МЕТОДЫ ПОДОБИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
И.Е. ИВАНОВ, В.Е. ЕРЕЩЕНКО
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
И.Е. ИВАНОВ, В.Е. ЕРЕЩЕНКО
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Утверждено
в качестве учебного пособия
редсоветом МАДИ
МОСКВА
МАДИ
2015
УДК 624.15
ББК 38.58
И203
Рецензенты:
канд. техн. наук, ст. науч. сотр. 462 ВП МО РФ В.В. Соломай;
д-р техн. наук, проф. МАДИ С.Н. Богданов
Иванов, И.Е.
И203
Методы подобия физических процессов: учеб. пособие /
И.Е. Иванов, В.Е. Ерещенко. – М.: МАДИ, 2015. – 144 с.
ISBN 978-5-7962-0198-5
В данном учебном пособии рассмотрены общие положения теории подобия, термодинамическое подобие, подобие тепловых процессов и процессов массообмена. Значительная часть пособия посвящена
подобию процессов и аппроксимации характеристик компрессоров,
вентиляторов, жидкостных лопаточных насосов и газовых турбин.
Предложен разработанный метод аппроксимации характеристик компрессоров – метод эллипса и универсальный метод аппроксимации характеристик турбин. В работе дано много примеров расчета и подобного перестроения характеристик, определения характеристик подобных
компрессоров, отличающихся условиями применения и размерностью.
Даны рекомендации по применению аппроксимирующих уравнений для
расчета характеристик комбинированных двигателей.
Учебное пособие написано в соответствии с программой учебной дисциплины «Методы подобия физических процессов» и предназначено для магистров, обучающихся по направлению подготовки
13.04.03 «Энергетическое машиностроение».
Пособие может быть использовано также бакалаврами, обучающимися по направлению подготовки 13.03.03 «Энергетическое
машиностроение» и аспирантами.
УДК 624.15
ББК 38.58
ISBN 978-5-7962-0198-5
© МАДИ, 2015
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория подобия – метод научных исследований, учение о подобных процессах (явлениях) в природе и технике. Подобные процессы происходят в подобных геометрических и временных условиях,
имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми
по форме и по существу уравнениями.
Подобными реальным процессам и объектам являются их математические модели (точнее, модели их состояния или функционирования), представляющие собой систему математических соотношений, описывающих связи между параметрами, или функциональные
зависимости между ними в заданных условиях, определяющих в результате расчёта значения этих параметров. Понятно, что никакая
модель не может полностью соответствовать описываемому объекту,
и задачей исследователя является выбор разумного компромисса
между точностью модели, для чего её приходится усложнять, и простотой расчёта искомых параметров или функций.
С появлением ЭВМ стало возможным существенно усложнять
применяемые модели и получать достаточно надежные результаты,
заменяя тем самым физический эксперимент на машине или стенде
математическим. Конечно, расчётные исследования с помощью математических моделей никогда не смогут полностью заменить экспериментальные исследования реальных объектов. Эти исследования остаются необходимыми для выборочной оценки точности математических моделей, для получения или уточнения закладываемых в них исходных параметров, эмпирических и полуэмпирических зависимостей.
При изучении природы явлений, состояния равновесия и движения рабочего тела в технических объектах и самих объектов вводится
ряд понятий, например, энергия, скорость, напряжение и т.п., которые
характеризуют рассматриваемое явление и могут быть заданы и определены с помощью чисел. Эти понятия называют величиной, а
численное выражение значением величины.
Задачи исследования состояний равновесия и движения формулируются как задачи об определении некоторых функций и численных
4
значений величин, характеризующих явление, причём при решении
таких задач законы природы и различные геометрические соотношения представляются в виде функциональных уравнений – обычно
дифференциальных. Эти уравнения решаются с помощью различных
математических операций. Однако исследование не всегда возможно
осуществлять путём математических рассуждений и вычислений. В
ряде случаев решение задач встречается с непреодолимыми математическими трудностями. Иногда вообще нет математической постановки задачи, так как исследуемое механическое явление настолько
сложно, что для него пока ещё нет удовлетворительной схемы и нет
уравнений движения. С этим встречаются при решении многих очень
важных задач в области авиамеханики, гидромеханики, в проблемах
изучения прочности и деформаций различных конструкций и т.п. В
этих случаях главную роль играют экспериментальные методы исследования, которые дают возможность установить простейшие опытные
факты. Вообще всякое изучение явлений природы начинается с установления простейших опытных фактов, на основе которых можно
формулировать законы, управляющие исследуемым явлением, и записывать их в виде некоторых математических соотношений.
Для правильной постановки и обработки экспериментов, результаты которых позволяли бы установить общие закономерности и могли
бы быть приложенными к случаям, в которых эксперимент не производился непосредственно, необходимо вникать в сущность изучаемого
вопроса, давать общий качественный анализ и величины, характеризующие процесс, представлять в безразмерной форме. В постановке
опытов и вообще для практики очень важно правильно выбрать безразмерные параметры, число которых должно быть минимальным.
Возможность такого предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров даёт теория размерности и подобия. Она может быть приложена к рассмотрению весьма сложных явлений и значительно облегчает обработку экспериментов.
5
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
1.1. Размерные и безразмерные величины
Величины, численные значения которых зависят от принятых
масштабов, т.е. от системы единиц измерения, называются размерными или именованными величинами. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или отвлеченными величинами.
Длина, время, сила, энергия, момент силы и т.д. могут служить примерами размерных величин. Углы, отношение двух длин, отношение
квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и т.п.
– примерами безразмерных величин.
Однако подразделение величин на размерные и безразмерные
является в некоторой степени условным. Так, например, угол был назван безразмерной величиной. Но известно, что углы можно измерять
в радианах, в градусах, в долях прямого угла, т.е. в различных единицах. Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора
единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную. При определении угла как отношения стягивающей
его дуги окружности к радиусу, что означает однозначное определение единицы измерения – радиан, угол можно рассматривать как безразмерную величину. Точно так же, если для длины ввести единую
фиксированную единицу измерения во всех системах единиц измерения, то после этого длину можно считать безразмерной величиной. Но
фиксирование единицы измерения для углов удобно, а для длин неудобно. Это объясняется тем, что для геометрически подобных фигур
соответствующие углы одинаковы, а соответствующие длины неодинаковы, и поэтому в разных случаях удобно выбирать за основную
длину разные расстояния.
1.2. Основные и производные единицы измерения
Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому если некоторые из этих величин
6
принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называют основными или первичными, а все остальные – производными
или вторичными.
На практике достаточно установить единицы измерения для
трех величин, каких именно – зависит от конкретных условий той или
иной задачи. Так, в физических исследованиях удобно за основные
единицы измерения принять длину, время и массу, а в технике – длину, время и силу. За основные единицы измерения можно взять и другие единицы, например, скорость, вязкость, плотность или какие-либо
другие сочетания единиц.
До 1963 года в нашей стране использовались физическая и техническая системы измерения. В физической системе за основные единицы измерения приняты сантиметр, грамм-масса и секунда (отсюда
сокращенное название – система единиц CGS), а в технической системе – метр, килограмм-сила и секунда (сокращенное название – MKS).
С 1 января 1963 года государственным стандартом СССР (ГОСТ
9867 – 61) введена единая Международная система единиц СИ (SI –
System International). Постановлением Государственного комитета
СССР по стандартам от 25 июня 1979 года № 2242 система СИ с 1 января 1980 года введена стандартом СЭВ 1052 – 78 в действие в качестве государственного стандарта СССР в народном хозяйстве и в договорно-правовых отношениях по сотрудничеству стран-членов СЭВ.
В системе СИ за основные механические единицы измерения
приняты метр, килограмм-масса и секунда; за единицы термодинамической температуры – кельвин, количества вещества – моль; силы тока – ампер; силы света – кандела.
Моль – количество вещества, содержащее столько структурных элементов (молекул, атомов, ионов), сколько их содержится в 12 г изотопа углерода С12 .
Ампер равен неизменяющемуся току, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечно
7
малой длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 10 7 .
Кандела равна силе света в заданном направлении источника,
испускающего монохроматическое излучение частотой 540 1012 Гц,
электрическая сила света которого в этом направлении равна
1 В
.
683 ср
За единицу массы принята масса международного прототипа килограмма – эталона, сделанного из платиноиридиевого сплава
и хранящегося во французской Палате мер и весов в Париже.
За единицу длины принят метр, установленный на XI Генеральной конференции по мерам и весам (ГКМВ, Париж,1960 г.) как
длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d8 атома криптона –
88 (до 1960 г. за один метр принималась длина эталона из платиноиридиевого сплава).
За единицу времени на XIII ГКМВ (1967 г.) принята секунда,
равная 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния
атома цезия – 133 (ранее за одну секунду принималась 1/(24·3600)
доля средних солнечных суток).
Первичные размерные величины определяют путём прямого измерения. Другие размерные величины выражают через размерность
первичных величин, например, скорость (м/с), сила (Н = кг·м/с2), работа (теплота) (Дж = Н·м = кг·м2/с2).
1.3. Условия подобия
Теория подобия основывается на том очевидном факте, что явления в природе и технике не могут зависеть от выбора единиц измерения и их размерности. Поэтому первым этапом использования теории подобия является описание изучаемых явлений в безразмерной
8
форме путём перехода от размерных переменных (T , w, , c,
и т.д.)
к безразмерным величинам, к которым относятся относительные параметры, константы подобия, критерии подобия.
Относительные параметры и показатели представляют в виде
отношения одноразмерных величин, например:
x
,
L
X
T
,
T0
T
ge
,
ge0
Ne
, ge
Ne0
Ne
Me
Me
и т.д.
Me0
К условиям, определяющим подобие процессов, относятся геометрическое и временное подобия, которые характеризуются относительными параметрами, называемыми константами подобия (константами подобного преобразования).
Геометрические фигуры подобны, если они имеют одинаковую
форму, их сходственные стороны пропорциональны, а сходственные
углы равны. Для двух геометрически подобных фигур (Х') и (Х") можно
записать:
X1
X1
X3
X3
X2
X2
Xi
Xi
kL ,
где X i , X i – координаты сходственных точек или сходственные отрезки; kL – константа геометрического подобия.
у
а)
d2
у1
1
d1
а)
х
x1
б)
d2
d1
1
хар
П
у
у1
1
1
x1
б)
хар
П
х
Рис. 1.1. Геометрическое подобие
труб (а) и (б)
и сходственные точки 1 и 1' в них
1
1
Рис. 1.2. Временное подобие
процессов (а) и (б) и сходственные
моменты времени и ' измерения
параметра П
9
Геометрическое подобие, например, двух труб (рис. 1.1) соблюдается при постоянном отношении всех сходственных размеров, равном константе линейного подобия:
d1
d1
d2
d2
kL .
Точки 1 и 1' в пространстве этих труб будут сходственными точками при одинаковом отношении координат этих точек, равном константе линейного подобия:
x1
x1
y1
y1
kL или
x1
y1
x1
y1
kL .
В нестационарных процессах должно быть временное подобие,
их необходимо рассматривать в сходственные моменты времени, которые
имеют
общее
начало
отсчёта
и
связаны
равенством
idem, где k – константа временного подобия. Например, в
k
двух волновых процессах (а) и (б) изменения параметра П (рис. 1.2)
моменты времени будут сходственными, если
хар
(б);
1
хар
1
хар
k , где
хар
и
– характерное время изменения параметра П в процессах (а) и
1
и
1
– время измерения параметра П в этих процессах.
Понятие подобия применимо для процессов движения среды –
кинематическое подобие или подобие полей скорости, для процессов
переноса теплоты – тепловое подобие или подобие температурных
полей и тепловых потоков и т.п.
Подобные процессы должны иметь физическое подобие – однородные параметры процессов в сходственных точках и в сходственные моменты времени должны быть связаны между собой константами подобного преобразования.
Вместе с тем существуют более сложные безразмерные комплексы, включающие три и более размерные величины. Эти безразмерные комплексы не выбирают произвольно, а получают непосредственно из уравнений, описывающих рассматриваемые процессы.
10
1.4. Суть теории подобия
Суть теории подобия заключается в следующем. Из размерных
физических параметров, характеризующих исследуемый процесс, образуют безразмерные комплексы – критерии подобия. Число критериев подобия в соответствии с так называемой -теоремой должно
быть равно разности числа физических параметров n и числа первичных размерностей к (кг, м, с, К и др.), входящих в эти параметры:
n к.
По результатам эксперимента в определенных условиях при изменении какого-либо из физических параметров вычисляют значения
безразмерных комплексов и находят зависимость определяемого критерия подобия, в который входит искомая физическая величина от
других (определяющих) критериев подобия. Эта зависимость называется критериальным уравнением. Устанавливаются также пределы
изменения определяющих критериев подобия, при которых справедливо полученное критериальное уравнение. Используя это уравнение,
можно вычислить значение искомой величины без постановки эксперимента во множестве других, но подобных процессах, отличающихся
численными значениями физических параметров.
Основная идея теории подобия состоит в том, что из обширного
класса однородных с физической точки зрения процессов, описываемых одной и той же системой дифференциальных уравнений, выбирают более узкую группу таких процессов, в пределах которой возможно распространение результатов единичных экспериментов. Процессы этой группы называются подобными между собой.
Обычно для выделения из класса процессов какого-либо конкретного основная система дифференциальных уравнений дополняется условиями однозначности, в которые входят сведения о геометрических признаках интересующего нас объекта, о физических параметрах вещества, участвующего в процессах, о процессах, предшествующих рассматриваемому, и о процессах, происходящих на границах
объекта.
Критерии подобия образуют как из основных уравнений, описывающих весь класс процессов, так и из уравнений, характеризующих
11
условия однозначности. Равенство всех других безразмерных комплексов является следствием подобия, т.е. равенства критериев, вытекающих из условий однозначности, – определяющих критериев
подобия.
При постановке экспериментов методом физического моделирования необходимо добиваться равенства в модели и образце именно
определяющих критериев подобия. В качестве величин, изменяющихся при эксперименте, следует брать величины, входящие в определяющие критерии подобия, а обработку опытных данных вести в
функции от этих критериев.
Рассмотренные положения отражаются в основных теоремах
теории подобия.
1.5. Основные теоремы теории подобия
Первая теорема (Ньютона – Бертрана). В подобных процессах критерии подобия численно равны.
Вторая теорема (Федермана – Букингема). Если физическое
явление описывается системой дифференциальных уравнений, то
всегда существует возможность представления их в виде уравнений в критериях подобия, образованных из размерных физических
параметров, входящих в дифференциальные уравнения и условия
однозначности.
Третья теорема (Кирпичева – Гухмана). Подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и критерии подобия, составленные из условий однозначности, численно равны.
Теория подобия лежит в основе организации, проведения эксперимента и обработки его результатов.
В соответствии с первой теоремой при проведении эксперимента необходимо измерять параметры, входящие в критерии подобия.
Из второй теоремы следует, что результаты экспериментов необходимо обрабатывать в критериях подобия с определением критериального уравнения и пределов его применения.
По третьей теореме полученные критериальные уравнения
можно распространять на процессы, в которых подобны условия однозначности и определяющие критерии подобия численно равны.
12
2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
Параметры состояния термодинамической равновесной системы
связаны между собой зависимостью, называемой уравнением состояния. В термодинамике пользуются уравнениями состояния, полученными из опыта или найденными методами статистической физики. Применительно к газообразным термомеханическим системам
уравнение состояния можно представить в виде функциональной зависимости: F ( p, v, T ) 0.
Это уравнение дает возможность выразить каждый из параметров состояния как функцию двух других:
p
p(v, T );
v
T
v ( p, T );
T (v, p).
Параметры состояния не зависят от истории системы в математическом смысле, это означает, что они являются функциями точки.
Дифференциал такой функции есть полный дифференциал. Если
z( x, y ) – функция точки, то
z
z
x
dz
z
y
dx
y
dy ,
(2.1)
x
где индексы y и x частных производных указывают, какая переменная
при дифференцировании сохраняется постоянной.
При z
dx
dy
x
y
const полный дифференциал dz
0 и отношение
.
z
Тогда в соответствии с (2.1)
x
y
z
y
z
x
z
x
или
z
x
y
x
y
z
y
z
1.
x
y
Таким образом, для функциональной зависимости p
p
v
T
v
T
p
T
p
1.
v
p(v, T )
13
Это дифференциальное уравнение состояния представляет собой связь между частными производными, имеющими физический
смысл термодинамических характеристик рабочего тела.
Перепишем последнее уравнение в виде
v
T
v
p
p
p
T
T
v
и обозначим:
1
v
v
T
1
v
1
p
– коэффициент термического расширения;
p
v
p
p
T
T
– коэффициент изотермической сжимаемости;
T
– коэффициент термической упругости.
v
С учётом введённых обозначений
T
(2.2)
p.
Полученный результат не зависит от конкретной связи между
параметрами состояния и, следовательно, имеет общий характер.
Определим выражения коэффициентов, входящих в уравнение
(2.2) для идеального газа.
Коэффициент термического расширения
1
v
R
или
pv
.
p
v
T
RT
p
Для идеального газа v
Тогда
v
T
p
R
.
p
1
.
T
Коэффициент изотермической сжимаемости
Так как v
RT
, то
p
v
p
T
RT
и
p2
T
1
v
v
p
T
1
.
p
Знак «–» отражает физический смысл: с увеличением давления
удельный объём и коэффициент сжимаемости уменьшаются.
14
Коэффициент термической упругости
T
p
p
Tp
1
.
T
Согласно современным представлениям для 1 кг рабочего тела
уравнение состояния имеет вид
pv
(2.3)
Z,
RT
где R – удельная (индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кг·K);
Z – безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом сжимаемости.
В общем случае коэффициент сжимаемости является сложной
функцией температуры и плотности (или давления) и может быть
представлен в форме разложения в бесконечный ряд по степеням
плотности
Z
1 B
C2
D3
...,
(2.4)
где B, C, D … – так называемые вириальные коэффициенты, которые
учитывают взаимодействия между двумя, тремя и т.д. молекулами,
обусловленные силами их взаимного притяжения и отталкивания.
z
N2
1,2
1,0
0,8
CH4
20
40
60 p МПа
CO 2
T=373,15 K
0,6
Рис. 2.1. Зависимость коэффициента сжимаемости газов от давления
Несмотря на принципиальную возможность теоретического расчёта, вириальные коэффициенты определяют экспериментально.
15
На рис. 2.1 в качестве примера показано, как изменяются значения коэффициента сжимаемости в зависимости от давления для трех
веществ: азота, метана и диоксида углерода.
Эти экспериментальные кривые получены при одинаковой температуре Т
373,15 K. Видно, что при p → 0 коэффициент сжимаемости Z → 1. Стремление коэффициента сжимаемости к единице при
приближении давления к нулю свойственно всем веществам.
Зависимость коэффициента сжимаемости азота от давления при
различных температурах представлена на рис. 2.2.
Z 2.0
50 С
0 С
1.8
100 С
1.6
300 С
1.4
1.2
1.0
0.8
0
20
40
60
80
100
p, МПа
Рис. 2.2. Зависимость коэффициента сжимаемости азота
от давления при различных температурах
Для идеального газа Z 1 при любых давлениях и температуре
уравнение состояния для него имеет вид:
pv
RT или p
RT .
(2.5)
Уравнение состояния идеального газа применимо для реальных
газов при сравнительно малых их плотностях. Если это условие не
соблюдается, то возникает проблема учёта конечного объёма молекул и межмолекулярных сил.
Простое уравнение состояния для неидеальных газов было
предложено в 1873 году Ван-дер-Ваальсом:
p
a
v2
v
b
RT
(2.6)
16
или
RT
a
(2.7)
.
v b v2
Уравнение (2.6) отличается от уравнения (2.5) наличием двух
p
a
учитывает уменьшение давления, обусловv2
ленное взаимным притяжением молекул. Силы взаимного притяжения
создают в тонком слое вблизи стенки сосуда равнодействующую, направленную внутрь газового объёма. Поправка b учитывает конечный
объём молекул и силы отталкивания, возникающие между ними.
Численные значения a, b и R в уравнении Ван-дер-Ваальса подсчитывают по критическим параметрам: температуре Tк , давлению pк
поправок. Поправка
и удельному объёму v к , которые определяются экспериментально.
Точность экспериментального определения критических параметров
неодинакова. Критические температура и давление определяются более точно, чем критический объём.
Значения критических параметров для некоторых газов приве-
pкv к
, которые показываRTк
дены в табл. 2.1. Там же даны значения Zк
ют, насколько свойства реальных газов в критическом состоянии отличаются от свойств идеального газа.
Таблица 2.1
Критические параметры газов
Газ
pк ,
МПа
Tк , К
H2O
N2
О2
Н2
СH4
СО
СО2
Воздух
22,060
3,400
5,043
1,320
4,493
3,500
7,383
3,7
647,10
126,20
154,58
32,20
190,65
132,90
304,20
132,46
3,060
3,194
2,300
33,500
6,173
3,325
2,136
853
0,229
0,290
0,290
0,320
0,375
0,295
0,274
–
3
v к 10 ,
м3/кг
Zк
В критической точке выполняются условия
v
p
2
0;
Tк
v
p2
0.
Tк
17
Запишем уравнение (2.7) Ван-дер-Ваальса для критической точки и возьмём его первую и вторую производные по давлению:
RTк
vк b
pк
2a
v к3
a
,
v к2
RTк
vк
2RTк
vк
b
2
b
6a
v к4
3
(2.8)
0,
(2.9)
0.
(2.10)
Определим значения a и b, решая совместно уравнения
(2.8…2.10).
Из уравнения 2.10
RTкv к4
a
3 vк
b
3
.
(2.11)
Подставив выражение а в уравнение (2.9) и решая его относительно b, получим
b
vк
.
3
(2.12)
После подстановки в (2.11) выражений b (2.12) и RTк из уравнения (2.8) получим
a
3 pкvк2.
(2.13)
Из уравнения (2.8) после подстановки выражений а и b
R
8 pкv к
.
3 Tк
(2.14)
Из полученных выражений следует:
a
27 R 2Tк2
; b
64 pк
RTк
; Zк
8 pк
pкvк
RTк
0,375.
(2.15)
Сравнивая значение Zк , полученное по уравнению Ван-дерВаальса, с экспериментальными значениями этого коэффициента для
реальных газов (см. табл. 2.1), замечаем их существенное различие.
Это говорит о том, что уравнение Ван-дер-Ваальса описывает свойства реальных веществ лишь качественно и для точных расчётов в широком интервале изменения параметров не пригодно.
18
Подставим соотношения (2.12…2.14) в уравнение (2.6):
p
3v к2 pк
v2
Разделим это уравнение на
3p
pкv к
vк
3
v
9v к
v2
8 pкv к
T.
3 Tк
pкv к
:
3
v
vк
3
T
.
Tк
8
Разделив в левой части первый сомножитель на
3
, а второй
vк
умножив на него, получим уравнение в безразмерном виде:
3
2
где
объём;
3
1
p
– приведенное давление;
pк
(2.16)
8,
v
– приведённый удельный
vк
T
– приведенная температура.
Tк
Уравнение (2.16) не содержит констант, зависящих от природы
конкретного вещества, и, следовательно, в принципе может быть использовано для обобщения экспериментальных данных и исследования свойств малоизученных веществ.
Из уравнения Ван-дер-Ваальса можно определить коэффициент
сжимаемости для различных газов.
1
Разделив уравнение (2.7) на RT , с учётом v
, после преобразований получим
Z
1 b
1
a
RT
.
Первое слагаемое правой части этого уравнения разложим в ряд
Тейлора по степеням и приведем подобные члены, тогда
Z
1
b
a
RT
b2
2
b3
3
...
(2.17)
В этом выражении сомножители b, стоящие перед плотностями,
являются вириальными коэффициентами B, C, D …
19
Сформулированный Ван-дер-Ваальсом закон соответственных
состояний звучит так: если два сравниваемых газа имеют два одинаковых приведенных параметра, то у них одинаков и третий. Газы, подчиняющиеся этому закону, называют термодинамически подобными.
Для таких газов по уравнению (2.16) можно построить единую
-
диаграмму и с её помощью определять недостающие параметры малоизученных газов, если для них опытным путем найдены параметры
критической точки.
