 0,
∂c1
i=2
m
m
∑
ki
∂L1
i=2
= c1 +
+ γ = 0,
∂λ1
(µ1 − λ1 )2
ki
∂L1
=−
+ γ = 0,
∂λi
(µi − λi )2
i = 2, ..., m.
Проделывая аналогичную процедуру для каждого игрока приходим к системе, которая позволяет определить равновесные цены и интенсивности пото-
56
ков на G1

(
)

1
1
∗

ci = λi ∑m
,

2 + (µ −λ )2

i
i
j=0,j̸=i (µj −λj )


1
1
c∗i + µi −λ
= c∗i+1 + µi+1 −λ
, i = 0..m − 1,
i
i+1


m

∑


 λi = λ.
i=1
3.5. Конкуренция m игроков на линейном маршруте
Рассмотрим поведение m игроков на линейном маршруте G2 = {V2 , E2 },
представленном на рисунке 3.2. В качестве иллюстрации можно представить
движение на междугородных маршрутах, в которых пассажиры садятся на начальной станции и постепенно выходят на промежуточных остановках. Здесь
множество вершин V2 = {v1 , v2 , ..., vn } и множество ребер E2 = {e12 , e23 , ..., en−1n }.
Игроки обслуживают пассажиров с экспоненциальным распределением времени обслуживания с параметром µ(i) , i = 1, ..., m. Предположим, что у всех игроков один и тот же линейный маршрут Zi = (v1 , v2 , ..., vn ) для i = 1, 2, ..., m.
Заявки на обслуживание образуют пуассоновский процесс с матрицей интенсивностей пуассоновских потоков Λ
Рис. 3.2. Конкуренция игроков на линейном маршруте

0 λ12 λ13


0 0
0
Λ=

0 0
0

0 0
0

... λ1n
...
...
...


0 
.

0 

0
57
(i)
Игроки назначают цену на обслуживание c1s , i = 1, 2, ..., m, s = 2, 3, ..., n,
и посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Тогда входящий
m
∑
(i)
поток Λ разобьется на потоки с интенсивностями λ1s =
λ1s , s = 2, 3, ..., n.
i=1
При этом затраты пассажира, воспользовавшегося i-м сервисом на пути r1j
будут равны
(i)
c1j
+
j−1
∑
(i)
ak ,
i = 1, ..., m,
j = 2, ..., n,
k=1
где
1
n
∑
(i)
ak =
µ(i)
−
,
k = 1, ..., n − 1,
i = 1, ..., m,
(i)
λ1s
s=k+1
это задержки на ребре ekk+1 .
Балансовые уравнения примут вид
(1)
c1j
+
j−1
∑
(1)
ak
−
(i)
c1j
−
k=1
j−1
∑
(i)
ak = 0,
i = 2, ..., m,
j = 2, ..., n.
k=1
Выигрыш i-ого игрока равен
(m)
(1)
Hi (cZ , ..., cZ )
=
n
∑
(i) (i)
c1j λ1j .
j=2
Построим функцию Лагранжа для игрока 1 при ограничениях (3.9).
( m
)
n
n
∑
∑
∑
(1) (1)
(i)
L1 =
c1j λ1j +
γj
λ1j − λ1j +
j=2
+
m ∑
n
∑
j=2
(
kji
(1)
c1j +
j−1
∑
i=2 j=2
i=1
(1)
(i)
ak − c1j −
k=1
j−1
∑
)
(i)
ak
.
k=1
Запишем условия на экстремум первого порядка
∂L1
(1)
∂c1s
∂L1
(1)
∂λ1s
=
(1)
c1s
=
(1)
λ1s
+
m
∑
ksi = 0,
s = 2, ..., n,
i=2
+
s−2 ∑
m ∑
n
∑
kji
(1)
l=0 i=2
2
j=2+l (al+1 )
+ γs ,
s = 2, ..., n,
(3.9)
58
∂L1
(k)
∂λ1s
=−
s−2 ∑
m ∑
n
∑
(k)
kji (al+1 )2 + γs ,
s = 2, ..., n,
k = 2, ..., m.
l=0 i=2 j=2+l
Симметричный случай
Пусть игроки обслуживают пассажиров с экспоненциальным распределением времени обслуживания с одинаковым параметром µ. Тогда очевидно, что
(i)
(s)
в равновесии λ1j = λ1j =
λ1j
m
(s)
(i)
и c1j = c1j для любых j = 2, ..., n, i, s = 1, ..., m,
и решением системы является
c∗1s
s−2
n
1 ∑ ∑
=
λ1j (al+1 )2 ,
m−1
(3.10)
s = 2, ..., n,
l=0 j=2+l
где
1
ak =
.
n
∑
µ−
λ1s
s=k+1
m
Уравнения Лагранжа дают необходимые условия для определения стационарных точек функции Hi при ограничениях
(i)
(i)
gj (cZ , λZ )
=
(1)
c1j
+
j−1
∑
(1)
ak
−
(i)
c1j
−
k=1
j−1
∑
(i)
ak = 0,
i = 2, ..., m,
j = 2, ..., n.
k=1
Достаточные условия можно сформулировать следующим образом:
Определение 3.4 Матрица вида


0 P

H=
T
P Q
,
(k+p)×(k+p)
где


▽g1 (X)


▽g2 (X)






.

P =




.






.


▽gk (X)
k×p
,
(
Q=
59
)
∂ 2 Li (X,k)
,
∂xi ∂xj
p×p
∀i, j,
называется окаймленной матрицей Гессе.
Пусть имеется стационарная точка (X0 , k0 ) функции Лагранжа и окаймленная матрица Гессе
вычислена в этой стационарной точке. Тогда точка
(X0 , k0 ) является
1. Точкой максимума, если, начиная с углового минора порядка 2k+1, последующие p − k угловых миноров окаймленной матрицы Гессе H образуют
знакопеременный числовой ряд, в котором знак первого члена определяется множителем (−1)k+1 .
2. Точкой минимума, если, начиная с углового минора порядка 2k + 1, последующие p − k угловых миноров матрицы H имеют знаки, определяемые
множителем (−1)k .
Эти условия являются достаточными для определения экстремальной точки.
Утверждение 3.1. Решение системы (3.10) является точкой максимума
функции выигрыша H(cZ ).
Доказательство. Для упрощения выкладок предположим, что число игроков
равно 2. Тогда решение будет точкой максимума, если, начиная с углового минора порядка 2n − 1, последующие n − 2 угловых миноров окаймленной матрицы
Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, в котором знак первого члена
определяется множителем (−1)n . Для двух игроков равновесием будет


i−1
n
∑
∑
c∗1i =
(ak )2 
λ1j  , i = 2, ..., n,
k=1
j=k+1
где
ak =
µ−
1
n
∑
j=k+1
.
λ1j
2
60
Заметим, что матрица Гессе имеет блочный

0
En−1
 n−1

H = En−1 0n−1

An−1 En−1
вид

An−1


En−1  ,

0n−1
где E-единичная матрица размерности (n − 1 × n − 1), 0 нулевая матрица размерности (n − 1 × n − 1) и

a1
a1
a1

a1 a1 + a2
a1 + a2


An−1 = a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3


 ...
...
...

a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 ..
Рассмотрим определитель матрицы
0 ... 0
0 ... 0
... ... ...
0 ... 0
1 ... 0
∆n = ... ... ...
0 ... 1
a1 ... a1
a1 ... a2
... ... ...
a1 ... an

...
a1



a 1 + a2


a1 + a2 + a3  .



...

a1 + ... + an−1
...
...
...
.
такого вида
1 ... 0 a1 a1 ...
0 ... 0 a1 a2 ...
... ... ... ... ... ...
0 ... 1 a1 a2 ...
0 ... 0
1
0
...
... ... ... ... ... ...
0 ... 0
0
0
...
1 ... 0
0
0
...
0 ... 0
0
0
...
... ... ... ... ... ...
0 ... 1
0
0
...
a1 a2 ... an 0 ... .
1 0
0
... 0
Вычтем из первой строки (n + 1)-ю строку, домноженную на a1 , затем вычтем
(n+2)-ю строку, домноженную на a1 , и т.д., вычтем (2n+1)-ю строку, домноженную на a1 . Далее вычитаем из второй строки (n + 1)-ю строку, домноженную на
a1 , затем вычтем (n+2)-ю строку, домноженную на a2 , и т.д., вычтем (2n+1)-ю
строку, домноженную на a1 . Продолжая далее аналогичным образом получаем
61
определитель
−a1
−a1
...
−a1
1
...
0
a1
a1
...
a1
... −a1
1 ... 0
0
0 ...
... −a2
0 ... 0
0
0 ...
...
... ... ... ... ... ...
...
... −an
0 ... 1
0
0 ...
...
0
0 ... 0
1
0 ...
...
...
... ... ... ... ... ...
...
1
0 ... 0
0
0 ...
...
a1
1 ... 0
0
0 ...
...
a2
0 ... 0
0
0 ...
...
...
... ... ... ... ... ...
...
an
0 ... 1
Раскладываем определитель по
−a1
−a1
...
−a1
a1
a1
...
a1
0
0 ...
0
0
...
0
0 ....
1 0
0
...
0
(2n + 1)-му,..., (3n)-му столбцам и получаем
... −a1 1 ... 0 ... −a2 0 ... 0 ... ... ... ... ...
... −an 0 ... 1 .
... a1 1 ... 0 ... a2 0 ... 0 ... ... ... ... ...
... an 0 ... 1 Прибавляя к первой строке (n + 1)-ю строку, ко второй строке (n + 2)-ю, и т.д.,
получаем
0
...
0
a1
a1
...
a1
... 0
2 ...
... ... ... ...
... 0
0 ...
... a1 1 ...
... a2 0 ...
... ... ... ...
... an 0 ...
0 ...
a1
2
0
n
n(n+2) 0 = 2 (−1)
...
0
0
...
1
...
...
...
...
a1
a 2 − a1 =
...
an − an−1 62
= 2n (−1)n(n+2) a1 Πn−1
j=1 (aj+1 − aj ).
Несложно показать, что минор размерности 2n−1+i, где i = 1, .., n−1 матрицы
Гессе для транспортной игры на линейном маршруте можно свести к виду
0i+1 Ei+1 Ai+1 i+1
(n+5i+8)(n−2−i) ∆i = 2 (−1)
Ei+1 0i+1 Ei+1 =
Ai+1 Ei+1 0i+1 = 2i+1 (−1)(n+5i+8)(n−2−i)+(i+1)(i+3) Πi+1
j=1 (aj ),
причем степень (n + 5i + 8)(n − 2 − i) определяется четностью n + i. Тогда
∆i = 2i+1 (−1)n+i (−1)(i+1)(i+3) Πi+1
j=1 (aj ),
а минор размерности 2n − 1 равен
∆0 = 2(−1)n a1 ,
что означает, что последовательность миноров, начиная с (2n−1)-ого, окаймленной матрицы Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, в котором знак
первого члена, который соответствует i = 0, определяется множителем (−1)n .
Утверждение доказано.
Несимметричный случай
В несимметричном случае равновесием будет решение следующей системы


