"Техническая термодинамика и теплопередача".

1
ДК 536.7(07) + 536.24
Рецензенты: кафедра “Теплотехника и теплосиловые
установки” Санкт-Петербургского государственного университета
путей сообщения (д-р техн. наук, проф. И.Г. Киселев),
профессор
Б.С. Фокин
(АОО
НПО
"ЦКТИ
им.
И.И. Ползунова")
Сапожников С.З., Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и
теплопередача: Учебник для вузов. СПб.: Изд-во СПбГТУ,
1999. 319 с.
ISBN 5-7422-0098-6
Изложены
основы
технической
термодинамики
и
теплопередачи. Представлены начала термодинамики, методы
расчета термодинамических процессов с идеальным газом и с
реальными рабочими телами, циклов энергетических установок,
холодильных машин и тепловых насосов. Описаны процессы
стационарной и нестационарной теплопроводности, конвективного
теплообмена, теплообмена излучением. Даны основы теплового
расчета теплообменников.
Предназначен для бакалавров по направлению 551400
“Наземные транспортные системы”.
I8ВN 5-7422-0098-6
Санкт-Петербургский
государственный
технический
университет, 1999 Сапожников С.З., Китанин Э.Л., 1999
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие........................................................................
1. ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА......................
1.1. Предмет и метод технической термодинамики.......
1.2. Основные понятия термодинамики........................
1.2.1. Термодинамическая система и термодинамические
параметры...........................................................
1.2.2. Термодинамическое равновесие и равновесный термодинамический процесс..................................
1.2.3.
Термическое
уравнение
состояния.
Термодинамическая
поверхность
и
диаграммы
состояний……………………………………………….
1.2.4. Смеси идеальных газов........................................
1.2.5. Энергия, работа, теплота......................................
1.2.6. Теплоемкость.........................................................
1.3. Первое начало термодинамики..................................
1.3.1. Уравнение первого начала...................................
1.3.2.
Внутренняя
энергия
как
функция
состояния.........................................................................
1.3.3. Энтальпия и ее свойства......................................
1.3.4. Уравнение первого начала для идеального
газа.........................................................................................
1.4. Анализ процессов с идеальным газом.......................
1.4.1. Изобарный процесс..............................................
1.4.2. Изохорный процесс...............................................
1.4.3. Изотермический процесс......................................
1.4.4. Адиабатный процесс.............................................
1.4.5. Политропные процессы........................................
1.4.6. Сжатие газа в поршневом компрессоре..............
1.5. Второе начало термодинамики...................................
1.5.1. Обратимые и необратимые процессы.................
1.5.2. Циклы и их КПД....................................................
1.5.3. Формулировки второго начала............................
1.5.4. Цикл Карно. Теорема Карно................................
3
1.5.5. Энтропия, ее изменение в обратимых и необратимых процессах.................................................................
1.5.6. Т–s-диаграмма состояний. Изменение энтропии в
процессах
идеального
газа....................................................................................
1.5.7. Термодинамическая шкала температур..............
1.6.
Циклы
поршневых
двигателей
внутреннего
сгорания.................................................................................
1.6.1. Цикл с изохорным подводом теплоты (цикл Отто)
1.6.2. Цикл с изобарным подводом теплоты (цикл Дизеля)
...........................................................................................................
1.6.3. Сравнение эффективности циклов ДВС.............
1.7. Циклы газотурбинных установок..............................
1.7.1. Схема и цикл с изобарным подводом теплоты..
1.7.2. Термический КПД цикла Брайтона...................
1.7.3. Регенеративный цикл ГТУ..............................
1.7.4. Эффективность реальных циклов...................
1.8. Термодинамика реальных рабочих тел....................
1.8.1. Уравнения состояния реальных газов...............
1.8.2. Изменение агрегатного состояния вещества....
1.8.3. Диаграммы и таблицы состояний.....................
1.9. Циклы паросиловых установок.................................
1.9.1. Паровой цикл Карно..........................................
1.9.2. Цикл Ренкина.....................................................
1.10. Циклы холодильных машин и тепловых насосов
1.10.1.Обратный цикл Карно....................................
1.10.2. Цикл парокомпрессионной холодильной машины
с перегревом пара и дросселированием.................
1.10.3. Цикл теплового насоса...................................
1.11. Влажный воздух..........................................................
1.11.1 Основные понятия и определения...................
1.11.2. h–d-диаграмма влажного воздуха..................
2.ТЕПЛОПЕРЕДАЧА.........................................................
4
2.1. Общие представления о теплопередаче...................
2.2. Теплопроводность........................................................
2.2.1. Основные понятия и определения............
2.2.2. Гипотеза Био-Фурье....................................
2.2.3.Дифференциальное уравнение теплопроводности.
…………………………………………………………
2.2.4. Условия однозначности.................................
2.2.5.Модели тел в задачах теплопроводности......
2.3. Стационарная теплопроводность..............................
2.3.1. Теплопроводность пластин и оболочек.........
2.3.2. Теплопроводность оребренных поверхностей.
2.4. Нестационарная теплопроводность..........................
2.4.1. Теплопроводность термически тонких тел.......
2.4.2. Теплопроводность полуограниченного тела и
стержня .......................................................
2.4.3. Нагрев и охлаждение пластины, цилиндра и шара
.
2.4.4. Нагрев и охлаждение тел конечных
размеров……..
2.4.5. Регулярный тепловой режим.........................
2.5. Приближенные методы теории теплопроводности..
2.5.1. Электротепловая аналогия.............................
2.5.2. Графический метод........................................
2.5.3. Метод конечных разностей..........................
2.6. Физические основы конвективного теплообмена..
2.6.1. Основные понятия и определения.................
2.6.2.Дифференциальные уравнения конвективного
теплообмена ..............................................................
2.7. Основы теории подобия...............................................
2.7.1. Подобие физических явлений.......................
2.7.2. Теоремы подобия.............................................
2.7.3. Уравнения подобия.........................................
2.7.4. Правила моделирования..................................
2.8. Конвективный теплообмен в однофазной среде.....
2.8.1. Режимы течения жидкостей и газов...............
5
2.8.2. Пограничный слой............................................
2.8.3.Теплообмен в ламинарном пограничном слое на
плоской поверхности.................................................
2.8.4. Теплообмен в турбулентном пограничном слое
на плоской поверхности.............................................
2.8.5. Теплообмен при вынужденной конвекции в
трубах и каналах...............................
2.8.6.Теплообмен на стабилизированном участке
течения.Интеграл Лайона.........................................
2.8.7. Теплообмен при ламинарном течении в трубах
………………………………………………………..
2.8.8. Теплообмен при турбулентном течении в трубах
...
2.8.9. Теплообмен при обтекании труб и трубных
пучков..........................................................................
2.8.10. Теплообмен при свободной конвекции........
2.8.11. Теплообмен в псевдоожиженных средах.......
2.9. Конвективный теплообмен при кипении и
конденсации...........................................................................
2.9.1. Теплообмен при кипении................................
2.9.2. Теплообмен при конденсации.........................
2.9.3. Тепловые трубы................................................
2.10. Теплообмен излучением............................................
2.10.1. Физические основы излучения......................
2.10.2. Расчет теплообмена излучением...................
2.10.3. Солнечное излучение.....................................
2.10.4. Сложный теплообмен.....................................
2.11. Теплообменники..........................................................
2.11.1 Классификация и назначение.........................
2.11.2. Основы теплового расчета............................
2.11.3.Эффективность теплообменников. Реальные
коэффициенты теплопередачи.............................
2.11.4. Гидравлический расчет теплообменников...
Список литературы.............................................................
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
“Техническая термодинамика и теплопередача” — один из
основных курсов, читаемых бакалаврам по направлению
“Наземные транспортные системы”. Он насыщен сведениями и
сжат по времени изучения до 1–2 семестров, поэтому большинство
фундаментальных учебников мало помогут студентам: они
излишне подробны, не сориентированы на круг задач, связанных с
транспортными системами и, наконец, просто рассчитаны на курсы
значительно большего объема.
Для инженеров-транспортников главное — уяснить предмет и
основные идеи термодинамики и теплопередачи, освоить
сложившуюся терминологию этих наук. Совершенно необходимо
помнить 10–15 основных формул (таких, например, как уравнение
состояния идеального газа, формула для расчета теплопередачи
через многослойную пластину, закон Стефана–Больцмана и т. д.).
Остальные сведения, при всей их важности, нужно просто понять,
представить физически, связать с примерами из различных
областей жизни и техники. Поэтому главное внимание авторы
постарались уделить физической стороне рассматриваемых
явлений, а математическому аппарату оставили достойное, но
скромное место.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам —
кафедре
"Теплотехника
и
теплосиловые
установки"
Петербургского государственного университета путей сообщения в
лице д-ра техн. наук проф. И. Г. Киселева и канд. техн. наук доц. В.
И. Крылова, а также д-ру техн. наук проф. Б. С. Фокину — за
ценные замечания, позволившие улучшить первоначальный текст.
Особая благодарность — канд. техн. наук Г. Г. Гавра за большую
помощь в подготовке рукописи; ей принадлежит идея сопоставить
N, ε — метод расчета теплообменников с традиционной расчетной
схемой. И, конечно, очень ценной оказалась помощь в оформлении
книги сотрудниц кафедры “Теоретические основы теплотехники”
Санкт-Петербургского
государственного
технического
7
университета Э. О. Введенской, Р. М. Грозной, аспиранток Ю.
В. Бурцевой и Е. М. Ротинян.
С. Сапожников Э. Китанин
8
1. ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
1.1.ПРЕДМЕТ И МЕТОД ТЕХНИЧЕСКОЙ
ТЕРМОДИНАМИКИ
Термодинамика — наука о преобразованиях энергии —
фундаментальна
для
инженера-энергомашиностроителя.
Зарождение термодинамики совпадает по времени с появлением
первых паровых машин. В 1824 г. французский инженер С. Карно
рассмотрел энергетическое взаимодействие воды и пара с
различными частями двигателя и с окружающей средой, ему
принадлежит первая оценка эффективности паровой машины. С тех
пор предметом изучения термодинамики стали процессы в
энергомашинах, агрегатные превращения веществ, физикохимические, плазменные и другие процессы. В основу этих
исследований положен термодинамический метод: объектом
исследования могут быть любые тела, входящие в так называемую
термодинамическую систему. Эта система должна быть:
достаточно обширной и сложной, чтобы в ней соблюдались
статистические закономерности (движение молекул вещества в
некотором объеме, нагрев и охлаждение частиц твердого материала
в засыпке и т. д.);
замкнутой, т. е. иметь пределы во всех пространственных
направлениях и состоять из конечного числа частиц.
Других ограничений для термодинамической системы нет.
Объекты
материального
мира,
не
входящие
в
термодинамическую систему, называют окружающей средой.
Возвращаясь к работам С. Карно, отметим, что вода и
полученный из нее пар являются термодинамической системой.
Проследив
энерговзаимодействие
воды
и
пара
с
окружающими
телами,
можно
оценить
эффективность
преобразования подведенной к машине теплоты в работу. Но
современные энергомашины для преобразования энергии не всегда
используют воду. Условимся называть любую среду, которая
используется для преобразования энергии, рабочим телом.
9
Таким образом, предметом технической термодинамики
являются закономерности преобразования энергии в процессах
взаимодействия рабочих тел с элементами энергомашин и с
окружающей средой, анализ совершенства энергомашин, а также
изучение свойств рабочих тел и их изменений в процессах
взаимодействия.
В отличие от статистической физики, которая изучает
физическую модель системы с четкими закономерностями
взаимодействия микрочастиц, термодинамика не связана в своих
выводах с какой-либо структурой тела и с определенными формами
связи между элементами этой структуры. Термодинамика
использует законы универсального характера, т. е. справедливые
для всех тел, независимо от их строения. Эти законы заложены в
основу всех термодинамических рассуждений и носят название
начал термодинамики.
Первое начало выражает закон сохранения энергии —
всеобщий закон природы. Оно определяет баланс энергии при
взаимодействиях внутри термодинамической системы, а также
между термодинамической системой и окружающей средой.
Второе начало определяет направленность энергетических
превращений
и
существенно
расширяет
возможности
термодинамического метода.
Оба начала носят опытный характер и применимы ко всем
термодинамическим системам.
Основываясь на этих двух началах, представленных в
математической форме, можно выразить параметры энергообмена
при различных взаимодействиях, установить связи между
свойствами веществ и т. д. Однако для того, чтобы довести
результаты до конкретных чисел, одних только "внутренних
ресурсов" термодинамики недостаточно. Необходимо использовать
экспериментальные или теоретические результаты, которые
учитывают природу рабочего тела в реальной термодинамической
системе. Если, например, воспользоваться опытными данными о
плотности вещества, то с помощью термодинамического анализа
можно вычислить его теплоемкость и т. д.
10
Таким
образом,
термодинамические
исследования
основываются на фундаментальных законах природы. В то же
время инженерные расчеты в термодинамике невозможны без
использования данных опытов или результатов теоретических
исследований физических свойств рабочих тел.
1.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
1.2.1. Термодинамическая система и термодинамические
параметры
Мы назвали термодинамической системой любое тело или
систему тел, находящихся во взаимодействии между собой и(или) с
окружающей средой (в такую систему могут, в частности, входить
рабочие тела энергетических машин). В определении не уточняется,
что именно считать термодинамической системой, а что —
окружающей средой. Можно, например, термодинамической
системой считать само рабочее тело, а “все остальное” полагать
окружающей средой; можно выделить только часть тела, а
окружающей средой считать оставшуюся часть и все другие тела.
Можно, наоборот, расширить термодинамическую систему —
включить в нее, кроме первого тела, несколько других, а все
прочие тела считать окружающей средой. Такое расширение или
сужение круга объектов, составляющих термодинамическую
систему, позволяет выяснить важные особенности рабочих тел и
энергетических взаимодействий между ними.
Известно, что одно и то же вещество может находиться в
жидком, газообразном или твердом состоянии. При этом,
естественно, различными будут и свойства этого вещества, этой
термодинамической системы, например, плотность, коэффициент
объемного расширения, магнитная проницаемость, скорость звука и
т. д. Все эти, а также другие величины, характеризующие состояние
термодинамической системы, называют термодинамическими
параметрами состояния. Их очень много; традиционно выделяют
11
в первую очередь так называемые термические параметры: объем,
давление и температуру.
Объем
V
характеризует
пространство,
занимаемое
термодинамической системой. Он тесно связан с параметрами
энергетического взаимодействия. В Международной системе
единиц (СИ) объем измеряется в кубических метрах (м3). Часто
вместо полного объема V используют объем единицы массы
вещества m:
V
м3
(1.1)
v= ,
,
m кг
где m — масса вещества, заполняющего объем V, кг.
Величину v называют удельным объемом (далее величины,
относящиеся к термодинамической системе в целом, будем
обозначать прописными буквами, а удельные (по массе)
величины — строчными). Удельный объем v не зависит от
количества вещества и связан только с термодинамическим
состоянием системы. Удельный объем v — величина, обратная
плотности вещества ρ:
1
v= .
ρ
(1.2)
Ясно, что формула (1.1) справедлива для любой
термодинамической системы, поскольку вещество (рабочее тело)
всегда имеет некоторую массу m и занимает объем V. Соотношение
(1.2) носит более узкий характер: плотность вещества в различных
точках системы может быть различной (например, плотность
жидкого бензина в нижней части топливного бака резко отличается
от плотности паров, заполняющих верхнюю часть бака). Поэтому о
плотности ρ говорят только применительно к однородным
системам, во всех частях которых свойства одинаковы.
Давление
р
характеризует
силовое
(механическое)
взаимодействие элементов системы друг с другом и с окружающей
средой. Давление определяется силой F, приходящейся на единицу
поверхности тела f, и измеряется в паскалях (Па):
12
p=
F
.
f
Кроме паскалей (1 Па = 1 Н/м2) в технике широко используют
атмосферы: 1 ат = 1 кгс/см2. Различают абсолютное давление ра,
имеющее обозначение эта, и избыточное ре, измеряемое в ати.
Связь между этими давлениями простая:
p a = pe + B ,
где В — барометрическое давление окружающей среды.
Шкалы технических манометров градуируют именно в
единицах избыточного давления ре, что важно помнить при
расчетах!
Эти и другие единицы измерения давления сведены в табл. 1.
Таблица 1
Соотношение между единицами давления
Единицы
измерения
давления
Па
бар
кгc/см2
мм
рт.ст.
мм
вод.ст.
PSI
(lbf/in2)
1 Па
1
10–5
1,02⋅10–5
7,5⋅10–3
0,102
1,45·10–
1 бар
105
1
1,02
7,5⋅102
0,102⋅104
14,5
1 кгc/см2
9,81⋅104
0,981
1
735,6
104
14,223
1 мм рт.ст.
133,3
1,33⋅10–3
1,36⋅103
1
13,6
1,93·10–2
1 мм вод.ст.
9,81
9,81⋅10–5
10–4
7,356⋅10–2
1
1,42·10–3
1 PSI (bf/in2)
6,89·103
6,89·10–2
7,03·10–2
52,2
7,03·102
1
4
Наиболее физически сложным является понятие температуры
Т. В молекулярной и статистической физике температуру считают
мерой кинетической энергии молекул или иных микрочастиц.
Поскольку термодинамика не связана со структурными понятиями,
такое представление для нее неприемлемо. Если два тела привести
в соприкосновение, то они могут (хотя и не обязательно)
13
обмениваться энергией. Если первое тело будет отдавать энергию,
то принято считать, что оно обладает большей температурой, чем
второе, и наоборот. Если же энергообмена нет, то считают, что тела
имеют одинаковую температуру. Таким образом, температуру в.
термодинамике считают мерой нагретости тела.
Как же измеряют температуру? Приборов, которые измеряли
бы ее непосредственно, не существует. Действие любого
термометра основано на том, что с изменением температуры тела
изменяются его длина, объем, электрическое сопротивление, работа
выхода электронов и т. д. Используется множество типов таких
приборов, например, жидкостные и газовые термометры,
термометры сопротивления и т. д.
В системе СИ за основу принята шкала Кельвина, в которой
началом отсчета служит так называемый абсолютный нуль
температур, а точка таяния льда находится на уровне Т = 273,15 К
(1 К (кельвин) — единица температуры в этой шкале). Широко
распространена также стоградусная шкала Цельсия с единицей 1 °С
(совпадающей по величине с 1 К), в которой 0 °С = 273,15 К, а
точка кипения воды при атмосферном давлении соответствует
температуре + 100 °С = 373,15 К. Далее абсолютную температуру
будем обозначать буквой Т, а температуру по стоградусной шкале
Цельсия — t. Данные о некоторых других температурных шкалах
представлены в табл. 2.
Таблица 2
Соотношение между шкалами температур
Фаренгейта
Наимен Цельсия
Ренкина
t, °F
ование
t °С
t, °Ra
шкалы
Цельсия
— 5/9 t°Ra–273,15 (t °F-32)/l,8
Ренкина
1,8(t°С+273,1
5)
—
Реомюра
t, °R
1,25 t, °R
t °F + 459,67 1,8 (1,25 t °R +
273,15)
Фаренгей 1,8 t °С + 32
та
t°Ra+459,67
Реомюра 0,8 t °С
0,8 (5/9 t °Ra - 4/9 (t °F -32)
—
9/4 t °R
—
14
273,15)
1.2.2. Термодинамическое равновесие и равновесный
термодинамический процесс
Если в различных частях термодинамической системы
термические параметры состояния неодинаковы, то состояние
такой системы называют неравновесным. В дальнейшем не будем
рассматривать эти случаи, предполагая, что во всех точках
термодинамической системы параметры состояния выровнялись.
Если система, кроме того, находится в равновесии с окружающей
средой, то все ее параметры остаются неизменными во времени,
взаимодействия в системе прекращаются, а ее состояние называют
равновесным.
В действительности же, с течением времени каждый
параметр, например, температура Т, может в небольших пределах
отклоняться от своего среднего значения T (рис. 1). Эти
отклонения (флуктуации) весьма малы по сравнению со средним
значением и в рамках термодинамического метода не
рассматриваются.
T
T
τ
Рис. 1.
Если изменение хотя бы одного параметра заметно превышает
уровень флуктуации, говорят о термодинамическом процессе —
совокупности последовательных состояний термодинамической
системы. Все процессы разделяют на равновесные и
15
неравновесные. Равновесным называют процесс, представляющий
собой
последовательность
равновесных
состояний
термодинамической системы, т. е. процесс, в каждой “точке”
которого система находится в равновесии. Если же при изменении
состояния равновесие в системе нарушается, процесс становится
неравновесным.
Если, например, твердое тело привести в соприкосновение с
другим телом, имеющим более высокую температуру, то первое
тело начнет нагреваться. Вначале нагреются лишь поверхностные
слои тела, и температура по всему его объему станет неодинаковой,
следовательно, тело будет находиться в неравновесном состоянии.
По истечении достаточного времени все слои достигнут
одинаковой температуры, и система придет к новому равновесному
состоянию.
Чем меньше отличаются температуры рассматриваемых тел,
тем меньше будет и различие температур отдельных слоев; в
пределе, когда разность температур устремится к нулю, теплообмен
приблизится к равновесному; он будет идти чрезвычайно (точнее —
бесконечно) медленно. Реальные процессы, близкие к
равновесным, называют квазистатическими. В термодинамике
равновесных
состояний
и
процессов
(в
равновесной
термодинамике) не используют понятие времени, а все процессы
считают бесконечно медленными.
Но насколько применимы эти допущения на практике?
Рассмотрим сжатие газа в цилиндре с поршнем (рис. 2).
F
n
n
∆
16
Рис. 2.
Будем считать, что поршень притерт настолько тщательно,
что протечек газа нет. Если с помощью внешней силы F быстро
переместить поршень вниз, то вблизи его дна появится область
повышенного давления (таким образом, равновесие нарушится),
затем эта область начнет расширяться, а через некоторое время
давление повысится и станет одинаковым во всем объеме (будет
достигнуто новое равновесие). Здесь та же закономерность, что и в
предыдущем примере: вначале состояние неравновесное, а затем
постепенно достигается равновесие. Оценим, какое время для этого
необходимо. Известно, что фронт повышенного давления n–n
перемещается со скоростью звука а, которая для воздуха близка к
300 м/с. Значит, время достижения равновесия τ∗ ≈ ∆ 300 (∆ —
высота цилиндра под поршнем).
В реальных двигателях и компрессорах поршень совершает
полный ход ∆ за время τ = 10–3…10–2 с. Если принять ∆ = 0,3 м, то
τ∗ = 10 − 4 c < τ.
Следовательно,
равновесие
устанавливается
значительно быстрее, чем перемещается поршень, и процесс можно
считать квазистатическим.
В термодинамике часто рассматривают процессы, в которых
не меняется один из термических параметров: р, v или Т. Особый
интерес представляют процессы, в результате которых рабочее тело
возвращается в исходное состояние — циклы. Они реализуются в
двигателях, холодильных машинах, их используют также для
вывода некоторых фундаментальных соотношений термодинамики.
1.2.3. Термическое уравнение состояния.
Термодинамическая поверхность и диаграммы состояний
Состояние термодинамической системы можно определить,
задав ее термические параметры р, v и Т. Сколько же параметров
необходимо задать, чтобы однозначно определить состояние?
17
Если, например, указать, что рассматривается химическое
соединение Н2O при температуре 120 °С, то этого недостаточно для
ответа на вопрос, пар это или жидкость: необходимо
дополнительно сообщить о давлении или объеме. Так, при
давлении р = 0,1 МПа и при температуре t = 120 °С
термодинамическая система представляет собой пар, и все его
свойства могут быть определены, а при давлении р = 5,0 МПа и t =
120 °С мы имеем дело с жидкостью; ее свойства также могут быть
определены.
Более того: при р = 0,2 МПа вещество превратится в смесь
жидкости и пара переменного (в зависимости от удельного объема
v) состава; речь о таких состояниях пойдет в разделе 1.8.
Установлено, что в однородных термодинамических системах
(см. разд. 1.2.1) любые два термических параметра однозначно
определяют третий, а вся их совокупность задает состояние
термодинамической системы в целом. Поэтому произвольно
задавать третий параметр однородной термодинамической системы
нельзя. Связь термических параметров выражают формулы
v = f ( p, T ),
p = (v, T ), T = ( p, v).
(1.3)
Все три равенства (1.3) можно объединить:
F ( p, v, T ) = 0.
(1.4)
Уравнение (1.4), связывающее между собой термические
параметры состояния, называют термическим уравнением
состояния.
Следует
подчеркнуть,
что
термодинамика
постулирует наличие уравнения состояния, но не определяет
его вид. Форма термического уравнения состояния зависит от
природы рабочего тела, ее можно определить либо методами
статистической физики, либо по опытным данным. Термодинамика
исследует уравнение (1.4) как некоторую математическую
функцию, не интересуясь ее физическим смыслом. Уравнение (1.4)
определяет поверхность в координатах р–v–Т, которую называют
термодинамической поверхностью (рис. 3).
Однако пользоваться трехмерным изображением на практике
неудобно, и поэтому обычно используют метод сечений, дающий
18
семейства кривых на плоскостях р–v, р–Т, и Т–v; такие двумерные
системы кривых называют диаграммами состояний.
Рис. 3.
Рис. 4.
Два термических параметра, например, р и v, являются осями
диаграммы, а третий параметр Т считают фиксированным и
проставляют его значение у каждой кривой (рис. 4).
На диаграммах состояний процессы изображают линиями,
идущими, например, от точки 1, характеризующей начальное
состояние
термодинамической
системы,
до
точки
2,
соответствующей конечному состоянию. Циклы, естественно,
изображают замкнутыми линиями.
Вид уравнений состояния реальных веществ чрезвычайно
сложен, и к настоящему времени эти уравнения составлены далеко
не для всех из них.
В связи с этим термодинамика широко использует физические
модели рабочих тел, для которых уравнение состояния (1.4)
выглядит достаточно просто. Исторически первой явилась модель
идеального газа. С позиций статистической физики идеальный
газ — совокупность
частиц,
представляющих
собой
математические точки (т. е. не имеющих объема), все
взаимодействие которых сводится к соударениям (притяжение
и отталкивание отсутствуют). Идеальный газ подчиняется
уравнению Клапейрона–Менделеева
pV =
m
µ
RuT ;
(1.5)
19
где m — масса газа в системе; µ — молярная масса газа; Ru —
универсальная газовая постоянная.
Чтобы оценить величину Ru, вспомним закон Авогадро: при
нормальных условиях (pN = 760 мм рт. ст. = 101325 Па, TN = 0 °С =
273,15 К) 1 кмоль любого газа занимает одинаковый объем VN =
22,4 м3. Из уравнения (1.5) для нормальных условий получим
Ru = p N VN / TN =
Дж
101325 ⋅ 22,4
.
= 8314
кмоль ⋅ К
273,15
Уравнение (1.5) формально объединяет три закона, ранее
установленных экспериментальным путем: закон Бойля–
Мариотта
pv = const при T = const;
закон Гей-Люссака
v1 T1
=
v2 T2
при
p = const;
закон Шарля
p1 T1
=
p2 T2
при v = const.
Теперь ясно, что в качестве примера на рис. 3 была показана
именно термодинамическая поверхность идеального газа: в осях р–
v изотермы являются гиперболами, а в осях Т–v и р–Т — прямыми
линиями.
Более сложные уравнения состояния рассмотрим в разделе
1.8.1, а пока отметим, что уравнение (1.5) удовлетворительно
описывает поведение большинства газов (и их смесей) при не
слишком высоких давлениях и не очень низких температурах. В эту
область, в частности, входят процессы в двигателях внутреннего
сгорания и в газотурбинных установках, поэтому при расчетах
силовых установок транспортных систем представления об
идеальном газе имеют большую практическую ценность.
1.2.4. Смеси идеальных газов
20
Нередко рабочим телом является смесь газов (например,
воздух), каждый из которых можно считать идеальным; такая смесь
также является идеальным газом и подчиняется уравнению
Клапейрона-Менделеева для смеси
pmixVmix =
где Rmix =
mmix
µ mix
RuTmix = mmix RmixTmix ,
(1.6)
Ru
— газовая постоянная смеси (индекс “mix” везде
µ mix
относится к параметрам газовой смеси, образован от англ.
mixture — смесь), a µmix — кажущаяся молярная масса смеси.
Масса смеси равна сумме масс всех компонентов:
n
mmix = ∑ mi .
(1.7)
i =1
Здесь mi — масса i-го компонента; n — число компонентов в
смеси. Величину pmix определяет закон Дальтона:
n
pmix = ∑ pi ,
(1.8)
i =1
где pi — парциальное давление i-го компонента, т. е. давление,
которое имел бы i-й компонент, если бы он один занимал весь
объем смеси при той же температуре.
Поскольку модель идеального газа пренебрегает размерами
микрочастиц, объем, занимаемый каждым компонентом, равен
объему всей смеси:
Vi = Vmix .
Для определения величины µmix зададим состав смеси
массовыми долями компонентов:
g1 =
m
m1
m
, g 2 = 2 ,..., g n = n .
mmix
mmix
mmix
Как следует из уравнения (1.7),
n
∑ g i = 1.
i =1
Для каждого компонента можно использовать уравнение
Клапейрона-Менделеева:
21
p1Vmix = (m1 µ1 )RuTmix ;
......................................
......................................
pnVmix = (mn µ n )RuTmix .
Сложим левые и правые части этих уравнений, получим
n
n m
⎛m m
m ⎞
Vmix ∑ pi = RuTmix ⎜⎜ 1 + 2 + ... + n ⎟⎟ = RuTmix ∑ i .
µn ⎠
i =1
i =1 µ i
⎝ µ1 µ 2
откуда на основании закона Дальтона (1.8)
n
mi
.
µ
i =1 i
pmixVmix = RuTmix ∑
(1.9)
Левые части уравнений (1.6) и (1.9) одинаковы, поэтому
должны быть одинаковы и правые. После необходимых
сокращений разделим обе части уравнения (1.9) на mmix, получим:
µ mix =
1
n
∑ gi
i =1
,
(1.10)
µi .
n
Rmix = Ru ∑ g i µ i .
i =1
(1.11)
Таким образом, при заданном составе смесь рассматривают
как обычный идеальный газ, кажущаяся молярная масса которого
определяется формулой (1.10), а газовая постоянная — формулой
(1.11).
1.2.5. Энергия, работа, теплота
Фундаментальное для многих областей науки понятие
энергии тесно связано с представлением о движущейся материи и
до настоящего времени не имеет общепринятого определения.
Можно рассматривать энергию как объективную меру всякого
движения материи в любых ее формах, но такой подход мало, что
дает для термодинамического анализа.
22
Для замкнутых систем, изучаемых термодинамикой, важно
выделить энергию термодинамической системы в целом
(кинетическую и потенциальную), которую принято называть
внешней энергией; все другие виды энергии, связанные с
движением микрочастиц, назовем внутренней энергией системы.
Часто система неподвижна и не меняет своей потенциальной
энергии, в этом случае внутренняя энергия приобретает особое
значение и полностью характеризует энергетическое состояние
системы. Внутреннюю энергию системы обозначим через Е, а
удельную внутреннюю энергию (отнесенную к массе системы
E
m) — через e = . В системе единиц СИ внутреннюю энергию
m
измеряют в джоулях (Дж), а удельную внутреннюю энергию — в
джоулях на килограмм (Дж/кг).
Существуют два вида взаимодействия термодинамических
систем друг с другом или с окружающей средой: путем
совершения работы и путем передачи теплоты.
Если одна система воздействует на другую и при этом
происходит передача
энергии, связанная
с некоторым
макроскопически упорядоченным процессом, то говорят, что
первая система совершает над второй работу. Пусть, например, к
газу, заключенному в цилиндре под поршнем, извне приложена
сила (см. рис. 2). При этом происходит сжатие газа, объем его
уменьшается, т.е. идет макроскопически упорядоченный процесс,
внешняя среда совершает работу над термодинамической системой.
Если же взаимодействие не приводит к макроскопически
упорядоченному процессу, т. е. работа не совершается, то говорят о
передаче теплоты. Например, при взаимодействии нагретого тела с
газом, замкнутым в жесткую оболочку, произойдет нагрев газа, т. е.
увеличатся среднеквадратичные скорости движения его молекул,
возрастут температура и давление. Эти процессы протекают на
микроскопическом
уровне,
происходит
обмен
энергией
посредством передачи теплоты, а макроскопического, заметного
глазу перемещения не наблюдается. Если же, например, нагревать
23
воздушный шарик, то оболочка заметно растянется: будет
совершена работа, и произойдет передача теплоты.
Подчеркнем, что теплота и работа появляются только в
процессах взаимодействия термодинамических систем. Нельзя
говорить, что сами системы обладают определенным запасом
теплоты или работы. Термодинамическая система обладает запасом
энергии, а сколько теплоты будет передано другой системе при
взаимодействии и какую работу первая система при этом совершит,
будет зависеть от того, как пойдет процесс взаимодействия. Отсюда
следует важный вывод: работа и теплота являются функциями
процесса. Энергия же зависит только от того, в каком состоянии
находится термодинамическая система (например, каковы ее
давление и температура); значит, энергия — функция состояния.
В технической термодинамике работа L, совершаемая всей
системой, измеряется, как и энергия, в джоулях (Дж). Удобнее
рассматривать удельную работу т. е. работу, совершаемую
L Дж
единицей массы рабочего тела: l = ,
.
m кг
Работу термодинамической системы будем считать
положительной (l > 0), если она совершается над другой системой
или над окружающей средой. Если окружающая среда или другая
термодинамическая система совершают работу над “нашей”
системой, то работа отрицательна (l < 0).
Теплоту Q, отданную или полученную термодинамической
системой, также измеряют в джоулях. Удельная теплота —
Q Дж
теплота, приходящаяся на единицу массы: q = ,
.
m кг
Если термодинамическая система получает теплоту извне, то
q > 0, и наоборот, если система отдает теплоту другой системе или
окружающей среде, то q < 0.
Как было показано, оба вида взаимодействия — совершение
работы и передача теплоты — могут идти одновременно; в
реальных процессах именно так и происходит. Однако часто
считают, что в некоторых процессах все взаимодействие
термодинамической системы с другими системами и с окружающей
24
средой сводится только к совершению работы, а отдаваемая или
воспринимаемая системой теплота равна нулю. Такую
термодинамическую систему называют адиабатической, а
процессы,
протекающие
в
ней — адиабатными.
Термодинамическую систему, которая не может обмениваться с
окружающей средой ни теплотой, ни работой, называют
изолированной.
1.2.6. Теплоемкость
В классической механике хорошо известно, как измерить
работу, измерение же теплоты представляет некоторую трудность
хотя бы потому, что связано с особенностями рабочего тела.
Для расчета теплоты в термодинамических процессах еще в
XVIII веке использовали понятие “теплоемкость”. Из самого слова
ясно, что появилось оно в эпоху, когда теплоту считали особой
жидкостью: тело может иметь некоторое ее количество и тогда
“обладает” запасом теплоты и т. д. Название “теплоемкость”
сохранилось в силу традиции, и никто, разумеется, не понимает его
буквально.
Под истинной полной теплоемкостью вещества (рабочего
тела) понимают отношение количества теплоты dQ, полученного
веществом при бесконечно малом изменении его состояния в
каком-либо процессе, к изменению температуры dT этого вещества.
Как отмечалось, теплота зависит от процесса, значит, от процесса
должна зависеть и теплоемкость.
Допустим для определенности, что некоторый параметр
системы х (например, р или v) в процессе не меняется, тогда
истинная полная теплоемкость
Дж
.
(1.12)
К
Еще раз отметим, что уравнение (1.12) определяет
теплоемкость Сх как функцию процесса, поскольку подвод
теплоты возможен только в термодинамическом процессе. Однако
Cx =
dQ
dT x = const
=
dQx
dT
,
25
производная — всегда предел, поэтому при заданном условии х =
const теплоемкость приближенно можно считать функцией
состояния (в окрестностях точки на термодинамической
поверхности, где температура меняется на dT).
Пользоваться полной теплоемкостью в расчетах не очень
удобно, поскольку не ясно, к системе какой массы относится эта
величина. Удобнее использовать удельную теплоемкость, т. е.
теплоемкость единицы массы, объема и т. д. Наиболее
распространены:
удельная массовая теплоемкость
C x dq
Дж
dq
= dT
= dTx ,
;
x = const
m
кг ⋅ К
удельная мольная теплоемкость
cx =
c xµ =
(1.13)
Cx
Дж
,
,
M
кмоль ⋅ К
m
— число молей вещества в термодинамической системе
µ
C
C
массой m (легко заметить, что c xµ = x = x µ = c x µ ).
m
M
Удельные массовые и мольные теплоемкости, характерные
для ряда процессов, например, для процессов р = const и v = const,
определяют экспериментально или на основании теоретических
расчетов и задают в форме таблиц и графиков как функции
температур. По таким таблицам можно рассчитать теплоту, если
известны значения температуры Т1 и Т2 в начале и в конце процесса
х = const:
где M =
T2
q x = ∫ c x dT .
(1.14)
T1
Расчет qx, связанный с интегрированием правой части
равенства (1.14), заметно упрощается, если известно среднее
значение cxm (от англ. middle — средний) в интервале температур от
Т1 до Т2. В этом случае на основании теоремы о среднем
26
T2
T
q x = ∫ c x dT = c xm T2 (T2 − T1 ),
(1.15)
1
T1
T
где c xm T2 — средняя теплоемкость в интервале температур от Т1 до
1
Т2.
Однако построение таблиц, в которых произвольными являются оба предела интегрирования, нерационально, удобнее
полагать одну из температур фиксированной. Чтобы составить
такие таблицы, выражение (1.15) необходимо преобразовать, введя
в него температуру по стоградусной шкале Цельсия t = Т–273,15 К,
а затем представить интеграл (1.15) в виде
t2
t2
t1
t1
0
0
q x = ∫ c x dt = ∫ c x dt − ∫ c x dt .
Далее вновь применим теорему о среднем и получим
t
t
q x = c xm 02 t 2 − c xm 01 t1.
(1.16)
t
Величина c xm 0 т. е. среднее значение теплоемкости
от 0 °С до t °С, приводится в таблицах для процессов р = const
и v = const и обозначается соответственно c pm
t
0
t
и cvm 0 . При
необходимости, пользуясь выражениями (1.15) и (1.10), можно
вычислить
t
c xm t2
1
t
=
t
c xm 02 t 2 − c xm 01 t1
t 2 − t1
.
(1.17)
Теперь оценим теплоемкость газовой смеси. Отметим, прежде
всего, что температура всех компонентов смеси одинакова: если в
начале процесса х = const она составляла t1 , то к концу его примет
значение t2. Кроме того, количество теплоты, подведенное к смеси,
Qx mix = m1q x1 + m2 q x2 + ... + mn q xn ,
(1.17)
27
где m1 , m2 ,..., mn — массы компонентов смеси; q x1 , q x2 ,..., q xn —
теплота, подводимая к единице массы каждого компонента в
процессе х = const. Применяя выражение (1.17), получим
n
n
t
t
Qx mix = t 2 ∑ c xim 02 mi − t1 ∑ c xim 01 mi ,
i =1
i =1
(1.18)
где c xim — теплоемкость c xm для i-го компонента смеси.
С другой стороны, суммарная теплота, подведенная к смеси,
Qx mix = q x mix mmix .
Разделив обе части уравнения (1.18) на суммарную массу
смеси mmix, получим
n
n
t
t
q x mix = t 2 ∑ c xim 02 g i − t1 ∑ c xim 01 g i .
i =1
i =1
(1.19)
Суммы, входящие в формулу (1.19), представляют средние
теплоемкости смеси в интервале температур от 0 °С до t1 и от 0 °С
до t2, соответственно, поэтому средняя теплоемкость смеси в
интервале температур от 0 °С до t
c x m mix
t
0
n
t
= ∑ c xim 0 g i
i =1
(1.20)
Отметим в заключение, что теплоемкость мы пока
рассматриваем как величину, полученную в ходе эксперимента или
расчета. Если она задана, то можно рассчитать количество теплоты
в процессе, но большего мы сделать не можем. С этой точки зрения
понятие теплоемкости носит вспомогательный характер: его
используют в расчетах, но не могут с его помощью объяснить
характер
механических
и
тепловых
взаимодействий
в
термодинамической системе.
1.3. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Первым началом термодинамики является закон сохранения
энергии для термодинамических систем: в любых процессах
энергия не исчезает и не создается, а лишь переходит из одного
28
вида в другой. Для дальнейшего анализа необходимо иметь
формальную запись этого закона — уравнение первого начала,
пригодное для анализа процессов в любых термодинамических
системах.
1.3.1. Уравнение первого начала
При
взаимодействии
с
окружающей
средой
термодинамическая система “не знает” о причинах, видах и мере
воздействия на нее извне: при любых внешних воздействиях могут
меняться только ее внутренняя энергия и объем. Если, в частности,
термодинамическая система изолирована от среды, то обмена
энергией вообще не происходит, ни внутренняя энергия, ни объем
системы не меняются: ∆е = 0, ∆v = 0.
В термодинамике рассматривают только два вида
взаимодействия — передачу теплоты q и совершение работы l,
поэтому для неизолированной термодинамической системы
изменение внутренней энергии ∆е может быть вызвано только
этими причинами. С учетом знаков, которые имеют величины q и l,
∆e = q − l или q = ∆e + l.
(1.21)
Уравнение (1.21) выражает первое начало термодинамики:
подведенная к термодинамической системе теплота расходуется
на изменение внутренней энергии системы и на совершение
работы. Под работой l понимаем, в первую очередь, работу сил
давления, поскольку именно эти силы являются наиболее важными
в большинстве тепловых двигателей и холодильных машин. Будем
считать, что в рассматриваемых термодинамических системах все
прочие виды работы, кроме работы, связанной с изменением
объема, отсутствуют. Если взаимодействие с окружающей средой
приводит термодинамическую систему из состояния 1 в состояние
2, то для процесса 1–2 равенство (1.21) примет вид
q1− 2 = ∆e1− 2 + l1− 2 ,
(1.22)
29
где величина ∆e1− 2 по-прежнему не зависит от характера процесса
и определяется только значениями удельной внутренней энергии в
состояниях 1 и 2 ∆e1− 2 = e2 − e1.
Уравнение (1.22) справедливо для конечного процесса (т. е.
выражено в интегральной форме). Для процесса, точки начала и
конца которого бесконечно близки на термодинамической
поверхности,
уравнение
первого
начала
принимает
дифференциальную форму:
dq = de + dl.
(1.23)
Выразим величину l1− 2 через параметры состояния. Для этого
представим, что термодинамическая система массой 1 кг с
внутренним давлением р заключена в эластичную оболочку с
поверхностью А и находится в среде с давлением р0 (рис. 5). Если
давление р0 < р , то система начнет расширяться, совершая работу
против сил внешнего давления. Пусть при этом поверхность А
переместится на бесконечно малое расстояние dx. Работу
расширения dl можно рассчитать как произведение растягивающей
оболочку силы F на перемещение dx, поэтому dl = Fdx = p0Adx. Но
поскольку с точностью до бесконечно малых высших порядков Adx
= dv,
Рис. 5.
dl = p 0 dv ,
(1.24)
а для конечного процесса, в котором оболочка растягивается от
начального положения 1 до конечного 2,
30
l1− 2 =
v2
∫ p0dv.
v1
Для того, чтобы процесс был квазистатическим, давления р и
р0 должны отличаться на бесконечно малую величину: р = р0 ± dp
(знак перед dp определяет направление процесса: плюс
соответствует расширению термодинамической системы, минус —
сжатию). При этом с точностью до бесконечно малой
l1− 2 =
v2
v2
∫ p 0 dv = ∫ pdv ,
v1
(1.25)
v1
т. е. работа является функцией объема v и давления р в системе (мы,
конечно, помним, что значения и р и v в ходе процесса 1–2 могут
меняться!).
Изобразим процесс 1а2 в р–v-диаграмме состояний (рис. 6.).
Пусть, например, он идет через точку а (кривая 1а2). Площадь под
кривой эквивалентна интегралу в формуле(1.25):
пл. c1a 2d =
v2
∫ pdv ,
v1
Рис. 6.
т. е. работе расширения в равновесном процессе 1а2. Эта
особенность позволяет называть диаграмму р–v рабочей
диаграммой состояний. Из точки 1 в точку 2 термодинамическую
систему можно перевести с помощью разных процессов (например,
по кривой 1b2), при этом работа расширения для каждого процесса
будет своя (то же относится и к переданной в процессе теплоте,
31
поскольку она также является функцией процесса). Иначе обстоит
дело с внутренней энергией, которая является функцией состояния:
каким бы путем ни переходила термодинамическая система из
состояния 1 в состояние 2, изменение внутренней энергии будет
одним и тем же. Уравнения (1.22) и (1.23) примут вид
v2
q1− 2 = ∆e1− 2 + ∫ l1− 2 ;
(1.26)
dq = de + pdv.
(1.27)
v1
В этой форме их используют для расчета процессов в любых
термодинамических системах.
1.3.2. Внутренняя энергия как функция состояния
Мы
установили,
что
состояния
однородной
термодинамической системы задают любые два термических
параметра, например, v и Т. Именно эту пару удобнее использовать
в качестве аргументов функции е = е (v, Т). Такое соотношение
называют калорическим уравнением состояния (от англ.
caloric — тепловой), а внутреннюю энергию е считают одной из
калорических функций состояния.
Подобно
термическому
уравнению
состояния,
для
калорического уравнения необходимы дополнительные сведения о
рабочем теле — экспериментальные или расчетные. Зависимость
внутренней энергии различных веществ от термических параметров
v и Т приведена в справочных таблицах.
Значение ∆е не зависит от вида процесса или, что то же, от
пути интегрирования. Такие функции называют аналитическими,
некоторые их свойства используем в дальнейших рассуждениях.
Применительно к внутренней энергии е эти свойства таковы.
1. Дифференциал функции состояния е является полным
дифференциалом:
⎛ ∂e ⎞
⎛ ∂e ⎞
de = ⎜ ⎟ dv + ⎜ ⎟ dT .
⎝ ∂v ⎠T
⎝ ∂T ⎠ v
(1.28)
32
(индекс около частных производных показывает, какой параметр
состояния остается неизменным).
2. Интеграл по замкнутому контуру от функции состояния е
равен нулю:
∫ de = 0.
(1.29)
Физически это означает, что в круговом процессе (цикле), где
начальное и конечное состояния совпадают, el = е2, de = 0.
3. Все функции состояния являются аддитивными: если
термодинамическая система состоит из n “подсистем” с
внутренними энергиями еi, то внутренняя энергия всей системы
n
e = ∑ ei .
i =1
(1.30)
Внутреннюю энергию принято задавать с точностью до
постоянной. Сама эта постоянная для термодинамики значения не
имеет, поскольку в расчеты входит изменение энергии: разность
внутренних энергий термодинамической системы в двух точках
процесса.
Подставим
значение
de
из
уравнения
(1.28)
в
дифференциальную форму уравнения первого начала (1.27),
получим соотношение
⎡⎛ ∂e ⎞
⎤
⎛ ∂e ⎞
dq = ⎜ ⎟ dT + ⎢⎜ ⎟ + p ⎥ dv,
⎝ ∂T ⎠ v
⎣⎝ ∂v ⎠T
⎦
(1.27а)
которое является общим уравнением первого начала для любых
термодинамических систем, совершающих работу расширения.
1.3.3. Энтальпия и ее свойства
Внутренняя энергия — не единственная калорическая
функция состояния. Представим, что рабочее тело с удельным
объемом v надо ввести в среду с давлением р. Для этого
необходимо совершить работу pv, в чем легко убедиться,
рассматривая, например, тело в форме цилиндра объемом v = f∆
(f — площадь основания, ∆ — высота):
33
l0 = ( pf )∆,
где
l0 — работа
“проталкивания”
тела;
pf — усилие
“проталкивания”; ∆ — перемещение тела.
Если сложить работу pv с внутренней энергией е, то получим
калорическую функцию состояния h = е + pv, которую называют
удельной энтальпией (очевидно, полной энтальпией следует
называть функцию Н= Е + рV). В дифференциальной форме
dh = de + d( pv),
поэтому уравнение (1.27) примет вид
dq = dh − d( pv) + pdv = dh − vdp.
(1.31)
Величины е, р и v однозначно определяют состояние
термодинамической системы, поэтому величина h, как и е, является
функцией состояния и, следовательно, аналитической функцией.
Ее удобно задавать в виде h = h(p, Т). Полный дифференциал
энтальпии
⎛ ∂h ⎞
⎛ ∂h ⎞
dh = ⎜⎜ ⎟⎟ dp + ⎜ ⎟ dT ;
⎝ ∂T ⎠ p
⎝ ∂p ⎠T
(1.32)
изменение энтальпии в цикле
∫ dh = 0;
(1.33)
энтальпия — аддитивная функция:
n
h = ∑ hi ,
i =1
(1.34)
значения энтальпии всегда известны с точностью до постоянной,
они сведены в таблицы, где заданы как функции давления и
температуры.
Уравнения первого начала (1.27а) теперь можно записать в
виде
⎡⎛ ∂h ⎞
⎤
⎛ ∂h ⎞
dq = ⎜ ⎟ dT + ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − v ⎥ dp.
⎝ ∂T ⎠ p
⎣⎝ ∂p ⎠T
⎦
(1.27б)
34
Выбор той или иной формы первого начала диктуется только
удобством расчетов и в принципе совершенно произволен. Можно,
в частности, ввести в запись теплоемкость сp и сv. В изохорном
процессе (v = const, dv = 0)
dqv
,
dT
поэтому на основании уравнения (1.27а)
cv =
⎛ de ⎞
cv = ⎜
⎟ ;
T
d
⎝
⎠v
аналогично в изобарном процессе (р = const, dp = 0) в соответствии
с уравнением (1.27б)
⎛ dh ⎞
cp = ⎜ ⎟ .
⎝ dT ⎠ p
Отсюда
⎡⎛ ∂e ⎞
⎤
dq = cv dT + ⎢⎜ ⎟ + p ⎥ dv;
⎣⎝ ∂v ⎠T
⎦
⎡⎛ ∂h ⎞
⎤
dq = c p dT + ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − v ⎥ dp.
⎣⎝ ∂p ⎠T
⎦
(1.35)
В таком виде уравнения первого начала можно использовать
для исследования процессов с различными рабочими телами,
однако для этого необходимо знать производные (de/dv)T или
(dh/dp)T.
1.3.4. Уравнение первого начала для идеального газа
⎛ ∂h ⎞
⎛ ∂e ⎞
Значение частных производных ⎜ ⎟ и ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂v ⎠T ⎝ ∂p ⎠T
наиболее
просто определить для идеального газа.
Гей-Люссак, а позже Джоуль поставили опыт, позволивший
ответить на вопрос, как зависит внутренняя энергия идеального газа
от объема, а энтальпия от давления. В термостат 1 (рис. 7),
наполненный водой 2, помещали два одинаковых сосуда 3 и 4,
35
разделенные закрытым вентилем 5. В сосуде 1 находился воздух
под давлением, близким к атмосферному (почти идеально-газовое
состояние), сосуд 4 был хорошо вакуумирован. После замера
температуры воды термометром 6 открывали вентиль 5, и газ
частично перетекал в сосуд 4, увеличивая свой объем вдвое, после
чего снова измеряли температуру. Если при расширении
температура несколько изменялась, то через некоторое время она
возвращалась к первоначальному значению.
Рис. 7.
Работа, совершаемая газом в процессе расширения, равна
нулю. Действительно, расширение носит неравновесный характер,
и значит, для расчета необходимо воспользоваться формулой (1.24),
в которую входит р0 (внешнее давление). Внешним давлением в
данном случае является давление в вакуумированном сосуде, т. е. р0
= 0. Теплоты воздух также не отдал и не получил (теплоизоляция
сосуда была почти идеальной), а поскольку температура воды в
сосуде не изменилась, то не изменилась и внутренняя энергия
воздуха: ∆е = 0.
Итак, при постоянной температуре объем воздуха возрос, а
внутренняя энергия не изменилась:
⎛ de ⎞
⎜ ⎟ = 0,
⎝ dv ⎠T
(1.36)
36
значит, внутренняя энергия идеального газа не зависит от
объема. Зная это, легко показать, что в опыте Гей-Люссака–Джоуля
соблюдается также условие
⎛ dh ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 0,
⎝ dp ⎠T
(1.37)
т. е. энтальпия идеального газа не зависит от давления.
Полученные результаты приводят к выводу, что полные
дифференциалы внутренней энергии и энтальпии для идеальных
газов равны соответственно
de = cv dT
и dh = c p d T .
(1.38)
Эти равенства представляют собой калорические уравнения
состояния идеального газа. Они равноценны, выбор для расчетов
любого из них обусловлен только удобством преобразований.
Уравнение первого начала для идеального газа запишем,
используя соотношения (1.35) и (1.38):
dq = cv dT + pdv;
(1.39)
dq = c p dT − vdp.
(1.40)
Отсюда следует, что
d( pv)
.
dT
С другой стороны, по уравнению Клапейрона–Meнделеева
c p − cv =
d( pv) d( RT )
=
= R,
dT
dT
поэтому
c p − cv = R.
(1.41)
Выражение (1.41) называют формулой Майера: из него
следует, что удельная изобарная теплоемкость газа больше его
удельной изохорной теплоемкости на величину газовой
постоянной.
Умножая обе части формулы (1.41) на молярную массу µ,
получаем уравнение
37
c pµ − cvµ = Ru ,
(1.42)
из которого следует, что мольные теплоемкости c pµ и cvµ всех
идеальных газов отличаются на величину универсальной газовой
постоянной Ru.
Пользуясь формулами (1.39)–(1.42), важно помнить, что они
справедливы только для идеального газа, а для других рабочих тел
либо соблюдаются приближенно, либо просто неприменимы.
1.4. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ С ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ
В задачу такого анализа входят определение теплоты и
работы, изменения энтальпии и внутренней энергии в процессах
идеального газа при условии х = const, где х — один из термических
или калорических параметров состояния. Начнем с традиционных
процессов р = const, v = const и Т= const.
1.4.1. Изобарный процесс
Процессы, протекающие в камерах сгорания газотурбинных
двигателей и в теплообменниках, сгорание топлива в двигателях
Дизеля и т. д. сопровождаются расширением или сжатием газа (с
подводом или отводом теплоты) при постоянном давлении. Эти
процессы называют изобарными (р = const). Связь термических
параметров газа в любых двух точках 1 и 2 такого процесса
задается законом Гей-Люссака:
v1 T1
= .
v2 T2
В рабочей диаграмме состояний изобарные процессы
изображают горизонтальными линиями (рис. 8). Теплота,
подведенная к идеальному газу в процессе р = const, расходуется на
изменение энтальпии. Действительно, из формулы (1.40) при dp = 0
38
Рис. 8.
следует, что
dh = c p d T ;
если теплоемкость ср табулирована, то в изобарном процессе
передается теплота
t2
t2
t2
t1
q p1− 2 = ∫ c p dT = c pm (t 2 − t1 ) = c pm t 2 − c pm t1.
0
0
t
1
t1
(1.43)
При малых изменениях температуры, а значит, и изобарой
теплоемкости ср, можно считать, что q p1−2 ≅ c p (T2 − T1 ). Легко
рассчитать и работу изобарного процесса. Исходя из общего
определения работы расширения рабочего тела, получим
l p1− 2 =
v2
∫ pdv = p(v2 − v1 );
(1.44)
v1
численно работа l p1−2 равна площади прямоугольника а12b (см.
рис. 8).
1.4.2. Изохорный процесс
Изохорные процессы обычно связаны с подводом теплоты к
газу, заключенному в жесткий (недеформируемый) замкнутый
объем. Происходят они также в камерах сгорания карбюраторных
двигателей, некоторых газотурбинных установок и т. д. В р–vдиаграмме эти процессы изображаются семейством вертикальных
линий (рис. 9).
39
Рис. 9.
Термические
параметры
изохорного
определяются законом Шарля:
процесса
1–2
p1 T1
= .
p2 T2
Работа газа в изохорном процессе равна нулю, поскольку dv =
0:
lv1−2 = 0.
(1.45)
Теплоту процесса рассчитаем, положив в формуле (1.39) dv =
0; тогда
dqv = cv dT
и
t2
t
t
t
qv1−2 = ∫ cv dT = cvm t2 (t 2 − t1 ) = cvm 02 t 2 − cvm 01 t1.
1
t1
(1.46)
Из равенств (1.45) и (1.46) следует, что в изохорном процессе
вся подведенная к термодинамической системе теплота идет на
изменение внутренней энергии.
Если теплоемкость cv слабо зависит от температуры, то можно
считать, что
qv1−2 ≅ cv (T2 − T1 ).
1.4.3. Изотермический процесс
В энергетических установках, рабочее тело которых по
свойствам близко к идеальному газу, изотермические процессы
40
практически отсутствуют. Однако даже приближенная их
реализация позволяет значительно повысить эффективность многих
энергомашин, поэтому расчет процессов Т = const представляет
интерес хотя бы как предельно достижимый.
Уравнение изотермического процесса Т = const определяется
законом Бойля–Мариотта
p1v1 = p2 v2 ,
где индексы 1 и 2 относятся к двум точкам на кривой
изотермического процесса. В рабочей диаграмме состояний
изотермы Т = const образуют семейство гипербол (рис. 10).
Рис. 10.
Ранее мы установили, что внутренняя энергия идеального газа
зависит только от температуры, а так как в рассматриваемом случае
Т = const, то е = const и de = 0. Из уравнения (1.27) следует, что при
этом
dqT = dl ,
(1.47)
т. е. в изотермическом процессе идеального газа подведенная
теплота расходуется на совершение работы, и наоборот. В
интегральной форме уравнение (1.47) имеет вид
qv1− 2 = lv1− 2 .
Вычислим работу
изотермическом процессе:
расширения
(1.48)
идеального
газа
в
41
lT 1− 2
v2
v2
1
v1
RT
= ∫ pd v = u
µ
v
∫
dv RuT
ln (v2 v1 ).
=
v
µ
(1.49)
Выражение (1.49) можно записать по-другому, используя
уравнения Клапейрона–Менделеева и Бойля–Мариотта:
lT 1− 2 = p1v1 ln (v2 v1 ) = p2 v2 ln ( p1 p2 ) = RT ln (v2 v1 ).
(1.50)
Работа, получаемая при изотермическом расширении от
начального объема v1, до конечного v2, в р–v-диаграмме
характеризуется площадью а12b (рис. 11).
Рис. 11.
В изотермическом процессе dT = 0, поэтому подвод любой
теплоты qT не меняет температуру системы. Формально это
означает, что теплоемкость в изотермическом процессе равна плюсминус бесконечности (сT = ±∞), поэтому расчет по формуле
qT 1− 2 = cT (T2 − T1 ) связан с раскрытием неопределенности вида 0·∞.
Однако соотношение (1.48) позволяет рассчитать теплоту через
эквивалентную ей работу расширения:
qT 1− 2 = lT 1− 2 =
RuT
ln(v2 v1 );
µ
либо использовать любую удобную форму записи (1.50). Ясно, что
площадь а12b на рис. 11 характеризует не только работу
изотермического процесса, но и его теплоту.
1.4.4. Адиабатный процесс
42
Адиабатным называют процесс, протекающий без подвода
или отвода теплоты. На практике “абсолютно адиабатных”
процессов не наблюдается, но процессы, достаточно близкие к
адиабатным, распространены чрезвычайно широко: газы,
обладающие свойствами идеальных, сжимаются в поршневых
двигателях и компрессорах, расширяются в турбинах почти
адиабатно.
При отсутствии теплоподвода и теплоотвода, т. е. при dq = 0 и
q1–2 = 0, уравнение первого начала принимает вид
dl = −de;
(1.51)
работа в адиабатном процессе совершается за счет изменения
внутренней энергии.