Z
1,2
5,0
1,1
7,0
10,0
15,0
1,0
Z
3,5
1,1
2,5
2,0
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
1,8
1,6
3,0
2,0
1,6
1,4
1,2
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
Vr 0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,2
0
0,3
0,25
Vr 0,2
1,0
1,5
1,4
1,3
1,2
1,15
1,1
1,05
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Рис. 2.3. Z-диаграмма для области газа
Так как теоретический закон соответственных состояний Вандер-Ваальса выполняется лишь приближенно, то для повышения точности определения недостающего параметра методом термодинамического подобия было предложено строить общие
-диаграммы для
групп веществ, имеющих близкие значения Zк . Практически оказалось, что метод термодинамического подобия даёт более точные результаты при использовании
Z-диаграммы, построенной на основе
экспериментальных данных (рис. 2.3).
20
Она представляет собой серию безразмерных изотерм (линий
= const), пересекаемых так называемыми изохорами идеального
приведенного объёма, который подсчитывается по выражению
pкv
(2.18)
vr
.
RTк
Этот параметр позволяет отказаться от использования величины vк, которая экспериментально определяется наименее точно.
Рассмотрим порядок пользования диаграммой Z. Допустим, что
для некоторого малоизученного вещества известны критические параметры pк, Тк и требуется найти его удельный объём при заданных
значениях p и T. В этом случае после подсчёта и на линии =
= const находят соответствующую точку, и на оси ординат определяют
отвечающее ей значение Z. Удельный объём теперь можно найти по
уравнению (2.3). Если вместо p и T заданы p и v или v и T, то при поиске недостающего параметра после подсчёта величины v r надо
пользоваться изохорами идеального приведенного объёма.
Очевидно, что Z-диаграмма может быть использована и для
оценочных расчётов с веществами, для которых существуют подробные таблицы термодинамических свойств.
Задача 2.1. Определить коэффициент сжимаемости Z при условиях, указанных в табл. 2.2, по уравнению Ван-дер-Ваальса (2.17) и с
помощью Z-диаграммы. Результаты расчёта представить графически. Результаты вариантов 1, 4, 7 сопоставить с графическими зависимостями на рис. 2.1.
Таблица 2.2
Варианты условий задач
Параметры
p, МПа
T, K
10
Параметры
p, МПа
T, K
Для диоксида углерода СО2
№ варианта
1
2
20
30
40
10
20
30
40
373
473
4
10
20
30
373
Для метана СО4
№ варианта
5
40
10
20
30
40
473
3
10
20
30
573
40
6
10
20
30
573
40
21
Продолжение табл. 2.2
Параметры
Для азота N2
№ варианта
8
40
10
20
30
40
473
7
p, МПа
T, K
10
20
30
373
9
10
20
30
573
40
Задача 2.2. Определить приведённую температуру, при которой
в выражении (2.17) вириальный коэффициент B становится равным
нулю.
Решение.
Из условия В = 0 после подстановки выражений (2.11…2.13) получим
B
Отсюда
Tк
T
8
и
27
a
RT
b
T
Tк
9pкv к2Tк
8pкv кT
vк
3
27
8
0.
3,375.
Так как численное значение коэффициента сжимаемости по результатам расчётов получается в достаточной степени точным при
вычислении только по двум первым слагаемым разложения, то можно
заключить, что при
3,375 коэффициент Z 1 и реальный газ по
своим свойствам близок к идеальному.
Задача 2.3. В сосуде ёмкостью V
T
(
320 K содержится масса M
44 кг/кмоль; pк
CO2
0,25 м3 при температуре
26,824 кг диоксида углерода СО2
7,38 МПа; Tк
304 K). В этих условиях дав-
ление, определенное экспериментально, p
5 МПа. Проверить рас-
чётом абсолютное давление по уравнению состояния идеального газа
и с помощью Z-диаграммы.
Решение.
По уравнению состояния идеального газа
p
где R
R
CO2
RT
v
8314
44
188,95 320
9,32 10 3
6,49 106 Па
188,88 Дж/(кг K);
6,49 МПа,
22
v
V
M
0,25
26,824
9,32 10
3
м3 /кг.
Полученное значение p примерно на 30% превышает результат
эксперимента.
Для определения давления с помощью Z-диаграммы предварительно подсчитаем значения идеального приведенного объёма v r и
приведенной температуры :
vr
pкv
RTк
7,38 106 9,32 10
188,95 304
T
Tк
На
320
304
3
1,197. Принимаем v r
1,053. Принимаем
1,05.
Z-диаграмме находим точку пересечения изохоры v r
1,2 м3/кг и безразмерной температуры
ствует
1,2.
0,67. Тогда p
pк
0,67..7,38
1,05. Этой точке соответ-
4,97 МПа. Полученный
результат отличается от экспериментального на 0,6%.
Задача 2.4. В баллоне ёмкостью V 10 л находится 0,511 кг метана CH4 при манометрическом давлении pман 100 кгс/см2 и температуре t
100 °C. Атмосферное давление pатм
0,1 МПа. Определить
манометрическое давление в баллоне, если в нём при той же температуре будет находиться такая же масса: а) диоксида углерода СО2;
б) азота N2 ; в) кислорода О2 ; г) водорода N2 ; д) оксида углерода СО.
Задачу решить:
а) для идеального газа;
б) для реального газа по уравнению Ван-дер-Ваальса в безразмерных приведенных параметрах;
в) для реального газа с применением Z-диаграммы.
Для примера решим задачу для диоксида углерода СО2.
а) Для идеального газа.
Плотность газа
M
0,511
51,1 кг/м3.
3
V 10 10
Индивидуальная газовая постоянная
23
R
8314
8314
44
CO2
189 Дж/(кг·K).
Абсолютное давление
p
RT 51,1 189 373
3,6 МПа.
Манометрическое давление
pман p pатм 3,6 0,1 3,5 МПа.
б) Для реального газа по уравнению в безразмерных приведенных параметрах (2.16), полученному после преобразования уравнения
Ван-дер-Ваальса.
8
3
Из уравнения (2.16)
.
2
3 1
Приведённая температура
v
vк
Приведённый объём
где v
1
T
Tк
373
304
0,0196
2,136 10
3
1,23.
9,18,
1
0,0196 м3/кг;
51,1
8 1,23
3
0,335.
3 9,18 1 9,182
Абсолютное давление
p
pк 0,335 7,383
2,47 МПа.
Манометрическое давление
pман p pатм 2,47 0,1 2,37 МПа.
По уравнению (2.17), в котором Z представлен в виде разложения в ряд по степеням плотности:
Z
1
a
RT
b
Коэффициент a
3 pкvк2
Коэффициент b
vк
3
Z
1
0,00712
0,0007123 51,13
b2
2
b3
3
...
3 7,383 106 0,0021362
0,002136
3
101
189 304,2
101.
0,000712.
51,1 0,0007122 51,12
1 0,0536 0,0013 0,000048
0,948.
24
При вычислении численного значения Z достаточно учитывать
два первых слагаемых.
Абсолютное давление
p
Z RT
3,4 МПа.
0,948 51,1 189 373
Манометрическое давление
pман
p pатм
3,4 0,1 3,3 МПа.
в) Для реального газа с применением Z-диаграммы.
T
Tк
Приведённая температура
Идеальный приведённый объём v r
По Z-диаграмме при
1,96 и v r
373
304,2
1,96.
pкv
RTк
7,383 0,0196
189 304,2
2,5 : Z
2,5.
0,98.
Абсолютное давление
p
Z RT
0,98 51,1 189 373
3,53 МПа.
Манометрическое давление
pман
p pатм
3,53 0,1 3,43 МПа.
Из анализа результатов решения задач с реальным газом можно
сделать вывод, что наиболее точные результаты получаются при
применении
Z-диаграммы. Полученный для СО2 результат более
близок к результату по уравнению для идеального газа, которым
обычно пользуются при решении задач.
3. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА
3.1. Подобие процессов теплообмена
Критерии подобия можно получить двумя методами:
 из рассмотрения дифференциальных уравнений подобных процессов при условии, что в подобных процессах все однородные
величины (т.е. имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность) связаны между собой константами подобия;
 на основании качественно-теоретического анализа процесса и
анализа размерностей.
25
3.1.1. Подобие стационарных процессов теплообмена
Наиболее широко теория подобия применяется при расчёте
процессов теплоотдачи, описываемых системой дифференциальных
уравнений, в которую входят уравнение связи коэффициента конвективной теплоотдачи с градиентом температуры в пограничном слое;
уравнение теплопроводности в движущейся среде; уравнения движения среды (уравнение Навье-Стокса для капельной жидкости) по осям
координат x, y, z; уравнение неразрывности (сплошности):
tf
,
n
f
tf
Dtf
a
d
Dw x
d
Dw y
d
Dw z
d
wx
x
В этой системе
tw
2
tf ,
gx
gy
gz
wy
y
p
x
p
y
p
z
wz
z
2
wx,
(3.1)
2
w y,
2
w z,
0.
Dt x Dw x Dw y Dw z
– субстанциональные про,
,
,
d
d
d
d
изводные.
Например,
Dtf
d
tf
tf
x
wx
wy
tf
y
wz
tf
– субстанциональz
ная производная температуры по времени, последние три слагаемых
характеризуют изменение температуры за счёт конвективной составляющей переноса теплоты по осям координат при соответствующих
скоростях потока.
В правой части уравнения теплопроводности и в последнем слагаемом уравнений движения 2 – оператор Лапласа, представляющий собой сумму вторых производных величины по осям координат.
2
Например,
2
tf
tf
x2
2
tf
y2
2
tf
.
z2
26
Система уравнений (3.1) имеет множество решений. Для конкретизации решения задают условия однозначности: геометрические,
физические, начальные, граничные.
Решение системы этих уравнений практически невозможно, поэтому их применяют вместе с условиями однозначности для образования критериев подобия.
При любых условиях определяемым критерием теплового подобия является критерий Нуссельта, в который входит искомый коэффициент конвективной теплоотдачи
. Этот критерий образуется из
рассмотрения первого уравнения приведенной системы для двух процессов.
В процессе а:
tf
.
n
f
tf
В процессе б:
tw
tf
.
n
f
tf
tw
Для физического подобия необходимо, чтобы все однородные
величины были связаны между собой константами подобного преобразования:
f
k ;
k;
f
k
;
f
f
k
t
t
t
t
; tf
tw
t
t
tf
kt ;
tw
kt
;
n
n
n
n
tf
;
kt
tf
kn , откуда
n
n
.
kn
Тогда для процесса б
kt
f
k
k
Если комплекс
tf
k kn
k
tw
kn tf
;
kt n
f
tf
tw
t f k kn
.
n k
1, то уравнение процесса б совпадает с
уравнением процесса а.
При
получим
k kn
k
n
n
1 после подстановки выражений констант подобия
1 или
n
n
.
27
Безразмерный комплекс
n
Nu – критерий подобия Нуссельта.
Характерным линейным размером вместо n может быть любой
другой линейный размер, например, длина
, диаметр трубы d, или
для канала некруглого сечения эквивалентный диаметр dэ
4A
, где
П
А – площадь сечения канала, П – периметр.
Тогда
Nu
; Nu
d
; Nu
dэ
(3.2)
.
Nu характеризует соотношение между теплообменом конвекцией и теплопроводностью.
Определяющие критерии подобия, составленные из условий однозначности, выделяют из этого общего класса процессов, описанных
дифференциальными уравнениями системы (3.1), более узкие группы
подобных процессов, например, при свободной или вынужденной конвекции.
Теплоотдача при свободной конвекции зависит от интенсивности
свободного движения среды при нагревании и от совокупности её теплофизических параметров. С учётом этого выразим соответствующие определяющие критерии подобия, применив вначале метод качественно-теоретического анализа процесса и анализа размерностей.
Свободное движение среды при нагревании осуществляется
вследствие уменьшения её плотности и соответственно увеличения
объёма. Следовательно, интенсивность движения среды зависит от
коэффициента объёмного (температурного) расширения
разности температур
1
С
и от
t тела и среды. Встречному движению холод-
ной (более плотной) среды способствует ускорение силы тяжести g
(м/с2), а с увеличением вязкости среды, оцениваемой коэффициентом
кинематической
(м2/с) или динамической
(Па·с) вязкости, интен-
сивность движения уменьшается. Для учёта геометрических параметров тела в критерий подобия достаточно ввести какой-либо один ха-
28
рактерный линейный размер L (м), поскольку в геометрически подобных телах отношение всех сходственных размеров к принятому характерному размеру одинаково.
Таким образом, на основании выполненного анализа можно
сформировать комплекс определяющих параметров, характеризуюL
щих интенсивность свободного движения среды: g t .
м 1
м с 1
С
.
2
с
С
м2
с
Данный комплекс не является безразмерным. Для приведения
его к безразмерному виду необходимо, чтобы коэффициент
был в
Совокупность размерностей этих величин
квадрате, а линейный размер – в кубе. Тогда комплекс g
t
L3
2
Gr
будет являться критерием подобия Грасгофа. Этот критерий характеризует соотношение между подъёмной силой, вызванной разностью
плотностей неодинаково нагретых масс, и силами вязкости.
К параметрам, определяющим свойства среды, относятся коэффициент теплопроводности
Дж
кг К
сти
м2
с
2
К
, плотность
Вт
мК
кг м
,
с3 К
теплоёмкость с
кг
, коэффициент кинематической вязком3
м2
.
с
Из этих параметров можно сформировать безразмерный комс
плекс
– коэффициент температуроPr , в котором a
а
c
проводности, определяющий, на какой площади происходит изменение температуры в единицу времени, м2/с.
Этот комплекс называется критерием подобия Прандтля, характеризующим связь между полями температур и скоростей в потоке среды.
Равенство рассмотренных определяющих критериев подобия
является необходимым, но недостаточным условием подобия в процессах при свободной конвекции. Существенным в этих процессах яв-
29
ляется также подобие формы и расположения тел, нагревающих среду. Критериальное уравнение, полученное из эксперимента, например, при свободной конвекции от горизонтально расположенной трубы, не может быть применимо для теплоотдачи при вертикально расположенной трубы или от отопительной батареи.
В критериях подобия Gr и Pr в качестве характерного размера
может быть принят любой линейный размер так же, как и в критерии
Нуссельта, в зависимости от формы тела.
При вынужденной конвекции теплоотдача зависит от режима
движения среды, который может быть ламинарным без турбулизации
среды и турбулентным с турбулизацией, усиливающейся при росте
скорости w и уменьшении вязкости среды . С учётом линейного размера критерий подобия, характеризующий режим движения среды и
называемый критерием подобия Рейнольдса, представляется в виде
wd wd
Re
.
Критерий подобия Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и вязкости. При Re ≤ 2300 режим движения среды ламинарный, в котором силы вязкости преобладают над силами
инерции, при Re ≥ 104 режим движения турбулентный, в котором силы
инерции преобладают над силами вязкости. При 2300 < Re < 104 режим движения среды переходный от ламинарного к турбулентному.
Образуем теперь определяющие критерии подобия из рассмотрения дифференциальных уравнений.
Гидродинамические условия потока описываются уравнениями
движения, входящими в систему (3.1).
Для стационарного одномерного потока по оси x
wx
0 при
развернутых субстанциональной производной и операторе Лапласа
wx
wx
x
g
p
x
2
wx
.
x2
(3.3)
Пусть уравнением (3.3) описывается движение потока в одном
из двух процессов. В уравнении движения во втором процессе параметры обозначим со штрихом:
30
wx
x
wx
2
p
x
g
wx
.
x2
(3.4)
Для подобия рассматриваемых процессов отношения одноименных величин в сходственных точках должны быть одинаковыми, т.е.
x
x
k ;
wx
wx
k;
kw ;
p
p
k;
kp;
g
g
kg .
Используя полученные константы подобного преобразования,
выразим переменные второго процесса через переменные первого.
Например,
x k x; w x kww;
k и т.д.
Подставляя эти выражения в уравнение (3.4) и группируя одноименные множители подобного преобразования, получим
k kw2
k
wx
wx
x
kp
kg k g
k
p
x
k kw
k2
2
wx
.
x2
(3.5)
Для тождественности уравнений (3.3) и (3.4) необходимо, чтобы
комплексы, составленные из констант подобного преобразования, сократились, т.е. чтобы эти комплексы были равны:
k kw2
k
kg k
kp
k kw
k
k2
.
(3.6)
(а)
(б) (в)
(г)
Таким образом, для гидродинамически подобных потоков комплексы констант подобного преобразования не могут выбираться произвольно, а должны находиться из равенства выражений (3.6). Рассмотрим эти равенства попарно. Из равенства комплексов (а) и (б) получим k kw2
kg k k или kw2
kg k .
После подстановки выражений констант подобного преобразо-
w
вания
w2
2
g
g
, или
g
w2
g
w
2
idem.
Полученный безразмерный комплекс, одинаковый для рассматриваемых потоков, назван критерием Фруда:
g
w2
Fr .
(3.7)
31
При его получении сопоставлялись левая часть уравнения движения, отображающая силу инерции, и первое слагаемое правой части, отображающее силу тяжести. Соответственно критерий подобия
Фруда характеризует соотношение сил инерции и тяжести при вынужденном движении среды.
Рассматривая равенства (а) и (в) уравнения (3.6), получим
Тогда
w
w2
Комплекс
2
k kw2
kp
k
k
или k kw2
p
p
или
w2
p
p
w
2
kp.
.
p
назван критерием Эйлера:
w2
p
w2
(3.8)
Eu.
Критерий Эйлера можно получить и из рассмотрения уравнения
энергии в «механической» форме.
В соответствии с этим уравнением при движении газа в канале с
увеличением скорости его давление уменьшается:
p
w2
2
.
Изменение скорости определяет также изменение падения давления, вызванное трением частиц. Подставив в уравнение энергии
вместо p падение давления p, перейдем к уравнению Бернулли:
p
w2
2
,
из которого определяется понижение давления
p при движении газа
в канале с увеличением скорости.
Подставив в уравнение масштабные константы подобия, получим:
k p ( p)
k
k
2
w
k
(w 2 )
или p 2
k kw
2
Для подобных процессов
( p)
(w 2 )
.
2
32
kp
1.
k kw2
Соответствующий комплекс размерных параметров дает безразмерную величину – критерий подобия Эйлера:
p
Eu
idem.
w2
Критерий подобия характеризует соотношение сил инерции и
давления при вынужденном движении среды.
Рассматривая равенства (а) и (г) уравнения (3.6), имеем:
k kw2
k kw
k
k2
или
k kw k
k
.
После замены констант подобия их выражениями
w
w
Комплекс
w
;
w
и равный ему
w
w
w
idem.
назван критерием Рейнольдса:
w
(3.9)
Re.
Ранее этот критерий был получен методом качественно-теоретического анализа процесса и анализа размерностей.
Критерии подобия можно видоизменять, рассматривая их совместно в целях приведения к виду, наиболее удобному для описания
конкретных задач. Так, при исследовании движения, вызванного различной плотностью отдельных частиц среды без перемещения всего
её объёма внешним источником движения, скорость потока не может
быть измерена, и поэтому критерии Fr и Re не могут быть определены. В этом случае удобнее их так скомпоновать, чтобы выделить новый критерий, в который входила бы разность плотностей отдельных
частиц (слоев) среды, являющаяся причиной движения, а скорость потока была бы исключена. Для этого произведения Fr и Re2 умножим на
относительную разность плотностей потока
0
0
ности различных частиц (слоев) среды:
, где
и
0
– плот-
33
Fr Re 2
0
0
g w2 2
2
w2
3
g
0
0
.
2
0
0
Полученный безразмерный комплекс называют критерием Архимеда:
3
g
Ar
0
.
2
(3.10)
0
Критерий Архимеда определяет интенсивность движения среды
при разности её плотности и характеризует отношение подъёмной силы, вызванной разностью плотности среды, и силы её вязкости.
Если разность плотностей различных слоёв среды определяется
разностью температур t , как это бывает при теплообмене в условиях
естественной (свободной) конвекции, то следует относительную разность плотностей выразить через разность температур.
Для ньютоновских жидкостей (газы и маловязкие капельные жид-
w
, где
n
кости) справедливо уравнение Ньютона
– касательное
напряжение (напряжение трения) на границе между соседними слоями
среды;
– коэффициент динамической вязкости;
w
– производная
n
скорости по нормали к поверхности трения. Для этих жидкостей плотность можно считать линейной функцией от температуры:
0
где
0
1
t
t0
,
– плотность при некоторой фиксированной температуре t0 ;
–
коэффициент объёмного расширения.
Из этого выражения следует
0
t.
0
Подставляя это выражение в уравнение (3.10), получим критерий Грасгофа:
3
Gr
g
t
2
.
(3.11)
Критерий Gr характеризует соотношение сил инерции и тяжести
(подъёмной силы) в условиях отсутствия вынужденного движения
34
среды и удобен для описания свободного движения (естественной
конвекции).
3.1.2. Подобие нестационарных процессов теплопроводности
Одномерное нестационарное температурное поле в твердом теле без внутренних источников теплоты описывается уравнением
2
t
a
t
.
x2
(3.12)
Выразим константы подобия соответствующих величин, входящих в это уравнение, для процессов (а) и (б):
kt
tб
, k
tа
б
xб
, ka
xа
, kL
а
aб
.
aа
Подставив полученные константы подобия в уравнение с параметрами процесса (а), перейдём к уравнению для процесса (б):
kt ta
k a
При
k ka
kL2
kaaa
kt 2ta
или
kL2 xa2
2
ta
aa
a
t a k ka
.
xa2 kL2
1 процессы (а) и (б) будут подобными.
Безразмерный комплекс
a
L2
(3.13)
idem.
a
есть критерий подобия Фурье, обозначаемый Fо,
L2
который связывает скорость распространения теплоты с теплофизическими параметрами и размерами твердого тела и определяет условие, из которого определяются сходственные моменты времени при
нестационарных тепловых процессах.
Критерий Фурье является также критерием подобия для нестационарного процесса теплопроводности в движущейся среде, в уравнение которого в отличие от уравнения для твердого тела входит кон-
Комплекс
вективная составляющая. Для одномерного потока
t
t
w f
x
2
a
tf
.
x2
(3.14)
35
Подставив в уравнение соответствующие константы подобия,
получим
kt
k
tf
2
ka kt
tf
a
.
k2
x2
kw k t
t
w f
k
x
В подобных процессах комплексы констант подобия равны:
kt kw kt kakt
(3.15)
.
k
k
k2
(а) (б)
(в)
Из равенства комплексов (а) и (в) соотношений (3.15)
kt kakt
, или kak k 2, следует что
2
k
k
2
a
a
Из равенства (б) и (в)
2
, или
kw kt
k
a
a
2
( )
2
kakt
, или kw k
k2
Fо.
ka, следует что
w
w
w
a
idem.
, или
a
a
a
w
Этот комплекс назван критерием Пекле:
w
(3.16)
Pe.
a
Критерий характеризует соотношение конвективного и молекулярного переноса теплоты в потоке среды.
Для перехода к однозначному критерию, применимому как при
вынужденной, так и при свободной конвекции, необходимо из выражения критерия Пекле исключить скорость потока w как величины,
вошедшей в другие критерии подобия, например, в критерий Re.
Pe w
.
Re
a w
a
Как уже известно, полученный безразмерный комплекс назван
критерием Прандтля:
c
c
(3.17)
Pr .
a
Для этого разделим Pe на Re:
36
Критерий Pr, содержащий только теплофизические параметры,
характеризует влияние теплофизических свойств среды на конвективный теплообмен.
В некоторых задачах конвективного теплообмена используется
комплексный критерий Стентона:
St
Nu
RePr
cw
.
(3.18)
3.2. Подобие процессов массообмена
Процесс теплообмена может сопровождаться переносом массы,
т.е. массообменном, или диффузией. Диффузия представляет собой
перенос вещества (компонента смеси) из области с большей его концентрацией в область с меньшей концентрацией. Диффузию одного
компонента в окружающей среде, возникающей при градиенте его
концентраций (градиентная концентрация), называют бинарной.
Уравнение Чепмена – Коллинга для градиентной изотермической диффузии в сплошных средах:
с
mс
D
Nс
,
y N
(3.19)
где mс – плотность массового потока компонента «с» в направлении
y, кг/кмоль;
с
,
смеси, кг/кмоль;
– молярная масса диффундирующего компонента и
– плотность смеси, кг/м3; D – коэффициент молеку-
лярной диффузии компонента в среде, м2/с; Nc , N – числа киломолей
компонента, смеси.
Плотность массового потока mс – векторная величина. Знак минус означает, что поток массы направлен из области больших концентраций компонента в область меньших его концентраций.
Уравнение Фика:
mс
D
с
y
где gс – массовая доля компонента.
D
gс
,
y
(3.20)
37
Это уравнение, записанное в скалярной форме, соответствует
уравнению (3.19) и оно аналогично уравнению Био–Фурье, если вместо величин mс , D, c подставить соответственно q, , Т.