(i)
c1s
=
s−2 ∑
n
∑

(i) 
λ1j (ail+1 )2
l=0 j=2+l



,
m
∑
(i) −2 
(al+1 )
1
+
s = 2, ..., n,
(3.11)
j = 2, ..., n,
(3.12)
k=2,k̸=i
(1)
c1j
+
j−1
∑
k=1
(1)
ak
−
(i)
c1j
−
j−1
∑
(i)
ak = 0,
i = 2, ..., m,
k=1
λ1s =
m
∑
i=1
(i)
λ1s ,
s = 2, 3, ..., n.
(3.13)
63
Вычисления для случая m = 2, n = 4 системы (3.11)-(3.13) представлены в
таблицах 3.1, 3.2, 3.4, в которых вычислены равновесные цены и представлено
разбиение потоков при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4.
(1)
(2)
Таблица 3.1. Значение (c12 , c12 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4
µ2
5
µ1
6
7
8
9
6
7
8
9
(1)
(2)
(13,87;13,03)
(4;4)
(1)
(2)
(0,988;1,02)
(1;1)
(1)
(2)
(9,92;8,98)
(2,54;2,37)
(1,44;1,44)
(1)
(2)
(0,92;1,08)
(0,996;1,004)
(1;1)
(1)
(2)
(8,34;7,36)
(1,95;1,71)
(1,08;1)
(0,735;0,735)
(1)
(2)
(0,86;1,14)
(0,98;1,02)
(0.999;1,001)
(1;1)
(1)
(2)
(7,499;6,51)
(1,63;1,37)
(0,88;0,77)
(0,596;0,55)
(0,44;0,44)
(1)
(2)
(0,8;1,2)
(0,96;1,04)
(0.99;1,01)
(0,999;1,001)
(1;1)
(c12 ;c12 )
(λ12 ;λ12 )
(c12 ;c12 )
(λ12 ;λ12 )
(c12 ;c12 )
(λ12 ;λ12 )
(c12 ;c12 )
(λ12 ;λ12 )
(1)
(2)
Таблица 3.2. Значение (c13 , c13 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4
µ2
5
µ1
6
7
8
9
6
7
8
9
(1)
(2)
(15,87;14,86)
(5,12;5,12)
(1)
(2)
(1,496;1,504)
(1,5;1,5)
(1)
(2)
(11,46;10,28)
(3,39;3,14)
(2,01;2,01)
(1)
(2)
(1,48;1,52)
(1,498;1,504)
(1,5;1,5)
(1)
(2)
(9,64;8,39)
(2,65;2,29)
(1,54;1,43)
(1,08;1,08)
(1)
(2)
(1,45;1,55)
(1,49;1,51)
(1.499;1,501)
(1,5;1,5)
(1)
(2)
(8,65;7,37)
(2,24;1,82)
(1,29;1,1)
(0,89;0,82)
(0,676;0,676)
(1)
(2)
(1,42;1,58)
(1,48;1,52)
(1.496;1,504)
(1,499;1,501)
(1,5;1,5)
(c13 ;c13 )
(λ13 ;λ13 )
(c13 ;c13 )
(λ13 ;λ13 )
(c13 ;c13 )
(λ13 ;λ13 )
(c13 ;c13 )
(λ13 ;λ13 )
Из результатов моделирования, представленных в таблицах, мы видим, что
с увеличением расстояния цены на билеты увеличиваются, но не линейным об-
64
разом. Кроме того, увеличение интенсивности обслуживания ведет к удешевлению стоимости проезда. Также заметим, что если интенсивность обслуживания
одной из компаний больше, чем у другой, то на коротких дистанциях посетители предпочтут пользоваться услугами той компании, где цена на обслуживание
дешевле, а на более длинных дистанциях той компанией, у которой больше
интенсивность обслуживания.
(1)
(2)
Таблица 3.3. Значение (c14 , c14 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4
µ2
5
µ1
(1)
6
9
8
(16,23;15,17)
(5,37;5,37)
(1) (2)
(λ14 ;λ14 )
(2,16;1,84)
(2;2)
(c14 ;c14 )
(11,78;10,51)
(3,6;3,32)
(2,17;2,17)
(1) (2)
(λ14 ;λ14 )
(2,32;1,68)
(2,17;1,83)
(2;2)
(c14 ;c14 )
(9,92;8,57)
(2,85;2,43)
(1,69;1,55)
(1,19;1,19)
(1) (2)
(λ14 ;λ14 )
(2,47;1,53)
(2,33;1,67)
(2.17;1,83)
(2;2)
(1)
8
7
(c14 ;c14 )
(1)
7
(2)
6
(2)
(2)
9
(1)
(2)
(8,91;7,51)
(2,42;1,94)
(1,42;1,2)
(0,996;0,911)
(0,76;0,76)
(1)
(2)
(2,599;1,401)
(2,48;1,52)
(2.33;1,67)
(2,17;1,83)
(2;2)
(c14 ;c14 )
(λ14 ;λ14 )
3.6. Конкуренция игроков на графе G3
Рассмотрим конкуренцию m игроков на графе G3 , изображенном на рисунке 3.3. Пусть Γ =< N, G3 , Zi∈M , Hi∈M > – транспортная игра, где M –
это множество конкурирующих транспортных компаний, которые обслуживают
пассажиров, как и раньше, с экспоненциальным распределением времени обслуживания с параметрами µi , i = 1, ..., m на графе G3 =< V, E >. V = {1, ..., n}
– это множество вершин, E = {e12 , ..., e1n } - множество ребер. Обозначим множество маршрутов игрока i как Zi = {R1i , R2i }, где каждый игрок имеет два
маршрута R1i = {1, ..k, .., n1 } и R2i = {1, .., k, n1 + 1, .., n}, i = 1, ..., m. Поток
пассажиров образует пуассоновский процесс с матрицей интенсивностей Λ, где
65

0 λ12 λ13


0 0
0
Λ=

0 0
0

0 0
0

... λ1n
...
...
...


0 
.

0 

0
Транспортные компании назначают цену на обслуживание ci1j , i = 1, ..., m,
j = 2, ...n, и пассажиры выбирают услугу игрока с наименьшими затратами.
Тогда входящий поток Λ разбивается на m пуассоновских потока с интенсивноm
∑
стями λ1j =
λi1j , j = 2, ..., m.
i=1
Рис. 3.3. Конкуренция игроков на графе G3
Балансовые уравнения примут вид
(1)
c1j
+
j−1
∑
(1)
ak
−
(i)
c1j
k=1
(1)
c1j +
k−1
∑
s=1
a(1)
s +
j−1
∑
−
j−1
∑
(i)
ak = 0,
i = 2, ..., m,
j = 2, ..., n1 ,
(3.14)
k=1
(i)
a(1)
s −c1j −
s=n1
k−1
∑
a(i)
s −
j−1
∑
a(i)
s = 0, i = 2, ..., m, j = n1 +1, ..., n,
s=n1
s=1
где
a(i)
s =
µ(i) −
1
n
∑
,
t=s+1
as(i) =
a(i)
s =
µ(i)
2
µ(i)
2
−
1
n1
∑
t=s+1
−
1
n
∑
t=s+1
i = 1, ..., m,
(i)
λ1t
,
i = 1, ..., m,
s = k, ..., n1 − 1,
,
i = 1, ..., m,
s = n1 , ..., n − 1,
(i)
λ1t
(i)
λ1t
s = 1, ..., k − 1,
(3.15)
66
это задержки на ребре ekk+1 . Таким образом, разделение начального маршрута
на две части характеризуется разделением интенсивности обслуживания.
Выигрыш i-ого игрока равен
(1)
(m)
Hi (cZ , ..., cZ )
=
n
∑
(i) (i)
c1j λ1j .
j=2
Построим функцию Лагранжа для игрока 1 при ограничениях (3.14).
( m
)
n
n
∑
∑
∑
(1) (1)
(i)
L1 =
c1j λ1j +
γj
λ1j − λ1j +
j=2
+
n1
m ∑
∑
j=2
(
(1)
kji
c1j +
i=2 j=2
+
kji
(1)
c1j +
k−1
∑
a(1)
s +
(i)
j−1
∑
)
(i)
ak
+
k=1
j−1
∑
(i)
a(1)
s − c1j −
k−1
∑
s=n1
s=1
i=2 j=n1 +1
(1)
ak − c1j −
k=1
(
m
n
∑
∑
j−1
∑
i=1
a(i)
s −
j−1
∑
)
a(i)
.
s
s=n1
s=1
Аналогичным образом можно построить функции Лагранжа для всех игроков.
Необходимые условия существования экстремальной точки приводят к равенствам

(i)
c1s
=
s−2 ∑
n
∑
l=0 j=2+l


(i) 
λ1j (ail+1 )2

+
1
m
∑
k=2,k̸=i
(i)
(al+1 )