Рассмотрим связь между термическими параметрами в
адиабатном процессе. Для этого кроме уравнения (1.51) используем
уравнение первого начала (1.31), в котором положим dq = 0.
Получим dh = vdp.
Для идеального газа dh = cp dT, поэтому
c p dT = vdp.
(1.52)
Аналогично выглядят формулы, включающие внутреннюю
энергию е и теплоемкость cv:
de = − pdv, cv dT = − pdv.
(1.53)
Из равенств (1.52) и (1.53) следует, что
c p cv = −
v dp
= const.
p dv
(1.54)
Для идеального газа величина c p cv = k постоянна и носит
название коэффициента Пуассона, или показателя адиабаты.
Идеальный газ, у которого ср = const, cv = const, называют
совершенным, для него величина k зависит только от строения
молекул:
k= 1,66 для одноатомных газов;
k= 1,40 для двухатомных;
43
k = 1,33 для трех- и более атомных.
Для большинства технических газов в той области, где они
подчиняются уравнению Клапейрона–Менделеева, теплоемкости сp
и cv заметно меняются с температурой, но величина k = c p cv от
температуры почти не зависит.
Последовательно преобразуя формулу (1.54), получим
v dp
dv
dp
⋅ ; k
=− ;
v
p
dv p
dv
dp
k ∫ = − ∫ ; k ln v = − ln p + const;
v
p
k =−
pv k = const.
(1.55)
Уравнение (1.55) называют уравнением адиабаты Пуассона.
С помощью уравнения Клапейрона–Менделеева и уравнения
адиабаты Пуассона можно найти связь между любой парой
термических параметров. Подставим в уравнение (1.55)
RT
значение p =
и перенесем в правую часть все постоянные
v
величины; получим
Tv k −1 = const.
(1.56)
Аналогично можно найти связь между р и Т:
T
k −1
p k
= const.
(1.57)
Построим кривую q = 0 в рабочей диаграмме состояний. Из
уравнения (1.55) следует, что р = const/vk, а поскольку k > 1, кривая
адиабатного процесса в р–v-диаграмме пройдет круче изотермы. На
рис. 12 показаны две адиабаты: 1–2 и 3–4. В процессе 1–2 газ
расширяется, при этом его температура снижается; в процессе 3–4
газ сжимается и температура его повышается.
Теплота в адиабатном процессе равна нулю по самому
определению процесса. Таким образом, осталось найти лишь один
параметр взаимодействия газа с окружающей средой — работу.
44
Уравнения (1.27) и (1.38) показывают, что при dq = 0 dl =–
cvdT, откуда
T2
lq1− 2 = − ∫ cv dT ,
(1.58)
T1
Рис. 12.
или, через среднюю теплоемкость,
t
Рис. 13
t
lq1− 2 = cvm 02 t 2 − cvm 01 t1.
(1.59)
Если газ совершенный (cv = const), то
lq1− 2 = cv (T2 − T1 ).
С учетом формулы Майера cv =
R
,
k −1
поэтому
lq1−2
(k −1) k ⎤
k −1
RT1 ⎛ T2 ⎞ RT1 ⎡ ⎛ p2 ⎞
RT1 ⎡ ⎛ v1 ⎞ ⎤
⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ (1.60
⎢1 − ⎜ ⎟
⎥=
⎜1 − ⎟ =
=
k − 1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ k − 1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠
k
1
−
⎢⎣ ⎝ v2 ⎠ ⎥⎦ )
⎥⎦
⎣
Тот же результат можно получить, интегрируя выражение
(1.25) с подстановкой р = const/vk. Работа адиабатного процесса 1–2
численно равна площади а12b (рис. 13).
1.4.5. Политропные процессы
45
Политропные процессы — процессы идеального газа,
идущие при постоянной теплоемкости — названы по сочетанию
греческих слов гаоАл — много и трота — превращение. Все
рассмотренные ранее процессы — частные случаи политропных
(если, конечно, считать, что в них соблюдаются условия сх = const).
В политропных процессах, как и во всех остальных, соблюдается
первое начало термодинамики:
cn dT = cv dT + pdv,
где, сn — теплоемкость политропного процесса (политропная
теплоемкость).
Кроме того, при cv = const
de cv dT cv
=
=
= const,
d q c n dT c n
или в интегральной форме для процесса 1–2
∆en1− 2
= const,
qn1− 2
(1.61)
∆e
ln1− 2
= 1 − n1− 2 = const,
qn1− 2
qn1− 2
(1.62)
т. е. в политропных процессах доля теплоты, переходящая в
работу, постоянна.
Получим уравнение политропы. Если в формулы (1.39) и
(1.40) подставить значение q = cndT, то они примут вид
cn dT = cv dT + pdv,
cn dT = c p dT − vdp,
откуда следует, что
(cn − cv )dT = pdv;
(cn − c p )dT = −vdp,
После почленного деления получим
( c n − c p ) dv
dp
⋅ =− .
(cn − cv ) v
p
46
Величину n =
cn − c p
c n − cv
называют показателем политропы.
Дифференциальное уравнение политропы
n
dv
dp
=−
v
p
после интегрирования примет окончательную форму
pv n = const.
(1.63)
Политропные процессы могут не только совпадать с
рассмотренными процессами р = const, v = const, T= const, но и
проходить в р–v-диаграмме между ними (рис. 14). Процессу р =
const соответствует значение n = 0, v = const — n = ±∞, Т= const — n
= 1, a q = const — n = k, поэтому для процесса 1–2 0 < n < 1, для
процесса 1–3 1 < n < k, а для процесса 1–4 k<n<∞.
Рис. 14.
Рис. 15.
Формально уравнение политропы (1.63) совпадает с
уравнением адиабаты Пуассона (1.55) при замене n на k, поэтому
его можно записать в виде
T p n −1 n = const или Tv
n −1
= const,
а работу политропного процесса определить как
ln1− 2
(n −1) n ⎤
n −1
RT1 ⎛ T2 ⎞ RT1 ⎡ ⎛ p2 ⎞
RT1 ⎡ ⎛ v1 ⎞ ⎤
⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ . (1.64
⎢1 − ⎜ ⎟
⎥=
⎜1 − ⎟ =
=
n − 1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ n − 1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠
n
1
−
⎢⎣ ⎝ v2 ⎠ ⎥⎦ )
⎥⎦
⎣
47
Теплоту, сообщаемую газу в политропном процессе, проще
всего определить по общей формуле
T2
qn1− 2 = ∫ cn dT .
T1
Если подставить в нее значение cn = cv
T2
qn1− 2 = ∫ cv
T1
n−k
, то получим
n −1
n−k
n−k
dT = cv
(T2 − T1 ).
n −1
n −1
(1.65)
Величина и знак сn зависят как от свойств газа (cv и k), так и от
характера процесса (т. е. от показателя политропы n). При n < 1 и n
> k сn > 0 (рис. 15). При n = 1 сn = ±∞ и функция с(n) терпит разрыв.
Мы уже обсуждали причины, по которым теплоемкость процесса Т
= const следует считать бесконечной. Если 1 < n < k, то сn < 0; это
означает, что при подводе теплоты температура газа понижается, и
наоборот.
Такое явление вполне объяснимо: ведь кроме подвода
теплоты существует еще одна форма взаимодействия —
совершение работы. Понижение температуры газа при подводе
теплоты означает, что одновременно газ совершает работу, причем
с работой энергии отводится больше, чем подводится с теплотой. В
результате внутренняя энергия газа уменьшается, что и приводит к
понижению температуры. Подобным образом объясняется и
повышение температуры при отводе теплоты: здесь прирост
энергии за счет совершения над газом работы сжатия превышает
потерю энергии за счет отвода теплоты.
48
Рис. 16.
Рис. 17.
Для расчета произвольного политропного процесса по
уравнению (1.63) необходимо определить значение n. На кривой
процесса, полученной опытным путем, намечают две точки, в
которых известны термические параметры состояния (рис. 16).
Если считать процесс политропным, то из уравнения
pv n = const следует, что
p1v1n = p2 v2 n . Прологарифмируем это
равенство и получим показатель политропы:
n = ln
p1
p2
ln
v2
.
v1
(1.66)
Естественно, что рассчитать значение п ничуть не труднее,
если в точках 1 и 2 известны давление и температура или удельный
объем и температура газа.
Если зависимость р(v) носит сложный характер (рис. 17), то
весь процесс разбивают на участки, на каждом из которых можно
рассчитать свой показатель политропы. Эти показатели находят по
формулам, аналогичным равенству (1.66), для каждого участка 1–2,
2–3, 3–4. По найденным показателям n1, n2, n3 на отдельных
участках процесса рассчитывают теплоту и работу, а затем
суммируют их значения для всего процесса 1–2–3–4.
Описанный метод расчета (метод политроп) находит широкое
применение при анализе процессов в двигателях внутреннего
сгорания, компрессорах, газовых турбинах и т. д. В качестве
примера рассмотрим процесс сжатия газа, по свойствам близкого к
совершенному, в поршневом компрессоре.
49
1.4.6. Сжатие газа в поршневом компрессоре
Компрессором называют машину для сжатия газов и паров.
При сжатии газа в компрессоре обычно преследуют следующие
цели:
создать запас энергии для последующего совершения работы
(пневматические
тормоза
автомобилей,
устройства
для
передвижения под водой и т.д.);
повысить температуру газа для последующей отдачи теплоты
(холодильные установки);
обеспечить компактное хранение газа (газобаллонные
станции).
Типы и конструкции компрессоров разнообразны, но
термодинамические процессы в них достаточно сходны.
Рассмотрим работу поршневого компрессора (рис. 18), в
цилиндре 1 которого возвратно-поступательно движется поршень 2.
При движении поршня 2 вниз клапан 3 открывается, и газ
низкого давления поступает в цилиндр. После того, как поршень 2
дойдет до нижней мертвой точки, он начинает сжимать газ, причем
оба клапана 3 и 4 закрыты вплоть до момента, пока давление в
Рис. 18.
цилиндре 1 не достигнет заданного уровня. Затем открывается
клапан 4, и газ нагнетается в магистраль под действием
движущегося вверх поршня 2. В верхней мертвой точке нагнетание
заканчивается, клапан 4 закрывается, а клапан 3 открывается,
происходит новое всасывание и т. д.
50
Рис. 19.
Рис. 20.
Проследим за давлением газа в цилиндре в зависимости от
перемещения поршня (а значит, и от объема газа) и построим
диаграмму, которая носит название индикаторной. Если поршень
начинает движение от верхней мертвой точки, т. е. начальный
объем газа почти равен нулю, то индикаторная диаграмма примет
вид, представленный на рис. 19. Внешне она совпадает с обычной
р–v-диаграммой, но процессы всасывания а–1 и нагнетания 2–b
идут с переменной массой газа. Разрежение во впускном клапане
∆p1 и избыточное давление перед выпускным ∆p2 невелики по
сравнению с давлением внутри цилиндра; для термодинамического
анализа их вклад малозаметен. Рассмотрим идеализированный
процесс (рис. 20), происходящий при сжатии 1 кг газа от давления
pl до давления р2. Вначале рассчитаем работу процессов а–1, 1–2 и
2–b. Работа изобарного процесса а–1
la −1 =
v2
∫ p1dv = p1 (v1 − 0) = p1v1;
(1.67)
0
аналогично выражается и работа процесса 2–b:
l2 −b =
0
∫ p2dv = p2 (0 − v2 ) = − p2v2 .
(1.68)
v2
Работа в процессе сжатия 1–2, характер которого пока
неизвестен,
51
l1− 2 =
v2
∫ pdv;
(1.69)
v1
а общая работа, подводимая к газу в компрессоре,
v2
lст = la −1 + l2−b + l1− 2 = p1v1 − p2 v2 + ∫ pdv.
(1.70)
v1
Возьмем интеграл в правой части равенства (1.70) по частям:
v2
p2
v1
p1
∫ pdv = p2v2 − p1v1 − ∫ vdp,
откуда
p2
lст = − ∫ vdp.
(1.71)
p1
Изобразим работу la −1 , l2−b , l1−2 p–v-диаграмме (см. рис. 20),
причем,
поскольку
la −1 > 0, a l2−b < 0 и l1− 2 < 0,
соответствующие
площадки
по-разному.
la −1 = пл.0a1c, l1− 2 = пл.d 21c, l2−b = пл.d 2b0,
то
заштрихуем
Поскольку
площадь,
покрытая двойной штриховкой, из расчета исключается,
следовательно, lст = пл.a12b , что совпадает с интегралом (1.71).
Выражение (1.71) уже рассматривалось; оно входило, в
частности, в уравнение первого начала (1.31). Такую функцию,
которая учитывает не только работу основного процесса, но и
энергетический вклад впуска и выпуска рабочего тела, называют
технической (или располагаемой) работой.
В диаграмме р–v она эквивалентна площадке, опирающейся
на ось ординат: lст = пл.a12b .
Остается выяснить, какой характер имеет процесс сжатия 1–2.
Он может идти при различных условиях: при отсутствии
теплообмена (адиабатное сжатие) и при интенсивном охлаждении
цилиндра компрессора, из-за чего температура сжимаемого газа не
изменяется
52
Рис. 21.
(изотермическое сжатие) (рис. 21). Работа, затраченная на привод
lстq = пл.a12b , а при
компрессора при адиабатном сжатии,
изотермическом lстT = пл.a12′b . Поскольку lстq > lстT , работа,
затраченная на изотермическое сжатие, меньше работы на сжатие
адиабатное на величину, эквивалентную площади пл.122'.
Добиться изотермического сжатия обычно не удается,
поскольку цилиндр охлаждается недостаточно. Реальный процесс
идет по кривой 1–2" и носит политропный характер:
1n
p1v1n
⎛p ⎞
= pv ; v = v1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ .
⎝ p⎠
n
После подстановки v в уравнение (1.71) и интегрирования
получим
ln1− 2′′
RT1 ⎡ ⎛ p2 ⎞
⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟
=
n − 1 ⎢ ⎝ p1 ⎠
⎣
(n −1) n ⎤
⎥,
⎥⎦
(1.72)
что в n раз превышает работу политропного сжатия,
рассчитанную по формуле (1.64).
53
Рис. 22.
Итак, термодинамический анализ показал, что наиболее
эффективным будет изотермическое сжатие, но осуществить его в
одном цилиндре не удается, поскольку время процесса и
поверхность теплоотвода оказываются недостаточными. Чтобы
приблизить процесс к изотермическому, его проводят в несколько
стадий и в различных цилиндрах, между которыми устанавливают
промежуточные теплообменники (холодильники) (рис. 22).
Рис. 23.
Вместо одноступенчатого сжатия от точки 1 до точки 2' по
политропе n = const (рис. 23) газ сжимают до некоторого
промежуточного давления р2 (при том же показателе политропы) в
процессе 1–2, а затем изобарно охлаждают до первоначальной
температуры (процесс 2–3) и подают во вторую ступень, где опять
сжимают по политропе до давления р3 = р2, снова охлаждают и т. д.
Выигрыш в работе привода для многоступенчатого компрессора по
сравнению с одноступенчатым эквивалентен заштрихованной на
рис. 23 площадке. Чем больше число ступеней сжатия, тем ближе
процесс к изотермическому. На практике применяют до четырех
ступеней сжатия, дальнейшее увеличение числа ступеней
неоправданно усложняет компрессор.
1.5. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
1.5.1. Обратимые и необратимые процессы
54
Ранее мы называли процесс равновесным, если равновесными
были все состояния, через которые проходит рабочее тело.
Требовали, чтобы такой процесс шел весьма медленно — по
крайней мере, настолько, чтобы успевали выравниваться параметры
состояния термодинамической системы. Посмотрим теперь на
термодинамические процессы с другой стороны.
Пусть процесс 1–2 протекает так, что на каждом его
элементарном участке, где термические параметры v и р
изменяются на dv и dp соответственно, совершается некоторая
работа dl и подводится (или отводится) теплота dq (рис. 24).
Рис. 24.
Если на каждом бесконечно малом участке обратного
процесса (от точки 2 к точке 7) подводить к термодинамической
системе ту же теплоту, которая отводилась прежде, и
компенсировать работу, которая совершалась на этом участке в
прямом процессе 1–2, то это далеко не всегда позволит вернуть
термодинамическую систему в исходное состояние 1.
Если
после
прямого
и
обратного
процессов
термодинамическая система возвращается в исходное состояние и
при этом не происходит энергетических изменений в окружающей
среде (т. е. сумма теплоты и работы прямого процесса равна по
величине и противоположна по знаку сумме теплоты и работы
обратного процесса), то процессы 1–2 и 2–1 называют
обратимыми. Если же для возвращения термодинамической
системы в исходную точку требуются дополнительные затраты
энергии извне, процессы называют необратимыми.
55
Рис. 25.
Рис. 26.
Примером
необратимого
процесса
может
служить
перемещение шарика по конструкции из двух наклонных
плоскостей (рис. 25). При движении шарика под действием силы
тяжести из точки 1 (с высоты b1) его потенциальная энергия
полностью переходит в кинетическую в точке 0, а затем, по мере
движения к точке 2', вновь превращается в потенциальную. Если бы
силы трения шарика о плоскости равнялись нулю, а сопротивление
воздуха отсутствовало, то он поднялся бы вновь на высоту b2 = b1
(положение 2'), затем процесс повторился бы, и шарик снова
вернулся в исходное состояние без дополнительных затрат энергии.
В реальных условиях из-за трения и сопротивления воздуха шарик
достигает точки 2 (b2 < b1), а при обратном движении — лишь точки
3 (b3 < b1,); для возвращения в точку 1 потребовалась бы
дополнительная работа извне. Процесс, как видим, необратим.
Рассмотрим
второй
пример.
В
цилиндре
с
теплоизолированными (адиабатными) стенками под поршнем
находится газ (рис. 26). В начальный момент газ занимает объем v1,
а его давление равно давлению окружающей среды р. Под
действием силы F поршень из положения 1 перемещается в
положение 2, а газ сжимается до объема v2. Затем силу F
“убирают”, и поршень возвращается в положение 1. Обратимы ли
процессы в цилиндре? Оценим работу сжатия l1–2 и расширения l2–1
газа под поршнем. При сжатии
56
v2
v2
v2
v1
v1
v1
l1− 2 = ∫ ( p + ∆p1− 2 )dv =
∫ pdv − ∫ ∆p1−2dv,
где ∆p1− 2 — добавочное давление, вызванное действием силы F.
При расширении
v1
v1
v1
v2
v2
v2
l2−1 = ∫ ( p − ∆p2−1 )dv =
∫ pdv − ∫ ∆p2−1dv
(смысл величины ∆p2−1 очевиден). Суммарная работа
v2
l1− 2−1 = l1− 2 + l2−1 = ∫ (∆p1− 2 + ∆p2−1 )dv ≠ 0.
v1
Кроме
того,
∆p1− 2 > 0, ∆p2−1 > 0, dv < 0
(поскольку
интегрирование идет от большего объема v1, к меньшему v2),
поэтому l1− 2−1 < 0, при сжатии тратится больше работы, чем
возвращается при расширении. Термодинамическая система
вернется в начальное состояние только при добавлении энергии,
следовательно, процесс 1–2 является необратимым.
Если процессы 1–2 и 2–1 идут с конечными скоростями, то
давление под поршнем не успеет выровняться по объему газа (см.
разд. 1.2.2). При весьма малых скоростях
v2
∆p1− 2 → dp1; ∆p2 −1 → dp2 ; l1− 2−1 = ∫ (dp1 + dp2 )dv
v1
с точностью до величины второго порядка малости работа l1− 2−1
равна нулю, процесс становится обратимым. Значит, в основе
необратимости процессов заложена их неравновесность.
Можно рассмотреть также задачу о теплообмене двух тел 1 и
2 с различными температурами Т1 и Т2, причем Т1 > Т2. Из опыта
известно, что теплота будет передаваться только в одном
направлении — от тела 1 к телу 2, такой процесс необратим. Но
если Т1 = Т2 + dT, то процесс передачи теплоты пойдет бесконечно
медленно и в пределе станет обратимым.
57
Отметим, что необратимость всегда приводит к потерям
энергии, но, с другой стороны, без необратимости (точнее, без
неравновесности начального состояния) термодинамическая
система вообще не сможет участвовать в передаче теплоты или в
совершении работы — работоспособность равновесной системы
равна нулю.
Изложенного достаточно, чтобы сформулировать второе
начало термодинамики, однако для удобства дальнейших
рассуждений введем еще некоторые понятия, связанные с
круговыми процессами, или циклами.
1.5.2. Циклы и их КПД
В разделе 1.2.2 мы назвали циклом процесс, в результате
которого рабочее тело возвращается в исходное состояние 1 (рис.
27).
По направленности процессов (т. е. идет цикл по кривой labсl
или совершается в противоположном направлении, по кривой
1cba1) все циклы делят на прямые и обратные.
В прямом цикле (рис. 28) линия расширения 1–2–3
находится выше линии сжатия 3–4–1, при этом работа цикла lc >
0, (индекс с соответствует англ. cycle), а сам цикл в рабочей
диаграмме совершается по часовой стрелке.
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
58
В процессе расширения работа положительна, т. е. dv > 0; она
численно равна площади под кривой 1–2–3 и показана на рис. 28
сплошной штриховкой. При сжатии dv < 0, работа отрицательна;
прерывистая штриховка под кривой 3–4–1 покрывает площадку,
эквивалентную затрате работы на сжатие. Суммарной работе
(работе цикла lc) соответствует площадка, ограниченная кривой 1–
2–3–4; в прямом цикле lc > 0. Прямые циклы реализуются в
тепловых двигателях (иногда их называют циклами двигателей,
или энергетическими).
В обратных циклах (рис. 29) линия сжатия находится выше
линии расширения, работа обратного цикла отрицательна, lc < 0
(т. е. для реализации цикла необходимо подводить энергию извне).
Обратные циклы носят еще название холодильных, поскольку
реализуются в холодильных машинах.
Для любого цикла первое начало термодинамики можно
представить в виде
∫ dq = ∫ de + ∫ dl ,
причем
интегрирование
идет
по
контуру
цикла.
Согласно
уравнению (1.29), ∫ de =0, поэтому
∫ dq = ∫ dl ,
qc = l c ,
(1.73)
где qc = ∫ dq, lc = ∫ dl — теплота и работа в цикле.
Следовательно, суммарная теплота, полученная рабочим
телом за цикл, равна работе, совершенной рабочим телом над
окружающей средой. На одних участках цикла рабочее тело
получает теплоту, а на других отдает, поэтому теплоту цикла qc
можно представить в виде суммы
qc = q1 − q2 ,
(1.74)
где q1 — теплота, полученная на всех участках цикла; q2 — теплота,
отданная на всех участках цикла. Знак (–) показывает, что теплота
q2 отводится, т. е. является для системы отрицательной.
Из равенств (1.73) и (1.74) следует, что lc = q1 − q2 .
59
Важнейшей характеристикой всех прямых циклов является
коэффициент полезного действия (КПД) η, характеризующий
эффективность преобразования подведенной теплоты в работу:
η=
lc q1 − q2
q
=
= 1− 2 .
q1
q1
q1
(1.75)
Формула (1.75) может применяться при анализе как
обратимых циклов (полностью состоящих из обратимых
процессов), так и циклов необратимых. КПД обратимого цикла
называется термическим и обозначается ηt, (от англ. thermal).
1.5.3. Формулировки второго начала
Первое начало позволяет установить количественные
соотношения между работой, теплотой и внутренней энергией
термодинамической системы, однако оно не указывает на
качественное различие процессов передачи теплоты и совершения
работы и не определяет направления самопроизвольных
термодинамических процессов. На эти вопросы дает ответ второе
начало термодинамики.
Второе начало, как и первое, является обобщением человеческого опыта: критерием достоверности обоих начал является
отсутствие каких-либо процессов, в которых бы они нарушались.
Никаких иных доказательств первого и второго начал быть не
может. Это — постулаты, на которых строится вся термодинамика.
Единой общепринятой формулировки второго начала до
настоящего времени не существует, хотя попытки создать ее весьма
многочисленны. Однако всегда можно показать, что при
выполнении постулата, указанного в одной из формулировок,
выполняется постулат из любой другой формулировки.
Р. Клаузиус утверждал, что невозможен самопроизвольный
переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Это
утверждение соответствует человеческому опыту и не
противоречит представлению о том, что все реальные процессы
60
необратимы: мы видели, в частности, что процесс передачи
теплоты при конечной разности температур необратим.
Иначе сформулировал второе начало М. Планк. Чтобы лучше
понять его мысль, вспомним, что под окружающей средой мы
договорились понимать все объекты материального мира,
окружающие термодинамическую систему (см. разд. 1.1.). Однако
при этом не требовалось, чтобы среда окружала систему “со всех
сторон” или имела одинаковую во всех своих частях температуру.
Если, например, в жаркий день автомобиль переезжает через ручей,
то колеса машины соприкасаются с холодной водой, а прочие
части — с теплым воздухом. Автомобиль вполне можно считать
термодинамической системой, а воду и воздух — окружающей
средой. Налицо даже две среды: одна из них холоднее, чем
термодинамическая система, другая — горячее. Назовем холодной
средой все объекты материального мира, соприкасающиеся с
термодинамической системой, если их температура ниже, чем
температура системы. Горячая среда, естественно, должна иметь
температуру более высокую, чем температура термодинамической
системы.
М. Планк утверждал, что невозможно создать периодически
работающую машину, все действия которой сводились бы к
поднятию груза (т. е. к совершению работы) и к охлаждению одной
только горячей среды. Эта формулировка очень важна, так как она
по существу утверждает, что в цикле нельзя полностью
преобразовать теплоту в работу: в любом цикле кроме участков, на
которых теплота подводится, должны быть участки, где она
отводится. Таким образом, в формуле (1.74) второе слагаемое
справа не равно нулю (q2 ≠ 0), и КПД любого цикла
η = 1 − q2 q1 < 1.
Второе начало устанавливает качественное различие между
теплотой и работой. Действительно, работу можно полностью
превратить в теплоту (например, посредством трения), а теплоту,
полученную от горячей среды, полностью в работу превратить
нельзя, некоторую ее часть необходимо передать холодной среде.
61
Одна из распространенных формулировок первого начала
термодинамики такова: невозможно создать двигатель, который
мог бы бесконечно совершать работу без подвода энергии извне
(такую машину принято называть вечным двигателем первого
рода (perpetuum mobile (ppm-1))). Двигатель, который мог бы всю
теплоту, полученную рабочим телом от горячей среды,
преобразовать в работу, не отдавая сколько-нибудь теплоты
холодной среде, принято называть вечным двигателем второго
рода (ppm-2). Введение этих терминов позволяет свести воедино
формулировки первого и второго начал: невозможно создать
вечный двигатель ни первого, ни второго рода.
Кроме приведенных формулировок, в разделе 1.5.5 мы
рассмотрим и другие, а теперь обратимся к циклу, занимающему
особое место в термодинамике, — к циклу Карно.
1.5.4. Цикл Карно. Теорема Карно
В 1824г. С. Карно предложил цикл, который состоит из двух
изотермических и двух адиабатных процессов (рис. 30). Этот цикл
имеет
огромное
значение
для
оценки
эффективности
преобразования энергии в реальных (и сколь угодно сложных)
циклах тепловых двигателей и холодильных машин. В знак
признания заслуг С. Карно и значения его работ для современной
термодинамики предложенный им цикл назван циклом Карно.
Рассмотрим цикл Карно подробнее. Для осуществления
процесса Т = const нужна среда с постоянной температурой, которая
не менялась бы при отводе или подводе теплоты (такая среда
должна иметь бесконечно большую теплоемкость). В цикле Карно
действуют горячая изотермическая среда с температурой Th и
холодная изотермическая среда с температурой Тс (от англ. hot —
горячий, cold — холодный).
62
Рис. 30.
Рабочее тело получает теплоту от горячей среды и
изотермически расширяется (процесс 1–2). Затем тепловой контакт
с горячей средой нарушается, и рабочее тело совершает адиабатное
расширение 2–3, которое заканчивается, когда температура
рабочего тела приближается к Тс. При соприкосновении с холодной
средой рабочее тело совершает изотермическое сжатие 3–4, после
чего вновь “отрывается” от изотермы и совершает адиабатное
сжатие 4–1, возвращаясь в начальное состояние 1. Если
температура рабочего тела в процессе 1–2 с точностью до
бесконечно малой величины dT1 равна температуре горячей среды
(Т1 = Th – dT1), а в процессе 3–4 температура Т3 = Тс + dT3, причем
все процессы являются равновесными, то цикл Карно обратим. На
участке 1–2 подводится теплота q1, на участке 3–4 отводится
теплота q2 (на рис. 30 показано стрелками).
Если провести рассматриваемый цикл в обратном
направлении, то от холодной среды будет отведено столько же
теплоты, сколько подведено было в прямом цикле, а к горячей
среде подведено столько же, сколько было отведено от нее в
прямом цикле (с точностью до бесконечно малых). Работа,
необходимая для проведения обратного цикла с той же точностью,
равна работе, получаемой в прямом цикле, т. е. дополнительных
затрат энергии на возврат рабочего тела в исходную точку не
потребуется.
63
Если перепады температур ∆Т1 = Th –T1, ∆Т3 = T3 – Тс имеют
конечное значение, либо часть процессов неравновесна, то цикл
Карно становится необратимым, и работа, необходимая на
проведение обратного цикла, больше работы, полученной в прямом
цикле.
Вычислим КПД обратимого цикла Карно, в котором рабочим
телом является идеальный газ. Для этого удобно использовать
формулу (1.50). Вычислим q1 и q2:
q1 = RT1 ln
v
v2
; q2 = RT1 ln 3 ;
v1
v4
подставим эти значения в формулу (1.75); получим
ηt =
T1 ln (v2 v1 ) − T3 ln (v3 v4 )
.
T1 ln (v2 v1 )
(1.76)
Рассмотрим теперь адиабатные процессы 2–3, 3–4, используя
связь между объемом и температурой:
T2 T3 = (v3 v2 ) k −1 и T1 T4 = (v4 v1 ) k −1.
(1.77)
Поскольку T2 = Т1, а T3 = T4, в выражениях (1.77) левые части
равны, следовательно равны и правые их части:
(v3 v2 ) k −1 = (v4 v1 ) k −1; v3 v4 = v2 v1 .
Это позволяет определить термический КПД цикла Карно:
ηt =
T1 − T3
.
T1
Поскольку цикл обратим (Т1 = Th – dT1; Т3 = Тс + dT3) то с
точностью до бесконечно малых
ηt =
Th − Tc
.
Th
(1.78)
Формула (1.78) выведена для рабочего тела, являющегося
идеальным газом. С. Карно доказал теорему, которая утверждает,
что КПД цикла Карно не зависит от рода рабочего тела (т. е.
формула (1.78) справедлива для любых рабочих тел).
64
Доказать теорему Карно можно так. Пусть две тепловые
машины работают по обратимому циклу Карно при одних и тех же
температурах Th и Тс, причем рабочие тела в этих машинах
различны (рис. 31).
Рис. 31.
Допустим, что и КПД обоих циклов различны, например, ηt2 >
ηt1. Процессы в циклах обратимы, поэтому, если первую машину
заставить работать по обратному циклу, то теплота и работа
изменят лишь знак, а не величину.
Допустим, что машина 1 работает по обратному циклу; его
параметры Q' и L'. Машина 2 работает по прямому циклу, его
параметры Q" и L". Количество рабочего тела в циклах не влияет на
КПД. Воспользуемся этим и подберем количество рабочего тела в
цикле 1 таким образом, чтобы теплота, отдаваемая им горячей
среде, равнялась теплоте, которая отводится от той же горячей
среды в цикле 2:
Q1′ = Q1′′.
(1.79)
Поскольку
ηt1 =
L′ Q1′ − Q2′
Q′
L′′ Q1′′ − Q2′′
Q′′
=
= 1 − 2 ; ηt 2 =
=
= 1− 2 ,
Q1′
Q1′
Q1′
Q1′′
Q1′′
Q1′′
условие ηt2 > ηt1 принимает вид
L′′ L′
Q′′
Q′
> ; 1− 2 > 1− 2 ;
Q1′′ Q1′
Q1′′
Q1′
L′′ Q1′′
>
= 1.
L′ Q1′
65
Отсюда следует, что L" > L', т. е. машина 2 совершает работу
большую, чем требуется на привод машины 1, в результате чего
образуется разность работ ∆L = L" – L'>0.
Одновременно необходимо признать, что Q2' > Q2", т. е.
машина 1 забирает от холодной среды больше теплоты, чем
машина 2 той же среде отдает. Образуется избыток теплоты ∆Q =
Q2' – Q1" >0. Итак, мы получили работу ∆L, используя теплоту
одной только горячей среды ∆Q, что противоречит второму началу
в формулировке М. Планка. Следовательно, допущение, что ηt2 >
ηt1
неверно.
Аналогично
доказывается
невозможность
противоположного неравенства ηt2 < ηt1, пoэтому единственно
приемлемым остается условие ηt2 = ηt1, что и требовалось доказать.
1.5.5. Энтропия, ее изменение в обратимых и необратимых
процессах
Рассмотрим произвольный круговой процесс А (рис. 32),
совершаемый 1 кг рабочего тела между горячей и холодной
средами с температурами Th и Тс соответственно. В точках а и b
температура рабочего тела совпадает с температурой этих сред, во
всех остальных точках цикла А температура рабочего тела
отличается от температур сред на конечную величину. Если даже
процессы расширения и сжатия пройдут бесконечно медленно, то
процесс теплообмена рабочего тела с горячей и холодной средами
будет необратим всюду, кроме точек а и b. Следовательно, будет
необратим и весь цикл А. Значит, для того, чтобы произвольный
цикл А стал обратимым, двух изотермических сред недостаточно.
Сколько же таких сред нужно?
Для ответа на этот вопрос проведем через цикл А ряд адиабат
(рис. 33), а через точки их пересечения с контуром цикла проведем
изотермы. Получившаяся фигура вписана внутрь контура А и
состоит из нескольких, например, из n циклов Карно.
66
Рис. 32.
Рис. 33.
Для реализации элементарного обратимого цикла Карно
необходимы две изотермические среды с разной температурой, а
для того, чтобы обратимо провести приближенную модель
исходного цикла А, необходимо 2n изотермических сред (n горячих
и n холодных), причем их температуры должны находиться в
интервале от Th до Тс. Для каждого i-го цикла Карно
ηti = 1 − ∆q2i ∆q1i = 1 − T2i T1i ,
где ∆q1i , ∆q2i — отведенная и подведенная в i-м цикле теплота; Т1i
и T2i — температуры горячей и холодной сред, соответственно, в iм цикле.
Если учесть, что ∆q2i < 0 , то
−
∆q2i ∆q1i
∆q2i ∆q1i
=
;
+
= 0.
T2i
T1i
T2i
T1i
В адиабатных процессах теплота не передается, поэтому
совокупность n циклов Карно близка по эффективности к
исходному циклу А (имеет тот же термический КПД). Суммируя
величины ∆qi T отдельно по участкам подвода и отвода теплоты,
перейдем к пределу и вычислим интеграл по всему контуру А:
n
∑ (∆q2i
n →∞
lim
i =1
T2i + ∆q1i T1i ) =
dq
∫T
A
= 0.
(1.80)
67
Уравнение (1.80) выведено Р. Клаузиусом и носит его имя, а
интеграл
dq
∫T
называют интегралом Клаузиуса.
A
Подынтегральную функцию в формуле (1.80) обозначим
dq
∫T
= ds , а ее интеграл назовем энтропией s (до сих пор речь шла
A
об 1 кг рабочего тела, поэтому указанную величину точнее
называть удельной энтропией, а величину S = ms — полной
энтропией термодинамической системы; единицы их измерения,
Дж
Дж
соответственно,
и
).
кг ⋅ К
кг
Из формулы (1.80) следует, что интеграл Клаузиуса для
произвольного обратимого цикла равен нулю. Дифференциал
энтропии ds — полный дифференциал, поскольку сама энтропия
определяется только состоянием термодинамической системы. Для
энтропии справедливы и остальные требования к функциям
состояния; их, кроме полученного соотношения (1.80), выражают
равенства:
⎛ ∂s ⎞
⎛ ∂s ⎞
ds = ⎜ ⎟ dT + ⎜⎜ ⎟⎟ dp
⎝ ∂T ⎠ p
⎝ ∂p ⎠T
(1.81)
и
n
s = ∑ si .
i =1
(1.82)
Значения s считают известными с точностью до постоянной,
поскольку в расчеты входит разность ∆s = s2 – s1.
Все изложенное роднит энтропию с такими функциями
состояния, как внутренняя энергия и энтальпия, но физический
смысл энтропии гораздо сложнее и глубже.
Исследуем понятие энтропии, используя представление о
КПД необратимого цикла. Начнем с цикла Карно, в котором на
участке подвода теплоты сохраняется конечная разность
температур ∆T (рис. 34).
68
Рис. 34
Рис. 35
В таком цикле КПД (строго говоря, его нельзя назвать
термическим, ведь в цикл входит необратимый процесс 1–2!):
η∗t =
T1 − Tc (Th − ∆T ) − Tc Th − Tc − ∆T
=
=
=
T1
Th − ∆T
Th − ∆T
(Th − Tc )[1 − ∆T /(Th − Tc )] Th − Tc
=
B,
Th (1 − ∆T / Th )
Th
где
B=
1 − ∆T /(Th − Tc )
< 1.
1 − ∆T / Th
Следовательно, η∗t < ηt : КПД в необратимом цикле Карно
оказывается меньше, чем в обратимом. Заполним контур любого
необратимого цикла А (см. рис. 33) n элементарными циклами
Карно; нетрудно показать, что в пределе, при n → ∞,
dq
∫T
< 0.
A
(1.83)
Объединив формулы (1.83) и (1.80), получим
dq
∫T
A
≤ 0.
(1.84)
69
Другими словами — интеграл Клаузиуса не превышает
нуля ни для обратимых, ни для необратимых циклов любой
конфигурации.
Заметим, что определенную таким образом функцию s
можно использовать для описания любых процессов, а не только
термодинамических циклов.
Понятие дифференциала энтропии ds как величины, эквивалентной подынтегральной функции интеграла Клаузиуса,
введено пока только для обратимого процесса. Рассмотрим теперь,
как меняется энтропия в процессе необратимом (рис. 35).
Допустим, что на отрезке 1а2 цикла В протекает необратимый
процесс (строго говоря, необратимые, а следовательно,
неравновесные процессы изображать в равновесной диаграмме
состояний нельзя, поэтому участок 1а2 показан на рис. 35
штриховой линией). К циклу В применимо соотношение (1.84).
Разобьем интеграл по замкнутому контуру В на два криволинейных
интеграла
dq
∫T
dq
=
B
∫T
1a 2
+
dq
∫T
< 0.
2b1
Второе слагаемое в левой части неравенства — интеграл по
равновесной части цикла, поэтому подынтегральное выражение
можно заменить на ds:
dq
∫T
2b1
=
∫ ds = s1 − s2 ;
2b1
отсюда следует, что
dq
∫ T + (s1 − s2 ) < 0;
∆s1− 2 = s2 − s1 >
1a 2
dq
∫T,
1a 2
т. е. изменение энтропии в необратимом процессе больше,
чем интеграл Клаузиуса в этом же процессе.
Для элементарного необратимого процесса ds >
вспомнить, что в обратимом процессе ds =
единую формулу
dq
,
T
dq
.
T
Если
то можно записать
70
ds ≥
dq
,
T
(1.85)
справедливую как для обратимых, так и для необратимых
процессов. Знак равенства относится к обратимым процессам, а
знак неравенства — к необратимым.
Для теплоизолированных (адиабатных) систем, где q = 0,
равенство (1.85) принимает форму ds ≥ 0 , причем и в этом случае
знак равенства относится к обратимым, а неравенства — к
необратимым процессам. Следовательно, при протекании любых
процессов энтропия теплоизолированной системы убывать не
может: она остается постоянной, если процессы обратимы, или
возрастает, если они необратимы.
Этот вывод является по существу еще одной формулировкой
второго начала: энтропия — мера необратимости процессов в
изолированной системе.
В изучении физического смысла энтропии выдающаяся роль
принадлежит
Л. Больцману,
который
связал
энтропию
термодинамической системы в некотором состоянии с термодинамической вероятностью этого состояния.
Термодинамическая
вероятность
коренным
образом
отличается от вероятности математической. Поясним это на
примере. Пусть 1 кг газа в некотором состоянии имеет температуру
700 К.
Известно,
что
температура — статистическая
характеристика, пропорциональная среднеквадратичной скорости
молекул газа. Среднюю температуру 700 К можно поддерживать,
когда половина частиц газа имеет скорость, соответствующую
температуре 800 К, а половина — скорость, соответствующую
600 К (первое макросостояние), или же одна треть частиц имеет
скорость, соответствующую 600 К, одна треть — 700 К и одна
треть — 800 К (второе макросостояние) и т. д. Ясно, что таких
макросостояний
множество,
поэтому
термодинамическая
вероятность состояния выражается большим целым числом
(тогда как математическая вероятность всегда меньше или равна 1);
она
определяет
число
микросостояний,
реализующих
макросостояние термодинамической системы.
71
Л. Больцман показал, что в необратимых процессах термодинамическая вероятность каждого последующего состояния
больше, чем предыдущего. Если считать термодинамический
процесс последовательностью состояний, то термодинамическая
вероятность w будет возрастающей функцией, т. е. dw > 0 (для
обратимых процессов все состояния равновероятны, при этом dw =
0). Формально термодинамическая вероятность и энтропия системы
близки по смыслу, что и позволило Л. Больцману представить
энтропию системы в форме
s = k ln w,
(1.86)
где k = 1,38054·10–26 кДж/кг — постоянная Больцмана.
Л. Больцман полагал, что “природа стремится от состояний,
менее вероятных, к состояниям, более вероятным”. Это
утверждение также можно считать формулировкой второго начала.
Следует помнить, что принцип возрастания энтропии применим
только к изолированным системам. Кроме того, любая
термодинамическая система должна быть замкнутой, поэтому
использовать его за пределами этих ограничений, например, для
анализа процессов во Вселенной, недопустимо.
Соотношение (1.85) в сочетании с уравнением первого начала
позволяет
объединить
оба
основных
закона
(начала)
термодинамики. Из уравнения (1.85) следует, что dq ≤ Tds ;
объединенное
уравнение
термодинамики примет вид
первого
и
второго
начал
Tds ≥ de + pdv
(1.87)
Tds ≥ dр − vdp.
(1.88)
или
Соотношения (1.87) и (1.88) справедливы для любых
процессов — обратимых и необратимых.
1.5.6. Т–s-диаграмма состояний. Изменение энтропии в
процессах идеального газа
72
Из формулы (1.85) следует, что теплота произвольного обратимого процесса, идущего от состояния 1 к состоянию 2,
s2
q1− 2 = ∫ Tds.
s1
Если по оси абсцисс отложить энтропию системы, а по оси
ординат — абсолютную температуру, то площадь под кривой
процесса 1–2 в такой диаграмме состояний будет равна теплоте,
подведенной (отведенной) в данном процессе (рис. 36). Это
обстоятельство делает диаграмму T–s чрезвычайно удобной, и
наряду с p–v-диаграммой ее широко используют в термодинамике.
По аналогии с диаграммой p–v (рабочей) Т–s-диаграмму называют
тепловой диаграммой состояний.
Рис. 36
Рис. 37
Применим Т–s-диаграмму к анализу процессов идеального
газа. Изменение энтропии газа в обратимых процессах х = const
можно оценить, используя объединенное уравнение первого и
второго начал (1.87):
Tds ≥ de + pdv.
Если подставить в эту формулу значение de = cvdT и поделить
обе части на Т, то получим
ds = cv
dT pdv
+
,
T
T
73
но для идеального газа
p R
= , поэтому
T v
dT
dv
+R .
T
v
Рассчитаем изменение энтропии в произвольном обратимого
процессе 1–2. При этом вспомним, что разность s2 – s1, не зависит
от пути интегрирования, поскольку s — функция состояния.
Изобразим процесс 1–2 в диаграмме состояний v–T(она “ничем не
хуже”, чем р–v или Т–s-диаграммы, а в данном случае делает
рассуждения более наглядными). Переведем рабочее тело из
состояния 1 в состояние 2 не по первоначальному пути 1а2, а по
ломаной 1b2, состоящей из отрезков изохоры v = const и изотермы
Т= const (рис. 37). Поскольку на прямой 1b dv = 0, а на прямой b2 dT
= 0,
ds = cv
∆s1− 2
Tb
2
v
dT 2 dv
= s2 − s1 = ∫ ds = ∫ cv
+ ∫R ,
T
v
1
T
v
1
b
но, с другой стороны, Тb = Т2, vb = v1 отсюда
T
∆s1− 2 = cvm T2 ln
1
T2
v
+ R ln 2 .
T1
v1
(1.89а)
Аналогично, используя р–Т-диаграмму, получим соотношение
∆s1− 2 = c pm
T2
T1
ln
T2
p
− R ln 2 .
T1
p1
(1.89б)
Уравнения (1.89а) и (1.896) справедливы для любого
обратимого процесса идеального газа х = const. Рассмотрим
частные случаи: Т = const, v = const, p = const, q = 0 и n = const (рис.
38).
74
Изотермический процесс 1–2Т изображен на тепловой диаграмме горизонтальной прямой, его теплота
q1− 2T = T (s2T − s1 ),
а изменение энтропии, на основании соотношений (1.89а и 1.89б)
∆sT = s2T − s1 = R ln (v2T v1 ) = R ln ( p1 p2T ).
(1.90)
Чтобы получить уравнение изохорного процесса 1–2v, ис
пользуем уравнение (1.89а). При v2 = v1 из него следует, что
∆sv = s2v − s1 = cvm T2 v ln(T2v T1 ).
T
1
(1.91)
Если в изохорном процессе заданы начальная и конечная
удельные энтропии s1 и s2, то формула (1.91) позволяет определить
конечную температуру
[
]
T2v = T1 exp (s2v − s1 ) / cvm T2 v .
T
1
(1.92)
Аналогичный анализ для изобарного процесса 1–2р дает:
s2 p − s1 = c pm
T2 p
T1
(
)
ln T2 p T1 ,
(1.93)
Поскольку сpm > cvm, экспонента (1.94) на рис. 39 идет более
полого, чем экспонента (1.92).
Адиабата 1–2s на тепловой диаграмме — вертикальная
прямая, совпадающая с линией s = const. Теплота в этом процессе
не подводится и не отводится (q1–2s = 0), изменение энтропии равно
нулю (s2s – s1 = 0).
75
В политропном процессе (n = const) из уравнения Tvn–1 =
const следует, что
v2 n v1 = (T1 T2 n )1 ( n −1) ;
кроме того, политропная теплоемкость
n−k
R
= cv −
,
n −1
n −1
поэтому из формулы (1.89а) следует, что при
cn = cv
T
cvm T2 = cv = const,
1
R ⎞
⎛
∆sn = s2 n − s1 = ⎜ cv −
⎟ ln (T2 n T1 ) = cn ln (T2 n T1 ).
n
−
1
⎝
⎠
(1.95)
Формулы (1.90), (1.91), (1.93), (1.95) позволяют вычислить
изменение энтропии. Истинное же значение энтропии в точке на
диаграмме состояний неизвестно: энтропия, как и другие функции
состояния, определена с точностью до постоянной. Для того чтобы
иметь конкретные значения s, договариваются о точке, где
энтропии приписывают нулевое значение. Такая точка для газов
соответствует нормальным условиям (TN = 273,15 К; pN = 760 мм рт.
ст.). Если энтропию отсчитывать от этой точки, то результаты
совпадут с табличными значениями энтропии:
s = cvm T ln (T TN ) + R ln(v v N ),
T
N
где vN — удельный объем газа при нормальных условиях.
В
Т–s-диаграмме
состояний
удобно
сравнивать
эффективность различных циклов. Покажем, в частности,
некоторые важные свойства цикла Карно. В осях Т–s он имеет вид
прямоугольника, причем площадь под верхней изотермой равна
подведенной теплоте, а под нижней — теплоте отведенной.
Сравним термические КПД двух циклов: обратимого цикла
Карно С и произвольного обратимого цикла А, расположенного в
том же интервале температур Th и Тс (см. рис. 39).
Термический КПД цикла С зависит только от температур Th и
Тс:
76
ηCt
= 1−
q2C
q1C
= 1−
Tc ( s3 − s4 )
T
= 1− c ,
Th ( s3 − s4 )
Th
где
q1C = Th ( s3 − s4 ); q2C = Tc ( s3 − s4 ) — теплота, подведенная и
отведенная в цикле Карно, соответственно.
Поскольку в Т–s-диаграмме теплота эквивалентна площади
под кривой процесса,
ηCt
ηtA
= 1−
q2C
= 1−
пл.e4d 3 f
;
пл.e1b 2 f
= 1−
q2A
= 1−
пл.eadcf
,
пл.eabcf
q1C
q1A
где q1A , q2A — теплота, подведенная и отведенная в цикле А,
соответственно.
Согласно рис. 39, q1C > q1A , q2C < q2A , поэтому ηCt > ηtA .
Таким образом, термический КПД цикла Карно больше,
чем термический КПД любого другого цикла в том же
интервале температур. Другими словами — цикл Карно является
своего рода эталоном, поскольку его термический КПД —
наивысший из всех возможных в данном температурном
интервале. Поэтому о термодинамическом совершенстве реального
цикла судят, сравнивая его термический КПД с термическим КПД
цикла Карно.
При анализе эффективности циклов часто используют
понятие среднеинтегральной температуры подвода и отвода
теплоты. Если в процессе 1–2 подводится или отводится теплота
77
Рис. 40.
s2
q1− 2 = ∫ T1− 2 ds,
s1
где T1− 2 — температура процесса (зависящая, в общем случае, от
параметров рабочего тела), то, на основании теоремы о среднем,
q1− 2 = T1− 2 ( s2 − s1 ),
где T1− 2 — среднеинтегральная температура процесса 1–2; поэтому
T1− 2 = q1− 2 /( s2 − s1 ).
(1.96)
Среднеинтегральная температура процессов подвода и отвода
теплоты позволяет рассчитать термический КПД произвольного
цикла D (см. рис. 40). На участке abc этого цикла теплота
подводится, так как здесь ds > 0 и, поэтому Tds = dq > 0. На участке
cda теплота отводится (здесь ds < 0 и dq < 0). Подведенная теплота
q1D = qabc = Th ( sc − sa ),
где
Th — среднеинтегральная
температура
подвода
теплоты;
отвода
теплоты.
отведенная теплота
q2D = qcda = Tc ( sa − sc ) = Tc ( sc − sa ),
где
Tc — среднеинтегральная
температура
Следовательно, термический КПД цикла D
78
ηtD
= 1−
q2D
q1D
= 1−
Tc
.
Th
(1.97)
Формулу
(1.97)
широко
используют
при
эффективности циклов двигателей и холодильных машин.
оценке
1.5.7. Термодинамическая шкала температур
С помощью цикла Карно можно ввести температурную
шкалу, которая не зависит от свойств термометрического тела, —
термодинамическую шкалу температур.
У. Томсон (Кельвин) рассмотрел совокупность элементарных
циклов Карно, осуществляемых между температурами Т1 и Т2, Т2 и
Т3, Т3 и Т4 и т. д. (рис. 41). Для таких циклов
T1 q1 T2 q2 T3 q3
= ;
= ;
= ;...
T2 q2 T3 q3 T4 q4
После преобразований получим последовательно:
T1 − T2 q1 − q2 T2 − T3 q2 − q3 T3 − T4 q3 − q4
;
;
;...
=
=
=
T2
q2
T3
q3
T4
q4
T1 − T2 q1 − q2 T2 − T3 q2 − q3
;
;...
=
=
T2 − T3 q2 − q3 T3 − T4 q3 − q4
Если принять, что Т1 – Т2 = T2 – T3 = T3 – T4=z, то в каждом из
элементарных циклов Карно термический КПД будет одним и тем
же.
Итак, отношение температурных интервалов равно
отношению теплоты, преобразуемой в работу в элементарных
циклах, а оно никак не связано с родом вещества, используемого в
термометрии.
Кельвин зафиксировал нижний температурный уровень на
отметке Т0а=–273,15 °С, что соответствует состоянию, когда
движение микрочастиц должно прекратиться (абсолютному нулю
температур). Если теплота отводится при Т0а=0, ηt = 1, что
противоречит второму
температур недостижим.
началу,
поэтому
абсолютный
нуль
79
Пусть цикл Карно ABCD осуществляется в интервале
температур от Ts = 100 °С до Тm = 0 °С — между точками кипения
воды и таяния льда (индексы соответствуют англ. saturation и
melting).
Если разбить цикл ABCD на 100 одинаковых циклов Карно,
то работа каждого из них составит 0,01 от общей работы цикла
ABCD, причем эта калорическая величина будет соответствовать
единице температуры — одному градусу (1 °С совпадает по
величине с 1 К).
Практическая
реализация
термодинамической
шкалы
потребовала бы точных измерений количества теплоты на
изотермах, что связано с большими трудностями в постановке
экспериментов.
В
интервале
температур
1…1530 К
термодинамическую шкалу температур реализуют с помощью
идеально-газовых термометров. Их устройство чрезвычайно
просто. В сосуде постоянного объема находится газ, при нагреве
давление в сосуде увеличивается, а температуру газа рассчитывают
по уравнению Клапейрона-Менделеева
T=
vp
= const ⋅ p.
R
80
Рис. 41.
Использование идеально-газового термометра не умаляет
ценности главного вывода, сделанного Кельвином: существуют
температурные
шкалы,
не
зависящие
от
свойств
термометрического тела, а идеально-газовая температура лишь
приближенно совпадает с одной из этих шкал.
1.6. ЦИКЛЫ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
В зависимости от процесса, в котором подводится теплота,
поршневые двигатели внутреннего сгорания (ДВС) делятся на
несколько типов. ДВС карбюраторного типа работают на бензине,
подвод теплоты в них осуществляется в изохорном процессе v =
const. Дизельные ДВС работают на тяжелых топливах, теплота в
них подводится в изобарном процессе р = const. Конструктивно
оба типа ДВС близки друг к другу (рис. 42).
Вспомним последовательность процессов в цилиндре ДВС:
1. Всасывание: поршень 3 из верхнего положения идет вниз,
через открытый клапан 1 топливная смесь (воздух в дизельном
ДВС), поступает в цилиндр.
2. Сжатие: поршень 3 движется вверх, оба клапана 1 и 2
закрыты, топливная смесь (воздух в дизельном ДВС) сжимается,
одновременно повышается температура в цилиндре. В дизельном
ДВС в конце сжатия в цилиндр специальным насосом подается
порция топлива.
3. Расширение (рабочий ход): оба клапана 1 и 2 закрыты, за
счет электрической искры в карбюраторном ДВС (или под
воздействием высокой температуры в ДВС дизельном) топливо
воспламеняется и сгорает. Продукты сгорания, расширяясь,
перемещают поршень 3 вниз. При этом совершается работа,
которая может быть использована почти целиком.
4. Выхлоп: клапан 2 открывается (клапан 1 закрыт), поршень
3 идет вверх и выталкивает продукты сгорания.
Далее процессы в цилиндре повторяются.
81
Рис. 42.
Рис. 43
Индикаторная диаграмма цикла ДВС (зависимость
давления в цилиндре р от объема V газа) представлена на рис. 43.
Линия 0–1 характеризует процесс всасывания; 1–2 — сжатия, а 2–
3 — подвода теплоты. Для дизельных ДВС процесс 2–3 вытянут
вдоль горизонтальной оси, т. е. близок к изобарному; для
карбюраторных ДВС он, наоборот, идет почти вертикально, т. е.
близок к изохорному (это объясняется различием процессов
смесеобразования и разницей в скорости испарения и сгорания
топлива).
Рабочий ход соответствует линии 3–4, а выхлоп — 4–0. Хотя
цилиндр двигателя принудительно охлаждают, процессы 1–2 и 3–4
близки к адиабатным, поскольку через стенки цилиндра отводится
значительно меньше теплоты, чем ее выделяется при сгорании
топлива. Расширение газа при выхлопе ограничено ходом поршня,
точка 4 находится выше точки 1 и почти на одной с ней вертикали;
это позволяет считать, что выхлоп приближается к изохорному
процессу v = const. Линии 0–1 и 4–0 мало отличаются по давлению,
работа выхлопа и работа всасывания взаимно почти
уравновешиваются, в расчет их можно не вводить.
Для того, чтобы перейти к анализу термодинамических
процессов в ДВС, надо сделать некоторые допущения: рабочим
телом будем считать воздух, совершающий замкнутый процесс
внутри цилиндра. Допустим также, что воздух обладает свойствами
82
совершенного газа (его теплоемкости ср и cv постоянны). Все
расчеты проведем в удельных величинах — для 1 кг рабочего тела.
1.6.1. Цикл с изохорным подводом теплоты (цикл Отто)
В циклах ДВС с изохорным подводом теплоты процесс
горения протекает настолько быстро, что объем газа почти не
меняется; это позволяет считать теплоподвод изохорным (рис. 44).
Термический КПД цикла Отто
ηO
t = 1−
c (T − T )
q2
T −T
= 1− v 4 1 = 1− 4 1 .
q1
cv (T3 − T2 )
T3 − T2
Значения Т1, Т2, T3 и T4 определим из уравнений термодинамических процессов. Сжатие 1–2 идет адиабатно,
T2 = T1 (v1 v2 )k −1 = T1ε k −1.
Здесь ε = v1 v2 — степень сжатия: отношение полного объема
цилиндра к объему камеры сгорания.
При
изохорном
T3 = T2 ( p3 p2 ) = T2 λ = T1ε k −1λ
(где
подводе
λ = p3 p2 — степень
повышения давления).
Рис. 44.
теплоты
Рис. 45.
83
[
]
Рабочий ход адиабатен, поэтому T4 = T3 1 (ε k −1 ) = T1λ. Отсюда
следует, что термический КПД цикла Отто
ηO
t = 1−
1
ε k −1
.
(1.98)
Зависимость термического КПД цикла Отто ηO
t от степени
сжатия ε для двухатомного газа приведена на рис. 45. С
увеличением е термический КПД цикла увеличивается, поэтому
повышать степень сжатия выгодно. Однако при заметном
повышении ε в цилиндре карбюраторного ДВС может произойти
самопроизвольное возгорание смеси (детонация), что приведет к
быстрому разрушению конструкции; в связи с этим степень сжатия
ε в таких ДВС редко превышает 10…12. График на рис. 45
характеризует термический КПД цикла Отто; его эффективный
(фактический) КПД оказывается существенно меньшим (см. разд.
1.7.4).
Полезная работа цикла Отто
1 ⎞
⎛
k −1
lcO = q1ηO
(λ − 1)⎜1 − k −1 ⎟ ,
t = cvT1ε
⎝ ε ⎠
(1.99)
на диаграмме р–v работе lcO соответствует заштрихованная
площадка.
1.6.2. Цикл с изобарным подводом теплоты (цикл Дизеля)
Степень сжатия ε в цикле Отто ограничена температурой Т3
при ее повышении смесь детонирует. Чтобы увеличить ε,
необходимо сжимать негорючий газ (воздух), а только потом
впрыскивать в него менее летучее, чем бензин, не детонирующее
топливо, которое самовоспламенится от высокой температуры,
достигнутой при сжатии. Более медленное, чем в цикле Отто,
горение приводит к изобарному повышению температуры. Такой
цикл впервые реализован Р. Дизелем и носит его имя. Цикл Дизеля
в диаграмме р–v представлен на рис. 46.
84
Рис. 46.
Рис. 47.