Коэффициент диффузии D есть масса компонента, переносимая в единицу времени через единичную площадь поверхности при
единичном градиенте концентрации. В противоположность переносу
теплоты диффузия имеет наибольшую интенсивность в газах и наименьшую – в твердых телах.
Коэффициент молекулярной диффузии газов увеличивается с
ростом температуры и уменьшается с ростом давления:
D
T
D0
T0
n
p0
,
p
(3.21)
где D0 – коэффициент диффузии при температуре T0 и давлении p0
окружающей среды; n – показатель степени, n 1,5
2,0.
Тройная аналогия. Из кинетической теории газов следует, что
коэффициент теплопроводности
связан с коэффициентом молекулярной диффузии D (при близких по величине молярных массах компонентов и среды) соотношением
(3.22)
cv
cv D.
Или av
D, где av
cv
;
– коэффициент кинематической
вязкости.
Критерии подобия диффузионных процессов и их сопоставление
с критериями тепловых процессов представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Критерии подобия тепломассообмена
Символ и формула критерия
Nuм
Nu
L
;
D
L
f
Наименование
Безразмерный коэффициент массоотдачи
(теплоотдачи):
диффузионное число
Нуссельта,
тепловое число
Нуссельта
Физический смысл
Характеризует интенсивность
массообмена (теплообмена)
за счёт конвекции
38
Продолжение табл. 3.1
Символ и формула критерия
Sc
D
;
cp
Pr
ap
Le
Le
f
D
;
a
Pr
Prм
w
L
;
D
Pe
w
L
a
D
Fо
w
Stм
St
L2
2
L
;
w
a
cp w
Физический смысл
Диффузионное число
Шмидта,
Характеризует подобие скоростных и массовых (температурных)
полей. При
ap D поля скоро-
тепловое число
Прандтля
Число
Льюиса-Семенова
Peм
Fом
Наименование
;
Критерий массового (теплового) подобия: диффузионное число Пекле,
тепловое число
Пекле
Критерий массовой (тепловой) гомохронности:
диффузионное число
Фурье,
тепловое число
Фурье
Критерий конвективного
переноса вещества
(теплоты):
диффузионное число
Стентона,
тепловое число
Стентона
стей, температур и концентраций
подобны
Характеризует подобие безразмерных концентраций и соответственно полей температур
Характеризует соотношение
конвективного и молекулярного
переносов вещества (теплоты)
в потоке
Характеризует связь между физическими свойствами, размером
тела и скоростью изменения в нем
полей концентрации (температур)
Характеризует соотношение между скоростью переноса вещества
(теплоты) и линейной скоростью
потока
3.3. Вид критериальных уравнений диффузионных и
тепловых процессов
Для установившихся наиболее характерных процессов переноса
вещества и теплоты критериальные уравнения представляют в виде
степенных зависимостей:
 для свободной конвекции
Nuм
c1Gr m1Sc n1; Nu
c2Gr m2 Pr n2 ;
(3.23)
c4Rem4 Pr n4 .
(3.24)
 для вынужденной конвекции
Nuм
c3Rem3Sc n3 ; Nu
39
Диффузионное число Шмидта Sc
D
> Pr и для жидкостей его
значения могут достигать 103 и более.
4. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
КОМПРЕССОРОВ, ВЕНТИЛЯТОРОВ И ЖИДКОСТНЫХ
ЛОПАТОЧНЫХ НАСОСОВ
В составе агрегатов наддува двигателей компрессоры могут
иметь различное применение и работать в различных климатических
условиях, что влияет на их характеристики. При разработке перспективных двигателей выдвигается требование создания двигателей типоразмерного ряда с разным уровнем форсирования, в связи с чем
возникает необходимость в создании соответствующего типоразмерного ряда подобных лопаточных машин турбокомпрессоров.
При высокой степени форсирования большая степень повышения давления обеспечивается применением двухступенчатого наддува. В этом случае на частичных скоростных и нагрузочных режимах
параметры воздуха на входе в компрессор второй ступени изменяются и его характеристики деформируются. В составе типоразмерного
ряда вторая ступень может использоваться в качестве первой ступени
для наддува двигателя с меньшим рабочим объёмом цилиндров, при
этом расход воздуха через компрессор и частота вращения его рабочего колеса уменьшаются. Характеристики компрессоров меняются и
при изменении температуры и давления окружающей среды, и при
работе в условиях высокогорья. Естественно экспериментальное определение влияния всех этих условий на характеристики компрессоров невозможно, это достигается расчётным методом с применением
теории подобия.
4.1. Критерии подобия, безразмерные параметры
и показатели компрессоров
Для компрессора (центробежного или осевого), который при установившемся режиме подаёт термодинамически и калорически со-
40
вершенный газ (R, cv , cp
const), возможен следующий перечень не-
зависимых характерных размерных параметров:
 параметр, определяющий линейные размеры компрессора:
r2 – наружный радиус рабочего колеса, м;
 параметр, определяющий режим работы компрессора:
– угловая скорость вращения рабочего колеса, 1/с;
 граничные условия:
p1 – давление адиабатно заторможенного газа, Па или кг/(м·с2);
T1 – температура адиабатно заторможенного газа, K;
 параметр, зависящий от конструкции рабочего колеса (направления лопаток – радиальное, с изгибом по или против направления вращения рабочего колеса, от зазора между колесом и корпусом компрессора, других конструктивных и технологических
факторов):
p2 – давление газа на выходе, Па или кг/(м·с2);
 теплофизические параметры сжимаемого газа:
cv – удельная теплоёмкость газа при V const, Дж/(кг·K) или
м2/(с2·K);
R – газовая постоянная, Дж/(кг·K) или м2/(с2·K);
– коэффициент динамической вязкости, Па·с или кг/(с·м).
Все восемь выделенных параметров выражены через четыре
первичные единицы измерения (м, кг, с, К), поэтому в соответствии с
– теоремой теории подобия из них можно образовать П = 8 – 4 = 4
безразмерных критериев подобия, например:
p2
 отношение давлений (степень повышения давления) k
;
p1
 число Маха по окружной скорости u, M
 показатель адиабаты k
 число Рейнольдса Re
cp
cv
ur
1
cv
R
cv
;
r 2 p1
.
RT1
u
c
r
;
kRT
41
Все процессы геометрически подобных компрессоров при равных значениях перечисленных критериев подобны, в том смысле, что
у них равны все безразмерные относительные параметры в соответp T
ствующих точках ( ,
и т.д., где индексом i обозначены статичеpi Ti
ские или заторможенные параметры в произвольной i-й точке газового
тракта при рассматриваемом режиме, в частности, i = 1 или i = 2, т.е.
параметры на входе в компрессор или на выходе из него), равны также и все безразмерные показатели, например, КПД k , безразмерные
расход Gбезр, , удельная работа
безр
, крутящий момент Мбезр, мощ-
ность Nбезр и любые другие комбинации безразмерных параметров и
показателей, включая и критерии подобия.
Для приведения показателей к безразмерному виду удобно использовать их обычные размерные выражения, например, для расхода газа уравнение G c A, где с – абсолютная скорость газа.
Для образования безразмерного комплекса можно любой параметр, входящий в уравнение, заменить его выражением через другие
p
параметры, например,
; или заменить другой одноразмерной
RT
пропорциональной величиной, в данном случае площадь геометрически подобных компрессоров пропорциональна квадрату радиуса,
A ~ r 2; абсолютную скорость с можно заменить окружной скоростью
u
r или скоростью звука cзв
kRT ~ kRT , имеющими ту же
размерность; в безразмерный комплекс можно вставлять или удалять
любые безразмерные величины, например, показатель адиабаты k,
( kRT1 ~ RT1 ), а также численные значения.
С учётом отмеченного образуем безразмерные показатели компрессора.
Безразмерный расход.
При исходном размерном уравнении расхода G c A после
подстановки выражения плотности
p
получим G
RT
c
p
A. Тогда
RT
42
Gбезр
GRT GRT GkRT G kRT G kRT1
~
~
~
~
cpA
cpr 2 cзв pr 2
pr 2
p1 r22
(4.1)
Gc Gu G
~
~
.
pr 2 pr 2 pr
В этих выражениях с – абсолютная скорость газа; сзв – скорость
звука.
Любой из этих выражений может быть применён в качестве безразмерного расхода. Обычно применяют в виде
G kRT1
.
p1 r22
Gбезр
(4.1а)
Для конкретного компрессора, сжимающего определённый газ
(например, воздух), из безразмерного комплекса расхода могут быть
исключены неизменные величины k, R и наружный радиус рабочего
колеса r 2 . Полученный комплекс расхода будет размерным, но условно сохраним индекс «безр», и, обозначив его Gбезр. пр, назовём
«приведённым безразмерным комплексом расхода» Gбезр. пр
G T1
.
p1
Безразмерная удельная работа.
Исходное размерное уравнение удельной работы
k
k 1
RT (
k 1
k
k
безр
1). Отсюда
RT
(4.2)
.
N
Из выражения крутящего момента M
По уравнению количества движения M
входе газа в компрессор c1u
0иM
c2u r2
c2uu2
где
M
.
G
c1ur1). При осевом
G
G(c2ur2
следует
Gc2u r2. Тогда
c2u 2
u2
u2
u22,
c2u
– коэффициент мощности компрессора. С учётом этого
u2
при безразмерной величине
43
(4.3)
.
u2 r 2 2
Безразмерный крутящий момент.
Крутящий момент есть произведение силы pA на радиус r:
безр
M
pAr ~ pr 3. Отсюда
Mбезр
M
pr 3
N
pr 3
G
.
pr 3
(4.4)
Безразмерная мощность.
Из уравнения мощности N
G следует
N
N
G
.
3
pr 3
G pr
Безразмерная окружная скорость.
u
r
uбезр
M.
c1
kRT1
(4.5)
Nбезр
(4.6)
Отметим, что принятое название числа Маха М условно, т.к. скорость звука
c1
c1
kRT1
заменена на одноразмерную величину
kRT1 , которая определена по заторможенной температуре на
входе в компрессор, а окружная скорость u – на внешнем радиусе рабочего колеса.
Число характерных параметров зависит от особенностей процесса. Если, скажем, компрессор охлаждают, то в число характерных
параметров необходимо внести ещё два параметра: коэффициент теплопроводности охлаждающей среды , Вт/(м·K) или кг·м/(с3·K), и
температуру охлаждающей среды Tохл, соответственно добавить два
критерия подобия:
Tохл
и число Прандля Pr
T1
cp
.
В практике исследований компрессоров приведённую систему
четырёх критериев подобия сокращают до двух, предполагая независимость от температуры показателя адиабаты k 1,4 и слабое влияние, только на КПД, обычно большого числа Рейнольдса (Re ≥ 105).
Тогда универсальные статические характеристики геометрически подобных компрессоров могут быть представлены на одном графике в
44
виде зависимостей их безразмерных показателей, обычно степени
повышения давления
к
и КПД
, , от двух независимых переменных:
к
G kRT1
p1 r 2
безразмерного расхода Gбезр
r
значениях числа Маха M
при различных постоянных
(рис. 4.1). При замене угловой ско-
kRT1
рости
пропорциональной ей частотой вращения ( n
30
числа Маха М может быть безразмерная частота вращения
r
nбезр n
.
30 kRT1
) вместо
(4.7)
Для определенного компрессора, сжимающего воздух, опускают
известные неизменные величины k, R, r и используют размерные независимые переменные Gбезр. пр
G T1
и nбезр. пр
p1
n
или чаще при-
T1
ведённые к нормальным условиям на входе размерные приведённый
расход
Gпр
G
p0 T1
p1 T0
(4.8)
и приведённую частоту вращения
nпр
n
T0
,
T1
(4.9)
принимая обычно нормальные технические условия
p0
1кгс / см2
101,32 кПа, T0
Кроме безразмерных ( к ,
к
288 К ( t0
15 ºC).
, Gбезр, nбезр ~ M ) и приведенных
( Gпр, nпр ) показателей, часто применяют безразмерные относительные показатели и параметры, равные их отношению к расчётным (на
G
к
к
расчётном режиме компрессора): к
, G
,
, к
G
к расч
расч
к расч
n
n
nрасч
и т.д.
45
Поскольку
к
и
– безразмерные показатели, то перестроение
к
характеристики с безразмерным расходом в характеристику с размерным физическим, с размерным приведенным, с относительным расходами, а также построение характеристики для любого другого геометрически подобного компрессора с другими начальными параметрами и с другим рабочим телом сводится просто к изменению масштаба по оси абсцисс.
4.2. Подобное перестроение характеристик компрессоров
Подобное перестроение характеристик компрессора рассмотрим
на примере второй ступени компрессора газотурбинного двигателя с
двухступенчатым сжатием воздуха. Её безразмерная характеристика,
представленная на рис. 4.1, построена по экспериментальным данным, полученным при параметрах окружающего воздуха на входе в
первую ступень Bt 760 мм рт.ст., t 30 ºС.
Безразмерный расход определен по параметрам воздуха на
входе во вторую ступень, полученным при совместной работе с подобной первой ступенью на номинальном (расчётном) режиме:
kRT12
Gбезр
p12 rк22
,
где p12 , T12 – параметры воздуха на входе во вторую ступень; rк2 – наружный радиус колеса ступени, rк2
0,125 м.
Зависимости степени повышения давления
к2
и КПД
к2
от
Gбезр даны при различных относительных частотах вращения рабочего колеса n
n
nпр
nбезр
nрасч
nпр. расч
nбезр. расч
.
Параметры на расчётном режиме: Gбезр
повышения давления
к
10;
к
0,3; суммарная степень
38540 мин–1.
0,87; nк
При условии подобия первой и второй ступеней компрессора по
исходной характеристике (см. рис. 4.1) построить характеристики:
а) в относительных параметрах:
к
,
к
f (G) при различных nк ;
46
б) размерные, с параметрами перед ступенями на расчётном
(номинальном) режиме:
к
,
к
f G при различных nк .
в) размерные второй ступени при совместной работе с первой
ступенью на заданном нерасчётном режиме работы;
г) размерные первой и второй ступеней при работе компрессора
в горных условиях на высоте H 2000 м.
д) размерную второй ступени при применении её в качестве
первой ступени, т.е. при поступлении воздуха из окружающей среды.
к
n
0,6 0,7 0,8
0,9
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
к
n
3,0
1,0
0,9
2,5
0,8
2,0
0,7
1,5
1,0
0,6
0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Gбезр
Рис. 4.1. Безразмерная характеристика второй ступени сжатия
двухступенчатого центробежного компрессора с суммарной степенью
повышения давления к
10, построенная по экспериментальным данным
Определение параметров ступеней на номинальном режиме
при работе компрессора на высоте над уровнем моря H 0 и
H 2000 м.
Исходные данные
Радиус рабочего колеса второй ступени rк2
0,125 м.
47
nк
Относительная частота вращения рабочего колеса ступеней
1,0.
Частота вращения рабочего колеса второй ступени
nк2
38540 мин–1.
Безразмерный расход воздуха через ступени по параметрам перед ступенями Gбезр1
Gбезр2
0,3.
Суммарная степень повышения давления в ступенях
КПД ступеней
к1
к2
Газовая постоянная R
Показатель адиабаты k
к
10.
0,87.
287 Дж/(кг∙K).
1,4.
Температура окружающего воздуха t0
Давление окружающего воздуха Вt
30.
760 мм рт. ст.
Расчёт
Степени повышения давления в ступенях
Так как степени повышения давления являются относительными
параметрами, то их численные значения в ступенях на расчётном режиме равны. Тогда в каждой ступени
к1
к2
к
10
3,16.
Температура воздуха на входе в первую ступень
при H 0 м:
T11 t0 273 303 К;
при H
2000 м:
T11 0,0065 Н
T11Н
303 – 0,0065·2000
290 К.
Давление воздуха на входе в первую ступень
при H 0 м:
p11
133,32 Bt 1 0,000172t0
133,32 760 1 – 0,000172 30
при H
p11H
0,101 МПа.
2000 м:
p11H
H
1
44300
5,256
2000
0,101 1
44300
5,256
0,079 МПа.
48
Удельная работа на привод первой ступени
при H 0 м:
k
к1
k 1
при H
1,4 1
1,4
1
1,4
3,16
1
287 303
136,6 кДж/кг·К.
1,4 1
0,87
к1
2000 м:
k
к1H
к1
RT11
k 1
k
k 1
RT11H
к1
k 1
k
1,4 1
1,4
1
1,4
3,16
1
287 290
130,7 кДж/кг·К.
1,4 1
0,87
к1
Температура воздуха на входе во вторую ступень
при H
0 м:
T12
при H
T21
T11
к1
k 1
303
kR
136,6 1,4 1
1,4 0,287
439 К.
2000 м:
T12H
T21H
T11 Н
k 1
к1H
kR
290
130,7 1,4 1
1,4 0,287
420 К.
Давление воздуха на входе во вторую ступень
при H 0 м:
p12 p21 p11 к1 0,101 3,16 0,32 МПа.
при H
2000 м:
p12H
p21H
p11H
к1
0,079 3,16
0,251 МПа.
Расход воздуха через ступени
В подобных компрессорах безразмерные расходы через ступени, определенные по параметрам ступеней, и размерные расходы
численно равны Gбезр1
Gбезр 2
Gбезр ;Gв1
Gв2 .
Так как известен радиус рабочего колеса второй ступени, расход
воздуха определим из выражения безразмерного расхода с параметрами на входе во вторую ступень:
при H 0 м:
Gв2
при H
Gбезр p12 rк2 2
2000 м:
kRT12
0,3 0,32 106 0,1252
1,4 287 439
3,57 кг/с.
49
Gв2H
Gбезр p12H rк2 2
0,3 0,251 106 0,1252
1,4 287 420
kRT12H
Gв1Н
Gв2Н
2,84 кг/с.
2,84 кг/с.
Радиус рабочего колеса первой ступени
Определяется из выражения безразмерного расхода с параметрами на входе в неё при известном размерном расходе воздуха:
rк1
Gв1 kRT11
3,57 1,4 287 303
0,3 0,101 106
Gбезр p11
0,203 м.
При полученном численном значении радиуса рабочего колеса
первой ступени определим (для проверки) расход воздуха на высоте
H
2000 м из выражения безразмерного расхода с параметрами на
входе в ступень на этой высоте:
Gв1H
Gбезр p11H rк12
0,3 0,079 106 0,2032
1,4 287 290
kRT11H
2,84 кг/с.
Безразмерная частота вращения рабочих колес ступеней
Численно равные безразмерные частоты вращения рабочих колес ступеней определим по параметрам второй ступени с известной
размерной частотой вращения:
nбезр
nк2 rк2
kRT12
38540 0,125
1,4 287 439
11,471.
Частота вращения рабочего колеса первой ступени
nбезр kRT11
nк1
11,471
rк1
1,4 287 303
0,203
19730 мин–1.
Частота вращения рабочих колес ступеней на высоте
H
2000 м:
nк1Н
nк2Н
nбезр kRT11Н
11,471
1,4 287 290
0,203
19302 мин–1.
11,471
1,4 287 420
0,125
37698 мин–1.
rк1
nбезр kRT12Н
rк2
50
Приведённый расход воздуха через вторую ступень при параметрах на входе, равных параметрам окружающей среды (при применении ступени в качестве первой ступени):
Gв1H
Gв2
p11 T12
p12
T11
3,57
0,101 439
0,32 303
1,35 кг/с.
а) Построение характеристики компрессора в относительных параметрах
Характеристики представляются как зависимости относительной
степени повышения давления
к
к
и относительного КПД
к расч
к
к
к расч
от относительного расхода воздуха Gв
Gбезр
Gбезр расч
, опреде-
ленного по отношению безразмерных расходов, при различных относительных частотах вращения. Результаты расчёта параметров в точках характеристик даны в табл. П.1.4.1 прил. 1. По результатам таблицы построены графические зависимости (рис. 4.2 и 4.3). В относительных параметрах характеристики подобных первой и второй ступеней компрессора одинаковы.
б) Построение размерных характеристик ступеней компрессора
Размерный расход воздуха определяется из выражения одинакового для ступеней безразмерного расхода, в который подставляются соответствующие радиусы рабочих колес и параметры перед ступенями. При этих условиях размерные расходы воздуха через ступени
на задаваемом режиме численно равны. Численно равны и степень
повышения давления и КПД как относительные параметры. Размерные частоты вращения определяются из выражения безразмерной
частоты вращения. Так как радиусы рабочих колес и температуры на
входе в ступени различны, то размерные частоты вращения колес
ступеней при одинаковой относительной частоте имеют различные
численные значения.
Результаты расчёта параметров в точках характеристик и размерных частот вращения при заданных относительных частотах даны
в табл. П.1.4.1 прил. 1, а графические зависимости – на рис. 4.4 и 4.5.
51
к
к
1,1
1,1
1,0
1
1
0,9
2
0,8
2
3
0,7
3
4
0,6
5
4
0,5
0,4
0,3
0,4
0,6
0,8
1,2
1,0
Рис. 4.2. Напорные характеристики
ступеней в относительных
параметрах при различных
относительных частотах
вращения
На рис. 4.2 и 4.3: 1 – nк
nк
0,7; 5 – nк
Gв
0,2
0,4
5
0,6
0,8
1,0
Gв
1,2
Рис. 4.3. Зависимость
относительного КПД ступеней
компрессора от относительного
расхода при различных
относительных частотах вращения
1,0; 2 – nк
0,9; 3 – nк
0,8; 4 –
0,6.
в) Построение размерной характеристики второй ступени
при совместной работе с первой ступенью на нерасчётном режиме
Нерасчётный режим задан относительными параметрами первой ступени: Gв
0,9; nк
0,9.
При заданных параметрах по характеристикам (см. рис. 4.2 и 4.3)
относительная степень повышения давления к 0,72, относительный КПД
к
0,937.
Учитывая, что параметры воздуха на входе в первую ступень
неизменны, остаются неизменными и её характеристики. Параметры
воздуха на входе во вторую ступень при работе на нерасчётном режиме уменьшаются. Вследствие этого характеристики её смещаются
в область меньших расходов и относительным частотам вращения
рабочего колеса соответствуют меньшие значения размерных частот.
Степени повышения давления и КПД как относительные параметры
остаются при этом неизменными.
52
к
3,6
1,0
к
3,2
0,8
1
2,8
5
2
3
4
1
2
0,6
2,4
3
2,0
4
1,6
1,2
1,0
0,4
5
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
G в ,кг / с
0,2
1,0
Рис. 4.4. Размерные напорные
характеристики ступеней
компрессора
2,5
3,5
4,0
4,5
G в ,кг / с
38540 мин–1;
34687 мин–1; 3 – nк
39832 мин–1; 4 – nк
26978 мин–1; 5 – nк
3,0
Рис. 4.5. Зависимость КПД ступеней
компрессора от расхода воздуха
при различных частотах вращения
0,9; nк1 17767 мин–1; nк 2
nк1 15784 мин–1; nк 2
nк 2
2,0
1,0; nк1 19730 мин–1; nк 2
На рис. 4.4 и 4.5: 1 – nк
2 – nк
1,5
0,8;
0,7; nк1 13811 мин–1;
0,6; nк1 11838 мин–1; nк 2
23124 мин–1.
Определим параметры воздуха на входе во вторую ступень на
заданном нерасчётном режиме.
Степень повышения давления первой ступени
к1нр
к1 нр
0,72 3,16
к1р
2,28.
КПД первой ступени
к1нр
к1 нр
к1р
0,937 0,87 0,815.
Удельная работа на привод первой ступени
k
к1нр
k 1
RT11 нр
к1нр
k 1
k
1
к1нр
1,4 1
1,4
1,4
2,28
1
287 303
127,9 кДж/(кг·К).
1,4 1
0,815
Температура воздуха на входе во вторую ступень
T12 нр
T21 нр
T11 нр
к1 нр
k 1
kR
303
127,9 1,4 1
1,4 0,287
430 К.
53
Давление воздуха на входе во вторую ступень
p12нр p21нр p11нр к1нр 0,101 2,28 0,23 МПа.
Смещение расчётной точки второй ступени по расходу воздуха
Определяется из выражения безразмерного расхода, который
остается неизменным при изменившихся параметрах воздуха на входе в ступень:
Gбезр p12нр rк2 2
Gв2нр
0,3 0,23 106 0,1252
1,4 287 430
kRT12нр
2,59 кг/с.
Частота вращения рабочего колеса второй ступени
nбезр kRT12нр
nк2нр
11,471
rк2
1,4 287 430
0,125
38144 мин–1.