,
−2 

(i)
c1s
=
k−2 ∑
n
∑


(i) 
λ1j (ail+1 )2

l=0 j=2+l
+
+

(i) 
λ1j (aik+l−1 )2

l=1 j=k+l


+
m
∑
(i) −2 
(al+1 )
1
k=2,k̸=i

n1
s−k ∑
∑



,
m
∑

(i)
−2
(ak+l−1 )
1
+
k=2,k̸=i
=
k−2 ∑
n
∑
l=0 j=2+l

(i) 
λ1j (ail+1 )2

s = k + 1, ..., n1 ,


(i)
c1s
s = 2, ..., k,
+


+
m
∑
(i) −2 
(al+1 )
1
k=2,k̸=i
(3.16)
67

+
s−n
∑1


n
∑
(i) 
λ1j (ain1 +l−1 )2

l=1 j=n1 +l


,
m
∑

(i)
(an1 +l−1 )−2
1
+
s = n1 , ..., n,
k=2,k̸=i
(i)
для i = 1, 2, ..., m, где as определяется из (3.15). Системой из (3.14)-(3.16)
определяются равновесные цены и интенсивности потоков в транспортной игре
на G3 .
Таблица 3.4. Значение равновесных цен при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 3, λ15 = 4, µ2 = 9
µ
цены
7
8
9
(1)
(2)
(1)
(2)
14,08;12,83 6,25;5,92
(1)
(2)
14,64;13,28 6,67;6,29 4,33;4,33
(1)
(1)
c12 , c12
c13 , c13
c14 , c14
c15 , c15
4,69;4,28
2,08;1,97 1,33;1,33
4;4
5,87;5,28
2,9;2,74
1,97;1,97
потоки
(1)
(2)
0,98;1,02
0,99;1,01
1;1
(1)
(2)
1,48;1,52
1,49;1,51
1,5;1,5
(1)
(2)
1,66;1,34
1,58;1,42
1,5;1,5
(1)
(1)
2,16;1,84
2,08;1,92
2;2
λ12 , λ12
λ13 , λ13
λ14 , λ14
λ15 , λ15
В таблице 3.4 представлены значения равновесных цен и интенсивностей
потоков для случая конкуренции двух игроков на G3 при λ12 = 2, λ13 = 3,
λ14 = 3, λ15 = 4, µ1 = 9.
Из таблицы видно, что чем больше интенсивность обслуживания компании, тем меньше цену на обслуживание компания назначает.
68
3.7. Выводы к третьей главе
Итак, сформулирована общая постановки транспортной игры, когда поток
пассажиров образует пуассоновский процесс. Каждый игрок – транспортная
компания имеет ряд маршрутов, которые она обслуживает. На каждом маршруте компания задает цену на проезд, и пассажиры выбирают услугу игрока с
наименьшими затратами, которые складываются из цены на билет плюс ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания. Рассмотрена
модель пассажироперевозок, в которой исследуется конкуренции m игроков на
графах. Для линейного маршрута доказано, что найденное равновесие является не только необходимым, но и достаточным условием для определения экстремальной точки. Исследован граф, в котором происходит разделение потока
пассажиров. Из результатов моделирования следует, что чем больше интенсивность обслуживания компании, тем меньше цену на обслуживание компания
назначает. Если интенсивность обслуживания одной из компаний больше, чем
у другой, то на коротких дистанциях посетители предпочтут пользоваться услугами той транспортной компании, у которой меньше цена на обслуживание, а
на длинных дистанциях той, у которой больше интенсивность обслуживания.
69
Глава 4
Равновесие в транспортной игре с
BP R-задержками
4.1. Введение
В предыдущей главе рассматривались транспортные игры на графах, ко∑
гда задержки на ребрах графа имели вид 1/(µiR − λiR ), т. е. ожидаемое время
R
пребывания пользователя в системе обслуживания. В настоящей главе рассмотрим другой вид задержек, а именно BP R-задержки [37].
Определение 4.1 BP R-функцией (Bureau of Public Road) называется функция следующего вида
(
Se (λe ) = te
)
( λe )β
1+h
,
de
в которой затраты на передвижение по ребру e зависят от потока по этом ребре
λe , удельных затрат на передвижение по пустому ребру te , пропускной способности ребра de , h и β – некоторые положительные константы. Параметр β в
формуле BP R-задержки показывает, что если на дороге образовалась пробка,
то время, проведенной в этой пробке растет в соответствии с этим параметром.
te – это время передвижения по свободному пути, когда поток по ребру равен
0. Без ограничения общности, положим коэффициент h равным 1, поскольку
его можно включить в параметр de .
Начнем рассмотрение транспортной модели с сети, состоящей из двух параллельных маршрутов, задержки на которых имеют линейный BP R вид:
)
(
λ1
,
t1 1 +
d1
)
(
λ2
.
t2 1 +
d2
Предположим, что каждый маршрут обслуживается транспортной компанией
70
(фирмой). Предположим, что t1 < t2 и выполняется следующее условие
)
(
λ
< t2 .
t1 1 +
d1
В этом случае весь трафик λ пойдет по первому маршруту. Естественно, в этом
случае первой фирме можно ввести плату за сервис c1 . Затраты для пассажиров при пользовании первым сервисом, будем вычислять в виде суммы платы
за сервис и затрат на задержку, выраженной в деньгах. Соответствующий коэффициент можно включить в параметр t1
(
)
λ
.
c1 + t1 1 +
d1
До тех пор, пока будет выполняться неравенство
(
)
λ
c1 + t1 1 +
≤ t2 ,
d1
пассажиры будут предпочитать первый сервис. Если увеличение платы за сервис продолжится, поток с интенсивностью λ разобьется на два подпотока λ1 и
λ2 , которые можно найти из уравнений баланса.
Задачей настоящей главы является исследование теоретико-игровой модели ценообразования в условиях конкуренции m игроков – транспортных компаний, обслуживающих свои маршруты, при различных параметрах BP R- задержки. Поэтому опишем общую постановку задачи для данной модели.
4.2. Постановка задачи
Рассмотрим конкуренцию m транспортных компаний на m параллельных
маршрутах. Каждая компания обслуживает пассажиров на своем маршруте,
назначая цену на обслуживание ci , i = 1, ..., m соответственно. Для удобства
перенумеруем маршруты таким образом, чтобы задержки на них образовывали неубывающую последовательность, т. е. t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tm . Поток пассажиров
71
λ разбивается на m потоков λi ,
m
∑
λi = λ, в соответствии с балансовыми урав-
i=1
(
нениями
(
c1 + t1 1 +
(
= c2 + t 2 1 +
(
λ2
d2
)β )
λ1
d1
)β )
=
(
(
= ... = cm + tm 1 +
λm
dm
)β )
.
(4.1)
Считая, что все игроки участвуют в конкуренции, можно записать выигрыши
игроков, которые являются доходами транспортных компаний, а именно
Hi = ci λi ,
i = 1, 2, ..., m.
Одним из методов нахождения условного экстремума функции при ограничениях в виде равенств является метод Лагранжа, который был рассмотрен в
предыдущей главе. Будем использовать этот метод и в настоящей главе.
4.3. Транспортная игра с линейной функцией задержки
Для того, чтобы сформулировать условия, при которых транспортные компании являются конкурентоспособными, и определить, как параметры BP R
функции влияют на равновесие в игре ценообразования, начнем рассмотрение
предложенной модели с линейного случая.
4.3.1. Транспортная игра на двух параллельных маршрутах с
линейной функцией задержки
Начнем рассмотрение игры двух лиц на транспортной сети, состоящей из
двух параллельных маршрутов, изображенной на рисунке 4.1. Уравнение баланса (4.1) при m = 2, β = 1 примет вид
)
(
)
(
λ2
λ1
= c2 + t2 1 +
.
c1 + t1 1 +
d1
d2
(4.2)
72
Рис. 4.1. Два параллельных маршрута
Уравнение (4.2) перепишем в виде
(
)
(
)
λ1
λ − λ1
c1 + t1 1 +
= c2 + t2 1 +
.
d1
d2
Так как это уравнение является линейным относительно своих параметров,
можно выразить λ1 из этого уравнения. Тогда функция выигрыша первого первого игрока – это вогнутая парабола
(

c2 − c1 + t2 1 +

H1 = c 1
t2
t1
d1 + d2
λ
d2
)

− t1  ,
и точкой максимума является точка
c∗1 = λ1
(
t1
t2
+
d1 d2
)
.
Аналогично, для второго игрока имеем
)
(
t2
t1
∗
+
.
c2 = λ2
d1 d2
Заметим, что в транспортной игре, где пассажиры выбирают сервис, исходя
только из задержки, поток может пойти только по одному из маршрутов. В
игре же с платой за сервис, пассажиры распределяются по всем каналам.
Таким образом, равновесием в игре ценообразования с линейной функцией
задержки являются
c∗1
( (
)
(
))
λ
λ
1
t1
− 1 + t2 1 + 2
,
=
3
d1
d2
(4.3)
73
( (
)
(
))
1
λ
λ
∗
c2 =
t2
− 1 + t1 1 + 2
.
3
d2
d1
Численные примеры
(4.4)
Для того, чтобы понять как именно параметры модели влияют на равновесие и на разбиение потоков пассажиров в данной игре, рассмотрим численные
примеры. Для начала рассмотрим симметричный случай, когда время передвижения по ребру и пропускная способность для обоих серверов одинаковая, т.
е. t1 = t2 = t, d1 = d2 = d. Тогда очевидно, что цены в равновесии будут одинаковыми для двух сервисов, и поток пассажиров разобьется поровну, между
двумя ними. Равновесные цены равны
λ
c∗1 = c∗2 = t .
d
Таким образом, цены в равновесии пропорциональны времени на передвижение по пустой дороге. Увеличение пропускной способности приводит к уменьшению цен.
Таблица 4.1. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=1, d1 = d2 = 2, β = 1
t1
t2
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 )
(0,5;0,5)
(λ1 ; λ2 )
(0,5;0,5)
(c∗1 ; c∗2 )
(1,16;0,33)
2
(λ1 ; λ2 ) (0,78;0,22)
3
4
(c∗1 ; c∗2 )
2
3
(1;1)
(0,5;0,5)
(1,83;0,16) (1,67;0,83)
(1,5;1,5)
(λ1 ; λ2 ) (0,92;0,08) (0,67;0,33)
(0,5;0,5)
(c∗1 ; c∗2 )
(2,5;0)
(λ1 ; λ2 )
(1;0)
4
(2,33;0,67) (2,16;1,33)
(2;2)
(0,78;0,22) (0,62;0,38) (0,5;0,5)
Теперь предположим, что t1 ̸= t2 , d1 = d2 = d. Вычисления представлены в
таблице 4.1
74
Получаем, что при увеличении времени на передвижение у второго игрока,
равновесная цена первого игрока увеличивается. В то же время, если весь поток λ меньше, чем пропускная способность ребра первого игрока, то увеличение
времени на передвижение по первому ребру ведет к уменьшению равновесной
цены первого игрока. Чтобы равновесие существовало, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие
λ≥
t2 − t1
.
2 dt11 + dt22
В этом случае значения цен в формулах (4.3)-(4.4) будут неотрицательны.
4.3.2. Транспортная игра на трех параллельных маршрутах с
линейной функцией задержки
Увеличим количество игроков. Рассмотрим конкуренцию трех транспортных компаний на трех параллельных маршрутах (рисунок 4.2). Каждая компания обслуживает пассажиров на своем ребре, назначая соответственно цену на
обслуживание ci , i = 1, 2, 3. Поток пассажиров λ разбивается на три потока λi ,
λ1 + λ2 + λ3 = λ, в соответствии с балансовыми уравнениями
)
(
)
(
)
(
λ1
λ2
λ3
= c2 + t2 1 +
= c3 + t 3 1 +
.
c1 + t1 1 +
d1
d2
d3
Нас интересует вопрос, как изменится равновесие с увеличением конкуренции.
Рис. 4.2. Три параллельных маршрута
75
Построим функцию Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока на стратегии c2 и c3 .
(
)
(
))
λ2
λ1
L1 = c1 λ1 + k1 c1 + t1 1 +
− c 2 − t2 1 +
+
d1
d2
(
(
)
(
))
λ1
λ3
k2 c1 + t1 1 +
− c3 − t3 1 +
+
d1
d3
(
(4.5)
+ γ(λ1 + λ2 + λ3 − λ).
Дифференцируем (4.5)
∂L1
= λ1 + k1 + k2 = 0,
∂c1
∂L1
k1 + k2
= c1 + t1
+ γ = 0,
∂λ1
d1
k1
∂L1
= −t2 + γ = 0,
∂λ2
d2
k2
∂L1
= −t3 + γ = 0,
∂λ3
d3
откуда
(
c1 = λ1
t1
+
d1
d2
t2
1
+
)
d3
t3
.
Проделывая аналогичную процедуру для всех игроков, получим что равновесие
в игре с тремя параллельными маршрутами имеет вид
(
)
t1
1
+ d2 d3 ,
c1 = λ1
d1
t2 + t3
(
)
1
t2
+ d1 d3 ,
c2 = λ2
d2
t1 + t3
(
)
1
t3
c3 = λ3
+ d1 d2 ,
d3
t1 + t2
λ1 =
λ−
t1 −t2
b2
(
1 + b1
λ2 =
λ−
1
b2
t2 −t1
b1
1 + b2
(
−
+
−
1
b1
t1 −t3
b3
1
b3
),
t2 −t3
b3
+
1
b3
),
76
λ−
λ3 =
t3 −t1
b1
(
1 + b3
−
1
b1
t3 −t2
b2
+
1
b2
),
где
bi =
2ti
+
di
1
3
∑
j=1,j̸=i
,
i = 1, 2, 3.
dj
tj
Численные примеры
Рассмотрим симметричный случай, когда задержка на пустой дороге и
пропускная способность все ребер одинаковая. Тогда, как и раньше, поток пассажиров разбивается на три равных потока. А цены
c∗1 = c∗2 = c∗3 = t
λ
,
2d
что ровно в два раза меньше, чем в случае конкуренции двух игроков. Таким
образом, увеличение конкуренции приводит к уменьшению равновесных цен.
Значения равновесных цен представлены в таблице 4.2, где λ = 10, t1 = 1,
d1 = d2 = d3 = 2.
Таблица 4.2. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 1
t2
t3
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(2,5;2,5;2,5)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,33;3,33;3,33)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(3,83;3,83;2,17)
(6,86;4,23;4,23)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(4,38;4,38;1,24)
(5,5;2,25;2,25)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(4,14;4,14;1,8)
(7,76;4,82;4,14)
(8,93;4,86;4,86)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(4,6;4,6;0,8)
(5,72;2,54;1,74)
(5,96;2,02;2,02)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(4,71;4,71;0,1)
(9,78;6,13;3,06)
(11,7;6,54;4,14)
(17,04;7,08;7,08)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(4,99;4,99;0,02)
(6,15;3,15;0,7)
(6,38;2,68;0,94)
(6,8;1,6;1,6)
3
4
8
3
4
8
77
4.3.3. Транспортная игра на m параллельных маршрутах с
линейной функцией задержки
Перейдем к рассмотрению конкуренции m транспортных компаний на m
параллельных маршрутах (рисунок 4.3). После объявления цен транспортными компаниями, входящий поток пассажиров, выбирает сервис, которым он
воспользуется в соответствии с балансовыми уравнениями
(
)
(
)
(
)
λ1
λ2
λm
c1 + t1 1 +
= c2 + t2 1 +
= ... = cm + tm 1 +
.
d1
d2
dm
Функция Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока на стратегии конкурентов ci , i = 2, 3, ..., m равна
)
(
))
(
(
m
∑
λi
λ1
− ci − ti 1 +
+
L1 = c1 λ1 +
ki c1 + t1 1 +
d
d
1
i
i=2
+ γ(
m
∑
λi − λ).
i=1
Рис. 4.3. m параллельных маршрутов
Дифференцируем
∑
∂L1
= λ1 +
ki = 0,
∂c1
i=2
m
m
∑
ki
∂L1
i=2
= c1 + t1
+ γ = 0,
∂λ1
d1
78
∂L1
ki
= −ti + γ = 0.
∂λi
di
Находя наилучшие ответы всех игроков на стратегии конкурентов, приходим к
равновесному решению игры m лиц