Термический КПД цикла Дизеля
ηtD = 1 −
c (T − T )
q2
T −T
= 1− v 4 1 = 1− 4 1 .
q1
c p (T3 − T2 )
k (T3 − T2 )
Как и прежде, рассчитаем температуры узловых точек цикла:
T2 = T1ε k −1; T3 = T2 (v3 v2 ) = T2ρ = T1ε k −1ρ,
(здесь ρ = v3/v2 — степень предварительного расширения);
T4 = T3 (v3 v4 )k −1 = T3δ k −1 ,
(здесь δ = v3/v4 — степень адиабатного расширения).
Можно показать, что δ = ρ/ε, поэтому
T4 = T1ε k −1ρρ k −1 / ε k −1 = T1ρ k −1.
Отсюда
ηtD
= 1−
ρk − 1
kε
k −1
(ρ − 1)
.
(1.100)
Термический КПД цикла Дизеля тем больше, чем выше
степень сжатия ε и чем меньше степень предварительного
расширения ρ (чем меньше ρ, тем интенсивнее горит топливо).
Степень сжатия ε в дизельных ДВС существенно выше, чем в
карбюраторных, и достигает значений 16…22.
Полезная работа цикла Дизеля
85
lcD
=
q1ηtD
= c pT1ε
k −1
k
⎛
ρ
− 1 ⎞⎟
1
(ρ − 1)⎜⎜1 − k −1 ⋅
⎟.
ρ
−
1
ε
k
⎝
⎠
(1.101)
Как и для цикла Отто, работа цикла Дизеля lcD эквивалентна
площадке, заштрихованной на р–v-диаграмме.
1.6.3. Сравнение эффективности циклов ДВС
Для сравнения эффективности циклов Отто и Дизеля используем Т–s-диаграмму (на рис. 48 в этой диаграмме изображен
цикл Отто, а на рис. 49 — цикл Дизеля).
Цикл Отто состоит из адиабаты 1–2 — сжатия; изохоры 2–
3 — подвода теплоты; адиабаты 3–4 — рабочего хода; изохоры 4–
1 — выхлопа. Напомним, что площадь а23b под кривой 2–3 равна
</,, а площадь а14b под кривой 4–1 — абсолютной величине
отведенной теплоты q2.
Цикл Дизеля состоит из адиабаты 1–2, изобары 2–3, адиабаты
3–4, изохоры 4–1. Штриховой линией показана изохора,
проходящая через точку 2. Площадь а23b равна q1, площадь а14b —
q2 (также по абсолютной величине!)
Сравним термические КПД обоих циклов при двух различных
условиях: 1) при одинаковых степенях сжатия и одинаковой
86
подведенной теплоте; 2) при одинаковых максимальных давлениях
и температурах.
1. = idem, q1 = idem. Изобразим оба цикла в одной диаграмме
(рис. 50). Точка 7, определяемая параметрами окружающей среды,
для них одинакова. Совпадают и параметры рабочего тела в точке
2, поскольку адиабате 1–2 в обоих случаях соответствует одна и та
же степень сжатия ε = v1/v2. Изохора 2–3'в цикле Отто идет круче,
чем изобара 2–3" в цикле Дизеля, а поскольку q1O = q1D , точка 3"
должна находиться правее, чтобы площади под кривыми 2–3' и 2–3"
были равны. Термические КПД циклов выразим через площади на
Т–s-диаграмме:
пл.a14′b
пл.a14′′c
; ηtD = 1 −
.
пл.a 23′b
пл.a 23′′c
По условию, q1,=idem, поэтому пл. а23'b = пл. а23"с, а пл.
ηO
t = 1−
D
а14b < пл. а14"с; отсюда ηO
t > ηt . При данных ограничениях
карбюраторный ДВС эффективнее дизельного.
Мы уже отмечали, что дизельный ДВС более эффективен
лишь при высоких степенях сжатия ε, недопустимых для
карбюраторного ДВС, поэтому полученный результат не выглядит
неожиданным.
2. q3=idem, T3=idem. Максимальные давления и температура в
циклах достигаются в точке 3, поэтому точка 3 для обоих циклов на
Т–s-диаграмме является общей (рис. 51). Общей является точка 4,
так как на входе в цилиндр газ имеет параметры окружающей
среды; точка 4 тоже оказывается для циклов общей. Изохора цикла
Отто проходит ниже изобары цикла Дизеля, поэтому точка 2'
оказывается на диаграмме T–s ниже точки 2". Термические КПД
циклов:
пл.a14b
пл.a14b
; ηtD = 1 −
.
пл.a 2′3b
пл.a 2′′3b
Отведенная теплота (пл. а14b) в обоих случаях одинакова, а
подведенная теплота в цикле Отто (пл. а2'Зb) меньше, чем в цикле
ηO
t = 1−
D
Дизеля (пл. а2"Зb), поэтому ηO
t < ηt .
87
Рис. 50.
Рис. 51.
Проведенное выше сравнение имеет под собой реальную
основу, так как характеризует соотношение термических КПД при
совпадающих удельных характеристиках ДВС. Однако оба
примера, скорее, лишь иллюстрируют саму идею сравнения
термических КПД с помощью Т–s-диаграммы. Как видим,
результат такого сравнения в различных условиях может быть
противоположным. Чтобы реально сопоставить ДВС по
эффективности, необходимо точно оговорить ограничивающие
условия и сопоставить эффективные, а не термические КПД (см.
раздел 1.7.4).
1.7. ЦИКЛЫ ГАЗОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
1.7.1. Схема и цикл с изобарным подводом теплоты
Газотурбинные установки (ГТУ) также относят к ДВС, однако
от поршневых ДВС они существенно отличаются. В ГТУ
преобразование тепловой энергии в механическую происходит при
движении газа через межлопаточные каналы газовой турбины.
Рассмотрим схему простейшей ГТУ на жидком топливе (рис.
52). Топливо подается насосом 7 в камеру сгорания 2. Туда же
компрессор 3 подает сжатый воздух. В камере 2 топливо сгорает, а
88
продукты сгорания, имеющие высокую температуру и то же
давление, что и воздух, подаваемый компрессором 3, попадают на
турбину 4. Процесс в камере сгорания является изобарным (это не
единственно возможный тип процесса, однако наиболее
распространены именно ГТУ с изобарным подводом теплоты)
камера сгорания
топливо
КС
2
турбина
К
1 компрессор
3
Т
4
эл.генератор
воздух
Рис. 52
В турбине 4 продукты сгорания сначала попадают в каналы,
образованные неподвижными лопатками направляющего аппарата
6, там разгоняются до необходимой скорости, а затем обтекают
рабочие лопатки 7 турбины и отдают ротору свою кинетическую
энергию, после чего выбрасываются в атмосферу. Ясно, что
расширение газов в турбине должно происходить до давления,
близкого к атмосферному, – поэтому процесс смешения продуктов
сгорания с атмосферным воздухом носит почти изобарный
характер. В качестве нагрузки к ГТУ можно подключать
генераторы электрического тока 5, а также другие потребители
(воздушные и гидравлические винты, другие движители, насосы и
т. д.).
Потребитель получает только часть мощности, вырабатываемой турбиной 4: остальная расходуется внутри ГТУ на привод
компрессора 3 и топливного насоса 1 (в расчетах ГТУ, работающих
на жидком топливе, затратами энергии на привод насоса обычно
пренебрегают). Как и для поршневых ДВС, рабочим телом ГТУ в
первом приближении считают воздух (с постоянными
89
теплоемкостями с р и
сv , совершающий обратимый цикл в контуре
ГТУ), и все расчеты ведут на 1 кг рабочего тела.
Изобразим цикл ГТУ с изобарным подводом теплоты (цикл
Брайтона) в диаграммах р–v и Т– s (рис. 53). Сжатие воздуха в
а)
T
p
2
q1
3
ds=0
3
dp=0
lcG
4
2
1
q2
ds=0
4
dp=0
1
b
v
a
рис. 53
компрессоре 1–2 может
быть изотермическим, политропным или адиабатным; рассмотрим
неохлаждаемый турбокомпрессор, в котором сжатие будем считать
адиабатным. В камере сгорания теплота подводится при
постоянном давлении (процесс 2–3). В турбине протекает процесс
расширения. Потеря энергии за счет отвода теплоты в окружающую
среду составляет лишь малую долю энергии, преобразованной во
вращение ротора, поэтому процесс расширения 3–4 близок к
адиабатному. Расширение продолжается до давления, близкого к
давлению окружающей среды (точки 4 и 1 лежат на одной изобаре).
Это позволяет заменить реальный процесс выхлопа в окружающую
среду изобарным процессом 4–1 и тем самым замкнуть цикл. Итак,
простейший цикл ГТУ состоит из двух адиабат и двух изобар,
причем теплота подводится на изобаре 2–3, а отводится на изобаре
4–1.
а)
1.7.2. Термический КПД цикла Брайтона
s
90
Расчет термического КПД выполним по той же схеме, что и
для поршневых ДВС:
ηG
t = 1−
c p (T4 − T1 )
q2
T −T
= 1−
= 1− 4 1 .
q1
c p (T3 − T2 )
T3 − T2
Используя уравнения адиабат (1–2 и 3–4) и изобар (2–3 и 4–1),
получим
k −1
⎞ k
⎛p
T2 = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
(здесь β = p2
p1
k −1
= T1β k ,
— степень повышения давления при адиабатном
сжатии);
v
T3 = T2 3 = T2ρ = T1β
v2
k −1
k ρ;
1− k
T4 = T3β k
= T1ρ,
отсюда
1
1
ηG
t = 1 − (k −1) k = 1 − k −1 ,
β
ε
(1.102)
где ε = v1 v2 = β1 k — степень сжатия газа.
С увеличением степени повышения давления β термический
КПД ГТУ повышается (рис. 54). Напомним, что представленные
кривые характеризуют КПД обратимого цикла; в реальных циклах
неизбежны потери энергии, поэтому их КПД всегда ниже
рассчитанного по формуле (1.102).
Рис. 54.
91
Работа цикла ГТУ
(k −1) k (ρ − 1)⎛1 − 1 ⎞ .
ltG = q1ηG
⎜
⎟
t = c pT1β
⎝ ε k −1 ⎠
(1.103
G
Из формул (1.102) и (1.103) видно, что значения ηG
t и lt тем
выше, чем больше значение k. Это приводит к мысли использовать
в качестве рабочего тела одноатомные гелий или аргон. Такой цикл
обязательно будет замкнутым, поэтому давление р4 = р1 можно
поднять значительно выше атмосферного; это сделает ГТУ гораздо
компактнее, что для транспортных систем немаловажно. Однако
замена рабочего тела потребует установить теплообменники как
для подвода теплоты q1, так и для отвода теплоты q2 что неизбежно
усложнит конструкцию ГТУ.
1.7.3. Регенеративный цикл ГТУ
На лопатках турбины ГТУ газ расширяется полнее, чем в
цилиндре поршневого ДВС, однако его температура на выходе из
турбины Т4 все еще заметно превышает температуру Т1
окружающей среды (см. рис. 53). Если поток продуктов сгорания
привести в соприкосновение (без смешения) с потоком воздуха,
сжатого в компрессоре, то эффективность ГТУ повысится; такой
цикл ГТУ называют регенеративным. Схема ГТУ с регенерацией
теплоты (рис. 55) включает теплообменник
Рис. 55
Рис. 56
92
камера сгорания
5
топливо
3
турбина
4
выхлоп
6
2
эл.генератор
компрессор
1
воздух
T
3
T3
5
2 2д
4
4д
T4д-Т5>0
Т6 -T2д- >0
6
1
a b
c d
s
(регенератор) 6, в котором продукты сгорания отдают
теплоту
qR
сжатому
воздуху
(все
прочие
обозначения
соответствуют рис. 52).
Рассмотрим регенеративный цикл ГТУ, считая, что теплота
выхлопных газов полностью передается сжатому воздуху (рис. 56).
Без регенерации подведенная теплота q1 определялась бы
площадью под кривой 2–3 (пл. а23б), а отведенная q2 — площадью
под кривой 2–3 (пл. а14б). В регенеративном цикле газ после
компрессора нагревается от температуры Т2 до T2′ = Т4. Выхлопные
газы из турбины, отдавая теплоту сжатому воздуху, охлаждаются,
но при этом, в соответствии со вторым началом, их температура не
может опуститься ниже T2′ = Т4. В регенеративном цикле для
93
подогрева газа до температуры Т4 потребуется подвести теплоту
q1GR , эквивалентную пл. с2'Зб, которая, конечно, меньше, чем
теплота q1 в цикле без регенерации. Меньше теплоты отдается и в
окружающую среду: эта величина q2GR эквивалентна пл. а14'd и
ниже, чем q2 Термический КПД регенеративного цикла ГТУ
ηGR
t
= 1−
q2GR
q1GR
= 1−
c p (T4′ − T1 )
T′ −T
= 1− 4 1 .
c p (T3 − T2′ )
T3 − T2′
(1.104)
В случае полной регенерации теплоты T2′ = Т4, T4′ = Т2.
Подставим в уравнение (1.104) значения температур Т2 и Т4,
вычисленные по формулам, указанным в разд. 1.7.2; получим
ηGR
= 1−
t
T2 − T1 T1 (T2 T1 ) − 1
= ⋅
.
T3 − T4 T4 (T3 T4 ) − 1
Но в адиабатных процессах 1–2 и 3–4
k −1
p3 ⎞ k
⎟
T3 ⎛
=⎜
T4 ⎜⎝ p4 ⎟⎠
k −1
⎞ k
T ⎛p
; 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
T1 ⎝ p1 ⎠
k −1
=β k ,
а в изобарных процессах 2–3 и 4–1 р3=р2, p4=p1, поэтому Т2/Т1 =
Т3/Т4, и
ηGR
= 1−
t
где
T1
1
1
1
,
= 1−
= 1−
= 1−
k −1
T4
T4 T2
T2
⋅
γ maxβ k
T1
T2 T1
γ max = T4 T1 > 1 — степень
подогрева
воздуха
(1.105)
за
счет
регенерации (индекс “mах” означает, что теплота продуктов
сгорания используется полностью).
Сравнение формул (1.105) и (1.102) показывает, что
регенерация повышает термический КПД ГТУ:
ηGR
> ηG
t
t ,
что вполне объяснимо: при регенерации среднеинтегральная
температура подвода теплоты повышается, среднеинтегральная
температура отвода понижается, поэтому эквивалентный цикл
Карно совершается в большем интервале температур.
94
При анализе мы предполагали, что теплота выхлопных газов
полностью возвращается в цикл, а сжатый воздух может быть
нагрет до температуры газов, выходящих из турбины. В
действительности нагреть воздух до максимальной температуры
выхлопных газов не удается. Это несколько снижает прирост
термического КПД; тем не менее, регенерация теплоты в цикле
Брайтона заметно повышает эффективность ГТУ.
1.7.4. Эффективность реальных циклов
Эффективность реальных циклов поршневых ДВС и ГТУ
существенно меньше, чем определенная через их термические КПД,
поскольку циклы состоят из реальных, а значит, необратимых
процессов.
Причиной необратимости может быть рассеяние энергии за
счет трения при течении рабочего тела в межлопаточных каналах
ГТУ, в коллекторах, клапанах и цилиндрах ДВС, в подшипниках,
трансмиссии и т. д. В КПД таких циклов правильнее вводить не
физическую работу l, а действительную l r (от англ. rеаl —
действительная). Вычисленный таким образом КПД называют
внутренним КПД цикла ηi (от англ. intеrnal):
lr
ηi = .
q1
Однако если, например, ηi = 0,4 , то невозможно сказать,
“хороший” это цикл или “плохой”: неясно ведь, в какой мере
связана величина ηi с необратимыми потерями в цикле, а в
какой — с уровнем температур горячей и холодной сред.
Представим величину ηi , по-другому:
l rl l r
ηi =
= ηt = ηoi ηt .
lq1 l
(1.106)
95
lr
Здесь ηoi =
— внутренний относительный КПД, он
l
характеризует влияние необратимости процессов на эффективность
преобразования теплоты в работу и численно равен отношению
действительной работы цикла к теоретически возможной.
Поскольку в любом цикле, согласно первому началу,
l = ∫ pdv = − ∫ vdp = lт ,
(1.107)
значение ηoi можно определить как через физическую работу l, так
и через работу техническую lт. Выбор определяется только
удобством расчетов: для циклов ГТУ удобнее использовать lт, а для
циклов ДВС — l.
Ясно, что в цикле ГТУ (см. рис. 53) действительная
техническая работа
r
r
lтr = lт3
-4 − l т1-2 ,
(1.108)
r
r
где lт3
-4 , l т1-2 — действительная техническая работа турбины и
компрессора, соответственно.
r
r
Поскольку lт3
-4 > 0, l т1-2 < 0 , равенство (1.108) следовало бы
представить в форме
r
r
lтr = lт3
-4 − l т1-2 ;
знак модуля далее опускаем исключительно в силу традиции.
r
Величины l т3
-4
r
и l т1
-2 свяжем с технической работой обратимых
процессов расширения и сжатия l т3-4
и l т1-2 :
r
l т3
-4 = η0i 3− 4 ⋅ l т3-4 = η0i 3− 4 (h3 − h4 ) ;
r
lт1
-2 =
lт1-2
h −h
= 2 1,
η0i1− 2 η0i1− 2
(1.109)
(1.110)
где η0i 3− 4 , η0i1− 2 — относительные внутренние КПД турбины и
компрессора, соответственно.
96
Значения
η0i 3− 4 и η0i1− 2
определяют
теоретически
или
экспериментально; оба способа сложны и выходят за пределы
нашего курса. Далее полагаем, что эти величины заранее заданы.
Поскольку в любом случае η0i 3− 4 < 1, η0i1− 2 < 1 из формул
r
r
(1.109) и (1.110) следует, что lт3
- 4 < l т3- 4 , l т1- 2 > l т1- 2 : необратимость
уменьшает техническую работу
техническую работу сжатия.
расширения
и
увеличивает
Вычислим теперь ηG
0i , для всего цикла ГТУ, используя
равенства (1.108)-(1.110):
ηG
0i =
h2 − h1
T −T
η0i 3− 4 (T3 − T4 ) − 2 1
η0i1− 2
η0i1− 2
.
=
(h3 − h4 ) − (h2 − h1 )
(T3 − T4 ) − (T2 − T1 )
η0i 3− 4 (h3 − h4 ) −
Для
современных
турбин
η0i 3− 4 = 0,88...0,92, η0i1− 2 = 0,86...0,90 .
и
(1.111)
компрессоров
Положим
η0i 3− 4 = η0i1− 2 ≈ 0,9 и рассчитаем значение ηG
0i . Для цикла со
степенью повышения давления β = 8. По формуле (1.102) найдем,
G
что ηG
0i = 0,448 , а расчет по формуле (1.111) даст η0i = 0,665 ,
поэтому ηG
i = 0,448 ⋅ 0,665 = 0,298.
Однако значение ηG
0i не учитывает потерь энергии на трение в
подшипниках, элементах трансмиссии и т. д. Если каждый из n
элементов ГТУ имеет КПД η j то эффективный КПД установки
n
n
j =1
j =1
G G
G
ηG
e = η0i ηt ∏ η j =ηi ∏ η j
(символ
n
∏
j =1
(1.112)
означает произведение всех η j от j = 1 до j =n).
Полученному
выше
значению
ηG
i
и
реальным
ηj
соответствует ηG
i = 0,27 т. е. только 27 % теплоты сгорания
топлива преобразуется в полезную работу ГТУ.
Аналогично рассчитывают значение ηe для циклов ДВС. Так,
например, для ДВС, работающего по циклу Отто (см. рис. 44),
97
ηO
0i =
e2 − e1
T −T
η0i 3− 4 (T3 − T4 ) − 2 1
η0i1− 2
η0i1− 2
,
=
(e3 − e4 ) − (e2 − e1 )
(T3 − T4 ) − (T2 − T1 )
η0i 3− 4 (e3 − e4 ) −
(1.113)
где η0i 3− 4 , η0i1− 2 — относительные внутренние КПД процессов
расширения и сжатия рабочего тела в цилиндре, соответственно.
Методика расчета не меняется. Для ДВС со степенью сжатия ε
O
= 8 при η0i 3− 4 ≈ η0i1− 2 ≈ 0,85 получаем ηO
0i = 0,62 , ηt = 0,565 ,
откуда
ηO
i = 0,35 .
Эффективный
КПД
будет
еще
ниже:
ηO
e = 0,28...0,31.
Эффективный КПД цикла Дизеля определяют по сходной,
хотя и более громоздкой формуле; при ε = 14 получаем
ηeD ≈ 0,30...0,34.
Необратимость меняет ход процессов расширения и сжатия на
диаграммах состояний (как уже отмечалось, необратимые процессы
можно изображать на этих диаграммах только условно). На рис. 57
показаны циклы ГТУ: обратимый 12341 и необратимый (реальный)
12R34R1. В реальном цикле кривые расширения и сжатия
отклоняются от изоэнтропийных вертикалей: в соответствии со
вторым началом, энтропия в необратимых адиабатных процессах 1–
2R и 3–4R возрастает. Площади криволинейных трапеций пл. a13Rb и
пл. c34Rd эквивалентны потерям теплоты на трение. Поскольку
процессы1–2R и 3–4R адиабатны, теплота трения в окружающую
среду не отводится, а целиком возвращается в поток рабочего тела.
Аналогично “деформируются” необратимые циклы ДВС: адиабаты
расширения и сжатия отклоняются от линий s = const.
98
T
p2 p3
T3
3
p4
2
2д
4
4д
p1=poc
1
s
Рис. 57.
Полученные выше зависимости носят универсальный
характер и могут быть, в частности, использованы для оценки
эффективности циклов паросиловых установок (см. разд. 1.9). При
этом, правда, в формулах вида (1.111) и (1.113) должны стоять
только значения энтальпии и внутренней энергии: замена
∆h = c p ∆T , ∆e = cv ∆T справедлива лишь для совершенного газа.
1.8. ТЕРМОДИНАМИКА РЕАЛЬНЫХ РАБОЧИХ ТЕЛ
1.8.1. Уравнение состояния реальных газов
При относительно невысоких давлениях и не слишком низких
температурах уравнение Клапейрона-Менделеева удовлетворительно описывает состояние большинства газов. Однако с
повышением давления или при снижении температуры расчет по
уравнению (1.5) дает существенные отклонения от действительных
термических параметров. Жидкое и парообразное состояние
вещества вообще не может быть описано уравнением этого типа.
В 1873 году голландский физик И. Ван-дер-Ваальс предложил
термическое уравнение состояния, в котором попытался учесть
99
отличия реальных газов от модели, заложенной в уравнение
Клапейрона-Менделеева:
a⎞
⎛
⎜ p + 2 ⎟(v − b ) = RT
v ⎠
⎝
(1.114)
Здесь поправка b учитывает, что молекулы имеют
собственный объем, а сжатие или расширение газа может идти
только за счет изменения межмолекулярных расстояний. Величина
a/v2 учитывает дальние взаимодействия молекул, т. е. некоторое
“внутреннее”
давление
в
термодинамической
системе.
Коэффициенты а и b для каждого вещества Ван-дер-Ваальс считал
постоянным.
Рис. 58
Рис. 59
p
t>tкр
кр
pкр
t=tкр
t2
c
b
vкр
t<tкр
a t1
v
100
р
pкр
кр
T>Tкр
c
Tкр
d
1
2
a
3
T2
T1
b
Рис.9.3
v
Сравним изотермы, рассчитанные по уравнениям (1.5) и
(1.114), с изотермами одного из реальных веществ, например, воды
(рис. 58). Изотерма идеального газа 3 совпадает с
экспериментальной кривой MNPQ только при больших значениях v
и малых р. Изотерма Ван-дер-Ваальса 2 дает лучшее совпадение, но
на среднем участке имеет “волну”, не подтверждаемую
экспериментом.
Отметим,
что
отрезок
MN
реального
изотермического процесса 1 находится в области жидкого
состояния вещества, отрезок Р–Q — парообразного, а отрезок
NP — в области, где одновременно присутствуют как жидкость, так
и пар.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для точных оценок непригодно,
но, в отличие от уравнения Клапейрона–Менделеева,
94
может описать поведение веществ, находящихся в жидком
или парообразном состоянии. Существуют и другие уравнения
состояния (Бертло, Дитеричи, Камерлинг–Оннеса, Боголюбова и
Майера, Вукаловича и Новикова), однако ни одно из них не
является “всеобщим”. Диаграммы состояний и расчетные таблицы
строят по экспериментальным данным и уравнениям состояния для
реальных веществ.
Для большинства реальных рабочих тел диаграмма состояний
р–v имеет вид, представленный на рис. 59. На ней выделяется точка
К, в которой изотерма имеет перегиб. Точку К впервые обнаружил
Д.И. Менделеев, сейчас ее называют критической точкой, а
101
параметры этой точки pcr, vcr, Tcr — критическими параметрами
вещества. Положение точки К исключительно разнообразно —
температура Tcr меняется от 5,2 К у гелия до 2850 К у лития. Для
воды Tcr = 647,3 К.
1.8.2. Изменение агрегатного состояния вещества
Любое вещество может находиться в твердом,
газообразном состоянии, либо одновременно в
состояниях (например, в критической точке отличить
пара невозможно). Переход из одного агрегатного
другое называют фазовым превращением.
жидком или
нескольких
жидкость от
состояния в
Рис. 60.
Рассмотрим эти процессы на р–T-диаграмме (рис. 60). Точку А
называют тройной точкой — в ней одновременно находятся в
равновесии все три фазы вещества — твердая, жидкая и
газообразная. Для воды pA=0,00061 МПа; vA=0,001 м3/кг; tA=0,01 °С
(заметим, что линия АВH2O для воды идет аномально: с повышением
давления температура таяния льда понижается). Будем нагревать
твердое вещество при постоянном давлении. На участке 1–2 нагрев
подводит термодинамическую систему к точке плавления, далее
вещество существует в жидкой фазе вплоть до точки 3. Теплоту,
которую нужно подвести к веществу, чтобы расплавить его,
называют теплотой плавления. Если продолжить нагрев, то в
точке 3 жидкость перейдет в пар; нужную для этого теплоту
назовем теплотой парообразования. Правее точки 3 пар будет
перегретым (очевидно, перегретым относительно состояния точки
102
3, где одновременно существуют и пар, и жидкость). Линия АК в
критической точке К заканчивается, при Т > Тсr жидкости не
существует! На линии AD в равновесии находятся твердая и
газообразная фазы. Если твердое тело нагревать изобарно при р <
рА, то переход из твердой фазы происходит непосредственно в пар и
называется сублимацией (процесс 4–5).
1.8.3. Диаграммы и таблицы состояний
В энергетических машинах рабочее тело обычно находится в
виде жидкости или пара либо представляет собой смесь жидкости и
пара, поэтому инженерам интересна в первую очередь именно эта
область диаграмм состояний. Для различных веществ (воды,
аммиака, углекислого газа, хладонов) диаграммы р–v и Т–s,
конечно, отличаются, но общий вид, расположение характерных
точек и линий во всех случаях остаются сходными (рис. 61).
Рис. 61.
Точка К находится на вершине кривой, ограничивающей
двухфазную область. Левая ветвь этой кривой образует границу с
насыщенной жидкостью и называется пограничной кривой
жидкости, а правая — границу с перегретым паром (пограничная
кривая пара). На этой кривой пар не содержит частиц жидкости и
называется сухим насыщенным, внутри двухфазной области пар
содержит взвешенные частицы жидкости и называется влажным
103
насыщенным. Содержание сухого насыщенного пара в такой
смеси характеризует степень сухости пара — массовая доля
сухого насыщенного пара во влажном насыщенном паре:
m′′
,
(1.115)
m′′ + m′
где m" — масса сухого насыщенного пара в 1 кг смеси; m' — масса
жидкости в 1 кг смеси (здесь и далее надстрочный индекс '
относится к насыщенной жидкости, а " — к сухому насыщенному
пару).
Величина х изменяется от 0 на пограничной кривой жидкости
до 1 на пограничной кривой пара, линии х = const сходятся в
критической точке К.
Внутри двухфазной области изобары совпадают с изотермами
(и на обеих диаграммах горизонтальны). Правее линии х =1
изобары на Т–s-диаграмме идут вверх по экспоненте, а изотермы на
р–v-диаграмме — вниз по гиперболе. Левее линии х=0 изобары на
Т–s-диаграмме почти сливаются с пограничной кривой жидкости и
идут вниз, а изотермы на р–v-диаграмме круто поднимаются вверх.
Процесс изобарного нагрева вещества на рабочей и тепловой
диаграммах показан линией 1–2'–2"–3. На участке 1–2' жидкость
подогревается до температуры насыщения Ts, и в точке 2'
появляются первые пузырьки пара. На участке 2'–2" количество
пара увеличивается, степень сухости х возрастает от 0 до 1. Теплота
парообразования r эквивалентна площадке под изобарой 2–2"в Т–sдиаграмме:
x=
r = пл.а 2′2′′b = Ts (s2′′ − s2′ ),
где
s2′ , s2′′ — энтропии
насыщенной
жидкости
и
сухого
насыщенного пара, соответственно.
В процессе изобарного нагрева техническая работа не
совершается, поэтому уравнение первого начала q = ∆h + lт
приобретает форму q = ∆h; т. е. количество подведенной теплоты
эквивалентно изменению энтальпии рабочего тела. В частности,
q1− 2′ = h2′ − h1; q2′− 2′′ = r = h2′′ − h2′ ; q2′′−3 = h3 − h2′′.
104
В двухфазной области все функции состояния и удельный
объем (h, е, s, v) линейно связаны со степенью сухости х. Например,
удельный объем в точке со степенью сухости пара х
v x = v′ + x(v′′ − v′).
Аналогично:
hx = h′ + x(h′′ − h′) = h′ + rx;
ex = e′ + x(e′′ − e′);
s x = s′ + x( s′′ − s′).
Кроме диаграмм р–v, Т–s и некоторых других (например, h–s),
сведения о свойствах веществ содержат таблицы. В них приведены
данные о параметрах насыщенной жидкости и сухого насыщенного
пара, а также переохлажденной жидкости и перегретого пара.
Наиболее известны таблицы М.П. Вукаловича и И.И. Новикова для
воды и водяного пара.
Основные процессы с реальными газами (р = const, v = const,
T= const, s = const) вблизи двухфазной области сильно отличаются
от процессов с идеальным газом. Их рассчитывают не по
уравнениям состояния, а только по таблицам и диаграммам.
1.9. ЦИКЛЫ ПАРОСИЛОВЫХ УСТАНОВОК
1.9.1. Паровой цикл Карно
На рис. 62 представлены схема (а) и цикл (б) простейшей
паросиловой установки (ПСУ). Из парового котла 1 сухой
насыщенный пар поступает на турбину 2, где адиабатно
расширяется от давления р1 до давления р2 и совершает работу,
приводя в действие генератор электрического тока 3. Отработанный
влажный пар попадает в конденсатор 4, где отдает теплоту
охлаждающей среде — воде или воздуху. Конденсат подается в
котел насосом 5, причем давление нагнетания насоса приближается
p1; далее процесс повторяется.
105
к
p
p1 a4
qI
dT=0
1
ds=0
b
p2
3 qII 2
c v
0
T
TI
к
p2
lц
TII
0
p1
1
4
2
3
a
b
s
Рис. 62.
На Т–s-диаграмме такой цикл изображают прямоугольником в
двухфазной области, его называют паровым циклом Карно.
Согласно теореме Карно, термический КПД этого цикла не зависит
от рода рабочего тела, поэтому и для парового цикла Карно
ηCt = 1 − T2 T1 .
Поскольку Т1<Тcr= 647,3 К, при работе ПСУ на водяном паре
термический КПД парового цикла Карно ηCt невысок. У этого
106
цикла есть и другие недостатки, в частности, в процессе 3–4
приходится сжимать и нагнетать пар высокой влажности, что
технически весьма сложно. На влажном паре работает и турбина, ее
лопатки быстро изнашиваются. Все это приводит к большим
потерям, и эффективный КПД цикла невелик. Таким образом, и для
водяного пара цикл Карно сохраняет лишь теоретическое значение
эталонного цикла.
1.9.2. Цикл Ренкина (Rankine W.J.M.)
Введем в схему ПСУ, работающей по паровому циклу Карно,
еще один элемент — пароперегреватель 6 (рис. 63, а), в котором
сухой насыщенный пар перегревается до параметров точки 1 на
диаграмме Т–s (рис. 63,б).
1
G& п
Т
Q& I
ПГ
4
Н
2
Q& II
iII
3
К
iI
&
Gхв
107
Рис. 63.
В области перегретого пара изобары не совпадают с
изотермами, поэтому пар поступает на турбину 2 при значительно
большей
температуре,
чем
в
цикле
Карно,
растет
среднеинтегральная
температура
подвода
теплоты
и,
следовательно, увеличивается термический КПД цикла. Такой цикл
называют циклом Ренкина с перегретым паром.
Одной из особенностей цикла Ренкина является полная
конденсация пара: насос 5 перекачивает жидкость по адиабатной
линии 2'–3, затрачивая весьма небольшую работу, а подогрев воды
при постоянном давлении (кривая 3–4) происходит уже в котле 1.
Теплота в цикле подводится на участке 3–4–4'–1, а отводится
по линии 2–2', работа цикла l R = lтR = h1 − h2 (см. формулу (1.107))
численно равна площади заштрихованной площадки пл. 12"2'34'4"l.
Термический КПД цикла Ренкина
ηtR = 1 −
q2
h′′ − h′
= 1− 2 2 .
q1
h1 − h3
(1.116)
Рассмотрим, как влияют на величину ηtR параметры рабочего
тела на различных участках цикла.
Давление в конденсаторе р2 влияет на ηtR довольно слабо
(рис. 64,а). Обычно р2=3,5…4,0 кПа, что соответствует
реальной температуре Т20 окружающей среды воздуха или воды
(рис. 64,б). Дальнейшее снижение давления р2 ухудшает
108
теплообмен с холодной средой и поэтому не применяется. Кроме
того, как следует
Рис. 64.
из рисунка, при снижении давления р2 расширение пара
заканчивается в двухфазной области, что заметно ухудшает условия
эксплуатации турбины.
Зависимость ηtR (Т1) представлена на рис. 65,а. Чем выше
температура Т1, тем сильнее перегрет пар на входе в турбину (рис.
65,б), тем выше среднеинтегральная температура подвода теплоты
и термический КПД
ηtR . Но температуру Т1 ограничивает
теплостойкость металла: реально Т1<850 К.
Давление р1 обычно стремятся повышать (рис. 66,a), однако
при этом одновременно с увеличением значения ηtR (рис. 66,б)
109
Рис. 66.
возрастает и влажность пара после турбины, а, следовательно,
растут потери на трение и снижается относительный внутренний
КПД η0i1− 2 (см. разд. 1.7.4).
Относительный внутренний КПД цикла Ренкина (см. рис.
63,б)
η0Ri =
h3 − h2′
η0i 3− 2′
,
(h1 − h2 ) − (h3 − h2′ )
η0i1− 2 (h1 − h2 ) −
(1.117)
(где η0i 3− 2′ — относительный внутренний КПД насоса) также
снизится по сравнению с ηtR , рассчитанным по формуле (1.116).
Эффективный КПД цикла Ренкина
n
ηeR = η0Ri ηtR ∏ η j
(1.118)
j =1
включает в виде сомножителей коэффициенты
η0Ri
и
ηtR
повышением давления р1 значение η0Ri убывает (см. выше), ηtR
возрастает, поэтому при T1=const эффект от повышения pl
110
сомнителен. Разумнее одновременно повышать и р1 и T1: в этом
случае растет КПД (рис. 66,а) и одновременно улучшаются условия
эксплуатации турбины (рис. 66,б). Рост значения ηeR , ограничен, в
принципе, лишь теплостойкостью конструкционных материалов, а
в более широком смысле — КПД цикла Карно.
1.10. ЦИКЛЫ ХОЛОДИЛЬНЫХ МАШИН И ТЕПЛОВЫХ
НАСОСОВ
Холодильные машины (ХМ) — устройства для получения и
поддержания температур, меньших, чем температура окружающей
(холодной) среды.
По второму началу термодинамики, самопроизвольно такой
процесс идти не может, теплоту от холодной среды к горячей
можно передать только при добавочном энергетическом
воздействии. В большинстве ХМ таким воздействием является
работа, которую затрачивают на привод компрессора. Рабочими
телами (хладагентами) ХМ служат аммиак, углекислый газ,
органические вещества — хладоны. Все они в цикле ХМ меняют
свое агрегатное состояние, переходя из жидкости в пар и обратно.
ХМ,
которые
будут
рассмотрены
далее,
называют
парокомпрессионными — в них пар хладагента сжимается
компрессором.
1.10.1. Обратный цикл Карно
Все циклы ХМ — обратные (в диаграммах р–v и Т–s идут
против часовой стрелки). Простейшим из них является обратный
цикл Карно (рис. 67,а). Пар хладагента поступает из
теплообменника-испарителя 4 и сжимается компрессором 1 от
давления р1 до давления р2, а затем поступает в конденсатор 2.
111
Рис. 67.
При адиабатном сжатии 1–2" (рис. 67,б) пар нагревается до
температуры, превосходящей температуру окружающей (горячей)
среды, поэтому в конденсаторе он самопроизвольно отдает теплоту
охлаждающей воде или воздуху и конденсируется, превращаясь в
точке 2' в насыщенную жидкость. Расширительный цилиндр
(детандер) 3 адиабатно понижает параметры жидкости до уровня,
соответствующего давлению р1.
Жидкость вскипает, ее температура становится ниже
температуры холодной среды. При кипении в испарителе 4
хладагент отбирает теплоту от холодной среды, а образующийся
пар вновь поступает в компрессор 1.
Таким образом, цикл Карно здесь, как и в ПСУ, целиком
осуществляется в двухфазной области. Детандер 3 изготовить
сложно, а возврат работы при расширении хладагента весьма мал.
Плохо работают и компрессоры, в которых сжимается пар с низкой
степенью сухости. Обратный цикл Карно, как и прямой паровой
цикл Карно, имеет, скорее, теоретическое, чем практическое
значение.
Эффективность цикла ХМ характеризует холодильный
коэффициент — отношение теплоты, отведенной в обратном
цикле от холодной среды, к затраченной работе:
ε=−
q2
q2
,
=
lc q1 − q2
(1.119)
112
где q1 — теплота, отданная хладагентом в конденсаторе горячей
среды; q2 — теплота, полученная хладагентом в испарителе от
холодной среды; lс — работа компрессора.
Для обратного обратимого цикла Карно
εC =
1
T2
,
=
T1 − T2 (T1 T2 ) − 1
(1.120)
где Т2 — температура конденсации; T1 — температура кипения
хладагента.
Поскольку Т2 > Т1, значения ε C могут быть как больше, так и
меньше 1,0. Чем ниже температура Т2, тем меньше значение ε C :
отводить теплоту тем труднее, чем ниже температура охлаждаемой
системы.
1.10.2. Цикл парокомпрессионной холодильной машины с
перегревом пара и дросселированием
В простейшей реальной ХМ протекает цикл с перегревом
пара и дросселированием (рис. 68). Схема такой ХМ (рис. 68,a)
почти соответствует прежней, лишь детандер заменен вентилем 3,
Рис. 68.
в котором жидкость дросселируется — неравновесно расширяется
от большего давления р1 до меньшего р2 без совершения работы.
Процесс дросселирования предельно необратим, но можно
показать, что его начальное и конечное состояния лежат на линии h
113
= const, проходящей через точку 2'. На диаграмме Т–s
дросселирование обозначено штриховой линией 2–3h. Цикл ХМ
включает, таким образом, необратимый процесс, следовательно,
необратим и весь цикл, а площадь пл. 122"2'3hl не характеризует
работу компрессора по сжатию хладагента.
Компрессор 1 сжимает сухой насыщенный пар, что заметно
упрощает его конструкцию, повышает надежность и долговечность.
Вентиль 3 значительно проще и надежнее детандера, но теплота,
отводимая от холодной среды, при дросселировании уменьшается.
Действительно, если бы в цикле происходило не дросселирование
2'–3h, а адиабатное расширение 2'–3s, то отведенная в испарителе
теплота составила бы не q2=пл. bЗh1с, а q2s=пл. a3slc, при этом, как
показано на рис. 68,б, ∆q = q2s – q2>0. На практике потеря ∆q с
лихвой окупается простотой и надежностью цикла ХМ с
дросселированием.
Холодильный коэффициент парокомпрессорной ХМ с
перегревом пара и дросселированием
ε=
h1 − h3h h1 − h2′
=
.
h2 − h1 h2 − h1
(1.121)
Величина ε тем больше, чем “шире” цикл в направлении оси
s, что диктует одно из требований к хладагентам: расстояние между
пограничными кривыми должно у них быть как можно большим, а
линии h = const в двухфазной области — идти максимально близко
к обратимым адиабатам s = const. Как и в обратном цикле Карно, с
понижением температуры кипения T1 холодильный коэффициент ε
снижается.
1.10.3. Цикл теплового насоса
Если нижний температурный уровень в цикле ХМ
соответствует температуре окружающей среды Тc=Т0, то теплоту,
отводимую на верхнем уровне, Th можно использовать для
отопления (рис. 69). Устройство, реализующее такой цикл,
называют тепловым насосом (предложен Кельвином в 1852 г.).
114
Тепловые насосы термодинамически не отличаются от обычных
ХМ, а конструктивно близки к ним.
Рис. 69.
Эффективность работы теплового насоса характеризует
отопительный коэффициент
ψ=
q1 q2 + lc
=
= ε + 1.
lc
lc
(1.122)
Поскольку ψ > 1, отопление с помощью теплового насоса
термодинамически наиболее выгодно. Никакого нарушения первого
начала термодинамики здесь, конечно, нет: в цикле идет
трансформация тепловой энергии (подобная трансформации
переменного электрического тока); тепловые насосы называют
также термотрансформаторами.
1.11. ВЛАЖНЫЙ ВОЗДУХ
1.11.1. Основные понятия и определения
В циклах ДВС и ГТУ мы считали рабочим телом воздух,
причем свойства его определялись, в основном, соотношением
массовых долей азота и кислорода. Нас окружает воздух, в котором
может удерживаться достаточно много водяных паров, иногда они
даже конденсируются в виде мельчайших капелек тумана. Смесь
115
сухого воздуха с водяным паром называют влажным воздухом.
Влажность
воздуха – важнейший
параметр,
определяющий
комфортность окружающей среды; в транспортных системах
особую роль играет влажность в салоне или кабине: ее
искусственно поддерживают с помощью систем отопления,
вентиляции и кондиционирования воздуха.
При атмосферном давлении и “обычных” температурах
влажный воздух близок к идеально-газовой смеси; по закону
Дальтона, его давление
p = pa + p w ,
(1.123)
где ра, рw — парциальные давления сухого воздуха и водяного пара
(от англ. air — воздух, watеr — вода).
Максимальное парциальное давление водяного пара при
данной температуре влажного воздуха равно давлению насыщения
рs при этой температуре. Если рw < рs, то влажный воздух называют
ненасыщенным; водяной пар в ненасыщенном влажном воздухе
находится в перегретом состоянии.
Если ненасыщенный воздух охлаждать, не меняя давления, то
при определенной температуре давление рw может сравняться с
“новым” давлением насыщения рs, соответствующим этой
температуре. Условие рw = рs определяет насыщенное состояние
влажного воздуха, а температура воздуха в момент насыщения
называется температурой точки росы td (от англ. (dew — роса). При
дальнейшем изобарном охлаждении давление рw превысит рs,
начнется конденсация пара. Этот процесс неустойчив: по мере
удаления водяного пара в виде конденсата давление рw во влажном
воздухе снижается, а при рw — рs воздух возвращается в
насыщенное состояние.
Абсолютной влажностью воздуха называют количество
водяного пара (кг), содержащееся в 1 м3 влажного воздуха. По
законам газовых смесей объем пара Vw равен всему объему смеси,
поэтому абсолютная влажность D численно равна плотности
водяного пара при парциальном давлении рw и температуре
влажного воздуха:
116
D=
mw mw
кг
=
= ρw , 3 .
Vw
V
м
Относительной влажностью воздуха ϕ назовем отношение
реально существующей абсолютной его влажности D к
максимально возможной абсолютной влажности Dmах при той же
температуре. Ясно, что Dmах = ρs, поскольку наибольшее количество
пара может содержаться в состоянии насыщения, когда
температура td равновесна парциальному давлению насыщения рs.
Поэтому
ϕ=
D ρw
=
.
ρs ρs
(1.124)
Если и далее полагать, что вплоть до точки насыщения
водяной пар сохраняет свойства идеального газа, то
ρw =
pw
p
; ρs = s ,
RwT
RwT
где Rw — газовая постоянная водяного пара, поэтому уравнение
можно представить в виде
ϕ = ρw ρs ,
т. е. относительная влажность определяется отношением
парциального давления водяного пара к давлению насыщения
при данной температуре. Поскольку pw≤ps, во всех случаях ϕ ≤ 1
(иногда относительную влажность ϕ выражают в процентах).
Значение ϕ = 0 соответствует сухому воздуху, а ϕ = 1 — воздуху в
состоянии насыщения.
Отношение массы пара mw к массе сухого воздуха ma
называют влагосодержанием:
d=
mw ρ w
=
;
ms ρ a
(1.125)
эту величину задают в кг/кг или г/кг (последнее удобней).
Плотности ρ w и ρ a определяют из уравнения КлапейронаМенделеева; при этом уравнение (1.125) принимает вид
117
d=
28,96 pw
µ a pw
pw
,
=
= 0,622
µ w pa 18,016( pa − pw )
pa − pw
(1.126)
где µ a = 28,96 кг/кмоль — молярная масса сухого воздуха;
µ w = 18,016 кг/кмоль — молярная масса водяного пара.
С увеличением парциального давления pw влагосодержание
увеличивается. Если в формуле (1.126) заменить pw на ps, то
получим максимальное влагосодержание
d s = 0,622
ps
;
p − ps
(1.127)
отсюда следует, что при p = ps (в точке кипения) влагосодержание
ds→∞.
Относительную влажность ϕ и влагосодержание d
определяют с помощью психрометра. Прибор состоит из двух
одинаковых термометров: “сухого” и “мокрого”. Шарик “мокрого”
термометра обернут влажной тканью, за счет испарения влаги
отводится теплота, и показания “мокрого” термометра twt всегда
ниже, чем “сухого“ tdt (от англ. wet thermometer, dry thermometer —
мокрый термометр, сухой термометр). Разность ∆t = tdt – twt
однозначно определяет ϕ и d; функции ϕ( ∆t ) и d(∆t) представлены
в виде таблиц и диаграмм.
Изобарную теплоемкость влажного воздуха рассчитывают как
сумму теплоемкостей 1 кг сухого воздуха и d кг водяного пара:
c p = c pa + ccw d = 1,00 + 1,96d ,
где c pa ≅ 1,00
кДж
— удельная изобарная теплоемкость сухого
кг ⋅ К
воздуха;
c pa ≅ 1,96
кДж
— удельная изобарная теплоемкость водяного
кг ⋅ К
пара.
Энтальпию рассчитывают аналогично:
h = ha + hw d = c pa t + hw d ,
(1.128)
118
где hа — энтальпия сухого воздуха; hw — энтальпия перегретого
пара.
Величину hw рассчитывают по диаграммам и таблицам
водяного пара:
hw = r + c pwt ≅ 2500 + 1,96t ,
кДж
— теплота парообразования воды при 0 °С.
кг
Уравнение (1.128) примет вид
где r = 2500
h = 1,00t + (2500 + 1,96t )d ≅ t + (2500 + 1,96t )d .
(1.129)
1.11.2. h–d-диаграмма влажного воздуха
Уравнение (1.129) однозначно связывает параметры h, t и d. В
1918 г. Л.К. Рамзин впервые изобразил эту связь в виде h–dдиаграммы (диаграммы Рамзина) (рис. 70). Особенность ее
построения: ось h вертикальна, а ось d наклонена к ней на 135° —
так “удобней” располагать все линии. Диаграмма построена для
давления р = 745 мм рт. ст. = 0,0991 МПа, типичного для
климатических
условий
России;
при
расчете
систем
кондиционирования в тропиках пользуются диаграммами h–d,
рассчитанными для большего давления р.
Кроме линий h(d), на диаграмму нанесены изотермы t = const,
линии ϕ = const и линия парциального давления водяных паров
pw ≤ ps.
Выше линии ϕ = 100 % воздух находится в ненасыщенном
состоянии, ниже — в пересыщенном (когда влага конденсируется).
Любая точка на h–d-диаграмме характеризует состояние влажного
воздуха, а линия — термодинамический процесс с влажным
воздухом.
С помощью h–d-диаграммы можно:
— по двум известным параметрам (ϕ и t или ϕ и pw)
определить значения h и d, а по значению d — величину pw;
119
— для воздуха произвольного состояния определить точку
росы (надо из точки, характеризующей параметры воздуха,
опустить перпендикуляр на кривую ϕ = 100 %; температура,
соответствующая точке пересечения, дает точку росы td);
Рис. 70.
— рассчитывать процессы в кондиционерах, сушильных
камерах и других устройствах, где рабочим телом служит влажный
воздух.
Рассмотрим нагрев влажного воздуха при d = const (процесс,
характерный для кабинных отопителей в транспортных системах).
Если начальное состояние воздуха характеризуется параметрами ϕA
и tA, то при нагреве до tB > tA относительная влажность воздуха
уменьшится до ϕB < ϕA.
При охлаждении воздуха от той же исходной точки (ϕA, tA) до
точки С(ϕC, tC) относительная влажность возрастет: ϕC > tC. Если
задано t'C <tD, то процесс идет по линии ACDC': воздух дойдет до
состояния насыщения, а потом из него начнет выпадать влага. В
120
любом процессе EF можно задать параметры влажного воздуха
(например, ϕE, tE в точке Е и ϕE, tF — в точке F).
Если соединить точки Е и F прямой линией, то теплоту,
подведенную в процессе EF, можно рассчитать через энтальпии в
точках Е и F:
q EF = hF − hE ,
а изменение влагосодержания
∆d EF = d F − d E .
При тепловом расчете транспортных систем h–d-диаграмма
позволяет оценить как комфортность параметров воздуха, так и
тепловые нагрузки отопителей и кондиционеров.
121
2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
2.1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
Любое реальное (т. е. необратимое) преобразование энергии
связано с ее переходом в теплоту (полным или частичным).
Первое начало термодинамики показывает, какая часть
теплоты расходуется на совершение работы, а какая преобразуется
во внутреннюю энергию термодинамической системы. Таким
образом, оно определяет энергетический баланс и отвечает на
вопрос: “Какое количество теплоты выделено (поглощено) в
процессе преобразования энергии?”
Второе начало утверждает, что в неравномерно нагретой
термодинамической системе теплота самопроизвольно передается
от более нагретой области к менее нагретой. Это начало отвечает на
другой вопрос: "В каком направлении происходит передача
теплоты?"
Оба начала имеют важнейшее значение, но не могут
разрешить задачу, связанную с самопроизвольным необратимым
теплопереносом в пространстве, где температура распределена
неравномерно. Вспомним, в частности, что в термодинамике мы
сознательно не использовали реальное время, а процесс передачи
энергии считали квазистатическим, т. е. весьма медленным.
Теплопередача — сложный физический процесс. Его определяют форма и размеры термодинамической системы, распределение температуры внутри системы и в окружающей среде,
теплофизические свойства веществ и т. д. В простейшем случае,
когда неравномерно нагретые тела находятся в соприкосновении и
неподвижны относительно друг друга, теплота передается
теплопроводностью. Если среда (жидкость, газ, пар, поток частиц
сыпучего материала) движется относительно поверхности твердого
тела, имеющей температуру, отличную от температуры среды, то
122
между ними происходит конвективный теплообмен. Если же тела
с разными температурами не находятся в соприкосновении, то
между ними происходит теплообмен излучением: тепловая
энергия передается в форме электромагнитных волн или фотонов.
Излучение, в отличие от теплопроводности и конвективного
теплообмена, не требует, чтобы тела соприкасались или были
разделены материальной средой; теплообмен излучением
происходит и в вакууме.
Все три вида теплопередачи (или любые два из них) могут
действовать одновременно. Например, горячая поверхность
тормозной системы автомобиля (рис. 71) отдает теплоту (а это по
скромным оценкам примерно половина мощности двигателя):
– теплопроводностью: к элементам подвески;
– путем конвективного теплообмена: к потоку воздуха, обтекающего тормоза (в зависимости от того, стоит автомобиль или
движется, скорость обтекания и количество теплоты, отводимое в
единицу времени, будут сущетвенно различаться);
– излучением: через почти прозрачный для электромагнитных
волн воздух к поверхности кузова, грунту и другим телам,
имеющим более низкую, чем тормоза, температуру.
Рис. 71.
И теплопроводность, и конвективный теплообмен, и теплообмен излучением — достаточно хорошо разработанные разделы
общей теории теплопередачи. Каждый из них использует свой круг
123
понятий и свои методы исследования, однако позволяет, при необходимости, учитывать вклад и других видов теплопередачи.
Общие для всех видов теплопередачи вопросы:
1. Как распределены в пространстве и как изменяются во
времени значения температуры в различных (в принципе — во
всех) точках рассматриваемой термодинамической системы?
2. Какое количество теплоты передается от системы в целом и
от любой, сколь угодно малой части ее поверхности, в
окружающую среду?
Интуитивно ясно, что оба вопроса тесно связаны. Неравномерность распределения температуры приводит к передаче
теплоты — так утверждает второе начало. Но второе начало не
объясняет, как зависит от температур областей теплота,
передаваемая от более нагретой области к менее нагретой, поэтому
распределение температуры и тепловые потоки должны
определяться какими-то дополнительными соотношениями.
Эти дополнительные феноменологические (т. е. связанные с
явлениями, феноменами) гипотезы обычно подтверждаются длительной практикой и огромным числом экспериментов, а потому
фактически выполняют роль законов.
Итак, теория теплопередачи основана на первом и втором
началах термодинамики и на ограниченном числе феноменологических гипотез, т. е., в отличие от равновесной термодинамики,
не является вполне строгой теорией.
Впрочем, и в задачах термодинамики нам требовались
сведения об уравнениях состояния и физических свойствах
реальных веществ, поэтому для инженера и термодинамика, и
теплопередача стоят, по сути, на одном уровне строгости.
2.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
2.2.1. Основные понятия и определения
Теплопроводность — молекулярный перенос теплоты в
сплошной среде, обусловленный неравномерностью распре-
124
деления температуры в различных ее областях. При этом
теплота может превращаться в другие виды энергии (хотя возможен
и обратный переход, например, при нагреве среды электрическим
током), а области с различными температурами находятся в
механическом соприкосновении.
Называя
теплопроводность
молекулярным
переносом
теплоты, имеют в виду, что теплота в этом случае передается
посредством теплового движения микрочастиц. В газах роль таких
частиц выполняют атомы, молекулы или ионы, совершающие
броуновское движение. В жидкостях и твердых диэлектриках
теплопроводность связана с упругими волнами, которые возникают
при согласованных смещениях атомов и молекул относительно
положений устойчивого равновесия. В металлах теплоту передает
поток свободных электронов (электронный газ). Как видим, термин
“молекулярный” довольно условен и означает лишь, что в среде не
перемещаются частицы более крупные, чем молекулы.
В теории теплопроводности не рассматривают природу
передачи теплоты в той или иной материальной среде. При таком
подходе
физические
особенности
среды
характеризуют
эмпирическими величинами — теплофизическими свойствами,
которые, в общем случае, зависят от параметров состояния среды,
например, от температуры. Среду при этом рассматривают как
однородную (континуум), а дискретным, на микроуровне, ее
строением не интересуются.
Мы говорили, что для количественного описания любого вида
теплопередачи (в частности — теплопроводности) оба начала
термодинамики необходимо дополнить феноменологическими
гипотезами. В теории теплопроводности используют гипотезу БиоФурье, речь о которой пойдет в разд. 2.2.2.
Познакомимся
с
основными
понятиями
теории
теплопроводности.
Распределение температуры в теплопроводящей среде
характеризует так называемое поле температуры. М. Фарадей,
впервые предложивший это название, сознавал, что поле
температуры не является полем в том смысле, как поле
125
гравитационное, электромагнитное и т. п. Речь идет о совокупности
значений температуры Т во всех точках пространственной области
с координатами х, у, z в данный момент времени τ≥ 0. Уравнение
T = T ( x, y , z , τ ) ,
(2.1)
называют уравнением поля температуры. Обычно требуется
определить конкретный вид формулы (2.1) для исследуемой
области.
Если процесс теплопроводности не зависит от времени τ, то
поле температуры называют стационарным, а функцию
T = T ( x, y, z ) — уравнением стационарного поля температуры. В
противном случае поле и его уравнение называют нестационарными.
Если температура меняется вдоль одной или двух координат,
то говорят об одномерном или двумерном поле температуры. Так,
T ( x, τ ) — нестационарное одномерное, а T ( x, y ) — стационарное
двумерное поле температуры.
Если мысленно соединить все точки среды, температура в
которых одинакова, то такое геометрическое место точек образует
изотермическую поверхность1. Сечение среды условной плоскостью заданной ориентации позволяет получать следы изотермических поверхностей — изотермы. Как изотермические
поверхности, так и изотермы нигде не пересекаются: уравнение
(2.1) определяет температуру в каждой точке среды однозначно, а
пересечение означало бы, что в данной точке поддерживаются
одновременно два и более значений температуры.
В состоянии равновесия T ( x, y, z , ∞ ) = const, и вместо
изотермической поверхности приходится рассматривать
изотермический объем, охватывающей всю область ( x, y, z ) .
1
126
Рис. 72.
На рис. 72 условно показано сечение среды с тремя
изотермами: средняя соответствует температуре Т, а крайние
отличаются от нее на величину ±∆Т. В любом направлении S
скорость изменения температуры характеризует производная
∂T . Эта скорость максимальна, когда линия S совпадает с
∂S
нормалью к изотерме n. Максимальное значение производной
⎛ ∂T ⎞
⎛ ∆T ⎞ r ∂T
= lim ⎜
= gradT
⎜ ⎟
⎟=n
∆
n
→
0
∂
S
∆
n
∂
n
⎝ ⎠ max
⎝
⎠
называют градиентом температуры. Градиент считают вектором,
направленным по нормали к изотермической поверхности в
сторону увеличения температуры; заметим, что
∂T ∂T
r r ∂T
=
cos(n , s ) ≤
∂n
∂S ∂n
В теории теплопроводности всегда рассматривают разность
температур (конечную ∆T или бесконечно малую dТ, ∂Т), поэтому
выбор
температурной
шкалы — стоградусной
(Цельсия),
абсолютной термодинамической или иной — принципиального
значения не имеет, обозначение T далее относим к температуре по
любой из них. Однако выбор шкалы следует оговорить заранее,
чтобы избежать путаницы при задании теплофизических свойств и
других зависящих от температуры параметров.
Количество теплоты, проходящее через произвольную поверхность (реальную или условную) за время τ, обозначим Qτ;
размерность этой величины — Дж. Количество теплоты,
127
проходящее через произвольную поверхность в единицу времени,
назовем тепловым потоком:
Q=
dQ
, Вт
dτ
Если тепловой поток определяется в расчете на единицу
площади поверхности dF, то величину
dQ d 2Qτ
q=
=
, Вт/м2
dF dτ ⋅ dF
назовем плотностью теплового потока.
Плотность теплового потока определяется не только величиной, но и направлением, т. е. является вектором:
r
r
r r
q = i qx + jq y + kqz ,
(2.2)
r r r
где i , j , k — единичные векторы (орты) декартовой системы коорr
динат; q x , q y , q z — проекции вектора q на оси х, у и z.