По приведенному алгоритму определены параметры в точках
зависимостей при различных относительных частотах вращения рабочего колеса второй ступени при совместной работе с первой ступенью на нерасчётных режимах. Результаты расчёта представлены в
табл. П.1.4.2. Смещение характеристик и изменение частот вращение
показано на рис. 4.6 и 4.7, зависимости даны для трех относительных
частот вращения.
к
3,6
1,2
3,2
2,8
к
2
0,8
1
1
1
3
1
2,4
0,6
2
2
2,0
3
0,4
2
1,6
3
3
0,2
1,2
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
G в ,кг / с
Рис. 4.6. Сопоставление напорных
характеристик второй ступени
компрессора при работе компрессора
на расчётном и нерасчётном
режимах
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
G в ,кг / с
Рис. 4.7. Сопоставление
зависимостей КПД второй ступени
от расхода воздуха при работе
компрессора на расчётном
и нерасчётном режимах
54
На рис. 4.6 и 4.7: 1; 1' – nк
38540 мин–1; 1' – nк 2
nк 2
36728 мин–1; 2; 2' – nк
30832 мин–1; 2' – nк 2
11838 мин–1; nк 2
1,0; nк1 19730 мин–1; nк 2
0,8; nк1 15784 мин–1;
29747 мин–1; 3; 3' – nк
23124 мин–1; 3' – nк 2
0,6; nк1
23311 мин–1.
г) Построение размерных характеристик первой и второй
ступеней при работе компрессора в горных условиях на высоте
H 2000 м
При работе компрессора в горных условиях изменяются параметры воздуха на входе в обе ступени, поэтому характеристики смещаются в область меньших расходов и уменьшаются значения размерных частот вращения и в первой, и во второй ступенях.
Так как степени повышения давления и КПД ступеней остаются
неизменными, то параметры перед ступенями изменяются пропорционально, поэтому характеристики смещаются и размерные частоты
вращения уменьшаются в равной степени. Результаты определения
параметров воздуха в точках характеристик при различных относительных частотах вращения рабочих колес при работе на высоте
H 2000 м приведены в табл. П.1.4.3, изменение характеристик показано на рис. 4.8 и 4.9.
д) Построение характеристики второй ступени при работе в
качестве первой ступени
Вторая ступень компрессора может быть применена в качестве
первой ступени в двигателе с меньшей мощностью и соответственно с
меньшим расходом воздуха.
В этом случае воздух в ступень будет поступать с параметрами
окружающей среды, вследствие чего её характеристики сместятся в
область меньших расходов и уменьшатся размерные частоты вращения так же, как при работе в составе компрессора с двухступенчатым
сжатием на нерасчётных режимах и в высокогорье, но в большей степени. Результаты определения параметров воздуха в точках характеристик при различных относительных частотах вращения рабочего
колеса приведены в табл. П.1.4.4, изменение характеристик показано
на рис. 4.10…4.13.
55
к
3,6
1,0
к
3,2
0,8
2,8
1
1
3
2,4
3
2
2
1
1
0,6
2,0
2
2
0,4
1,6
3
3
1,2
1,0
2,0
1,5
2,5
3,5
3,0
0,2
1,0
4,5
4,0
1,5
2,0
2,5
3,5
3,0
4,0
G в ,кг / с
Рис. 4.8. Сопоставление напорных
характеристик ступеней
при работе на высоте Н = 0 и
Н = 2000 м от расхода воздуха
38540 мин–1; 1' – Н
0,8; 2 – Н
2; 2' – nк
Н
2000 м: nк1
Н
0 м: nк1
Рис. 4.9. Сопоставление зависимостей
КПД ступеней при работе на высоте
Н = 0 и Н = 2000 м
от расхода воздуха
0 м: nк1
19730 мин–1;
2000 м: nк1 19337 мин–1; nк 2
37704 мин–1;
На рис. 4.8 и 4.9: 1; 1' – nк
nк 2
1,0; 1 – Н
0 м: nк1 15784 мин–1; nк 2
15470 мин–1; nк 2
30832 мин–1; 2' –
30163 мин–1; 3; 3' – nк
11838 мин–1; nк 2
nк1 11603 мин–1; nк 2
4,5
G в ,кг / с
23124 мин–1; 3' – Н
0,6; 3 –
2000 м:
22622 мин–1.
к
3,6
к
1,0
3,2
0,8
2,8
1
1
3
1
2
3
1
2
2,4
0,6
2,0
2
3
2
0,4
1,6
3
1,2
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
0,2
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
G в ,кг / с
Рис. 4.10. Сопоставление
напорных характеристик
ступени компрессора
Рис. 4.11. Сопоставление
зависимостей КПД
ступени компрессора
4,0
4,5
G в ,кг / с
56
На рис. 4.10 и 4.11: 1; 1' – nк
nк 2
38540 мин–1; 1' – первая ступень: nк 21
nк 21
32035 мин–1; 2; 2' –
30832 мин–1; 2' – первая ступень:
0,8; 2 – вторая ступень: nк 2
nк
1,0; 1 – вторая ступень:
25628 мин–1; 3; 3' – nк
0,6; 3 – вторая ступень: nк 2
23124 мин–1; 3' – первая ступень: nк 21
19221 мин–1.
к
3,6
к
1,0
3,2
1
0,8
2,8
5
1
2
3
4
2,4
0,6
2,0
3
2
0,4
4
1,6
5
1,2
0,2
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
G в ,кг / с
1,5
1,6
G в ,кг / с
Рис. 4.12. Напорные
характеристики второй
ступени компрессора,
применяемой в качестве
первой ступени сжатия
Рис. 4.13. Зависимости КПД ступени
компрессора от расхода воздуха,
применяемой в качестве первой
ступени сжатия
На рис. 4.12 и 4.13: 1 – nк
nк 21
28881 мин–1; 3 – nк
nк 21
22424 мин–1; 5 – nк
32035 мин–1; 2 – nк
0,9;
25628 мин–1; 4 – nк
0,7;
1,0; nк 21
0,8; nк 21
0,6; nк 21
19221 мин–1.
Задание на самостоятельную работу № 4.1
«Экспериментальное определение характеристики компрессора.
Перестроение характеристики компрессора» (работа выполняется в
компьютерном классе).
На компьютерной экспериментальной установке определить
размерные характеристики компрессора с заданными параметрами.
57
Объект исследования: компрессор турбокомпрессора ТКР-11Ф.
Геометрические параметры:
 средний диаметр рабочего колеса на входе d1ср 85 мм;
 наружный диаметр рабочего колеса d2
 число лопаток рабочего колеса zк
 число лопаток диффузора zд
117 мм;
16;
29.
Условия испытания:
 температура окружающего воздуха t 18 ºС;
 барометрическое давление Bt 765 мм. рт. ст.
Перестроить экспериментальную размерную характеристику:
а) в безразмерных параметрах;
б) в относительных параметрах;
в) в размерных параметрах при температуре воздуха на входе
t 50 ºС;
г) в параметрах, приведенных к нормальным физическим условиям;
д) в параметрах в условиях высокогорья на высоте H 2000 м;
е) в параметрах подобного компрессора с наружным диаметром
рабочего колеса d2 70 мм.
4.3. Аппроксимация характеристик компрессоров
4.3.1. Методика аппроксимации экспериментальных
характеристик компрессоров методом эллипса
Размерные характеристики компрессора определяют экспериментально и представляют графически. При расчёте характеристик
поршневого двигателя с наддувом и газотурбинных двигателей необходимо представление характеристик компрессора в алгоритмическом, а затем в программном виде, для чего необходима их аппроксимация. Аппроксимацию характеристик целесообразно производить в
относительных параметрах. Это даёт возможность определять размерные характеристики геометрически подобных компрессоров, у которых относительные параметры численно равны, при создании их
типоразмерного ряда.
58
Достаточно точные результаты даёт аппроксимация методом
эллипса.
Уравнение эллипса в координатах x y имеет вид:
y 2 x2
(4.10)
1,
a2 b2
где a и b – параметры эллипса, соответственно длина его большой и
малой полуосей; x и y – координаты произвольной точки эллипса.
Представим каждую ветвь характеристики компрессора как часть
эллипса и дополним её графически до полного эллипса (рис. 4.14).
Заменим математические обозначения параметров эллипса относительными параметрами компрессора: a
произвольной точки y
кy
ординатной плоскости Gв ,
, x
к
ка
, b Gвb ; координаты
Gвx ; параметры центра эллипса в ко-
обозначим Gв0 ,
к0
.
Параметры с чертой означают относительные параметры:
Gв
к
(4.11)
Gв
; к
,
Gврасч
красч
где Gв и
Gврасч и
к
– параметры на режимах, отличных от расчётного режима;
красч
– параметры на расчётном режиме.
При этих обозначениях уравнение эллипса в параметрах напорной ветви компрессора будет иметь вид:
2
кy
Gв2x
2
кa
Gв2b
1.
(4.12)
Параметры эллипса в координатах характеристики компрессора
определяются с учётом параметров центра эллипса (см. рис. 4.14):
кa
кmax
к0
; Gвb
Gвmax
Gв 0 ; Gвx
Gв Gв0 .
(4.13)
Из уравнения эллипса по задаваемому относительному расходу
определяется Gвx в произвольной точке эллипса (напорной ветви) и
соответствующая относительная степень повышения давления
кy
как параметры эллипса в координатах характеристики компрессора:
кa
кy
Gвb
Gв2b
Gв2x и
к
кo
кy
.
(4.14)
59
Аналогично определяют параметры эллипсов, построенных при
других относительных частотах вращения, и представляют их в зависимости от nк :
Gв0
f (nк );
к0
f (nк ); Gвb
f (nк );
f (nк ).
кa
Таким образом, при такой аппроксимации можно определить
степень повышения давления для любых задаваемых относительных
частоте вращения компрессора и расходе воздуха.
Вместо относительного расхода при аппроксимации могут быть
физический Gв , приведённый Gвпр (или Gвпр ), безразмерный Gбезр
расходы.
Аналогично осуществляется аппроксимация зависимостей адиабатного КПД компрессора от расхода воздуха.
к
напорная ветвь
компрессора
к max
кy
ка
к0
Gвb
Gв
Gв0
Gвx Gв мах
Рис. 4.14. Аппроксимация характеристик компрессора методом эллипса
4.3.2. Пример аппроксимации экспериментальной размерной
характеристики компрессора ТКР-8,5С
Для аппроксимации характеристик компрессора методом эллипса разработана программа в Excel с автоматизированным совмещением фрагмента эллипса с напорной ветвью компрессора (или с зави-
60
симостью КПД от расхода воздуха) с определением параметров эллипса. Автоматически осуществляется аппроксимация параметров
эллипса в зависимости от относительной частоты вращения рабочего
колеса компрессора. Характеристики компрессора представляются в
относительных параметрах, в том числе и безразмерные степень повышения давления и КПД, что позволяет аппроксимировать характеристики компрессоров с любыми расчётными параметрами при единых значениях осей координат.
Рассмотрим для примера аппроксимацию экспериментальной
характеристики компрессора ТКР-8,5С, представленной на рис. 4.15.
к
1,9
80000 об/мин
1,8
1,7
1,6
70000 об/мин
1,5
60000 об/мин
1,4
1,3
1,2
50000 об/мин
1,1
40000 об/мин
1,0
КПД
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,06
0,10
0,14
0,18
0,22
0,26
0,30
0,34
0,38
Gв пр, кг/с
Рис. 4.15. Характеристика компрессора ТКР 8,5C;
параметры приведения: р0 = 101 кПа; Т0 = 293 K
Пересчёт размерной напорной характеристики компрессора
в относительные параметры.
61
Определим относительные параметры в экспериментальных
точках напорных характеристик компрессора при следующих параметрах на расчётном режиме.
Приведённый расход воздуха: Gв
давления:
са nк
1,825; КПД
к
к
0,28 кг/с; степень повышения
0,68; частота вращения рабочего коле-
80000 мин–1.
Результаты пересчёта сведены в табл. П.1.4.5 прил. 1. В соответствии с данными табл. П.1.4.5 в программе Excel на поле с координатами в относительных параметрах с фрагментом эллипса построим
напорные ветви при различных относительных частотах вращения
(рис. 4.16) и аппроксимируем полученные зависимости.
к
1,1
1,0
1
0,9
2
0,8
3
0,7
4
0,6
0,5
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
Gв
Рис. 4.16. Характеристика компрессора ТКР-8,5С в относительных параметрах: 1 – nк = 1,0; nк = 80000 мин–1; 2 – nк = 0,875; nк = 70000 мин–1;
3 – nк = 0,750; nк = 60000 мин–1; 4 – nк = 0,675; nк = 50000 мин–1
Последовательно фрагмент эллипса совмещаем с напорными
ветвями компрессора, изменяя параметры эллипса, которые заносятся в таблицу.
Совмещение фрагмента эллипса с напорной ветвью при относительной частоте nк
1,0, компьютерный пульт управления с индика-
цией параметров и таблица со значениями параметров эллипса показаны на рис. 4.17, при других значениях nк – на рис. П.2.4.1…П.2.4.3
прил. 2.
62
1,1
1
к
1,0
0,9
2
0,8
3
5
0,7
4
0,6
Gв
0,5
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,4
1,2
а)
G0
0,775
к0
0,581
Gb
0,566
кa
0,460
б)
nк
G0
1,0
0,875
0,750
0,625
0,775
к0
0,581
Gb
0,608
кa
0,460
в)
Рис. 4.17. Совмещение фрагмента эллипса с напорной ветвью компрессора
ТКР-8,5С при относительной частоте вращения рабочего колеса nк = 1,0:
а) совмещение фрагмента эллипса с напорной ветвью компрессора:
1 – nк = 1,0; 2 – nк = 0,875; 3 – nк = 0,750; 4 – nк = 0,625; 5 – фрагмент эллипса;
б) компьютерный пульт управления с индикацией параметров эллипса;
в) таблица для записи параметров эллипса (таблица последовательно
заполняется после совмещения эллипса с каждой из напорных ветвей)
63
По данным итоговой таблицы, полученной после совмещения
фрагмента эллипса с последней напорной ветвью (табл. 4.1), автоматически производится аппроксимация параметров эллипса в зависимости от относительной частоты вращения (рис. 4.18).
Таблица 4.1
nк
Gв0
1,0
0,875
0,750
0,625
0,745
0,575
0,455
0,385
0,581
0,449
0,342
0,260
0,8
0,460
0,460
0,460
0,460
2
4
0,2
0,6
0,608
0,667
0,682
0,651
кa
1
0,6
0,4
Gвв
к0
3
0,7
0,8
0,9
1,0
Рис. 4.18. Аппроксимация параметров эллипса в зависимости
от относительной частоты вращения: 1 – размер полуоси по относительному
расходу воздуха, Gвb
1,44nк2 2,225nк 0,177; 2 – координата центра эллипса
по относительному расходу воздуха, Gв0
1,6 nк2 1,638nк 0,785;
3 – координата центра эллипса по относительной степени повышения
давления, к 0 0,8nк2 0,444nк 0,224; 4 – размер полуоси эллипса
по относительной степени повышения давления, к a 0,46
Определение и построение напорных ветвей компрессора по
уравнениям, аппроксимирующим зависимости параметров эллипсов
от относительной частоты вращения
Для проверки точности аппроксимации по аппроксимирующим
уравнениям определены параметры эллипсов (см. табл. 4.1), расчётные относительные и размерные параметры в точках напорных ветвей при различных относительных частотах вращения (табл. П.1.4.6,
прил. 1) и дано сравнение расчётных и экспериментальных зависимостей (рис. 4.21), которые в достаточной степени совпадают.
64
Пример определения степени повышения давления на заданном режиме работы компрессора и определение напорных ветвей
при различных nк
Рассмотрим алгоритм и пример расчёта параметров воздуха при
относительной частоте вращения nк
ном расходе Gв
0,875 и заданном относитель-
0,570.
Координаты центра эллипса:
Gв0
к0
1,6 nк2 1,638nк
0,785 0,5780;
0,8nк2
0,224
0,444nк
0,664.
Размер полуоси эллипса по оси абсцисс:
1,44nк2
Gвb
2,225nк
0,177 0,449.
Размер полуоси эллипса по оси ординат:
ка
0,46.
Расстояние от центра эллипса до принятой точки напорной ветви по оси абсцисс:
Gвy
Gв
Gв0
0,570 0,578
0,008.
Расстояние от центра эллипса до принятой точки напорной ветви по оси ординат:
кa
кy
Gвb
Gв2b
0,460
0,449
Gв2x
0,4492
0,008
2
0,460.
Относительная степень повышения давления в принятой точке
напорной ветви:
к
кo
кy
0,664 0,460
0,909.
Расход воздуха в принятой точке напорной ветви:
Gв
GвGврасч
0,570 0,28
0,16 кг/с.
Степень повышения давления в принятой точке напорной ветви:
к
к
к расч
0,909 1,825
1,66.
Результаты расчёта параметров в точках напорных ветвей при
различных nк даны в табл. П.1.4.3, прил. 1.
65
Аппроксимация линии границы помпажа
В соответствии с относительными параметрами на линии границы помпажа экспериментальной напорной характеристики определены значения относительных расхода воздуха и степени повышения
давления от относительной частоты вращения (табл. П.1.4.7, прил. 1)
и уравнения аппроксимации этих зависимостей (рис. 4.19). Затем установлены аппроксимирующие уравнения зависимости относительной
степени повышения давления от относительного расхода на границе
помпажа и дано сопоставление этой зависимости по расчётным данным и эксперименту (рис. 4.20).
1,2
1,0
1
0,8
2
0,6
0,4
0,2
0,5
0,8
0,7
0,6
0,9
1,0
nк
Рис. 4.19. Сопоставление расчётных и экспериментальных зависимостей
относительных расхода воздуха и степени повышения давления
от относительной частоты вращения на границе помпажа: 1 – зависимость
относительного расхода от относительной частоты вращения,
Gв 0,4 100,943 nк ; 2 – зависимость относительной степени повышения
давления от относительной частоты вращения,
41,64nк4 113,9nк3 114,7nк2 49,95nк 8,206
к
к
1,1
2
1,0
0,9
1
0,8
0,7
0,6
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Gв
0,8
Рис. 4.20. Сопоставление расчётной и экспериментальной линий
границы помпажа: 1 – к 4,8441Gв2 2,1874Gв 0,8767;
2–
к
0,4755Gв
0,6834
66
По полученным уравнениям аппроксимации напорных ветвей и
линии границы помпажа на рис. 4.21 дано сопоставление расчётной
напорной характеристики компрессора ТКР-8,5С с экспериментальной.
к
2,0
5
1
1,8
2
1,6
3
1,4
1,2
4
1,0
0,10
0,15
Gв
0,20
0,30
0,25
0,35
0,40
Рис. 4.21. Сопоставление расчётной напорной характеристики компрессора
ТКР-8,5С с экспериментальной: точками отмечены значения эксперимента,
линиями – расчётные зависимости:
1 – nк = 80000 мин–1; 2 – nк = 70000 мин–1; 3 – nк = 60000 мин–1;
4 – nк = 50000 мин–1; 5 – граница помпажа
Аппроксимация зависимостей КПД компрессора ТРК-8,5С от
режима его работы
Аппроксимация зависимостей КПД компрессора ТРК-8,5С от режима его работы выполняется так же, как аппроксимация напорных
характеристик.
1,1
1,0
1
0,9
2
0,8
3
4
0,7
5
0,6
0,5
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
Gв
1,3
Рис. 4.22. Зависимость КПД компрессора ТКР-8,5С от расхода воздуха
при различных частотах вращения рабочего колеса в относительных
параметрах по экспериментальным данным: 1 – nк = 1,0; 2 – nк = 0,875;
3 – nк = 0,750; 4 – nк = 0,625; 5 – фрагмент эллипса
67
Пересчёт экспериментальных значений КПД при различных значениях расхода воздуха и частоты вращения рабочего колеса (рис. 4.3)
в относительные параметры представлен в табл. П.1.4.8, прил. 1.
По данным табл. П.1.4.8 в программе Excel построены зависимости в относительных параметрах (рис. 4.22).
После совмещения эллипса с зависимостями при каждой принятой относительной частоте вращения рабочего колеса получена сводная таблица параметров эллипсов (табл. П.1.4.9, прил. 1), по данным
которой они автоматически аппроксимированы в зависимости от относительной частоты вращения. Результаты аппроксимации приведены
на рис. 4.23.
0,9
0,8
1
2
0,7
0,6
3
0,5
4
0,4
0,3
0,6
0,7
0,8
0,9
nк
1,0
Рис. 4.23. Аппроксимация параметров эллипсов, совмещенных с зависимостями
относительного КПД от относительного расхода воздуха, в зависимости
от относительной частоты вращения: 1 – координата центра эллипса
по относительному расходу воздуха, Gв0 0,74nк2 0,2155nк 0,2993;
2 – размер полуоси эллипса по относительному КПД,
0,675;
3 – размер полуоси эллипса по относительному расходу воздуха,
Gвb
0,6044 nк2 1,2809 nк 0,1838; 4 – координата центра эллипса
по относительному КПД,
0
0,44 nк2
0,843nк
ка
0,0296
Пример определения КПД компрессора на заданном режиме его
работы и зависимостей КПД от расхода воздуха при различных nк
Определим КПД компрессора при n к
Координаты центра эллипса:
0,875 и Gв
0,786.
68
Gв0
0,74 nк2
0,74 0,8752
0,2155 nк
0,2155 0,875 0,2993
0,44 nк2
к0
0,2993
0,44 0,8752
0,843nк
0,677.
0,0229
0,843 0,875 0,0296
0,371.
Размер полуоси эллипса по оси абсцисс:
0,6044 nк2 1,2809 nк
Gвb
0,1838
0,6044 0,875 2 1,2809 0,875 0,1838
0,474.
Размер полуоси эллипса по оси ординат:
0,675.
кa
Расстояние от центра эллипса до принятой точки напорной ветви по оси абсцисс:
Gвx
Gв Gв0
0,786 0,677 0,109.
Расстояние от центра эллипса до принятой точки напорной ветви по оси ординат:
кa
кy
Gвb
Gв2b
Gв2x
0,675
0,474
0,4742
0,1092
0,657.
Относительный КПД в принятой точке напорной ветви:
0,371 0,657 1,028.
к
кo
кy
Расход воздуха в принятой точке напорной ветви:
Gв
GвGврасч
0,786 0,28
0,22 кг/с.
КПД в принятой точке напорной ветви:
1,028 0,68 0,699.
к
к красч
Расчётные данные по определению КПД компрессора при различных режимах его работы представлены в табл. П.1.4.10, прил. 1.
Сопоставление экспериментальных и расчётных зависимостей КПД от
расхода воздуха при различных частотах вращения в относительных
параметрах дано на рис. 4.24, а в размерных параметрах – на рис. 4.25.
Задание на самостоятельную работу № 4.2
Аппроксимировать характеристику компрессора методом эллипса. Варианты заданий (экспериментальные характеристики компрессоров) даны в прил. 3.
69
к
1,1
1,0
3
0,9
2
1
0,8
4
0,7
0,6
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
Gв
Рис. 4.24. Сопоставление расчётных и экспериментальны зависимостей КПД
от расхода воздуха при различных частотах вращения
рабочего колеса в относительных параметрах:
точками отмечены значения эксперимента,
линиями – расчётные зависимости:
1 – nк = 1,0; 2 – nк = 0,875;
3 – nк = 0,750; 4 – nк = 0,625
к
0.75
0,7
3
1
0.65
0,6
2
0.55
4
0,5
0.45
0,1
Gв , кг / с
0.15
0,2
0.25
0,3
0.35
0,4
Рис. 4.25. Сопоставление расчётных и экспериментальны зависимостей КПД
от расхода воздуха при различных частотах вращения
рабочего колеса в размерных параметрах:
точками отмечены значения эксперимента,
линиями – расчётные зависимости:
1 – nк = 80000 мин–1; 2 – nк = 70000 мин–1;
3 – nк = 60000 мин–1; 4 – nк = 50000 мин–1
70
4.4. Перестроение зависимостей КПД компрессора от режима
его работы, представленных изолиниями постоянных КПД
в координатной плоскости Gв –
к,
к виду
для аппроксимации методом эллипса
Зависимость КПД компрессора от режима его работы (например,
для компрессора ТКР 90.03 двигателя КамАЗ-740.75-440 EURO-4) может быть представлена изолиниями постоянного КПД в координатной
плоскости Gв
к
, приведенной на рис. 4.26.