t
 i
ci = λi  +
 di



,
dj 
1
m
∑
j=1,j̸=i
m
∑
λ−
j=1,j̸=i
(
λi =
1 + bi
j=1,j̸=i
(4.6)
tj
ti −tj
bj
m
∑
i = 1, ..., m,
),
i = 1, ..., m,
(4.7)
1
bj
где
bi =
2ti
+
di
1
m
∑
j=1,j̸=i
,
i = 1, ..., m.
dj
tj
Для того, чтобы существовало равновесие, необходимо, чтобы
λ≥
m−1
∑
j=1
tm − tj
.
bj
(4.8)
При выполнении этого условия значения равновесных цен будут неотрицательны. Заметим, что нам достаточно взять только i = m, в связи с тем, что значения ti упорядочены по возрастанию. Таким образом, доказана следующая
теорема:
Теорема 4.1. Если выполнено условие (4.8), то равновесные цены имеют вид
(4.6)-(4.7).
Численные примеры
Рассмотрим конкуренцию десяти игроков, каждый из которых обслуживает свой маршрут. Значения равновесных цен и интенсивностей потоков представлены в таблицах 4.3, 4.4.
79
Таблица 4.3. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 1
d
c1
c2
c3
c4
c5
c6
1 47,54 42,56 40,74 39,61 38,75
2 24,55 21,72 20,53
19,7
38
19,01 18,39
c7
c8
c9
c10
37,33 36,71 36,11 35,53
17,8
17,23 16,68 16,14
3 16,89 14,77 13,79 13,07 12,43 11,85 11,28 10,74
10,2
9,67
4 13,06
11,3
10,42
9,75
9,14
8,58
8,03
7,49
6,96
6,44
5 10,76
9,21
8,4
7,76
7,17
6,61
6,07
5,54
5,02
4,5
6
9,23
7,82
7,06
6,43
5,85
5,31
4,77
4,25
3,73
3,21
7
8,14
6,83
6,09
5,48
4,91
4,37
3,84
3,32
2,8
2,29
Таблица 4.4. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 1
d
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
λ6
λ7
λ8
λ9
λ10
1 31,31 17,65 12,04 9,06 7,22 5,97 5,07 4,39 3,86 3,43
2 32,34 18,01 12,13 9,01 7,09 5,78 4,84 4,12 3,57 3,12
3 33,37 18,37 12,22 8,96 6,95 5,59
4,6
3,85 3,27
2,8
4 34,41 18,74 12,32 8,92 6,82 5,39 4,36 3,59 2,98 2,49
5 35,44
19,1
12,41 8,87 6,68
6 36,47 19,46 12,51 8,82 6,55
7 37,51 19,82
12,6
5,2
4,13 3,32 2,68 2,17
5
3,89 3,05 2,39 1,86
8,77 6,41 4,81 3,65 2,78
2,1
1,55
Из таблиц видно, что чем больше задержка на пустой дороге игрока по
сравнению с конкурентами, тем ниже цена на обслуживание, которую назначает эта компания. С ростом пропускной способности у всех игроков уменьшается цена, но поток пассажиров, предпочитающих воспользоваться услугами
транспортной компании с малыми значениями t увеличивается, а с большими
значениями этого параметра – уменьшается. Таким образом, для пассажиров
большую роль играет время нахождения в пути, чем цена.
80
4.4. Транспортная игра с квадратической функцией
задержки
Перейдем к рассмотрению нелинейной задержки на сегменте, состоящем
из m параллельных маршрутов, которые обслуживают игроки – транспортные
компании, а именно β = 2.
(
ti
( )2 )
λ
.
1+
di
Заметим, что в случае с линейной задержкой, если поток был равен пропускной
способности, то задержка на дороге была бы в два раза больше, чем задержка на
пустой дороге. В случае квадратической задержки, это остается также, но если
поток больше, чем пропускная способность, то время, пройденное по каналу
растет нелинейно. Нас интересует, как именно изменится равновесие в данной
транспортной игре.
4.4.1. Транспортная игра на двух параллельных маршрутах с
квадратической функцией задержки
Рассмотрим две транспортные компании, обслуживающие два параллельных маршрута. Запишем условия баланса
(
(
( )2 )
( )2 )
λ1
λ2
c1 + t1 1 +
= c2 + t2 1 +
.
d1
d2
(4.9)
Отметим, что если задержка на канале t2 намного больше t1 при маленьком
входящем потоке, то даже если второй игрок назначит цену на обслуживание
равную нулю, его сервисом пользоваться не будут, и, таким образом, он не
участвует в конкуренции, т. е.
(
c1 + t1 1 +
(
λ
d1
)2 )
< t2 .
Выигрыши игроков, как и раньше, имеют вид
H 1 = c1 λ 1 ,
H2 = c2 λ2 .
81
Найдем наилучший ответ первого игрока на стратегию c2 второго игрока находится из условия
∂H1
∂λ1
= λ1 + c1
= 0,
∂c1
∂c1
откуда
λ1
c1 = − ∂λ1 .
∂c1
Дифференцируем (4.9), учитывая, что λ1 + λ2 = λ
(
)−1
∂λ1
2t1 λ1 2t2 λ2
=−
+ 2
.
∂c1
d21
d2
Получим, что
(
c1 = λ1
2t1 λ1 2t2 λ2
+ 2
d21
d2
)
.
(4.10)
.
(4.11)
Для второго игрока имеем
(
c2 = λ2
2t1 λ1 2t2 λ2
+ 2
d21
d2
)
Таким образом, системой уравнений (4.9)-(4.11), при условии, что λ1 + λ2 = λ,
определяются равновесные цены.
Численные примеры
В симметричном случае, когда t1 = t2 = t, d1 = d2 = d решением системы
будут
λ
λ1 = λ2 = ,
2
( )2
λ
c∗1 = c∗2 = t
.
d
Таким образом, цены в равновесии пропорциональны квадрату времени на передвижение по пустой дороге. Увеличение пропускной способности приводит к
значительному уменьшению цен.
Теперь предположим, что t1 ̸= t2 , d1 = d2 = d. Вычисления представлены
в таблице 4.5.
82
Таблица 4.5. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 2
t1
t2
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 )
(25;25)
(λ1 ; λ2 )
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(41,62;40,95)
(50;50)
(λ1 ; λ2 )
(5,91;4,09)
(5;5)
2
3
4
(c∗1 ; c∗2 )
2
(55,08;53,74) (67,68;67,01)
3
4
(75;75)
(λ1 ; λ2 )
(6,42;3,58)
(5,53;4,47)
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(66,65;64,65)
(83,23;81,9)
(93,1;92,44) (100;100)
(λ1 ; λ2 )
(6,77;3,23)
(5,91;4,09)
(5,38;4,62)
(5;5)
Если положить d = 4, то, например, в случае t1 = t2 = 4 равновесными ценами
будут c1 = c2 = 25. Таким образом, чем больше время передвижения по пустой
дороге, тем выше цена, но увеличение пропускной способности d, ведущее к
сокращению времени передвижения сильно уменьшает цену.
4.4.2. Транспортная игра на трех параллельных маршрутах с
квадратической функцией задержки
Игроки I, II и III обслуживают три параллельных маршрута. Игроки
назначают соответственно цену на своем канале и входящий поток пассажиров
λ разобьется на три потока λ1 , λ2 и λ3 , значения которых можно найти из
уравнений баланса
(
(
(
( )2 )
( )2 )
( )2 )
λ2
λ3
λ1
= c2 + t 2 1 +
= c3 + t 3 1 +
, (4.12)
c1 + t 1 1 +
d1
d2
d3
λ1 + λ2 + λ3 = λ.
83
Запишем необходимые условия для определения экстремальных точек функции
H1 при ограничениях (4.12)
(
(
(
L1 = c1 λ1 + k1 c1 + t1 1 +
(
(
(
+ k2 c1 + t1 1 +
λ1
d1
λ1
d1
)2 )
(
(
− c 2 − t2 1 +
)2 )
(
(
− c3 − t3 1 +
λ3
d3
λ2
d2
)2 ))
+
)2 ))
+
+ γ(λ1 + λ2 + λ3 − λ).
Дифференцируя это уравнение, получим
∂L1
= λ1 + k1 + k2 = 0,
∂c1
∂L1
2λ1 t1
= c1 + 2 (k1 + k2 ) + γ = 0,
∂λ1
d1
∂L1
2λ2 t2
= − 2 (k1 ) + γ = 0,
∂λ2
d2
∂L1
2λ3 t3
= − 2 (k2 ) + γ = 0.
∂λ3
d3
Составляя аналогичным образом функции Лагранжа для двух оставшихся игроков, приходим к системе, которая определяет равновесие в игре с тремя параллельными маршрутами
(
c1 = 2λ1
(
c2 = 2λ2
(
c3 = 2λ3
t1 λ1
+
d21
t2 λ2
+
d22
t3 λ3
+
d22
)
1
d22
t 2 λ2
+
d23
t 3 λ3
+
d23
t 3 λ3
1
d21
t 1 λ1
+
(4.13)
,
(4.14)
.
(4.15)
)
1
d21
t 1 λ1
,
d22
t 2 λ2
)
Таким образом, системой уравнений (4.12)-(4.15), при условии, что λ1 +λ2 +λ3 =
λ, определяются равновесные цены.
84
Численные примеры
В симметричном случае, когда t1 = t2 = t3 = t, d1 = d2 = d2 = d решением
системы будут
λ
λ1 = λ2 = λ3 = ,
3
( )2
t λ
c∗1 = c∗2 = c∗2 =
.
3 d
Таким образом, c увеличением конкуренции, как и в случае с линейным видом
задержки, цены в равновесии становятся меньше.
Для несимметричного случая, вычисления представлены в таблице при
d1 = d2 = d3 = 2. Вычисления представлены в таблице 4.6.
Таблица 4.6. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 2
t2
t3
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(8,3;8,3;8,3)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,3;3,3;3,3)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(10,7;10,7;9,5)
(14;12,6;12,6)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,67;3,67;2,66)
(4;3;3)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(12,2;12,2;10)
(16,2;14,3;13,5)
(18,9;15,8;15,8)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,86;3,86;2,28)
(4,2;3,19;2,61)
(4,4;2,8;2,8)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(13,3;13,3;10,2)
(17,8;16;14)
(20,9;17,6;16,6)
(23,3;18,6;18,6)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,99;3,99;2,02)
(4,33;3,53;2,34)
(4,53;2,94;2,53)
(4,66;2,67;2,67)
2
3
4
2
3
4
4.4.3. Транспортная игра на m параллельных маршрутах с
квадратической функцией задержки
При конкуренции m транспортных компаний на m параллельных маршруm
∑
тах входящий поток пассажиров λ разбивается на m потока λi ,
λi = λ, где
i=1
λi можно найти из условий
(
(
(
( )2 )
( )2 )
( )2 )
λ2
λm
λ1
= c2 + t2 1 +
= ... = cm + tm 1 +
.
c1 + t1 1 +
d1
d2
dm
85
Функция Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока на стратегии ci , i = 2, 3, ..., m равна
(
(
(
( )2 )
( )2 ))
m
∑
λ1
λi
L1 = c1 λ1 +
ki c1 + t1 1 +
− ci − ti 1 +
+
d
d
1
i
i=2
+ γ(
m
∑
λi − λ).
i=1
Запишем необходимые условия
∑
∂L1
= λ1 +
ki = 0,
∂c1
i=2
m
m
∑
ki
∂L1
i=2
= c1 + 2λ1 t1
+ γ = 0,
∂λ1
(d1 )2
ki
∂L1
= −2λi ti
+ γ = 0.
∂λi
(di )2
Построив аналогичным образом функции Li , i = 2, ..., m приходим к равновесному решению игры m лиц