Важно помнить, что величины Q и q представляют собой
производные, т. е. определены в бесконечно узких пределах dτ и
dF. В частных случаях, когда поле температуры стационарно, а
плотность теплового потока во всех точках поверхности одинакова,
Q
Q
можно считать, что Q = , q = , но это — исключение, а не праτ
F
вило! Нередко максимальное значение q на определенных участках
поверхности ограничивают (например, на трубах водогрейного
котла или на наружной поверхности теплоизоляции): если
плотность теплового потока выходит за предельное значение,
нарушается тепловой режим, а иногда возникает опасность аварии.
В этих случаях надо обязательно помнить о "местном" характере
величины q: в опасной зоне она может превысить допустимую, хотя
среднее по поверхности F значение Q останется в приемлемых
F
пределах.
2.2.2. Гипотеза Био–Фурье
128
В 1804 г. французский физик Ж. Био предположил, что
количество
теплоты
d2Qτ,
проходящее
через
любую
изотермическую поверхность в сторону уменьшения температуры,
должно быть прямо пропорционально времени dτ, площади
поверхности dF, разности температур ∆T между "соседними"
изотермами и обратно пропорционально расстоянию между ними
∆n:
d 2Q = − λ
∆T
dFdτ ,
∆n
(2.3)
где λ — коэффициент пропорциональности, “выравнивающий”
размерности левой и правой частей формулы (2.3) и однозначно
определяемый природой проводящей среды.
Знак "–" в формуле (2.3) указывает, что теплота передается из
области с более высокой температурой в область, где температура
ниже; при ∆T > О d 2Qτ < О и наоборот.
В 1807 г. Ж.-Б. Фурье, соотечественник Ж. Био, показал, что
при ∆n >0 уравнение (2.3) принимает вид
d 2Q r
(2.4)
= q = −λgradT .
dFdτ
Это соотношение называют законом Фурье. Уравнение (2.4)
выдержало многолетнюю экспериментальную проверку и в
большинстве случаев выполняется, однако не является столь
общим, как первое и второе начала термодинамики, поскольку не
может правильно описать физическую картину теплопроводности в
некоторых особых условиях, например, при весьма быстрых
процессах токопередачи.
Величину λ, входящую в уравнения (2.3) и (2.4), называют
теплопроводностью, ее размерность — Вт/(м⋅К). Фурье считал
коэффициент λ постоянным, фактически же теплопроводность
зависит от природы среды и определяется параметрами ее
состояния.
129
Так, например, большинство теплоизоляторов — материалы
пористые, в них много мелких ячеек, заполненных воздухом (для
него λ = 0,02…0,03 Вт/м⋅К), что и определяет низкое значение λ для
теплоизолятора в целом. Если слой изоляции увлажнится, то
проникшая в ячейки вода может заметно (в несколько раз)
повысить теплопроводность материала. Наиболее сильно выражена
зависимость λ от температуры, от давления теплопроводность λ
зависит слабо.
Теплопроводность численно равна плотности теплового
потока при градиенте температуры, равном единице. Эта
величина не имеет такого глубокого физического смысла как,
например, теплоемкость; она лишь устанавливает связь между
r
модулями двух векторов: q и gradT .
Теплопроводность меняется в широких пределах:
0,006–0,6 Вт/(м⋅К) — для газов,
0,07…0,7 Вт/(м⋅К — для жидкостей,
0,04…10 Вт/(м⋅К) — для неметаллов,
8…425 Вт/(м⋅К) — для металлических материалов.
2.2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Уравнения
(2.3)
и
(2.4)
формируют
гипотезу
теплопроводности, но не дают удобных для практики решений,
поскольку величина ∂T
остается неизвестной. Это понимал и
∂n
Ж.-Б. Фурье, который в 1814 г. получил дифференциальное
уравнение для одномерной задачи теплопроводности. Более общий
и вполне строгий вывод такого уравнения был предложен
М.В. Остроградским в 1830 г.; рассмотрим его подробнее.
Используем в дальнейших рассуждениях оба начала термодинамики, а также гипотезу Био–Фурье.
Первое начало для среды объемом V запишем в виде
Qv − QF = ∆H − ∫ Vdp ,
p
(2.5)
130
где Qv — количество теплоты, выделяемое (поглощаемое)
внутренними источниками (стоками), имеющими мощность qv2;
QF — количество теплоты, переданное через поверхность среды F;
∆H — изменение энтальпии среды; р — давление в объеме V.
Поскольку теплопроводность λ и объем V большинства сред
слабо зависят от давления р, условие (2.5) упростим, полагая
р = const, dр = 0 и, следовательно,
Qv − QF = ∆H .
(2.6)
Второе начало применительно к процессу теплопроводности
выражается неравенством М. Планка
r
cos γ = cos(q , gradT ) < 0 ,
(2.7)
которое означает, что угол γ между векторами плотности
потока и градиента температуры лежит в пределах π/2 < γ < 3π/2 (на
рис. 72 "разрешенная" область значений γ заштрихована).
Уравнение (2.4), строго говоря, относится к изотропной среде
(свойства которой одинаковы во всех направлениях); оно
удовлетворяет требованию (2.7) при γ = π. Уравнение (2.4) является
одной из форм второго начала и одновременно выполняет роль
феноменологической гипотезы.
Итак, вывод уравнения теплопроводности основан на
уравнении первого начала (2.5) и на частном случае второго
начала — интегральном законе Фурье (2.4).
Выделим на поверхности среды тела площадку dF внешней
r
нормалью n (рис. 73).
2
Мощность внутренних источников — количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) внутренними тепловыми источниками
(стоками) в единице объема среды в единицу времени, измеряется в
Вт/м3.
131
Рис. 73.
r
Вектор плотности теплового потока q на этой площадке
имеет проекцию на нормаль
r r
qn = q cos(q , n ) .
В декартовых координатах х, у, z
r r
r r
r r
qn = q x cos(n , x ) + q y cos(n , y ) + q z cos(n , z ) .
(2.8)
Теплота QF, подведенная через всю поверхность среды F за
время τ,
QF =
∫∫ qn dFdτ .
Fτ
С учетом соотношения (2.8) и уравнения (2.4) получим
r r
r r
r r
QF = ∫∫ q x cos(n , x ) + q y cos(n , y ) + q z cos(n , z ) dFdτ =
[
]
Fτ
⎡ ∂T
∂T
∂T
r r
r r
r r⎤
cos(n , x ) + λ
cos(n , y ) + λ
cos(n , z )⎥dFdτ .
= − ∫∫ ⎢λ
∂z
∂y
⎦
Fτ ⎣ ∂x
Применим к этому интегралу теорему Остроградского–
Гаусса:
132
⎡ ∂T
∂T
∂T
r r
r r
r r⎤
QF = − ∫∫ ⎢λ
cos(n , x ) + λ
cos(n , y ) + λ
cos(n , z )⎥dFdτ =
∂y
∂z
⎦
Fτ ⎣ ∂x
⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞
∂T ⎛ ∂T ⎞
∂T ⎛ ∂T ⎞⎤
= − ∫∫ ⎢ ⎜ λ
⎜⎜ λ
⎟⎟ + λ
⎟+λ
⎜λ
⎟⎥dVdτ =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
y
y
z
z
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎝
⎠
Vτ ⎣
⎡ ⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞⎤
= − ∫∫ ⎢λ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟⎥dVdτ = − ∫∫ λ∇ 2TdVdτ ,
∂y
∂z ⎠⎥⎦
Vτ ⎢
Vτ
⎣ ⎝ ∂x
где
2
∇ T=
∂ 2T
∂x
2
+
∂ 2T
∂y
+
2
∂ 2T
∂z
— оператор Лапласа в декартовых
2
координатах х, у, z.
Действие внутренних источников мощностью qv обеспечит
выделение теплоты
QV = ∫∫ qv dVdτ ,
Vτ
а изменение энтальпии среды за время τ в изобарном процессе
р = const составит
∂T
∂H
dVdτ = ∫∫ ρc p dVdτ ,
∂τ
Vτ ∂τ
Vτ
∆H = ∫∫
(2.9)
где ρcp — объемная удельная изобарная теплоемкость среды (далее
индекс “р” везде опущен).
Подставляя QF, QV и ∆H в исходное уравнение (2.6), получим
∫∫ qv dVdτ + ∫∫ λ∇
Vτ
Vτ
2
TdVdτ = ∫∫ ρc
Vτ
∂T
dVdτ ,
∂τ
oткуда
ρc
∂T
= λ∇ 2T + qV ,
∂τ
или
q
∂T
= a∇ 2T + V ,
ρc
∂τ
(2.10)
133
λ м2
где a = ,
— температуропроводность
ρс с
среды — величина,
которая характеризует ее тепловую инерционность (впервые
термин "температуропроводность" использовал Д. Максвелл).
Равенство (2.10) — уравнение в частных производных параболического
типа,
его
называют
дифференциальным
уравнением
теплопроводности,
или
дифференциальным
уравнением Фурье.
∂T
В стационарных задачах теплопроводности
= 0 , уравнение
∂τ
(2.10) принимает вид
∇ 2T +
qV
= 0,
λ
(2.11)
В одно- и двумерных задачах соответствующие члены в
операторе Лапласа приравнивают нулю; если в среде нет
внутренних тепловых источников, то полагают qV = 0.
Уравнение (2.10) можно записать в различных системах координат; в частности, для областей с осевой симметрией удобно
использовать
цилиндрические
координаты
r,
ϕ,
z;
дифференциальное уравнение теплопроводности выглядит при
этом так:
⎛ ∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T ⎞ qV
∂T
= a⎜⎜ 2 +
+ 2
+ 2 ⎟⎟ +
2
∂τ
r
r
∂
r ∂ϕ
∂z ⎠ ρc
⎝ ∂r
(2.12)
2.2.4. Условия однозначности
Уравнение теплопроводности (2.10) является весьма общим:
при его выводе мы не накладывали ограничений на форму области,
распределение плотности теплового потока по поверхности F и т. д.
Именно в силу своей общности дифференциальное уравнение
теплопроводности имеет бесконечное множество решений.
Чтобы применить его в расчетах, следует добавить к уравнению
134
(2.10) условия однозначности. Требуется, в первую очередь,
задать форму и размеры, а также теплофизические свойства (λ,
ρ, с) среды. Если теплофизические свойства заданы числами, т. е. в
рамках решаемой задачи постоянны, то говорят о линейной задаче
теплопроводности.
Линейные
задачи
решаются
проще
нелинейных, а их результаты обычно обеспечивают приемлемую
точность; далее речь пойдет именно о них.
Требуется также знать мощность внутренних источников
qV. Однако задачи с внутренними источниками применительно к
транспортным системам встречаются достаточно редко, далее везде
полагаем qV = 0.
Кроме формы и размеров, необходимо задать начальное
тепловое состояние области и условия на ее границах — так
называемые начальное и граничные условия.
Начальное условие описывает поле температуры в момент
времени τ = 0:
T ( x, y, z ,0 ) = T ( x, y, z ) .
(2.13)
Иногда используют приближенное соотношение
T ( x, y, z ,0 ) = lim T ( x, y, z , τ ) .
τ →0
(2.14)
Обычно начальное распределение температур считают равномерным.
В стационарных задачах теплопроводности начальное
состояние среды "давно забыто", и начальные условия (2.13),
(2.14) в краевую задачу не входят.
Граничные условия могут быть достаточно сложными; их
записывают для совокупности точек Г, лежащих на граничной
поверхности Г (т. е. Г∈ F), полагая, что во всех случаях τ ≥ 0.
В теории теплопроводности традиционно выделяют четыре
основных вида граничных условий.
Граничные условия I рода (условия Дирихле) задают распределение температуры на границах области и ее изменение во
времени:
135
T (Г, τ ) = TГ (Г, τ ) .
(2.15)
Граничные условия II рода (условия Неймана) задают распределение плотности теплового потока qг на границах области и ее
изменение во времени:
⎛ ∂T ⎞
− λ⎜ ⎟ = qГ (Г, τ ) .
⎝ ∂n ⎠ Г
(2.16)
Принимают qг > О при охлаждении среды и qг < 0 — при
нагреве.
Граничные условия III рода соответствуют случаю, когда на
поверхности происходит конвективный теплообмен с жидкостью
или газом, имеющими постоянную температуру (эти условия
называют также условиями Ньютона, хотя фактически впервые их
использовал Фурье). Условия Ньютона имеют форму
⎛ ∂T ⎞
− λ ⎜ ⎟ = α T f − Tw .
⎝ ∂n ⎠ Г
(
)
(2.17)
и названы так потому, что уравнение (2.17) совпадает с законом
Ньютона
(
)
q = α T f − Tw .
(2.17а)
здесь Tw — температура стенки (поверхности теплообмена);
индекс “w” соответствует англ. wall — стенка; Tf — температура
жидкости или газа (англ. fluid — жидкость); α — коэффициент
теплоотдачи, численно равный плотности теплового потока на
граничной поверхности Г, отнесенной к температурному перепаду
Tf – Tw между окружающей средой и поверхностью Г. Размерность
коэффициента
теплоотдачи — Вт/(м2⋅К).
В
задачах
теплопроводности величину α обычно считают постоянной и
заданной3.
В формуле (2.17) плотность теплового потока связана с
разностью температур линейно, поэтому более строго такие
условия теплообмена называют линейными граничными
3
136
Граничные условия IV рода (условия сопряжения) соответствуют случаю идеального теплового контакта двух сред с теплопроводностями λ1 и λ2:
⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂T ⎞
λ1 ⎜ ⎟
= λ 2 ⎜ ⎟ ; TГ − 0 = TГ + 0 .
⎝ ∂n ⎠ Г = 0
⎝ ∂n ⎠ Г = 0
(2.18)
(в формуле (2.18) полагают, что среда с теплопроводностью
λ1 подходит к границе Г слева, со стороны Г–0, а среда с
теплопроводностью λ2 — справа, со стороны Г + 0).
Заметим, что условия (2.16)–(2.18) содержат члены вида
⎛ ∂T ⎞
λ ⎜ ⎟, а условие (2.15) вырождается в граничные условия III рода
⎝ ∂n ⎠
(2.17) при α→∞. Таким образом, условия Неймана — наиболее
общие, все другие формы граничных условий можно считать их
частными случаями.
Многие практически важные задачи имеют сложную форму
граничных условий. В справочной литературе приведены способы
расчета систем, на границе которых одновременно действует
несколько видов граничных условий (методы суперпозиции).
Отметим, что эти методы справедливы только для линейных
задач теплопроводности.
Уравнение теплопроводности (2.10) совместно с условиями
однозначности образует краевую задачу теплопроводности
(краевую задачу Фурье). Доказано, что краевая задача
теплопроводности имеет единственное решение в виде уравнения
поля температуры (2.1). Кроме того, из уравнения (2.1) удается
получать значения величин q, Q и Qτ, для чего дополнительно
используют закон Фурье: если уравнение вида T ( x, y, z , τ ) известно,
то
можно
рассчитать
производные
∂T
∂x
, ∂T
∂y
, ∂T
∂z
,
взять
интегралы по поверхности, времени и т. д.
условиями III рода. Далее слово "линейные" опускаем, предполагая,
что α = const.
137
Правильная постановка, решение и анализ краевой задачи
теплопроводности позволяют ответить и на более общие вопросы,
важные как для конструирования, так и для эксплуатации
транспортных систем; например:
– как долго будет нагреваться элемент конструкции до
заданной температуры и за какое время сможет затем охладиться?
– обеспечивают ли выбранные конструкционные и теплоизоляционные материалы заданный (или приемлемый) тепловой
режим?
– можно ли уменьшить материалоемкость и массу конструкции, не нарушив ее теплового режима?
– есть ли резервы для увеличения мощности агрегата, как он
(и машина в целом) поведет себя в нештатной ситуации (при
пожаре, затоплении отсека водой и т. д.)?
Круг подобных вопросов широк, поэтому задачи теплопроводности
представляют
для
инженеров-транспортников
значительный интерес.
Решить задачу Фурье в полной постановке обычно достаточно
сложно; намного удобнее найти “готовое” решение в справочной
литературе. Таких решений чрезвычайно много, поэтому
использование
литературы
в
инженерных
расчетах
теплопроводности заслуживает особого внимания.
2.2.5. Модели тел в задачах теплопроводности
Элементы конструкций обычно имеют достаточно сложную
форму, однако, допуская некоторые упрощения, можно заменить их
телами канонической формы, для которых получены
многочисленные решения краевой задачи теплопроводности. Это:
пластины (неограниченные плоские стенки), у которых два
габаритных размера a и b значительно превышают третий размер δ
(рис. 74,а);
138
Рис. 74.
цилиндры, у которых габаритные размеры в двух направлениях близки к D, а в третьем — к l, причем l >> D (рис. 74,б);
цилиндр может быть полым (d < D) или сплошным (d = 0);
шары (или шаровые оболочки), у которых во всех направлениях размеры почти совпадают и близки к D (рис. 74,в), а
0 ≤ d < D.
В транспортной технике пластины — стенки кузова, плоские
слои
теплоизоляции,
ограждения
отсеков;
цилиндры —
трубопроводы, валы, оси; к шаровой оболочке приближаются
многие специальные транспортные средства (капсулы космических
аппаратов, батискафы), а также, как ни странно, многие обычные
транспортные машины, если их рассматривать не по элементам, а в
целом.
Если объем пластины или оболочки V относят к общей
площади поверхности F, то величину
V
(2.19)
.
F
называют обобщенным размером тела.
Для пластины, у которой V = V р, F = Fр и b >> δ, h >> δ,
R=
Rp =
Vp
Fp
= 2bhbhδ = δ2 .
Для сплошного цилиндра при V = Vc, F = Fc и l >> D,
Rc =
Vc
=
Fc
D2
l
4
πDl
π
=
D
.
4
Для сплошного шара при V = V b, F = F b,
139
Rb =
Vb
=
Fb
D3
6
πD 2
π
=
D
,
6
(в индексах везде используем англ. р1аnе — пластина, cylinder —
цилиндр, ball — шар).
Так же оценивают величину R любого реального элемента
конструкции или агрегата, после чего решают, к какой группе тел
его отнести. Нередко выбор делают интуитивно (и достаточно
точно). В сомнительных случаях нужен более сложный анализ или
эксперимент.
Часть тел выглядят достаточно массивными (в прямом
смысле), причем тепловой поток подводится к их свободной
поверхности; таков, например, большой камень, разогреваемый
солнцем, или сидение автомобиля, получающее теплоту от тела
водителя (рис. 75,а).
При таком способе нагрева на достаточной глубине х →∞
∂T
значение градиента температуры
= 0, а сама температура
∂x x → 0
равна начальной: Т(x,τ) = Т0.
Рис. 75.
В
этом
случае
говорят
о
теплопроводности
полуограниченного тела (или полупространства). Если считать,
что теплота в полуограниченном теле передается только вдоль оси
х, то получим другую модель: полуограниченный стержень х > 0,
у которого плотность теплового потока на боковых стенках q = 0
140
(рис. 75,б). Для стержня постановка задачи Фурье будет такой же,
как и для полуограниченного слоя.
Обычно во всех телах канонической формы вектор теплового
потока направлен вдоль одной из осей, что позволяет использовать
одномерное уравнение Фурье. Нередко поверхности выполняют
Рис. 76.
оребренными (рис. 76); ребра участвуют в теплообмене со средой
при граничных условиях III рода. Поверхность с ребрами позволяет
отвести от тела значительно большую теплоту, чем неоребренная
поверхность. Тепловой расчет оребрения рассмотрим в разделе
2.3.3.
2.3. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
2.3.1. Теплопроводность пластин и оболочек
Рассмотрим пластину (рис. 77) толщиной δ, в сечении которой
отсутствуют внутренние тепловые источники (qv = 0), а
теплопроводность λ постоянна. Температуры на поверхностях
пластины Тw1и Тw2 также постоянны, причем Тw1> Тw2.
Таким образом, требуется решить стационарную одномерную
задачу теплопроводности при граничных условиях I рода:
∂ 2T
= 0;
∂x 2
Tx = 0 = Tw1;
Tx = δ = Tw2 .
(2.20)
141
Рис. 77.
(во всех одномерных стационарных задачах следовало бы использовать обозначения dT, dх и т. д.; сохраним знак частной
производной лишь для однообразия и в силу традиции). Задача
(2.20) допускает прямое интегрирование:
∂T
= C1
∂x
(2.21)
T = C1 x + C 2
(2.22)
где С1, С2 — постоянные интегрирования.
При х = 0 из равенства (2.22) следует, что Тw1 = С2; при х = δ
T −T
Тw2 = С1 + Тw1, откуда C1 = w2 w1 . Получаем
δ
Tw2 − Tw1
(2.23)
x + Tw1
δ
Ранее были известны лишь температуры Тw1 и Тw2 уравнение
(2.23) позволяет определить температуру в любом сечении
пластины и показывает, что по координате х температура меняется
линейно.
Возможен и другой случай: если Т(х) задана, то постоянную
во всех сечениях пластины плотность теплового потока найдем,
подставляя в уравнение (2.4) значение ∂T
и уравнения (2.21):
∂x
T=
142
q=λ
Tw1 − Tw2
δ
(2.24)
δ
= Rλ называют внутренним термическим
λ
сопротивлением4 ; ее размерность — м2⋅К/ Вт; очевидно, что
Величину
q=
Tw1 − Tw2
Rλ
Решения (2.23) и (2.24) можно обобщить для многослойной
пластины (рис. 78).
Рис. 78.
4
Заметим,
что
Rλ =
Tw1 − Tw2
— отношение
q
разности
температур на двух изотермических поверхностях к плотности
теплового потока. Для пластины q = idem, в более общем случае q
может задаваться для одной из изотермических поверхностей.
143
Пусть в пластине n слоев с толщинами δ1, δ2,...,δn и
теплопроводностями λ1, λ2,...,λn, соответственно; температуры
границ слоев равны Тw1, Тw2,...,Тwn+1. Физически ясно, что в
стационарном режиме плотность теплового потока q во всех
сечениях пластины остается одинаковой:
q=
q=
Tw1 − Tw2
;
δ1
λ1
Tw2 − Tw3
;
δ2
λ2
.......................
T −T
q = wn wn +1
δn
λn
Разрешим эти уравнения относительно разностей температур,
а затем сложим почленно:
Tw1 − Tw2 = qδ1
Tw2 − Tw3 = qδ 2
λ1
;
λ2
.......................
qδ
Twn − Twn +1 = n
;
λn
;
δ
Tw1 − Twn +1 = q⎛⎜ δ1 + δ 2 + ... + n ⎞⎟ =
λ2
λn ⎠
⎝ λ1
= q(Rλ1 + Rλ 2 + ... + Rλn ), поэтому
q=
Tw1 − Twn +1
Rλ1 + Rλ 2 + ... + Rλn
Величину
Rλ1 + Rλ 2 + ... + Rλn = RλΣ
(2.25)
назовем
суммарным
внутренним термическим сопротивлением многослойной
пластины (здесь видна аналогия с сопротивлением электрических
цепей
постоянного
тока:
суммарное
сопротивление
144
последовательно соединенных проводников равно сумме
составляющих). В осях Т–х распределение температур в сечении
пластины представляет ломаную линию; наклон любого ее звена
тем больше, чем меньше теплопроводность соответствующего слоя.
Усложним задачу (рис. 79): пусть обе поверхности пластины
омывают жидкости с различными температурами (Тf1 > Тf2), а
коэффициенты теплоотдачи на этих поверхностях равны
соответственно α1 и α2. Рассмотрим, таким образом, задачу
теплопроводности при граничных условиях III рода.
Поскольку в любой стационарной задаче теплопроводности
плотность теплового потока во всех сечениях пластины остается
неизменной, определим значение q: на левой границе
T −T
q x =0 = α1 T f 1 − Tw1 , внутри пластины q 0< x <δ = w1 w2 и на
δ
λ
правой границе q x =δ = α 2 Tw1 − T f 2 .
(
)
(
)
Рис. 79.
Выполнив те же преобразования, что и в предыдущем случае,
получим
q=
Tf 1 −Tf 2
Tf 1 −Tf 2
=
,
1 +δ +1
Rα1 + Rλ + Rα 2
α1
λ
α2
(2.26)
145
Rα1 = 1
где
α1
, Rα 2 = 1
α2
— внешние
термические
сопротивления, (м2⋅К)/Вт — величины, обратные коэффициентам
теплоотдачи α1 и α2.
1
Величину
которая характеризует
,
k=
1 α1 + δ λ + 1 α 2
интенсивность передачи теплоты, называют. Из формулы (2.26)
следует, что значение k численно равно отношению плотности
теплового потока, передаваемого через пластину от одной
жидкости к другой, к разности между температурами жидкостей
(теплоносителей)5.
Если величина α характеризует только конвективный теплообмен
на
поверхности
пластины,
то
коэффициент
теплопередачи
k
является
характеристикой
всей
теплопередающей системы, поскольку кроме коэффициентов
теплоотдачи α1 и α2 она включает параметры δ и λ!
Величина 1 = Rk — ясно, что Rk = Rα1 + Rλ + Rα 2 .
k
Распределение температур в многослойной пластине при
граничных условиях III рода в пределах каждого слоя остается
линейным, а в жидкости или газе вблизи границ пластины
приобретает нелинейный характер (рис. 80); плотность теплового
потока
Tf 1 −Tf 2
q=
1
5
n
+ δ +1
α1 i∑
λ
α2
=1
=
Tf1 −Tf 2
Rk
(
)
= k Tf 1 −Tf 2 .
Подробнее о теплоносителях см. разд. 2.12.
(2.27)
146
Рис. 80.
Нередко требуется определить температуру в произвольном
сечении пластины 0 < х < δ. Запишем значения перепадов
температур, используя прежнее условие q = idem:
T f 1 − Tw1 = q
α1
Tw1 − Tw2 = qδ1
;
λ1
.......................
qδ
Twn − Twn +1 = n
Twn +1 − T f 2 = q
;
λn
α n +1
;
.
Температуры на границах слоев
Tw1 = T f 1 − q⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝ α1 ⎠
δ
Tw2 = T f 1 − q⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟
λ1 ⎠
⎝ α1
.....................................................
δ
δ
Twn +1 = T f 1 − q⎛⎜ 1 + 1 + ... + n ⎞⎟;
λ1
λn ⎠
⎝ α1
δ
δ
⎞.
T fn +1 = T f 1 − q⎛⎜ 1 + 1 + ... + n + 1
λ1
λn
α n +1 ⎟⎠
⎝ α1
Пусть сечение х находится в j-м слое стенки. Тогда
расстояние от этого сечения до границы с температурой Тwj будет
равно xj = х – (δ1 + ... + δj–1), а температура
147
δ
x
⎛
⎞
δ
T ( x ) = T f 1 − q⎜ 1 + 1 + ... + j −1
+ j ⎟.
λ1
λ j −1
λj⎠
⎝ α1
(2.28)
Рассуждения остаются в силе, если расчет начинать не с Тf1, а
с Тf2 перед q поставить знак “+”, а все члены суммировать в
обратном порядке.
Теплопроводность цилиндрической стенки при граничных
условиях I рода рассчитать чуть сложнее, поскольку в этом случае
плотность потока q зависит от текущего радиуса r (рис. 81).21.10
Рис. 81.
Обычно цилиндрические стенки достаточно “длинные”
(трубы, каналы и т. п.); их поле температуры вполне точно
описывают одномерным уравнением Фурье, т. е. считают, что
температура вдоль оси цилиндра постоянна.
Краевая задача Фурье для осесимметричной цилиндрической
стенки без внутренних источников имеет вид
∂ 2T
1 ∂T
= 0;
∂r 2 r ∂r
Tr = r1 = Tw1;
+
(2.29)
Tr = r 2 = Tw2 .
Введем новую переменную U =
производных, тогда
∂T
, чтобы понизить порядок
∂r
148
∂ 2T
∂r 2
=
∂U
1 ∂T U
∂U U
;
= ;
+ = 0;
∂r
r ∂r r
∂r r
разделим переменные и проинтегрируем; получим последовательно
ln U + ln r = C1 ,
∂r
,
∂r
T = C1 ln r + C2 .
∂T = C1
(2.30)
Постоянные С1 и С2 найдем из граничных условий задачи
(2.29):
при r = r1 T = Tw1; Tw1 = C1 ln r1 + C2 ;
при r = r2 T = Tw2 ; Tw2 = C1 ln r2 + C2 ;
C1 =
Tw1 − Tw2
ln r1
; C2 = Tw1 − (Tw1 − Tw2 )
.
ln(r1 r2 )
ln(r1 r2 )
После подстановки получим значение температуры Т на
произвольном радиусе r:
T (r ) = Tw1 − (Tw1 − Tw2 )
ln r r1
.
ln (r1 r2 )
(2.31)
Уравнение (2.31) описывает убывающую логарифмическую
функцию, что физически вполне объяснимо: с увеличением
значения r плотность теплового потока снижается, хотя тепловой
поток, подводимый на поверхности r =r1, и отводимый с
∂T
2πrl
поверхности r = r2, остается неизменно равным Q = −λ
∂r
(здесь l — длина расчетного участка).
Поскольку в соответствии с равенством (2.30)
2πλl (Tw1 − Tw2 )
∂T C1 (Tw1 − Tw2 )
, Q=
, Вт.
=
=
∂r
r
r ln (r1 r2 )
r ln (r1 r2 )
Для цилиндрической стенки плотность теплового потока
удобнее рассматривать либо на поверхности 2πr1l, либо на
поверхности 2πr2l:
149
q1 =
(Tw1 − Tw2 ) , Вт м 2 ,
Q
=
2πr1l (r1 λ ) ln (r2 r1 )
(2.32)
q2 =
(Tw1 − Tw2 )
Q
=
, Вт м 2 ,
2πr2l (r2 λ ) ln (r2 r1 )
(2.33)
Можно также рассчитать тепловой поток, протекающий через
единицу длины цилиндра,
ql =
π(Tw1 − Tw2 )
Q
, Вт м ,
=
l (1 2λ ) ln (r2 r1 )
(2.34)
эту величину назовем линейной плотностью теплового потока.
Легко заметить, что
ql = 2πr1q1 = 2πr2 q2 ;
(2.35)
иначе говоря, линейная плотность теплового потока ql , не зависит
от текущего радиуса r. Для n-слойной цилиндрической стенки все
рассуждения проведем так же, как для многослойной пластины; при
этом линейная плотность теплового потока окажется равной
ql =
Величину
π(Tw1 − Tw2 )
, Вт м .
n 1
∑ 2λ ln(ri +1 ri )
i =1
i
Rlλi =
1
ln (ri +1 ri )
2λ i
(2.36)
назовем
линейным
внутренним термическим сопротивлением i-го слоя, а сумму
n 1
RlλΣ = ∑
ln (ri +1 ri ) — суммарным линейным внутренним
i =1 2λ i
термическим сопротивлением многослойной цилиндрической
стенки, (м·К)/Вт.
Для граничных условий III рода (рис. 82)
ql =
(
π T f 1 − T f (n +1)
)
n 1
1
1
+∑
ln (ri +1 ri ) +
2α1r1 i =1 2λ i
2α n +1rn +1
, Вт м ,
(2.37)
150
Рис. 82/
1
= Rlα1 ,
2α1r1
где
1
= Rlα 2 — линейные
2α 2 rn +1
внешние
термические сопротивления, (м·К)/Вт. Равенство (2.37) можно
представить в виде
ql = kl π(T f 1 − T f (n +1) ) , Вт м ,
(2.38)
где
kl =
1
n 1
1
1
+∑
ln (ri +1 ri ) +
2α1r1 i =1 2λ i
2α n +1rn +1
линейный
коэффициент
=
1
Rlα1 + RlλΣ + Rlα n +1
теплопередачи,
а
,
Вт
—
м⋅К
величина
1
⋅К
= Rlk , мВт
— полное линейное термическое сопротивление.
kl
Если расчет ведут для плотностей теплового потока
q1 = k1 T f 1 − T f 2 и q2 = k 2 T f 1 − T f 2 , где k1, k2 — коэффициенты
(
)
(
)
теплопередачи, Вт/(м2·К), рассчитанные для соответствующих
поверхностей однородного цилиндра, то справедливо соотношение
kl = 2r1k1 = 2r2 k 2 .
Температура на радиусе r, отдаленном на расстояние ∆rj от
границы (j – 1)-го и j -го слоев (см. рис. 82), равна
151
T (r ) = T f 1 −
ql
π
j −1
⎡ 1
⎤
1
1
(
)
ln
r
r
ln
r
r
r
+
+
+
∆
⎢
∑ 2λ
i +1 i
j
j
j ⎥ , K.
2
r
2
α
λ
⎢⎣ 1 1 i =1 i
⎥⎦
j
(
)
Задачу теплопроводности многослойных цилиндрических
стенок чаще всего используют при расчете теплоизолированных
трубопроводов. В связи с этим представляет интерес задача о
критическом диаметре тепловой изоляции. Впервые она
появилась в экспериментах У. Томсона (Кельвина) в 1884 г., а в
1910 г. удалось получить аналитическое решение, совпадающее с
современным. Суть задачи в следующем: двухслойную
цилиндрическую стенку (рис. 83,а) рассматривают в рамках
краевой задачи теплопроводности при граничных условиях III рода.
Полное линейное термическое сопротивление такой стенки
Rl =
1
1
1
1
ln (r2 r1 ) +
ln (r3 r2 ) +
.
+
2λ 2
2α 2 r3
2α1r1 2λ1
При постоянных и заданных α1 , r1 , r2 , λ1 величина Rl будет
зависеть
1
Rα1 =
2α1r1
только
и Rλ1 =
от
r3,
поскольку
члены
1
ln (r2 r1 ) радиуса r3 не включают.
2λ1
Рис. 83.
Ясно, что с увеличением значения
1
Rλ 2 =
ln (r3 r2 ) будет увеличиваться,
2λ 2
Rα 2 =
1
2α 2 r3
r3
сопротивление
а
сопротивление
— уменьшаться (рис. 83,б).
Исследуем Rl на экстремум по аргументу r3:
152
dRl
1
1
=
−
= 0;
dr3 4λ 2 r3 4α 2 r32
отсюда
rcr = (r3 )max =
Значение
2rcr ,
λ2
.
α2
называемое
(2.39)
критическим
диаметром
тепловой изоляции, определяет максимум тепловых потерь с
наружной поверхности цилиндрической стенки.
Из формулы (2.39) следует важный практический вывод: если
r3 < rcr, то увеличение толщины изоляции не уменьшает, а
увеличивает тепловые потери! При r3 = rcr тепловые потери
максимальны и только при r3 > rcr они начинают снижаться.
Следовательно,
при теплоизоляции трубопроводов
λ
необходимо выполнять требование r3 > 2 .
α2
Как правило, величину α2 определяют условия эксплуатации,
поэтому
задача
сводится
к
выбору
теплопроводности
теплоизоляционного материала λ2.
Поскольку в формулу (2.39) не входят ни r1, ни r2,
r
r
соотношения 2 и 3 определяющие кривизну цилиндрической
r1
r2
стенки и толщину внутреннего ее слоя, на величину rcr не влияют.
Можно показать, что аналогичные рассуждения справедливы
для любой оболочки, у которой внутренняя поверхность меньше
наружной; вид формул для rcr будет при этом зависеть от формы
оболочки.
Шаровая стенка встречается в расчетной практике реже, чем
пластина или стенка цилиндрическая. При решении задачи все
предыдущие рассуждения сохраняют силу. Приведем наиболее
общие формулы: тепловой поток через многослойную шаровую
стенку (рис. 84) при граничных условиях III рода
153
Q=
(
π T f 1 − T f (n +1)
)
n 1
⎛1
1
1 ⎞
1
⎜
⎟
ln
+
−
+
∑
4α1r12 i =1 λ i ⎜⎝ ri ri +1 ⎟⎠ 4α n +1rn2+1
, Вт
(2.40)
(как видим, в каждом слое стенки температура меняется по закону
гиперболы);
— температура в произвольном слое, отстоящем от центра
шара на расстоянии r,
j −1
⎡ 1
1 ⎛1
1 ⎞ 1 ⎛⎜ 1
1 ⎞⎟⎤
⎜
⎟
T (r ) = T f 1 − ⎢
ln
ln
+
−
+
−
∑ λ ⎜ r r ⎟ λ ⎜ r r + ∆r ⎟⎥ , K. (2.41
2
r
4
α
⎢⎣ 1 1 i =1 i ⎝ i i +1 ⎠
i ⎝ j
j
j ⎠⎥
)
⎦
Не
Rα1 =
требует
1
; Rα n+1 =
2
4α1r1
пояснений
1
4α 2 rn2+1
и
терминология:
— внешние термические сопроти-
вления;
1⎛1
1 ⎞
⎜⎜ −
⎟⎟ — суммарное внутреннее термическое
r
r
λ
i =1 i ⎝ i
i +1 ⎠
n
RλΣ = ∑
сопротивление слоев;
1
— коэффициент теплопередачи;
k=
Rα1 + RλΣ + Rα n+1
Rk =
стенки.
1
— полное
k
термическое
сопротивление
шаровой
154
Рис. 84.
2.3.2. Теплопроводность оребренных поверхностей
Оребрение поверхности позволяет увеличить тепловой поток
в случаях, когда коэффициент теплоотдачи невысок и не может
быть повышен. Форма теплоотводящих ребер различна (см. рис.
76). Их используют на стенках цилиндров (в ДВС и компрессорах с
воздушным охлаждением); в радиаторах и теплообменниках, на
отопительных приборах, корпусах редукторов и т. д.
Вспомним,
что
коэффициент
теплопередачи
через
однослойную пластину
k=
1
,
1 α1 + δ λ + 1 α 2
где α1, α2 — коэффициенты теплоотдачи на внутренней (“горячей”)
и наружной (“холодной”) сторонах пластины, соответственно. Если
155
пренебречь внутренним термическим сопротивлением Rλ =
δ
(а
λ
обычно Rλ невелико), то
kα ≈
α2
< min (α1 , α 2 ) ;
1 + α1 α 2
(2.42)
другими словами, коэффициент теплопередачи пластины всегда
меньше наименьшего из коэффициентов теплоотдачи α1 и α2
увеличить значения α1 или α2 непросто. Поэтому используют
другой способ: пытаются "развить" поверхность теплоотдачи со
стороны меньших α, выполнить на ней пазы, выступы, стержни —
словом, создать теплоотводящие ребра (рис. 85).
Рис. 85.
Пусть через поверхность пластины F1 проходит тепловой
поток Q В стационарном режиме этот поток пройдет через сечение
пластины и будет целиком передан среде, омывающей поверхности
F1 и F2. Температура вдоль ребра Т(l) распределена по закону,
который в общем случае неизвестен; будем пока считать, что
средняя по длине ребра l температура равна Tl .
Поскольку весь тепловой поток Q передается через
оребренную стенку, можно с некоторыми “натяжками” (определите
сами, в чем они состоят!) записать балансовое уравнение в формe
(
)
Q = α1 T f 1 − Tw1 F1;
(2.43)
156
δ
(Tw1 − Tw2 )F1;
λ
Q=
(
)
(2.44)
(
)
Q = α 2 w Tw2 − T f 2 F2 + α 2l Tl − T f 2 Fl ,
(2.45)
где α1, α2w, α2l — коэффициенты теплоотдачи на поверхностях F1,
F2, и Fl соответственно. Введем в равенство (2.45) величину
η=
Tl − T f 2
Tw2 − T f 2
,
(2.44)
которую назовем коэффициентом эффективности ребра.
Численно он равен отношению теплового потока, отдаваемого
реальным ребром (у которого температура Tl ) меняется по длине l и
в среднем равна Tl < Tw2 ), к тепловому потоку, который отдавался
бы "идеальным" ребром с температурой Tl = Tw2 = const . Равенство
(2.45) примет вид
(
)
(
)
Q = α 2 w Tw2 − T f 2 F2 + α 2l Tw2 − T f 2 Fl η =
⎛
F ⎞
F
~ T −T F ,
(2.46)
= ⎜⎜ α 2 w 2 + α 2l l ⎟⎟ Tw2 − T f 2 F1 = α
2 w2
f2 1
F1
F1 ⎠
⎝
~ — приведённый коэффициент теплоотдачи (условная
где α
2
(
)
(
)
величина,
смысл
которой
ясен
из
формулы
(2.46)):
~ = α F 2 + α η F l . Из равенств (2.43), (2.44) и (2.46) следует,
α
2
2w
2l
F1
F1
что
Q=
Tf 1 −Tf 2
1 α1 + δ λ + 1 α 2
~
где k — приведённый
теплопередачи:
~
k =
(и
(
)
~
F1 = k T f 1 − T f 2 F1 ,
тоже
1
,
1 α1 + δ λ + 1 α 2
условный)
коэффициент
(2.47)
Уравнения (2.47) и (2.42) сходны по структуре; можно
считать, что теплопередача станет интенсивнее только при
157
~
α F
α
F
2
= 2 + 2l l η > 1
α 2 w F1 α 2 w F1
(2.48)
F
α 2l
F2
= 0,5,
= 1, l = 5, η = 0,9. В этом
F1
α 2w
F1
Пусть, например,
~
α
1
случае 2 = 5. Пусть, кроме того,
= 10 − 4 м 2 ⋅ К / Вт,
α 2w
α1
(
(
)
(
)
)
δ
1
= 10 − 4 м 2 ⋅ К / Вт,
= 10 − 4 м 2 ⋅ К / Вт.
λ
α 2w
При таких условиях коэффициент теплопередачи на гладкой
пластине (при α 2 = α 2 w ), согласно уравнению (2. 42),
k=
1
10
−4
+ 10
−4
+ 10
−4
= 3333 Вт/(м 2 ⋅ К),
а приведенный коэффициент теплопередачи через оребренную
пластину, на основании равенства (2.47),
~
k
η= 0 , 9
=
1
(
10 − 4 + 10 − 4 + 10 4 ⋅ 0,5 + 10 4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,5
)
−1
= 4545 Вт/(м 2 ⋅ К) > k
следовательно, при η = 0,9 оребрение пластины
целесообразно.
Если
же
η
=
0,1,
то
~ = 10 4 ⋅ 0,5 + 10 4 ⋅ 0,1 ⋅ 5 = 10 4 Вт /(м 2 ⋅ К) = α , поэтому k~
α
=k,
2
2w
η=0,1
оребрение выгоды не дает (хотя размеры и массу конструкции
увеличивает!).
В случае же, если η = 0,05,
~ = 10 4 ⋅ 0,5 + 10 4 ⋅ 0,05 ⋅ 5 = 0,75 ⋅10 4 Вт /(м 2 ⋅ К) < α ,
α
2
~
k
η=0,05
2w
=
1
(
10 − 4 + 10 − 4 + 0,75 ⋅10
)
4 −1
= 3000 Вт/(м 2 ⋅ К) < k :
оребрение не увеличивает, а уменьшает тепловой поток Q.
Поэтому надо очень тщательно проектировать ребро,
стремясь к более высоким значениям η. Но как этого добиться?
158
Рис. 86.
Рассмотрим задачу теплопроводности для ребра постоянного
сечения (рис. 86), полагая, что:
— температура ребра T(z) меняется только вдоль оси z;
— теплота передается в окружающую среду только с верхней
и нижней поверхностей ребра, площадь каждой из которых равна
l×b;
— коэффициент теплоотдачи на этих поверхностях постоянен
и равен α, а плотность теплового потока q ( z ) = α T ( z ) − T f , где
[
]
Tf — температура окружающей среды.
Выделим в ребре элемент шириной ∆z, на левой границе
которого тепловой поток имеет плотность q(z ) , а на правой —
плотность
q( z + ∆z ) < q( z ).
Уравнение теплового баланса на
выделенном элементе имеет вид
(
)
q ( z )2δb − q ( z + ∆z )2δb − α(2b∆z ) T − T f = 0,
где T — температура на поверхности полосы шириной ∆z. Разделив
все члены на 2δb∆z , перейдем к пределу при ∆z →∞:
∂q( z ) α
(2.49)
= T −Tf ,
δ
∂z
∂T
но по закону Фурье q ( z ) = −λ
, поэтому уравнение (2.49) примет
∂z
вид
−
(
)
159
∂ 2T
∂z
2
=
α
T −Tf ;
λδ
(
)
(2.50)
его надо решать вместе с граничными условиями
T
z =0
∂T
∂z
= Tf ;
(2.51)
= 0.
(2.52)
z=L
Условие (2.51) задает постоянную температуру Tw у корня
ребра, а условие (2.52) напоминает, что мы пренебрегли
теплообменом на торце z = L.
Краевую задачу (2.50)-(2.52) удобнее решать в обобщенных
(безразмерных) переменных. Обозначим
T −Tf
Tw − T f
= Θ;
z
L
= Z;
= L∗ ;
L
δ
αL
= Bi.
λ
Здесь Θ — безразмерная избыточная температура; Z, L* —
безразмерные текущая координата и длина ребра, соответственно,
а величина Bi (число Био) имеет особый физический смысл.
Поскольку
L
R
αL
Bi =
= λ= λ,
1
λ
Rα
α
число Био характеризует соотношение термических сопротивлений:
внутреннего Rα и внешнего Rλ. При Вi → 0, Rλ → 0 ребро в
поперечном сечении почти изотермично, температура меняется
только по его длине. При Вi → ∞, Rλ → 0 поверхность ребра имеет
практически ту же температуру, что и жидкость, а изменения
температуры происходят почти целиком в сечении ребра.
Запомним, что число Био “появляется” только там, где заданы
граничные условия III рода.
160
Приведем уравнение (2.50) к безразмерному виду:
∂ 2Θ
∗
=
Θ
Bi
⋅
L
,
∂Z 2
его общее решение
(2.53)
)
(
)
(
Θ = C1 exp Z Bi ⋅ L∗ + C2 exp Z Bi ⋅ L∗ ,
(2.54)
где С1, С2 — постоянные, зависящие от граничных условий; их
определяют соотношения (2.51) и (2.52), также представленные в
безразмерной форме:
∂Θ
= 0.
∂Z Z =1
Θ Z =0 = 1,
Решение уравнения (2.54) примет вид
[
ch (1 − Z ) Bi ⋅ L∗
Θ=
(
∗
ch Z Bi ⋅ L
)
],
(2.55)
e u + e −u
где ch u =
— гиперболический косинус аргумента u.
2
Тепловой поток, отводимый от ребра,
Q = Bi ⋅ L∗
где th u =
e u − e −u
u
−u
2λδb
Tw − T f th
L
(
)
( Bi ⋅ L ),
∗
(2.56)
— гиперболический тангенс аргумента и.
e +e
Для идеального
тепловой поток равен
(бесконечно
(
теплопроводного)
ребра
)
Q ∗ = λ 2δb Tw − T f ,
поэтому коэффициент эффективности ребра
η=
Q
Q
∗
=
Bi ⋅ L∗
2λδb
Tw − T f th
L
2αbL Tw − T f
(
(
)
)
( Bi ⋅ L )
∗
=
1
∗
Bi ⋅ L
th
( Bi ⋅ L ).
∗
(2.57
)
(
Графики функций η Bi ⋅ L∗
161
)
и Θ(Z , Bi ) представлены на рис.
87.
Мы рассмотрели только одну из задач, связанных с
оребрением поверхностей теплообмена. В справочной литературе
таких задач приведено очень много, при этом обоснован выбор
ребра с оптимальной формой сечения, приведены данные по
кольцевым, стержневым и другим ребрам (см. рис. 76,а,б,в).
Рис. 87.
Итак, для теплового расчета оребрения необходимо:
1) сформулировать задачу: оценить значения α, размеры,
обусловленные конструкцией, а в ряде случаев также и материал
ребра (т. е. задать λ);
2) по справочным данным определить вид функций (2.55),
(2.56) и (2.57), после чего уточнить размеры, выбор материала и
рассчитать все необходимые величины, в первую очередь — Q.
При расчете транспортных систем могут возникнуть и другие
задачи, например:
экономия массы оребрения, что сводится как к выбору более
легких материалов (алюминия вместо меди или латуни), так и к
оптимизации формы ребер;
оценка предельно допустимых значений температуры
оребрения по соображениям пожаробезопасности и удобства
эксплуатации (желательно, в частности, чтобы в зоне обслуживания
агрегатов температура оребрения не превышала +60 °С);
обеспечение
расчетного
значения
коэффициента
теплопередачи: нельзя ставить ребра “слишком часто”, чтобы их
162
поверхность не покрылась грязью; из набегающего потока воздуха
на оребрение могут попасть насекомые и т. д.
Надо помнить, что расчет оребрения — многовариантная
(оптимизационная) задача, требующая творческого подхода и не
имеющая “единственно верного” решения. Целевую функцию
(например, Q) определяют с учетом добавочных ограничений, речь
о которых шла выше.
2.4. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Тепловые процессы в транспортных системах могут
существенно зависеть от времени. Запуск и остановка двигателей,
насосов и других агрегатов, предпусковой прогрев двигателя,
отопление салона, отсека или кабины, действие экстремальных
факторов (огня, резкого охлаждения в воде) — далеко не все
причины, заставляющие обратиться к расчету нестационарной
теплопроводности элементов конструкции, отдельных агрегатов и
машины в целом.
Математически такая задача сводится к решению
дифференциального уравнения Фурье (2.11) вместе с условиями
однозначности, соответствующими нестационарной природе
процесса.
Со времен Фурье методы решения краевой задачи
теплопроводности развивались весьма успешно; к настоящему
времени создана аналитическая теория теплопроводности,
позволившая решить множество инженерных задач. В последние
10–20 лет активно развиваются численные методы, пригодные для
решения задач практически любой сложности.
Аналитический аппарат теории теплопроводности сложен и
громоздок, а программирование задач для численного решения
требует больших затрат времени; оба пути доступны лишь
теплотехникам-профессионалам.
163
Тем не менее, в инженерных расчетах можно и нужно
использовать достаточно простые формулы, обращаясь при
необходимости к справочной литературе и помощи специалистов.
В разд. 2.4 речь пойдет об аналитических решениях
линейного равнения теплопроводности, широко используемых в
расчетах плового состояния твердых тел. Набор таких решений
может асширяться в зависимости от конкретных технических задач.
2.4.1. Теплопроводность термически тонких тел
К термически тонким относят тела, у которых в любой
момент нагрева или охлаждения температура мало меняется по
координатам.
Простейший
пример — нагретое
докрасна
бритвенное лезвие, которое опускают в стакан с водой или
охлаждают на воздухе. В его сечении (0,08…0,1 мм) температуры
всех точек почти одинаковы. Лезвие охлаждается буквально на
глазах: о температуре можно судить по изменению цвета
(например, с помощью оптического пирометра).
Именно в такой постановке, при граничных условиях III рода,
мы и рассмотрим задачу теплопроводности для термически тонких
тел. Ясно, что тело будет почти изотермичным, если его внутреннее
термическое сопротивление Rλ = R/λ (R — обобщенный размер
тела) окажется заметно меньшим, чем внешнее термическое
R
Rλ
Rλ
αR
сопротивление Rα = R/α, т. е.
<< 1. Но
= λ=
= Bi,
λ
Rα
Rα 1
α
поэтому термически тонким назовем тело, у которого
Bi << 1.
(2.58)
Пусть однородное тело, удовлетворяющее условию (2.58),
погружено в жидкость с температурой Tf, причем коэффициент
теплоотдачи α = const (рис. 88).
164
Рис. 88.
Теплофизические свойства тела (λ,ρ,с), его объем V и
поверхность F заданы, а температура, вследствие исходного
допущения, меняется только во времени: Т = T(τ).
В соответствии с первым началом термодинамики, отвод
теплоты в окружающую среду уменьшит энтальпию тела:
− ρcV
[
]
∂T ( τ)
= α F T ( τ) − T f .
∂τ
Поскольку температура
(2.59)
[
]
Тf = const, а ∂T ( τ) = ∂ T (τ) − T f ,
введем новую переменную — избыточную температуру
ϑ = T ( τ) − T f .
Зададим, кроме того, начальную температуру тела Т0 и ее
аналог — начальную избыточную температуру
ϑ τ= 0 = ϑ0 = T0 − T f .
(2.60)
Решение дифференциального уравнения (2.59) при начальном
условии (2.60) имеет вид
αFτ
−
ϑ(τ)
= e ρcV .
ϑ0
Заметим, что
V
αFτ αFτλ F
;
=
⋅
ρcV ρcVλ V
F
(2.61)
165
но, как показано в разд. 2.2.5,
V
= R, поэтому
F
αFτ αR τλ αR aτ
=
⋅
=
⋅
= Bi ⋅ Fo,
ρcV
λ ρcR λ R 2
где
Fo =
aτ
— безразмерный параметр, называемый числом
R2
Фурье (иногда его называют обобщенным временем).
Таким образом, уравнение (2.61) принимает безразмерный вид
Θ = e − Bi⋅Fo ,
где Θ =
ϑ( τ )
ϑ0
(2.62)
— безразмерная избыточная температура.
Тепловой поток в момент τ можно рассчитать по закону
Ньютона
[
]
Q( τ) = αF T (τ) − T f = αFϑ(τ);
(2.63)
откуда в соответствии с равенством (2.62),
Q∗ =
Q ( τ)
= e − Bi⋅Fo
αFϑ0
(2.64)
— безразмерный тепловой поток от тела к жидкости.
Количество теплоты Qτ(τ), отданное телом с начала процесса
до момента τ, определяется интегрированием уравнения (2.63):
τ
τ
0
0
Qτ (τ) = ∫ Q(τ)dτ = αFϑ∫ e − Bi⋅Fo dτ,
или, в безразмерной форме,
(
)
Qτ (τ)
(2.65)
= 1 − e − Bi⋅Fo ⋅ −Bi1⋅Fo .
e
αFϑτ
Сопоставление формулы (2.62) с точными решениями
показывает, что при Вi < 0,1 ошибка в определении температуры
редко превышает 5%. При Вi > 0,1 следует обратиться к более
точным методам — или смириться с довольно высокой
погрешностью расчета по формулам (2.62)–(2.65).
Q ∗τ (Fo) =
166
Условие (2.58) используют и в случае, когда вместо твердого
тела речь идет об объеме хорошо перемешиваемой жидкости
(например, масла в картере двигателя). Если при этом необходимо
описать нестационарный отвод теплоты в окружающую среду, то
уравнения (2.62)–(2.65) сохраняют силу.
2.4.2.
стержня
Теплопроводность
полуограниченного
тела
и
Полуограниченным в разд. 2.2.5 мы назвали достаточно
большое тело с одной плоской поверхностью, к которой подводится
теплота (см. рис. 75, а). Температура такого тела обычно меняется
только вдоль оси х, поэтому уравнение теплопроводности будет
одномерным:
∂T
∂ 2T
=a 2.
∂τ
∂x
Начальное
равномерным:
распределение
(2.66)
температур
T ( x,0) = T0 .
Условия полуограниченности задают
плотность теплового потока при х →∞:
T (∞, τ) = T0 ,
будем
считать
(2.67)
температуру
и
(2.68)
∂T (∞, τ)
= 0, т. е. на достаточно большой “глубине” х
∂x
температура тела равна начальной, а тепловой поток — нулю.
Уравнение (2.66) удается решить, если кроме условий (2.67) и (2.68)
ввести граничные условия на свободной поверхности х = 0.
Рассмотрим вначале вариант, когда температура границы х = 0 в
начальный момент скачком меняется от Т0 до Тw, а затем
поддерживается постоянной (граничные условия I рода):
откуда
T (0, τ) = Tw .
Задача (2.66)–(2.69) имеет решение
(2.69)
167
T ( x, τ) − Tw
⎛ x ⎞
⎛ x ⎞
= erf ⎜
⎟ = erf ⎜
⎟,
T0 − Tw
⎝ 2 aτ ⎠
⎝ 2 Fo ⎠
(2.70)
2 u −u 2
aτ
где Fo = 2 — число Фурье; erf (u ) = ∫ e du — функция ошибок
π0
x
Гаусса для аргумента u (рис. 89)(лат. erratum + лат. functio). Уже
при u ≈ 2,7еrf(u) = 0,9999... Это означает, что температурное
возмущение ослабевает по “глубине” х достаточно быстро, а
неравномерность поля температуры тем сильнее, чем меньше
значение τ.
Плотность теплового потока на поверхности х = 0
q ( x ) = −λ
∂T
∂x
x =0
= −λ (T0 − Tw )
λ (T0 − Tw )
∂ ⎡ ⎛ x ⎞⎤
erf
, (2.71
=
⎜
⎟
∂x ⎢⎣ ⎝ 2 aτ ⎠⎥⎦ x =0
πaτ
)
поскольку, как известно,
1
∂ ⎡ ⎛ x ⎞⎤
erf
.
=
⎜
⎟
∂x ⎢⎣ ⎝ 2 aτ ⎠⎥⎦ x =0
πaτ
Общее количество теплоты, переданное в глубь тела с
поверхности х = 0 за время τ,
τ
λ(T0 − Tw ) τ dτ
τ
.
= 2λ (T0 − Tw )
Qτ (τ) = ∫ q (τ) dτ =
∫
π
a
π
τ
a
0
0
(2.72)
Пусть теперь на поверхности х = 0 задана плотность
теплового потока q(τ) = qw = const (граничные условия II рода);
тогда
T ( x, τ) − T0 =
2q w
⎛ x ⎞
aτ ⋅ ierfc⎜
⎟,
λ
⎝ 2 aτ ⎠
(2.73)
∞
где ierfc (u ) = ∫ [1 − erf (u )]du — специальная функция аргумента u
u
(рис. 90)(сокр. ierf + лат. complementum — интеграл дополнения
функции ошибок), принимающая при u = 0 значение
1
≈ 0,5642... и уже при u = 2,0 падающая почти до нуля.
π
168
Поскольку в этом случае величина qw задана, общее количество
теплоты, переданное с поверхности х = 0 за время τ,
Qτ (τ) = qw τ.
Рис. 89.
(2.74)
Рис. 90.
Уравнение (2.66) — одномерное, поэтому все результаты,
полученные для полуограниченного тела, можно использовать
и для полуограниченного стержня, у которого боковая
поверхность теплоизолирована (см. рис. 75,б).
В справочной литературе приводят решения задачи
теплопроводности для полуограниченных тел и стержней при
разных граничных условиях; все они выражаются через
специальные функции, родственные функции ошибок Гаусса.
Отметим, что граничные условия I и II рода на поверхности
полуограниченного тела принципиально различны. Сравнение
формул (2.70) и (2.73) показывает, что при Tw = const поле
температуры стремится к стационарному (когда Т(х,∞) = Tw), а
условие qw = const при τ→∞ приводит к неограниченному росту
температуры Т(х, τ). Фактически, конечно, ограничения на такой
рост накладывают реальные свойства материала: он плавится,
испаряется и т. д. На практике по мере нагрева могут изменяться
граничные условия: с поверхности в область х < 0 все больше
теплоты будет отводиться излучением, путем конвективного
теплообмена и т. д. Однако физически результат Т(х,∞)→∞ не
является неожиданным. Вспомним, что уравнение первого начала
169
(2.6) при QV=0 имеет форму –QF = ∆H , а при τ→∞ принимает вид
QF = 0. С другой стороны, по определению,
QF = ∫∫ qn dFdτ,
Fτ
поэтому условие
∫∫ qn dFdτ = 0
является обязательным для всех
Fτ
случаев, когда поле температуры при τ→∞ становится
стационарным. При нагреве полуограниченного тела тепловым
потоком плотностью qw = const на всей поверхности х = 0 отвод теп
лоты
“не
предусмотрен”,
∫∫ qn dFdτ ≠ 0
и
стационарное
Fτ
распределение температуры недостижимо.
2.4.3. Нагрев и охлаждение пластины, цилиндра и шара
В
разд.
2.3.1
мы
рассмотрели
стационарную
теплопроводность пластины, цилиндрической и шаровой стенок
при граничных условиях I и III рода. В начальной стадии процесса,
∂T
когда
≠ 0, решение таких задач значительно усложняется.
∂τ
Для решения нестационарной краевой задачи Фурье
используют приемы, которые слишком громоздки, чтобы их могли
применить инженеры-транспортники. Поэтому рассмотрим лишь
общий вид решений и остановимся на некоторых важных частных
случаях.