к
4,0
3
2
4
3,6
1
5
3,2
2,8
uк2= 500 м/с
2,4
uк2= 450 м/с
uк2= 400 м/с
2,0
uк2= 350 м/с
1,6
uк2= 300 м/с
uк2= 250 м/с
1,2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Gв, кг/с
Рис. 4.26. Характеристика компрессора ТКР 90.03: 1 – к = 0,78; 2 –
3 – к = 0,73; 4 – к = 0,69; 5 – к = 0,66
к
= 0,76;
Для аппроксимации зависимостей КПД компрессора ТКР 90.03
методом эллипса необходимо предварительно экспериментальные
данные, представленные на рис. 4.26, перестроить в зависимости от
приведённого расхода воздуха для различных привёденных частот
вращения рабочего колеса и перейти к зависимостям в относительных
71
параметрах. Результаты пересчёта представлены в табл. П.1.4.11,
прил. 1.
Перестроенные зависимости КПД компрессора ТКР 90.03 в соответствии с данными табл. П.1.4.11 показаны на рис. 4.27.
к
1,05
2
1
3
1,0
4
0,95
0,9
0,85
0,2
Gв
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Рис. 4.27. Зависимость относительного КПД компрессора ТКР 90.03
от относительного приведенного расхода воздуха при различных
относительных частотах вращения рабочего колеса:
1 – nк = 1,048; 2 – nк = 0,979; 3 – nк = 0,909; 4 – nк = 0,839; 5 – фрагмент эллипса
4.5. Определение и аппроксимация характеристик
подобных компрессоров
В подобных компрессорах характеристики в относительных параметрах одинаковы, численно равны как безразмерные параметры
степень повышения давления и КПД. Поэтому для построения размерных характеристик подобного компрессора необходимо определить лишь численные значения размерных расхода воздуха и частоты
вращения рабочего колеса этого компрессора.
4.5.1. Определение характеристик подобного компрессора,
применяемого в качестве второй ступени наддува двигателя
В рассматриваемом подобном компрессоре останутся неизменными и безразмерный и физический размерный ( Gв 0,28 кг/с) расходы, при этом изменится радиус рабочего колеса, который опреде-
72
лим из выражения приведённого безразмерного расхода, исключив из
безразмерного расхода неизменные k и R:
G1 T11
Gбезр.пр
0,28 293
101 0,0852
p11d212
кг K 0,5
6,57
.
с м2 кПа
Параметры воздуха перед второй ступенью равны параметрам
за первой ступенью.
В подобных компрессорах к и к как безразмерные параметры
численно равны
к1
1,825,
к2
к1
к2
0,668.
Давление перед второй ступенью:
p12 p21 p11 к1 101 1,825 184,3 кПа.
Температуру определим из равенства выражений удельной работы:
c pT11
к1
c p T21 T11
к1
k 1
k
1
.
к1
Отсюда
T12
T21
T11 1
к1
k 1
k
к1
1
1,4 1
1,4
293 1
1,825
0,68
1
325 К.
Из выражения приведённого безразмерного расхода определим
радиус рабочего колеса компрессора во второй ступени:
d2
G T12
Gбезр.пр p12
0,28 325
6,57 184,3
0,065 м.
В подобном компрессоре останется также неизменной безразмерная частота вращения, размерная частота при этом изменяется.
Определим её с учётом нового радиуса рабочего колеса и температуры на входе в ступень.
r
30
kRT1
n
Из выражения безразмерной частоты вращения nбезр
исключим постоянные величины и неизменные k и R и определим
73
численное значение полученной приведённой безразмерной частоты
по параметрам в первой ступени:
nк1d 21 80000 0,085
м
nбезр.пр
397,3
.
мин K 0,5
T11
293
Отсюда частота вращения рабочего колеса компрессора во второй ступени
nк2
nбезр.пр T12
397,3 325
0,065
d22
110200 мин–1.
Степень повышения давления компрессора во второй ступени
как относительный параметр останется неизменным ( к 1,825 ).
При неизменных Gв и
к
напорные характеристики компрессора
второй ступени в зависимости от размерного расхода воздуха будут
иметь такой же вид, как и характеристики компрессора первой ступени. Их отличие заключается в том, что напорные ветви будут получены при других размерных частотах вращения. Численные значения
частот вращения компрессоров первой и второй ступеней при одинаковых относительных частотах вращения приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Численные значения частот вращения компрессоров
в первой ступени и подобной ей второй ступени наддува ДВС
при одинаковых относительных частотах вращения
Относительная частота вращения, nк
1,0
0,875
0,750
0,625
Частота вращения в первой
ступени, nк1 мин–1
80000
70000
60000
50000
Частота вращения во второй
ступени, nк2 мин–1
110200
96425
82650
68875
Параметры на границе помпажа на напорной характеристике
второй ступени.
Относительные параметры на границе помпажа остаются такими же, как и в первой ступени (см. табл. П.1.4.7, прил. 1), переход от
относительных параметров в размерные с учётом изменения параметров второй ступени на расчётном режиме дан в табл. П.1.4.12,
прил. 1.
74
Напорные характеристики в зависимости от физического расхода
воздуха и частоты вращения рабочего колеса компрессора, применяемого в качестве второй ступени наддува, представлены на рис. 4.28.
к
2,0
1
5
1,8
2
1,6
3
1,4
4
1,2
1,0
0,10
Gв, кг/с
0,14
0,18
0,22
0,26
0,30
0,34
Рис. 4.28. Расчётные напорные характеристики подобного компрессора,
применяемого в качестве второй ступени наддува двигателя:
1 – nк = 110200 мин–1; 2 – nк = 96425 мин–1; 3 – nк = 82650 мин–1;
4 – nк = 68875 мин–1; 5 – граница помпажа
При совместной работе первой и второй ступеней на частичных
скоростных и нагрузочных режимах работы двигателя изменяются параметры на выходе из первой ступени компрессора и соответственно
на входе во вторую ступень. В связи с этим характеристики компрессора второй ступени деформируются, их следует приводить к новым
параметрам. При этом размерный расход воздуха будет равным расходу через первую ступень, безразмерный расход, определенный по
параметрам на входе в расчётной точке на расчётном режиме, изменится, а по параметрам в смещенной расчётной точке останется неизменным. Также изменится и безразмерная частота вращения. При
расчёте характеристик двигателя с двухступенчатым наддувом это
необходимо учитывать и для каждого режима работы двигателя параметры в смещённой точке второй ступени следует приводить к новым параметрам на входе.
75
Так как КПД является безразмерным параметром, то в подобном
компрессоре, применяемом в качестве второй ступени наддува, зависимости КПД от расхода воздуха не изменятся, но они будут соответствовать другой частоте вращения так же, как и напорные ветви.
4.5.2. Определение характеристик компрессора второй
ступени, применяемого в качестве первой ступени наддува
ДВС с меньшим рабочим объёмом цилиндров
Данный компрессор второй ступени двухступенчатого наддува
может быть применён для наддува двигателя с меньшим рабочим
объёмом. Для определения его напорных характеристик их надо
представить в зависимости от приведенных параметров на входе воздуха из атмосферы.
Расход и частоту вращения для расчётной точки (при относительных параметрах Gв
жающей среды ( p0
Gвпр
nк пр2
101 кПа, T0
Gв
p0
p12
nк2
1,0 ) приведём к параметрам окру-
1,0, nк
T12
T0
T0
T12
293 K):
0,28
101 325
184,3 293
110200
293
325
0,16 кг/с.
104634 мин–1.
Значения приведенных расходов воздуха в точках напорных характеристик при различных приведенных частотах вращения рабочего
колеса, вычисленные по неизменным для подобных компрессоров относительным параметрам, даны в табл. П.1.4.13, прил. 1. Параметры
на линии границы помпажа компрессора, применяемого в качестве
второй и в качестве первой ступеней, даны в табл. П.1.4.14, прил. 1.
Сопоставление напорных характеристик в зависимости от приведенного расхода воздуха компрессора, применяемого в качестве первой
( nк1 ) и второй ( nк21 ) ступеней наддува приведено на рис. 4.29.
Зависимости КПД компрессора от расхода воздуха при применении его в качестве первой ступени наддува смещаются в область
меньших расходов воздуха с уменьшением размерных частот враще-
76
ния. Сопоставление зависимостей КПД компрессора от расхода воздуха, применяемого в качестве первой и второй ступеней наддува
ДВС при одинаковых относительных частотах вращения, приведено
на рис. 4.30.
к
2,0
5
1,8
5
1
1,6
1
2
2
3
3
1,4
4
1,2
1,0
0,05
4
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Gв, кг/с
0,35
Рис. 4.29. Сопоставление напорных характеристик в зависимости
от приведенного расхода воздуха компрессора, применяемого
в качестве первой ( nк 2 ) и второй ( nк21 ) ступеней наддува:
1; 1' – nк = 1,0; 1 – вторая ступень: nк 2 = 110200 мин–1;
1' – первая ступень: nк21 = 104634 мин–1;
2; 2' – nк = 0,875; 2 – вторая ступень: nк 2 = 96425 мин–1;
2' – первая ступень: nк21 = 91554 мин–1;
3; 3' – nк = 0,750; 3 – вторая ступень: nк 2 = 82650 мин–1;
3' – первая ступень: nк21 = 78476 мин–1;
4; 4' – nк = 0,625; 4 – вторая ступень: nк 2 = 68875 мин–1;
4' – первая ступень: nк21 = 65396 мин1;
5; 5' – границы помпажа
77
0,75
1
0,7
2
0,65
1
2
0,5
0,55
0,5
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Gв, кг/с
0,35
Рис. 4.30. Зависимости КПД от расхода воздуха второй ступени наддува ДВС
и применяемой её в качестве первой ступени наддува ДВС с меньшими
размерами цилиндров: 1 – nк 2 = 110200 мин–1; 1' – nк21 = 104634 мин–1;
2 – nк 2 = 82850 мин–1; 2' – nк21 = 78476 мин–1
4.5.3. Определение характеристик подобного компрессора
для наддува ДВС с большим рабочим объёмом цилиндров
Наружный диаметр компрессора ТКР-8,5С d2
85 мм. Опреде-
лим, для примера, характеристики подобного компрессора с коэффициентом геометрического увеличения k 1,2, обозначив его параметры со штрихом.
Наружный диаметр рабочего колеса подобного компрессора
d2
k d2
1,2 85 102 мм.
Безразмерные комплексы приведенного расхода и частоты вращения рабочего колеса представим в виде
Gбезр
G kRT
, nбезр
pd 22
n d2
.
30 kRT
С учётом неизменных рабочего тела и параметров p и T на входе в компрессор вместо безразмерных комплексов примем пропорциональные им приведённые размерные комплексы:
78
Gбезр.пр
G
, nбезр.пр
d22
nd2.
В подобных компрессорах эти комплексы на расчётном режиме и других соответствующих режимах численно равны. Тогда размерные приведённый расход и частоту вращения определим из соотношения
G
d22
G
откуда G
d22
n d2
n
n
d2
d2
d22
G 2
d2
1022
0,28
852
0,4 кг/с.
n d2, откуда
80000
85
102
66667 мин–1.
Таким образом, при данном режиме работы компрессора-прототипа с увеличением диаметра рабочего колеса подобного компрессора безразмерные расход воздуха и частота вращения рабочего колеса остаются неизменными, а размерные расход воздуха увеличивается, частота вращения уменьшается. При этом безразмерные относительные параметры – степень повышения давления и КПД компрессора – остаются неизменными. Относительные параметры эллипсов, совмещенные с напорными ветвями подобного компрессора,
совпадают с параметрами для компрессора-прототипа (см. табл. 4.1).
При принятых относительных частотах определены напорные
ветви подобного компрессора в относительных параметрах, которые
пересчитаны в размерные параметры (табл. П.1.4.15, прил. 1).
Учитывая, что при одинаковых относительных частотах вращения в подобном компрессоре с большим диаметром рабочего колеса
размерные частоты вращения уменьшаются, может оказаться возможным увеличение максимальной степени повышения давления путем форсирования компрессора по частоте вращения. При этом необходим проверочный расчёт на прочность колеса. Для примера максимальную относительную частоту вращения подобного компрессора с
диаметром dк 102 мм примем nк 1,05. Расчёт напорной ветви при
nк
1,05 с экстраполяцией параметров эллипса в область большей
частоты вращения приведен в табл. П.1.4.16, прил. 1.
79
По результатам расчёта, приведённым в табл. П.1.4.15…
П.1.4.17, построены напорные характеристики подобного компрессора
с наружным диаметром рабочего колеса 10,2 см, форсированного по
частоте вращения до nк
1,05, которые представлены на рис. 4.31 в
сопоставлении с характеристиками компрессора-прототипа ТКР-8,5С.
2,2
6
2,0
4
4
5
5
1,8
3
3
1,6
2
2
1,4
1
1
1,2
Gв
1,0
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Рис. 4.31. Расчётные размерные напорные характеристики
компрессора-прототипа с наружным диаметром
рабочего колеса d2 = 8,5 см
и подобного компрессора с d2 = 10,2 см, форсированного
по частоте вращения до nк = 1,05: d2 = 8,5 мм:
1 – nк = 0,625 (nк = 50000 мин–1); 2 – nк = 0,750
(nк = 60000 мин–1); 3 – nк = 0,875 (nк = 70000 мин–1); 4 – nк = 1,0 (nк = 80000 мин–1);
5 – граница помпажа; d2 = 10,2 мм: 1' – nк = 0,625 (nк = 41667 мин–1);
2' – nк = 0,750 (nк = 50000 мин–1); 3' – nк = 0,875 (nк = 58334 мин–1);
4' – nк = 1,0 (nк = 66667 мин–1); 5' – nк = 1,05 (nк = 70000 мин–1);
6' – граница помпажа
Зависимости КПД подобного компрессора большей размерности
смещаются в область больших расходов воздуха и при одинаковых
относительных частотах вращения размерные частоты уменьшаются.
80
Параметры подобных компрессоров для расчётной точки
Gв
1,01,
к
1,0, nк
1,0 представим в сводной таблице (табл. 4.3) со
следующими обозначениями компрессоров:
А – компрессор-прототип (ТКР-8,5С);
Б – подобный компрессор, применяемый в качестве второй ступени наддува двигателя;
В – компрессор второй ступени при двухступенчатом наддуве,
применяемый для наддува двигателя с меньшим рабочим объёмом
цилиндров;
Г – подобный компрессор с большим диаметром рабочего колеса для наддува двигателя с большим рабочим объёмом цилиндров.
Таблица 4.3
Сводная таблица параметров подобных компрессоров
А
Б
В
Диаметр рабочего колеса, мм
85
65
65
Расход воздуха, кг/с
0,28
0,28
0,16
Г
102
0,4
Параметры
Степень повышения давления
1,825
1,825
1,825
1,825
(при n = 1,05:
1,971)
Частота вращения, мин–1
80000
110200
104634
66667
(при n = 1,05:
70000)
4.6. Подобие процессов вентиляторов и жидкостных насосов
При малых числах Маха (М ≤ 0,6) обычно можно пренебречь
сжимаемостью газа, считая его несжимаемой жидкостью с постоянной
плотностью ( = const). Температура, теплоёмкость, газовая постоянная и абсолютное давление в уравнение движения несжимаемой жидкости не входят, поэтому их нельзя задавать в перечне характерных
параметров. В этом перечне сохраняются величины r,
p2 берётся их разность
p
p2
и; вместо p1 и
p1 , которая в характеристиках венти-
ляторов и жидкостных насосов обозначается H и называется напором.
К перечню величин добавляется плотность . Размерности пяти перечисленных величин содержат три единицы измерения (м, кг, с), поэтому должно быть 2 критерия подобия (П = 5 – 3 = 2). Например, по-
81
прежнему число Рейнольдса Re
ur
и ещё один из безразмерных
параметров – расхода, удельной теоретической работы, момента,
мощности.
Обычно в практике исследования вентиляторов и лопаточных
насосов пренебрегают влиянием числа Рейнольдса и принимают основным и единственным определяющим критерием подобия безразмерный расход – коэффициент расхода:
cвх
u
Gм
Aвх r
Gм
r 2u
4G
,
D2u
где cвх – абсолютная скорость газа на входе, м/с; u – окружная скорость на наружном диаметре, м/с; Gм – массовый секундный расход,
кг/с; G – объёмный расход, м3/с; Aвх – площадь проходного сечения,
м2; r и D – наружные радиус и диаметр лопастей (колеса), м.
Обычно для вентилятора принимают
Gм
,
r 2u
(4.15)
а для жидкостного насоса
4G
.
D2u
К определяемым критериям подобия относятся:
 безразмерный напор – коэффициент давления:
2H
;
u2
(4.16)
(4.17)
 безразмерная мощность – коэффициент мощности:
4000 N
;
D2u 3
(4.18)
 КПД вентилятора (насоса):
.
(4.19)
Принятые численные значения в этих выражениях обеспечивают
соразмерность определяемых критериев подобия, что позволяет
представить их зависимость от определяющего критерия в едином
82
масштабе, на одном графике. Безразмерная характеристика вентилятора представлена на рис. 4.32, а жидкостного насоса – на рис. 4.33.
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Рис. 4.32. Безразмерная характеристика вентилятора
0,4
1
0,3
3
0,2
2
0,1
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
Рис. 4.33. Безразмерная характеристика жидкостного насоса:
1 – безразмерный напор; 2 – безразмерная мощность; 3 – КПД
Задание на самостоятельную работу № 4.3
На рис. 4.34 представлена размерная характеристика вентилятора системы охлаждения ДВС с наружным диаметром лопастей D =
= 0,525 м при частоте вращения n = 3500 м–1.
По приведенной размерной характеристике построить безразмерную характеристику (зависимости , ,
от ) и по безразмерной характеристике построить размерные характеристики при частотах вращения вентилятора n = 2000, 2500 и 3000 мин–1.
83
Нв , кПа
1,5
,%
Nв , кВт
9
35
5
25
1
15
1
2
1,0
3
0,5
0
2
3
6 Gв, м /с
4
Рис. 4.34. Размерная характеристика вентилятора:
1 – мощность Nв, 2 – КПД; 3 – напор Нв
Задание на самостоятельную работу № 4.4
По экспериментальным параметрам характеристики (табл. 4.4),
полученной при испытании жидкостного насоса с наружным диаметром крыльчатки D = 115 мм при частоте вращения n = 3500 мин–1, построить:
а) безразмерную характеристику;
б) размерные характеристики при частотах вращения n = 3000 и
2500 мин–1;
в) размерную характеристику подобного насоса с диаметром D =
= 75 мм при n = 3500 мин–1.
Таблица 4.4
Экспериментальные параметры характеристики
жидкостного насоса
Частота
вращения
крыльчатки
nн, мин–1
Объёмный
расход
жидкости
Gж, л/мин
3500
Плотность
жидкости
(тосол)
, кг/м3
Напор
насоса
Мощность
насоса
Н, кВт
N, кВт
500
158
3,5
0,380
1080
3500
400
173
2,6
0,440
1080
3500
300
181
1,9
0,480
1080
3500
200
186
1,4
0,440
1080
3500
100
189
1,0
0,315
1080
КПД насоса
84
Безразмерные параметры определить по выражениям:
4G
;
D2u
 безразмерный расход: Gбезр
Hн
;
u2
 безразмерный напор: Hбезр
4000 Nн
;
D2u 3
 безразмерная мощность: Nбезр
 КПД:
HбезрGбезр
Nбезр
.
В этих выражениях G – объёмный расход жидкости, м3/с; D – наружный диаметр крыльчатки, м; u – окружная скорость на наружном
диаметре крыльчатки, м/с;
ж
– плотность жидкости (тосол), кг/м3, Hн –
напор насоса, Па; Nн – мощность насоса, кВт.
Задание на самостоятельную работу № 4.5
Перестроить размерную характеристику жидкостного насоса,
представленную на рис. 4.35, в характеристику в безразмерных параметрах.
H н,
Па
240
-1
nн= 4000 мин
=0,3
200 3500
0,4
Hн
0,45
160
3000
120
2500
=0,5
4000
Nн ,
3500
4
80
3
3000
2
40
nн= 2500
0
кВт
100
200
300
400
Nн
1
500 600 Gж ,
л/мин
Рис. 4.35. Размерная характеристика жидкостного насоса
85
5. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ
И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБИН
5.1. Подобие процессов турбин
Изложенное применение теории подобия и размерностей к компрессору справедливо для любой газовой машины, в том числе и к газовой турбине. В указанных предположениях перечень независимых
характерных параметров можно взять таким же, как для компрессора.
В числе же четырёх критериев подобия вместо
нято брать степень понижения давления
ход газа Gбезр
т
к
и М удобно и при-
p1
и безразмерный расp2
G kRT1
при различных безразмерных частотах враp1 r 2
щения
nбезр
n r
.
30 kRT1
Для рассматриваемой турбины в этих безразмерных комплексах
так же, как и для компрессора, исключают неизменные величины k, R,
r,
и переходят к размерным независимым переменным, пропорцио-
нальным безразмерным комплексам:
G T1
и
p1
n
.
T1
Размерный комплекс расхода, приведённый к условиям данной
турбины, часто представляют с размерностью не в системе СИ. При
определении физического размерного расхода следует это учитывать
и перейти к размерности в системе СИ.
5.2. Аппроксимация экспериментальной характеристики турбины
Аппроксимацию экспериментальной характеристики турбины
рассмотрим на примере турбины ТКР-10СТ с температурой газа на
входе T1 1023 K (рис. 5.1).
86
2
A т , см
18
450 м/с
u1=500 м/с
400 м/с
16
350 м/с
300 м/с
14
250 м/с
u1/c
12
ад
0,8
0,7
0,6
300 м/с
350 м/с
400 м/с
10
u1=500 м/с
450 м/с
Gбезр.пр,
кг см2 К
6
кгс с
250 м/с
0,5
u1=500 м/с
450 м/с
400 м/с
350 м/с
5
300 м/с
4
250 м/с
3
т
2
0,7
0,6
0,5
1,0
350 м/с
400 м/с
u1=500 м/с
450 м/с
300 м/с
250 м/с
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
т
Рис. 5.1. Характеристики турбины ТКР-10СТ: u1 – окружные скорости
на наружном диаметре рабочего колеса на входе
Турбина имеет следующие характерные геометрические размеры:
 наружный диаметр рабочего колеса на входе d1
96,5 мм;
 наружный диаметр рабочего колеса на выходе d2
 диаметр втулки рабочего колеса на выходе d0
86,6 мм;
32 мм;
 число лопаток z 12;
 ширина лопатки рабочего колеса на входе b1 15 мм;
 площадь проходного сечения двухзаходной входной улитки, которая принята в качестве базовой при определении относительной площади, Ат
21 см2.
Предварительно аппроксимируем экспериментальные зависимости пропускной способности (эффективной площади проходного
87
сечения Aт ) от степени понижения давления
т
и комплекса безраз-
мерного расхода газа, приведенного к условиям данной турбины с ис-
кг см2 K
ключением неизменных параметров турбины ( Gбезр.пр.,
) от
кгс с
степени понижения давления (с переходом к размерности в системе
СИ). Аппроксимация этих зависимостей выполнена с учётом слабого
влияния на них окружной скорости рабочего колеса (см. рис. 5.1).
Результаты расчётов по аппроксимации зависимости пропускной
способности турбины от степени понижения давления даны в
табл. П.1.5.1, прил. 1, графическое представление размерной зависимости по данным эксперимента и её аппроксимация дана на рис. 5.2, а
в относительных параметрах – на рис. 5.3.
Примечание.
1. Базовой степенью понижения давления, по отношению к которой определялась относительная степень понижения давления, принята критическая степень понижения давления, определённая по экспериментальной зависимости (рис. 5.1), при которой расход газа максимален и при дальнейшем увеличении т расход остаётся практически неизменным, (
тбаз
2,1).
2. В качестве базовой площади, по отношению к которой определялась относительная эффективная площадь проходного сечения
турбины принята площадь на входе в турбину ( Абаз 21 см2).
3. Эффективная площадь проходного сечения соплового аппарата турбины от степени понижения давления определена по аппроксимирующему уравнению
Ат
0,0002
2
т
0,0012
т
8 10
5
(рис. 5.2),
а относительная эффективная площадь проходного сечения в зависимости от относительной степени понижения давления – по аппроксимирующему уравнению Ат
0,42
2
т
1,2
т
0,0381 (рис. 5.3).
Численные значения безразмерного расхода газа Gбезр.пр., приведённого к условиям турбины ТК10B-31, при различных степенях понижения давления т , полученные по эксперименту (см. рис. 5.1), даны в
табл. П.1.5.2, прил. 1.