tλ
 i i
ci = 2λi 
+
 (di )2



,
m
∑ (dj )2 

1
j=1,j̸=i
i = 1, ..., m,
(4.16)
tj λ j
Численные примеры
В модели с линейными задержками был рассмотрен пример для десяти
игроков. Рассмотрим этот же пример конкуренции десяти игроков, но с квадратической функцией задержки. Значения равновесных цен и интенсивностей
потоков представлены в таблицах 4.7, 4.8.
Заметим, что у игроков с низкой задержкой на канале, а именно для игроков с первого по четвертого, с ростом пропускной способности растет и количество пассажиров, предпочитающих воспользоваться этим сервисом. Для
остальных игроков, увеличение пропускной способности ведет к уменьшению
потока пассажиров.
86
Таблица 4.7. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 2
d
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
1 930,8 909,2 899,9 894,2 890,3 887,2 884,6 882,5 880,6 878,9
2 234,5 228,6 225,7 223,8 222,3
221
219,9 218,8 217,9 216,9
3 105,6 102,5 100,9
99,7
98,6
97,7
96,8
95,9
4 60,42 58,41 57,19
56,2
55,32 54,49
53,7
52,94 52,19 51,45
5 39,54
36,98
36,1
35,29 34,52 33,77 33,04 32,32
26
25,18
24,4
38
6 28,21 26,92
95,1
94,4
31,6
23,67 22,95 22,23 21,53 20,83
7 21,37 20,25 19,39 18,61 17,86 17,14 16,43 15,72 15,03 14,33
Таблица 4.8. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 2
d
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
λ6
λ7
λ8
λ9
λ10
1 19,22 13,97 11,52 10,04 9,01 8,25 7,65 7,17 6,76 6,42
2
19,3
14
11,54 10,04
9
8,23 7,63 7,14 6,73 6,38
3 19,44 14,08 11,58 10,05
9
8,21 7,59 7,08 6,67 6,31
4 19,64 14,18 11,62 10,07 8,98 8,17 7,53 7,01 6,58 6,21
5 19,89
14,3
6
14,46 11,77 10,11 8,95 8,08 7,38 6,81 6,33 5,91
20,2
11,69 10,09 8,97 8,13 7,47 6,92 6,47 6,08
7 20,56 14,65 11,86 10,14 8,93 8,01 7,28 6,68 6,16 5,72
4.5. Транспортная игра с нелинейной функцией задержки
На практике обычно предполагают, что коэффициент β ∈ [1, 4]. Для сравнения результатов здесь рассмотрим случаи, когда β = 3, 4. Пусть β = 3.
87
4.5.1. Транспортная игра на двух параллельных маршрутах с
нелинейной функцией задержки
Рассмотрим конкуренцию двух транспортных компаний. После объявления цен на рынке пассажирских перевозок распределение потока пассажиров
по сервисам будет определятся из условия сбалансированных затрат
(
(
( )3 )
( )3 )
λ1
λ2
c1 + t1 1 +
= c2 + t2 1 +
.
d1
d2
(4.17)
Зафиксируем стратегию c2 второго игрока и найдем наилучший ответ первого игрока
∂H1
∂λ1
= λ1 + c1
= 0,
∂c1
∂c1
откуда
λ1
c1 = − ∂λ1 .
∂c1
Дифференцируем (4.17), учитывая, что λ1 + λ2 = λ
)−1
(
∂λ1
3t1 λ21 3t2 λ22
+ 3
=−
,
∂c1
d31
d2
отсюда
(
c1 = λ1
3t1 λ21 3t2 λ22
+ 3
d31
d2
)
.
(4.18)
.
(4.19)
Для второго игрока имеем
(
c2 = λ2
3t1 λ21 3t2 λ22
+ 3
d31
d2
)
Таким образом, системой уравнений (4.17)-(4.19), при условии, что λ1 + λ2 = λ,
определяются равновесные цены.
Численные примеры
Решением системы (4.17)-(4.19) в симметричном случае, когда t1 = t2 = t,
d1 = d2 = d будут
λ
λ1 = λ2 = ,
2
( )3
λ
c∗1 = c∗2 = t
.
d
88
Теперь предположим, что t1 ̸= t2 , d1 = d2 = d. Вычисления представлены
в таблице 4.9.
Таблица 4.9. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 3
t1
t2
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 )
(93,75;93,75)
(λ1 ; λ2 )
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(142,6;131,56)
(187,5;187,5)
(λ1 ; λ2 )
(5,2;4,8)
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(187,54;165,6)
(λ1 ; λ2 )
(5,31;4,69)
2
3
4
(c∗1 ; c∗2 )
(λ1 ; λ2 )
2
3
4
(237,81;226,74) (281,25;281,25)
(5,12;4,48)
(5;5)
(230,62;197,87) (285,19;263,12) (332,17;321,09) (375;375)
(5,38;4,62)
(5,2;4,8)
(5,08;4,92)
(5;5)
Если положить d = 4, то, например, в случае t1 = t2 = 4 равновесными ценами будут c1 = c2 = 46, 875, что почти в два раза больше, чем равновесие в
модели с квадратическими задержками. Также отметим, что параметр β значительно увеличивает равновесные цены игроков. Он также оказывает влияние
на разбиение потока пассажиров.
4.5.2. Транспортная игра на трех параллельных маршрутах с
нелинейной функцией задержки
Рассмотрим три параллельных маршрута, которые обслуживают игроки
I, II и III. Балансовые уравнения примут вид
(
(
(
( )3 )
( )2 )
( )3 )
λ2
λ3
λ1
= c2 + t 2 1 +
= c3 + t 3 1 +
. (4.20)
c1 + t 1 1 +
d1
d2
d3
89
Построим функцию Лагранжа для первого игрока при ограничениях (4.20)
(
(
(
( )3 ))
( )3 )
λ2
λ1
− c 2 − t2 1 +
+
L1 = c1 λ1 + k1 c1 + t1 1 +
d1
d2
(
(
(
+ k2 c1 + t1 1 +
(
( )3 ))
)3 )
λ1
λ3
3 − c3 − t3 1 +
+
d1
d3
+ γ(λ1 + λ2 + λ3 − λ).
Дифференцируем
∂L1
= λ1 + k1 + k2 = 0,
∂c1
∂L1
32 λ1 t1
= c1 +
(k1 + k2 ) + γ = 0,
∂λ1
d31
∂L1
3λ2 t2
= − 23 (k1 ) + γ = 0,
∂λ2
d2
∂L1
3λ23 t3
= − 3 (k2 ) + γ = 0.
∂λ3
d3
Составляя аналогичным образом функции Лагранжа для двух оставшихся игроков, приходим к системе, которая определяет равновесие в игре с тремя параллельными маршрутами


2
t1 λ
c1 = 3λ1  3 1 +
d1
1
d32
t2 λ22
+
d33
t3 λ23

c2 =
t2 λ22

3λ2
d32
c3 =
(4.21)

+
1
d31
t1 λ21

t3 λ23

3λ3
d32
,
+
+
d33
t3 λ23
1
d31
t1 λ21
+
d32
t2 λ22
,
(4.22)

.
(4.23)
Таким образом, системой уравнений (4.20)-(4.23), при условии, что λ1 +λ2 +λ3 =
λ, определяются равновесные цены.
90
Численные примеры
Если t1 = t2 = t3 = t, d1 = d2 = d2 = d, то из симметрии задачи следует,
что решением системы будут
λ
,
3
( )3
t λ
∗
∗
∗
c 1 = c2 = c2 =
.
6 d
λ1 = λ2 = λ3 =
Опять констатируем, что c увеличением конкуренции, цены в равновесии становятся меньше.
Для несимметричного случая, вычисления представлены в таблице при
d1 = d2 = d3 = 2. Вычисления представлены в таблице 4.10.
Таблица 4.10. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 3
t2
t3
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(20,8;20,8;20,8)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,3;3,3;3,3)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(26,4;26,4;25)
(33,9;32,2;32,2)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,55;3,55;2,89)
(3,78;3,11;3,11)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(30;30;27,4)
(38,9;36,9;35,6)
(44,9;41,1;41,1)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,68;3,68;2,64)
(3,91;3,24;2,85)
(4,04;2,98;2,98)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(32,7;32,7;29)
(42,7;40,4;38,1)
(49,4;45,3;44,2)
(54,6;48,9;48,9)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,77;3,77;2,46)
(4;3,32;2,68)
(4,13;3,07;2,8)
(4,22;2,89;2,89)
2
3
4
2
3
4
4.5.3. Транспортная игра на m параллельных маршрутах с
нелинейной функцией задержки
Каждая компания назначает соответственно цену на обслуживание на своем ребре ci , i = 1, ..., m. Поток пассажиров λ разбивается на m потока λi ,
91
m
∑
λi = λ, где λi можно найти из условий
i=1
(
c1 + t1 1 +
(
λ1
d1
)3 )
(
(
λ2
d2
= c2 + t2 1 +
)3 )
(
= ... = cm + tm 1 +
(
λm
dm
)3 )
.
Найдем наилучший ответ первого игрока на стратегии ci , i = 2, 3, ..., m используя, как и раньше, метод Лагранжа
(
(
(
( )3 )
( )3 ))
m
∑
λ1
λi
L1 = c1 λ1 +
ki c1 + t1 1 +
− ci − ti 1 +
+
d
d
1
i
i=2
+ γ(
m
∑
λi − λ).
i=1
Дифференцируя функцию Лагранжа, находим
∑
∂L1
= λ1 +
ki = 0,
∂c1
i=2
m
m
∑
ki
∂L1
2 i=2
= c1 + 3λ1 t1
+ γ = 0,
∂λ1
(d1 )3
ki
∂L1
= −3λ2i ti
+ γ = 0.
∂λi
(di )3
Проделывая аналогичную процедуру для всех игроков, приходим к равновесному решению игры m лиц

 t λ2
 i
ci = 3λi  i3 +
 (di )