Пусть
пластина
из
материала
с
известными
теплофизическими свойствами (λ, ρ, с) имеет толщину 2δ (рис. 91).
В начальный момент температура пластины равна Т0, а затем
пластину погружают в среду с температурой Тf, что приводит к
теплообмену по закону Ньютона при коэффициенте теплоотдачи,
равном α. Краевая задача Фурье примет вид
170
Рис. 91.
∂ 2T
∂T
=a 2 ;
∂τ
∂x
∂T
−λ
= α Tw − T f ;
∂x x = ± δ
(
T
)
τ = 0 = T0
(2.75)
(2.76)
(2.77)
(условие (2.76) означает, что пластина охлаждается симметрично).
Ясно, что в любой момент τ > 0 температуры T(х) в
поперечном сечении пластины и Тw на ее поверхности будут
меняться, пока при τ→∞ не станут равными Тf . На рис. 91 показаны
кривые T(τ) для условно выбранных значений времени τ1 < τ2 < τ3 <
τ4.
Задачу (2.75)–(2.77) принято записывать в безразмерной
форме. Если положить что
ϑ(τ) = T ( x, τ) − T f ; ϑ0 = T0 − T f ;
Θ=
ϑ T ( x , τ) − T f
x
aτ
αδ
=
; L = ; Fo = 2 ; Bi =
,
ϑ0
δ
T0 − T f
λ
δ
то уравнение (2.75) преобразуется так:
171
ϑ0 ∂ 2 Θ
∂Θ
ϑ0
=a 2 2 ;
∂τ
δ ∂L
∂Θ
∂ 2Θ
;
=
⎛ aτ ⎞ ∂L2
∂⎜ 2 ⎟
⎝δ ⎠
∂Θ
∂ 2Θ
.
=
∂ (Fo ) ∂L2
(2.78)
Краевые условия в безразмерной форме:
∂Θ
= BiΘ w
∂L L = ±1
(2.79)
Θ Fo= 0 = 1,
где
Θ=
Tw − T f
T0 − T f
— безразмерная
(2.80)
избыточная
температура
на
поверхности пластины.
Искомая функция зависит всего от трех переменных:
Θ = Θ(Bi, Fo, L ) ,
(2.81)
вот почему запись краевой задачи Фурье в форме (2.78)–(2.80)
удобнее, чем в размерной форме (2.75)–(2.77). Кроме того, задача
получает обобщение: решение (2.81) описывает поле температуры в
любой пластине, независимо от численных значений α,δ, a = λ/(ρс),
Fo δ 2
и в любой момент τ =
.
a
Решение (2.81) представляют собой сумму бесконечного ряда
Θp =
∞
2
∑ An (µ n ) cos(µ n L )e −µ n Fo ,
(2.82)
n =1
где µn — корни характеристического уравнения
ctg µ = µ / Bi .
(2.83)
172
Рис. 92.
Трансцендентное уравнение (2.83) решим графически,
построив кривые y1 = ctg µ и y2 = µ / Bi в осях у–µ (рис. 92). Из
графика видно, что корней уравнения (2.83) — бесконечное
множество, они приведены в виде таблиц в справочной литературе.
Функцию cos(µ n L ) называют собственной функцией задачи
(2.78)–(2.80).
Коэффициент разложения (амплитудная функция)
An (µ n ) =
значения
An (µ n )
2 sin µ n
;
µ n + sin µ n cos µ n
(2.84)
также табулированы. Пользуясь таблицами
значений An и µ n можно рассчитать величину Θ с любой
точностью; обычно принимают n ≤ 6, а для Fо ≥ 0,3 хватает и
одного первого корня µ1:
2
Θ Fo≥0,3 = A1 (µ1 ) cos(µ1L )e −µ1 Fo
(2.85)
Условие (2.85) соответствует так называемому регулярному
тепловому режиму (см. разд. 2.45).
По мере увеличения значений Вi линия у2 на рис. 92 будет
отклоняться от оси абсцисс на все меньший угол и при Вi→∞
π
3π
(2n − 1)π
;
сольется с осью µ, что даст корни µ1 = , µ1 = ,..., µ1 =
2
2
2
173
(2n − 1) n +1
(практически это произойдет при Вi>100).
при этом An =
µn
α
→ ∞, Tw → T f , граничные условия III рода
λ
выродятся в условия I рода. Распределение температуры T ( x) Bi→∞
В этом случае
представлено на рис. 93,a.
Другой предельный случай — Вi→0; уравнение (2.82) при
этом переходит в форму,
Θ = e − BiFo ,
(2.86)
которая соответствует практически равномерному распределению
температуры ϑ(L ) L +1 (рис. 93,б). Заметим, что равенство (2.86) в
точности совпадает с соотношением (2.62), полученным в разд.
2.4.1 для термически тонких тел.
Для цилиндра и шара распределения температуры также
выражаются суммами членов бесконечных рядов:
— для неограниченного цилиндра
Θc =
∞
⎛
r ⎞ −µ 2n Fo
⎟⎟e
⎜
,
J
µ
0⎜ n
2
2
r
(
)
(
)
J
J
µ
µ
+
µ
n =1 n 0
0⎠
⎝
1
n
n
∑
[
2 J1 (µ n )
]
(2.87)
174
где J0(µ), J1(µ), — функции Бесселя первого рода нулевого и
первого порядка, соответственно; r/r0 — безразмерная координата
для цилиндра радиусом r0 (здесь r ≤ r0 — текущая размерная
координата);
— для шара
⎛
r⎞
2(sin µ n − µ n cos µ n )sin ⎜⎜ µ n ⎟⎟
∞
⎝ r0 ⎠ e −µ 2n Fo ,
Θb = ∑
⎛
⎞
n =1
(µ n sin µ n cos µ n )⎜⎜ µ n r ⎟⎟
⎝ r0 ⎠
(2.88)
где r/r0 — безразмерная координата для шара радиусом r0 (здесь r ≤
r0 — текущая размерная координата).
В формулах (2.87) и (2.88) µ n — корни соответствующих
характеристических уравнений, их значения для цилиндра и шара
табулированы, как и сами функции Θc и Θb. В обе формулы входит
2
экспоненциальный множитель e −µ n Fo , причем, как и для пластины,
начиная с Fо ≥ 0,3 безразмерная избыточная температура
достаточно точно определяется первым членом соответствующего
ряда: для цилиндра и шара, как и для пластины, наступает
регулярный тепловой режим.
В задачах нагрева и охлаждения часто требуется найти
среднюю безразмерную температуру тела
Θ=
T ( τ) − T f
T0 − T f
= f (Fo),
где T (τ) — среднемассовая (среднеобъемная) температура тела в
момент τ.
Для тел канонической формы (пластины, цилиндра, шара)
Θ=
∞
2
∑ Bn (µ n )e −µ n Fo ,
(2.89)
n =1
где
Bn (µ n ) — функции, вычисленные и табулированные для
каждого из этих тел.
175
В инженерных расчетах вместо формул (2.89) можно
использовать соответствующие графики; в справочной литературе
они приводятся для пластин, цилиндров бесконечной длины,
шаровых стенок и некоторых других тел.
При заданных Вi и Fо последовательно находят Θ , затем
T (τ) = Θ T0 − T f + T f , после чего определяют количество теплоты,
(
)
отданное телом за время τ:
Qτ = cρV [T0 − T (τ)] .
При T (τ) → T f процесс теплопередачи закончится, поэтому
максимальное количество теплоты, отданное телом,
Qmax = cρV (T0 − T f ) .
(2.90)
Величину
Θ∗ (Bi, Fo ) =
Θτ
T0 − T (τ)
= max
T0 − T f
Θτ
по известным значениям Вi и Fо также определяют графически. С
учетом формулы (2.90) из графика можно определить значение Θτ.
Для расчета температур используют графики, где по оси ординат
отложена температура на поверхности пластины Θw (рис. 94,а) или
в ее осевом сечении Θ0 (рис. 94,б). Аналогичные кривые построены
для цилиндра и шара. Кроме того, иногда используют график (рис.
95)
Θ=
T ( x , τ) − T f
T (0, τ) − T f
= f (Bi, L )
по нему можно определить температуру Т(х, τ) в любом сечении
x
L = , если известна избыточная температура в средней плоскости
δ
T (0, τ) − T f . Аналогичные графики построены для цилиндра, шара
[
]
и полуограниченного тела.
176
Рис. 94.
Пользуясь перечисленными “семействами” графиков, можно
решать два класса задач:
1. Определять значения температур (безразмерных и
размерных) в сечении тела, если заданы его теплофизические
свойства, размеры, коэффициент теплоотдачи на поверхности и
текущее время:
Θ = Θ(Bi, Fo ) .
(2.91)
177
Рис. 95.
Задачу (2.91) решают непосредственно по графикам (рис. 94,
95) или по их аналогам: рассчитывают числа Вi, Fо, L, а затем
определяют температуру в центре, на поверхности, в точке с
координатой х или среднемассовую. Такой подход позволяет для
любого заданного времени рассчитать поле температуры, например,
в сечении теплоизолированного ограждения вокруг отсека при
пожаре, в сечении стенки кузова после выезда автомобиля из
теплого гаража и т. д.
2. Определять время, к которому температура (средняя)
достигнет заданного уровня Θ :
Fo = Fo(Bi, Θ ) .
(2.92)
Задача (2.92) связана с выбором предельных тепловых
режимов: если значение Θ ограничено теплостойкостью
материалов, а также предельной допустимой температурой в отсеке
или салоне транспортного средства, то число Fо определит время, в
течение которого объект находится в приемлемом состоянии.
Возможна и менее “тревожная” постановка задачи, когда,
например, требуется определить время прогрева салона зимой или
охлаждения (кондиционером или вентилятором) летом.
2.4.4. Нагрев и охлаждение тел конечных размеров
178
Тела канонической формы (пластина, цилиндр, шар) далеко
не исчерпывают все практически важные для инженеровтранспортников случаи. Почти всегда тело ограничено в двух или
трех направлениях, причем ясно, что поле температуры в его
объеме заведомо неравномерно (Bi >> 0,1). Если по-прежнему
считать, что теплофизические свойства материала (λ,ρ,с) не зависят
от температуры, то температуры в двух-и трехмерных областях
можно рассчитать, применяя решения, полученные для тел
канонической формы.
Рис. 96.
Рассмотрим в качестве примера круговой цилиндр радиусом
r0 и длиной 2δ. Необходимо рассчитать температуру в точке M(δ,r0),
если в начальный момент цилиндр имел температуру T0, а в момент
τ = +0 на всей его поверхности начался конвективный теплообмен
со средой, имеющей температуру Tf, при постоянном коэффициенте
теплоотдачи а (граничные условия III рода). Представим наш
“короткий” цилиндр как пересечение бесконечно длинного
цилиндра радиусом r0 и неограниченной пластины толщиной 2δ
(рис. 96). Для любого τ в этом случае окажется справедливой
формула
ΘM =
ϑ M (δ, r0 )
= C (r0 ) P(δ),
ϑ0
179
где С(r0) — значение Θc для цилиндра радиусом r0, значение Θp для
пластины толщиной 2δ,
ϑ0 = T f − T0 — избыточная температура
среды; ϑ M (δ, r0 ) = TM (δ, r0 ) − T0 — избыточная температура в точке
M (δ, r0 ) .
Значения С(r0) и Р(δ) находят по соответствующим графикам
для цилиндра и пластины. Аналогично решают задачу нагрева
(охлаждения) параллелепипеда размерами 2х × 2у × 2z:
Θ M ( x, y, z ) = P ( x), P( y ), P ( z ),
где Р(х), Р(у), Р(z) — значения температур для пластин толщиной
2х, 2у, 2z, соответственно.
Итак, общее правило таково: безразмерная температура тела
конечных размеров, образованного пересечением канонических тел,
равна произведению безразмерных температур, рассчитанных для
каждого из этих тел в предположении, что их поверхности
пересекаются, ограничивая тело конечных размеров. Этим
способом рассчитывают температуру на поверхности, в центре тела
и среднемассовую температуру.
Описанный метод впервые был предложен Р. Зодербергом в
1931 г.; поскольку функции Р(х), С(r0) и т. д. входят в расчетные
формулы
в
виде
произведений,
его
называют
мультипликативным.
2.4.5. Регулярный тепловой режим
Эксперимент показывает, что нередко при конвективном
теплообмене на поверхности тел самой различной формы (в том
числе — “неправильной”, сложной) температура во всех точках
тела, где бы они ни находились — на поверхности или в глубине —
180
меняется во времени по экспоненте6. Мы отмечали, что в
уравнениях (2.82), (2.87), (2.88) при Fо ≥ 0,3 значения безразмерных
избыточных температур Θp, Θc, Θb достаточно точно определяются
одним первым членом соответствующих бесконечных рядов.
Рис. 97.
Все изложенное было хорошо известно уже в начале XX в., но
лишь в 1954 г. Г.М. Кондратьев предложил весьма простую и
логичную теорию теплового режима, названного регулярным. В
дальнейшем в исследованиях А.В. Лыкова, Г.Н. Дульнева и др.
теория регулярного режима была распространена на системы тел с
внутренними источниками теплоты и прочие важные для практики
случаи.
Теория регулярного режима требует, чтобы теплообмен со
средой происходил при граничных условиях III рода, а тепловой
поток на границе тела не менял знака (т. е. тело должно или
нагреваться, или охлаждаться в течение всего процесса).
Других ограничений нет: форма тела и начальное
распределение температур могут быть произвольными. Если
определить (расчетно или экспериментально), как меняется
температура Т в любых двух точках 1 и 2 охлаждаемого тела (рис.
97), а затем построить графики ln ϑ = f (τ), где ϑ = T − T f , то
Это означает, что в любой момент поле избыточной (над
температурой окружающей среды) температуры остается в теле
“подобным самому себе”. О подобии подробнее см. в разд. 2.7.
6
181
вначале кривые ln ϑ1 = f (τ) и ln ϑ2 = f (τ) будут иметь различный
характер, а начиная с некоторого τ станут параллельными
прямыми.
Таким образом, можно выделить две стадии процесса —
начальную и регулярную; в последней избыточная температура
во всех точках тела меняется во времени экспоненциально:
поскольку
ln ϑ = −mτ + C ,
(2.93)
ϑ = Ce − mτ .
(2.94)
Величина m > 0 не зависит от координат и времени; она
характеризует интенсивность отвода или подвода теплоты,
называется темпом охлаждения (или темпом нагрева) и входит в
экспоненциальную функцию (2.94) в виде множителя при времени
τ.
Для двух произвольных моментов τ' и τ" > τ' по формуле
(2.93) определим
m=
ln ϑ′ − ln ϑ′′
,
τ′′ − τ′
(2.95)
где ϑ′, ϑ′′ — значения ϑ , соответствующие моментам τ' и τ".
Итак,
если
представить
кривую
охлаждения
в
полулогарифмических координатах, то, начиная с некоторого
момента, она превратится в наклонную прямую, а темп охлаждения
тела будет угловым коэффициентом этой прямой: m = tgϕ.
Используя понятие темпа охлаждения m, Г.М. Кондратьев
сформулировал две теоремы.
Первая
теорема
Кондратьева:
темп
охлаждения
однородного тела при конечном значении коэффициента
теплоотдачи α прямо пропорционален α и поверхности тела F и
обратно пропорционален полной теплоемкости тела сρV:
m=ψ
αF
.
cρV
(2.96)
182
ψ = ϑF ϑV
Множитель
называют
коэффициентом
неравномерности распределения температуры ( ϑF — среднее по
поверхности тела F значение ϑ , ϑV — то же значение, усредненное
по объему V).
При Вi→0 температура в теле распределяется почти
равномерно, поэтому ϑF ≈ ϑV , ψ = 1. При Вi→∞, наоборот,
ϑF → 0, поскольку Тw→Tf, поэтому ψ = 0. Следовательно, во всех
случаях 0 ≤ ψ ≤ 1.
Вторая теорема Кондратьева: при Вi→∞ (или, что то же,
при α→∞) темп охлаждения m∞ прямо пропорционален
температуропроводности тела:
a = Km∞ ,
(2.97)
где К — коэффициент, зависящий только от формы и размеров
тела, его размерность — м2.
Например, для пластины толщиной 2δ при Вi→∞ и для
2
π
aτ
Fо>>0,3 e −µ1 Fo = e − m∞ τ , откуда µ1 ≈
Fo = 2 :
2
δ
m∞ =
Поэтому
K=
µ12 a
δ2
2
π2a
⎛ π⎞
= 2 =⎜ ⎟ a.
⎝ 2δ ⎠
4δ
1
(π 2δ)2
— коэффициент пропорциональности
для регулярного нагрева (охлаждения) пластины.
Показано, что для шара радиусом r0
K=
1
(π r0 )2
;
для параллелепипеда размерами l1 × l 2 × l 3
K=
1
(π l1 )
2
+ (π l2 ) + (π l3 )
2
для цилиндра радиусом r0 и длиной l
2
;
183
K=
1
2
⎛ 2,405 ⎞ ⎛ π ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜ ⎟
r
⎝ 0 ⎠ ⎝l⎠
2
.
Соотношения (2.96) и (2.97) можно объединить, если ввести
обозначения:
m mK
M=
=
— относительный темп охлаждения,
m∞
a
α F
K — модифицированное число Био
λ V
(в этих обозначениях М = ψВ).
Мы уже убедились, что коэффициент ψ определяется числом
Био; эксперимент показывает, что для тел произвольной формы
B=
(
ψ ≅ 1 + 1,44B + B 2
)−1 2 .
(2.98)
Формула
(2.98)
содержит
оценку
неравномерности
регулярного поля температуры в любом теле, если для него
известны величины λ, a, α, К, F и V.
Пользуясь теорией регулярного теплового режима, можно
определить теплофизические свойства материала, образующего
однородное тело. Если жидкость интенсивно перемешивать (α→∞),
то по формуле (2.97) удается определить a. Если на границе тела
поддерживать постоянное и конечное значение αа, то сначала
можно определить µ1(Вi), а затем и величину λ. В обоих случаях
кривые охлаждения представляют в полулогарифмических
координатах.
Выше речь шла о нагреве и охлаждении тел в среде с Тf=const
при Fо >> 0,3; такой процесс называют регулярным режимом
первого рода. Если температура среды меняется во времени
линейно (Тf = Тf0 + ωτ) или гармонически (Тf = Тf0 + Тm соsπωτ), то
говорят о регулярном режиме соответственно второго или
третьего рода (здесь ω, Тf0, Тm — константы).
В 1967 г. А.В. Лыков показал, что все разновидности
регулярного режима характеризует одна особенность: скорость
184
нагрева тела прямо пропорциональна разности температуры среды
Тf и среднемассовой температуры тела T :
∂T
(2.99)
= m Tf −T .
∂τ
Важно помнить, что в формуле (2.99) темп m зависит не
только от размеров, теплофизических свойств и граничных
условий, но и от того, как меняется температура среды Тf.
Метод регулярного теплового режима использует простой
математический аппарат и удобен как в эксперименте, так и при
расчете процессов нестационарной теплопроводности.
−
(
)
2.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Чаще всего расчеты теплопроводности начинают с оценки
стационарного поля температуры (если оно существует) и с
определения тепловых потоков.
Если тепловые процессы зависят от времени, переходят к
расчету
нестационарной
теплопроводности,
рассматривая
стационарные решения как предельные. В обоих случаях
используют упрощенные модели тел (пластину, цилиндр, шар,
стержень). Важно помнить, что аналитических решений задачи
Фурье чрезвычайно много, но большинство из них громоздки,
требуют квалифицированного анализа, да и воспользоваться
справочной литературой удается далеко не всегда.
Можно, конечно, провести детальное аналитическое решение
краевой задачи или поставить специальный эксперимент — если
для этого есть время, средства и квалификация! Но нельзя
забывать, что расчетная модель может оказаться слишком грубой, а
теплофизические свойства материалов редко известны с точностью,
превышающей 10…20 %. Поэтому нельзя переоценивать и
точность полученных результатов; их необходимо обязательно
проверить в предельных случаях (на поверхности тела, при τ→∞,
α→∞ и т. д.), сопоставить с результатами испытаний,
185
наблюдениями, словом, не следует терять здравого смысла. Кроме
того, полезно вспомнить о приближенных (инженерных) методах
расчета, дающих приемлемую для практики точность.
2.5.1. Электротепловая аналогия
При расчете стационарной теплопроводности пластин и
оболочек мы ввели понятие термических сопротивлений —
внутреннего Rλ, внешнего Rα и полного Rk. Термин
“сопротивление” выбран не случайно, поскольку уравнение,
описывающее поле температуры в сечении пластины, совпадает по
структуре с законом Ома для участка цепи постоянного тока. На
рис. 80 показана так называемая тепловая цепь сопротивлений —
аналог электрической цепи.
Кроме перечисленных выше термических сопротивлений Rλ,
Rα, Rk, в расчет иногда вводят контактное термическое
сопротивление Rtc; его смысл поясняет рис. 98. Если две пластины
не находятся в идеальном тепловом контакте (из-за шероховатости,
присутствия
Рис. 98.
загрязнений, смазки и т. п.), то на границе возникает скачок
температуры ∆Ttc = Tw′ 2 − Tw′′2 . Поскольку в стационарной задаче
186
теплопроводности для пластины в любом поперечном сечении
q = idem, контактное термическое сопротивление
Rtc =
∆Ttc Tw′ 2 − Tw′′2
=
.
q
q
(2.100)
Итак, контактное термическое сопротивление численно равно
отношению разности температур на границе соприкосновения двух
шероховатых тел к плотности теплового потока на этой границе.
Простота формулы (2.100) обманчива, поскольку величину
∆Ttc измерить и тем более рассчитать весьма сложно. Обычно
значение Rtc задают по опытным данным, а в первом приближении
принимают равным нулю.
Формальное
сходство
уравнений
теплои
электропроводности
получило
название
электротепловой
аналогии (ЭТА). Метод ЭТА позволяет рассматривать систему тел,
в которой идут процессы теплопроводности, как тепловую цепь,
диалогичную цепи электрической. Обычно тепловые цепи
начинаются и заканчиваются в точках, имеющих постоянную
температуру — аналог постоянного потенциала в электрической
цепи.
Метод ЭТА кажется весьма простым, но в нем есть
существенная особенность, о которой следует помнить. Если
результаты расчета электрических цепей весьма точно
соответствуют эксперименту, то это связано в первую очередь с
тем, что удельные электрические сопротивления проводников и
изоляторов отличаются на много порядков. Теплопроводность
различных материалов таким свойством не обладает; она меняется
в пределах 0,01…400 Вт/(м·К), а для твердых материалов диапазон
изменений λ еще меньше. Во всех задачах, кроме явно одномерных
(см. рис. 77–84 и т. п.), приходится вводить дополнительное
допущение — гипотезу
адиабатности
или
гипотезу
изотермичности.
187
Рис. 99.
Если пластину мысленно “разбить” изотермами Т = const (рис.
99,a), то тепловую цепь составят три внутренних сопротивления, а
при “разбиении” сечениями q = 0 (рис. 99,б) — четыре; результаты
расчета суммарных сопротивлений при этом будут такими:
RλΣ T =const = Rλ1 +
1
1
Rλ 2
+ 1
;
Rλ 3
−1
RλΣ q =const
⎛
⎞
1
1
⎟⎟ .
= ⎜⎜
+
⎝ Rλ1 + Rλ 2 Rλ 3 + Rλ 4 ⎠
Расчеты дают близкие, но не идентичные результаты (в чем
легко убедиться, задав реальные размеры и теплопроводности
материалов). При построении тепловой цепи необходимо сразу же
остановиться на одной из схем или при возможности рассмотреть
обе. И помнить: для двумерных и трехмерных задач метод ЭТА
имеет ограниченную, а иногда сомнительную точность, его следует
считать лишь оценочным.
Мы подошли, по сути, к расчету составных тел: они
включают области с различными теплофизическими свойствами,
причем на границах областей соблюдаются условия IV рода. Это —
188
неподвижные соединения деталей, выполненные путем сварки,
пайки, склейки; посадочные соединения с натягом, различные
композиты (армированные пластики, железо-бетон и т. д.). Если
составное тело рассматривать как единое целое, следует ввести
теплопроводность λе, которую называют эквивалентной. Ее
определяет соотношение
∆T δ Σ
=
= RλΣ ,
q
λe
(2.101)
где δ Σ — размер (габарит) системы, для которого рассчитывается
величина λе.
Поскольку RλΣ зависит от размеров, расположения и свойств
элементов составного тела, общего правила для определения
значения λе не существует, в каждом случае надо строить “свою”
формулу (2.101), определяя конкретный вид правой части.
Определим,
например,
значение
λе
для
сечения
армированного композитного покрытия (резинометаллической
гусеницы). На рис. 100 обозначим, как и прежде, цифрами
элементы, для каждого из которых будем определять внутреннее
термическое сопротивление Rλi (для простоты все элементы
выбраны прямоугольными, а система координат — декартовой, но
общность рассуждений не нарушится и для более сложных
случаев). Поскольку “рисунок” сечения повторяется, а его
элементы
обладают
зеркальной
симметрией,
выберем
представительный элемент (рис. 100,a) и разобьем его адиабатными
и изотермическими сечениями (рис. 100,б,в).
189
Рис. 100.
Как видим, тепловые схемы заметно различаются, причем
расчет по схеме рис. 100,в кажется более компактным. Для него, в
частности,
−1
RλΣ q =const
⎡
⎞⎤
⎛
1
1
1
⎟⎟⎥ .
=⎢
+
+ ⎜⎜
R
+
R
R
+
R
R
+
R
+
R
+
R
λ2
λ3
λ 4 ⎝ λ5
λ6
λ7
λ8 ⎠⎦
⎣ λ1
Метод ЭТА позволяет в общем случае решать и
нестационарные задачи: для этого либо переходят к аналогии с
переменным током и вводят электрические емкости, либо
рассчитывают
“временные”
омические
сопротивления
и
подключают их в узлы "стационарной" цепи сопротивлений (метод
Дж. Либманна); оба способа громоздки, их применяют
сравнительно редко. Иногда вместо расчета собирают реальные
цепи
электрических
сопротивлений
или
используют
электропроводную бумагу, электролиты и пр. Такой подход
активно развивался до появления компьютеров, сейчас он почти
вытеснен из практики, хотя иногда позволяет быстро получить
нужный результат.
190
Итак, метод ЭТА наиболее полезен при расчете одномерных
задач и для составных тел; в последнем случае надо помнить о его
приближенном характере.
Существует, кроме того, и более общее понятие о
термическом сопротивлении. Если через тело произвольной формы
проходит тепловой поток Q, а разность температур (наибольшая в
направлении потока) равна ∆T, то величину
R∗ =
∆T
, К/Вт,
Q
называют термическим сопротивлением тела.
Для стержней и цилиндров неограниченной длины
рассчитывают удельную величину термического сопротивления
тела на единицу длины:
R∗ =
∆T
, (К ⋅ м)/Вт.
Q
l
При соблюдении граничных условий III рода (теплопередача
при разности температур жидкостей T f 1 − T f 2 = ∆Tα ).
RΣ∗ =
∆Tα
, К/Вт.
Q
Поскольку ∆Tα = T f 1 − T f 2 > ∆T = Tw1 − Tw2 , во всех случаях
RΣ∗ > R ∗ .
Величины R ∗ , RL∗ , RΣ∗ многочисленных и разнообразных по
форме тел сведены в
представлен на рис. 101.
таблицы;
фрагмент
такой
таблицы
191
Рис. 101.
2.5.2. Графический метод
Если тело имеет сложную форму, то рассчитать поле
температуры, даже стационарное, методом ЭТА затруднительно.
Удобней обратиться к графическому методу, который требует
лишь простейших расчетов и, как сказано в одном руководстве,
обладает “поразительной точностью”.
Графический метод реализует векторную форму закона
Фурье, согласно которому в окрестностях любой точки тела
изотермическая поверхность перпендикулярна вектору теплового
потока. Если изотермические поверхности проведены “достаточно
густо”, то вместо векторов можно провести кривую q = const
(линию теплового тока), пересекающую все изотермические
поверхности по нормалям (рис. 102).
192
Рис. 102.
Графически это означает, что в каждой точке сечения линия
тока перпендикулярна изотерме, а вектор теплового потока
направлен к линии тока по касательной. Если построить
пересекающиеся семейства линий T = const и q = const, которые
будут в каждой точке пересечения взаимно перпендикулярны, то
удастся определить тепловой поток и поле температуры в сечении
тела.
Решение задачи разделяют на три этапа.
1. Вычерчивают, соблюдая масштаб, сечение расчетной
области.
2. Наносят линии T = const и q = const, добиваясь, чтобы
диагонали косоугольных четырехугольников делили одна другую
пополам и были взаимно перпендикулярны. Изотермы, кроме того,
должны быть перпендикулярны адиабатным границам (поскольку
на них q = 0), а также осям симметрии области, если они есть.
3. Уточняют расположение линий сетки, пока не будут
выполнены положения второго этапа, а затем определяют тепловой
поток, пользуясь законом Фурье.
193
Рассмотрим в качестве примера составную область (см. рис.
102), включающую Н-образную “вставку” (похожее сечение может
иметь теплоизолированная стенка кузова, усиленная армирующим
ребром). На границах области заданы температуры Tw1 и Tw2 , т. е.
поддерживаются граничные условия I рода. Требуется определить
тепловой поток, идущий через “вставку”, — ее обычно называют
тепловым мостиком (если автомобиль оставили на улице, а ночью
были заморозки, все такие мостики утром станут ясно видны: на
них по-другому, чем на прочих местах, оседает иней).
Считаем задачу стационарной, а все границы “вставки”, кроме
выделенных жирной линией, — адиабатными; теплопроводность
материала вставки постоянна и равна λ. Исходя из соображений
симметрии, вычертим в удобном масштабе 1/2 сечения вставки, а
затем проделаем операции, указанные в этапах 1 и 2. Тепловой
поток мы разделили на составляющие Q1, Q2, Q3 и Q4, причем их
сумма равна общему тепловому потоку:
n
QΣ = ∑ Qi .
(2.102)
i =1
Для каждой ячейки (одна из них показана на рис. 102) можно
записать уравнение Фурье
qi =
Qi
T −T
= λ i +1 i
∆y
∆x
(2.103)
(в формуле (1.103) полагаем, что в направлении, перпендикулярном
плоскости чертежа, размер ∆z = 1). Поскольку в каждой ячейке ∆x =
∆y, перепад температур между соседними изотермами будет
одинаковым. Если теперь между изотермами на чертеже М
промежутков (у нас М= 13), то
Ti +1 − Ti =
Tw1 − Tw2
λ(Tw1 − Tw2 ) ∆y λ
; Qi =
;
= (Tw1 − Tw2 ).
M
M
∆x M
Условие ∆x = ∆y — одно из очень важных: именно оно
определяет, с каким интервалом следует проводить линии обоих
семейств (чем больше линий, тем точнее решение). Вначале задают
величину ∆y (например, так, чтобы изотермы шли с шагом в 5 или
194
10 К), а потом определяют число “каналов” (Q = const по
соотношению ∆x = ∆y; при этом линии тока разделят сечение на N
частей (у нас N = 4), поэтому
QΣ = NQi .
Формула (2.104) примет вид
n
QΣ = ∑ Qi = NQi = N
i =1
λ(Tw1 − Tw2 ) 4 λ
(Tw1 − Tw2 ).
=
M
13 M
(2.104)
Теперь можно “оцифровать” чертеж: если, например, Тw1 =
400 К, Тw2 = 300 К, то изотермы пойдут с шагом 100/13 = 7,7 К.
Отношение N/М = S называют формфактором теплопроводности; с учетом такого обозначения тепловой поток
QΣ = λS (Tw1 − Tw2 ) = λS∆T ,
(2.105)
где ∆T — наибольший перепад температуры на исследуемой
области.
Мы провели расчет на единицу длины “вставки” (∆z = 1); в
общем случае величина S, как следует из формулы (2.105), должна
иметь размерность длины
[S ] =
[Вт]⋅ [м]⋅ [К ] = [м] .
QΣ
=
[Вт]⋅ [К ]
λ∆T
Значения
S
заранее
рассчитывают
для
систем,
распространенных в практике, а затем сразу переходят к оценке QΣ
по формуле (2.105). Величину S можно определить и графическим
методом, а иногда — даже аналитически.
Показано, в частности, что для пластины размерами h×b×δ S =
2πh
(см. рис. 74).
hb/δ, а для полого цилиндра D × d × h — S =
ln (d D )
Hа рис.103 представлены значения формфактора S для цилиндра с
эксцентричным каналом (рис. 103,а), бруса с каноническим каналом
(рис. 103,б), канала круглого сечения (рис. 103,в) и цилиндрической
полости конечной глубины в полуограниченном теле (рис. 103,г).
195
Рис. 103.
Заметим, что формфактор S связан с термическим
1
сопротивлением тела R* зависимостью R ∗ =
, поэтому формулы
λS
и таблицы в обоих случаях взаимозаменяемы: достаточно,
например, сопоставить формулы, приведенные на рис. 101 и 103,б.
Модификации графического метода существуют и для других
видов граничных условий, но они менее удобны. Еще одно
ограничение связано с тем, что метод применим лишь для
стационарных задач: при решении задач нестационарных пришлось
бы для каждого выбранного момента проводить свой расчет,
корректируя температурное поле на границе по результатам
предшествующих выкладок.
2.5.3. Метод конечных разностей
Основная идея метода состоит в том, что непрерывный
процесс теплопередачи заменяют дискретным; при этом изотермы
из плавных линий превращаются в ломаные. Математически метод
конечных разностей означает замену дифференциального
уравнения теплопроводности алгебраическим уравнением, где роль
приращений ∂T , ∂τ, ∂x выполняют конечные разности ∆T , ∆τ, ∆x.
196
Рис. 104.
Впервые такой подход реализовал немецкий теплотехник
Э. Шмидт в 1924 г.; следуя его идеям, рассмотрим задачу
нестационарной теплопроводности пластины при граничных
условиях I рода с произвольным начальным распределением
температуры.
Разобьем пластину (рис. 104) на слои произвольно малой
толщины ∆х и присвоим им индексы n–1, n, n+1,... Интервалам
времени ∆τ присвоим обозначения k–1, k, k+1,... Температуру n-го
слоя в момент времени k будем обозначать Тn,k.
Заменим дифференциальное уравнение Фурье
∂T
∂ 2T
=a 2
∂τ
∂x
конечно-разностным приближением
∆T
∆2T
=a 2.
∆τ
∆x
(2.106)
Переход к алгебраическому уравнению (2.106) означает, что
температура в сечении пластины меняется по ломаной линии — она
соединяет точки 1, 2, 3, ..., лежащие в среднем сечении каждого
слоя толщиной ∆х.
Соединим эти точки для некоторого момента τ = k∆τ и
получим ломаную 1–2–3.
В пределах любого n-го слоя перелом линии означает, что aналог
∆T
⎛ ∆T ⎞
имеет два значения — “левое” ⎜
частной производной
⎟ и
∆x
⎝ ∆x ⎠ −
⎛ ∆T ⎞
“правое” ⎜
⎟ :
∆
x
⎝
⎠+
197
Tn,k − Tn −1,k
⎛ ∆T ⎞
;
⎜
⎟ =
x
∆
x
∆
⎝
⎠−
Tn +1,k − Tn,k
⎛ ∆T ⎞
.
⎜
⎟ =
∆x
⎝ ∆x ⎠ +
Aналог второй частной производной
∆2T
∆x
2
=
1 ⎡⎛ ∆T ⎞ ⎛ ∆T ⎞ ⎤
1
(Tn+1,k + Tn−1,k − 2Tn,k )
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∆x ⎢⎣⎝ ∆x ⎠ − ⎝ ∆x ⎠ + ⎥⎦ ∆x 2
Аналог производной
(2.107)
∂T
∂τ
∆T Tn,k +1 − Tn,k
(2.108)
=
.
∆τ
∆τ
С учетом подстановок (2.107) и (2.108) перепишем уравнение
(2.106):
Tn,k +1 − Tn,k
∆τ
=a
Tn +1,k + Tn −1, k − 2Tn,k
∆x
;
(2.108)
отсюда
Tn,k +1 − Tn,k =
⎞
2a∆τ ⎛ Tn +1,k + Tn −1,k
⎜
⎟⎟.
−
T
n
,
k
2 ⎜
2
∆x ⎝
⎠
(2.109)
Поскольку ∆х и ∆τ мы задали произвольно, их соотношение может
2a∆τ
быть любым. Выберем его так, чтобы
= 1 , тогда из равенства
∆x 2
(2.109) получим
Tn,k +1 =
1
(Tn+1,k + Tn−1,k ),
2
(2.110)
т. е. температура в n-м слое в момент (k+1)∆τ равна полусумме
температур в двух соседних слоях в момент k∆τ. На рис. 104
решение (2.110) представлено графически: точка 2 получается, если
соединить отрезком прямой точки 1 и 3.
a∆τ
Поскольку величина
равна числу Фурье для слоя
∆x 2
2a∆τ
толщиной ∆х, условие
= 1 можно записать короче: Fо = 0,5.
∆x 2
198
Таким образом, для решения задачи методом Шмидта
необходимо:
разбить сечение на n слоев толщиной ∆х каждый;
выбрать интервал времени ∆τ, удовлетворяющий условию Fо
= 0,5;
задать начальное распределение температур 1–2–3–...;
последовательно определить температуры в моменты ∆τ,
2∆τ,..., k∆τ,..., используя соотношение (2.110) или эквивалентное
ему графическое построение.
Э. Шмидт предложил свой метод именно как графический,
хотя сейчас его используют в основном как компьютерный.
Существуют двух- и трехмерные варианты метода конечных
разностей.
Дальнейшее развитие описанный подход получил в 1946 г.,
когда А.П. Ваничев предложил его модификацию — метод
элементарных балансов, который позволил решать задачи
теплопроводности для составных тел и для сред с переменными
теплофизическими свойствами.
Метод элементарных балансов (применительно к одномерным
задачам) предполагает, что теплоемкость каждого n-го слоя
“сосредоточена” в некоторой точке 1 (рис. 105); со своими
“соседями” — точками 2 и 3 — точка 1 соединена тепловыми
связями, по которым передается теплота. В основе метода
Ваничева лежат три постулата.
Рис. 105.
1. Изменение температуры между расчетными точками
(узлами) происходит по линейному закону и определяется
термическим сопротивлением тепловых связей.
2. Изменение температуры во времени происходит скачками.
3.
Увеличение
энтальпии
элементарного
объема,
прилегающего к данному узлу, пропорционально приращению
температуры в этом узле.
Если в сечении выделить слой ∆х, а все расчеты вести для
пластины единичной площади, то элементарный объем слоя
199
V = ∆x ⋅ ∆x ⋅1 = (∆x )2 .
Теплота, переданная слою по связи 2–1, на основании
постулата 1,
λ
(T2 − T1 )∆x∆τ,
∆x
а переданная по связи 3–1–
Q21 =
λ
(T3 − T1 )∆x∆τ;
∆x
здесь T1, T2, T3 — температуры узлов, рассчитанные в один и тот же
момент.
За время ∆τ температура узла 1 изменится, поскольку к нему
подведена теплота Q21,+Q31; это изменение, в силу постулата 3,
определится из соотношения
Q31 =
λ∆x
(2.111)
∆τ(T2 + T3 − 2T1 ),
∆x
где T1′ — температура узла 1, рассчитанная в конце интервала
времени ∆τ (в соответствии с постулатом 2 температура узла
меняется скачком).
Соотношение (2.111) — уравнение теплового баланса (отсюда
и название метода); из него следует, что
cρV (T1′ − T1 )∆τ = Q21 + Q31 =
⎞
⎛
⎟
⎜
T1 ⎟
λ∆τ ⎜
T1′ =
T2 + T3 − 2T1 +
.
λ∆τ ⎟
cρV ⎜
⎜
cρV ⎟⎠
⎝
λ
= a, V = (∆x )2 ,
cρV
последнее равенство примет вид
Если
учесть,
что
a∆τ
(∆x )
⎡
⎛ 1
⎞⎤
T1′ = Fo ⎢T2 + T3 + T1 ⎜ − 2 ⎟⎥ .
⎝ Fo
⎠⎦
⎣
2
= Fo,
то
(2.112)
Потребуем, как и прежде, чтобы Fо = 0,5, тогда
T2 + T3
(2.113)
.
2
Как видим, уравнение (2.113) имеет тот же смысл, что и
уравнение (2.110). В то же время условие Fо = 0,5 для уравнения
T1′ =
200
(2.112) не является обязательным; можно задавать любые значения
Fо < 0,5. Например, при Fо = 1/3 равенство (2.112) принимает вид
T1′ =
1
(T2 + T3 + T1 ),
3
а при Fо = 1/4 —
1
(T2 + T3 + 2T1 ).
4
В правую часть этих формул входит величина T1: для расчета
каждой последующей температуры в узле 1 надо знать предыдущее
ее значение. Чем меньше Fо, тем точнее решение, но одновременно
с точностью, увеличивается трудоемкость (или применительно к
компьютерному варианту — время счета).
Для двумерных задач теплопроводности составляется
аналогичная расчетная схема (рис. 106); если положить,
a∆τ
что ∆x = ∆y = δ, a Fo = 2 , то в узле 0 в каждый последующий
δ
момент времени температура
T1′ =
⎡
⎛ 1
⎞⎤
T1′ = Fo ⎢T1 + T2 + T3 + T4 + T0 ⎜ − 2 ⎟⎥ ,
⎝ Fo
⎠⎦
⎣
а при Fо = 1/4
T1′ =
1
(T1 + T2 + T3 + T4 ) .
4
Рис. 106.
Трехмерные задачи решают, рассматривая пространственные
тепловые связи.
И метод Шмидта, и метод Ваничева реализуют явные
конечно-разностные схемы: каждую последующую (во времени)
201
температуру определяют, зная предыдущую. Можно показать, что
оба метода дают правильные результаты лишь при Fо < 1/2 для
одномерной задачи и при Fо < 1/4 — для двумерной (говорят, что
при таких Fо схемы устойчивы).
При больших значениях Fо явные методы дают физически
необъяснимые решения. Пусть, например, пользуясь соотношением
(2.112), мы задали Fо = 1; тогда
T1′ = 1(T2 + T3 − T1 ) = T2 + T3 − T1 .
Если в некоторый момент τ Т2 – Т3 = 500 К, T1 = 300 К, то в
момент τ + ∆τ получим T1′ = 500 + 500 − 300 = 700 K > 500K.
Теплота к узлу 1 подводилась от более нагретых узлов 2 и 3,
но, согласно второму началу термодинамики, температура узла 1 не
может превысить температуры узлов 2 и 3; полученный выше
результат неверен (говорят, что схема потеряла устойчивость).
Для сохранения устойчивости нужно вернуться к шагу ∆τ, при
котором Fо < 1/2.
С появлением компьютеров возрос интерес к так называемым
неявным схемам: они позволяют рассчитать поле температуры в
произвольный момент без промежуточных вычислений. Неявные
схемы устойчивы при любых значениях числа Фурье.
Запишем, например, балансовое уравнение (2.111) для
момента τ + ∆τ, когда температуры в узлах 2 и 3 примут значения
T2′ и T3′ :
cρV (T1′ − T1 )∆τ = Q21 + Q31 = λ∆τ[(T2′ − T1′) + (T3′ − T1′)] ,
откуда после преобразований получим
(1 − Fo )T1′ − Fo(T2′ − T3′ ) − T1 = 0,
(2.114)
(2.115)
т. е. температура T1′ зависит от температур T2′ и T3′ соседних
узлов в тот же момент времени. Следовательно, соотношение вида
(2.115) надо записать для всех узлов расчетной области, а затем
решить систему уравнений для интересующего нас момента τ + ∆τ
(другими словами — сразу задать “нужное” число Фурье). При
таком подходе выбор числа Фурье ничем не ограничен. Схема
устойчива при любых шагах по времени, однако чем меньше ∆τ,
тем
точнее
результат,
поскольку
конечно-разностное
алгебраическое
уравнение (2.106) становится
ближе
к
дифференциальному уравнению теплопроводности. Еще раз
напомним, что неявные конечно-разностные схемы практически
реализуют лишь в компьютерных вариантах, в то время как схемы
202
явные можно рассчитывать с помощью калькулятора и даже
строить графически.
2.6. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
2.6.1. Основные понятия и определения
Конвективный
теплообмен
обусловлен
совместным
действием конвективного и молекулярного переноса теплоты при
движении теплоносителя относительно твердой поверхности.
В соответствии со вторым началом термодинамики такой
процесс возможен, лишь, если температура поверхности отличается
от температуры теплоносителя. Теплоносителем может быть любая
среда: сжимаемая (газ, пар) или практически несжимаемая
(капельная жидкость). Если скорость движения газа или пара
существенно меньше скорости звука, то сжимаемостью можно
пренебречь; в этом случае используют лишь один термин —
жидкость, относя его к подвижной среде любой физической
природы и агрегатного состояния.
Если движение жидкости вызвано действием неоднородного
поля массовых сил (гравитационных, магнитных, электрических),
то говорят о свободной конвекции. Если на жидкость действуют
внешние силы (приложенные на границе), внутренние однородные
массовые силы или же кинетическая энергия приданы потоку
жидкости извне, то рассматривают вынужденную конвекцию.
Обычно вынужденную конвекцию вызывает принудительная
прокачка жидкости каким-либо нагнетателем — вентилятором,
компрессором или насосом.
Характерные размеры области, где происходит течение
жидкости, почти всегда несоизмеримо велики по сравнению с
длиной свободного пробега ее молекул, поэтому жидкую среду
считают непрерывной. Это означает, что и температура в
жидкости
распределена
непрерывно,
поэтому
градиент
температуры и вектор плотности теплового потока сохраняют здесь
тот же смысл, что и в теории теплопроводности. Основная задача
203
теории конвективного теплообмена — выявить связи между
плотностью теплового потока q на границе поверхность —
жидкость, температурой поверхности Тw, и температурой жидкости
Тf (рис. 107).
Рис. 107.
Экспериментально установлено, что в тонком слое вблизи
поверхности жидкость практически не подвижна, и теплота
передается только молекулярным путем. Поэтому в соответствии с
гипотезой Био–Фурье в пристенной области
q = −λ f
где
∂T
∂n
λf — теплопроводность
,
(2.116)
n =0
жидкости;
∂T
∂n
= gradT
n =0
n
—
нормальная составляющая градиента температуры жидкости
вблизи поверхности.
Чтобы пользоваться в расчетах формулой (2.116), надо знать
распределение температуры в жидкости, а оно в общем случае
неизвестно. С другой стороны, эксперименты показывают, что
(
)
q = α T f − Tw ,
(2.117)
где α — коэффициент пропорциональности (вспомним, что его
называют коэффициентом теплоотдачи).
204
Коэффициент теплоотдачи α характеризует интенсивность
конвективного теплообмена и численно равен плотности
теплового потока на поверхности раздела, отнесенной к
температурному напору (разности температур) между жидкостью
и поверхностью.
Зависимость (2.117), как уже отмечалось, называют законом
теплоотдачи Ньютона. Название стало общепринятым, хотя
впервые линейную связь плотности теплового потока с разностью
температур жидкости и поверхности экспериментально установил
Ж. - Б. Фурье. Размерность величины α — Вт/(м2⋅К); ее величина
меняется в широких пределах — от 5…30 Вт/(м2⋅К) при свободной
конвекции в газах до 4⋅104…1,2⋅105 Вт/(м2⋅К) при капельной
конденсации пара.
Первоначально считали, что множитель α характеризует
способность жидкости “отбирать теплоту”. Лишь в конце ХIХ в.
при исследовании теплообмена в трубах паровозных котлов
выяснилось, что α почти линейно увеличивается с увеличением
скорости потока; позднее установили, что α зависит от физических
свойств жидкости, формы поверхности теплообмена и от многих
других факторов. Поэтому закон теплоотдачи Ньютона следует
считать не фундаментальным законом природы, а лишь гипотезой,
подтверждаемой более или менее надежно при правильной оценке
коэффициента теплоотдачи α.
Если на всех участках поверхности плотность теплового
потока q, температуры Тw и Тf. сохраняют свои значения, то
коэффициент α не будет зависеть от координат. В противном случае
определяют средний коэффициент теплоотдачи
α=
где
Qm
,
T fm − Twm F
(
Qm , T fm , Twm — средние
)
значения
теплового
потока
Q,
температур Тf и Тw, а F — площадь поверхности теплообмена.
Иногда
рассматривают
местный
коэффициент
теплоотдачи — коэффициент теплоотдачи в данной точке
205
поверхности теплообмена, равный местной плотности теплового
потока qi, отнесенной к местному температурному напору Тfi – Тwi;
αi =
qi
.
T fi − Twi
(
)
Если известны коэффициенты αi, и участки поверхности
теплообмена Fi , в пределах которых αi = const, то общий тепловой
поток
n
n
i =1
i =1
(
)
Q = ∑ qi Fi = ∑ α i T fi − Twi Fi .
Чем меньше участки Fi, тем точнее удается рассчитать Qi в
предельном (и самом общем) случае тепловой поток определяют
n
интегрированием по всей поверхности F = ∑ Fi :
i =1
(
)
Q = ∫ α T f − Tw dF ,
F
где α, T f , Tw — величины, определенные в окрестностях элемента
площади dF.
Из уравнений (2.116) и (2.117) следует, что
∂T
∂n n =0
α=
.
(T f − Tw )
−λf
(2.118)
Уравнение (2.118) называют уравнением теплоотдачи.
Обычно температура Тf принимает постоянное значение на
некотором удалении от стенки δ, которое называют толщиной
теплового пограничного слоя (см. рис. 107). Если в первом
приближении считать, что
∂T
∂n
=−
n =0
T f − Tw
δ
,
то в соответствии с равенством (2.118) получим
206
⎛ T f − Tw ⎞
⎟⎟
− λ f ⎜⎜ −
δ
⎠ = λf .
⎝
α=
(T f − Tw )
δ
(2.119)
Уравнение (2.119) можно использовать для качественных
оценок, если известен хотя бы порядок величины δ. Из равенства
(2.119) следует, кроме того, что для увеличения значения α надо
выбирать жидкость с большей теплопроводностью λf Кроме
теплопроводности λf на величину α влияют и другие физические
свойства жидкости: плотность ρf, изобарная теплоемкость cpf,
динамическая вязкость µ, температурный коэффициент объемного
расширения β (в последних двух случаях индекс f опущен,
поскольку эти величины определены только для жидкости).
Величины ρf, λf, cpf рассмотрены в разделе 1 и 2.1, сделаем
дополнительно несколько замечаний о величинах µ и β.
Динамическая вязкость µ, Па⋅с, характеризует силы взаимодействия между слоями жидкости, движущимися с различной
скоростью. Вязкость связана с внутренним трением в жидкости.
И. Ньютон установил закон вязкого трения, согласно которому
касательная сила s, отнесенная к поверхности, пропорциональна
∂w
вблизи этой поверхности:
градиенту скорости
∂n
s=µ
∂w
.
∂n
(2.120)
∂w
= 1 и µ = s, т. е. динамическая вязкость µ
∂n
характеризует силу трения, приходящуюся на единицу поверхности
контакта "соседних" слоев жидкости, при единичном градиенте
скорости.
Как и предыдущий закон Ньютона (2.117), закон вязкого
трения (2.120) — скорее, феноменологическая гипотеза, поскольку
величина µ зависит от температуры и некоторых других факторов.
Для капельных жидкостей величина µ почти не связана с давлением
и снижается по мере повышения температуры. Для газов значение µ
При
207
с повышением температуры возрастает (рис. 108), а с увеличением
давления изменяется слабо.
Рис. 108.
Иногда вместо динамической
кинематическую вязкость:
ν=
вязкости
µ
используют
µ м2
,
.
c
ρf
Для капельных жидкостей значение ν меняется с температурой почти так же, как и µ, но для газов ν сильно зависит от
давления. Надо помнить: если теплоносителем является газ,
следует выбрать из таблиц значения µ(Т), а затем пересчитать
величину ν по плотности ρf(Т), определенной параметрами
состояния газа р, Т и его газовой постоянной R.
Температурный коэффициент объемного расширения
1 ⎛ ∂v
β= ⎜
v ⎜⎝ ∂T f
где v =
⎞
⎟ ,1 ,
K
⎟
⎠p
1 м3
— удельный объем теплоносителя; р, Па — его
,
кг
ρf
давление.
Для газа, близкого к идеальному, β = 1/Т, где Т —
абсолютная температура газа.
208
Для количественного описания конвективного теплообмена
нужно составить замкнутую систему дифференциальных
уравнений. При этом, как и в теории теплопроводности, делают
некоторые предварительные допущения.
1. Жидкость, участвующая в конвективном теплообмене,
является сплошной средой.
2. В потоке жидкости выполняются законы сохранения
энергии, массы и количества движения.
3. В качестве дополнительных гипотез используют: связь
между тепловым потоком и разностью температур (2.117);
связь между трением и градиентом скорости (2.120).
4. Физические свойства (динамическую вязкость µ, плотность
ρf изобарную теплоемкость cpf, температурный коэффициент
объемного расширения β, теплопроводность λf) считают заданными
функциями состояния жидкости.
2.6.2. Дифференциальные уравнения конвективного
теплообмена
По сути дела, одно из таких уравнений мы уже получили —
это дифференциальное уравнение теплоотдачи (2.118). В него
∂T
, которую можно определить,
входит неизвестная величина
∂n n =0
зная уравнение поля температуры в жидкости:
T f = T f ( x, y, z , τ),
где
x, y, z , τ — текущие
координаты
(2.121)
элементарного
объема
жидкости и текущее время.
В неподвижной среде вид функции (2.121) определяет краевая
задача теплопроводности. Если жидкость движется, то координаты
любого элементарного объема x, y, z будут меняться во времени τ,
поэтому
T f = T f [x( τ), y ( τ), z ( τ), τ ].
(2.122)
209
Из равенства (2.122) следует, что полная производная
температуры по времени (так называемая субстанциональная
производная7 должна иметь вид
DT ∂T ∂T ∂x ∂T ∂y ∂T ∂z
=
+
+
+
∂τ ∂x ∂τ ∂y ∂τ ∂z ∂τ
dτ
∂x
∂y
∂z
= wx , = w y , = wz — это проекции скорости
∂τ
∂τ
∂τ
элементарного объема dV = dxdydz на координатные оси, поэтому
но производные
DT ∂T
∂T
∂T
∂T
=
+ wx
+ wy
+ wz
.
dτ
∂τ
∂x
∂y
∂z
∂T
— локальная составляющая изменения
∂τ
∂T
∂T
∂T
+ wy
+ wz
температуры во времени, а сумма wx
—
∂x
∂y
∂z
В этом равенстве
конвективная составляющая.
Дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению
теплопроводности для неподвижной среды, выражает закон
сохранения энергии при конвективном теплообмене, его называют
уравнением энергии
λf
DT
=
dτ ρ f c pf
(здесь
λf
ρ f c pf
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞
2
⎟
⎜
⎜ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ⎟ = a f ∇ T
⎠
⎝
(2.123)
— температуропроводность жидкости).
DT
названа субстанциональной потому, что
dτ
характеризует изменение температуры, вызванное движением
материальной среды (субстанции).
7
Производная
210
Из формул (2.122) и (2.123) следует, что изменение температуры жидкости зависит от скорости ее движения:
→
→
→
→
→ → →
w = wx i + w y j + wz k , где i , j , k — единичные орты.
→
Скорость w
вообще говоря, неизвестна, поэтому
совокупность уравнений (2.118) и (2.123) остается незамкнутой.
Необходимо дополнить ее уравнением, описывающим движение
жидкости.
Это
дифференциальное
уравнение
называют
уравнением движения, или уравнением Навье-Стокса; в его
основе — условие равновесия в подвижном объеме жидкости:
r
n
Dw
(2.124)
∑ pi = ρ f V dτ ,
i =1
где
n
∑ pi
— сумма
i =1
сил, действующих на объем dV; ρ f V
— масса
элементарного объема dV,
→
→
→
→
→
∂w
∂w
∂w
Dw ∂w
=
+ wx
+ wy
+ wz
∂τ
∂x
∂y
dτ
∂z
— субстанциональная производная скорости (ускорение объема
dV). Уравнение (2.124) представляет собой второй закон Ньютона
для движущегося элемента жидкости. Рассмотрим силы рi,
входящие в правую часть этого равенства.
На элемент несжимаемой жидкости действуют силы давления,
вязкости и тяжести (рис. 109).
211
Рис. 109.
В частности, вдоль оси х действует сила давления
∂p ⎞
∂p
∂p
⎛
p p , x = ⎜ p + dx ⎟dydz − pdydz = dxdydz = dV ,
∂x ⎠
∂x
∂x
⎝
и сила вязкости
∂s ⎞
∂s
∂s
⎛
ps , x = ⎜ s + dx ⎟dydz − sdydz = dxdydz = dV .
∂x ⎠
∂x
∂x
⎝
С учетом закона вязкого трения (2.120)
ps, x
⎛ ∂ 2 wx ∂ 2 wx ∂ 2 wx ⎞
∂s
⎟dV = µ∇ 2 wx dV ,
= dV = µ⎜⎜ 2 +
+
∂x
∂y 2
∂z 2 ⎟⎠
⎝ ∂x
где ∇2wx — оператор Лапласа для компонента скорости wx.
Уравнение движения (2.124) в проекции на ось х принимает вид
ρ f dV
Dwx
∂p
= − dV + µ∇ 2 wx dV
dτ
∂x
Dwx
— всегда
dτ
соответствует понижение давления р в направлении движения).
По оси у действуют аналогичные силы рр,у и ps,y; поэтому
(знак "–" означает, что положительному ускорению
ρ f dV
Dw y
dτ
=−
∂p
dV + µ∇ 2 w y dV
∂y
По оси z кроме сил рр,z и ps,z действует сила тяжести pg = ρfgdV
(g — ускорение свободного падения), следовательно,
212
Dwz
∂p
= ρ f gdV − dV + µ∇ 2 wz dV
dτ
∂z
Таким образом, получены три уравнения в проекциях на оси
х, у и z; в векторной форме они сводятся в общее уравнение
движения
ρ f dV
ρf
Dw
= ρ f gdV − ∇p + µ∇ 2 w ,
dτ
(2.125)
где ∇p = gradр.
В уравнении (2.125) появилась дополнительная переменная
р — давление. Для замыкания системы требуется еще одна
зависимость — уравнение сплошности (или неразрывности)
потока — частный случай закона сохранения массы.
Согласно этому закону, количество несжимаемой жидкости,
втекающее в объем V, равно количеству жидкости, вытекающей из
него, и, следовательно, изменение массового расхода
∆Gm = ∫ ρ f wdV = 0 ,
F
(2.126)
где F — замкнутая поверхность выделенного объема V.
По теореме Остроградского-Гаусса,
⎡ ∂ (ρ f wx ) ∂ (ρ f w y ) ∂ (ρ f wz ) ⎤
∆Gm = ∫ ρ f wdV = ∫ ⎢
+
+
⎥dV = ∫ div(ρ f w)dV .
∂
∂
∂
x
y
z
⎦
F
V⎣
V
Поскольку для несжимаемой жидкости ρf = const, из равенства
(2.126) следует, что
∂wx ∂w y ∂wz
+
+
=0
∂y
∂x
∂z
()
div w = 0
(2.127)
Уравнения (2.118), (2.123), (2.125) и (2.127) образуют замкнутую
систему: из нее можно получить поля давления, скорости и
температуры, а затем рассчитать плотность теплового потока.