88
Ат
0,0016
Ат
0,75
0,0015
0,7
0,0014
0,65
0,0013
0,6
0,0012
0,55
0,0011
0,0010
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
0,5
0,55 0,6
0,65
0,7 0,75
0,8 0,85 0,9
0,95 1,0
т
Рис. 5.2. Зависимость эффективной
площади проходного сечения турбины
от степени понижения давления
по экспериментальным данным
и по её аппроксимации
т
Рис. 5.3. Зависимость
относительной эффективной
площади проходного сечения
турбины от относительной
степени понижения давления
Gг , кг / с
Gбезр. пр
6,0
0,45
5,5
0,30
5,0
0,35
4,5
0,30
4,0
0,25
3,5
0,20
3,0
0,15
2,5
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
0,10
1,2
2,1
т
Рис. 5.4. Аппроксимация
зависимости безразмерного
расхода, приведенного
к параметрам данной турбины,
от степени понижения давления
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
т
Рис. 5.5. Зависимость размерного
расхода газа от степени понижения
давления, полученная из аппроксимации
экспериментального комплекса расхода
89
По данным табл. П.1.5.2 произведена аппроксимация зависимости Gбезр.пр. от т , которая приведена на рис. 5.4. Зависимость размерного расхода газа от степени понижения давления дана на рис. 5.5.
Полученные аппроксимирующие уравнения характеристик турбины применимы для расчёта характеристик двигателя только с данной турбиной. Определить характеристики подобной турбины другой
размерности по полученным аппроксимирующим уравнениям невозможно, так как комплекс безразмерного расхода, приведённый к условиям данной турбины, не содержит геометрического параметра.
Универсальный метод аппроксимации характеристик турбин
различной размерности предложен Г.Ю. Степановым [8].
5.3. Универсальная методика аппроксимации
характеристик турбин
Методика названа универсальной в том смысле, что по ней можно определить характеристики любой турбины, не имея экспериментальных данных. По этой методике характеристики турбин в теоретических моделях расчёта характеристик двигателей с наддувом аппроксимируют двумя зависимостями в безразмерных параметрах:
 расходную характеристику уравнением
q
f
;
 зависимость КПД от скоростного режима работы компрессора
уравнением
ад
т
f
u
c ад
u
c ад
,
0
где q – относительный расход газа: отношение действительного к криG
тическому (максимальному) расходу газа, q
– единица, де;
Gкр
ленная на степень понижения давления газа в турбине,
1
;
ад
т
–
т
относительный адиабатный КПД турбины (отношение
ад
т
на рассмат-
90
u
– относиc ад
тельная окружная скорость на наружном диаметре рабочего колеса
турбины: отношение окружной скорости к адиабатной скорости при
риваемом режиме к
ад
т max
на расчётном режиме); u
расширении газа от давления p1 заторможенного потока на входе до
u
c ад
давления p2 на выходе на заданном режиме; u0
– относи0
тельная окружная скорость на расчётном режиме.
В газовой динамике q – приведенная плотность тока, q
w
.
с
кр кр
Умножив и разделив выражение q на эффективную площадь А
проходного сечения турбины, получим
w A
крскр A
q
G
,
Gкр
где Gкр – критический расход газа, Gкр
с
кр кр
A.
Представим выражения критической плотности газа
кр
и крити-
ческой скорости звука cкр :
2
кр
1
Gкр
RT1
p1
RT1
k 1
cкр
p1
1
k 1
A k
2
k
k 1
2
k 1
1
k 1
2
k 1
;
RT1 ;
k 1
k 1
m A
где m – функция показателя адиабаты, m
p1
(5.1)
,
RT1
k
2
k 1
k 1
k 1
;
– коэф-
фициент расхода; А – геометрическая площадь проходного сечения
турбины.
При применении регулируемых турбин следует учитывать изменение эффективной площади проходного сечения вследствие регулирования.
91
Простота аппроксимации этих характеристик основана на том,
что т слабо зависит от т , а q – от u .
Примеры расчёта характеристик q
при
f
при u
var и
f u
т
var и их аппроксимация, взятые из [8], приведены на рис. 5.6.
q
0,2
0,8
т
0,7
0,8
0,5
0,6 0,8
0,
4
0,
6
0,6
0,6
0,4
0,4
т
q
0,2
0,2
кр
0,5
0
0,6
0,4
0,8
1
0
0,2
0,5
u
0,6
0,4
с ад
т
а)
б)
Рис. 5.6. Аппроксимация характеристик турбины: а – расходная
характеристика (зависимость относительного расхода от – отношения
давления на выходе к заторможенному давлению); б – зависимость КПД
турбины от относительной окружной скорости рабочего колеса
при различных
5.4. Аппроксимация расходных характеристик турбины
по универсальной методике
5.4.1. Методика аппроксимации расходных
характеристик турбин
С достаточной степенью точности зависимость q
аппрок-
f
симируют методом эллипса в соответствии с уравнением (4.10).
Выразим параметры эллипса через параметры турбины:
y
q, a
qmax
1, x
1
1
кр
т
т кр
, b 1
кр
1
1
т кр
.
92
q2
Тогда уравнение эллипса примет вид:
1
)2
(
кр
(1
2
кр )
1.
Отсюда
1
2
1
2
q
1
кр
1
т
1
кр
т кр
,
1
1
(5.2)
т кр
где
кр
– критическое отношение давлений в газовой турбине,
pкр
2
т кр
p1
k 1
кр
где
k
k 1
1
1
,
(5.3)
– степень реактивности турбины.
Зависимость адиабатного КПД турбины от отношения относительных окружных скоростей аппроксимируют методом параболы
уравнением
2
т
u
c ад
u
c ад
1
т0
т
где
т
u
c ад
u
c ад
2
0
u
c ад
u
c ад
т0
1
, откуда
0
u
2
u0
u
u0
u 2 u
т0
,
(5.4)
0
– КПД турбины на рассматриваемом режиме;
т0
– КПД турби-
ны на расчётном режиме.
Относительной окружной скоростью u называют отношение окружной скорости для радиальной турбины на наружном радиусе рабочего колеса r1 к адиабатной скорости c ад на данном режиме, для осевой турбины – отношение окружной скорости на среднем радиусе рабочего колеса к c ад.
Для радиальной турбины
93
u
r1n
.
30
(5.5)
Для осевой турбины
d1 d2 n
(5.6)
,
2 60
где d1 – наружный диаметр рабочего колеса, м; d2 – внутренний диаu
метр рабочего колеса (диаметр втулки), м; n – частота вращения рабочего колеса, мин–1.
Адиабатная скорость c ад – скорость при адиабатном расширении газа от давления p1 заторможенного потока на входе до давления
p2 на выходе, она определяется из уравнения энергии в «тепловой
форме»:
q
При q
c ад
0,
0, c1
техн
2 h1
(h1
h2
h2 )
c12
техн
2
0 и c2
2c p T1
c22
.
c ад.
T2ад
2
k
k 1
RT1 1
1
k 1
k
т
.
(5.7)
5.4.2. Алгоритм и пример расчёта параметров расходной
характеристики турбины ТКР-10СТ на заданном режиме
по универсальной методике
Исходные данные:
 давление окружающей среды p0
106 кПа;
 температура газа перед турбинойT1
1023 K;
 индивидуальная газовая постоянная R
 коэффициент избытка воздуха
2;
291 кДж/(кг·K);
 базовая площадь проходного сечения турбины на входе
Aтбаз
21 см2 (см. рис. 5.1);
 степень реактивности турбины
Расчёт при
т
2,0
0,45.
94
1. Эффективная площадь проходного сечения
Ат
2
т
0,0002
0,0002 22
0,0012
8 10
т
0,0012 2 8 10
5
0,00152 м2 .
5
2. Относительная эффективная площадь проходного сечения по
аппроксимирующему уравнению (см. рис. 5.3):
Aт
Aт
Aт
0,42
2
т
1,2
0,0381
т
расч
0,42 0,9522 1,2 0,952 0,0381 0,724,
где
т
т
т баз
2
0,952.
2,1
3. Отношение давлений
p2
p1
1
1
2
т
0,5.
4. Изобарная теплоёмкость газа
cp
0,232
1,003
1,003
0,0544
0,0899
0,0544
2
0,1389
0,1433
2
2
Tг 273
1000
0,037
Tг 273
1000
1023 273
1000
0,037
2
0,1389
0,1433
2
Tг 273
1000
0,0925
1023 273
1000
0,0925
1023 273
1000
0,232
3
1,21
0,0899
2
кДж
.
кг К
5. Показатель адиабаты
k
cp
cp
cv
cp
1,21
1,32.
1,21 0,291
R
6. Критическое отношение давлений
2
кр
k
k 1
k 1
2
1,32 1
1
1,32
1,32 1
1 0,45
7. Давление газа перед турбиной
p1
p0
т
106 2
8. Критический расход газа
212 кПа.
3
0,298.
95
Ат p1
2
Gкр
k 1
k 1
k
k 1
RT1
1,32
2
1,32 1
0,00152 212 103
1,32 1
1,32 1
0,396
291 1023
кг
.
с
9. Относительный расход газа по расчёту
1
qр
1
т
1
1
2
т кр
0,5 0,298
1 0,298
1
1
2
0,958.
т кр
10. Расход газа на рассматриваемом режиме
Gp qpGкр 0,958 0,396 0,379 кг/с.
По экспериментальной характеристике
1. Безразмерный расход газа без учёта постоянных величин для
данной турбины по аппроксимирующему уравнению (см. рис. 5.4):
Gбезр. пр. 3,9447
3,9447 23
3
т
23,031
23,031 22
2
т
46,461
т
26,787
46,461 2 26,787
5,57.
2. Размерный экспериментальный расход газа, определённый по
безразмерному приведенному расходу (см. рис. 5.1) с переводом давления в размерность в системе СИ
Gэ
Gбезр. пр т p0
98,1 T1
5,57 2 106
98,1 1023
0,376 кг/с.
Полученные расчётное значение расхода Gр практически равно
значению, определённому по экспериментальной характеристике.
5.4.3. Аппроксимация экспериментальной расходной
характеристики турбины ТКР-10СТ
По приведенному алгоритму выполнена аппроксимация расходной характеристики турбины ТКР-10СТ при указанных выше исходных
данных. Результаты расчётов даны в табл. П.1.5.3. Зависимость
96
G
от
Gкр.
q
1
представлена на рис. 5.7, зависимость расхода газа
т
от степени понижения давления по данным эксперимента и по расчёту
– на рис. 5.8.
q
Gг , кг / с
1,00
0,5
0,95
0,4
0,90
0,85
1
0,3
0,80
2
0,75
0,2
0,70
0,65
0,45
0,55
0,65
0,85
0,75
0,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
т
Рис. 5.7. Зависимость
относительного расхода q
от отношения
G
Gкр
1
Рис. 5.8. Зависимость расхода газа
от степени понижения давления
по данным эксперимента и по расчёту:
1 – эксперимент; 2 – расчёт
т
Зависимость q
за T1
G
от
Gкр.
1
, полученная при температуре га-
т
1023 К, остается неизменной и при других температурах. При
этом размерный приведённый расход газа в зависимости от степени
понижения давления изменяется.
Для примера в табл. П.1.5.4 приведены результаты расчёта при
T1
900 K, сопоставление зависимостей G от
T1
1023, 900 и 800 K дано на рис. 5.9.
т
при температурах
97
Gг , кг / с
0,45
0,4
3
0,35
2
0,3
1
0,25
0,2
0,15
0,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
к
Рис. 5.9. Сопоставление зависимостей Gг от т при различных температурах
газа на входе в турбину: 1 – Т1 = 1023 К; 2 – Т1 = 900 К; 3 – Т1 = 800 К
С уменьшением температуры газа расход возрастает, что объясняется увеличением плотности газа.
5.4.4. Определение расходных характеристик
подобной турбины другой размерности
В подобной турбине остаются численно равными относительные
геометрические размеры и все безразмерные параметры.
Определим, для примера, характеристики турбины, подобной
турбине ТКР-10СТ, с коэффициентом уменьшения линейных геометрических размеров k
0,7. Тогда в подобной турбине геометрические параметры, обозначенные штрихом, будут следующие:
 наружный диаметр рабочего колеса на входе
d1
k d1
0,7 96,5
67,55 мм;
 наружный диаметр рабочего колеса на выходе
d2
k d1
0,7 86,6
60,62 мм;
98
 диаметр втулки рабочего колеса на выходе
d0 k d0 0,7 32 22,4 мм;
 ширина лопатки рабочего колеса на входе
b0 k b1 0,7 15 10,5 мм;
 площадь проходного сечения двухзаходной входной улитки (базовой площади)
Абаз
k 2 Абаз
0,72 21 10,29 см2.
Относительная эффективная площадь проходного сечения определяется по тому же уравнению, что и для турбины прототипа (ТКР10СТ):
A
Aрасч
0,42 2т 1,2 т 0,0381.
Абаз
Эффективная площадь проходного сечения
A
A Абаз.
Gг , кг / с
0,45
0,4
0,35
1
0,3
2
0,25
0,2
0,15
3
0,1
0,05
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
т
Рис. 5.10. Зависимость расхода газа от степени понижения давления
подобных турбин: 1 – турбина – прототип (ТКР-10СТ);
2 – подобная турбина с коэффициентом геометрического уменьшения k 0,8;
3 – подобная турбина с k
0,7
99
Результаты расчёта расходной характеристики подобной турбины представлены в табл. П.1.5.5, прил. 1. Графическое представление
расходных характеристик турбины-прототипа и подобных турбин с коэффициентами геометрического уменьшения k
0,8 и k 0,7 дано
на рис. 5.10.
5.5. Аппроксимация зависимости КПД турбин
от режима ее работы
5.5.1. Алгоритм и пример расчёта КПД турбины
на заданном режиме
Исходные данные
 степень понижения давления
т0
2,1;
 наружный радиус рабочего колеса r1
0,0965 мм;
 частота вращения ротора на расчётном режиме
nт0 44550 мин–1;
 частота вращения ротора на заданном режиме
nтз 30000 мин–1;
 КПД турбины на расчётном режиме
 температура газа перед турбиной Tr
 газовая постоянная R
0,65;
т0
1023 K;
0,291 кДж/(кг·K);
 коэффициент избытка воздуха
 показатель адиабаты k
2;
1,32;
 изобарная теплоёмкость сp
1,21.
Расчёт
1. Окружная скорость на наружном радиусе при расчётном режиме
r1nт0 3,14 0,0965 44550
u10
450 м/с.
30
30
2. Адиабатная скорость на расчётном режиме
с0ад
2
k
k 1
RT1 1
1
k 1
k
т0
100
2
1,32
291 1023 1
1,32 1
1
1,32 1
1,32
636 м/с.
2,1
3. Окружная скорость на наружном радиусе на заданном режиме
r1nт
30
u
3,14 0,0965 30000
30
303 м/с.
4. Адиабатная скорость на заданном режиме
сзад
2
2
k
k 1
1
RT1 1
1,32
291 1023 1
1,32 1
k 1
k
т
1
1,32 1
1,32
636 м/с.
2,1
5. Относительная окружная скорость на расчётном режиме
u
c ад
u0
450
636
0,708.
6. Относительная окружная скорость на заданном режиме
u
c ад
u
303
636
0,476.
7. Отношение относительных окружных скоростей на заданном и
расчётном режимах
u
u0
u
0,476
0,708
0,673.
8. Относительный КПД на заданном режиме
2
т
т
u
c ад
u
c ад
1
т max
1
1
0,673 1
2
0,893.
0
9. КПД при заданной относительной окружной скорости
т
т
т max
т0
0,893 0,65
0,581.
101
5.5.2. Аппроксимация зависимости КПД турбины
от режима её работы
При работе турбины совместно с компрессором относительная
окружная скорость на различных режимах работы турбокомпрессора
меньше, чем на расчётном режиме, соответственно отношение относительных окружных скоростей меньше единицы и КПД меньше расчётного. При автономной работе турбины (например, силовая турбина
газотурбинного двигателя) относительная окружная скорость на различных режимах работы может быть больше, чем на расчётном режиме, с отношением относительных скоростей больше единицы. Однако и в этом случае КПД турбины будет меньше расчётного. Такие
режимы могут быть при уменьшении температуры газа с поддержанием постоянной частоты вращения рабочего колеса изменением нагрузки турбины.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
u
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
Рис. 5.11. Зависимость относительного КПД турбины от отношения
относительных окружных скоростей на заданных и расчётном режимах
Результаты расчёта на различных режимах работы турбины с
отношением относительных окружных скоростей меньше единицы
представлены в табл. П.1.5.6, прил. 1, а больше единицы – в
табл. П.1.5.7, прил. 1, графические зависимости показаны на рис. 5.11.
102
Задание на самостоятельную работу № 5.1
Характеристику турбины, приведённую на рис. 5.1 перестроить в
размерную характеристику и в характеристику в относительных параметрах.
Задание на самостоятельную работу № 5.2
Аппроксимировать характеристики турбины, построенные по заданию № 5.1, в координатах
т
f u иq
f
.
6. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ РАЗМЕРОВ
ЛОПАТОЧНЫХ МАШИН ДЛЯ НАДДУВА ДВС
Необходимые размеры компрессора и турбины определяются по
результатам расчёта двигателя на номинальном режиме.
Для определения наружного диаметра d1 рабочего колеса центробежного компрессора при задаваемой степени повышения давления
к
и степени охлаждения надувочного воздуха
охл
вычисляется
расход воздуха Gв через цилиндры двигателя и по численным значениям
к
и Gв выбирается соответствующий существующий компрес-
сор. При отсутствии такого компрессора выбирается компрессорпрототип с удовлетворительными параметрами и по вышеизложенной
методике производится пересчёт диаметра для необходимого подобного компрессора и его характеристик.
Необходимая размерность турбины определяется при выполнении следующих расчётов.
Мощность турбины равна мощности, необходимой для привода
компрессора:
Nт Nк .
Мощность, необходимая для привода компрессора, определяется по уравнению
Gв
Nк
Мощность турбины
k
kв 1
RвТ 0
ад
к
к
kв 1
kв
1
.
103
Gг
kг
kг 1
1
RгТ 1т 1
т
Nт
ад
т
kг 1
kг
Nк .
мткр
Отсюда
kг
kг 1
т
1
1
kг 1 Nк ад
т
kгGгRгТ 1т
.
м ткр
По аппроксимирующему уравнению определяется относитель1
G
ный расход газа q
в зависимости от
:
Gкр.
т
1
q
т
1
2
1
т кр
1
1
.
т кр
При известном из расчёта расходе газа Gг вычисляется критический расход газа
Gг
.
q
Из уравнения критического расхода
Gкр.
Аp1
Gкр
2
k 1
k 1
k
k 1
RT1
определяется необходимая эффективная площадь проходного сечения турбины
А
где m
k
2
k 1
k 1
Gкр RгT1т
mp 1т
,
.
k 1
Геометрическая площадь А определяется из равенства безразмерных отношений
104
А
А
где
А
, откуда А
А
А
А
,
А
А – эффективная площадь проходного сечения рассчитывае-
мой турбины при полученной в расчёте степени понижения давления
т
;
А – эффективная площадь проходного сечения турбины–
прототипа при том же значении
т
; А и А – геометрические площади
проходного сечения рассчитываемой турбины и турбины-прототипа
соответственно.
По соотношению геометрических площадей проходного сечения
вычисляется:
 для радиальной турбины наружный диаметр колеса
A
;
A
 для осевой турбины средний радиус колеса
d1
d1
A
.
A
Наружный d1 и внутренний d2 диаметры колеса осевой турбины
dср
dср
определяют из уравнений:
dср
A
d d2
dср 1
2
d1 d2
, отсюда d2
2
dср
d1 2dср
2
d1
2dср
d1;
dср d1 dср ; d1
A
dср2
dср
.
7. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ АППРОКСИМИРУЮЩИХ
УРАВНЕНИЙ ПРИ РАСЧЁТЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДВС
7.1. Применение аппроксимирующих уравнений при расчёте
характеристик ДВС с одноступенчатым наддувом
7.1.1. Применение аппроксимирующих уравнений
характеристик компрессора
При расчёте частичного режима работы двигателя задаются в
первом приближении относительные расход воздуха Gв и частота вра-
105
щения nк рабочего колеса компрессора. По аппроксимирующим уравнениям вычисляют параметры эллипсов напорной характеристики и зависимости относительного КПД компрессора от относительных расхода
и частоты вращения с последующим определением степени повышения
давления и КПД (см. алгоритмы и примеры расчёта в 4.3.4 и 4.3.6).
Необходимость уточнения Gв и nк определяется по результатам
расчёта турбины (см. 7.1.2)
7.1.2. Применение аппроксимирующих уравнений
характеристик турбины
При расчёте характеристик двигателя задают в первом приближении давление перед турбиной p1т .
По результатам расчёта процессов в цилиндрах определяют
температуру газа перед турбиной при давлении p1т .
Вычисляют критический расход газа
Аp1т
2
Gг кр
kг 1
kг 1
kг
kг
1
RT1т
и относительный расход газа
Gг
.
Gг кр
q
Из зависимости q
1
f
определяют степень понижения
т
давления в турбине
1
т
1
.
1
1
т кр
1 q2
т кр
Определяют давление газа за турбиной
p2т
p1т
т
.
106
Численное значение p2 т должно быть равным значению давления pвып
p , где
вып 0
вып
– коэффициент восстановления полного
давления, учитывающий сопротивление выпускного трубопровода,
p0
.
вып
p2т
В случае их отличия корректируют задаваемое давление перед
турбиной и расчёт повторяется до получения равенства этих давлений.
Для определения КПД турбины вычисляются:
 окружная скорость uт (для радиальной турбины на наружном
dср
d1
):
, для осевой турбины r
2
2
rnт
uт
,
30
где частота вращения nт рабочего колеса турбины равна частоте
радиусе колеса r
вращения nк рабочего колеса компрессора, полученной при расчёте
параметров компрессора;
 адиабатная скорость
с0ад
2
k
k 1
RгT1т 1
1
k 1
k
т
,
где T1т – заторможенная температура перед турбиной;
т
– степень
понижения давления;
 относительная окружная скорость на рассчитываемом режиме
uт
u
;
с ад
 окружная скорость рабочего колеса при частоте вращения на
номинальном режиме
rnт0
uт 0
;
30
 адиабатная скорость по параметрам на номинальном режиме
с0ад
2
kг
kг 1
RгT1т н 1
1
kт 1
kт
тн
;
107
 относительная окружная скорость на номинальном режиме
uт0
u0
;
с ад
0
 отношение относительных окружных скоростей на рассчитываемом и на номинальном режимах
u
;
u0
u
 относительный КПД в зависимости от отношения относительных
окружных скоростей
2
т
u
c ад
u
c ад
1
т0
1
;
0
 КПД турбины
т
т
т0
.
т0
При полученных значениях температуры газа перед турбиной,
степени понижения давления и КПД турбины определяют удельную
работу турбины
kг
kг
1
RгТ 1 т 1
1
т
т
kг 1
kг
ад
т
и мощность
Nт
Gг
т
.
м ткр
При отличии численного значения мощности турбины от необходимой для привода компрессора корректируется задаваемая относительная частота вращения рабочего колеса компрессора. При этом
нарушится баланс расхода воздуха через компрессор и цилиндры, что
потребует корректирования и относительного расхода воздуха. Ите-
108
рация производится до достижения равенства расходов воздуха и
мощностей.
7.2. Особенности применения аппроксимирующих уравнений
при расчёте характеристик двигателя
с двухступенчатым наддувом
Задаются в первом приближении относительные расход воздуха
и частота вращения компрессора 1-й ступени. Так же, как при одноступенчатом наддуве, по аппроксимирующим уравнениями вычисляются параметры эллипсов напорной характеристики и зависимости
относительного КПД компрессора от отношения относительных расхода и частоты вращения с последующим определением степени повышения давления и КПД. Вычисляются физический размерный расход воздуха и параметры на выходе из первой ступени компрессора
p2к1 и T2к1:
p2к1
p0к
;
к1
кв 1
кв
1
к1
T2к1 T1к1 1
ад
к1
.
Параметры на входе во вторую ступень равны параметрам на
выходе из первой ступени: p1к2 p2 к1; T1к2 T2 к1, которые отличаются
от параметров p2к1р и T2к1р на расчётном режиме. Вследствие этого
характеристики 2-й ступени смещаются и необходимо расход воздуха
и частоту вращения на расчётном режиме смещённых характеристик
привести к этим новым параметрам.
