Переходные процессы

Переходные процессы - классический подход
Ранее : рассмотрение цепей с постоянными элементами и с источниками
постоянной или строго периодической ЭДС - расчет т.н. стационарных
процессов.
Но часто - нестационарные процессы, вызванные изменением параметров цепи
(конфигурации, величин ЭДС, т.д.) - т.н. переходные процессы.
Такое изменение параметров цепи (переход от одного режима работы к
другому) называется коммутацией и вызывает переходной процесс - переход
токов и напряжений от исходных значений (возникших в момент коммутации) к
установившимся.
Процесс коммутации часто считается мгновенным. Переходной процесс в
общем случае неограниченно долог - но обычно считают завершенным при
уменьшении отличия от нового стационарного процесса до заданной величины
(например, до 1%).
Переходной процесс всегда мгновенный только для цепей без реактивностей
(нет "памяти").
Li 2
Cu 2
При наличии L , C энергии WL =
и WC =
не могут меняться мгновенно
2
2
- т.к. мощности в цепи не могут быть бесконечно велики - и переходного
процесса нет, только если энергии (точнее - токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях), запасенные на момент коммутации уже
соответствуют установившемуся режиму.
Практически - переходные процессы как вредны (искрение в розетках и
выключателях, экстратоки, т.д.), так и полезны (в импульсном формирователе основной режим работы).
Для переходных процессов в линейных цепях - линейные дифференциальные
уравнения; порядок уравнения = числу независимых "запасателей энергии" в
цепи (т.е. таких, которые нельзя заменить одним реактивным элементом):
Для решения необходимы так же начальные условия - и для порядка выше
первого знание и токов, и напряжений в начальный момент времени (или токов
и их производных по времени, или напряжений и их производных).
⇒ первый этап - определение начальных условий применением законов
коммутации :
Законы коммутации : в цепях с реактивными элементами соблюдается принцип
непрерывности во времени потокосцепления в индуктивности и электрического
заряда в емкости.
iL (0+ ) = iL (0−) - токи в индуктивностях не меняются скачком
uC (0+ ) = uC (0− ) - напряжения на емкостях не меняются скачком
Но : напряжения на индуктивностях и токи через емкости меняться скачком
могут!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Но: разумная идеализация цепи :
i→∞
CU 2 CE 2
WC =
=
2
2
Но: Q = CU = CE
⇒
WE = CE 2
⇒
∆W = WE / 2 = WRi
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент
коммутации - независимые начальные условия
Нулевые начальные условия ( iL (0+ ) = iL (0−) = 0 , uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 ) - в 0+
соответствие индуктивности разрыву, емкости - перемычке
Ненулевые начальные условия ⇒ в момент времени 0+
индуктивность = генератор тока i = iL (0− )
емкость = генератор напряжения e = uC (0− )
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Пример :
Дано E, R1, R2, L, C ; Определить
1) i1 i2 i3 (t=0+),
2)
dii
dt
t =0+
2 запасателя энергии ⇒ 2 независимых условия для уравнения 2-го порядка
До коммутации ( t=0- ) :
i1 (0− ) =
E
= i2 ( 0 − )
R1 + R2
1) i1 (0+ ) =
u c ( 0− ) = 0 ⇒
и
E
R1
i 2 ( 0 + ) = i2 ( 0 − ) =
E
R1 + R2
i3 (0+ ) = i1 (0+ ) − i2 (0+ ) = E
R2
R1 ( R1 + R2 )
2) uC (0+ ) = 0 = i2 (0+ ) ⋅ R2 + L
3) i3 (0+ ) = C
duC
dt
но E = i1 R1 + uC ;
⇒
di2
dt
⇒
t =0+
di2
dt
= −E
t =0+
duC i3 (0+ )
=
dt
C
d
∗
dt
⇒
0 = R1
di1 duC
+
dt
dt
R2
L( R1 + R2 )
duC i3 (0+ )
=
, то
dt
C
и т.к.
4)
di3
dt
di3
dt
=
t =0+
di1
dt
= −E
t =0 +
−
t =0+
di2
dt
di1
dt
=
t =0+
= −E
t =0+
R2
R ( R1 + R2 )C
2
1
− ER2
− ER2
−
R ( R1 + R2 )C L( R1 + R2 )
2
1
⇒
 1
R2
R 