Однако для каждого частного случая к перечисленным уравнениям
необходимо добавить условия однозначности:
213
1)задать форму и размеры поверхности, омываемой жидкостью, или форму канала, по которому течет жидкость (геометрические условия однозначности);
2)задать величины λf, cpf, ρf, µ, β как функции состояния
жидкости (физические условия однозначности);
3)задать значения Тw, рw, ww, — значения Т, w и р на
поверхности, омываемой жидкостью (граничные условия
однозначности);
4)если теплообмен нестационарный, необходимо задать
значения Т, w и р по всему объему жидкости, а также поле
температуры на поверхности Тw в начальный момент (начальные
условия однозначности).
Как видим, даже постановка задачи конвективного теплообмена является достаточно сложной. Ее решение (в принципе
точное) во многом обесценивается:
громоздкостью математического аппарата;
погрешностями в задании параметров;
многочисленными и не всегда корректными исходными
допущениями.
Особенно большие трудности при решении задач
конвективного теплообмена возникают при турбулентном течении
жидкости (см. разд. 2.8.1).
В настоящее время такие задачи решают численными
методами, но компьютерные решения обычно носят частный
характер; кроме того, для них в полной мере продолжают
действовать последние два из перечисленных недостатков.
Как видим, при исследовании конвективного теплообмена
возможности аналитического метода еще меньше, чем при
описании процессов теплопроводности. В то же время не всегда
удается исследовать процесс экспериментально (это дорого,
сложно, долго и т. д.). Промежуточный подход, который на
практике оказался весьма плодотворным, связан с теорией
подобия.
2.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
214
2.7.1. Подобие физических явлений
Понятие подобия пришло в физику из геометрии Эвклида, где
речь шла о геометрически подобных фигурах и телах.
Геометрически подобные объекты описывают одинаковыми (с
точностью до масштаба) зависимостями: подобны, например, все
"египетские" прямоугольные треугольники с соотношением сторон
3:4:5, чему бы ни равнялась меньшая из длин — 3 мм или 3 км.
Такое же сходство физики заметили, когда получили
математическое описание, казалось бы, физически различных
процессов — протекания постоянного электрического тока по
проводнику, течения жидкости в трубах и передачи теплоты путем
теплопроводности. Напомним, что формальная аналогия закона
Ома для участка цепи постоянного тока:
I=
∆U
Re
(здесь I — ток в цепи, ∆U — разность потенциалов, Rе —
электрическое
сопротивление
проводника)
и
уравнения
стационарной теплопроводности для пластины
q=
∆T
Rλ
202
(∆T — разность температур на поверхностях пластины, Rλ —
внутреннее термическое сопротивление) привела к появлению
метода ЭТА (электротепловой аналогии).
Если различные по природе явления описываются
тождественными дифференциальными уравнениями, их относят к
одному и тому же классу. Если у таких явлений качественно
совпадают (т. е. отличаются лишь численными значениями)
условия однозначности, то они становятся еще ближе, их называют
явлениями одного рода (в нашем примере условие U = const на
концах проводника с сопротивлением Rе качественно совпадает с
215
граничным условием I рода Т = const на поверхности пластины с
внутренним термическим сопротивлением Rλ).
Когда в явлениях одного рода все физические величины
распределены в пространстве и во времени сходным образом,
говорят о физическом подобии (температура в сечении пластины
меняется так же линейно, как и потенциал — вдоль электрического
проводника).
Подобными могут быть, в частности, явления одной
физической природы, отличающиеся геометрическим масштабом,
свойствами материальных сред, уровнем потенциалов, температур
и т. д.
В общем случае для подобия физических явлений, относящихся к одному классу и роду, необходимо выполнение трех
условий.
1. Явления должны происходить в геометрически подобных
системах.
2. Нестационарные явления должны быть гомохронными:
каждому моменту одного из них должен соответствовать
единственный момент другого. Примером могут служить процессы
теплопроводности для двух пластин, у которых совпадают числа
Фурье. В этом случае
Fo1 = Fo 2 ;
a1τ1 a2 τ 2
=
,
l1
l2
где
a1, l1, a2, l2, — соответственно
значения
температуропроводности и определяющего размера для тел 1 и 2.
Если a1 ≠ a2, l1 ≠ l2, то и τ1 ≠ τ2, но при Fo1 = Fo2 тепловой
процесс в обеих пластинах достигает одной и той же стадии.
3. Отношения одноименных величин, существенных для
процесса, в сходственных точках в сходственные моменты должны
быть равны друг другу. В нашем последнем примере это означает,
a1
l
τ
что
= Ca , 1 = Cl , 1 = C τ — безразмерные
величины
a2
l2
τ2
216
(множители преобразования), не зависящие ни от координат, ни
от времени.
Все три условия кажутся почти очевидными, однако
пользоваться ими непосредственно, без дополнительных
ограничений, нельзя. Первые попытки создать модели паровых
котлов, ориентируясь только на геометрическое подобие,
гомохронность и постоянство множителей преобразования,
закончились
провалом:
результаты
опытов
никак
не
соответствовали процессам в реальных котлах.
Дело в том, что множители преобразования нельзя
назначать произвольно. Ответ на вопрос, как их выбирать, дают
теоремы подобия (см. разд. 2.7.2). Физические параметры объектов
и явлений (размеры, скорость, физические свойства и т. д.) теория
подобия требует объединять в так называемые критерии (числа)
подобия — безразмерные степенные комплексы, составленные из
величин, характеризующих исследуемый процесс. У физически
подобных процессов числа подобия совпадают.
Некоторые числа подобия мы использовали в теории
αl
теплопроводности: число Био Bi =
(λw — теплопроводность,
λw
твердого материала) характеризует соотношение внутреннего и
aτ
внешнего термических сопротивлений, число Фурье Fo = 2 —
l
"безразмерное время" и т. д.
Критерии подобия обозначают обычно первыми двумя
буквами фамилий выдающихся ученых. Так, кроме упомянутых
величин Вi и Fо, используют безразмерные комплексы Rе (число
Рейнольдса), Рr (число Прандтля), Nu (число Нуссельта) и др.; всего
в теории подобия таких величин более 200.
В современной литературе принято называть безразмерный
комплекс числом, когда он упоминается "вместе с фамилией"
(число Нуссельта, число Фурье); если же комплекс связывают с
физической стороной процесса, его называют критерием.
Например:
"Число
Фурье — критерий,
характеризующий
нестационарность процесса теплопроводности".
217
Кроме чисел подобия приходится иметь дело с
безразмерными
соотношениями
однородных
величин
l
(симплексами), безразмерной длиной L = , безразмерной
l0
температурой θ =
T
и др.; в теории подобия они равноправны с
T0
комплексами.
2.7.2. Теоремы подобия
Практическое применение теории подобия сводится к тому,
что физическое явление изучают на модели, т. е. в удобных для
опыта и расчетов масштабах величин, а затем полученные
результаты обобщают на более широкий круг подобных явлений.
При этом требуется заранее знать:
какие величины надо измерять в опыте на модели;
как обобщать результаты опыта;
на какие явления можно распространить полученные данные.
Ответ на эти вопросы дают теоремы подобия. Первую
теорему подобия называют теоремой Ньютона (в 1685 г.
И. Ньютон вывел ее частный случай для подобных механических
систем). Согласно этой теореме, подобные явления имеют
одинаковые критерии подобия. Таким образом, теорема Ньютона
отвечает на первый вопрос: в опыте надо измерять величины,
входящие в критерии подобия.
Вторая теорема подобия математически доказана А. Федерманом в 1911 г., а в современном виде ее представил в 1914 г.
Э. Бэкингем: всякое уравнение, связывающее между собой n
физических величин, может быть приведено к зависимости
между i безразмерными комплексами этих величин, причем
i = n – k,
218
где k — число первичных величин (таких, как длина, масса, время,
температура), используемых при описании явления8.
Э. Бэкингем обозначал безразмерные комплексы π1, π2 и т. д.,
поэтому вторую теорему подобия иногда называют "π-теоремой".
Важно помнить, что π-теорема устанавливает минимальное
значение i. Вообще же количество комплексов может быть любым,
но не меньшим, чем i = n – k. π-теорема отвечает на второй вопрос:
если мы знаем значения n и k, то результаты опытов надо
представить в форме уравнения подобия
F(π1 , π 2 ,..., π i , ) = 0,
(2.128)
где i = n – k.
Третья
теорема
подобия
доказана
в
1931
г.
М.В. Кирпичевым и А.А. Гухманом: подобны между собой те
явления, у которых совпадают с точностью до численных
значений однотипные условия однозначности и равны
определяющие критерии.
Здесь новым для нас является понятие определяющего
критерия: такой критерий включает в себя независимую
переменную. Определяющие критерии целиком состоят из величин,
входящих в условия однозначности.
Искомые (зависимые) величины входят в определяемые
критерии подобия.
Теорема Ньютона критерии на определяющие и определяемые
не разделяла; она требовала, чтобы в подобных явлениях совпадали
и те и другие. Теорема Кирпичева-Гухмана уточняет: для подобия
Первичной называют величину, которая вводится для
данного класса явлений безотносительно к другим величинам и
может быть измерена непосредственно в любой системе единиц.
Вторичная величина выражается через первичные на основе
физических представлений, законов: например, скорость
(вторичная величина), равная отношению первичных величин:
длины и времени.
8
219
достаточно обеспечить равенство одних только определяющих
критериев, а определяемые совпадут сами собой.
Таким образом, согласно этой теореме, разрешается и третий
вопрос: результаты, полученные на модели, можно распространять
на все явления, у которых определяющие критерии такие же, как у
модели.
Заметим, что перечисленные выше условия подобия
(геометрическое подобие, гомохронность, равенство множителей
преобразования) были условиями необходимыми, в то время как
равенство определяющих критериев подобия — достаточное
условие подобия.
Таким образом, теория подобия является основой
правильного моделирования физических явлений. Рассмотрим, как
ее применить к исследованию конвективного теплообмена.
2.7.3. Уравнения подобия
Уравнения вида (2.128) можно получить по-разному. Единого
строгого подхода здесь не существует, поэтому теорию подобия и
относят к приближенным.
Один из удобных приемов, позволяющих получить уравнение
подобия для процессов конвективного теплообмена, разработал в
1915 г. Дж. Рэлей; сейчас этот прием называют методом
размерностей. Он не требует полной постановки задачи, а исходит
из интуитивных (и, следовательно, не вполне строгих)
представлений о том, какие переменные влияют на искомую
величину (например, на коэффициент теплоотдачи α). Согласно
представлениям Рэлея, к числу таких переменных относятся
характерный размер l, скорость потока жидкости w, а также
физические параметры λf, cpf, , β, µ = νρf. Кроме того, заранее
задается формула размерности
α = C ⋅ l b ⋅ wc ⋅ ρ df ⋅ ν e ⋅ c pff ⋅ λ g ,
где С, b, с, d, е, f, g — постоянные коэффициенты.
(2.129)
220
Такой способ задания α называют гомогенной функцией: в
правой части выполняются только операции умножения и
возведения в степень (в виде гомогенной функции аргументов π1,
π2,..., πi, принято записывать и уравнение (2.128)).
Обозначим первичные величины: [L] — длина, [М] — масса,
[T] — время, [θ] — температура. В уравнение (2.129) входит семь
величин (n = 7), из них первичных — четыре (k = 4).
Согласно π-теореме, i = n – k = 7 – 4 = 3, следовательно,
уравнение подобия, составленное на основе равенства (2.129),
должно содержать не менее трех критериев подобия. Проверим,
будет ли выполняться это условие.
Выразим размерности всех вторичных величин в равенстве
(2.129) через размерности первичных:
Вт ⎤ ⎡ Н ⋅ м ⎤ ⎡ кг ⋅ м ⋅ м ⎤ ⎡ M ⎤
=
;
=
=
⎣ м 2 ⋅ К ⎥⎦ ⎢⎣ с ⋅ м 2 ⋅ К ⎥⎦ ⎢⎣ с ⋅ с 2 ⋅ м 2 ⋅ К ⎥⎦ ⎢⎣T 3 ⋅ θ ⎥⎦
[α] = ⎡⎢
[l ] = [м] = [L];
⎡ м 2 ⎤ ⎡ L2 ⎤
⎡ кг ⎤ ⎡ M ⎤
⎡м ⎤ ⎡ L ⎤
[w] = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥; ρ f = ⎢ 3 ⎥ = ⎢ 3 ⎥; [ν ] = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥;
⎣ с ⎦ ⎣T ⎦
⎣м ⎦ ⎣ L ⎦
⎣ с ⎦ ⎣T ⎦
[ ]
[сρf ]
2
⎡ Дж ⎤ ⎡ Н ⋅ м ⎤ ⎡ кг ⋅ м ⋅ м ⎤ ⎡ L ⎤
=⎢
=⎢
=⎢ 2
= ⎢ 2 ⎥;
⎥
⎥
⎥
⋅
⋅
кг
К
кг
К
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣ с ⋅ кг ⋅ К ⎦ ⎣T ⋅ θ ⎦
[λ f ] = ⎡⎢ мВт⋅ К ⎤⎥ = ⎡⎢ сН⋅ м⋅ м⋅ К ⎤⎥ = ⎡⎢
⎣
⎦
⎣
⎦
кг ⋅ м ⋅ м ⎤ ⎡ ML ⎤
.
=
⎣ с ⋅ с 2 ⋅ м ⋅ К ⎥⎦ ⎢⎣T 3 ⋅ θ ⎥⎦
Получим новый вид формулы размерностей (2.129):
[ ]
e
f
g
c
d
2
2
⎡M ⎤
b ⎡ L ⎤ ⎡ M ⎤ ⎡ L ⎤ ⎡ L ⎤ ⎡ ML ⎤
⎢⎣T 3θ ⎥⎦ = C L ⎢⎣ T ⎥⎦ ⎢⎣ L3 ⎥⎦ ⎢ T ⎥ ⎢ T 2θ ⎥ ⎢⎣T 3θ ⎥⎦ .
⎣ ⎦ ⎣
⎦
Это уравнение станет безразмерным, если приравнять
размерности — показатели степени при первичных величинах [М],
[L], [T], [θ] в обеих его частях:
1 = d + g — для массы [М];
0 = b + c – 3d + 2e + 2f + g — для длины [L];
221
–3 = – с – е – 2f – 3g — для времени [T];
–1 = – f – g — для температуры [θ].
В четыре уравнения входят шесть неизвестных, система
незамкнута, но позволяет выразить одни показатели степени через
другие. После несложных преобразований получим
b = d − e − 1;
f = d;
c = d − e; g = 1 − d .
Формула размерностей (2.129) примет вид
α=C
l d ⋅ wd ⋅ ρ df ⋅ ν e ⋅ c dpf ⋅ λ f
.
l e ⋅ we ⋅ λ df ⋅ l
Сгруппировав члены с одинаковыми показателями степени,
получим
⎛ αl
⎜
⎜λf
⎝
но
⎛ αl
⎜
⎜λf
⎝
λf
c pf ρ f
− e ⎛ wlc ρ
⎞
pf f
⎟ = C ⎛⎜ wl ⎞⎟ ⎜
⎟
⎝ ν ⎠ ⎜⎝ λ f
⎠
d
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
= a f , поэтому
d
d
d −e ⎛
−e ⎛
−e ⎛
⎞
⎞
⎞
wl
wl
wl
wl
wl
ν
⎞
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞
⎟ = C⎜ ⎟ ⎜ ν
⎟ = C⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = C⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ ν ⎠ ⎜⎝ a f
⎝ ν ⎠ ⎜⎝ a f ν ⎟⎠
⎝ ν ⎠ ⎜⎝ a f ⎟⎠
⎠
d
⎞
⎟ .
⎟
⎠
Полученные безразмерные комплексы и представляют собой
критерии подобия:
αl
Nu =
— число Нуссельта, характеризует интенсивность
λf
конвективного теплообмена (этот определяемый критерий внешне
αl
похож на число Био Bi =
, но в числе Bi теплопроводность λw
λw
относилась к материалу твердого тела, а не к жидкости; кроме того,
и размеры l в этих критериях разные: в Bi входит характерный
размер твердого тела, а в Nu — потока жидкости;
222
wl
— число Рейнольдса, характеризует отношение
ν
масштабов
сил
инерции
и
вязкости
и
определяет
гидродинамический режим течения жидкости;
ν
Pr =
— число Прандтля, характеризует физические
af
Re =
свойства жидкости;
wl
— число
Pe =
af
Пекле,
его
можно
представить
как
произведение чисел Re и Рr:
Pe = Re Pr =
wl ν wlc pf ρ f wc pf ρ f ∆T
=
=
;
ν af
λf
⎛λ f ⎞
⎜ l ⎟∆T
⎝
⎠
здесь числитель характеризует плотность теплового потока,
переносимого
конвективным
путем,
а
знаменатель —
теплопроводностью.
Итак, формула размерностей (2.129) приняла вид уравнения
подобия
Nu = C Re m Pr n ,
(2.130)
где m = d – 1, n = d — постоянные величины. В нем три
безразмерных комплекса, что соответствует требованиям πтеоремы; величины С, m и n должны определяться в ходе
эксперимента.
Заметим, что вид уравнения (2.130) предопределен исходной
(и не слишком строгой) зависимостью (2.129). В ней, в частности,
не учтено действие архимедовых сил, существенных для свободной
конвекции, поэтому уравнение (2.130) применяют в случаях, когда
преобладает вынужденное движение жидкости. Для теплообмена
при свободной конвекции уравнение подобия принимает форму
Nu = C (Gr Pr )m = CRa m ,
(2.131)
223
где
Gr =
gl 3
2
β∆T — число
Грасгофа,
которое
характеризует
ν
соотношение архимедовых сил и сил вязкости в потоке.
Произведение Ra = Gr⋅Рr называют числом Рэлея, этот
критерий, сокращающий запись, широко используют в равенствах
вида (2.131).
Если преобразовать β∆T:
1
Gr =
gl 3
ν2
β∆T =
−
∂V 1
∆V ∆T ρ 0 f
∆T ≈
=
1
V ∆T
∂T V
ρf
1
ρf
=
ρ f − ρ0 f
ρ0 f
(здесь ρf и ρ0f — плотность жидкости в двух различных точках), то
получим
gl 3 ρ f − ρ 0 f
Gr = 2
.
ρ0 f
ν
Для многофазных сред, состоящих из ряда однофазных
областей жидкости или газа с плотностями ρf1 и ρf2 , вместо числа
Gr используют число Архимеда:
gl 3 ρ f 1 − ρ f 2
Ar = 2
,
ρ f1
ν
смысл которого ясен из структуры формулы.
2.7.4. Правила моделирования
В уравнениях (2.130) и (2.131) мы достаточно произвольно
задавали размер l. Кроме того, не было наложено никаких
ограничений на температуру, при которой выбраны λf, cpf, ρf, ν и β.
В эксперименте эти величины надо задавать более обоснованно.
Размер l, входящий во все критерии, где он необходим для
"выравнивания" размерностей, назовем характерным размером.
Его выбирают из числа реальных размеров системы так, чтобы в
224
наибольшей степени учесть физическую картину явления. Если
жидкость течет по достаточно длинной горизонтальной трубе, то в
качестве размера l разумно выбрать диаметр трубы d, а при
свободной конвекции вблизи вертикальной трубы или стенки — ее
высоту h. Выбор, помимо прочего, связан со сложившейся
традицией9 и должен удовлетворять трем требованиям: 1) быть
существенным для изучаемого процесса; 2) поддаваться
измерению; 3) оставаться неизменным в ходе эксперимента.
Аналогично подходят и к выбору характерной температуры:
ее либо замеряют (или задают) в зоне, где жидкость хорошо
перемешивается, либо берут как среднее значение:
T=
T f − Tw
,
2
полагая, что Tf и Tw всегда можно проконтролировать. И в этом
случае на выбор Т влияют перечисленные выше соображения.
Поскольку выбор значений l и Т не является вполне
однозначным, надо точно знать, каким образом выбраны эти
величины в опытах — как собственных, так и описанных в
литературе. Будем далее обозначать такой выбор индексами;
например, символ Nudf означает, что число Нуссельта рассчитано по
характерному размеру d, а теплопроводность λf, входящая в него,
взята из таблиц при температуре Тf:
Nu df =
Если
значение
αd
λf
.
T =T f
критерия
усредняется
по
некоторому
параметру, например по длине трубы, обозначим это символом Nu ;
если черта над символом отсутствует, речь либо идет о местном
значении Nudf = Nuf (x) , либо величина Nu одинакова во всей
области, где исследуют конвективный теплообмен.
Безразлично в принципе, считать характерным размером диаметр
или радиус трубы, толщину или половину толщины пластины и
т. д. "Как договорились, так и выбирают", но нужно всякий раз
убедиться, что именно выбрано в качестве характерной величины!
9
225
Однородные функции, используемые в уравнениях подобия,
удобны при построении графиков. Действительно, уравнение
(2.130) после логарифмирования примет вид
log Nu df = m log Re df + n log Pr f + log C.
(2.132)
В логарифмических координатах линии (2.132) являются
прямыми и составляют с осью Redf угол ϕ = arctg m (рис. 110).
Чтобы определить величину С, запишем уравнение подобия (2.132)
в виде
⎛ Nu df
log⎜
⎜ Re df
⎝
Рис. 110.
⎞
⎟ = n log Pr f + log C.
⎟
⎠
(2.133)
Рис. 111.
Величина m известна, поэтому все данные лягут на прямую,
наклоненную к оси Pr f под углом ψ = arctg n (рис. 111); из графика
найдем сначала log С, а затем и саму величину С.
Экспериментальные точки не дают информации о виде
формул (2.130)–(2.133), поэтому при обработке данных точки
наносят на сетку логарифмических координат, а затем осредняют
одним из известных способов. Если точки ложатся на одну прямую,
то формулы (2.130)–(2.133) справедливы во всем диапазоне
изменения величин, в противном случае прибегают к линейной
аппроксимации по участкам (рис. 112), и на каждом из участков I,
II, III определяют значения С, m, n. Напомним, что данные,
226
полученные в экспериментах (как в собственных, так и
приводимых в литературе), можно использовать только для
физически подобных явлений и при условии, что область
изменения критериев (Re, Gr, Рг и др.) не шире той, что
использовалась в опытах. Если эти ограничения отбросить, то
ошибка может оказаться непредсказуемо большой.
Рис. 112.
2.8. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В
ОДНОФАЗНОЙ СРЕДЕ
2.8.1. Режимы течения жидкостей и газов
Опыты показывают, что в течении жидкостей и газов имеются
два резко различающихся режима. Первый, при котором отдельные
струи (слои) движутся устойчиво, без случайных изменений
вектора скорости по направлению и модулю, называют
ламинарным. При ламинарном течении частицы жидкости могут
двигаться по стационарным траекториям, как бы "вдоль волокон"
(лат. lamina — волокно). Второй режим, когда траектории частиц
меняются во времени хаотично, а в потоке возникают нерегулярные
пульсации скорости, давления, температуры и других параметров
(такое течение, строго говоря, никогда не бывает стационарным),
называют турбулентным.
227
Ламинарное течение наблюдается при низких скоростях
течения или при большой вязкости жидкости. Более точно
определить ламинарное течение можно как поток, в котором силы
инерции и вязкости имеют близкий порядок. Мерой отношения
этих сил является число Рейнольдса, поэтому при малых значениях
Re течение ламинарное, а с увеличением Re оно переходит в
турбулентную форму. Для труб и каналов критическим является
Recrl = 2300. При Re < 2300 течение ламинарное, при Re > 104 =
Recr2 наблюдается развитое турбулентное течение, а область 2300
< Re < 104 называют переходной. Для течений других видов
значения Recr, могут сильно отличаться от указанных выше.
Например,
при
обтекании
плоской
поверхности
w x
Re cr1 = 0 cr1 ≈ 5 ⋅105 , но всегда при Re < Recr1, режим течения
ν
ламинарный, а при Re > Recr2 — турбулентный.
2.8.2. Пограничный слой
Установлено, что вблизи твердой поверхности продольная
скорость потока падает и на самой поверхности обращается в нуль.
Это связано с тем, что непосредственно прилегающие к
поверхности частицы жидкости тормозятся, "прилипают" к ней, а
трение между слоями жидкости обеспечивает более или менее
плавный переход от нулевой скорости на поверхности к скорости,
которую имеет поток, набегающий на обтекаемое тело, или поток в
центральной части трубы или канала. Область течения, в которой
скорость изменяется от нуля на поверхности до скорости
набегающего потока, называют динамическим пограничным слоем
(рис. 113).
228
Рис. 113.
За пределами динамического пограничного слоя скорость по
⎞
⎛ ∂w
нормали к поверхности не меняется ⎜
= 0 ⎟ , что и позволяет
⎠
⎝ ∂n
определить толщину слоя δl. Если даже пластину обтекает
турбулентный поток, то в пограничном слое, образующемся вблизи
ее передней кромки, течение будет ламинарным. Но при
w x
достижении Re cr1 = 0 cr1 (т. е. по мере удаления от передней
ν
кромки) в пограничном слое возникают и усиливаются пульсации,
пока наконец в точке хсr2, где число Рейнольдса становится равным
w x
Re cr 2 = 0 cr 2 , турбулентным не станет весь слой, за исключением
ν
тонкой области, называемой вязким подслоем. Толщина этого
подслоя уменьшается с увеличением скорости набегающего потока,
а скорость жидкости в подслое падает до нуля линейно.
В разделе 2.6.1 мы упоминали о существовании теплового
пограничного слоя. Рассмотрим теплообмен жидкости с
температурой
Tf
и
поверхности
с
температурой
Tw.
Непосредственно вблизи поверхности жидкость принимает
температуру Tw, а поскольку вдали от поверхности температура
жидкости равна Tf, существует область течения, в которой
температура жидкости изменяется от Tw до Tf. Это и есть тепловой
пограничный слой. Толщина его ∆l, зависит от скорости,
229
физических свойств жидкости и уменьшается с увеличением числа
Re. Соотношение толщин δl, и ∆l; зависит от числа Рг (как будет
показано в разд. 2.8.3, в ламинарной части пограничного слоя
⎛ δl ⎞ = 1
). В турбулентном пограничном слое основное
⎜ ∆ ⎟
3 Pr
⎝
l⎠
f
изменение температуры происходит в вязком подслое (где, кстати,
и температура, и скорость меняются линейно). Толщины
динамического и теплового пограничных слоев здесь примерно
равны: δl, = ∆l.
Чем тоньше пограничный слой, тем больше градиент температуры у поверхности и тем, следовательно, выше коэффициент
теплоотдачи α. Именно поэтому турбулентное течение
обеспечивает более интенсивный конвективный теплообмен, чем
ламинарное. Теория пограничного слоя создана Л. Прандтлем в
1904–1910 гг. и с тех пор получила значительное развитие.
Представление о пограничном слое позволило разделить
поток жидкости на две зоны: в пристенном слое действуют силы
вязкости
и
теплота
передается
молекулярным
путем
(теплопроводностью). В ядре потока силами вязкости можно
пренебречь, здесь отсутствует градиент температуры и,
следовательно, "поперек потока" механизм теплопроводности не
действует, теплота передается только конвективным путем.
2.8.3. Теплообмен в ламинарном пограничном слое на
плоской поверхности
Если в общей постановке задача конвективного теплообмена,
как правило, не имеет законченного аналитического решения, то
теплообмен в ламинарном пограничном слое на плоской
поверхности — исключение: расчет можно "довести до конца",
если использовать излагаемый ниже интегральный метод.
Рассмотрим стационарный конвективный теплообмен несжимаемой жидкости в пределах ламинарного пограничного слоя,
230
w0 x
. Будем полагать, что
ν
поверхность, достаточно протяженная вдоль оси z (тогда все
производные по z можно считать равными 0), полубесконечна по х,
а силой тяжести в потоке можно пренебречь в сравнении с силами
вязкости и инерции. Кроме того, при обтекании плоской
поверхности "бесконечным" потоком gradp = 0. Л. Прандтль
т. е. при Rex < Rexcr, где Re x =
показал, что в этом случае
∂ 2 wx
∂x
2
<<
∂ 2 wx
2
∂y
и
∂ 2T
∂x
2
<<
∂ 2T
∂y
2
, а
система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена
(см. разд. 2.6.2) принимает вид
⎛ ∂wx
∂wx ⎞
∂ 2 wx
+ wy
⎟=µ
ρ f ⎜⎜ wx
,
∂x
∂y ⎟⎠
∂y 2
⎝
⎛ ∂T
∂T ⎞
∂ 2T
+ wy
⎟⎟ = λ f
ρ f c f ⎜⎜ wx
,
2
x
y
∂
∂
∂
y
⎝
⎠
∂wx ∂w y
= 0, α =
+
∂y
∂x
−λf
∂T
∂y
y =0
T f − Tw
(2.134)
.
Преобразуем
систему
уравнений
(2.134).
Если
проинтегрировать первое и второе уравнения "поперек
пограничных слоев" δl, и ∆l то получим
δ
⎞
∂ ⎛⎜ l
⎟ = ν ∂wx
(
)
w
w
−
w
y
d
x
0
x
∫
⎟
∂x ⎜⎝ 0
∂y
⎠
;
(2.135)
y =0
∆
⎞
∂ ⎛⎜ l
⎟ = a ∂ϑ
(
)
ϑ
ϑ
−
ϑ
y
d
,
x
0
x
∫
⎟
∂x ⎜⎝ 0
∂
y
y =0
⎠
(2.136)
где ϑ = Т – Tw, ϑ0 = Тf – Tw — избыточные температуры, текущая и
предельная соответственно; w0 — скорость в ядре потока.
Соотношения (2.135) и (2.136) можно получить также,
составив уравнения баланса импульсов и теплоты для
динамического и теплового пограничных слоев.
231
Распределения скорости и избыточной температуры в
ламинарном пограничном слое хорошо аппроксимируют полиномы
третьей степени:
⎡
⎛ y
wx = w0 ⎢a0 + a1 ⎜⎜
⎢⎣
⎝ δl
⎡
⎛ y
ϑ = ϑ0 ⎢b0 + b1 ⎜⎜
⎢⎣
⎝ ∆l
2
⎞
⎛ y
⎟⎟ + a2 ⎜⎜
⎠
⎝ δl
⎞
⎛ y
⎟⎟ + a3 ⎜⎜
⎠
⎝ δl
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎛ y
⎟⎟ + b2 ⎜⎜
⎠
⎝ ∆l
⎞
⎛ y
⎟⎟ + b3 ⎜⎜
⎠
⎝ ∆l
2
⎞
⎟⎟
⎠
3⎤
⎥;
⎥⎦
(2.137)
3⎤
⎥,
⎥⎦
(2.138)
где a0,...,а3 и b0,...,b3 — постоянные коэффициенты.
Коэффициенты полиномов (2.137) и (2.138) можно определить
из граничных условий для скорости и температуры:
wx
y =0
= 0; wx
y = δl
ϑ y =0 = 0; ϑ y = ∆
l
∂w
= w0 ; x
∂y
= 0;
∂ 2 wx
∂y
y = δl
2
= 0;
(2.139)
y =0
∂ϑ
∂ 2ϑ
=0
= ϑ0 ;
= 0; 2
∂y y = ∆
∂y y =0
l
(2.140)
(последние условия в равенствах (2.139) и (2.140) соответствуют
первым двум уравнениям системы (2.134), поскольку
wy
y →0
= wx
y →δ l
→ 0 ). Подставляя соотношения (2.139) и (2.140) в
полиномы (2.137) и (2.138) соответственно, получим
⎡ 3 ⎛ y ⎞ 1 ⎛ y ⎞3 ⎤
wx = w0 ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥;
⎢⎣ 2 ⎝ δl ⎠ 2 ⎝ δl ⎠ ⎥⎦
(2.141)
⎡3 ⎛ y
ϑ = ϑ0 ⎢ ⎜⎜
⎢⎣ 2 ⎝ ∆ l
(2.138)
⎞ 1⎛ y
⎟⎟ − ⎜⎜
⎠ 2 ⎝ ∆l
⎞
⎟⎟
⎠
3⎤
⎥.
⎥⎦
Расчет коэффициента теплоотдачи а на основе последнего
уравнения системы (2.134) приводит теперь к выражению
α=
3λf
.
2 ∆l
(2.143)
232
Таким образом, для окончательного расчета а необходимо
найти ∆l, например, из уравнения (2.136), но туда входит еще и δl,
(косвенно, через wx), поэтому придется решить также уравнение
импульсов (2.135). Подставляя wx из уравнения (2.141) в уравнение
(2.135), найдем
δl =
280 νx
,
13 w0
(2.144)
а подставляя wx, δl, ϑ в уравнение (2.136), получим
δl
1
=
;
∆ l 3 Pr f
∆l =
280 νx
13 w0
3
(2.145)
1
Pr f
(2.146)
(чтобы получить последние два результата, мы допустили, что ∆l ≤
δl и что ∆l и δl одинаковым образом зависят от продольной
координаты х). Подставим теперь ∆l в формулу (2.143); получим
α = 0,335λ f
νx 3
Pr f ,
w0
(2.147)
откуда легко получить уравнение подобия
Nu xf =
αx
= 0,335 Re 0xf,5 Pr 0f ,33 .
λf
(2.148)
Этот результат позволяет рассчитать местные значения α, в то
время как для практических расчетов часто достаточно знать
средние по длине пластины значения коэффициента теплоотдачи
1L
α = ∫ αdx при L < xcr1. Интегрирование α по х приводит к
L0
уравнению подобия
Nu Lf
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
= 0,67 Re 0Lf,5 Pr 0f ,38 ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
.
(2.149)
233
В уравнение (2.149) дополнительно введен поправочный
0, 25
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟ . Смысл его станет ясен, если
множитель М.А. Михеева ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
вспомнить, что для капельных жидкостей число Прандтля Рr
снижается с увеличением Тf,. Отсюда следует, что при Tf > Tw
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
< 1 , а при Tf < Tw
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
> 1 , т. е. множитель
0, 25
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟ учитывает связь коэффициента
⎜⎜
⎝ Prw ⎠
направлением теплового потока.
теплоотдачи
с
0, 25
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟ необходима при расчете коэффициента
Поправка ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
теплоотдачи для капельно-жидких теплоносителей; для газов число
Рr
меняется
слабо
и
при
умеренных
перепадах
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
температуры ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
= 1.
2.8.4. Теплообмен в турбулентном пограничном слое на
плоской поверхности
Турбулентное течение, как отмечалось, характеризуется
пульсациями скорости, температуры, давления и т. д. Если
использовать достаточно точный измеритель скорости в
пограничном слое, который сможет фиксировать мгновенные ее
значения wx и wy, то при продольном обтекании плоской
поверхности мы получили бы примерно следующие графики (рис.
114).
234
Рис. 114.
Скорость wx в любой момент времени можно представить в
виде
wx = wx + w′x ,
(2.150)
где wx — среднее значение скорости wx, a w′x — продольные
пульсации.
Поперечная составляющая скорости
w y = w y + w′y ,
(2.151)
но w y = 0, поэтому w y = w′y , где w′y — поперечная пульсация
скорости wy. При отсутствии значительных продольных градиентов
температуры составляющая скорости w′x не оказывает заметного
влияния на теплообмен, а вот составляющая w′y в пограничном
слое, где поперечные перепады температуры и скорости
значительны, играет существенную роль. Если представить, что в
турбулентном пограничном слое макроскопическая, но малая
частица 1 переместилась в положение 2 (рис. 115), то условие
неразрывности потребует, чтобы переход был скомпенсирован:
частица 2 должна перейти в положение 1. Переходы 1–2 и 2–1
обеспечат сохранение сплошности потока, и уравнение
неразрывности не нарушится. Однако частица 1 имела скорость wxl,
а перешла в область частицы 2, где средняя продольная скорость
равна wx2, и наоборот. Подобных обменов происходит много,
235
поэтому “сверху вниз” идет массовый поток ту, равный массовому
потоку частиц “снизу вверх”. Кажется, что такой обмен должен
приводить к выравниванию скорости, однако в действительности
профиль средней скорости сохраняет устойчивость.
Рис. 115.
Это говорит о том, что выравниванию скоростей препятствует
какая-то сила, а именно сила трения между слоями. Таким образом,
на основе теоремы сохранения количества движения мы имеем
право записать
ST = m& y (wx1 − wx 2 ).
(2.152)
Здесь ST — турбулентное касательное напряжение трения;
m& y — массовый поток, связанный с турбулентными пульсациями.
Но этот же массовый поток m& y переносит энтальпию: частица 1
несет поток энтальпии c pf T1m& y , а частица 2 — c pf T2 m& y . Разность
потоков энтальпии определяет плотность теплового потока в
направлении, перпендикулярном поверхности:
qt = c pf m& y (T1 − T2 ) .
(2.153)
236
Исключая m& y из уравнений (2.152) и (2.153), получим
qt =
ST (T1 − T2 ) c pf
(2.154)
.
wx1 − wx 2
Уравнение (2.154) записано для двух произвольных точек 1 и
2. Если его применить для крайних точек турбулентного
пограничного слоя (на верхней границе wx1 = w0 , T1 = T f , , a на
нижней wx 2 = wv — скорости на границе вязкого подслоя толщиной
δv, T2 = Tv — температуре на границе вязкого подслоя), то получим
qt =
(
)
ST T f − Tv c pf
(2.155)
.
w0 − wv
В пределах вязкого подслоя δv, где скорость и температура
изменяются линейно, плотность теплового потока и напряжение
трения остаются постоянными, следовательно, в формуле (2.155) qт
и Sт можно заменить на qw и Sw. Эти величины связаны со
скоростью и температурой на границе вязкого подслоя:
qw =
λf
δv
(Tw − Tv );
Sw = µ
wv
,
δv
поэтому
qw =
λ f (Tw − Tv ) S w
µwv
(2.156)
.
Исключая Tv из равенств (2.155) и (2.156), получим
α=
S wc pf
⎤
⎡ w
w0 ⎢1 + v Pr f − 1 ⎥
⎦
⎣ w0
(
)
.
(2.157)
Соотношение (2.157) называют уравнением аналогии
Рейнольдса: речь идет об аналогии между коэффициентом
теплоотдачи α и напряжением трения Sw.
Остановимся на этом подробнее. Вспомним, что для газов
число Pr ≈ 1, поэтому близко к 1 и выражение в квадратных скобках
в формуле (2.157). Если теперь воспользоваться
237
обычным соотношением S w = C f
ρ f w02
2
трения), то формула (2.157) примет вид
St f =
, (где Сf — коэффициент
Cf
α
=
.
ρ f w0 c pf
2
(2.158)
Обозначение St принято для числа Стантона (Stanton
number), которое легко выразить через другие критерии подобия:
St f =
Nu fx
Re fx Pr f
,
(2.158)
откуда, при Pr ≈ 1,
Cf
Cf
(2.159)
Re fx .
2
2
Формула (2.159) выражает суть аналогии Рейнольдса
наиболее наглядно. Для того чтобы получить расчетные значения
Nuf, а затем и α, необходимо использовать данные гидродинамики
для коэффициента трения Cf (например, в виде уравнения Cf =
0,0592 Refx–0,2). При этом для газов
Nu fx =
Re fx Pr f ≈
Nu fx = 0,0296 Re 0fx,8 .
(2.160)
Для капельных жидкостей соответствующая формула имеет
более сложную структуру:
Nu
0,8
0, 4 ⎛ Pr f
⎜
0
,
0296
Re
Pr
=
fx
fx
f ⎜
⎝ Prw
0, 25
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
.
(2.161)
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟ играет здесь ту же роль,
Поправочный множитель ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
что и в уравнении для ламинарной части пограничного слоя (2.149).
Посмотрим, как изменяется коэффициент теплоотдачи α
вдоль поверхности. Согласно формуле (2.148), в ламинарной части
слоя αlam ~ х–0,5, а в турбулентном пограничном слое αturb ~ х–0,2 (см.
формулу (2.160)). Зависимость αtrans(x) для переходной области на
рис. 116 показана штриховыми линиями.
238
Рис. 116.
В разд. 2.8.3 мы вывели формулу для расчета а при условии L
< xcrl. Если же длина поверхности настолько велика, что L > xcr2, то
значение α находят путем вычисления трех интегралов:
1 ⎛⎜
α=
L⎜
⎝
xcr1
∫
0
⎞
α lam dx + ∫ α turb dx + ∫ α trans dx ⎟,
⎟
xcr 2
xcr1
⎠
xcr 2
L
(2.162)
где αlam, αturb, αtrans — значения коэффициента теплоотдачи для
ламинарного, турбулентного и переходного участков течения
соответственно.
Последний интеграл мало влияет на α, так как xcrl достаточно
близко к xcr2, поэтому выражение (2.162) сводят к более простому:
1 ⎛⎜
α=
L⎜
⎝
xcr1
∫
0
⎞
α lam dx + ∫ α turb dx ⎟,
⎟
xcr 2
⎠
L
(2.163)
где αlam и αturb определяют по формулам (2.148) и (2.161)
соответственно.
Подставим их значения, проинтегрируем и приведем
равенство (2.162) к безразмерному виду; получим
Nu Lf =
[
0, 5
0,33
+ 0,037
0,67 Re cr
1 Pr f
(
Re 0L,8 − Re 0cr,51
)
Pr 0f , 4
]
⎛ Pr f ⎞
⎜⎜
⎟⎟
Pr
⎝ w⎠
0, 25
. (2.164
)
239
В качестве критического принимают обычно Recrl = 5·105.
Если ReL >> Recrl , то формула (2.164) упрощается:
Nu Lf
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
= 0,037 Re 0L,8 Pr 0f , 4 ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
.
(2.165)
При расчетах конвективного теплообмена газовых потоков с
0, 25
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟ в формулах (2.164) и
плоской поверхностью множитель ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
(2.165) можно опустить.
Более строгий вывод уравнений подобия для конвективного
теплообмена в ламинарном и турбулентном пограничных слоях
требует численного интегрирования системы уравнений (2.134).
2.8.5. Теплообмен при вынужденной конвекции в трубах и
каналах
Мы рассмотрели конвективный теплообмен для случая, когда
жидкость ограничена твердой поверхностью только с одной
стороны; такой процесс происходит, например, при течении по
достаточно глубокому открытому каналу, при обтекании тела,
движущегося в весьма большом объеме жидкости, и т. д. Если
сечение потока ограничено со всех сторон, то характер движения и
теплообмен со стенками заметно меняются. На начальном участке
пограничный слой ведет себя так же, как при обтекании плоской
поверхности, но затем он может достичь толщины, равной радиусу
трубы или канала.
Затем уже не удастся разделить поток на невозмущенное ядро и
динамический пограничный слой: силы трения проявятся по всему
сечению. Поскольку трение связано с изменением скорости,
следует в первую очередь установить, как меняется эпюра
скоростей в зависимости от числа Рейнольдса.
В трубах режим движения зависит от числа Рейнольдса
wd
Re df =
; в качестве характерного размера выбирают диаметр
ν
трубы, а среднюю скорость задают из соотношения
240
Gv
,
F
где Gv — объемный расход жидкости; F — площадь поперечного
сечения трубы (для круглых труб диаметром d F = πd2/4).
Напомним, что при Redf < 2,3·103 течение носит ламинарный
характер, при Redf > 104 является турбулентным, а область 2,3·103 <
Redf < 104 характеризует переходный режим течения.
При ламинарном течении жидкости по трубе диаметром 2r0
скорость w(y) на расстоянии у от оси трубы определяется
соотношением Пуазейля:
w=
⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
w( y ) = w0 ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥,
⎢⎣ ⎝ r0 ⎠ ⎥⎦
где w0 — скорость на оси трубы.
При турбулентном течении профиль скоростей по форме
близок к трапеции, параболическое соотношение (2.166) не
выполняется. Обычно используют зависимость
(
)
w
= f Re df ;
w0
при Redf < 2,3·103 принимают
w
= 0,5 ; при больших значениях Redf
w0
пользуются экспериментальными данными (рис. 117).
Рис. 117.
241
Все сказанное справедливо для стабилизированного
движения, которое наблюдается лишь на некотором удалении от
входа жидкости в трубу. Процесс стабилизации сводится к
следующему.
При входе в трубу вблизи стенок появляется динамический
пограничный слой. Если течение ламинарное (рис. 118, а), то
толщина этого слоя δl плавно увеличивается; при δl = r0 слой
заполняет все сечение канала, после чего течение стабилизируется.
На начальном участке l0 течение носит ламинарный характер, но
эпюра скоростей здесь еще не имеет традиционного вида (2.165).
Если же течение турбулентное (рис. 1 18,6), то на участке l0
происходит смыкание турбулентных пограничных слоев толщиной
δт, а затем развитая турбулентность наблюдается почти во всем
сечении трубы; лишь у самых стенок остается тонкий вязкий
подслой, в котором скорость падает до нуля.
Длина начального участка при ламинарном режиме
l0 = 0,05dRedf (т. е. тем больше, чем больше Redf), при турбулентном
— l0 =15d (не зависит от числа Redf ).
Описанная картина течения определяет особенности
конвективного теплообмена в трубах и каналах.
Рис. 118.
242
При ламинарном течении теплота передается в радиальном
направлении только теплопроводностью. Поскольку слои жидкости
движутся с различными скоростями w(у) (см. рис. 118,а), вдоль
потока теплота передается конвективным путем.
Если на входе в трубу (при х = 0) температура жидкости Тf,
постоянна по сечению и в общем случае не равна температуре
стенок Tw, то по мере движения вдоль трубы значение Тf меняется.
Вначале теплообмен происходит только в тонком пристенном слое
(А), затем в передачу теплоты вовлекается все большая часть потока
(В, С, D, Е) (рис. 119). Картина сходна с формированием эпюры
скоростей (рис. 118,а). Толщина теплового пограничного слоя ∆l
увеличивается, на удалении от входа l0h (англ, heat — тепловой) ∆l =
d/2, слои смыкаются, зависимость Tf(d) становится параболической
(эпюра D). Обычно считают, что l0h = 0,05dRedfPrf; на практике
ламинарный режим характерен для движения вязких жидкостей,
таких как масло, дизельное топливо и т. д.
Рис. 119.
243
Вспомним, что коэффициент теплоотдачи определяется в
общем случае по формуле (2.118). На участке х ≤ l0h градиент
∂T
температуры
убывает быстрее, чем разность Tf – Tw, поэтому
∂n n =0
местный коэффициент теплоотдачи снижается. При х > l0h обе
величины меняются пропорционально, значение α сохраняется
почти неизменным. Поскольку речь идет о местном, зависящем от
координаты х, значении α, температуру Tf рассматривают как
среднюю в соответствующем сечении F:
Tf = Tf =
1
∫ T f (x, r )dF .
FF
Средний коэффициент теплоотдачи на участке длиной х
α=
q
,
T f − Tw
где q — среднее значение q(x) на длине участка; Tw — средняя
температура стенок на той же длине.
В случае обогрева стенок паром, когда изменение T f ( x )
невелико, либо принимают
Tf =
Tf 1 + Tf 2
2
,
где T f 1 , T f 2 — значения T f в начале и в конце рассматриваемого
участка трубы, либо рассматривают среднелогарифмическую
температуру:
T f = Tw ±
∆T1 − ∆T2
,
∆T1
ln
∆T2
где ∆T1 = T f 1 − Tw1 , ∆T2 = T f 2 − Tw2
— температурные напоры в
начале и конце участка; знак + выбирают, исходя из направления
теплового потока.
При электрообогреве стенок (q(x) = const) всегда пользуются
первой из приведенных выше формул.
244
На рис. 119 видно, что участок, на котором стабилизируется α ,
всегда больше, чем участок стабилизации α:
l0 h > l 0 h .
Для прямых труб постоянного сечения обычно определяют именно
среднее значение α .
2.8.6. Теплообмен на стабилизированном участке течения.
Интеграл Лайона
Рассчитаем
коэффициент
теплоотдачи
на
участке
стабилизированного теплообмена (α = const) при граничных
условиях II рода qw = const. При массовом расходе Gm на элементе
длины dx выполняется первое начало термодинамики:
(
)
c pf Gм dT f = πdα Tw − T f dx = qw πddx,
(2.167)
где d = 2r0 — диаметр трубы, поэтому
dT f
dx
=
qw πd
4qw πd
2q w
=
=
= const.
c pf Gм c pf Gм πd 2 w c pf ρ f r0 w
(2.168)
Таким образом, при qw = const средняя температура Tf
увеличивается линейно. Определим среднюю энтальпию h и
среднюю температуру Tf в любом сечении трубы F0. Поскольку и
скорость, и энтальпия распределены по сечению F0 неравномерно,
средняя энтальпия
∫ ρ f whdF
h=
F0
∫ ρ f wdF
.
(2.169)
F0
Равенство (2.169) для несжимаемой жидкости при h = cpfTf и
cpf = const переходит в выражение для средней температуры
∫ T f wdF
Tf =
F0
∫ wdF
F0
∫ T f wdF
=
F0
w F0
.
(2.170)
245
Для круглой трубы dF = 2πrdr (здесь r — текущий радиус) и
равенство (2.170) принимает вид
r0
1
w r dr
= 2∫ TWRdR,
Tf = ∫T
w
r
r
0 0
0
0
где W =
(2.171)
w
r
;R = .
w
r0
Интеграл (2.171) возьмем по частям, полагая Т = u, WRdR = dv:
⎡⎛ 1
⎞ 1⎛1
⎞ ⎤
T f = 2 ⎢⎜⎜ Tw ∫ WRdR ⎟⎟ − ∫ ⎜⎜ ∫ WRdR ⎟⎟dT ⎥.
⎢⎣⎝ 0
⎠ 0⎝0
⎠ ⎥⎦
(2.172)
Рассмотрим первый интеграл правой части уравнения (2.172):
r0
1
∫ WRdR =
0
∫ wrdr
0
w0 r02
r0
=
∫ 2πwrdr
0
2πw0 r02
1
= .
2
Отсюда следует, что
1⎛1
⎞
T f = Tw − 2 ∫ ⎜⎜ ∫ WRdR ⎟⎟dT .
⎠
0⎝0
(2.173)
Для того чтобы определить член dT, обратимся к уравнению
энергии (2.123), которое в цилиндрических координатах и при
осевой симметрии потока примет вид
∂T ⎤
∂T
⎡ ∂T
+ wr
c pf ρ f ⎢ + w
=
∂x
∂r ⎥⎦
⎣ ∂τ
1 ∂ ⎡
∂T ⎤
∂T ⎤ ∂ ⎡
,
r
λ
+
λ
+
λ
+
λ
=
f
T
f
T
∂x ⎥⎦
r ∂r ⎢⎣
∂r ⎥⎦ ∂x ⎢⎣
(
)
(
)
(2.174)
где wr — радиальная составляющая скорости.
∂T
В
стационарном
режиме
= 0,
а
на
участке
∂τ
∂w
стабилизированного течения
= 0, и, как следует из уравнения
∂x
∂wr
= 0, т. е. wr = const. Однако на стенках (при r =
неразрывности,
∂x
246
r0) w = 0, значит, в любой точке сечения wr = 0. Особо следует
сказать о λT — турбулентной теплопроводности. Рассматривая
теплообмен в турбулентном пограничном слое, мы установили, что
турбулентные
пульсации
переносят
(дополнительно
к
теплопроводности) значительную теплоту поперек основного
течения. Влияние пульсационных процессов учитывает закон,
аналогичный закону Фурье, поэтому совместный перенос теплоты
молекулярной и турбулентной теплопроводностью можно оценить
по соотношению
(
)
q = − λ f + λ T gradT .
(2.175)
Отметим, что слагаемые в правой части уравнения (2.174)
неравноценны. Как показал еще Л. Прандтль,
∂ 2T
2
= 0, поэтому
∂x
последним слагаемым можно пренебречь, после чего уравнение
примет вид
c pf ρ f w
∂T ⎤
∂T 1 ∂ ⎡
=
λ
+
λ
r
.
f
T
∂x r ∂r ⎢⎣
∂r ⎥⎦
(
)
(2.176)
На стабилизированном участке течения (и теплообмена) не
только средняя, но и местная температура должна изменяться
линейно, поэтому в уравнении (2.176) производную в левой части
можно заменить на константу из уравнения (2.168), при этом
c pf ρ f w
2q w
∂T ⎤
1 ∂ ⎡
=
λ
+
λ
r
.
f
T
∂r ⎥⎦
c pf ρ f r0 w r ∂r ⎢⎣
(
)
(2.177)
Вновь используем безразмерные скорость W и радиус R:
⎡⎛ λ
2q w r0
WRdR = d ⎢⎜1 + T
⎜
λf
⎢⎣⎝ λ f
⎞ ∂T ⎤
⎟ R ⎥;
⎟ ∂R
⎥⎦
⎠
(2.178)
⎞ ∂T
⎟R
.
⎟ ∂R
⎠
(2.179)
проинтегрировав, получим
⎛ λT
2q w r0 R
⎜1 +
=
WR
R
d
∫
⎜ λf
λf 0
⎝
Уравнение (2.179) разрешим относительно ∂T , после этого
уравнение (2.173) примет форму
247
2
⎛R
⎞
⎜ ∫ WRdR ⎟ dR
⎟
4q w r0 1 ⎜⎝ 0
⎠
T f = Tw −
.
∫
λ f 0 ⎛ λT ⎞
⎜1 +
⎟R
⎜ λf ⎟
⎝
⎠
(2.180)
Это равенство удобней представить в безразмерной форме:
−1
Nu df
Nu df
2
⎡ ⎛R
⎤
⎞
⎢ ⎜ ∫ WRdR ⎟ dR ⎥
⎟
⎢ ⎜⎝ 0
⎥
⎠
= ⎢2
⎥ .
⎛
⎞
⎢ ⎜1 + λ T ⎟ R ⎥
⎢ ⎜ λ ⎟
⎥
f ⎠
⎣ ⎝
⎦
(2.181)
Уравнение (2.181) (интеграл Лайона) позволяет вычислить
αd
=
, а затем и α при условии, что известен профиль
λf
скорости на участке стабилизированного течения. Формула
справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного течения.
Рассмотрим оба варианта подробнее.
2.8.7. Теплообмен при ламинарном течении в трубах
При ламинарном режиме Redf < 2300, λT = 0, а профиль
скорости на стабилизированном участке имеет вид (2.166) или,
поскольку w0 = 2 w ,
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
w = 2 w ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥, W = 2 1 − R 2 .
⎢⎣ ⎝ r0 ⎠ ⎥⎦
(
)
Подставим значение W в интеграл Лайона (2.181) при
λT = 0, найдем
(2.182)
248
2
⎤
⎡ ⎛R
⎞
2
⎥
⎢ ⎜ ∫ 2 1 − R RdR ⎟
⎟
⎜
1
⎢
⎠ dR ⎥
= ⎢2∫ ⎝ 0
⎥
R
⎥
⎢ 0
⎥
⎢
⎦
⎣
(
Nu df
)
⎡ 1⎛ R
⎞ dR ⎤
= ⎢8∫ ⎜⎜ ∫ 2 R − R 3 dR ⎟⎟ ⎥
⎢⎣ 0 ⎝ 0
⎠ R ⎥⎦
(
)
−1
=
−1
=
λf
48
.
≈ 4,36, α = 4,36
d
11
(2.183)
Таким
образом,
коэффициент
теплоотдачи
на
стабилизированном участке течения и теплообмена автомоделен
(т. е. независим) относительно числа Рейнольдса Redf. Однако
формула (2.183) имеет ограниченное применение. Дело в том, что
длина участка тепловой стабилизации при Redf < 2300 оказывается
очень большой. Действительно, при qw = const l0h/d = 0,055 Redf Prf.
Для высоковязких жидкостей, например для органических
теплоносителей, у которых Рrf = 10…100, при Redf = 103 получаем
l0h/d ≈ 5,5·(102…103), и при d = 10 мм = 10–2 м длина участка
стабилизации составит l0h = 5,5·(1…10) м. Как правило, реальная
длина теплообменных участков оказывается значительно меньшей,
а это значит, что пограничные слои не успевают сомкнуться и
число Нуссельта можно рассчитывать по формуле (2.148).
Необходимо только учесть, что жидкость в ядре потока на входном
участке трубы ускоряется, чего нет при обтекании плоской
поверхности,
поэтому
формула
для
расчета
местных
коэффициентов теплоотдачи (при l << l0h) имеет вид
⎛ Pr f
Nu xf = 0,335 Re 0xf,5 Pr 0f ,33 ⎜⎜
⎝ Prw
где Nu xf =
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
0,1
⎛x⎞
⎜ ⎟ .
⎝d ⎠
(2.184)
αx
wx
; Re xf =
; x — координата, отсчитанная от
λf
ν
входного сечения трубы.
Если l и l0h — величины одного порядка, то формула (2.184)
оказывается
непригодной,
и
необходимо
использовать
эмпирическое уравнение подобия
249
Nu df
d⎞
⎛
= 1,4⎜ Re df ⎟
l⎠
⎝
0, 4
⎛ Pr f
Pr 0f ,33 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
εl ,
(2.185)
которое справедливо при Redf > 10 и l/d > 10 (здесь εl —
коэффициент, учитывающий зависимость α от l/d и Redf),.
Формулы (2.183)–(2.185) не учитывают, что плотность жидкости по
сечению и длине трубы при теплообмене не остается постоянной.
Это приводит к появлению подъемной силы, а значит, в число
определяющих критериев должно войти число Рэлея Radf = Grdf·Ргf.
Однако эксперименты показали, что подъемная сила заметно
влияет на теплообмен лишь при Radf > Racr = 8·105. Режим
теплообмена при Radf < Racr называют вязкостным, и формулы
(2.183)-(2.185) относятся именно к этому режиму. При Radf > 8·105
теплообмен называют вязкостно-гравитационным, и здесь Nudf =
f(Redf, Radf). Теплообмен при вязкостно-гравитационном режиме
исследован недостаточно, для расчета коэффициентов теплоотдачи
следует обращаться к специальной литературе.
2.8.8. Теплообмен при турбулентном течении в трубах
Профиль скорости в трубе на стабилизированном участке при
Redf > Recr обычно описывают набором из трех уравнений,
пригодных соответственно для вязкого подслоя, пристенного
турбулентного слоя и турбулентного течения в ядре. Однако с
достаточной точностью можно представить профиль скорости
степенной зависимостью (закон одной седьмой):
w
⎛ (r − r )v∗ ⎞
= 8,74⎜ 0
⎟
v∗
ν
⎝
⎠
1
7
,
(2.186)
в которой в качестве масштаба скорости использована так
называемая «динамическая» скорость (скорость трения)
v∗ =
Sw
.
ρf
250
Формула (2.186) удовлетворительно согласуется с известным
соотношением для коэффициента трения при турбулентном
течении в трубах
0,31
ξ=
1
.
(2.187)
Re df4
Кроме профиля скорости при турбулентном течении в
интеграл Лайона (2.181) необходимо подставить значение
турбулентной теплопроводности λT. Обычно эффективную
теплопроводность λT+λf представляют в виде λf (1+λT/λf), для чего
необходимо определить отношение
aT ν T ν f ρ f Pr f µT
a
λ T λ T c pf ρ f
= T =
,
=
=
λ f c pf ρ f λ f a f a f ν T ν f ρ f PrT µ f
где
PrT =
aT =
λT
— турбулентная
c pf ρ f
νT
— турбулентный
aT
(2.188)
температуропроводность;
аналог
числа
Прандтля;
µT —
турбулентная динамическая вязкость.
Обычно PrT считают постоянной величиной ( PrT =0,8).
Величину µT определяют,
следующим образом:
исходя
µT = ρ f χ 2 (r0 − r )2
из
∂w
,
∂y
модели
Л. Прандтля,
(2.189)
где χ = 0,4 — одна из универсальных констант турбулентности.
Подставляя значение w из равенства (2.186) в формулу (2.189)
и учитывая, что v∗ = w χ , получим
8
8
µT
= 0,25 Re df (1 − R ) 7 Pr f .