Расчётные расход воздуха и частота вращения, приведённые к
новым параметрам на входе, вычисляются по формулам приведения
для данного компрессора:
Gвр пр
Gвр
nкр пр
p2к1p
p2к1
nкр
T2к1
;
T2к1р
T2к1р
T2к1
.
109
В этом случае относительные расход воздуха и частота вращения определяются относительно полученных расчётных величин приведения:
Gв
Gв
; nк
Gвp пр
nк
,
nкр пр
где Gв – расход воздуха и nк – частота вращения на рассматриваемом заданном режиме работы.
При расчёте частичного режима физический размерный расход
воздуха Gв з через 2-ю ступень принимается равным расходу через
1-ю ступень компрессора, относительная частота вращения nк задается в первом приближении и уточняется до получения равенства
мощностей турбины и компрессора второй ступени наддува ДВС.
По полученной после приближений относительной частоте вращения определяется размерная частота вращения
nк3
nк3nк2 пр.
Так как степень повышения давления и КПД компрессора второй
ступени при смещении характеристик остаются неизменными, их численные значения на заданном нерасчётном режиме определяются по
тем же уравнениям, аппроксимирующим зависимость параметров эллипсов от относительной частоты вращения, что и для первой ступени, с подстановкой полученных относительного расхода и частоты
вращения.
Далее вычисляются параметры воздуха на выходе.
Суммарная степень повышения давления
к
к1 к2
.
Давление воздуха за компрессорами
pк2
где
вп
p0
к
вп
к
,
– коэффициент восстановления полного давления, учиты-
вающий гидравлическое сопротивление на впуске,
вп
p1к1
;
p0
к
– ко-
эффициент восстановления полного давления, учитывающий гидрав-
110
лическое сопротивление трубопровода от компрессора 1-й ступени до
компрессора 2-й ступени,
p1к2
.
p2к1
к
Давление воздуха на входе в охладитель наддувочного воздуха
(ОНВ) при его применении
pонввх
где
охл
p2к2
охл
,
– коэффициент восстановления полного давления на участке
между компрессором 2-й ступени и ОНВ.
Давление воздуха за ОНВ
pонввых
где
pонввх
pохл,
pохл – понижение давления в ОНВ, которое определяется при
расчёте ОНВ.
Давление воздуха на входе в двигатель
pд
где
онв д
pонввых
онв д
,
– коэффициент восстановления полного давления на участ-
ке между ОНВ и входом в цилиндры двигателя.
Температура воздуха на выходе из 1-й ступени компрессора
kв 1
kв
к1
1
T2 к1
T1к1
1
.
ад
k1
Температура воздуха на выходе из ОНВ
Tохл1
где
охл1
T21
охл1
T21 Tохл ,
– степень охлаждения воздуха в промежуточном охладителе;
Tохл – температура охлаждающего теплоносителя.
Температура воздуха на выходе из компрессора 2-й ступени
1
T2 к2
T1к2
к2
kв 1
kв
ад
k2
1
.
Температура воздуха на входе в двигатель при наличии ОНВ
Tд
T2к2
охл2
T2к2
Tохл .
111
Плотность воздуха на входе в двигатель
pд
.
RrTд
д
При полученной плотности воздуха на входе в двигатель далее
вычисляется по обычному алгоритму расход воздуха через цилиндры
двигателя.
При расхождении расходов воздуха через компрессоры и цилиндры двигателя корректируется относительный расход воздуха через компрессор 1-й ступени и расчёт повторяется до получения равенства этих расходов.
Для расчёта турбин задаётся в первом приближении давление
воздуха перед турбинами, с учётом которого определяется температура газа перед турбинами при расчёте процессов в цилиндре.
При известных расходе газа и температуре перед турбиной компрессора 1-й ступени определяется степень понижения давления
т1
в турбине компрессора 1-й ступени так же, как при одноступенчатом
наддуве.
Вычисляются параметры (давление и температура) за турбиной
компрессора 1-й ступени, которые равны параметрам на входе в турбину компрессора 2-й ступени:
p2т1
T2т1
T1т1
p1т1
т1
;
1
1
т1
kг 1
kг
т1
.
Таким же образом, как для турбины при одноступенчатом наддуве и для первой ступени при двухступенчатом наддуве, из зависимости q
f
определяется степень понижения давления
т2
в турбине
компрессора 2-й ступени при известных расходе газа и температуре
T1к2
Т 2к1.
Вычисляется давление за турбиной
p2т2
p1т2
т2
,
112
которое должно быть равным давлению на выпуске
pвып
вып p0 ,
где
вып
– коэффициент восстановления полного давления, учиты-
вающий гидравлическое сопротивление выпускного трубопровода,
вып
p0
.
p2т2
Определяются удельная работа и мощность турбины компрессора 2-й ступени
т2
kг
kг 1
1
RгТ 1 т2 1
т
Nт 2
Gг
т2
kг 1
kг
т2
;
.
мткр 2
При расхождении численных значений мощностей компрессоров
и турбин корректируется вначале относительная частота вращения
компрессора с большей разницей мощностей турбины и компрессора
с уточнением относительного расхода воздуха компрессора первой
ступени. Расчёт повторяется до получения равенств Nт1
Nт2
Nк2 .
Nк1 и
113
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблицы с расчётными данными
Таблица П.1.4.1
Пересчёт параметров экспериментальных характеристик
компрессора, представленных на рис. 4.1, в относительные и
размерные параметры
На расчётном
режиме
nк
Gвбезр
Gвбезр
к
к
к
к
nк
Gвбезр
к
к
к
к
nк
nк2 , мин–1
0,3
0,325
0,347
0,858
1,000 0,083
1,157
3,06
3,57
3,86
4,13
3,28
3,17
2,84
2,25
1,03
1,00
0,90
0,71
0,810
0,885 0,810
0,500
0,931
1,017 0,931
0,575
–1
0,9; nк2 34686 мин ; nк1 17757 мин–1
0,220
Gв
Gв , кг/с
к
0,3
3,16
0,87
38540
–1
1,0; nк2 38540 мин ; nк1 19730 мин–1
0,2575
Gв
Gв , кг/с
к
0,250
0,275
0,300
0,733
0,833 0,917
1,000
2,62
2,97
3,27
3,57
1,82
1,78
1,70
1,50
0,78
0,77
0,73
0,62
0,817
0,900 0,815
0,585
0,939
1,034 0,937
0,672
–1
0,8; nк2 30832 мин ; nк1 15784 мин–1
nк1, мин–1
19730
0,353
1,177
4,20
1,50
0,47
0,270
0,310
0,315
1,050
3,74
1,25
0,47
0,260
0,299
Gвбезр
0,175
0,200
0,225
0,250
0,275
Gв
Gв , кг/с
0,583
2,08
2,1
0,66
0,820
0,943
0,667
2,38
2,1
0,66
0,890
1,023
0,750
2,67
2,0
0,63
0,887
1,020
0,833
2,97
1,8
0,57
0,680
0,782
0,917
3,27
1,4
0,44
0,225
0,259
к
к
к
к
114
Продолжение табл. П.1.4.1
nк
Gвбезр
0,7; nк2
0,145
Gв
Gв , кг/с
к
к
к
к
nк
26978 мин–1; nк1 13811 мин–1
0,179
0,200
0,224
0,483
0,597 0,667
0,747
1,72
2,13
2,38
2,66
1,82
1,78
1,70
1,50
0,57
0,56
0,54
0,47
0,815
0,878 0,800
0,490
0,937
1,009 0,920
0,563
–1
0,6; nк2 23124 мин ; nк1 11838 мин–1
0,240
0,800
2,85
1,25
0,39
0,220
0,253
Gвбезр
0,123
0,150
0,166
0,175
0,190
Gв
Gв , кг/с
0,410
1,46
1,60
0,50
0,815
0,937
0,500
1,78
1,56
0,49
0,875
1,006
0,553
1,97
1,50
0,47
0,800
0,920
0,583
2,08
1,42
0,45
0,720
0,828
0,633
2,26
1,26
0,40
0,220
0,253
к
к
к
к
Примечание. Безразмерный расход воздуха определён по форGв kRT1
.
муле Gвбезр
p1к2 rк22
115
Таблица П.1.4.2
Параметры в точках ветвей характеристик второй ступени
компрессора при работе на заданном нерасчётном режиме
nк
1,0; nк2н.р
36728 мин–1
Gв
0,858
1,000
0,083
1,157
1,177
Gв , кг/с
2,43
2,83
3,08
3,26
3,33
к
3,28
3,16
2,84
2,25
1,50
к
0,810
0,885
0,810
0,500
0,270
nк
0,9; nк2н.р
33466 мин–1
Gв
0,733
0,833
0,917
1,000
1,050
Gв , кг/с
2,08
2,36
2,60
2,83
2,97
к
1,82
1,78
1,70
1,50
1,25
к
0,817
0,900
0,815
0,585
0,260
nк
0,8; nк2н.р
29747 мин–1
Gв
0,583
0,667
0,750
0,833
0,917
Gв , кг/с
1,65
1,89
2,12
2,36
2,60
к
2,1
2,1
2,0
1,8
1,4
к
0,820
0,890
0,887
0,680
0,225
nк
0,7; nк2н.р
26029 мин–1
Gв
0,483
0,597
0,667
0,747
0,800
Gв , кг/с
1,37
1,69
1,89
2,12
2,27
к
1,82
1,78
1,70
1,50
1,25
к
0,815
0,878
0,800
0,490
0,220
nк
0,6; nк2н.р
23311 мин–1
Gв
0,410
0,500
0,553
0,583
0,633
Gв , кг/с
1,16
1,42
1,57
1,65
1,79
к
1,60
1,56
1,50
1,42
1,26
к
0,815
0,875
0,800
0,720
0,220
116
Таблица П.1.4.3
Размерные характеристики ступеней компрессора на высоте
над уровнем моря H = 2000 м
На расчётном
режиме
nк
Gв , кг/с
2,84
1,0; nк2
к2
3,16
к2
0,87
nк2 , мин–1
nк1, мин–1
37704
19338
37704 мин–1; nк1 19337 мин–1
Gв
0,858
1,000
0,083
1,157
1,177
Gв , кг/с
2,44
21,84
3,08
3,27
3,34
к
3,28
3,17
2,84
2,25
1,50
к
0,810
0,885
0,810
0,500
nк
0,9; nк2
–1
0,270
–1
33934 мин ; nк1 17404 мин
Gв
0,733
0,833
0,917
1,000
1,050
Gв , кг/с
2,08
2,37
2,60
3,57
2,98
к
1,82
1,78
1,70
1,50
1,25
к
0,817
0,900
0,815
0,585
0,260
nк
0,8; nк2
30163 мин–1; nк1 15470 мин–1
Gв
0,583
0,667
0,750
0,833
0,917
Gв , кг/с
1,66
1,89
2,13
2,37
2,60
к
2,1
2,1
2,0
1,8
1,4
к
0,820
0,890
0,887
0,680
0,225
nк
0,7; nк2
26393 мин–1; nк1 13536 мин–1
Gв
0,483
0,597
0,667
0,747
0,800
Gв , кг/с
1,37
1,70
1,89
2,12
2,27
к
1,82
1,78
1,70
1,50
1,25
к
0,815
0,878
0,800
0,490
nк
0,6; nк2
–1
0,220
–1
22622 мин ; nк1 11603 мин
Gв
0,410
0,500
0,553
0,583
0,633
Gв , кг/с
1,16
1,42
1,57
2,08
1,80
к
1,60
1,56
1,50
1,42
1,26
к
0,815
0,875
0,800
0,720
0,220
117
Таблица П.1.4.4
Параметры в точках ветвей характеристик второй ступени
компрессора при применении её в качестве
первой ступени сжатия
nк
1,0; nк21
32035 мин–1;
Gв
0,858
1,000
0,083
1,157
1,177
Gв , кг/с
1,16
1,35
1,47
1,56
1,59
к
3,28
3,17
2,84
2,25
1,50
к
0,810
0,885
0,810
0,500
0,270
nк
0,9; nк21
28831 мин–1;
Gв
0,733
0,833
0,917
1,000
1,050
Gв , кг/с
0,99
1,13
1,24
1,35
1,42
к
1,82
1,78
1,70
1,50
1,25
к
0,817
0,900
0,815
0,585
0,260
nк
0,8; nк21
25628 мин–1;
Gв
0,583
0,667
0,750
0,833
0,917
Gв , кг/с
0,79
0,90
1,02
1,13
1,24
к
2,1
2,1
2,0
1,8
1,4
к
0,820
0,890
0,887
0,680
0,225
nк
0,7; nк21
22424 мин–1;
Gв
0,483
0,597
0,667
0,747
0,800
Gв , кг/с
1,37
1,70
1,89
2,12
2,27
к
1,82
1,78
1,70
1,50
1,25
к
0,815
0,878
0,800
0,490
0,220
nк
0,6; nк21
19221 мин–1;
Gв
0,410
0,500
0,553
0,583
0,633
Gв , кг/с
0,56
0,68
0,75
0,79
0,86
к
1,60
1,56
1,50
1,42
1,26
к
0,815
0,875
0,800
0,720
0,220
118
Таблица П.1.4.5
Результаты пересчёта параметров компрессора ТКР-8,5С
в относительные параметры
80000 мин–1 ( nк
nк
1,0 )
Gв , кг/с
0,21
0,24
Gв
0,75
0,857 0,929
к
1,9
1,89
1,88
к
1,04
1,036
1,03
1
0,97
к
0,71
0,715
0,7
0,68
0,65
0,6
0,54
к
1,044
1,05
1,029
1
0,956
0,88
0,794 0,647
0,24
nк
0,26
0,28
0,3
0,32
0,34
0,36
1
1,07
1,14
1,21
1,286
1,825 1,775 1,685 1,595
1,45
70000 мин–1 ( nк
0,923 0,874 0,795
0,44
0,875 )
Gв , кг/с
0,13
0,16
0,18
0,26
0,3
Gв
0,446
0,57
0,643 0,714 0,786 0,857 0,929
1,07
к
1,65
1,66
1,65
1,53
1,39
к
0,904
0,91
0,904 0,893 0,882 0,868 0,838
0,76
к
0,67
0,705
0,72
0,72
0,7
0,68
0,64
0,52
к
0,985
1,037 1,059 1,059
1,03
1
0,94
0,765
0,22
0,24
0,26
nк
0,20
1,63
60000 мин–1 ( nк
0,22
1,61
1,585
0,750 )
Gв , кг/с
0,12
0,14
0,16
0,18
Gв
0,429
0,5
0,57
0,643 0,714 0,786 0,857 0,929
к
1,475
1,474 1,455 1,425 1,405
1,35
1,3
1,22
к
0,808
0,808
0,8
0,78
0,77
0,74
0,71
0,67
к
0,68
0,69
0,7
0,69
0,67
0,63
0,57
0,47
к
1
1,015 1,029 1,015 0,985 0,926 0,838
0,69
nк
50000 мин–1 ( nк
0,2
0,625 )
Gв , кг/с
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
Gв
0,357
0,428
0,5
0,57
0,643 0,714 0,786 0,828
к
1,31
1,31
1,3
1,28
1,25
1,17
1,075
к
0,718
0,718 0,712
0,7
0,685 0,658 0,641
0,59
к
0,66
0,675 0,675
0,66
0,62
0,55
к
0,97
0,993 0,993
0,97
0,91
0,809 0,646
0,2
1,2
0,22
0,46
0,24
119
Таблица П.1.4.6
Определение относительных параметров в точках напорных
ветвей компрессора ТКР-8,5С при различных nк
Gв
0,750
0,857
0,929
1,000
1,070
1,140
1,210
Gву
0,021
0,128
0,200
0,271
0,341
0,411
0,481
кх
0,460
0,450
0,435
0,413
0,383
0,343
0,288
к
1,045
1,035
1,020
0,998
0,968
0,928
0,873
0,210
0,240
0,260
0,280
0,300
0,319
0,339
к
1,907
1,889
1,862
1,822
1,767
1,693
1,593
Gв
0,446
0,570
0,643
0,714
0,786
0,857
0,929
Gву
–0,132
–0,008
0,065
0,136
0,208
0,279
0,351
кх
0,451
0,460
0,458
0,450
0,437
0,418
0,391
к
0,900
0,909
0,907
0,899
0,886
0,866
0,839
0,125
0,160
0,180
0,200
0,220
0,240
0,260
к
1,642
1,658
1,654
1,641
1,616
1,581
1,532
Gв
0,429
0,500
0,570
0,643
0,714
0,786
0,857
Gву
–0,039
0,032
0,102
0,175
0,246
0,318
0,389
кх
0,459
0,459
0,455
0,444
0,427
0,403
0,372
к
0,800
0,801
0,796
0,785
0,768
0,745
0,714
0,120
0,140
0,160
0,180
0,200
0,220
0,240
к
1,461
1,461
1,452
1,432
1,402
1,359
1,30
Gв
0,357
0,428
0,500
0,570
0,643
0,714
0,786
Gву
–0,041
0,030
0,102
0,172
0,245
0,316
0,388
кх
0,459
0,459
0,454
0,441
0,421
0,394
0,355
к
0,721
0,722
0,716
0,704
0,684
0,656
0,618
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,200
0,220
1,317
1,318
1,307
1,285
1,248
1,197
1,127
Gв , кг/с
Gв , кг/с
Gв , кг/с
Gв , кг/с
к
Примечание. Значение параметров эллипса при различных nк ,
полученные по аппроксимирующим уравнениям, см. по тексту в
табл. 4.1.
120
Таблица П.1.4.7
Зависимость относительных расхода воздуха и степени
повышения давления на линии границы помпажа компрессора
ТКР-8,5С от относительной частоты вращения по данным
экспериментальной характеристики
nк
0,5
0,286
0,647
Gв
к
0,625
0,361
0,718
0,750
0,418
0,808
0,875
0,464
0,904
1,0
0,75
1,04
Таблица П.1.4.8
Пересчёт экспериментальных значений КПД компрессора
ТКР-8,5С при различных значениях расхода воздуха и частоты
вращения рабочего колеса в относительные параметры
Gвр
Параметры на расчётном режиме
0,28 кг/с; кр 0,68; nкр 80000 мин–1
nк
80000 мин–1 ( nк
1,0 )
Gв , кг/с
0,2
0,22
0,24
0,26
0,3
0,32
0,34
0,36
Gв
0,714
0,786
0,828 0,929
1,07
1,143 1,214
1,286
к
0,7
0,71
0,715
0,65
к
0,7
0,54
0,44
1,029
1,044 1,05 1,029 0,956 0,882 0,794
nк 70000 мин–1 ( nк 0,875 )
0,647
Gв , кг/с
0,14
0,16
0,18
0,28
Gв
0,5
0,57
0,643 0,714 0,786 0,857 0,929
к
0,678
0,705
0,715 0,715
к
0,997
Gв , кг/с
Gв
0,2
0,22
0,7
0,6
0,24
1
0,64
0,59
1,037 1,05 1,05 1,029
1
–1
nк 60000 мин ( nк 0,750 )
0,94
0,868
0,12
0,14
0,16
0,18
0,24
0,26
0,428
0,5
0,57
0,643 0,714 0,786 0,857
0,929
к
0,68
0,695
0,7
0,69
0,565
0,475
к
1
1,02 1,029 1,015 0,978 0,926 0,831
nк 50000 мин–1 ( nк 0,625 )
0,699
0,2
0,665
0,68
0,26
0,22
0,63
Gв , кг/с
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
Gв
0,357
0,428
0,5
0,57
0,643 0,714 0,786
к
0,66
0,675
0,675
0,66
0,62
к
0,985
0,993
0,993
0,97
0,912 0,809 0,676
0,2
0,55
0,22
0,46
121
Таблица П.1.4.9
Параметры эллипсов, совмещенных с зависимостями КПД
компрессора ТКР-8,5С от относительной частоты вращения
рабочего колеса
nк
Gв0
1,000
0,875
0,750
0,625
0,824
0,677
0,554
0,454
Gвb
к0
0,373
0,371
0,355
0,325
ка
0,493
0,474
0,437
0,381
0,675
0,675
0,675
0,675
Таблица П.1.4.10
Зависимости КПД компрессора ТКР-8,5С от расхода воздуха
при различных частотах вращения рабочего колеса, полученные
по аппроксимирующим уравнениям
n
80000 мин–1 ( n 1,0 )
Gв
Gв0
0,714
0,857
1,000
1,070
1,142
1,213
0,824
0,824
0,824
0,824
0,824
0,824
к0
0,373
0,373
0,373
0,373
0,373
0,373
Gвb
0,493
0,493
0,493
0,493
0,493
0,493
ка
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
–0,110
0,033
0,176
0,246
0,318
0,389
0,673
0,630
0,585
1,047
1,004
0,958
0,240
0,280
0,300
0,712
0,683
0,651
–1
70000 мин ( n 0,875 )
0,515
0,889
0,320
0,604
0,414
0,787
0,340
0,535
Gвx
кy
к
Gв , кг/с
к
0,658
1,031
0,200
0,701
n
Gв
Gв0
0,500
0,644
0,786
0,929
1,000
1,07
0,677
0,677
0,677
0,677
0,677
0,677
к0
0,371
0,371
0,371
0,371
0,371
0,371
Gвb
0,474
0,474
0,474
0,474
0,474
0,474
ка
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
–0,177
–0,033
0,109
0,252
0,323
0,393
0,626
0,997
0,673
1,044
0,657
1,028
0,572
0,943
0,495
0,866
0,378
0,750
Gвx
кy
к
122
Продолжение табл. П.1.4.10
n
Gв , кг/с
60000 мин–1 ( n 0,750 )
0,140
0,678
0,429
0,180
0,710
0,643
0,220
0,699
0,714
0,260
0,641
0,786
0,280
0,589
0,857
0,300
0,510
0,929
0,454
0,454
0,454
0,454
0,454
0,454
к0
0,325
0,325
0,325
0,325
0,325
0,325
Gвb
0,381
0,381
0,381
0,381
0,381
0,381
ка
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
–0,125
0,089
0,160
0,232
0,303
0,375
0,661
0,628
0,572
1,016
0,983
0,927
–1
50000 мин ( n 0,625 )
0,486
0,841
0,346
0,701
к
Gв
Gв0
Gвx
кy
к
0,647
1,002
n
Gв , кг/с
0,120
0,681
0,357
0,180
0,691
0,5
0,200
0,669
0,571
0,220
0,630
0,643
0,240
0,572
0,714
0,260
0,477
0,786
0,451
0,451
0,451
0,451
0,451
0,451
к0
0,544
0,544
0,544
0,544
0,544
0,544
Gвb
0,364
0,364
0,364
0,364
0,364
0,364
ка
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
0,675
–0,097
0,046
0,117
0,189
0,260
0,332
0,653
0,978
0,200
0,665
0,670
0,995
0,240
0,677
0,642
0,968
0,280
0,658
0,586
0,911
0,300
0,619
0,586
0,911
0,320
0,619
0,329
0,655
0,340
0,445
к
Gв
Gв0
Gвx
кy
к
Gв , кг/с
к
123
Таблица П.1.4.11
Результаты пересчёта зависимостей КПД компрессора ТКР 90.03
nк
1,0 ( uк
450 м/с)
Gв , кг/с
0,57
0,55
0,54
0,52
0,50
0,45
Gв
1,13
1,10
1,07
1,04
1,00
0,90
к
0,66
0,70
0,73
0,76
0,77
0,77
к
0,86
0,90
0,95
0,99
1,00
1,00
nк
0,9 ( uк
400 м/с)
Gв , кг/с
0,52
0,50
0,48
0,46
0,43
0,35
Gв
1,04
1,00
0,96
0,92
0,86
0,72
к
0,66
0,70
0,73
0,76
0,77
0,77
к
0,86
0,90
0,95
0,99
1,00
1,00
nк
0,7 ( uк
350 м/с)
Gв , кг/с
0,46
0,44
0,42
0,40
0,36
0,29
Gв
0,92
0,88
0,84
0,80
0,72
0,58
к
0,66
0,70
0,73
0,76
0,77
0,77
к
0,86
0,90
0,95
0,99
1,00
1,00
nк
0,6 ( uк
300 м/с)
Gв , кг/с
0,38
0,36
0,34
0,32
0,29
0,23
Gв
0,76
0,72
0,68
0,64
0,58
0,46
к
0,66
0,70
0,73
0,76
0,77
0,77
к
0,86
0,90
0,95
0,99
1,00
1,00
Таблица П.1.4.12
Относительные и приведённые параметры на границе помпажа
второй ступени наддува, подобной первой ступени
Gв
0,361
0,418
0,464
0,75
Gв , кг/с
0,101
0,117
0,130
0,210
к
0,718
0,808
0,904
1,04
к
1,31
1,47
1,65
1,90
124
Таблица П.1.4.13
Значения приведённых расходов воздуха и степени повышения
давления в точках напорной характеристики при различных
приведенных частотах вращения рабочего колеса компрессора
второй ступени, применяемого в качестве первой ступени
наддува ДВС с меньшим рабочим объёмом цилиндров
Gвпр1
Параметры на расчётном режиме
0,16 кг/с; кр 0,74; nкпр1 104634 мин–1
nкпр1 104634 мин–1 ( nк
Gв
Gвпр1, кг/с
к
к
к1
1,825
1,0 )
0,750 0,857 0,929 1,000 1,070 1,140 1,210 1,286
0,12
0,137 0,149
0,16
0,17
0,182 0,194 0,206
1,045 1,035 1,020 0,998 0,968 0,928 0,873 0,782
1,91
1,89
nкпр1
1,86
1,82
91554 мин–1 ( nк
1,77
1,69
1,59
1,43
0,875 )
Gв
0,446 0,570 0,643 0,714 0,786 0,857 0,929 1,070
Gвпр1, кг/с
0,071 0,091 0,010 0,114 0,125 0,137 0,149 0,171
к
0,900 0,909 0,907 0,899 0,886 0,866 0,839 0,758
к
1,643 1,659 1,655 1,641 1,617 1,580 1,531 1,383
nкпр1
78476 мин–1 ( nк
0,750 )
Gв
0,429 0,500 0,570 0,643 0,714 0,786 0,857 0,929
Gвпр1, кг/с
0,069 0,080 0,091 0,010 0,114 0,125 0,137 0,149
к
0,800 0,801 0,796 0,785 0,768 0,745 0,714 0,671
к
1,460 1,462 1,453 1,433 1,402 1,360 1,303 1,225
nк
65396 мин–1 ( nк
0,625 )
Gв
0,357 0,429 0,500 0,570 0,643 0,714 0,786 0,828
Gвпр1, кг/с
0,057 0,069 0,080 0,091 0,010 0,114 0,125 0,132
к
0,721 0,722 0,716 0,704 0,684 0,656 0,618 0,589
к
1,316 1,318 1,307 1,285 1,248 1,197 1,128 1,075
125
Таблица П.1.4.14
Параметры на линии границы помпажа компрессора,
применяемого во второй и в первой ступенях наддува ДВС
 компрессора во 2-й ступени наддува с параметрами на расчётном режиме: Gв 0,28 кг/с; к 1,825; nк 110200 мин–1
Gв
Gв , кг/с
0,361
0,101
0,718
1,310
к
к
0,418
0,117
0,808
1,475
0,464
0,130
0,904
1,650
0,750
0,210
1,040
1,900
 компрессора в 1-й ступени наддува с параметрами на расчётном
режиме: Gв 0,16 кг/с; к 1,825; nк 104634 мин–1
Gв
Gв , кг/с
0,361
0,058
0,718
1,310
к
к
0,418
0,067
0,808
1,475
0,464
0,074
0,904
1,650
0,750
0,120
1,040
1,900
Таблица П.1.4.15
Определение параметров в точках напорных ветвей подобного
компрессора с большим диаметром рабочего колеса
в относительных и размерных параметрах при различных nк
Gв
Параметры в расчётной точке:
0,4 кг/с; к 1,825; nк 66667 мин–1.