,
m
∑ (dj )3 

1
j=1,j̸=i
tj λ2j
i = 1, ..., m.
(4.24)
92
Таблица 4.11. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 3
d
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
2
1776,1
1758,3
1749,6
1744
1739,8
1736,5
1733,7
1731,3
1729,1
1727,18
3
528,9
522,5
519,4
517,2
515,4
513,9
512,5
511,3
510,1
509
4
224,5
221,6
219,9
218,5
217,4
216,3
215,5
214,3
213,4
212,5
5
116,38
114,525
113,26
112,2
111,22
110,3
109,42
108,56
107,71
106,9
6
68,58
67,18
66,13
65,2
64,32
63,47
62,64
61,82
61,01
60,22
7
44,27
43,11
42,17
41,3
40,47
39,65
38,85
38,06
37,27
36,49
Численные примеры
Значения равновесных цен и интенсивностей потоков представлены в таблицах 4.11, 4.12.
Таблица 4.12. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 3
d
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
2 15,81 12,69 11,14 10,15 9,44
3 15,83
12,7
λ6
λ7
λ8
8,9
8,46
8,1
λ9
λ10
7,79 7,53
11,15 10,15 9,44 8,89 8,45 8,09 7,78 7,51
4 15,87 12,73 11,16 10,16 9,44 8,89 8,44 8,07 7,76 7,49
5 15,95 12,77 11,18 10,17 9,44 8,87 8,42 8,04 7,72 7,44
6 16,06 12,83 11,22 10,18 9,43 8,85 8,39
8
7,66 7,37
7 16,21 12,92 11,27 10,21 9,43 8,83 8,34 7,93 7,56 7,27
Замечание. В случае, когда β ≥ 4 анализ проводится аналогичным образом.
Мы представим только численные расчеты для случая β = 4.
Транспортная игра на двух параллельных маршрутах с BP R функцией задержки при β = 4
Результаты моделирования конкуренции двух транспортных компаний на
двух параллельных маршрутах при λ=10, d1 = d2 = 2 представлены в таблице
4.13.
93
Таблица 4.13. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 4
t1
t2
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 )
(312,5;312,5)
(λ1 ; λ2 )
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(469,58,6;442,99)
(625;625)
(λ1 ; λ2 )
(5,15;4,85)
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(612,96;560,1)
(787,2;760,5)
(937,5;937,5)
(λ1 ; λ2 )
(5,23;4,77)
(5,09;4,91)
(5;5)
(c∗1 ; c∗2 )
(749,76;670,9)
(939,2;886)
(1101,8;1075,2)
(1250;1250)
(λ1 ; λ2 )
(5,28;4,72)
(5,15;4,85)
(5,06;4,94)
(5;5)
2
3
4
2
3
4
Опять констатируем, что с увеличением времени, затраченным на дорогу, увеличиваются равновесные цены. Пропускная способность, сокращающая
время пребывания в пути, уменьшает тем самым равновесные цены. Например, если положить d = 4, то, когда t1 = t2 = 4 равновесными ценами будут
c1 = c2 = 78, 125, что значительно меньше.
Транспортная игра на трех параллельных маршрутах с BP R функцией задержки при β = 4
Таблица 4.14. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 4
t2
t3
цены
1
1
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(46,3;46,3;46,3)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,3;3,3;3,3)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(58,4;58,4;56,63)
(74,4;72,2;72,2)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,5;3,5;3)
(3,66;3,17;3,17)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(66,3;66,3;63,1)
(85,05;82,5;81)
(97,6;93;93)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,6;3,6;2,8)
(3,77;3,26;2,97)
(3,86;3,07;3,07)
(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )
(72,3;72,3;67,8)
(98,2;90,3;38,87,5)
(107,3;102,1;100,8)
(118,2;111;111)
(λ1 ; λ2 , λ3 )
(3,66;3,66;2,68)
(3,83;3,33;2,84)
(3,94;3,13;2,93)
(4;3;3)
2
3
4
2
3
4
94
Результат конкуренции трех игроков на трех параллельных маршрутах
представлен в таблице 4.14, где λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2. Также, как и в
предыдущих случаях, время нахождения в пути увеличивает равновесную цену,
а увеличение пропускной способности снижает ее. С увеличением конкуренции
сильно уменьшаются цены в равновесии.
Транспортная игра на m параллельных маршрутах с BP R функцией
задержки при β = 4
Рассмотрим модель конкуренции 10 игроков. Пусть λ=100, ti = i, i =
1, 2, ..., 10, при d = 3, 7. Вычисления представлены в таблицах 4.15, 4.16.
Таблица 4.15. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4
d
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
3
2367,2
2353,9
2346,9
2342,2
2338,6
2335,7
2333,1
2330,9
2328,8
2327
7
83
81,7
80,7
79,8
78,9
78
77,2
76,3
75,5
74,6
Таблица 4.16. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4
d
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
λ6
λ7
λ8
λ9
λ10
3
14,2
12,03
10,9
10,16
9,62
9,2
8,86
8,57
8,33
8,12
7
14,37
12,12
11
10,19
9,62
9,18
8,81
8,5
8,24
8
Из результатов моделирования следует, что при увеличении пропускной способности ребра, потоки пассажиров меняются незначительно. Теперь поменяем
условия. Пусть теперь λ=100, di = i, i = 1, 2, ..., 10, при t = 2, 3, 100. Вычисления представлены в таблицах 4.17, 4.18. Из таблиц видно, что если время t
одинаковое на всех маршрутах, то его увеличение не влияет на разбиение потока.
95
Таблица 4.17. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, di = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4
t
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
2
98,2
98,6
98,9
99,3
99,6
100
100,4
100,8
101,3
101,7
3
147,3
147,8
148,4
148,9
149,5
150
150,6
151,3
151,9
152,6
100
4911
4928
4945
4963
4982
5001
5021
5042
5064
5087
Таблица 4.18. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, di = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4
t
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
λ6
λ7
λ8
λ9
λ10
3
1,86
3,71
5,55
7,37
9,18
10,97
12,74
14,49
16,21
17,92
4
1,86
3,71
5,55
7,37
9„18
10,97
12,74
14,49
16,21
17,92
100
1,86
3,71
5,55
7,37
9,18
10,97
12,74
14,49
16,21
17,92
4.6. Транспортная игра на графе Эйлера
Продемонстрируем применение предложенных выше методов на известном
графе Эйлера, изображенном на рисунке 4.4. Этот граф соответствует знаменитой задаче Эйлера о кёнигсбергских мостах. В данном параграфе мы ограничимся рассмотрением линейных задержек.
Рис. 4.4. Граф Эйлера
96
Рассмотрим следующую бескоалиционную игру. Три транспортных компании обслуживают пассажиров на представленном графе, причем первый игрок
обслуживает два ребра e12 и e23 , второй обслуживает три ребра e13 , e32 и e34 , и
третий обслуживает ребра e14 и e43 . Пассажиры хотят добраться из вершины v1
в вершину v2 , v3 или v4 . Таким образом существует три потока пассажиров λ12 ,
λ13 и λ14 . Каждая транспортная компания объявляет цену на обслуживание на
своем маршруте ci1j , i = 1, 2, 3, j = 2, 3, 4, и входящий поток разобьется на подпотоки пассажиров, предпочитающих воспользоваться услугами той транспортной компании, затраты на посещение которой будут минимальны. Балансовые
уравнения примут вид
(
(
)
)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
λ + λ13
λ + λ13 + λ14
(1)
(2)
c12 + t12 1 + 12
= c12 + t13 1 + 12
+
d12
d13
(
+ t32 1 +
(
(3)
c14 + t14 1 +
(3)
λ14
+
d14
(3)
λ13
)
(2)
λ12
d32
)
(
(2)
= c14 + t13 1 +
(
+ t34 1 +
(2)
λ14
)
d32
)
(
(4.25)
,
(2)
λ12
+
(2)
λ13
+
d13
,
(
)
(1)
(1)
(1)
λ
+
λ
λ
(1)
13
c13 + t12 1 + 12
+ t23 1 + 13 =
d12
d23
)
(
(2)
(2)
(2)
λ + λ13 + λ14
(2)
c13 + t13 1 + 12
=
d13
)
(
)
(
(3)
(3)
(3)
λ
λ + λ14
(3)
= c13 + t14 1 + 13
+ t43 1 + 13 ,
d14
d43
(1)
(2)
λ12 + λ12 = λ12 ,
(1)
(2)
(3)
λ13 + λ13 + λ13 = λ13 ,
(5)
(2)
λ14 + λ14 = λ14 .
(2)
λ14
)
+
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
97
Составим функцию Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока при ограничениях (4.25)-(4.30)
(
(1) (1)
(1) (1)
(
(1)
L1 = c12 λ12 + c13 λ13 + k1 c12 + t12 1 +
(1)
λ12
+
d12
(1)
λ13
)
−
(
)
(
))
(2)
(2)
(2)
(2)
λ
+
λ
+
λ
λ
(2)
13
14
−c12 − t13 1 + 12
− t32 1 + 12
+
d13
d32
(
(
)
(
)
(1)
(1)
(1)
+
λ
λ
λ
(1)
13
+ k2 c13 + t12 1 + 12
+ t23 1 + 13 −
d12
d23
(
))
(2)
(2)
(2)
λ + λ13 + λ14
(2)
−c13 − t13 1 + 12
+
d13
(
(
(
)
)
(1)
(1)
(1)
λ + λ13
λ
(1)
+ t23 1 + 13 −
+ k3 c13 + t12 1 + 12
d12
d23
(
(
)
))
(3)
(3)
(3)
λ
+
λ
λ
(3)
14
− t43 1 + 13
+
−c13 − t14 1 + 13
d14
d43
(1)
(2)
(3)
+ γ(λ13 + λ13 + λ13 − λ13 ).
Дифференцируя функцию Лагранжа по всем параметрам, находим решение
(
)
(
)
t12
t12
t13
t32
t13
(1)
(1)
(1)
c12 = λ12
+
+
+ λ13
+
−
(4.31)
d12 d13 d32
d12 d13
)
( )2 ( (1)
(1)
t13
λ12 + λ13
−
.
t13
t14
t43
d13
+
+
d13
d14
d43
)
(
( )
t23
t12
t12
(1)
(1)
(1)
+ λ13
+
+
(4.32)
c13 = λ12
d12
d12 d23


(1)
(1)
λ + λ13 
+  12
.
d13
1
t14
t43 + t
13
+
d14
d43
Теперь найдем наилучший ответ третьего игрока на стратегии конкурентов.
Очевидно из симметрии, что решение имеет вид
)
)
(
(
t
t
t
t
t
13
34
13
14
14
(3)
(3)
(3)
+
+
+ λ13
+
−
c14 = λ14
d14 d13 d34
d14 d13
(4.33)
98
(
−
(3)
t13
d13
(
)2 (
t14
d14