µf
(2.190)
Интеграл Лайона (2.181) с учетом равенств (2.186) и (2.190)
позволяет получить формулу
251
Nu df = 0,023 Re 0df,8 Pr f ,
(2.191)
которая выведена в предположении постоянных теплофизических
свойств жидкости и для Pr f ≈ 1. Если Pr f ≠ 1 , то уравнение
подобия приобретает вид
Nu df =
0,023 Re 0df,8
⎛ Pr f
Pr 0f , 4 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
(2.192)
,
оно хорошо согласуется с экспериментальными данными для
участка стабилизированного теплообмена при Redf ≤ 105. Чтобы
учесть влияние входного участка, используют коэффициент
⎛l
⎞
ε l ⎜ , Re df ⎟. При турбулентном течении длина участка
⎝d
⎠
стабилизации l0h ≤ 50d , а коэффициент ε l определяется из табл. 3.
При Redf > 103 на теплообмен начинает влиять шероховатость
стенок трубы. Если вплоть до этих значений Redf вязкий подслой
имел толщину значительно большую, чем высота бугорков
шероховатости ∆, то теперь толщина вязкого подслоя уменьшается
и вершины бугорков выходят в высокоскоростной турбулентный
поток.
Таблица 3
Значения εl при турбулентном течении в трубах
Redf l/d
4
1·10
5·104
1·105
1·106
1
1,65
1,34
1,28
1,14
2
1,50
1,27
1,22
1,11
5
1,34
1,18
1,10
1,08
10
1,23
1,13
1,10
1,05
15
1,17
1,10
1,08
1,04
20
1,13
1,08
1,06
1,03
30
1,07
1,04
1,03
1,02
50
1,00
1,00
1,00
1,00
При этом позади бугорков развивается вихревая зона, что
усиливает конвективный теплообмен. Проще всего оценить
влияние шероховатости, если учесть, что коэффициент трения ξ и
коэффициент теплоотдачи α, согласно аналогии Рейнольдса,
252
(
)
связаны линейно. Зависимость ξ Re df исследована Дж. Никурадзе
(рис. 120).
При Redf
Рис. 120.
> 10 коэффициент ξ становится автомодельным
5
относительно числа Redf, но начинает зависеть от относительной
шероховатости ∆/d. Чтобы учесть влияние шероховатости, следует
из графика (см. рис. 120) найти отношение ε r = ξ r
(от англ,
ξ
rough — шероховатый), добавить его в качестве множителя в
формулу (2.192). Однако рис. 120 справедлив для так называемой
песочной шероховатости. Если же бугорками шероховатости
покрыта лишь часть поверхности, то становятся важными не только
высота бугорков, но и расстояние между ними s. Оказывается, что
наибольшее увеличение α достигается при оптимальном значении
s
≈ 12 , а в других случаях а возрастает менее заметно. Итак,
∆ opt
( )
( )
( )
( )
( )
⎛
s
⎜
∆
ε r = exp⎜ 0,85
s
⎜
∆ opt
⎝
s
⎛
⎜
∆ opt
ε r = exp⎜ 0,85
s
⎜
∆
⎝
⎞
⎟
⎟ при
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟ при
⎟
⎠
(s ∆ )
(s ∆ )
(s ∆ )
(s ∆ )
≤ 1;
opt
opt
(2.193)
> 1.
253
В изогнутых трубах (коленах, змеевиках и т. д.) на поток
жидкости кроме сил трения и инерции действуют еще и
центробежные силы, отжимающие ядро потока к внешней стенке;
при этом возникает вторичная циркуляция. Результаты расчетов по
формулам (2.191), (2.192) следует домножить на коэффициент
ε r = 1 + 1,77
d
R∗
(2.194)
(здесь R* — радиус изгиба, измеренный до оси трубы).
В змеевиках поправку ε r учитывают по всей длине трубы, а в
коленах — на участке изгиба и на последующем прямолинейном
участке длиной 10d, где вторичные течения затихают.
Полученные в этом разделе формулы (2.184), (2.185) и (2.191)
можно применять для расчетов конвективного теплообмена и в
каналах некруглого сечения (прямоугольного, треугольного и т. д.),
если в качестве характерного размера использовать эффективный
диаметр def = 4F/Ω, где F — площадь поперечного сечения, a Ω —
длина обогреваемой (охлаждаемой) части периметра этого сечения.
Результаты таких расчетов дают хорошую оценку коэффициента
теплоотдачи, усредненного по периметру сечения, но для
определения местных значений α они непригодны.
2.8.9. Теплообмен при обтекании труб и трубных пучков
При поперечном обтекании цилиндра безотрывное течение
жидкости наблюдается лишь при Redf < 5,0, что на практике
встречается крайне редко. По мере дальнейшего увеличения Redf не
только появляется пограничный слой (сначала ламинарный, а затем
и турбулентный), но и происходит его отрыв от поверхности (рис.
121,а,б), что резко меняет условия конвективного теплообмена.
Рассмотрим причины этого явления. Выделим участок
поверхности цилиндра (рис. 122); толщину пограничного слоя
вблизи него обозначим через δ. В лобовой точке (ϕ = 0) поток
разделяется на две части, одна из которых обтекает выделенный
254
элемент поверхности, причем по мере удаления от лобовой точки
величина δ постепенно увеличивается.
Рис. 122.
Скорость потока w тоже увеличивается, а давление в потоке р
в соответствии с законом Бернулли снижается — и так вплоть до ϕ
= π/2. Затем скорость начинает снижаться, а давление —
dp
увеличиваться. В этой области производная
меняет знак,
dϕ
течение делается неустойчивым, возникает обратный поток (см.
третью "по ходу жидкости" эпюру на рис. 122). В точке встречи
прямого и обратного потоков возникает струя, нормальная к
поверхности цилиндра, — происходит отрыв пограничного слоя, и
за кормой цилиндра образуется вихревая зона. Угол ϕ0,
соответствующий отрыву пограничного слоя, зависит от режима
течения. При малых Redf течение до самого отрыва имеет
ламинарный характер, а ϕ0 = 80…85°. При Redf = (1…4)·105 течение
турбулизируется задолго до отрыва, и ϕ = 120…140°.
Такая картина течения приводит к большой неравномерности
местного коэффициента теплоотдачи αϕ. На рис. 123 показана
255
αϕ
(ϕ) при фиксированном числе Рейнольдса, а на рис.
α
124 — зависимость Nudf(ϕ) при различных значениях Redf.
Рассчитать коэффициент αϕ достаточно сложно, но еще
сложнее определить среднее значение коэффициента теплоотдачи
α.
зависимость
Рис. 123.
Рис. 124.
На практике используют уравнения подобия, полученные
непосредственно для средних (по углу ϕ) значений коэффициента
теплоотдачи α .
При Redf < 103
256
⎛ Pr f
Nu df = 0,56 Re 0df,5 Pr 0f ,36 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
;
(2.195)
для воздуха и двухатомных газов
Nu df = 0,49 Re 0df,5 .
(2.196)
При Redf > 103
Nu df = 0,28 Re 0df,6
⎛ Pr f
Pr 0f ,36 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
;
(2.197)
для воздуха и двухатомных газов
Nu df = 0,245 Re 0df,6 .
(2.198)
В таких теплообменниках, как масляные и водяные радиаторы
транспортных систем, отопители салона и др., трубы компонуют в
трубные пучки — коридорные и шахматные. Пучки, помимо
порядка расположения труб, характеризуют их диаметр d и
x
x
относительные шаги по фронту пучка σ1 = 1 и по глубине σ 2 = 2 .
d1
d
Первый ряд труб омывается почти так же, как одиночная
труба в поперечном потоке, но для второго и последующих рядов
характер обтекания изменяется. В коридорных пучках (рис. 125,а)
трубы этих рядов заслонены трубами первого ряда, здесь
возникают застойные зоны со сравнительно слабой циркуляцией
жидкости. При этом как лобовая, так и кормовая части каждой
трубы омываются значительно слабее, чем в первом ряду. Для
шахматного пучка (рис. 125,6) особого отличия в обтекании труб
разных рядов нет.
257
Рис. 125.
Первый ряд труб в любом пучке турбулизирует поток и,
следовательно, улучшает теплоотдачу на трубах последующих
рядов. Коэффициент теплоотдачи повышается примерно до
третьего ряда, а затем стабилизируется и от номера ряда уже не
зависит. Уравнения подобия для расчета средних значений
коэффициента теплоотдачи сведены в табл. 4.
Эти зависимости получены в опытах на промышленно
выпускаемых трубных пучках, где значения σ1 и σ 2 выбраны
достаточно рационально, поэтому оба шага в явном виде в
формулы не входят: их влияние "спрятано" в эмпирических
коэффициентах и показателях степеней.
Таблица 4
Расчет конвективного теплообмена в трубных пучках
258
Re df
Теплонос
итель
>103
Капельная
жидкость
Воздух,
газы
(двухато
мные)
Капельная
<103
жидкость
Воздух,
газы
(двухато
мные)
Значения Nu df
для шахматного пучка
⎛ Pr f
0,5
0,56Re df Pr 0f ,36 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0,5
⎛ Pr f
Pr 0f ,36 ⎜⎜
⎝ Prw
0, 6
0,354Re df
⎛ Pr f
0 ,5
0,56Re df Pr 0f ,36 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
0,5
0,49Re df
0, 6
0,4Re df
0, 25
для коридорного пучка
0,49Re df
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
0,65
0,22Re df
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
Pr 0f ,36 ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
0,65
0,194Re df
Кроме того, число Redf вычисляют по скорости потока в
наиболее узком сечении, т. е. косвенно учитывают поперечный шаг
σ2 .
В транспортных системах расположение трубных пучков
часто связано с формой и размерами отсека, с особенностями
компоновки агрегатов и т. д. Если, например, секции
теплообменника расположены так, как показано на рис. 126, поток
жидкости будет набегать на трубы под углом ψ ≠ π/2.
259
Рис. 126.
Рис. 127.
В этом случае расчетное значение коэффициента теплоотдачи
αψ = αεψ ,
(2.199)
π
;
2
0 ≤ ε ψ ≤ 1,0 — поправка на величину угла атаки ψ, ее определяют
где
α , — значение
коэффициента
теплоотдачи
ψ=
при
(
по таблицам или графикам (рис. 127). Поскольку при ψ ≥ 50o...70o
)
величина ε ψ близка к 1,0, поверхности теплообмена можно
компоновать достаточно произвольно.
2.8.10. Теплообмен при свободной конвекции
Как известно, при свободной конвекции движение частиц
жидкости обусловлено различием ее плотности в разных областях.
260
Вблизи горячей поверхности жидкость нагревается, ее плотность
снижается и движение происходит снизу вверх, если же
поверхность холоднее жидкости, то поток движется в обратную
сторону — сверху вниз. Такое движение происходит без внешнего
механического воздействия; его причина — только в теплообмене
жидкости с поверхностями окружающих тел.
Температура жидкости у нагретой поверхности монотонно
меняется от Tw до Tf , в то время как скорость движения достигает
максимума на некотором удалении от стенки, а затем падает почти
до нуля (рис. 128); таким образом, поток жидкости имеет нулевую
скорость не только у поверхности, но и на внешней границе
течения. Описанная картина характерна для свободной конвекции в
неограниченном (или очень большом) объеме.
Толщина пограничного слоя (рис. 129) вначале возрастает,
затем, на некотором удалении от начала движения, слой становится
неустойчивым, волновым, и далее движение жидкости вдоль
поверхности теплообмена переходит в турбулентное. Коэффициент
теплоотдачи α(х) меняется в соответствии с изменением толщины
пограничного слоя: вначале его значение снижается, а потом
возрастает и стабилизируется на почти постоянном уровне. Форма
поверхности теплообмена влияет на значение α(х) не особенно
сильно: картины течения и теплоотдачи на вертикальных
пластинах, трубах различного сечения, овальных телах и т. д. почти
одинаковы. Важнее здесь абсолютные размеры поверхностей и их
ориентация в пространстве. Так, ход восходящих потоков жидкости
над нагретыми горизонтальными поверхностями показан на рис.
130. Видно, что на широких поверхностях возникают “центры”,
вблизи которых сформированы потоки жидкости; их количество и
расположение зависят как от разности Tw–Tf, так и от физических
свойств жидкости, шероховатости нагретой поверхности и других
причин.
261
Рис. 128.
Рис. 129.
Рис. 130.
Рассмотрим подробнее, как влияют на свободноконвективный теплообмен подъемные (архимедовы) силы. Если
плотность жидкости на значительном удалении от поверхности
равна ρ0f, а вблизи поверхности — ρf, то на единицу объема
жидкости будет действовать подъемная сила g(ρ0f – ρf) Разность
ρ0f – ρf можно выразить через коэффициент объемного расширения
β:
262
β=
1
1
−
ρ f ρ0 f
ρ0 f − ρ f
1 ⎛ ∂V ⎞
1 V − V0
= ρ0 f
=
,
⎜
⎟ ≈
V ⎝ ∂T ⎠ p V T f − T0 f
T f − T0 f
ρ f T f − T0 f
(
)
(
)
ρ 0 f − ρ f = βρ f T f − T0 f ,
где V0, T0f — соответственно удельный объем и температура
жидкости на большом удалении от поверхности.
С учетом этих выкладок выразим подъемную силу как
gβρ f (T f − T0 f ) = gβρ f ∆T . Кроме того, как известно из опытов, на
свободную конвекцию влияют свойства жидкости: ρ f , µ, c pf , λ f . Из
этих параметров методом размерностей сформируем безразмерные
комплексы (критерии), описывающие конвективный теплообмен в
системе с характерным размером L:
αL
= Nu Lf — число Нуссельта;
λf
c pf µ
λf
gL3
µ
=
2
ρ
fβ
2
ν
= Prf — число Прандтля;
af
(T f − T0 f ) =
gL3
ν2
β∆ = Gr f — число Грасгофа.
Число Рейнольдса в этот набор не входит, поскольку скорость
среды не задана, и, следовательно, Re не может быть
определяющим критерием. Однако при свободной конвекции, как и
при вынужденной, может наблюдаться ламинарное, переходное или
турбулентное течение. Чтобы убедиться в этом, достаточно
понаблюдать за клубами дыма над печной трубой в безветренную
погоду: чем сильнее растоплена печь, тем больше клубов и вихрей
мы заметим. Режим движения при свободной конвекции зависит от
архимедовых сил, поэтому в качестве определяющего критерия
обычно выступает число Рэлея RaLf = GrLfPrf, а уравнение подобия
имеет вид
Nu Lf = CRa nLf .
(2.200)
263
Характерным размером L для горизонтальных поверхностей
служит их ширина, для горизонтальных труб — диаметр, а
вертикальные пластины, трубы и другие тела обычно (хоть и не
всегда!) характеризуются высотой. На рис. 131 уравнение (2.200)
представлено графически. На различных участках кривых
коэффициенты С и n определены экспериментально; их величина
зависит от ориентации и формы поверхности теплообмена. Так, для
горизонтальных труб диаметром d при 103 < Radf < 108
Nu df
⎛ Pr f ⎞
⎟⎟
= 0,5Ra 0df, 25 ⎜⎜
Pr
⎝ w⎠
0, 25
(2.201)
,
для вертикальных поверхностей высотой h: при 103 < Rahf < 109
(ламинарный режим)
⎛ Pr f
Nu hf = 0,76Ra 0hf, 25 ⎜⎜
⎝ Prw
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
,
(2.202)
.
(2.203)
при Rahf > 109 (турбулентный режим)
⎛ Pr f
Nu hf = 0,15Ra 0hf,33 ⎜⎜
⎝ Prw
Для воздуха и двухатомных газов формулы (2.201)–(2.203)
упрощаются:
Nu df = 0,460Grdf0, 25 ;
(2.204)
Nu hf = 0,695Grhf0, 25 ;
(2.205)
Nu hf = 0,133Grhf0,33 .
(2.206)
264
Рис. 131.
Все изложенное относилось к свободной конвекции в
неограниченном объеме жидкости. Если объем ограничен
(простейший пример — свободная конвекция между оконными
рамами или в салоне автомобиля с приборами отопления), то нагрев
и охлаждение жидкости происходят одновременно и вблизи друг от
друга, разделить эти процессы нельзя.
Конвективный теплообмен в ограниченном объеме
определяется формой и размерами поверхностей теплообмена,
расстоянием между ними, а так же, как любой вид конвективного
теплообмена, теплофизическими свойствами жидкости и
температурным напором между жидкостью и поверхностью.
В вертикальных щелях и каналах свободная конвекция
может протекать так же, как в неограниченном объеме, если размер
δ достаточно велик (рис. 132,a). В этом случае у стенок
формируются два конвективных потока, "не мешающие" друг
другу. Если же δ уменьшить (рис. 132,б), то в промежутке между
стенками возникнут циркуляционные контуры, имеющие
характерный размер h0.
В
горизонтальных
щелях
течение
определяется
соотношением Twl и Tw2 (рис. 133). Если Tw2 < Twl, то конвективные
токи отсутствуют, при Tw2 > Twl возникают восходящие и
265
нисходящие потоки, которые
циркуляционные контуры.
формируют
между
стенками
Рис. 134.
Между коаксиальными трубами конвективные токи жидкости
идут примерно так, как показано на рис. 134. При Tw2 < Twl ниже
нижней образующей трубы диаметром d конвекция отсутствует, а
выше — возникают циркуляционные контуры. При D >> d (рис.
134,б) течение происходит только вблизи стенок (т. е. как бы в
неограниченном объеме), если же зазор между трубами мал, то
движение охватывает все межтрубное пространство (рис. 134,а).
266
При Tw2 > Twl направление течений меняется на обратное (рис.
134,в), и застойная зона образуется не снизу, а сверху.
Передачу теплоты через зазор δ, заполненный жидкостью или
газом, принято описывать уравнением теплопроводности.
Полагают, что зазор между поверхностями теплообмена заполнен
неподвижной
средой
с
условной
(или
эффективной)
теплопроводностью λe, причем
λ e = ελλ f ,
где
ε λ — коэффициент,
(2.207)
зависящий
рассчитанного по характерному
T +T
T f = w1 w2 .
2
При Raδf < 103 ε λ = 1,0, и
теплопроводностью,
конвективная
от
числа
размеру
δ
теплота
передается
и
составляющая
Raδf,
температуре
в
только
тепловом
потоке отсутствует. При 103 <Raδf < 106 ε λ = 0,105 Ra δ0f,3 , возникают
конвективные токи вблизи стенок, теплообмен идет почти так же,
как в неограниченном объеме (рис. 132,а). Если же 106 <Raδf < 1010,
то ε λ = 0,4 Ra δ0f, 2 , начинается "сцепление" пристенных потоков, рост
интенсивности конвективного теплообмена замедляется (рис.
132,б). Для приближенных расчетов можно использовать значение
ε λ ≅ 0,18Ra δ0f, 25 ,
(2.208)
полагая во всех случаях, что ε λ ≥ 1,0.
Если жидкость в зазоре δ должна выполнять роль
теплоизоляции, например, при многослойном остеклении салона
или отсека транспортной системы, то следует, конечно, стремиться
к ε λ = 1,0. Зазор δ между стенками назначают из условия
Ra δf
gδ 3β(Tw1 − Tw2 )
=
≤ 10 3.
νa f
Учитывая, что g = 9,81 м/с2, получим
267
δ≤3
103 νa f
9,81β(Tw1 − Tw2 )
.
(2.209)
Для воздуха при атмосферном давлении и температурах Twl =
+30 °С = 303 К, Tw2 = –30 °С = 243 К имеем: ν = 10,8·106 м2/с; af =
14,9·106м2/с (величины взяты при средней температуре T f =
⎛
⎞
β=⎜ 1
⎟ = 0 , 003636 1 K .
⎝ Tf ⎠
Максимальный зазор, исключающий в этих условиях свободную
конвекцию,
0,5·(303
+
243)
=
273
К;
−6
−6
3
⋅
⋅
⋅
10
10
,
8
10
14
,
9
10
δ≤3
= 4,21 ⋅10 −3 м = 4,21 мм.
9,81 ⋅ 0,003636 ⋅ (303 − 243)
Поскольку воздух в зазоре должен служить теплоизоляцией,
толщины δ = 4 мм обычно недостаточно. Устанавливают несколько
перегородок, получая при этом слой 2δ, 3δ и т. д. Именно так
выполняют многослойное остекление в жилых помещениях, а
также в транспортных системах, предназначенных для работы в
экстремальных климатических условиях. На этом же принципе
основана сотовая теплоизоляция: алюминиевая фольга образует в
ней многочисленные мелкие ячейки, в которых находится почти
неподвижный воздух или другой малотеплопроводный газ (аргон,
ксенон).
Отметим, кроме того, что в системах, подобных
изображенной на рис. 134,a, теплота будет передаваться только
теплопроводностью независимо от размера δ. Это обстоятельство
надо учитывать при конструировании. Если, например, в качестве
поверхности с температурой Twl выступает днище картера с
горячим маслом или другая "горячая" поверхность, то под ней
всегда будет застойная зона с весьма низкой интенсивностью
теплообмена. Верно и другое: если расчет теплообмена по
уравнениям подобия вида (2.200) дает результат Nu Lf ≈ 1,0, то это
означает, что теплота передается только теплопроводностью,
поскольку при
268
Nu Lf
⎛L ⎞
⎜
⎟
αL ⎝ λ f ⎠
=1
=
=
1
λf
α
будет выполняться условие
L
1
=
,
α λf
справедливое для теплопередачи через пластину толщиной L с
теплопроводностью λf.
Конвективный теплообмен в ограниченном объеме описать
математически значительно труднее, чем в объеме неограниченном
или в узкой щели. Здесь, как правило, пользуются частными
эмпирическими формулами. Пусть, например, замкнутая полость
трапециевидного
сечения
(рис.
135),
которая
имеет
теплоизолированные боковые стенки (qw = 0), помещена на
плоскости, наклоненной к горизонту под углом ϑ. Температуры Twl
и Tw2 постоянны на каждой из поверхностей
Рис. 135.
(шириной b и В соответственно), причем Twl ≠ Tw2 Высота полости
равна H, а угол наклона стенок к основанию — γ. Такая задача
может, в частности, возникнуть, когда транспортная система стоит
на неровной поверхности (на склоне) и подогревается солнечным
излучением. Среднее значение α внутри такой полости
определяется из уравнения подобия
269
Nu Hf = Cϑ Ra 0Hf,375 ,
(2.210)
где Тf = 0,5·(Tw1 + Tw2) — характерная температура, при
которой заданы значения теплофизических свойств ν, cpf и пр.;
B −b
H=
— характерный размер; Cϑ — коэффициент, зависящий
2 cos γ
от величины ϑ (Cϑ = 0,074 при ϑ = 0°, Cϑ = 0,076 при ϑ = (15…30)°,
Cϑ = 0,073 при ϑ = (45…75)°).
В заключение напомним, что числа Грасгофа и Рэлея
1
включают величины ∆T и β ≅ , причем значения T и ∆T обычно
T
заранее не заданы. Число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи α
при этом удается определить только приближенно, затем следует
повторить расчет по уточненным значениям температур.
Строго говоря, это относится почти ко всем уравнениям
подобия,
поскольку
в
большинство
критериев
входят
теплофизические свойства, зависящие от температуры. На практике
такой погрешностью пренебрегают, поскольку точность задания
тепловых потоков, размеров и других параметров сравнительно
невысока. Однако в случаях, когда это оправдано, необходимо
последовательно уточнять величину а, корректируя значения
критериев подобия в зависимости от уточненной расчетом
характерной температуры и температуры на поверхности
теплообмена.
2.8.11. Теплообмен в псевдоожиженных средах
Само понятие конвекции исключает, казалось бы, применение
в качестве подвижных сред твердых материалов, поскольку их
частицы не совершают взаимных макроскопических перемещений.
Однако при определенных условиях твердые частицы сыпучего
материала (песка, угольной пыли и т. д.) ведут себя как жидкости.
Пусть, например, дно цилиндрического аппарата 7 выполнено в
виде решетки или пористой стенки 2 (рис. 136), на которой
находится слой твердых частиц.
270
Рис. 136.
Пропустим через такое дно 2 газ под небольшим избыточным
давлением (расход газа в трубопроводе 3 можно регулировать
вентилем 4). Струи газа заставят частицы двигаться, а при
достижении определенной скорости газового потока весь слой
частиц как бы "повиснет" на газовых струях, вытекающих из
решетки 2. Образуются "пузыри" 5, подобные тем, что возникают в
кипящей или продуваемой газом капельной жидкости. Под
действием архимедовых сил "пузыри" поднимутся сквозь толщу
слоя 7 к свободной поверхности 6. За счет трения избыточное
давление газа в "пузырях" упадет при движении почти до нуля.
Вокруг "пузырей" возникнет движение частиц твердого материала,
слой их "закипит". Такое состояние сыпучего материала называют
псевдоожижением.
Расчет псевдоожиженных систем до настоящего времени не
имеет единой методической основы, справочная литература дает
эмпирические и полуэмпирические формулы, близкие по структуре
к формулам для расчета конвективного теплообмена.
Псевдоожиженный слой ведет себя, с одной стороны, как
жидкость, у которой коэффициент теплоотдачи меняется на
несколько порядков — от 10–1 до 104 Вт/(м2·К); с другой стороны,
его можно рассматривать как однородный материал с переменной
271
эффективной теплопроводностью λе. Интересно, что максимальное
значение λе в псевдоожиженных системах достигает (2…4)·103
Вт/(м·К), что на порядок больше, чем у лучших твердых
проводников теплоты — меди и серебра.
Если в аппарат ввести вторичный контур 8, то одним только
регулирующим вентилем 4 можно измененить плотность теплового
потока к стенкам контура 8 на несколько порядков.
Псевдоожиженные системы применяют для отопления, при
сжигании и подогреве топлива, в химических производствах и т. д.
Аппараты компактны и легко регулируются, что делает их
использование перспективным и в транспортном машиностроении.
Важнейший недостаток псевдоожиженных систем — запыленность
среды над свободной поверхностью 6, однако при качественных
фильтрах аппараты становятся экологически чистыми.
Поскольку давление и расход сжиженного газа невелики,
можно прогнозировать, в частности, подогрев топлива за счет
снижения энтальпии выхлопных газов или жидкости из системы
охлаждения двигателя.
Конструированию систем с псевдоожиженными средами
посвящена достаточно обширная литература, однако в приложении
к транспортным средствам достигнутые результаты не являются
исчерпывающими и надежными: здесь нужны специальные расчеты
и эксперименты.
2.9. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ
И КОНДЕНСАЦИИ
2.9.1. Теплообмен при кипении
Согласно термодинамическим представлениям, переход
любого вещества из насыщенной жидкости в сухой насыщенный
пар происходит при постоянной температуре насыщения Ts,
которая для каждого вещества однозначно определяется давлением
насыщения ps. Опыты, однако, показывают, что появление паровой
фазы вблизи поверхности нагрева возможно лишь при некотором
272
перегреве жидкости выше температуры насыщения Ts Если,
например, при разгерметизации бака с насыщенной жидкостью,
имеющей температуру Tsl, давление снизится от psl до рs2 < psl, то
вся жидкость окажется перегретой выше точки Ts2 < Tsl и
произойдет вскипание в объеме.
Рис. 137.
Такие случаи редки, чаще перегретым оказывается лишь
тонкий слой жидкости вблизи поверхности, к которой извне
подводят тепловой поток плотностью qw (рис. 137). Когда
температура поверхности Tw > Ts вблизи стенки появляются
паровые пузырьки. Они легче жидкости и "пытаются" всплыть.
Если выше температуры Ts нагрет лишь нижний слой жидкости
(кривая А), то пузырьки поднимаются до некоторого уровня ys, а
затем конденсируются в жидкости с температурой Tf < Ts. При этом
пузырьки отдают теплоту конденсации r, жидкость в объеме
нагревается и кривая А постепенно приближается к положению В,
когда жидкость кипит во всем объеме, а пузырьки пара достигают
свободной поверхности.
Для чистых жидкостей, подогреваемых через стенки с гладкой поверхностью, разность температур Tf – Ts может достигнуть
десятков градусов, прежде чем начнется кипение: в этом случае на
поверхности нагрева нет центров парообразования — пузырьков
газа, неровностей, посторонних частиц и т. д., — на которых
273
зарождаются первые паровые пузырьки. Если такой сосуд
встряхнуть, кипение начинается немедленно: перегретая жидкость
неустойчива (метастабильна). В технике такие случаи не часты,
жидкость обычно вскипает при перегреве Tf – Ts в несколько
градусов. Итак, для кипения необходимы два обстоятельства:
перегрев жидкости и наличие центров парообразования.
Эксперименты показывают, что плотность теплового потока и
коэффициент теплоотдачи при кипении достаточно сложно зависят
от температурного напора на поверхности нагрева ∆T = Tf – Ts. В
1934 г. С. Нукияма установил, что зависимость qw(∆T) имеет как
максимум, так и минимум; он впервые представил кривую qw(∆T) в
логарифмических координатах. В 1948 г. Э. Фарбер и Р. Скорах
построили кривую α(∆T) (для чего просто пересчитали кривую
Нукиямы); в современной литературе часто совмещают оба
графика. На рис. 138 линии α(∆T) и qw(∆T) показаны
применительно к кипению воды в неограниченном объеме при
атмосферном давлении.
Предполагается, что вынужденная конвекция отсутствует, а
нагреваемая поверхность имеет температуру Tw, одинаковую во
всех ее точках (говорят, что кипение происходит на
изотермической поверхности).
274
Рис. 138.
Рассмотрим ход кривых подробнее. На участке А возникает и
развивается свободная конвекция (собственно говоря, этот участок
лишь примыкает к кривой кипения, поскольку паровая фаза на нем
отсутствует). Участок В характеризует пузырьковое кипение: на
поверхности нагрева зарождаются паровые пузырьки, однако
большая ее часть еще покрыта жидкостью. Плотность теплового
потока qw с увеличением ∆T также возрастает; при давлении р =
0,1 МПа и разности температур ∆Tcr1, = 25 К плотность теплового
потока достигает максимального значения qcrl = 1,2·106 Вт/м2. Эту
плотность называют первой критической, а точку максимума на
кривой qw(∆T) — точкой Лейденфроста.
При дальнейшем увеличении ∆T паровых пузырей станет
настолько много, что они сольются и образуют "паровые трубки", а
на поверхности нагрева возникнут области, покрытые паровой
пленкой. На этом участке кривой Нукиямы развивается пленочное
275
кипение. Коэффициент теплоотдачи от поверхности к пару ниже,
чем к жидкости, поэтому среднее значение а снижается (затем,
когда паровая пленка покроет всю поверхность нагрева, оно
стабилизируется). Участок С, таким образом, связан с появлением
паровой пленки, или "рубашки", и со стабилизацией, начиная с ∆T ≈
102 К, коэффициента теплоотдачи α.
Если увеличение ∆T будет продолжаться и дальше, то при
стабильном коэффициенте α плотность теплового потока qw снова
начнет увеличиваться. Точка перегиба на кривой qw(∆T)
соответствует температурному напору ∆Tcr2 = 150 К, при этом
плотность теплового потока в точке минимума называют второй
критической; в условиях нашего опыта qcr2 = (2…5)·104 Вт/м2 <<
qcr1. Увеличение плотности теплового потока на участке D
происходит в основном за счет теплообмена излучением:
температура поверхности достигает уровня 5(102…103)К, что, в
соответствии с законом Стефана-Больцмана (см. разд. 2.10),
заметно увеличивает излучение с поверхности нагрева через
паровую прослойку в жидкость, имеющую температуру Tf = Ts + ∆T
≈ (400…500) К.
Большинство теплообменников работает при плотности
теплового потока qw < qcr1; связано это в первую очередь с
требованиями безопасной эксплуатации. Если тепловая нагрузка
превышает qcr1, то ограниченное значение α "не позволит" отвести
всю теплоту при той же разности температур ∆T. Температурный
напор ∆T возрастет, причем чрезвычайно быстро: на сотни градусов
за доли секунды! Как правило, такой процесс имеет
катастрофические последствия. Если же, несмотря ни на что,
конструкция не разрушится, то кипение перейдет на пленочную
стадию (кривая а — b). При снижении тепловой нагрузки плотность
теплового потока qw вначале опустится до уровня qcr2, а затем
процесс "скачком" вернется на стадию пузырькового кипения
(кривая с — d). Таким образом, переходная область С всегда
неустойчива, в технике соответствующие ей режимы стараются не
применять.
276
Коэффициент теплоотдачи α при qw = qcr1 достигает значений
3·104 Вт/(м2·К), что примерно на порядок выше, чем при
конвективном теплообмене в однофазной среде. Именно поэтому
кипящей жидкостью охлаждают поверхности в металлургии,
электронике больших мощностей, ядерной энергетике и в других
областях, где требуется отводить значительные тепловые потоки с
ограниченной поверхности. Казалось бы, предел эффективности
таких систем наступает в точке Лейденфроста: дальнейшая попытка
увеличить нагрузку, как показано выше, небезопасна. Однако из
этого положения есть еще один выход.
В 1950 г. Ш. Бертерё показал, что при охлаждении
поверхности кипящей жидкостью вполне можно допустить
тепловые нагрузки, равные (2…3)qcr1. Рассуждения сводились к
следующему. Выполним на поверхности теплообмена выступы
(кольцевые ребра, шипы и т. д.), которые на расстоянии от
поверхности, близком к h, омывались бы жидкостью с
температурой Tf< Ts (рис. 139). В этом случае вблизи поверхности h
= 0 начнется кипение, и картина его при qw < qcr1 будет вполне
традиционной.
Однако при qw > qcr1 пленка у поверхности h = 0 образоваться
не сможет: средняя (по поверхности ребер) разность температур
∆Tf< ∆Ts, пленка разорвется, а кипение останется в пузырьковой
стадии. Вдоль ребер начнется циркуляция жидкости: подъем
пузырьков вызовет разрежение у корня ребер, туда направится
некипящая жидкость; после вскипания она поднимется в виде
пузырьков, вызовет “подсос” новых некипящих “порций” и т. д.
Другими словами — кипение пойдет на неизотермической
поверхности; именно это позволяет повысить эффективность
теплообмена. Такое охлаждение называют вапотронным (от
франц. vaporisation — кипение, испарение); его рассчитывают по
специальным методикам.
Конструктор транспортных систем должен помнить о
больших возможностях вапотронных устройств; в частности, если в
системе охлаждения двигателя использовать низкокипящие
277
теплоносители (например, смеси на основе хладонов), то габариты
блока цилиндров заметно уменьшатся.
Рис. 139.
Вернемся к кипению на изотермических поверхностях,
обратив главное внимание на область пузырькового кипения, так
как именно в ней работает подавляющее большинство технических
теплообменников с кипящей жидкостью — бойлеры, котлы и т. д. В
двухфазных средах очень сложно задать характерные размеры и
температуры, здесь сильно (и не всегда монотонно) меняются
теплофизические свойства. Поэтому возможности теории подобия в
этих случаях значительно меньше, чем при исследовании
теплообмена в однофазных жидкостях. Расчеты проводят по
уравнениям вида α = α(qw) и ∆T = ∆T (qw), т. е. в размерной форме,
для каждой жидкости отдельно. Естественно, что результаты
применимы только к той жидкости, в том диапазоне температур и
давлений, в котором производились эксперименты (рис. 140).
278
Рис. 140.
Кроме того, полезно знать, как меняются значения qcr1, α( qcr1)
и ∆Tcr1, в зависимости от давления в системе (рис. 141). Результаты
экспериментов обобщают в виде степенных зависимостей:
2
(2.211)
α = cqw3 ;
1 1
(2.212)
∆T = qw3 ,
c
где коэффициент с, определяемый экспериментально, зависит от
природы жидкости, от давления, а также от состояния поверхности
теплообмена (шероховатости, присутствия накипи и т. д.).
Эксперименты на различных жидкостях показали, что
2 ⎤
⎡
3 ⎛ λ2f ⎞
′
′
ρ
⎛
⎞
⎟
c = 0,075⎢1 + 10⎜
⎟ ⎥⎜
⎜
⎢
⎝ ρ′ − ρ′′ ⎠ ⎥⎝ νσTs ⎟⎠
⎦
⎣
1
3
,
(2.213)
где ρ', ρ" — плотности соответственно насыщенной жидкости и
сухого насыщенного пара при температуре Ts; σ — поверхностное
натяжение на границе “жидкость — пар”, взятое при той же
температуре Ts.
279
Рис. 142
Для воды величину α можно оценить по приближенной
зависимости:
2
3,4 ps0,18
α=
q w3 ,
1 − 0,0045 ps
(2.214)
где ps — задается в Па, a qw — в Вт/м2.
Точность расчетов по формулам (2.211)—(2.214) редко
превышает 30…35 %, поэтому полученные результаты следует
считать лишь довольно грубым приближением.
Кипение в трубах и каналах отличается от кипения в
неограниченном объеме. Паровая и жидкая фазы могут
распределяться внутри трубы в виде однородной эмульсии (рис.
142,а) или в виде раздельных потоков жидкости и пара (рис.
142,б).
Возможно также пузырьковое течение (рис. 142,в); при
увеличении тепловой нагрузки пузыри сливаются, заполняют все
сечение трубы, наступает пробочный режим (рис. 142,г): паровые
пузыри чередуются с жидкостными пробками, течение может стать
пульсирующим, неустойчивым. Теплоотдачу при кипении в трубах
280
и каналах рассчитывают по методикам, приводимым в справочной
литературе.
2.9.2. Теплообмен при конденсации
Подобно кипению, конденсация представляет собой
неравновесный процесс. Появление макрообъемов (капель пленки)
насыщенной жидкости на твердой поверхности или в объеме
влажного пара возможно лишь тогда, когда температура
поверхности Tw или местная температура пара окажется ниже
температуры насыщения жидкости Ts, соответствующей давлению
насыщения ps.
Далее речь пойдет только о поверхностной конденсации. На
поверхности теплообмена с температурой Tw < Ts жидкость может
появляться либо в виде отдельных капель, либо в виде сплошной
пленки; по этому признаку различают капельную и пленочную
конденсацию.
Характер конденсации определяется смачивания θ (рис. 143).
π
Если θ > , то жидкость не растекается по поверхности и лежит
2
Рис. 143.
в виде отдельной капли. Такую картину наблюдают, когда
поверхность не имеет заметных шероховатостей (отполирована), а
жидкость содержит примеси, уменьшающие угол θ, например
π
частицы масел. Если θ < , то капли растекаются, сливаются друг с
2
другом и образуют сплошную пленку. Именно такой вариант чаще
всего встречается в технических теплообменниках.
281
В 1916 г. В. Нуссельт впервые решил задачу о пленочной
конденсации пара на вертикальной поверхности (рис. 144). Он
пренебрег силами инерции при течении конденсата и предположил,
что для элементарного объема конденсатной пленки сила тяжести
уравновешивается силами вязкого трения со стороны соседних
слоев жидкости:
Рис. 144.
g (ρ′ − ρ′′) + µ
∂ 2 wx
∂y 2
= 0,
(2.215)
где wx — вертикальная составляющая скорости пленки.
Общий интеграл уравнения (2.215) имеет вид
wx =
− g (ρ′ − ρ′′) 2
y + C1 y + C2 .
2µ
Здесь С1, С2 — постоянные интегрирования, которые
определим из граничных условий: при у = 0 wx = 0, при у = δ
∂wx
(постоянной для конкретной координаты х величине)
= 0.
∂y
g (ρ′ − ρ′′)
Отсюда С2 = 0, C1 =
δ, следовательно,
µ
y 2 ⎞⎟
ρ′ − ρ′′ ⎛⎜
wx = g
yδ − ⎟.
2 ⎠
µ ⎜⎝
Если ширина стенки z = 1, то за единицу времени расход
конденсата в сечении х составит
282
δ
2⎞
⎛
y
ρ′ − ρ′′ 3
ρ′ δ
Gx = ρ′∫ wx dy = ∫ g (ρ′ − ρ′′)⎜⎜ yδ − ⎟⎟dy = g
δ ,
ν
2
3
µ
0
0
⎝
⎠
(2.216)
откуда
δ=3
3G x
.
g (ρ′ − ρ′′)
(2.217)
Если считать, что теплота передается через слой δ только
теплопроводностью, а температура на поверхности пленки близка к
температуре насыщения Ts, то плотность теплового потока через
пленку
qw =
λ′
(Ts − Tw ),
δ
(2.218)
где λ' — теплопроводность конденсата.
С другой стороны, искомый коэффициент теплоотдачи
qw = α hN (Ts − Tw ),
λ′
(индекс hN означает, что α оценивают для
δ
вертикальных поверхностей высотой h в рамках модели
Нуссельта).
Количество конденсата, образовавшееся на участке
поверхности от 0 до х, определим из уравнения теплового баланса
поэтому α hN =
x
Q = ∫ qw ( x )dx = qw x = rG x ,
(2.219)
0
где Q — тепловой поток, обеспечивающий конденсацию
жидкости;
1x
∫ qw ( x )dx = qw —
x0
среднее
значение
плотности
теплового потока на поверхности x·1; r — удельная теплота
конденсации, численно равная удельной теплоте парообразования
при температуре Ts.
Подставляя в равенство (2.219) значение Gx из равенства
(2.216) и qw(x) из равенства (2.218), получим
283
x
ρ′ − ρ′′ 3
dx
= rg
δ .
δ
ν
3
0
λ′(Ts − Tw )∫
(2.220)
В этом уравнении толщина пленки δ известна;
непосредственная подстановка δ из равенства (2.217) превратит
уравнение (2.220) в тождество, поэтому нужно искать другой путь.
Поскольку при х = 0 δ = 0, будем искать значение δ в виде
функции δ = Ахn, где А, n — коэффициенты, значения которых пока
неизвестны.
Соотношение (2.220) примет вид
λ′(Ts − Tw ) x1− n
ρ′ − ρ′′ 3 3n
(2.221)
A x .
= rg
A
1− n
3ν
При любом х показатели степени слева и справа должны быть
1
одинаковыми, поэтому 1 – n = 3n, т. е. n = . Из формулы (2.221)
4
определим А и δ:
A=4
4λ′(Ts − Tw )ν
4λ′(Ts − Tw )νx
, δ=4
;
rg (ρ′ − ρ′′)
rg (ρ′ − ρ′′)
отсюда следует, что
α hN
λ′ (λ′)3 rg (ρ′ − ρ′′)
= 4
.
δ
4(Ts − Tw )νx
(2.222)
Величина αhN — местный коэффициент теплопередачи,
поскольку в правой части равенства (2.222) стоит текущая
координата x. Для поверхности высотой h среднее значение
коэффициента теплоотдачи
α hN
B
1h
4 (λ′)3 rg (ρ′ − ρ′′)
,
≅ 0,943 4
= ∫ α hN dx = 4
h0
3 4(Ts − Tw )νx
h∆T
где ∆T = Ts − Tw , B = 4
(λ′)
3
rg (ρ′ − ρ′′)
.
ν
(2.223)
284
Из формулы (2.223) видно, что величина αhN уменьшается с
увеличением значений h и ∆T. В. Нуссельт получил аналогичную
формулу и для горизонтальной трубы диаметром D:
α DN = 0,728 4
B
.
D∆T
(2.224)
Если поверхность теплообмена наклонена к вертикали на угол
ψ, то средний коэффициент теплоотдачи при конденсации
αψN = α hN 4 sin ψ .
(2.225)
Кроме использованного уже допущения (2.215) модель
В. Нуссельта предполагает следующие ограничения:
течение пленки — ламинарное;
конвективным теплообменом и теплопроводностью в пленке
вдоль оси х можно пренебречь;
трение на границе “жидкость — пар” отсутствует;
температура границы “жидкость — пар” равна Ts;
теплофизические характеристики λ', ν и ρ' не зависят
от температуры.
Такое обилие упрощений делает формулы (2.222)–(2.225)
приближенными. При расчете конденсации на горизонтальных
трубах надежнее пользоваться формулой
α D = α DN εT ,
(2.226)
где поправка εT учитывает зависимость теплофизических свойств
жидкости от температуры.
На
высоких
вертикальных
поверхностях
модель
В. Нуссельта дает большую погрешность, поскольку течение
конденсата из ламинарного переходит в волнообразное. В 1948 г.
П.Л. Капица показал, что волнообразное течение конденсатной
пленки более устойчиво, чем ламинарное. В его модели толщина
пленки менялась по закону
δ k = δ[1 + b sin (2πτ)],
где δ ≅ 0,935, — среднее значение δ; b ≅ 0,46; τ — текущее время.
285
Волнистость снижает внутреннее термическое сопротивление
пленки; расчет среднего коэффициента теплоотдачи следует вести
по формуле
α h = α hN ε v εT ,
где
ε v — поправка
на волнообразование, величина
(2.227)
которой
определяется режимом течения жидкости.
Величина ε v меняется в пределах 1,0…1,3 и зависит от числа
Рейнольдса Redf; фактически значение ε v редко превышает 1,1.
При конденсации на высоких вертикальных трубах (рис.
145,а) толщина пленки увеличивается, от ламинарного течения в
зоне I движение пленки переходит в волнообразное в зоне II. Чтобы
уменьшить среднее (по высоте h) значение δ, устанавливают
козырьки (рис. 145,6): ниже козырька пленка “нарастает” заново.
На горизонтальных трубах толщина пленки то периметру
неравномерна: снизу пленка толще и местный коэффициент
теплоотдачи меньше (рис. 145,в).
Рис- 145.
Коэффициент теплоотдачи три пленочной конденсации
достигает 104 Вт/(м2·К); это почти предел для конвективного
теплообмена. Именно поэтому конденсаторы являются самыми
компактными из всех теплообменников.
2.9.3. Тепловые трубы
286
Долгое время считали, что эффективность применения ребер
и других телоотводящих элементов ограничена свойствами лучших
проводников теплоты, например серебра (λ = 425 Вт/(м·К) при 373
К). Псевдоожиженные системы разрушили это представление,
однако использовать их для теплоотвода удается далеко не всегда.
В 1964 г. американский физик Дж. Гровер опубликовал
описание теплопередающего стержня, получившего название
тепловой трубы. В том же 1964 г. устройство было запатентовано в
США; годом позже обнаружили, что патент на весьма близкую
конструкцию был выдан еще в 1942 г. Тепловые трубы имеют
эффективную
теплопроводность,
на
порядок
и
более
превышающую теплопроводность серебра. Это обусловило их
широкое применение в аэрокосмической технике, энергетике,
химической технологии и в других областях. Как же действует
тепловая труба?
Простейший ее вид — термосифон: замкнутая полость,
частично заполненная жидкостью, а частично — паром (рис.
146,а,б). Тепловой поток Q+ от нагревателя 3 всегда подводят в
нижней части конструкции. Стенку термосифона 1 делают
предельно тонкой (лишь бы выдерживала внутреннее давление), а
ее материал выбирают из числа наиболее теплопроводных, поэтому
перепад температур на стенке невелик.
Рис. 146.
Теплоноситель 2 нагревается, закипает, пар поднимается в
верхнюю часть термосифона 4 и там конденсируется; при конденса-
287
ции тепловой поток Q ≈ Q+. Конденсат стекает по стенкам вниз,
после чего процесс повторяется. Именно так действуют, например,
пустотелые клапаны некоторых ДВС, заполненные натрием (рис.
146,в). В качестве теплоносителя используют жидкий гелий, азот,
хладоны, спирт, воду, жидкие металлы и т. д.; устройство может
действовать в диапазоне температур от криогенных до очень
высоких (2800 К и более). Основной недостаток термосифона
состоит в том, что он действует только в определенном положении:
испаритель — снизу, конденсатор — сверху.
Рис. 147.
В тепловых трубах более совершенных конструкций этого
ограничения нет (рис. 147,а): внутри корпуса 1 помещен слой
капиллярно-пористого материала (фитиль) 2, по которому жидкость
возвращается из конденсатора 3 в испаритель 4. Такая труба
работает при любой ориентации в пространстве. Тепловые трубы
можно применять в невесомости, в поле центробежных сил и т. д.
Они позволяют менять плотность теплового потока (подводить
теплоту на малой поверхности, а отводить на большой), передавать
теплоту только в одном направлении (“тепловой диод”); форма,
размеры, конструкция труб могут быть самыми разнообразными.
Плотность теплового потока, передаваемого трубой, достигает
288
2,25·106 Вт/м2, что на порядок и более превышает показатели
лучших металлических теплоотводов.
Однако теплопередача в тепловой трубе имеет физические
пределы (рис. 147,б). Первым из них является звуковой барьер: если
пар на границе зоны испарения достигает местной (при
температуре Ts) скорости звука, то труба "запирается", дальнейшее
увеличение теплового потока Q+ невозможно; на рис. 147,б
звуковой предел обозначен кривой 1.
Увеличение теплового потока Q+ вызывает и другое явление:
с поверхности фитиля в испарителе срываются капли жидкости,
которые долетают до конденсатора, практически не участвуя в
теплопереносе (кривая 2); таких капель тем больше, чем выше
температура. Может наступить момент, когда капиллярные силы в
фитиле не обеспечат возврат конденсата (кривая 3) либо испарение
станет настолько сильным, что фитиль высохнет (кривая 4).
Пересечение всех этих кривых и ограничивает область устойчивой
теплопередачи. Естественно, что для каждой конструкции трубы и
для каждого теплоносителя такой график будет своим, но общие
принципы его построения сохранятся.
Приближенно оценить максимальную плотность теплового
потока можно по формуле
qmax = 4 Fw r (ρ′)2
ρ′′ σK L
,
µ′µ′′ Rc L
(2.228)
где Fw — площадь поперечного сечения фитиля; Rc — эффективный
радиус поры в материале фитиля; L — длина транспортной зоны
тепловой трубы; KL — эмпирический коэффициент; µ', µ" —
динамическая вязкость жидкости и пара соответственно.
Все физические параметры, входящие в формулу (2.228),
задают
при
характерной
температуре — средней
между
температурами зон испарения и конденсации.
289
2.10. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
2.10.1. Физические основы излучения
Теплообмен излучением принципиально отличается от
конвективного теплообмена и теплопроводности: "носителями"
тепловой энергии излучения являются электромагнитные волны
или фотоны, испускаемые телом (или средой). Излучение
происходит на поверхности (а иногда — в объеме) всех тел,
имеющих температуру, отличную от абсолютного нуля (0 К = –
273,15 °С). Именно поэтому здесь речь идет о теплообмене в
строгом смысле слова: все тела обмениваются энергией, причем
состояние равновесия определяется балансом испускаемой и
поглощаемой энергии излучения.
Теоретически тела испускают и поглощают энергию во всем
спектре длин волн 0 < λ <∞. Если 0,8 ≤ λ ≤ 400 мкм, то излучение
называют тепловым, или инфракрасным. Большинство твердых тел
и жидкостей излучают энергию в широком диапазоне длин волн;
говорят, что их спектр излучения — сплошной. Для чистых
металлов и газов характерно селективное излучение: энергия
передается только на одной или нескольких длинах волн, спектр
такого излучения — линейчатый.
Энергия излучения зависит от температуры тела. Чем выше
температура, тем больше энергии передается путем излучения. Как
правило, при низких и умеренных температурах в передаче теплоты
преобладают теплопроводность и конвенция, а при высоких —
излучение.
В отличие от других видов теплопередачи, излучение не
требует "промежуточной" материальной среды: оно передается и в
вакууме, причем практически на любое расстояние; при этом,
разумеется, соблюдаются первое и второе начала термодинамики.
290
Назовем потоком излучения Q количество энергии
излучения dQτ, переносимое в единицу времени dτ через
произвольную поверхность, Вт:
dQτ
.
dτ
Поверхностная плотность потока излучения Е — поток
излучения Q, проходящий через единицу поверхности, Вт/м2:
Q=
dQ d 2Qτ
E=
=
.
dF dτdF
Когда поток излучения попадает на поверхность твердого тела
(рис. 148), то некоторая его часть QR отражается от поверхности,
другая часть QD проходит через тело, а остаток энергии потока
излучения QA поглощается телом и повышает его энтальпию.
В соответствии с законом сохранения энергии
Q = QR + QD + Q A ,
или в безразмерной форме:
Q Q R QD Q A
=
+
+
,
Q Q
Q
Q
1 = R + D + A,
где
R=
(2.229)
QR
— отражательная способность тела;
Q
пропускательная способность тела; A =
D=
QD
—
Q
QA
— поглощательная
Q
способность тела.
Величины R, D и A зависят как от физических свойств тела,
так и от состояния его поверхности. Кроме того, их определяет и
спектральный состав излучения: так, оконное стекло пропускает
тепловое излучение D λ ≈ 1,0 и задерживает ультрафиолетовое
(D
λ <λ h
)
(
h
)
≈ 0 (здесь λh — длина волны в инфракрасном диапазоне).
291
QR
Q
QA
QD
Рис. 148. Схема распределения падающей энергии
Отражательная способность R зависит почти исключительно
от состояния поверхности. Если поверхность шероховатая, то
говорят о диффузном отражении, полированная поверхность
отражает энергию излучения зеркально. Большинство материалов
поглощает энергию излучения лишь тонким поверхностным слоем;
для металлов его толщина составляет около 1 мкм, для
неметаллов — 1…З мм. Поэтому в первом приближении
поверхность твердых тел и жидкостей считают поглощающей, а
уравнение (2.229) используют в виде
A + R = 1.
(2.230)
Тела, удовлетворяющие уравнению (2.230), называют
непрозрачными; если их поглощательная способность А не
зависит от длины волны излучения λ, то эти тела называют
серыми. Физически уравнение (2.230) означает, что теплота,
подведенная к поверхности тела или к объему жидкости в виде
потока
излучения,
распространяется
в
глубину
путем
теплопроводности или конвенции.
Газы почти не отражают излучения, для них формула (2.229)
принимает вид
A + D = 1,
(2.231)
причем обычно А << D.
Если А + R = 0, D = 1, то тело (среду) называют абсолютно
прозрачным. К прозрачным близки инертные и двухатомные газы
при умеренных температурах.
Если А = D = 0, R = 1, то тело абсолютно белое.
292
Если R = D = 0, А = 1, то тело абсолютно черное.
Все три случая характеризуют физические модели; реальные
тела могут им соответствовать лишь приблизительно. Так,
поверхность, покрытая слоем ламповой сажи, близка к абсолютно
черной (серое тело, конечно, тоже модель; в действительности
величина А всегда зависит от спектрального состава излучения).
Из курса физики известны основные законы излучения
(Планка, Вина, Рэлея—Джинса, Стефана—Больцмана, Кирхгофа,
Ламберта). В расчетах теплообмена излучением чаще всего
используют законы Стефана—Больцмана и Кирхгофа, о которых
скажем несколько слов.
Австрийский физик И. Стефан в 1879 г. показал экспериментально, а Л. Больцман в 1984 г. обосновал теоретически связь
поверхностной плотности потока излучения абсолютно черного
тела с его абсолютной температурой. Согласно закону Стефана—
Больцмана, поверхностная плотность потока излучения
абсолютно черного тела E0 пропорциональна четвертой степени
его абсолютной температуры Т:
E0 = σ 0T 4 ,
(2.232)
где σ0 = 5,67·10–8 Вт/(м2·К4) — константа излучения абсолютно
черного тела (постоянная Стефана—Больцмана).
В этой и последующих формулах температура Т
определяется по абсолютной шкале (К)!
Для серого тела зависимость (2.232) качественно сохраняется,
но коэффициент перед Т4 принимает другое значение:
E = σT 4 ,
(2.233)
где σ — константа, зависящая от свойств материала и состояния
поверхности тела, а также от ее температуры.
Коэффициент
ε=
E
E0
=
T =idem
σ
<1
σ0
называют
степенью
черноты серого тела. Степень черноты — отношение потока
собственного излучения тела к потоку черного излучения при той
же температуре.
293
Значение Т4 очень велико, поэтому в технических расчетах
формулы (2.232) и (2.233) записывают в виде
4
⎛ T ⎞
E0 = σ 0 ⎜
⎟ ;
⎝ 100 ⎠
4
(2.234)
4
⎛ T ⎞
⎛ T ⎞
E = σ⎜
⎟ = εC0 ⎜
⎟ ,
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
(2.235)
где С0 = 5,67 Вт/м2·К4 — коэффициент излучения абсолютно
черного тела; С — коэффициент излучения серого тела.
C
Очевидно, что ε =
< 1.
C0
Значения ε для различных материалов содержатся в
справочной литературе. Степень черноты меняется от 0,01…0,02
для полированных металлов до 0,98…0,99 для поверхностей,
покрытых сажей. "Чернота" — понятие условное, поскольку нас
интересует невидимая, а инфракрасная область спектра. В этой
области снег (ε = 0,95) "более черный", чем графит (ε= 0,5…0,7);
степень черноты большинства красок, кстати, не связана с их
цветом (подробней см. разд. 2.10.3).
В 1859 г. немецкий физик Г. Кирхгоф установил связь между
излучательной и поглощательной способностями тела (закон
Кирхгофа).
Его рассуждения иллюстрирует рис. 149. Рассмотрим две
параллельные поверхности: серого тела с температурой Т и
абсолютно черного с температурой Т0 < Т, причем оба тела
непрозрачны: D=D0= 0. Поглощательная способность серого тела
равна А; у абсолютно черного А0 = 1. Вся энергия с поверхностной
плотностью потока излучения Е, падающая на поверхность
абсолютно черного тела, поглощается им, поскольку А0 = 1.
294
T, A
E
AE0
T0, A0=1
E0
(1–A)E0
(1–A)E0
Рис. 149. К выводу закона Кирхгофа
Само же абсолютно черное тело посылает в сторону серого
энергию с поверхностной плотностью потока излучения Е0, часть
которой АЕ0 поглощается серым телом, а остаток (1–A)E0
отражается в сторону абсолютно черного тела.
Итак, плотность потока результирующего излучения10 у серой
поверхности на этом этапе рассуждений
q = AE0 − E.
(2.236)
Если в теплообмене излучением участвуют только два
рассматриваемых тела, то в соответствии со вторым началом
термодинамики через некоторое время их температуры сравняются:
Т→Т0; Т–Т0 = 0. При этом плотность результирующего потока
излучения упадет до нуля, а равенство (2.236) примет вид
E − AE0 = 0,
или
E
(2.237)
= E0 .
A
Поскольку серое тело было выбрано без особых ограничений,
соотношение (2.237) имеет достаточно общий характер:
Потоком результирующего излучения на поверхности тела
называют разность между потоками поглощенного и собственного
излучения тела.
10
295
E1 E2
=
= ... = E0 .
A1 A2
(2.238)
Закон Кирхгофа (2.238) утверждает, что отношение
плотности потока излучения к поглощательной способности
для всех тел одинаково и равно плотности потока излучения
абсолютно черного тела при той же температуре (речь при этом
идет о равновесном излучении; это процесс равновесный, прежде
всего, в термодинамическом понимании: система замкнута, тела
изотермичны).
E
Поскольку
= ε, можно представить формулу (2.238) в виде
E0
А = ε: поглощательная способность любого тела численно равна
его степени черноты. Физически это означает, что тело, хорошо
отражающее излучение, само излучает очень слабо, и наоборот.
Поэтому, желая защитить поверхность от потерь энергии
излучением, стремятся уменьшить степень черноты е.
В заключение остановимся на особенностях теплообмена
излучением в газах. Кроме инертных и двухатомных газов, которые
почти прозрачны, в технике используют трех- и многоатомные
газовые среды, включающие аммиак NH3, углекислый газ СО2,
водяной пар Н2О и т. д. Их излучение имеет селективный характер,
причем как излучение, так и поглощение энергии происходят не на
поверхности, а в объеме газа. По мере прохождения через толстый
газовый слой излучение ослабевает. Ослабление зависит от числа
молекул, оказавшихся на пути луча, которое в свою очередь
определяется парциальным давлением pi поглощающего i-го
компонента газовой смеси, а также средней длиной пути луча:
а)
296
б)
Рис.150. Коэффициенты теплового излучения газового объёма
СО2 (а) и Н2О (б)
l = 3,6
Vg
Fg
,
где Vg, Fg — объем и площадь поверхности системы, заполненной
газом (англ. gas).