nк
Gв
к
Gв , кг/с
к
0,429
0,800
0,172
1,461
0,500
0,801
0,200
1,461
nк
Gв
к
Gв , кг/с
к
0,446
0,900
0,178
1,642
0,570
0,909
0,228
1,658
nк
Gв
к
0,429
0,800
0,500
0,801
1,0 ( nк
–1
66667 мин )
0,570
0,796
0,228
1,452
0,875 ( nк
0,643
0,714
0,785
0,768
0,257
0,286
1,432
1,402
–1
58334 мин )
0,786
0,745
0,314
1,359
0,857
0,714
0,343
1,302
0,643
0,907
0,257
1,654
0,750 ( nк
0,714
0,899
0,286
1,641
0,786
0,886
0,314
1,616
–1
50000 мин )
0,857
0,866
0,343
1,581
0,929
0,839
0,372
1,532
0,643
0,785
0,786
0,745
0,857
0,714
0,570
0,796
0,714
0,768
126
Продолжение табл. П.1.4.15
Gв , кг/с
0,172
1,461
к
0,200
1,461
nк
Gв
0,375
0,721
0,143
1,317
к
Gв , кг/с
к
0,428
0,722
0,171
1,318
0,228
1,452
0,625 ( nк
0,500
0,716
0,200
1,307
0,257
0,286
1,432
1,402
–1
41667 мин )
0,314
1,359
0,343
1,302
0,570
0,704
0,228
1,285
0,714
0,656
0,286
1,197
0,786
0,618
0,314
1,127
0,643
0,684
0,257
1,248
Таблица П.1.4.16
Расчёт напорной ветви подобного компрессора,
форсированного по частоте вращения до nк = 1,05
–1
84000 мин )
nк
1,05 ( nк
0,857
0,929
1,000
1,070
1,140
1,210
Gв
0,820
Gв0
0,801
Gв b
0,583
к0
0,648
кa
0,460
Gв x
0,019
0,056
0,128
0,199
0,269
0,339
0,409
кy
0,460
0,458
0,449
0,432
0,408
0,374
0,328
к
1,107
1,105
1,096
1,080
1,056
1,022
0,975
Gв
0,328
0,343
0,372
0,400
0,428
0,456
0,484
к
2,021
2,017
2,001
1,971
1,927
1,865
1,780
Таблица П.1.4.17
Относительные и размерные параметры на границе помпажа
подобного компрессора с большим диаметром рабочего колеса
Параметры на расчётном режиме:
Gв 0,4 кг/с; к 1,825
Gв
к
Gв , кг/с
к
0,361
0,718
0,144
1,31
0,418
0,808
0,167
1,47
0,464
0,904
0,186
1,65
0,75
1,04
0,3
1,90
127
Таблица П.1.5.1
Данные эксперимента и аппроксимация зависимости пропускной
способности турбины ТК10B-31 от степени понижения давления
т
т
Aэ
Aэ
Aапр.
Aрасч
1,2
0,57
0,00107
0,510
1,4
0,636
0,00120
0,575
1,6
0,727
0,00132
0,632
1,8
0,818
0,00143
0,682
2,0
0,909
0,00152
0,724
2,1
1,0
0,00155
0,742
0,510
0,575
0,632
0,682
0,724
0,742
0,00107
0,00120
0,00132
0,00143
0,00152
0,00155
Таблица П.1.5.2
Численные значения безразмерного расхода газа
при различных степенях понижения давления
т
Gбезр.пр.,
кг см2 K
кгс с
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,60
4,10
4,85
5,40
5,70
5,85
Таблица П.1.5.3
Результаты расчёта аппроксимации характеристики турбины
ТКР-10СТ при Т1 = 1023 K
2,1
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,909
0,818
0,727
0,636
0,545
т
2
А, м
0,00155 0,0015 0,00143 0,00132 0,00120 0,00107
А
0,742
0,724
0,682
0,632
0,575
0,510
0,455
0,500
0,556
0,625
0,714
0,833
c p , кДж/(кг·K)
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
k
0,298
0,298
0,298
0,298
0,298
0,298
кр
p1, МПа
222,6
212,0
190,8
169,6
148,4
127,2
Gкр, кг/с
0,426
0,396
0,336
0,277
0,220
0,168
qр
0,967
0,958
0,930
0,885
0,805
0,647
Gгр, кг/с
0,412
0,379
0,312
0,245
0,177
0,108
По экспериментальным данным
Gбезр.пр
5,862
5,666
5,402
4,911
4,036
2,619
Gэ , кг/с
0,408
0,376
0,318
0,257
0,186
0,106
%
–0,98
–0,05
0,02
4,67
4,84
1,89
т
128
Таблица П.1.5.4
Результаты расчёта зависимости расхода газа от степени
понижения давления турбины ТКР-10СТ при Т1 = 900 К
2,1
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,909
0,818
0,727
0,636
0,545
т
2
А, м
0,00155 0,00152 0,00143 0,00132 0,00120 0,00107
А
0,742
0,724
0,682
0,632
0,575
0,510
0,455
0,500
0,556
0,625
0,714
0,833
c p , кДж/(кг·K)
1,18
1,18
1,18
1,18
1,18
1,18
1,33
1,33
1,33
1,33
1,33
1,33
k
0,297
0,297
0,297
0,297
0,297
0,297
кр
p1, МПа
222,6
212,0
190,8
169,6
148,4
127,2
Gкр, кг/с
0,456
0,423
0,359
0,274
0,236
0,179
qр
0,967
0,958
0,930
0,885
0,805
0,647
Gгр, кг/с
0,441
0,405
0,334
0,262
0,190
0,116
По экспериментальным данным
Gбезр.пр
5,862
5,666
5,402
4,911
4,036
2,619
Gэ , кг/с
0,435
0,401
0,339
0,274
0,199
0,113
т
Таблица П.1.5.5
Результаты расчёта расходной характеристики
подобной турбины
Исходные данные
2,1
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
т
1,0
0,909
0,818
0,727
0,636
0,545
т
А
0,742
0,724
0,682
0,632
0,575
0,510
2
А, м
0,00076 0,00074 0,0007 0,00065 0,00059 0,00052
0,455
0,500
0,556
0,625
0,714
0,833
c p , кДж/(кг·K)
1,18
1,18
1,18
1,18
1,18
1,18
1,33
1,33
1,33
1,33
1,33
1,33
k
0,297
0,297
0,297
0,297
0,297
0,297
кр
p1, МПа
222,6
212,0
190,8
169,6
148,4
127,2
Gкр, кг/с
0,456
0,423
0,359
0,274
0,236
0,179
qр
0,967
0,958
0,930
0,885
0,805
0,647
Gгр, кг/с
0,441
0,405
0,334
0,262
0,190
0,116
129
Таблица П.1.5.6
Результаты расчёта КПД турбины на различных режимах её
работы с отношением относительных окружных
скоростей меньше единицы
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
мин–1
44550
44550
44550
44550
44550
44550
44550
44550
nт
50000
44550
40000
30000
20000
10000
5000
1000
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
Tr , К
1023
1023
1023
1023
1023
1023
1023
1023
R,
кДж/(кг·К)
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
2
2
2
2
2
2
2
2
cp ,
кДж/(кг·К)
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
k
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
u10 ,
мин–1
c0ад ,
мин–1
u1,
мин–1
с ад ,
мин–1
450
450
450
450
450
450
450
450
636
636
636
636
636
636
636
636
505
450
404
303
202
101
50,5
10,1
636
636
636
636
636
636
636
636
u0
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
u
0,794
0,707
0,635
0,476
0,318
0,159
0,079
0,016
u
1,122
1,000
0,898
0,673
0,449
0,224
0,112
0,022
т
0,985
1,000
0,989
0,894
0,697
0,398
0,212
0,045
т
0,640
0,650
0,643
0,581
0,453
0,259
0,138
0,029
т
r1,
мин–1
nт 0 ,
т0
130
Таблица П.1.5.7
Результаты расчёта КПД турбины на различных режимах
её работы с отношением относительных окружных
скоростей больше единицы
Исходные данные
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
2,1
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
0,0965
мин–1
44550
44550
44550
44550
44550
44550
44550
44550
nт
50000
44550
40000
30000
20000
10000
5000
1000
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
Tr , К
1050
1023
900
800
600
500
400
300
R,
кДж/(кг·К)
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
0,291
2
2
2
2
2
2
2
2
т
r1,
мин–1
nт 0 ,
т0
Расчёт
cp ,
кДж/(кг·К)
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
1,21
k
1,32
1,32
1,33
1,34
1,36
1,37
1,38
1,39
u10 ,
450
450
450
450
450
450
450
450
636
636
636
636
636
636
636
636
450,0
450,0
450,0
450,0
450,0
450,0
450,0
450,0
644,5
636,0
595,9
561,2
485,0
442,3
395,2
341,9
u0
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
0,708
u
0,698
0,707
0,707
0,802
0,928
1,017
1,139
1,316
u
0,987
1,000
1,000
1,133
1,311
1,438
1,609
1,860
т
1,000
1,000
1,000
0,982
0,903
0,808
0,629
0,261
т
0,650
0,650
0,650
0,638
0,587
0,525
0,409
0,169
мин–1
c0ад ,
мин–1
u1,
мин–1
с ад ,
мин–1
131
Приложение 2
Иллюстрации для решения задач по самостоятельной работе
1,1
1
к
1,0
0,9
2
0,8
3
0,7
5
4
0,6
0,5
0,2
Gв
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Рис. П.2.1. Совмещение фрагмента эллипса с напорной ветвью компрессора
ТКР-8,5С при относительной частоте вращения рабочего колеса nк = 0,875:
1 – nк = 1,0; 2 – nк = 0,875; 3 – nк = 0,750; 4 – nк = 0,625; - - - – эллипс
132
1,1
1
к
1,0
0,9
2
0,8
3
0,7
4
5
0,6
0,5
0,2
Gв
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Рис. П.2.2. Совмещение фрагмента эллипса с напорной ветвью компрессора
ТКР-8,5С при относительной частоте вращения рабочего колеса nк = 0,75:
1 – nк = 1,0; 2 – nк = 0,875; 3 – nк = 0,750; 4 – nк = 0,625; - - - – эллипс
133
1,1
1
к
1,0
0,9
2
0,8
3
0,7
4
5
0,6
0,5
0,2
Gв
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Рис. П.2.3. Совмещение фрагмента эллипса с напорной ветвью компрессора
ТКР-8,5С при относительной частоте вращения рабочего колеса nк = 0,625:
1 – nк = 1,0; 2 – nк = 0,875; 3 – nк = 0,750; 4 – nк = 0,625; - - - – эллипс
134
Приложение 3
Варианты заданий для самостоятельной работы № 4
«Экспериментальные характеристики компрессоров»
Вариант 1
к
1,8
nк=80000 мин-1
1,6
1,4
nк=70000 мин-1
nк=60000 мин-1
1,2
nк=50000 мин-1
nк=40000 мин-1
nк=30000 мин-1
1,0
КПД
nк=80000 мин-1
0,75
0,70
nк=30000 мин-1
0,65
0,60
0
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24
Gв пр, кг/ч
Рис. П.3.1. Характеристика компрессора ТКР 7H-1
135
Вариант 2
к
3,6
u2=500 м/с
3,4
3,2
3,0
u2=450 м/с
2,8
2,6
u2=400 м/с
2,4
2,2
u2=350 м/с
2,0
1,8
u2=300 м/с
1,6
u2=250 м/с
1,4
1,2
КПД
0,80
0,75
u2=500 м/с
0,70
u2=250 м/с
0,65
0,60
0,55
0,04
0,07
0,10
0,13
0,16
0,19
0,22
0,25
0,28
0,31
0,34
Gв пр, кг/ч
Рис. П.3.2. Характеристика компрессора ТКР 80-1A
136
Вариант 3
к
3,0
u2=450 м/с
2,6
u2=400 м/с
2,2
u2=350 м/с
1,8
u2=300 м/с
1,4
u2=250 м/с
КПД
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,5
Gв пр, кг/с
Рис. П.3.3. Характеристика компрессора ТКР 100
137
Вариант 4
3,2
к
3,0
2,8
2,6
u2=450 м/с
nк=105000 мин-1
2,4
2,2
u2=400 м/с
nк=93000 мин-1
2,0
1,8
u2=350 м/с
nк=81500 мин-1
1,6
u2=300 м/с
nк=70000 мин-1
1,4
u2=250 м/с
nк=58000 мин-1
КПД
u2=200 м/с
nк=46500 мин-1
1,2
0,8
1,0
0,7
0,8
0,6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Gв пр, кг/с
Рис. П.3.4. Характеристика компрессора ТКР-8CT
138
Вариант 5
к
3,6
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
u2=500 м/с
2,4
2,2
u2=450 м/с
2,0
u2=400 м/с
1,8
u2=350 м/с
1,6
u2=300 м/с
1,4
u2=250 м/с
КПД
1,2
0,8
1,0
0,7
0,8
0,6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8
0,7
Gв пр, кг/с
Рис. П.3.5. Характеристика компрессора ТКР-10СТ
139
А т , см2
12
u1=400 м/с
u1=450 м/с
u1=350 м/с
10
u1=300 м/с
u1=250 м/с
u1=200 м/с
8
u1/cад
6
0,7
u1=450 м/с
0,6
0,5
0,4
u1=200 м/с
u1=250 м/с
u1=300 м/с
u1=350 м/с
u1=400 м/с
Gбезр.пр,
4
u1=400 м/с
кг см2 К
кгс с
u1=450 м/с
u1=350 м/с
u1=300 м/с
3
u1=250 м/с
u1=200 м/с
2
т
0,7
u1=200 м/с
u1=300 м/с
u1=350 м/с
u1=400 м/с
u1=450 м/с
u1=250 м/с
0,6
0,5
1,0
т
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Рис. П.3.6. Характеристика турбины ТКР-8СТ при температуре на входе
Т = 650ºС: геометрические параметры турбины: наружный диаметр рабочего
колеса на входе d1 = 75 мм; наружный диаметр рабочего колеса на выходе
d2 = 64 мм; средний диаметр рабочего колеса на выходе d0 = 10 мм; ширина
лопаток на входе b1 = 11,5 мм; число лопаток z = 11; площадь проходного
сечения однозаходной входной улитки Fт = 15 см2; u1 – окружные скорости
на наружном диаметре рабочего колеса
140
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шатров, М.Г. Теплотехника: учебник для студ. высш. учебн.
заведений / М.Г. Шатров, И.Е. Иванов, С.А. Пришвин [и др.]; под ред.
М.Г. Шатрова. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 288 с.
2. Луканин, В.Н. Теплотехника: учеб. для вузов / В.Н. Луканин,
М.Г. Шатров, Г.М. Камфер [и др.]; под ред. В.Н. Луканина. – 7-е изд.,
перераб. – М.: Высш. шк., 2007. – 671 с.
3. Гухман, А.А. Применение теории подобия к исследованию
процессов тепло-массообмена. – 2-е, перераб. и доп. – М.: Высш. шк.,
1974. – 328 с.
4. Дьяченко, Н.Л. Быстороходные поршневые двигатели внутреннего сгорания / Н.Л. Дьяченко, С.Н. Дашков, В.С. Мусатов [и др.];
под ред. Н.Х. Дьяченко. – Л.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1962. – 359 с.
5. Стефановский, Б.С. Испытание двигателей внутреннего сгорания / Б.С. Стефановский, Е.А. Скобцев, Е.К. Корси [и др.]. – М.: Машиностроение, 1972. – 368 с.
6. Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – 9-е
изд., перераб. – М.: Наука (Главная редакция физико-математической
литературы), 1981. – 448 с.
7. Степанов, Г.Ю. Силовые установки вооружения и военной
техники: учебник / Г.Ю. Степанов, С.Н. Богданов, И.Е. Иванов [и др.];
под ред. Г.Ю. Степанова, И.Е. Иванова. – М.: Изд-во Академии БТВ,
1994. – 494 с.
8. Степанов, Г.Ю. Основы теории лопаточных машин, комбинированных и газотурбинных двигателей. – М.: Государственное научнотехническое издательство машиностроительной литературы, 1958. –
348 с.
9. Богданов, С.Н. Теоретические основы хладотехники. Тепломассообмен / С.Н. Богданов, Н.А. Бучко, Э.И. Гуйго [и др.]; под ред.
Э.И. Гуйго. – М.: Агропромиздат, 1986. – 320 с.
10. Новиков, И.И. Теория подобия в термодинамике и теплопередаче / И.И. Новиков, В.М. Боришанский. – М.: Атомиздат, 1979. –
184 с.
11. Клайн, С.Дж. Подобие и приближенные методы: перевод с
англ. / под ред. И.Т. Аладьева и К.Д. Воскресенского. – М.: Мир, 1968.
141
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 3
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ...................................... 5
1.1. Размерные и безразмерные величины ......................................... 5
1.2. Основные и производные единицы измерения............................ 5
1.3. Условия подобия ............................................................................. 7
1.4. Суть теории подобия ..................................................................... 10
1.5. Основные теоремы теории подобия ........................................... 11
2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ ................................................ 12
3. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА......................... 24
3.1. Подобие процессов теплообмена................................................ 24
3.1.1. Подобие стационарных
процессов теплообмена ..................................................... 25
3.1.2. Подобие нестационарных
процессов теплопроводности ............................................ 34
3.2. Подобие процессов массообмена ............................................... 36
3.3. Вид критериальных уравнений
диффузионных и тепловых процессов .................................... 38
4. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ И АППРОКСИМАЦИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК КОМПРЕССОРОВ,
ВЕНТИЛЯТОРОВ И ЖИДКОСТНЫХ
ЛОПАТОЧНЫХ НАСОСОВ ................................................................. 39
4.1. Критерии подобия, безразмерные параметры
и показатели компрессоров .......................................................... 39
4.2. Подобное перестроение характеристик компрессоров ............. 45
4.3. Аппроксимация характеристик компрессоров ............................ 57
4.3.1. Методика аппроксимации экспериментальных
характеристик компрессоров методом эллипса............... 57
4.3.2. Пример аппроксимации экспериментальной
размерной характеристики компрессора ТКР-8,5С ......... 59
142
4.4. Перестроение зависимостей КПД компрессора от режима
его работы, представленных изолиниями постоянных КПД
в координатной плоскости Gв –
к,
к виду
для аппроксимации методом эллипса ......................................... 70
4.5. Определение и аппроксимация характеристик
подобных компрессоров................................................................ 71
4.5.1. Определение характеристик подобного компрессора,
применяемого в качестве второй ступени
наддува двигателя............................................................... 71
4.5.2. Определение характеристик компрессора
второй ступени, применяемого в качестве
первой ступени наддува ДВС
с меньшим рабочим объёмом цилиндров ........................ 75
4.5.3. Определение характеристик подобного
компрессора для наддува ДВС
с большим рабочим объёмом цилиндров......................... 77
4.6. Подобие процессов вентиляторов и жидкостных насосов ........ 80
5. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ И АППРОКСИМАЦИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБИН ................................................................ 85
5.1. Подобие процессов турбин........................................................... 85
5.2. Аппроксимация экспериментальной
характеристики турбины ............................................................... 85
5.3. Универсальная методика аппроксимации
характеристик турбин .................................................................... 89
5.4. Аппроксимация расходных характеристик турбины
по универсальной методике ......................................................... 91
5.4.1. Методика аппроксимации расходных
характеристик турбин .......................................................... 91
5.4.2. Алгоритм и пример расчёта параметров
расходной характеристики турбины ТКР-10СТ
на заданном режиме по универсальной методике .......... 93
5.4.3. Аппроксимация экспериментальной
расходной характеристики турбины ТКР-10СТ ................ 95
143
5.4.4. Определение расходных характеристик
подобной турбины другой размерности ............................ 97
5.5. Аппроксимация зависимости КПД турбин
от режима ее работы ..................................................................... 99
5.5.1. Алгоритм и пример расчёта КПД турбины
на заданном режиме............................................................ 99
5.5.2. Аппроксимация зависимости КПД турбины
от режима её работы ......................................................... 101
6. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ
РАЗМЕРОВ ЛОПАТОЧНЫХ МАШИН ДЛЯ НАДДУВА ДВС......... 102
7. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ АППРОКСИМИРУЮЩИХ
УРАВНЕНИЙ ПРИ РАСЧЁТЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДВС .................. 104
7.1. Применение аппроксимирующих уравнений
при расчёте характеристик ДВС
с одноступенчатым наддувом .................................................... 104
7.1.1. Применение аппроксимирующих уравнений
характеристик компрессора.............................................. 104
7.1.2. Применение аппроксимирующих уравнений
характеристик турбины ..................................................... 105
7.2. Особенности применения аппроксимирующих уравнений
при расчёте характеристик двигателя
с двухступенчатым наддувом ..................................................... 108
ПРИЛОЖЕНИЯ ....................................................................................... 113
Приложение 1 ...................................................................................... 113
Приложение 2 ...................................................................................... 131
Приложение 3 ...................................................................................... 134
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................ 140
Учебное издание
ИВАНОВ Игорь Евгеньевич
ЕРЕЩЕНКО Виктор Евгеньевич
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Редактор И.А. Короткова
Подписано в печать 15.09.2015 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 9,0. Тираж 300 экз. Заказ
. Цена 295 руб.
МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.