(3)
c13 = λ14
)
(3)
λ13
t13
d13
(3)
+ λ14
t12
t23
d12 + d23
+
(
(3)
+ λ13
(3)
(3)
)
.
t14
t43
+
d14 d43

)
(4.34)
+
λ + λ14 
+  13
.
d13
1
t12
t23 + t
13
+
d12
d23
Теперь найдем ценовое равновесие для последнего второго игрока. Функция Лагранжа имеет вид
(
(2) (2)
(2) (2)
(2) (2)
(
(2)
L2 = c12 λ12 + c13 λ13 + c14 λ14 + k1 c12 + t13
(
+t32 1 +
(2)
λ12
(
d32
)
(
(1)
− c12 − t12 1 +
(
(2)
(1)
λ12
(2)
(2)
(2)
(2)
λ + λ13 + λ14
1 + 12
d13
(1)
λ13
+
d12
)
)
+
))
+
(2)
λ + λ13 + λ14
(1)
− c13 −
+ k2
+ t13 1 + 12
d13
(
)
(
))
(1)
(1)
(1)
λ + λ13
λ
−t12 1 + 12
− t23 1 + 13
+
d12
d23
(
(
)
(2)
(2)
(2)
λ
+
λ
+
λ
(2)
13
14
−
+ k3 c13 + t13 1 + 12
d13
(
)
(
)
(3)
(3)
(3)
λ + λ14
λ
(3)
−c13 − t14 1 + 13
− t43 1 + 13 +
d14
d43
(
(
)
(
)
(2)
(2)
(2)
(2)
λ
λ
+
λ
+
λ
(2)
13
14
+ k4 c14 + t13 1 + 12
+ t14 1 + 14 −
d13
d14
))
(
(3)
(3)
λ + λ14
(3)
+
−c14 − t14 1 + 13
d14
(2)
c13
(1)
(2)
(3)
+ γ(λ13 + λ13 + λ13 − λ13 ).
Дифференцируя и решая относительно всех параметров, приходим к уравнениям
(
(2)
c12
=
(2)
λ12
t13
t32
t12
+
+
d12 d13 d32
)
(
+
(2)
λ13
t13
t12
+
d12 d13
)
(
+
(2)
λ14
t13
d13
)
−
(4.35)
99
(
−
(
+
t14
d14
t12
d12
)


(2)
λ13
(
(2)
+
(2)
λ12 dt1212
+
t14
d14
+
−
(2)
λ14 dt1414
t43
d43

.
(2)
(2)
(2)
(2) t13
c13 = (λ12 + λ13 + λ14 ) +
d13
)(
(
))
(
(2) t12
(2) t12
(2) t14
t43
t13
+ d43 λ12 d12 + λ13 d12 + d13
+ λ14 d14 dt1212 +
t12
d12
c14
)
t12
t23
d12 + d23
t12
t23
d12 + d23
(4.36)
t23
d23
)
+ dt1414 + dt4343
)
(
)
( )
t13
t13
t14
t34
t13
(2)
(2)
(2)
+ λ13
+ λ14
+
+
+
= λ12
d13
d13
d13 d14 d34
(
)