297
Степень черноты газов (в первую очередь — СО2 и Н2О) при
атмосферном давлении определяют по графикам (рис. 150,а,б) или
по таблицам как функции
(
)
ε CO 2 = f (PCO 2 ⋅ l , T ), ε H 2O = f PH 2O ⋅ l , T .
Если в смеси присутствуют и СО2, и Н2О, то они "мешают"
друг другу поглощать излучение, так как их спектральные линии
частично перекрываются. Степень черноты такой смеси
ε = ε CO 2 + ε H 2O − ∆ε,
(2.239)
где ∆ε — табулированная поправка на совместное поглощение
потока излучения молекулами СО2 и Н2О.
При таком подходе газовую среду приближенно считают
серой, что, вообще говоря, не всегда оправдано. Излучение газов
надо учитывать в задачах инфракрасной локации: выхлоп
двигателя неизбежно дает излучающую (“светящуюся”) метку,
поскольку содержит СО2 и Н2О.
2.10.2. Расчет теплообмена излучением
Рассмотрим систему из двух плоскопараллельных серых
пластин (рис. 151). Их температуры T1, и Т2, поверхностные
плотности потоков собственного излучения E1, и Е2, а также
поглощательные способности А1 и А2 считаем постоянными и
заданными. Полагая, что в зазоре между пластинами теплообмен
происходит только излучением, рассчитаем результирующую
плотность теплового потока:
E1
T1, A1
Eef2(1–A1)
Eef1(1–A2)
T2, A2
298
Рис. 151. к определению результирующего теплового потока
q1, 2 = Eef 1 − Eef 2 ,
(2.240)
где Eefl, Eef2 — плотности потоков эффективного (англ, effective)
излучения на поверхностях 7 и 2 (т. е. суммарные потоки
собственного и отраженного излучения для этих поверхностей).
По данному выше определению,
Eef 1 = E1 + (1 − A1 )Eef 2 ;
Eef 2 = E2 + (1 − A2 )Eef 1 ,
откуда следует, что
Eef 1 =
E1 + E2 − A1E2
E + E2 − A2 E1
; Eef 2 = 1
.
A1 + A2 − A1 A2
A1 + A2 − A1 A2
Подставляя эти значения в формулу (2.240), получим
q1, 2
E1 E2
−
A2 E1 − A1E2
A1 A2
=
=
.
1
1
A1 + A2 − A1 A2
+ −1
A1 A1
По закону Стефана—Больцмана E1 = ε1σ 0T14 , E2 = ε 2 σ 0T24
(здесь ε1,ε2, — степень черноты тел 1 и 2 соответственно), поэтому
q1, 2
σ 0T14 − σ 0T24
=
.
1
1
+ −1
A1 A1
Согласно закону Кирхгофа, ε1 = А1, ε2 = А2, поэтому
(
)
q1, 2 = σ 0 ε a T14 − T24 ,
где ε a =
(2.241)
1
— приведённая (в англоязычных источниках —
1 1
+ −1
ε1 ε1
apparent, “кажущаяся”) степень черноты системы пластин 1 и 2.
ε
При ε1 = ε2 = ε, ε a =
; если ε1 > 0,7, ε2 > 0,8, то εa ≈ ε1·ε2.
2−ε
Более удобным аналогом формулы (2.241) является равенство
299
q1, 2
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
= C0 ε a ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥,
⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
(2.242)
которое широко используют как первое приближение, когда
ориентировочно известны Т1, Т2, ε1 и ε2 для системы тел более
сложной формы, чем рассмотренная выше. Для таких систем
формула (2.242) дает, как правило, качественно верные результаты.
Усложним задачу: поместим между пластинами 1 и 2 тонкий
плоский экран (рис. 152), предположим, что приведённая степень
черноты системы постоянна и равна εа, Т1 > Т2.
q1,sc
T1
Tsc
qsc,2
1
T2<T1
2
q1,2
Рис. 152. Теплообмен излучением при наличии экрана
Рассмотрим теплообмен излучением в системах “пластина
1 — экран” и “экран — пластина 2” используя уравнение (2.241):
(
)
(
q1,sc = σ 0 ε a T14 − Tsc4 ; q2,sc = σ 0 ε a Tsc4 − T24
)
(индекс “sc” — от англ. screen — экран).
Поскольку в стационарном режиме ql,sc = qsc,2, получим
(
)
Tsc = 4 0,5 T14 + T24 ,
тогда
(
(2.243)
)
q1, sc = 0,5σ 0 ε a T14 − T24 = 0,5q1, 2 ,
(
)
где q1, 2 = σ 0 ε a T14 − T24 — результирующая плотность теплового
потока в системе без экрана.
300
Итак, установка одного экрана уменьшает плотность потока
излучения вдвое. Можно показать, что использование n экранов
уменьшает излучение в n + 1 раз, а температура i-го экрана будет
Tsc = 4 T14 −
iq1, 2
σ0ε a
(2.244)
.
В большинстве случаев между экранами находится газ, чаще
всего — воздух; если расстояние между поверхностями выбрать из
условия Ra ≤ 103, исключающего конвективный теплообмен, то
эффективность экранирования станет еще выше. Кроме того,
исходя из закона Кирхгофа, следует снизить степень черноты
экранов. В этом случае уменьшение тепловых потерь составит
q1, 2( sc )
q1, 2
−1
⎡
⎛ 2 − ε sc ⎞ ε a ⎤
⎟⎟ ⎥ ,
= ⎢1 + n⎜⎜
2
−
ε
a ⎠ ε sc ⎦
⎝
⎣
(2.245)
где q1,2(sc) — плотность потока излучения при наличии n экранов со
степенью черноты каждого εsc.
Если εa = 0,8, a εsc = 0,1, то один экран снижает потери в
13,67 ≈ 14 раз! Формулы (2.244) и (2.245) полезно вывести
самостоятельно, используя соотношение (2.241). Система
многочисленных экранов в достаточно разреженном газе или под
вакуумом
(экранно-вакуумная
теплоизоляция)
является
эффективной, очень легкой и удобной в транспортных системах;
пока ее чаще всего используют в космической, авиационной и
криогенной технике.
Рассмотрим более сложный случай, когда тело 1
произвольной формы окружено поверхностью другого тела 2 (рис.
153). Тело 1 имеет поверхность F1, температуру Т1 и степень
черноты ε1; для тела 2 эти параметры равны соответственно F2, T2 и
ε2; оба тела непрозрачны (D1 = D2 = 0). Пусть Т1 > Т2. Если тело 1
излучает поток Q1, то на тело 2 попадает его часть:
Q12 = Q − ϕ 21Q2 ,
(2.246)
где Q2 — поток излучения с поверхности тела 2; ϕ21 — средний
угловой коэффициент — геометрическая характеристика системы,
301
которая показывает, какая доля потока, излучаемая телом 2,
попадает на тело 1 (остальная часть потока Q2, равная (1 – ϕ21) Q2
минует тело 1 и попадает на свою же поверхность).
2
1
ε1, T1, F1
ε2, T2, F2
Рис. 153. Система выпуклого тела с оболочкой
Поток Q1 складывается из собственного излучения тела 1,
равного E1F1 и той части потока ϕ21Q2, которую поверхность 1
отражает:
Q1 = E1F1 + R1ϕ 21Q2 ,
(2.247)
где R1 = 1 – А2 = 1 – ε2 — отражательная способность тела 1.
Поток Q2 складывается из потока собственного излучения
E2F2, потока отраженного излучения R2Q1, и потока отраженного
излучения R2(1 – ϕ21) Q2, посылаемого телом 2 на свою же
поверхность:
Q2 = E2 F2 + R2Q1 + R2 (1 − ϕ 21 )Q2 ,
где R2 — отражательная способность тела 2.
Совместное решение уравнений (2.247) и (2.248) дает
(2.248)
302
Q1 =
E1F1[ε 2 + ε1 (1 − ε 2 )ϕ 21 ] + ϕ 21 (1 − ε1 ) E2 F2
,
ε 2 + ε1 (1 − ε 2 )ϕ 21
Q2 =
E2 F2 + (1 − ε1 ) E1F1
.
ε 2 + ε1 (1 − ε 2 )ϕ 21
Подставив значения Q1 и Q2 в равенство (2.246), получим
Q12 =
E1F1ε 2 − ε1E2 F2
.
ε 2 + ε1 (1 − ε 2 )ϕ 21
Используем закон Стефана—Больцмана, выразив Е1 и Е2 через
температуры Т1, и Т2, тогда
4
⎡ ⎛ T ⎞4
ε1ε 2C0
⎛ T2 ⎞ ⎤
1
Q12 =
⎢ F1 ⎜
⎟ ⎥=
⎟ − ϕ21F2 ⎜
ε 2 + ε1 (1 − ε 2 )ϕ 21 ⎢⎣ ⎝ 100 ⎠
100
⎝
⎠ ⎥⎦
4
⎡ ⎛ T ⎞4
C0
⎛ T2 ⎞ ⎤
1
=
⎢ F1 ⎜
⎟ − ϕ 21F2 ⎜
⎟ ⎥.
⎛1
⎞ ⎣⎢ ⎝ 100 ⎠
1
⎝ 100 ⎠ ⎦⎥
+ ϕ21 ⎜⎜ − 1⎟⎟
ε1
⎝ ε2 ⎠
(2.249)
Ясно, что при Т1 = Т2 Q12 = 0; из формулы (2.249) в этом
F
случае следует, что ϕ21 = 1 . Теперь равенство (2.249) принимает
F2
окончательный вид
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
Q12 = C0 ε a F1 ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥,
⎣⎢⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎦⎥
(2.250)
1
.
⎛
⎞
1 F1 1
+ ⎜ − 1⎟
ε1 F2 ⎝⎜ ε 2 ⎟⎠
В формулах (2.246)-(2.250) мы использовали угловой
коэффициент ϕ21 . Можно ввести также и коэффициент ϕ12 ,
где ε a =
который покажет, какая доля излучения попадает с тела 1 на тело 2.
Поскольку тело 2 окружает тело 1 со всех сторон, ϕ12 = 1 :
излучение тела 1 может попасть только на тело 2. Для любых двух
тел угловые коэффициенты обладают свойством взаимности:
ϕ12 F1 = ϕ 21F2 .
(2.251)
303
Рис. 154. К определению угловых коэффициентов
Определение
угловых
коэффициентов
представляет
достаточно сложную задачу; многие практически важные случаи
рассмотрены в справочной литературе. Так, для двух параллельных
бесконечно длинных цилиндров диаметром d, расстояние между
осями которых равно S (рис. 154),
ϕ12
2
d
S⎞
S⎤
1⎡
⎛
= ϕ 21 = ⎢arcsin + ⎜ ⎟ − 1 − ⎥ .
π⎢
S
d⎥
⎝d ⎠
⎣
⎦
(2.252)
В 1935 г. Г.Л. Поляк предложил удобный для практики прием,
который называют методом натянутых нитей. Если все
поверхности теплообмена вдоль одной из координат простираются
бесконечно, то этот метод сводится к следующему. Пусть в системе
поверхностей F1, F2, F3, F4 (рис. 155) требуется определить угловой
коэффициент ϕ12 с учетом того, что поверхности F3 и F4 частично
“заслоняют” поверхности F1 и F2 одну от другой.
Рис. 155. Метод натянутых нитей
304
Проведем прямые ag и gf так, чтобы они стали хордами
вогнутых участков поверхности F1. Подобным же образом
построим ломаные fed, abc, а также прямые ad и сf (именно так
расположились бы нити, натянутые через “выступающие” точки,
обозначенные на рис. 155 буквами a, b, с, d, e, f и g, отсюда и
название метода). Если протяженность поверхности F, в плоскости
чертежа равна L, то
1
(2.253)
{(cf + ad ) − [(cb + ba ) + (de + ef )]} ,
2L
т. е. угловой коэффициент равен полуразности длин внутренних
(пересекающихся) и внешних (непересекающихся) нитей,
отнесенной к длине L = ag + gf.
Интересно сопоставить этот результат с решением (2.252): это
можно сделать как численно, выполнив рис. 154 в масштабе, так и
методами аналитической геометрии.
ϕ12 =
2.10.3. Солнечное излучение
Этот вид излучения действует на все предметы, находящиеся
на поверхности Земли и над ней; для транспортных систем он
особенно важен, поскольку во многом определяет их тепловое
состояние в светлое время суток.
Плотность потока излучения, посылаемого Солнцем на
Землю, составляет (1,32…1,43) кВт/м2, ее называют солнечной
постоянной. С учетом рассеяния в атмосфере (а в ней всегда есть
углекислый газ СО2 и водяные пары Н20, ослабляющие излучение)
можно считать, что плотность потока солнечного излучения у
поверхности Земли qs ≅ 103 Вт/м2 (англ. solar — солнечный). Эта
величина зависит от времени суток, широты местности, облачности
и т. д.; точнее ее определяют приборами (актинометрами); для
расчетов можно также воспользоваться специальными таблицами.
Спектральное распределение плотности потока солнечного
излучения представлено на рис. 156.
305
Рис. 156
Солнечный спектр при массе атмосферы, равной нулю; плотность потока
интегрального излучения 1353 Вт/м2
Распределение (нормализованное) излучения черного тела при температуре
5762 К плотность потока интегрального излучения 1353 Вт/м2
Солнечный спектр при массе атмосферы, равной двум;
6=0,66, р=0,085; Н2О - 2 см, О3 - 0,34 см; плотность интегрального излучения
69 Вт/м2
Г Солнечный cпeктр при массе атмосферы, равной двум, без учета
молекулярного поглощения Длина волны X, мкм
Максимум интенсивности солнечного излучения приходится
на видимую часть спектра, поэтому модель серого тела при
расчетах теплообмена дает существенную ошибку.
Поскольку любое излучение, поглощенное поверхностным
слоем твердого материала, далее передается теплопроводностью,
важно
регулировать
степень
черноты
(поглощательную
способность) как в видимой, так и в инфракрасной части спектра.
Интегральная степень черноты ε всех красок достаточно
высока. Для масляных и специальных красок, применяемых, в
частности, при окраске военной техники, грузовых и дорожных
машин, она составляет 0,6…0,98. От цвета краски величина ε почти
не зависит. Полированные металлы имеют ε = (0,02…0,06).
306
Поглощательная способность в полосе частот солнечного
излучения As меняется в гораздо больших пределах: от 0,12…0,3
для белых эмалевых красок, до 0,9 для черной краски на
оцинкованной стали; эта величина зависит как от шероховатости
поверхности, так и от цвета краски; светлые краски поглощают
солнечную энергию меньше. Полированные металлы (никель,
хром) имеют As = 0,15…0,3, зачерненные — 0,35…0,5 и более, в
зависимости от шероховатости.
Поскольку уравнения вида (2.235) линейны относительно ε,
степень черноты следует обязательно учитывать при определении
теплового состояния машины (еще важнее помнить, что при
нагреве кузова солнечным излучением вместо ε надо использовать
As!) Обычно теплообмен на поверхности транспортного средства
идет как конвективным путем, так и излучением, этот случай
рассмотрим отдельно.
2.10.4. Сложный теплообмен
Разделение процесса теплопередачи на теплопроводность,
конвективный теплообмен и теплообмен излучением достаточно
условно. Выбор одного из перечисленных видов теплопередачи в
качестве главного, а других — в качестве граничных условий или
факторов, учитываемых приближенно, во многом определяется
традициями теории теплообмена, инженерным опытом и интуицией
расчетчика.
До настоящего времени совместное аналитическое решение
системы уравнений теплопроводности, конвективного теплообмена
и теплообмена излучением практически неосуществимо даже для
простейших случаев. Численные методы здесь предпочтительнее,
но и они громоздки и не всегда надежны. Однако некоторые
практически важные задачи такого теплообмена можно решать
достаточно просто и с приемлемой точностью.
Рассмотрим совместное действие конвективного теплообмена
и теплообмена излучением. По закону Ньютона плотность
теплового потока при конвективном теплообмене
307
(
)
qc = α c T f − Tw ,
(2.254)
где αс — “конвективный” (от англ, convective) коэффициент,
теплоотдачи.
Если помимо конвективного теплообмена в системе
происходит теплообмен излучением, то его можно считать
дополнительным фактором, а расчет вести по формулам вида
(2.254).
Будем приближенно рассматривать среду как серое тело с
температурой Tf; тогда результирующая плотность потока
излучения с поверхности тела составит, на основании закона
Стефана—Больцмана,
(
)
qr = ε a σ 0 T f4 − Tw4 .
(2.255)
(индекс “r” — от англ, radiant — радиационный, связанный с
излучением).
Суммарная плотность тепловых потоков, вызванных
конвективным теплообменом и теплообменом излучения,
(
(
)
)
qc + qr = α c T f − Tw + ε a σ 0 T f4 − Tw4 =
⎛
T f4 − Tw4 ⎞⎟
⎜
= α c + εa σ0
T f − Tw = (α c + α r ) T f − Tw ,
⎜
T f − Tw ⎟
⎝
⎠
(
)
(
)
(2.256)
где αr — “радиационный” коэффициент теплоотдачи. Если αc << αr,
то из равенства (2.256) получим
α c + α r ≈ α r = εa σ0
(
)(
T f4 − Tw4
T f − Tw
= εa σ0
)
(T f2 + Tw2 )(T f − Tw )(T f + Tw ) =
(
)
T f − Tw
= ε a σ 0 T f2 + Tw2 T f + Tw = ε a σ 0 f T f , Tw ,
(
)
(
)(
)
где f T f , Tw = 10 −8 T f2 + Tw2 T f + Tw — функция,
(2.257)
задаваемая
таблично или в виде графика (рис. 157), где вместо Tf и Tw для
удобства используют температуры tf и tw, выражение в °С.
Tf
Если 0,9 ≤
≤ 1,1 (на рис. 157 эта область заштрихована), то
Tw
308
(
3
+ Tw ⎞
⎟ .
2 ⎟⎠
−8 ⎛ T f
)
f T f , Tw = 4 ⋅10 ⎜⎜
⎝
При таком соотношении
Tf
Tw
равенство (2.257) приводится к
виду
(
)
α r ≈ 2,835 ⋅10 −8 ε a T f + Tw 3 ;
(2.258)
расчет по формуле (2.258) дает погрешность, не превышающую 1
%.
Рис. 157
Если в качестве основного вида теплопередачи рассматривать
излучение, то формула (2.256) примет вид
(
(
)
)
(
)
qc + qr = α c T f − Tw + ε a σ 0 T f4 − Tw4 = (ε r + ε a )σ 0 T f4 − Tw4 ,
(2.259)
где εс — “конвективная” степень черноты:
εc =
(
α c T f − Tw
(
σ 0 T f4 − Tw4
)=
)
αc
.
σ 0 f T f − Tw
(
)
(2.260)
Формулу (2.260) выводят почти так же, как и формулу (2.257).
Рассмотрим в качестве примера задачу о теплообмене на
309
поверхности автомобильного кузова, нормальной к вектору потока
солнечного излучения qs (рис. 158).
Рис. 158
Пусть краска на кузове имеет характеристики εа, As,
температура поверхности равна Tw, а температура окружающей
среды — Tf. При движении автомобиля со скоростью w, м/с,
конвективный коэффициент теплоотдачи определим в первом
приближении по формуле Юргенса
(
)
α c ≅ 7,12 ⋅ w0,78 , Вт м 2 ⋅ K ,
дающей приемлемую точность при w > 5 м/с = 18 км/ч.
Будем считать, что плотность теплового потока от
поверхности кузова в салон пренебрежимо мала (qw = 0). Тогда
плотность суммарного теплового потока на поверхности при Tw >
Тf,
[
]
qΣ = ε a C0 f (T f , Tw ) + α c (T f − Tw ) − As qs .
(2.261)
В стационарном режиме qΣ = qw = 0, поэтому температура
поверхности кузова
Tw = T f +
As qs
As qs
= Tf +
. (2.262
ε a C0 f T f , Tw + α c
ε a C0 f T f , Tw + 7,12 w0,78
)
(
)
(
)
Уравнение (2.262) решим одним из приближенных способов
(например, графическим), для чего построим кривые и найдем
y1 = Tw − T f
и
y2 =
(
As qs
)
ε a C0 f T f , Tw + 7,12 w0,78
310
значение Tw, соответствующее точке у1 = y2. Пусть, например, w =
70 км/ч, qs = 103 Вт/м2, As = 0,2, ε = 0,6, Tf = = 313 К = 40 °С. В таком
случае
α c = 7,12 w
0,78
⎛ 70 ⋅103 ⎞
⎟
= 7,12⎜⎜
⎟
3600
⎠
⎝
0,78
= 72,07 Вт м 2 ⋅ K
y1 = t w − 40;
(здесь tw=Tw — 273 °С);
As qs
0,2 ⋅103
y2 =
=
.
ε a C0 f T f , Tw + α c 0,6 ⋅ 5,67 ⋅ f (40, t w ) + 72,07
(
)
Рис. 159
Результаты решения представлены на рис. 159; для удобства
пользования графиком, представленным на рис. 157, все расчеты
проведены в °С; значение tw = 42,8 °С. Если положить w = 0, то при
αс ≈ 0 получим
0,2 ⋅103
;
y2 =
0,6 ⋅ 5,67 ⋅ f (40, t w )
в этом случае tw ≈ 48,1 °С. Как видим, стоящий на солнце
автомобиль нагревается на 48,1 – 42,8 = 5,3 °С выше, чем
движущийся со скоростью 70 км/ч.
2.11. ТЕПЛООБМЕННИКИ
2.11.1. Классификация и назначение
311
Теплообменники — аппараты, в которых осуществляется
теплообмен между двумя или несколькими теплоносителями11 или
между теплоносителями и твердыми телами (стенкой, насадкой).
В
технике
используют
теплообменники
различных
конструкций, типов и назначения. По принципу действия их можно
разделить на поверхностные и смесительные.
В поверхностных теплообменниках теплоносители всегда
разделены непроницаемой стенкой, поэтому теплота передается от
горячего теплоносителя к холодному только путем теплопередачи.
Поверхностные теплообменники бывают двух основных типов.
1. Рекуперативные теплообменники, в которых горячий
теплоноситель 1 омывает промежуточную стенку одновременно с
холодным теплоносителем 2 (рис. 160,а). Тепловой поток Q
передается непрерывно, в течение всего времени работы аппарата.
К
этому
типу
относится
подавляющее
большинство
теплообменников транспортных систем: водяные и масляные
радиаторы, отопители салона, теплообменники кондиционеров.
Рис. 160
Здесь, как и прежде, теплоноситель — движущаяся среда,
используемая для переноса теплоты.
11
312
2. Регенеративные теплообменники, в которых одна и та же
стенка — обычно довольно массивная — омывается в течение
времени τ1, горячим теплоносителем 1, а затем в течение времени
τ2 — холодным теплоносителем 2 (рис. 160,б). В “горячий” период
(0 < τ < τ1) тепловой поток Q повышает энтальпию материала, из
которого выполнена стенка, в “холодный” период (τ1 < τ < τ2)
энтальпия материала снижается, а теплоноситель 2 подогревается.
Таким образом, в регенеративных теплообменниках процессы
нагрева и охлаждения стенки смещены во времени. Регенеративные
теплообменники используют в солнечной энергетике, металлургии,
химической промышленности и т. д.
Смесительные
теплообменники
предусматривают
непосредственный контакт теплоносителей 1 и 2 с различными
температурами (рис. 160, в). Тепловой поток Q передается внутри
аппарата, где отдельные струи, капли и другие макрообъемы
теплоносителей вступают в контакт друг с другом. Смесительные
теплообменники обычно компактнее поверхностных, но область их
применения значительно уже. К этому типу теплообменников
относят смесительные краны горячего и холодного водоснабжения;
в транспортных системах кондиционирования нередко к воздуху
салона “подмешивают” воздух окружающей среды и пр.
Далее речь пойдет исключительно о рекуперативных
теплообменниках, как наиболее распространенных в транспортной
технике. Расчет и конструирование этих аппаратов накладывают,
помимо теплотехнических, и другие ограничения: необходимо по
возможности уменьшить их массу и объем, обеспечить простую
очистку поверхностей теплообмена от эксплуатационных
загрязнений, предусмотреть меры пожарной безопасности и т. д.
2.11.2. Основы теплового расчета
Тепловой расчет теплообменников может быть:
конструкторским, когда заданы параметры теплоносителей
(скорость, плотность, температура на входе и выходе и т. д.), а
313
требуется определить поверхность теплообмена и разработать
конструкцию аппарата;
поверочным, когда конструкция теплообменника известна, а
определить необходимо параметры теплоносителей.
В обоих случаях задают тепловой поток (тепловую нагрузку)
теплообменника — он определяет, в конечном счете, как его
размеры, так и неизвестные заранее параметры теплоносителей. В
транспортных системах тепловая нагрузка редко остается
постоянной, обычно ее задают как функцию частоты вращения вала
двигателя, крутящего момента и т. д. Практически это означает, что
конструкторский расчет ведут по максимальной тепловой нагрузке,
а поверочный — по тем значениям нагрузки, при которых
теплообменник работает в нерасчетных условиях.
Если считать, что передача теплоты происходит в
стационарном режиме, а техническая работа горячего 1 и холодного
2 теплоносителей весьма мала, то для каждого из них первое начало
термодинамики можно записать в виде
Q1 = ∆H1 = G1c p1 (T1′ − T1′′);
Q2 = ∆H 2 = G2 c p 2 (T2′′ − T2′ ),
где Q1, Q2 — тепловые потоки: отданный горячим теплоносителем
1 и воспринятый холодным 2; ∆H1, ∆H2 — изменение энтальпии
теплоносителей; G1, G2 — массовые расходы; ср1, ср2 — удельные
изобарные теплоемкости; Т′1, Т′2 — температуры теплоносителей на
входе в теплообменник; T″1, Т″2 — температуры теплоносителей на
выходе из теплообменника (как и прежде, в разд. 2.1–2.9, сохраним
обозначение T для температуры, взятой по любой из шкал).
В отсутствие потерь теплоты в окружающую среду
Q1 = Q2 ,
поэтому уравнение теплового баланса можно записать так:
G1c p1 (T1′ − T1′′) = G2 c p 2 (T2′′ − T2′ ).
(2.263)
Произведение W = G·ср представляет собой полную
теплоемкость массового расхода жидкости; его называют иногда
314
водяным эквивалентом теплоносителя (в системе единиц,
связанной с изменением теплоты в калориях, величина W численно
равнялась массе воды, имевшей ту же теплоемкость, что и масса
теплоносителя, протекающего через аппарат за 1 ч. В системе
единиц СИ изобарная теплоемкость воздуха ср ≈ 1 кДж/(кг·К),
поэтому W следовало бы назвать “воздушным эквивалентом”, но
этот термин пока не прижился).
Уравнение (2.263) можно представить в виде
T1′ − T1′′ W2
=
,
T2′′ − T2′ W1
(2.264)
т. е. отношение изменений температур теплоносителей обратно
пропорционально отношению их водяных эквивалентов. Такое
утверждение справедливо и для любого малого участка поверхности теплообмена, где
dT1 W2
=
.
dT2 W1
(2.265)
Кроме соотношения W2/W1 на характер изменения температур
Т1 и Т2 влияет схема движения теплоносителей. Если оба
теплоносителя перемещаются вдоль разделяющей их стенки
параллельно друг другу в одном и том же направлении, то говорят о
прямоточном теплообменнике; если же теплоносители движутся
параллельно,
но
в
противоположных
направлениях — о
противоточном. Существуют и более сложные схемы движения, в
частности поперечный ток, характерный для радиаторов
транспортных систем, когда теплоносители движутся во взаимно
перпендикулярных направлениях.
Изобразим ход температурных кривых Т1(F) и Т2(F) (здесь
F — поверхность теплообмена) на графиках. При прямотоке (рис.
161,a) конечная температура холодного теплоносителя всегда
меньше, чем горячего: Т′2 < Т′1 при противотоке (рис. 161,6) вполне
возможно (хотя и не обязательно), что знак неравенства изменится:
Т2" < Т1". Следовательно, при одном и том же значении Т′2
противоточная схема более эффективна, чем прямоточная.
315
Температура одного или обоих теплоносителей может
оставаться неизменной (например, Т1 = const), так бывает, в
частности, если теплоноситель кипит или конденсируется. Ясно,
что при этом направление движения теплоносителей роли не
играет, a W1 → ∞. В транспортной технике подобное встречается
редко, далее полагаем, что W1 ≠ ∞, W2 ≠ ∞.
Уравнения теплового баланса (2.263)–(2.265) необходимы, но
не достаточны для расчета теплообменника, к ним следует добавить
уравнение теплопередачи. На элементе поверхности dF
элементарный тепловой поток
dQ = k∆TdF ,
где k — коэффициент теплопередачи на элементе поверхности dF;
∆T — разность температур теплоносителей (температурный напор)
на том же элементе поверхности. Интегрирование по всей
поверхности F дает
F
Q = ∫ k∆TdF .
0
(2.266)
316
Рис. 161
В уравнении (2.266) в общем случае k = k(F), ∆T = ∆T(F);
применив теорему о среднем, получим уравнение теплопередачи
Q = k ∆T F ,
(2.267)
дополняющее уравнение теплового баланса. Однако значения
k и ∆T в нем пока неизвестны.
Ранее, в разделе 2.3.1, мы определили коэффициент
теплопередачи для пластины, цилиндрической и шаровой
оболочек; в общем случае величину k можно приближенно
рассчитать для оболочки произвольной формы (в том числе
оболочки оребренной), если заданы поверхности теплообмена и
тепловой поток.
317
Пусть участок оболочки, ограниченный адиабатными
сечениями q = 0, имеет внутреннюю поверхность F1 и наружную F2,
~
причем через обе поверхности передается тепловой поток Q = const
(рис. 162). Коэффициенты теплоотдачи α1 и α2 на поверхностях F1 и
F2 постоянны и заданы. Разобьем сечение оболочки изотермами и
выделим в окрестностях одной из них слой средней толщиной δi;
пусть, кроме того, средняя поверхность этого слоя имеет площадь
Fi
Оболочка, вообще говоря, может быть и составной; в этом
случае положим, что теплопроводность материала в i-м слое
постоянна и равна λi
Условие
~
Q = const
Рис. 162
позволяет
записать
уравнения
теплопередачи как для поверхностей оболочки F1 и F2, так, для
любого i-го слоя:
~
Q = α1 Tw1 − T f 1 F1;
(
)
................................
~ λ
Q = i (Ti +1 − Ti −1 )Fi ;
δi
................................
~
Q = α 2 T f 2 − Tw2 F2 .
(
)
318
После суммирования по всем слоям, на которые разбито
сечение, получим
~
Q=
Tf 2 −Tf 1
n δ
1
1
+∑ i +
α1F1 i =1 λ i Fi α1F1
.
(2.268)
Нетрудно заметить, что уравнение (2.268) объединяет все
решения, полученные в разделе 2.3.1 для оболочек канонической
формы.
Коэффициент теплопередачи k для всех оболочек (кроме
пластины, для которой F1 = F2 = F)требуется отнести к некоторой
расчетной поверхности, причем выбор ее обычно произволен. Если,
например, в равенстве (2.268) в качестве расчетной выбрать
поверхность F1, то получим
~
Q=
=
Tf 2 −Tf 1
n δ
1
1
+∑ i +
α1F1 i =1 λ i Fi α 2 F2
=
(
)
1
T f 2 − T f 1 F1 =
n δ
1
F1 1
i
+ F1 ∑
+
α1
λ
F
F2 α 2
i =1 i i
(
)
= k1 T f 2 − T f 1 F1 ,
(2.269)
где
k1 =
1
−
n δ
1
F1 1
i
+ F1 ∑
+
α1
λ
F
F2 α 2
i =1 i i
коэффициент теплопередачи, рассчитанный для поверхности F1.
Если теперь допустить, что поверхность теплообменника со
стороны теплоносителя 1 разбита на m частей, подобных
рассмотренной выше F1, то средний коэффициент теплопередачи
k=
F1(1)k1(1) + F1(2 )k1(2 ) + ... + F1(m )k1(m )
F1(1) + F1(2 ) + ... + F1(m )
(2.270)
319
где F1(1) , F1(2 ) ,..., F1(m ) — участки поверхности, в пределах которых
постоянны теплофизические свойства материалов и коэффициенты
теплопередачи; k1(1) , k1(2 ) ,..., k1(m ) — коэффициенты теплопередачи,
рассчитанные
для
участков
поверхности
F1(1) , F1(2 ) ,..., F1(m )
соответственно.
Нередко полагают k = const, причем величины λ1, α1, α2
определяют для средних температур, а затем при необходимости
уточняют их значения по результатам последующих расчетов.
Перейдем к определению средней разности температур ∆T ,
которую в теории теплообменников называют средним
температурным напором.12
Рассчитаем ∆T для прямоточного теплообменника (рис. 163).
На элементе поверхности dF уравнение теплопередачи (2.267)
примет вид
dQ = k (T1 − T2 )dF = k∆TdF
(2.271)
(смысл обозначений ясен из рисунка).
В общем случае температурный напор — разность
температур двух сред, между которыми происходит теплообмен.
Здесь он назван средним, поскольку осреднен по расчетной
поверхности теплообмена.
12
320
Рис. 163
На этом элементе поверхности горячий теплоноситель
охлаждается на величину dTl, а холодный подогревается на
величину dT2, поэтому уравнение теплового баланса (2.263)
запишем в виде
dQ = −G1c p1dT1 = G2 c p 2 dT2 ,
или, с использованием понятия водяного эквивалента,
dT1 = −
dQ
dQ
; dT2 = −
.
W1
W2
Изменение температурного напора
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ = − mdQ,
dT1 − dT2 = d(T1 − T2 ) = d(∆T ) = −dQ⎜⎜ +
W
W
⎝ 1
2⎠
где
m=
1
1
+
; ∆T = T1 − T2 — температурный
W1 W2
(2.272)
напор
на
элементе поверхности dF.
Подставляя в равенство (2.272) значение dQ из уравнения
(2.271), получим
d(∆T )
= − mkdF .
∆T
При постоянных (или усредненных) значениях m и k
F
d(∆T )
∫ ∆T = − mk ∫ dF ;
0
∆T ′
∆T
ln
∆T
= − mkF ;
∆T ′
∆T = ∆T ′ ⋅ e − mkF ;
(2.273)
(2.274)
где ∆T ′ — разность температур носителей на входе в
теплообменник.
Применив теорему о среднем, получим значение среднего
температурного напора по всей поверхности F:
321
(
)
1F
∆T ′ −mkF
∆T ′ F − mkF
e
d
F
=
e
−1 .
∆T = ∫ ∆TdF =
∫
F0
F 0
− mkF
(2.275)
Подставим в соотношение (2.275) значения –mkF и e −mkF из
равенств (2.273) и (2.274); учтем, кроме того, что на выходе из
теплообменника ∆T = ∆T ′′; тогда
⎛ ∆T ′′ ⎞
− 1⎟
∆T ′⎜
∆T ′ −mkF
∆T ′ ⎠ ∆T ′′ − ∆T ′
⎝
e
=
−1 =
∆T =
=
∆T ′′
∆T ′′
− mkF
ln
ln
∆T ′
∆T ′
∆T ′ − ∆T ′′ (T1′ − T2′ ) − (T1′′− T2′′)
=
.
=
∆T ′′
T1′ − T2′
ln
ln
∆T ′
T1′′− T2′′
(
)
(2.276)
Значение ∆T , определяемое по уравнению (2.276), называют
среднелогарифмическим температурным напором.
Для противоточного теплообменника вывод формул делается
1
1
−
почти так же, но здесь m =
, поэтому
W1 W2
∆T =
(T1′ − T2′′) − (T1′′− T2′ ) .
ln
T1′ − T2′′
T1′′− T2′
(2.277)
Заметим, что в формулах (2.276) и (2.277) разности
температур в скобках относятся к параметрам на входе и выходе из
теплообменника. Если обозначить большую разность температур
через ∆Tmax , а меньшую — через ∆Tmin , то обе формулы можно
объединить:
∆T =
∆Tmax − ∆Tmin
.
∆Tmax
ln
∆Tmin
(2.278)
Кроме того, при ∆Tmin ≤ 0,6∆Tmax с погрешностью не свыше
3 % можно считать, что
∆T ≅
1
(∆Tmax − ∆Tmin ).
2
(2.279)
322
Для теплообменников более сложных схем формулы (2.278) и
(2.279) дают заметные погрешности, требуется вводить поправку:
∆T ∗ = ε ∆T ∆T ,
(2.280)
где ∆T ∗ — расчетное значение среднего температурного напора в
теплообменнике сложной схемы; ε ∆T = f (P, R ) — поправка,
зависящая от параметров
P=
T2′′ − T2′
T1′ − T2′
и R=
T1′ − T1′′
.
T2′′ − T2′
Для аппаратов с поперечным током (рис. 164) график
ε ∆T (P, R ) впервые рассчитал и построил В. Нуссельт; позднее
появились аналогичные графики и для более сложных схем
движения теплоносителей.
Рис. 164
Любой расчет теплообменников основан на решении системы
уравнений (2.263) и (2.268), при этом вид расчета —
конструкторский или поверочный — лишь определяет, какие
величины заданы, а какие требуется рассчитать.
Цель конструкторского расчета — определить поверхность
теплообмена и связанные с ней величины: массу, объем, габариты
теплообменника и т. д.
При конструкторском расчете задают:
любые семь из восьми величин, входящих в уравнение
теплового баланса (2.263), или их комбинации (водяные
323
эквиваленты, тепловой поток и т. д.). Что именно задавать, а что
определять из балансового уравнения, не особенно важно, но
проверять, выполняется ли условие (2.263), следует всегда,
исключений из этого правила не существует!
схему движения теплоносителей, форму поверхности
теплообмена, материалы, из которых будет изготовлен аппарат,
сведения о стандартных профилях, элементах, секциях, которые
будут применены в конструкции. Обычно задают (хотя бы
ориентировочно) скорости движения теплоносителей.
Конструкторский
расчет
выполняют
в
следующей
последовательности:
1) по заданным параметрам уравнения (2.263) определяют
недостающие величины. В результате получают набор значений:
G1 , G2 , T1′, T1′′, T2′ , T2′′ , а также величины теплоемкостей:
T1′′
T2′′
T1′
T2′′
c p1 = c p1 ; c p 2 = c p 2
.
(строго говоря, такой расчет надо вести методом
последовательных приближений, поскольку уравнение (2.263)
вначале решают при c p1 и c p 2 , заданных ориентировочно);
2) рассчитывают ∆T по уравнениям (2.278) или (2.279), а
поправку ε ∆T определяют из графика ε ∆T (P, R ) . При этом
используют сведения о схеме движения теплоносителей;
3) рассчитывают значения k по формуле (2.270) или
принимают k = idem на всех участках поверхности теплообмена. В
расчете используют сведения о форме теплообменной поверхности
и материалах трубок, о скоростях движения теплоносителей,
учитывают также вклад во внутреннее сопротивление стенок,
который вносят эксплуатационные загрязнения;
4) определяют поверхность теплообмена F по формуле
(2.267), уточняют полученное значение по реальным размерам
трубных пучков, панелей, секций и т. д., затем проверяют,
выполняется ли условие (2.267) при значении F, принятом за
расчетное. Если окончательная компоновка не совпадает с
324
исходной, то уточняют значение ε ∆T также все формулы, в которые
входит эта величина;
5) определяют массо-габаритные и другие характеристики
аппарата, необходимые для его конструирования на стадии
эскизного и рабочего проектов.
Цель поверочного расчета — определить температуры
теплоносителей на входе и выходе из теплообменника и расходы
теплоносителей в каждом режиме. Кроме того, иногда приходится
проверять,
соответствуют
ли
параметры
теплоносителей
техническим ограничениям на объект в целом, например, не
переохлажден ли двигатель в холодное время года из-за "слишком
большого"
радиатора.
При
необходимости
параметры
теплообменника меняют: ставят жалюзи, изменяют схему движения
теплоносителей, отключают часть теплообменной поверхности и
т. п.
При поверочном расчете задают:
сведения о конструкции: площадь поверхности теплообмена,
компоновку элементов, материалы, использованные в конструкции,
допускаемое
(или
реально
существующее)
загрязнение
поверхностей и т. д.;
тепловую нагрузку аппарата: или в виде набора величин, при
которых необходимо выполнить расчет, или как непрерывную
характеристику объекта тепловыделения и охлаждающей среды
(воды, воздуха);
значения параметров уравнения (2.263), не подлежащих
корректировке в каждом из указанных выше режимов. Это могут
быть температуры T1′ и T2′ (заданные по тепловому режиму
нагрузки и по температуре окружающей среды), расходы G1 и G2
(определяемые производительностью насосов и вентиляторов) и
т. д. Однако и в этом случае необходимо проверить,
соблюдается ли условие (2.263).
Поверочный расчет теплообменника обычно выполняют в
следующей последовательности:
325
1) рассчитывают значения k для всех режимов, определяя
значения α1, α2, λ, и прочие параметры для температур
T1 = T1′ − ∆T1 , T2 = T2′ − ∆T2 принятых по ориентировочным уровням
∆T1 и ∆T2 (затем при необходимости значение k уточняют, но
делать это приходится редко);
2)
рассчитывают
реальную
тепловую
нагрузку
теплообменника в каждом из режимов, для которых заданы
T1′ и T2′ в следующем порядке:
из уравнений теплового баланса
Q1 = W1 (T1′ − T1′′);
Q2 = W2 (T2′′ − T2′ );
определяют значения T1′′= T1′ −
(2.281)
(2.282)
Q1
Q
; T2′′ = T2′ − 2 .
W1
W2
Если принять, что температуры теплоносителей меняются
вдоль поверхности аппарата F линейно, то
⎛
Q ⎞
Q
⎛ T ′′+ T ′ T ′′ + T ′ ⎞
Q = kF ⎜ 1 1 − 2 2 ⎟ = kF ⎜⎜ T1′ − 1 − T2′ − 2 ⎟⎟,
2 ⎠
W1
W2 ⎠
⎝ 2
⎝
откуда следует, что
⎛ 1
Q
Q
Q
1
1 ⎞
⎟⎟ = T1′ − T2′ ;
+
+
= Q⎜⎜
+
+
kF 2W1 2W2
kF
2
W
2
W
⎝
1
2⎠
Q=
T1′ − T2′
;
1
1
1
+
+
kF 2W1 2W2
(2.283)
3) по полученному в равенстве (2.283) значению Q из
уравнений (2.281) и (2.282) находят значения T1′ и T2′ ;
4) уточняют расчет: поскольку допущение о линейном
характере функций T1(F) и T2(F) является достаточно грубым, им
можно пользоваться лишь для малых ∆Т1 и ∆Т2.
При прямотоке “в конце” поверхности нагрева F, где
∆T = ∆T ′′, формула (2.274) дает
∆T ′′ = ∆T ′ ⋅ exp(− mkF ),
326
но m =
1
1
+
; ∆T ′ = T1′ − T2′ , ∆T ′′ = T1′′− T2′′, поэтому
W1 W2
⎡ ⎛ 1
T1′′− T2′′
1 ⎞ ⎤
⎟⎟kF ⎥ .
= exp ⎢− ⎜⎜ +
T1′ − T2′
W
W
2⎠
⎣ ⎝ 1
⎦
Вычтем обе части уравнения из единицы и преобразуем
результат:
1−
⎡ ⎛ 1
T1′′− T2′′
1 ⎞ ⎤
⎟⎟kF ⎥ ;
= 1 − exp ⎢− ⎜⎜ +
T1′ − T2′
W
W
2⎠
⎣ ⎝ 1
⎦
⎧
⎡ ⎛ 1
1 ⎞ ⎤ ⎫⎪
⎟⎟kF ⎥ ⎬.
+
W
W
2⎠
⎣ ⎝ 1
⎦ ⎪⎭
(T1′ − T1′′) + (T2′′ − T2′ ) = (T1′ − T2′ )⎪⎨1 − exp ⎢− ⎜⎜
⎪⎩
В соответствии с равенством (2.264)
(T2′′ − T2′ ) = (T1′ − T1′′) W1 ,
W2
поэтому
⎡ ⎛ 1
1 ⎞ ⎤
⎟⎟kF ⎥
1 − exp ⎢− ⎜⎜ +
W
W
2⎠
⎣ ⎝ 1
⎦ = (T ′ − T ′ )П.
∆T1 = T1′ − T1′′= T1′ − T2′
1
2
W1
1+
W2
⎛ W kF ⎞
График функции П⎜⎜ 1 , ⎟⎟ представлен на рис. 165.
⎝ W2 W1 ⎠
(2.284)
327
Перепад
аналогично:
температур
Рис. 165.
теплоносителя
∆T2 = (T1′ − T2′ )
W1
П.
W2
2
рассчитывают
(2.285)
По
формулам
(2.284)
и
(2.285)
определяют
T1 = T1 − ∆T1 , T2′′ = T2 − ∆T2 , затем рассчитывают ∆T и Q = QП по
уравнениям (2.278) и (2.267).
При противотоке схема рассуждений аналогична, расчетные
зависимости имеют вид
⎡ ⎛ 1
1 ⎞ ⎤
⎟⎟kF ⎥
1 − exp ⎢− ⎜⎜ +
W
W
2⎠
⎣ ⎝ 1
⎦ = (T ′ − T ′ )Z; (2.286
∆T1 = T1′ − T1′′= T1′ − T2′
1
2
⎡ ⎛ 1
W1
1 ⎞ ⎤
)
⎟⎟kF ⎥
1−
exp ⎢− ⎜⎜ +
W2
⎣ ⎝ W1 W2 ⎠ ⎦
∆T2 = T2′ − T2′′ = (T1′ − T2′ )
W1
Z,
W2
(2.287
)
⎛ W kF ⎞
Z⎜⎜ 1 , ⎟⎟ представлен на рис. 166,
⎝ W2 W1 ⎠
дальнейшая последовательность расчета не меняется, и тепловой
поток Q = QZ вновь рассчитывают по формуле (2.267).
график
функции
Рис. 166.
328
При поперечном токе значения температур занимают
промежуточное значение, можно усреднять их по результатам
расчетов прямо- и противоточных теплообменников либо
довольствоваться одним из полученных выше результатов;
5) сравнивают значения тепловой нагрузки теплообменника
QП (или QZ) с заданной величиной тепловой нагрузки в
проверяемом режиме и делают вывод о соответствии параметров
теплообменника условиям его эксплуатации.
Предложенные
“маршруты”
расчетов
не
являются
единственно возможными или тем более общепринятыми.
В литературе предлагается много вариантов конструкторских
и поверочных расчетов. Поскольку все методики используют
уравнения теплового баланса (2.263) и теплопередачи (2.267),
любой полученный результат должен обеспечивать разрешимость и
совместность системы этих уравнений.
2.11.3. Эффективность теплообменников. Реальные
коэффициенты теплопередачи
При создании и использовании любых технических объектов,
в том числе теплообменников, неизбежно возникает вопрос:
насколько совершенна предложенная конструкция? С той же
неизбежностью появляется и модель “идеального” объекта,
рассматриваемого как предел (обычно недостижимый).
Идеальным считают противоточный теплообменник с
бесконечно большой поверхностью теплообмена (F→∞). Кривые
T1(F) и T2(F) в идеальном теплообменнике можно описать
аналитически, если в уравнения (2.263) и (2.267) подставить
значения ∆T из соотношения (2.278), а затем исследовать, как
выглядят функции T1′′(F ) и T2′′(F ) при F→∞. При этом
dT1′′ dT2′′ d 2T1′′ d 2T2′′
определят как характер
производные
,
,
,
2
2
dF
dF
dF
dF
изменения искомых функций, так и выпуклость или вогнутость на
кривых.
329
Результаты анализа представлены на рис. 167, где исходные
температуры носителей Т1 и Т2, которые от F не зависят,
обозначены кружками.
Рис. 167
При W1 > W2 достигается равенство температур T1′ и T2′′ , а
при W1 < W2 — равенство температур T1′′ и T2′ . При равенстве
водяных эквивалентов (W1 = W2) обе кривые сливаются, что
обеспечивает совместное выполнение условий T1′ = T2′′ , T1′′ = T2′
(заметим, что в этом случае зависимость T1(F) и T2(F) становится
линейной).
Поскольку для любого теплообменника на основании
уравнения (2.264)
Q = W1 (T1′ − T1′′) = W2 (T2′′ − T2′ ),
330
для идеального теплообменника получим
Q ∗ = W2 (T1′ − T2′ ) при W1 > W2 ;
Q ∗ = W1 (T1′ − T2′ ) при W1 < W2 ;
Q ∗ = W (T1′ − T2′ ) при W1 = W2 = W
(здесь Q* — тепловой поток, передаваемый от теплоносителя 1 к
теплоносителю 2 в идеальном теплообменнике).
Эффективность теплообменника
ε=
Q
Q∗
=
W1 (T1′ − T1′′)
W (T ′′ − T ′ )
= 2 2 2 ,
Wmin (T1′ − T2′ ) Wmin (T1′ − T2′ )
(2.288)
где Wmin = min (W1, W2) — наименьшее из значений W1, W2.
На основании такого определения тепловая нагрузка в любом
реальном теплообменнике
Q = εWmin (T1′ − T2′ ) .
(2.289)
Уравнение (2.289) не содержит температур T1′′ и T2′′ , что
удобно при поверочном расчете, когда они заранее не известны.
Для пользования формулой (2.289) надо знать, как зависит значение
ε от схемы теплообменника и от его параметров. Рассмотрим эту
задачу на примере прямоточного теплообменника, для которого на
основании равенств (2.267), (2.272) и (2.289)
Q = kF∆T = kF
(T1′ − T2′ ) − (T1′′− T2′′) = εW (T ′ − T ′ ).
min 1
2
′ ′
ln
T1 − T2
T1′′− T2′′
С учетом того, что на выходе из теплообменника
T1′′− T2′′
= exp(− mkF )
T1′ − T ′
(см. формулу
относительно ε:
(2.274)),
разрешим
последнее
равенство
331
T1′′− T2′′
kF
T1′ − T2′
kF 1 − exp(− mkF )
ε=
=
=
Wmin ln T1′ − T2′ Wmin
mkF
T1′′− T2′′
1−
⎡ ⎛W
W ⎞ kF ⎤
1 − exp ⎢− ⎜⎜ min + min ⎟⎟
⎥
W2 ⎠ Wmin ⎦
kF
⎝ W1
⎣
=
=
Wmin
⎛ Wmin Wmin ⎞ kF
⎟⎟
⎜⎜
+
W
W
⎝ 1
2 ⎠ Wmin
(2.290)
⎡ ⎛W
W ⎞ ⎤
1 − exp ⎢− ⎜⎜ min + min ⎟⎟ N ⎥
W2 ⎠ ⎦
⎣ ⎝ W1
,
=
⎛ Wmin Wmin ⎞
⎟⎟
⎜⎜
+
W
W
⎝ 1
2 ⎠
где
N=
kF
— безразмерная величина; ее иногда называют
Wmin
числом единиц переноса теплоты (в англоязычной литературе
принято обозначение N = NTU от дословного “Number of heat—
Transfer Units”).
Величина N показывает, какой тепловой поток передается
теплоносителю “единичной теплоемкости” (в “старых” системах
единиц — к воде, в системе единиц СИ — к воздуху) при его
расходе в 1 кг/с и температурном напоре в 1 К.
Формула (2.290) имеет два практически важных варианта:
при Wmin = W1 < W2
⎡ ⎛ W ⎞ ⎤
1 − exp ⎢− ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ N1 ⎥
⎣ ⎝ W2 ⎠ ⎦ ;
ε=
W
1+ 1
W2
при Wmin = W2 < W1
⎡ ⎛ W ⎞ ⎤
1 − exp ⎢− ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ N 2 ⎥
⎣ ⎝ W1 ⎠ ⎦
ε=
W
1+ 2
W1
(здесь N1 =
kF
kF
; N2 =
).
W1
W2
332
Используя
окончательно
обозначения
Wmax = max (W1, W2),
⎡ ⎛ W ⎞ ⎤
1 − exp ⎢− ⎜⎜1 + min ⎟⎟ N ⎥
⎣ ⎝ Wmax ⎠ ⎦ .
ε=
W
1 + min
Wmax
получим
(2.291)
График функции (2.291) представлен на рис. 168; для более
сложных схем движения теплоносителей зависимости ε(N)
приводятся в справочной литературе.
Рис. 168.
Метод расчета по характеристикам ε и N даёт особых
преимуществ перед использованием формул (2.263) и (2.267),
однако позволяет заранее оценить эффективность теплообменника
е в зависимости от расходов и теплофизических свойств
теплоносителей и показывает, насколько совершенный аппарат мы
рассчитываем и конструируем.
В сущности, оба метода почти равноценны и даже позволяют
использовать один и тот же справочный материал. Покажем это на
примере теплообменника с поперечным током. Пусть его
поверхность равна F+, тогда поверхность прямо точного
теплообменника, передающего тот же тепловой поток Q,
определится из соотношения
333
F
NWmin / k
N
=
=
,
F+ N +Wmin / k N +
где N + =
kF+
(мы, по сути дела, допустили, что величина k
Wmin
одинакова для обоих теплообменников).
С другой стороны, тепловой поток можно рассчитать по
формулам (2.267) и (2.280); для теплообменника с поперечным
током
Q = kF∆T ∗ = kF+ ∆T ε ∆T (P, R ),
а для прямоточного теплообменника
Q = kF∆T .
Отсюда
N
F
=
= ε ∆T (P, R ).
N + F+
Из определения функций Р и R, сделанного ранее, следует:
при Wmin = W2
ε = P,
при Wmin = W1 ε =
W2 Wmin
=
= R;
W1 Wmax
W
W2
W2 Wmin
P = max P;
=
= R.
Wmin
W1 Wmax
W1
Таким образом, графики на рис. 164 и 168 дают одинаковые
результаты.
Отметим в заключение, что многочисленные и хорошо
продуманные конструкции теплообменников принципиально не
позволяют сделать средний коэффициент теплопередачи k намного
большим, чем минимальный из коэффициентов теплоотдачи α1, α2
принятых в расчете. Причины этого обсуждались в разделе 2.3.3,
однако и для теплообменников в целом эти выводы остаются
справедливыми.
Ориентировочно оценить порядок величин k и α помогут
данные таблицы 5.
334
Таблица 5
Средние коэффициенты теплопередачи k, Вт/(м2·К), в
теплообменниках
К газу,
К жидкости,
свободная вынужденная свободная вынужденная
конвекция, конвекция, конвекция, конвекция,
α = 5…15 α = 10…100 α = 50…104 α = 500…104
Вт/(м2·К)
Тепловой
поток
От газа
(свободная
конвекция,
1…2
3…10
10…45
α = 5…15
Вт/(м2·К))
От газа
(вынужденная
конвекция,
10…30
10…15
α = 10…100
Вт/(м2·К))
От жидкости
(свободная
конвекция,
25…500
500…1500
50…250
200…2500
α = 50…10
4
Вт/(м2·К))
От жидкости
(вынужденная
конвекция,
5…15
10…50
α = 500…104
Вт/(м2·К))
2.11.4. Гидравлический расчет теплообменников
335
В рекуперативных теплообменниках почти всегда происходит
достаточно сложное движение теплоносителей. Как известно,
скорость движения жидкости относительно поверхности во многом
определяет характер конвективного теплообмена и, следовательно,
влияет на коэффициент теплопередачи k. В связи с этим
естественно
желание
конструктора
увеличить
расходы
теплоносителей G1, и G2.
Однако одновременно с увеличением скорости и расхода
возрастает энергия, затрачиваемая на привод насосов и
вентиляторов, увеличиваются потери давления, теплообменник
становится шумным и т. д.
Чтобы правильно выбрать режимы движения теплоносителей,
следует провести гидравлический расчет теплообменника.
Основы такого расчета излагают в курсах “Гидравлика” и
“Механика жидкости и газа”; целевая функция имеет вид
∆p = ∆p(w ),
(2.292)
где ∆р — потеря давления теплоносителя при его движении в
теплообменнике;
w — средняя
скорость
теплоносителя
G
( w = , G — массовый расход теплоносителя, ρ — его плотность
ρf
f — проходное сечение, через которое прокачивают теплоноситель).
Уравнение (2.292) выполняется при w = const, но в
теплообменниках скорость потока на различных участках меняется,
поэтому суммарная потеря давления
n
∆pΣ = ∑ ∆pi (wi ) ,
(2.293)
i =1
где
∆pi , wi — потеря давления и скорость на i-м участке
теплообменника, условно разбитого на n расчетных участков с
постоянными wi .
На вид зависимостей (2.292) и (2.293) влияет изменение
температуры теплоносителей; свой вклад могут вносить свободная
конвекция и другие факторы. В справочниках задают ∆p и ∆pΣ
336
либо в указанной выше размерной форме, либо в виде уравнений
подобия
⎞
⎛
σ
Eu = f ⎜⎜ Re, 1 ,... ⎟⎟ ,
σ2 ⎠
⎝
где Eu =
∆p
ρw 2
(2.294)
— число Эйлера, характеризующее безразмерный
перепад давлений на расчетном участке;
Re =
w dn
— число
ν
4f
; Ω — периметр
Ω
сечения потока (“смоченный периметр”); σ1 , σ 2 — безразмерный
Рейнольдса для гидравлического диаметра d n =
шаг труб по фронту и глубине пучка (если в конструкции есть
трубные пучки).
В число аргументов числа Эйлера могут входить и другие
геометрические характеристики, представленные в безразмерной
форме.
Затраты энергии на прокачку теплоносителя рассчитывают по
формуле
∆E =
G∆pΣ
,
ρ
(2.295)
где ρ — средняя плотность теплоносителя (у газов она может
отличаться от значений плотности на входе и выходе из аппарата,
для капельных жидкостей плотность практически постоянна).
В задании на расчет теплообменника ограничивают либо ∆E ,
либо ∆pΣ , но обе эти величины “появляются” только после
компоновки и определения размеров (включая f , Ω и т. д.), поэтому
гидравлический расчет проводят как поверочный, а затем при
необходимости уточняют компоновку методом последовательных
приближений.
Конструктивные элементы теплообменников транспортных
систем, их тепловой и гидравлический расчет рассматриваются в
специальных курсах, однако общие принципы и порядок расчета
сохраняются такими, как описано выше.
337
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая
термодинамика. М.: Энергия, 1980. 446 с.
2. Беляев Н.М. Термодинамика. Клев.: Выща шк., 1987. 343 с.
3. Андрющенко А.И. Основы технической термодинамики
реальных процессов. М.: Высш. шк, 1975. 264 с.
4. Теоретические основы тепло- и хладотехники: Учеб.
пособие / Под общ. ред. Э.И. Туйго. В 2 ч. Ч. I. Техническая
термодинамика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. 281 с.
5.
Китанин
Э.Л.,
Сапожников
С.З.
Техническая
термодинамика: Учеб. пособие /СПбГТУ. СПб., 1993. 93 с.
6. Термодинамика. Терминология. Вып. 85. М.: Наука, 1973.
55с.
7. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача.
М.: Энергия, 1983. 440 с.
8. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.:
Энергия, 1977. 344 с.
9.Галин Н.М., Кириллов П.Л. Тепломассообмен (в ядерной
энергетике). М.: Энергоатомиздат, 1987. 376 с.
10. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи /Пер. с англ. М.:
Мир, 1983.512с.
11. Теоретические основы тепло- и хладотехники: Учеб. пособие /Под общ. ред. Э.И. Туйго. В 2 ч. Ч. II. Теплообмен. Л.: Изд-во
Ленингр. ун-та, 1976. 223 с.
12. Теория теплообмена. Терминология. Вып. 83. М.: Наука,
1971. 81 с.
13. Основы теории подобия и моделирования. Терминология.
Вып. 88. М.: Наука, 1973. 23 с.