− 1 
R1 ( R1 + R2 )  R1C L 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Принужденный и свободный режимы
1) Составление уравнений на основе законов Кирхгофа
Пример - RLC-контур (последовательный колебательный контур)
di 1
Ri + L + ∫ idt = e(t )
dt C
d
2) Переход к дифференциальным уравнениям
∗
dt
de(t )
di
d 2i 1
R +L 2 + i=
dt
dt
C
dt
3) решение - как сумма принужденного (частное) и свободного (общего)
решений
Y (t ) = YПРИНУЖДЕННОЕ (t ) + YСВОБОДНОЕ (t )
YПРИНУЖДЕННОЕ (t ) - поведение под воздействием вынуждающей силы
(источников)
YСВОБОДНОЕ (t ) - внутренние процессы системы (т.е. для нулевой правой части);
выбирается из начальных условий :
Y (0+ ) = YПРИНУЖДЕННОЕ (0+ ) + YСВОБОДНОЕ (0+ )
dY
dt
=
t =0+
dYПРИНУЖДЕННОЕ
dt
+
0+
dYСВОБОДНОЕ
dt
0+
Если воздействующая (вынуждающая) сила - постоянная или периодическая то YПРИНУЖДЕННОЕ (t ) - так же и установившееся решение
Функции, описывающие YСВОБОДНОЕ (t ) называют свободными составляющими
-----------------------------------------------------------------------------------------------------di
d 2i 1
Пример: R + L 2 + i = 0
dt
dt
C
Характеристическое уравнение :
Lp 2 + Rp +
1
=0
C
Корни p1 / 2 ; если p1 ≠ p2 , то общее решение :
iСВОБОДНОЕ (t ) = A1e p1t + A2 e p2t
⇒ полное решение
i (t ) = iПРИНУЖДЕННОЕ (t ) + A1e p1t + A2 e p 2 t
В момент t = 0 + имеем
i (0+ ) = iПРИНУЖДЕННОЕ (0) + A1 + A2
di
di
= ПРИНУЖДЕННОЕ
dt 0+
dt
+ A1 p1 + A2 p2
t =0
⇒ находятся A1 / 2
Т.о. процедура : 1) частное решение (поведение при t → ∞ )
2) n корней характеристического уравнения p1 ... pn
3) постоянные интегрирования A1 ... An (из 1,2 и начальных условий)
Переходной процесс (полное решение) :
i (t ) = iПРИНУЖДЕННОЕ (t ) + A1e p1t + A2 e p2t + ... + An e pnt
----------------------------------------------------------------------------------------------------Простейшие цепи.
1) RL-цепь
e(t ) = Ri + L
di
dt
R + Lp = 0
⇒
iСВОБОДНЫЙ (t ) = Ae
R
− t
L
⇒
p1 = −
R
L
i (t ) = iПРИНУЖДЕННЫЙ (t ) + Ae
,
R
− t
L
i ПРИНУЖДЕННЫЙ (t ) - зависит от e(t )
а) постоянный ток e(t ) = E = const (t ) :
E
i ПРИНУЖДЕННЫЙ (t ) =
R
т.к.
R
− t
E
⇒ i (t ) = + Ae L
R
i ( 0+ ) = i ( 0− ) = 0 ⇒
A=−
− t
E
E
−t
i (t ) = 1 − e L  = 1 − e τ  ,

R
 R
R
E
R
τ=
L
R
б) отключение (замыкание) источника :
e(t < 0) = E , e(t > 0) = 0 ⇒ iПРИНУЖДЕННЫЙ (t ) = 0 , i (t > 0) = 0 + Ae
i ( 0+ ) = i ( 0− ) =
E
R
⇒
A=
E
R
⇒ i (t ) =
E − tτ
e
R
R
− t
L
в) синусоидальная (после t=0) ЭДС : e(t < 0) = 0 , e(t > 0) = Em sin(ωt + ψ )
i ПРИНУЖДЕННЫЙ = I m sin(ωt + ψ − ϕ )
принужденное решение
Im =
⇒
Em
R + (ωL)
i (t ) = I m sin(ωt + ψ − ϕ ) + Ae
i ( 0+ ) = i ( 0− ) = 0
⇒
2
−t
τ
2
, τ =
, ϕ = arctg
ωL
R
L
R
A = − I m sin(ψ − ϕ )
i (t ) = I m [sin(ωt + ψ − ϕ ) − sin(ψ − ϕ ) ⋅ e
−t
τ
]
Важный случай: ψ = ϕ - в момент коммутации iПРИНУЖДЕННЫЙ (0) = 0 = i (0−) ⇒
нет переходного процесса - сразу установившийся режим
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Для RC-цепи :
постоянный ток e(t ) = E
uC (t ) = E + Ae
−
t
τ
⇒
uC _ ПРИНУЖДЕННЫЙ = E
, τ = RC
A = − E , т.к. uC (0+ ) = uC (0−) = 0
- все похоже на RL-цепь
⇒
−t
uC = E 1 − e τ 


-----------------------------------------------------------------------------------------------------RC и RL цепи как интегрирующие и дифференцирующие звенья
1) интегрирующее RC звено ("интегрирующая RC-цепочка")
u ВХ (t ) = RC
duC
du
+ uC ; если uC << u ВХ (t ) , то u ВХ (t ) ≈ RC C
dt
dt
⇒
1
u ВХ (t )dt - т.н. интегрирующее звено;
RC ∫
"забывает" интеграл на временах > τ = RC ⇒ для более медленных сигналов прямое прохождение
u ВЫХ (t ) = uC ≈
2) дифференцирующее RC звено ("дифференцирующая RC-цепочка")
i =C
duC
dt
если RC
i =C
и
uВХ (t ) = RC
duC
+ uC
dt
duC
<< uВХ (t ) , то uC ≈ u ВХ (t ) ⇒
dt
duC
du (t )
≈ C ВХ
dt
dt
⇒
uВЫХ (t ) ≈ RC
duВХ (t )
dt
- дифференцирующее звено;
чем меньше RC , тем лучше дифференцирование
на временах, меньших τ = RC , дифференцирования нет (прямое прохождение)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Аналогично - для RL -цепей :
uВЫХ (t ) ≈
uВЫХ (t ) ≈
R
L
uВХ (t )dt при t < τ =
∫
L
R
L duВХ (t )
R dt
при t > τ =
L
R