( ) λ(2) t12 + t23 + λ(2) t12 − λ(2) t14
12 d12
14 d14
t14  13 d12 d23

+
t12
t23
t14
t43
d14
d12 + d23 + d14 + d43
+
(
t23
d23
,
(4.37)
(4.38)
Численные примеры
Очевидно, что если положить t12 = t14 , d12 = d14 , t23 = t43 , d23 = d43 ,
(1)
(3)
(1)
(3)
(1)
(3)
(1)
(3)
то в равновесии c12 = c14 , λ12 = λ14 и c13 = c13 , λ13 = λ13 . Вычисления
представлены в таблицах 4.19–4.20, где λ12 =20, λ13 =30, λ14 =10, t12 = t14 = 4,
d12 = d14 = 2, t23 = t43 = 2, d23 = d43 = 1, t32 = t34 = 2, d32 = d34 = 1.
(1)
(2)
Таблица 4.19. Значение (c12 , c12 ) в транспортной игре на графе Эйлера
t13
d13
равновесие
1
(c12 ; c12 )
6
7
(2)
(1)
(2)
(17,19;2,81)
(17,73;2,27)
(18,16;1,84)
(18,51;1,49)
(1)
(2)
(104,7;86,7)
(114,2;90,6)
(122,5;94,3)
(129,9;97,5)
(1)
(2)
(15,55;4,45)
(16,1;3,9)
(16,54;3,46)
(16,93;3,07)
(1)
(2)
(82;75)
(88,6;77,8)
(94,7;80,3)
(100,4;82,7)
(1)
(2)
(14,1;5,9)
(14,57;5,43)
(14,97;5,03)
(15,33;4,67)
(c12 ; c12 )
(λ12 ; λ12 )
4
5
(1)
(λ12 ; λ12 )
2
4
(c12 ; c12 )
(λ12 ; λ12 )
(135,9;101,9) (147,2;107) (156,5;111,3) (164,4;114,4)
100
(1)
(2)
Таблица 4.20. Значение (c13 , c13 ) в транспортной игре на графе Эйлера
t13
d13
равновесие
1
(c13 ; c13 )
6
7
(2)
(1)
(2)
(8,19;13,62)
(8,73;12,54)
(9,16;11,68)
(1)
(2)
(86,7;94,4)
(96,2;98,6)
(104,5;102,3) (111,9;105,5)
(1)
(2)
(6,55;16,9)
(7,1;15,8)
(7,54;14,92)
(7,93;14,14)
(1)
(2)
(64;83)
(70,6;85,8)
(76,7;88,3)
(82,4;90,7)
(1)
(2)
(5,1;19,8)
(5,57;18,86)
(5,97;18,06)
(6,33;17,34)
(c13 ; c13 )
(λ13 ; λ13 )
4
5
(1)
(λ13 ; λ13 )
2
4
(c13 ; c13 )
(λ13 ; λ13 )
(117,9;109,9) (129,2;115,1) (138,5;119,3) (146,4;122,7)
(9,5;11)
Из таблиц следует, что на величину потока больше влияет задержка в пути,
чем цена обслуживания. Например, при d13 = 1 цена на билет c213 меньше, чем
у конкурентов, а поток больше. При d13 = 4 цена c213 становится больше, чем у
конкурентов, а поток все также остается больше.
4.7. Выводы к четвертой главе
Итак, равновесие найдено в задаче ценообразования, когда задержка на
маршрутах имеет BP R-вид. Для линейного случая сформулированы условия,
при которых транспортные компании будут конкурентоспособны. Предложенная модель распространена на граф Эйлера, и равновесие найдено в задаче
ценообразования в этом случае. Из результатов моделирования следует, что
чем больше время задержки в пути, тем больше цена в равновесии. Параметр
β отвечает за время прохождения пути, причем при образовании затора, время растет в соответствии со значением этого параметра. Увеличение параметра
t, соответствующего времени прохождения незагруженного ребра, увеличивает цену в равновесии, но при конкуренции транспортных компаний, имеющих
разные значения этого параметра, пассажиры предпочитают пользоваться наиболее быстрым сервисом. При увеличении пропускной способности d у одного
101
из игроков может оказаться так, что цена его сервиса в равновесии становится
больше, чем у конкурента.
102
Заключение
В работе представлены результаты исследования теоретико-игровых моделей массового обслуживания, относящиеся к задачам ценообразования, размещения сервисов и моделирования пассажиропотоков в равновесии.
Исследована задача ценообразования и задача о размещении в дуополии
Хотеллинга на плоскости, когда город представлен в виде единичного квадрата. Город разбит на улицы, которые проходят параллельно осям x и y и формируют равномерную сетку. Покупатели в городе располагаются равномерно
вдоль улиц, и расстояние, пройденное покупателем из точки x = (i1 , j1 ) в точку y = (i2 , j2 ) представлено в метрике Манхеттена. Найден аналитический вид
равновесия по Нэшу в задаче ценообразования, которое используется для определения оптимального расположения игроков. Для игры размещения построено
равновесное решение, в котором фирмы, предоставляющие на рынок товар, выбирают симметричное расположение. Для сравнения полученных результатов,
равновесие в задаче ценообразования и размещения на плоскости, когда город
представлен в виде единичного квадрата, было найдено для случая, когда затраты потребителей представлены в евклидовой метрике. Сравнивая значения
для одинаковых параметров, получим, что в модели размещения с расстоянием
по Манхеттену фирмам выгоднее располагаться примерно в два раза ближе,
чем в модели с евклидовой метрикой.
Модель дуополии Хотеллинга распространена на модель рынка пассажирских перевозок, когда поток пассажиров образует пуассоновский процесс. Сначала рассмотрен случай двух игроков на маршруте, представляющим собой
линейный сегмент, на котором конкурируют транспортные компании. Они назначают цену на проезд и пассажиры, которым необходимо добраться из одной
точки отрезка в другую, разбиваются на два пуассоновских потока, тех, кто
предпочитает воспользоваться услугами первой компании и тех, кто предпочитает вторую. Затраты пассажира в такой постановке задачи складываются из
103
цены на товар и ожидаемого время пребывания пассажира в системе обслуживания. Найден аналитический вид равновесия в задаче ценообразования и
показано, что оно существует. Также исследован случай, когда затраты пассажира учитывают ожидаемое время нахождения в очереди, и показано, что это
не влияет на равновесное решение.
Далее в модель введен дополнительный игрок – муниципальный транспорт, который отличается от остальных тем, что у него фиксирована плата
за проезд, и фиксированное количество транспортных единиц, которые он использует. Найдено равновесие в задаче ценообразования в случае n игроков в
условии конкуренции и кооперации. В кооперативной постановке задачи характеристическая функция определяется не классическим образом. В случае образования коалиции, игроки из коалиции S играют как один игрок, а игроки, не
входящие в эту коалицию находятся в равновесии с ней, т. е. в качестве стратегий используются равновесные цены. Эти цены являются равновесием по Нэшу
в игре n − s + 1 лиц и значение характеристической функции есть выигрыш
рассматриваемого игрока или коалиции в ситуации равновесия по Нэшу. Численные расчеты показывают, что с увеличением конкуренции увеличивается
поток пассажиров, предпочитающих использовать конкурирующий транспорт.
Но, так как характеристическая функция супераддитивная, то равновесные цены на проезд, назначенные транспортными компаниями, которые формируют
коалицию, больше, чем если бы они конкурировали. Таким образом, игрокам
выгодно сформировать коалицию, даже если поток пассажиров, выбирающий
услуги этой коалиции будет меньше. Но тогда упадет доход, который получает
муниципальный транспорт.
Предложена общая теоретико-игровая модель ценообразования в транспортной игре, в которой потоки пассажиров образуют пуассоновский процесс,
для различных видов транспортных сетей и различных типов задержки. Если
моделирование проводится, когда несколько транспортных компаний обслуживают путь, представляющий собой ребро или последовательность ребер, то ис-
104
следуются затраты пассажиров, когда задержка на ребрах графа представляет
собой ожидаемое время пребывания пассажира в системе обслуживания. Из
результатов моделирования следует, что чем больше интенсивность обслуживания компании, тем меньше цену на обслуживание эта компания назначает.
Если интенсивность обслуживания одной из компаний больше, чем у другой,
то на коротких дистанциях посетители предпочтут пользоваться услугами той
транспортной компании, у которой меньше цена на обслуживание, а на длинных дистанциях той, у которой больше интенсивность обслуживания. Если же
рассматривается конкуренция игроков на параллельных каналах, то функция
задержки представляется в BP R виде, причем каждая компания обслуживает
свой маршрут. Данная схема моделируется при различных параметрах модели,
в том числе степени β. Смысл этого параметра в модели такой: чем он больше,
тем больше время прохождения пути во время затора на дороге. Как и раньше, игроки назначают цену на обслуживание на своем маршруте и пассажиры
выбирают услугу игрока с наименьшими затратами, равными сумме цены на
обслуживание и временные задержки на дорогу. Из результатов моделирования следует, что чем больше задержка в пути, тем больше равновесная цена,
назначенная каждой компанией. На задержку в пути влияют все параметры.
Так как параметр β увеличивает задержку в пробках, то чем он больше – тем
больше равновесная цена. При увеличении параметра te , отвечающего за время прохождения пути по пустому ребру, цены в равновесии также растут. Но
увеличение пропускной способности, которое уменьшает время прохождения
пути, значительно снижает назначенную игроками цену на обслуживание, но
тем самым увеличивает поток пассажиров, предпочитающий компанию с "широким"каналом. В условиях конкуренции, компания, имеющая большую пропускную способность, чем у конкурента, на своем ребре, имеет большую цену
на билет в равновесии. Стоит отметить, что если задержка на пустом канале
одинаковая для всех игроков, то разбиение пассажиров по каналам не меняется
при увеличении или уменьшении этого параметра.
105
Список литературы
1. Hotelling H. Stability in competition // The Economic Journal. 1929. Vol. 39.
P. 41–57.
2. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр: Учеб. пособие
для ун-тов. Москва: Книжный дом "Университет 1998.
3. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. Москва:
Мир, 1985.
4. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. Санкт-Петербург: Лань, 2010.
5. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математический экономики. Москва: МАКС Пресс, 2005.
6. Sakaguchi M. Pure Strategy Equilibrium In a Location Game with Discriminatory Pricing // Game Theory and Applications. 2001. Vol. 6. P. 132–140.
7. Osborne M. J., Pitchik C. Equilibrium in Hotelling’s Model of Spatial Competition // Econometrica. 1987. Vol. 53, no. 1. P. 1–26.
8. Ahn H. K., Cheng S. W., Cheong O. et al. Competitive facility location: The
Voronoi game // Theoretical Computer Science. 2004. Vol. 310. P. 457–467.
9. Serra D. Location Theory: A Unified Approach, by Stefan Nickel and Justo
Puerto // Journal of Regional Science. 2007. Vol. 47. P. 3p.
10. D’Aspremontand C., Gabszewicz J. J., , Thisse J. F. On Hotelling\ Os Stability
in Competition // Econometrica. 1979. Vol. 47. P. 1145–1150.
11. Искаков М. Б., Павлов П. А. Равновесие в безопасных стратегиях в модели
пространственной конкуренции Хотеллинга // Математическая теория игр
и ее приложения. 2009. Т. 1, № 2. С. 38–65.
12. Искаков М. Б. Равновесие в безопасных стратегиях // Автоматика и телемеханика. 2005. № 3. С. 139–153.
13. Искаков М. Б. Равновесие в безопасных стратегиях и равновесия в угрозах
и контругрозах в некооперативных играх // Автоматика и телемеханика.
106
2008. № 2. С. 114–134.
14. Kats A. More on Hotelling’s stability in competition. 1995. Vol. 13. P. 89–93.
15. Economides N. Minimal and Maximal Product Differentiation In Hotelling’s
Duopoly // Economic Letters. 1986. Vol. 21. P. 67–71.
16. Salop S. C. Monopolistic Competition with Outside Goods // The Bell Journal
of Economics. 1979. Vol. 10. P. 141–156.
17. Nickel S., Puerto J. Location Theory: A Unified Approach. Springer-Verlag,
2005.
18. Drezner Z. Competitive location strategies for two facilities. 1982. Vol. 12.
P. 485–493.
19. Hakimi S. On locating new facilities in a competitive environment. 1983. Vol. 12.
P. 29–35.
20. Mazalov V. V., Sakaguchi M. Location Game on the Plane // International
Game Theory Review. 2003. Vol. 5, no. 1. P. 13–25.
21. Мазалов В. В., Щипцова А. В., Токарева Ю. С. Дуополия Хотеллинга и
задача о размещении на плоскости // Экономика и математические методы.
2010. Т. 46, № 4. С. 91–100.
22. Tabuchi T. Multiproduct Firms in Hotelling’s Spatial Competition // Journal
of Economics and Management Strategy. 2012. Vol. 21. P. 445–467.
23. Швецов В. И. Математическое моделирование транспортных потоков //
Автоматика и телемеханика. 2003. № 11. С. 3–46.
24. Афраймович Л. Г. Многоиндексные транспортные задачи с декомпозиционной структурой // Автоматика и телемеханика. 2013. № 1. С. 13–147.
25. Нурминский Е. А., Шамрай Н. Б. Прогнозное моделирование автомобильного трафика Владивостока // Труды МФТИ. 2010. Т. 2, № 4. С. 119–129.
26. Под ред. Гасникова А.В. Введение в математическое моделирование транспортных потоков. Москва: МЦНМО, 2013.
27. Skutella М. An introduction to network flows over time. 2009. P. 451–482.
28. Martens M., Skutella М. Flows on few paths: algorithms and lower bounds //
107
Networks. 2006. Vol. 48, no. 2. P. 68–76.
29. Корягин М. Е. Конкуренция транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2006. № 3. С. 143–151.
30. Altman E., Basar T., Jimenez T., Shimkin N. Competitive routing in networks
with polynomial costs // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002.
Vol. 47, no. 1. P. 92–96.
31. Hassin R., Haviv M. To Queue or Not to Queue Equilibrium Behavior in Queueing Systems. Springer, 2003.
32. Luski I. On partial equilibrium in a queueing system with two services // The
Review of Economic Studies. 1976. Vol. 43, no. 3. P. 519–525.
33. Sridhar M. S. Waiting lines and customer satisfaction // SRELS journal of
information management. 2001. Vol. 38. P. 99–112.
34. Altman E., Shimkin N. Individual Equilibrium and Learning in Processor Sharing Systems. 1998. Vol. 46. P. 776–784.
35. Altman E., Wynther L. Equilibrium, Games, and Pricing in Transportation and
Telecommunication Networks // Networks and Spatial Economics. 2004. Vol. 4.
P. 7–21.
36. Levhari D., Luski I. Duopoly pricing and waiting lines // European Economic
Review. 1978. no. 11. P. 17–35.
37. U.S. Bureau of Public Roads. Traffic Assignment Manual. U.S. Department of
Commerce, Washington, D.C.„ 1964.
38. Захаров В. В., Щегряев А. Н. Устойчивая кооперация в динамических задача маршрутизации транспорта // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Т. 4, № 2. С. 39–56.
39. Захаров В. В., Крылатов А. Ю. Системное равновесие транспортных потоков в мегаполисе и стратегии навигаторов: теоретико-игровой подход //
Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Т. 4, № 4. С. 23–44.
40. Буре В. М., Мазалов В. В., Плаксина Н. В. Вычисление характеристик
пассажиропотоков в транспортных системах // Управление большими си-
108
стемами. ИПУ РАН. 2014. Т. 47. С. 77–91.
41. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research // ICE Proceedings: Engineering Divisions. 1952. Vol. 1. P. 325–362.
42. Papadimitriou C., Koutsoupias E. Worst-Case Equilibria // Lecture Notes in
Computer Science. 1999. Т. 1563. С. 404–413.
43. Gairing M., Monien B., Tiemann K. Routing (Un-) Splittable Flow in Games
with Player-Specific Linear Latency Functions // Proc. of 33rd International
Colloquium on Automata, Languages and Programming, ICALP 2006,. 2006.
P. 501–512.
44. Papadimitriou C., Roughgarden T. Computing equilibria in multi-player
games // . . . of the sixteenth annual ACM-SIAM . . . . 2005. P. 82–91.
45. Koutsoupias E., Papadimitriou C. Worst-case equilibria // Computer Science
Review. 2009. Vol. 3. P. 65–69.
46. Bennett L. D. The existence of equivalent mathematical programs for certain
mixed equilibrium traffic assignment problems // Euro. J. Operat. Res. 1993.
Vol. 71. P. 177–187.
47. Christodoulou G., Koutsoupias E. The price of anarchy of finite congestion
games // Proceedings of the thirtyseventh annual ACM symposium on Theory
of computing STOC 05. 2005. P. 67.
48. Christodoulou G., Koutsoupias E. On the price of anarchy and stability of correlated equilibria of linear congestion games // Lecture notes in computer science.
2005.
49. Мазалова А. В. Дуополия в системе обслуживания с очередями // Вестн.
С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы
управления. 2013. Т. 4. С. 32–41.
50. Мазалова А. В. Дуополия Хотеллинга на плоскости в метрике Манхеттена // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Т. 2. С. 33–43.
51. Мельник А. В. Равновесие в транспортной игре // Математическая теория
109
игр и ее приложения. 2014. Т. 6, № 1. С. 41–55.
52. Taxа Х. A. Введение в исследование операций. Москва, Санкт-Петербург,
Киев: Издательский дом "Вильямc 2005.
110
Список иллюстративного материала
1.1 Дуополия в метрике Манхеттена, дискретный случай . . . . . . .
18
1.2 Дуополия в метрике Манхеттена, симметричный случай . . . . .
20
1.3 Дуополия в метрике Манхеттена, несимметричный случай . . . .
21
1.4 Дуополия в евклидовой метрике . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.5 График зависимости k от γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1 Конкуренция игроков на сегменте . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2 Конкуренция игроков на линейном маршруте . . . . . . . . . . . .
56
3.3 Конкуренция игроков на графе G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.1 Два параллельных маршрута . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.2 Три параллельных маршрута . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.3 m параллельных маршрутов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.4 Граф Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
111
Список таблиц
2.1 Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2 Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, c0 =1, µ0 =3 . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3 Значение v(0), v(1), v(2), v(12) при λ=10, c0 =1, µ0 =3 . . . . . . . .
42
2.4 Значения v(S) при λ=10, c0 =1, µ0 =3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
(1)
(2)
63
(1)
(2)
63
(1)
(2)
64
3.1 Значение (c12 , c12 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4 . . . . . . . . . .
3.2 Значение (c13 , c13 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4 . . . . . . . . . .
3.3 Значение (c14 , c14 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4 . . . . . . . . . .
3.4 Значение равновесных цен при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 3, λ15 = 4,
µ2 = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.1 Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=1, d1 = d2 = 2, β = 1 . . . . . . . . . . . .
73
4.2 Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 1 . . .
76
4.3 Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 1 .
79
4.4 Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 1 .
79
4.5 Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 2
. . . . . . . . . . .
82
4.6 Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 2 . . .
84
4.7 Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 2 .
86
4.8 Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 2 . .
86
4.9 Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 3
. . . . . . . . . . .
88
4.10 Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 3 . . .
90
4.11 Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 3 .
92
4.12 Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 3 . .
92
4.13 Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 4
. . . . . . . . . . .
93
4.14 Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 4 . . .
93
4.15 Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4 .
94
4.16 Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4 .
94
4.17 Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, di = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4 .
95
112
4.18 Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, di = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4 . .
(1)
(2)
(1)
(2)
4.19 Значение (c12 , c12 ) в транспортной игре на графе Эйлера . . . . .
95
99
4.20 Значение (c13 , c13 ) в транспортной игре на графе Эйлера . . . . . 100