Нагревать или сообщать количество теплоты?

À ÁÁÈ È
Ò ÓÒÐ Ó
È ÅÐÍÈ
Ò ÀÅ Í Ò À
Ï Ð À ÊÏ ÐÒÀÈÊ ÒÊÈÓÊ ÓÌÌ À
Íàãðåâàòü èëè
ñîîáùàòü êîëè÷åñòâî
òåïëîòû?
Í.ÊÎÐÆÎÂ
Ê
ÀÊ ÑÎÎÒÍÎÑßÒÑß ÌÅÆÄÓ ÑÎÁÎÉ
ïîíÿòèÿ «íàãðåâàíèå òåëà» è «ñîîáùåíèå òåëó êîëè÷åñòâà òåïëîòû»?
Íàãðåâàíèå – ýòî ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû òåëà. Òåìïåðàòóðà Ò åñòü ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ
â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè, à
âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ U – ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â äàííîì
ñîñòîÿíèè ñèñòåìà îáëàäàåò îïðåäåëåííûìè òåìïåðàòóðîé è âíóòðåííåé
ýíåðãèåé, êîòîðûå íå çàâèñÿò îò òîãî,
êàêèì îáðàçîì ñèñòåìà ïðèâåäåíà â
ýòî ñîñòîÿíèå. Ýòî – ýêñïåðèìåíòàëüíûé ôàêò.
Ïåðåõîä ñèñòåìû èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå
òåïëîîáìåíà èëè ñîâåðøåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû. Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî
òåïëîòû Q, êàê è ðàáîòà À íàä ñèñòåìîé (èëè ðàáîòà A′ ñèñòåìû íàä âíåøíèìè òåëàìè), ñâÿçàíî íå ñ âíóòðåííåé ýíåðãèåé ñèñòåìû, à ñ åå ïðèðàùåíèåì. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì çàêîíîì òåðìîäèíàìèêè,
∆U = Q + A èëè Q = ∆U + A ′ .
Òàêèì îáðàçîì, ñîîáùåíèå òåëó íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû âîâñå
íåîáÿçàòåëüíî âåäåò ê åãî íàãðåâàíèþ.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû. Âåùåñòâó, íàãðåòîìó äî òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ, äëÿ
ïëàâëåíèÿ òðåáóåòñÿ îïðåäåëåííîå
êîëè÷åñòâî òåïëîòû, õîòÿ òåìïåðàòóðà
ïðè ïëàâëåíèè áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííîé. Ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè òåìïåðàòóðà ãàçà îñòàåòñÿ îäíîé è òîé æå, õîòÿ ê ãàçó ïîäâîäèòñÿ
òåïëî.  ïåðâîì ñëó÷àå òåïëî èäåò íå
íà èçìåíåíèå ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë âåùåñòâà, ìåðîé êîòîðîãî è ÿâëÿåòñÿ òåìïåðàòóðà, à íà èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èõ âçàèìîäåéñòâèÿ. Âî âòîðîì ñëó÷àå âñå òåïëî èäåò
íà ñîâåðøåíèå ãàçîì ðàáîòû íàä âíåøíèìè òåëàìè.
Äàëåå, ïåðåäà÷à îäíîãî è òîãî æå
êîëè÷åñòâà òåïëîòû äâóì ñèñòåìàì,
íàõîäÿùèìñÿ â ñîâåðøåííî îäèíàêî8*
âûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèÿõ, ìîæåò
ïðèâåñòè ê èõ ðàçëè÷íîìó íàãðåâàíèþ. Íàïðèìåð, ïðè ñîîáùåíèè èäåàëüíîìó ãàçó â öèëèíäðå ïîä ïîäâèæíûì ïîðøíåì íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû îí íàãðååòñÿ ìåíüøå,
÷åì òîò æå ãàç, íî ïîä íåïîäâèæíûì
ïîðøíåì. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî
ïðè èçîáàðíîì íàãðåâàíèè ïåðåäàâàåìîå ãàçó òåïëî èäåò íå òîëüêî íà
óâåëè÷åíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè,
íî è íà ñîâåðøåíèå èì ðàáîòû, â òî
âðåìÿ êàê ïðè èçîõîðíîì íàãðåâàíèè
– òîëüêî íà óâåëè÷åíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè.
Íàãðåòü âåùåñòâî, ò.å. ïîâûñèòü åãî
òåìïåðàòóðó, ìîæíî è íå ñîîáùàÿ åìó
êîëè÷åñòâà òåïëîòû, à ñîâåðøèâ íàä
íèì ðàáîòó – íàïðèìåð, ïîòåðåâ ìîíåòó î ñóêíî èëè áûñòðî ñæàâ ãàç
íàñîñîì. Íàêîíåö, áûâàåò è òàê, ÷òî
òåëó ñîîáùàþò òåïëî, à îíî îõëàæäàåòñÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð ïðèâåäåì ïîïîçæå, à ïîêà çàìåòèì, ÷òî
âîçìîæíîñòü òàêîãî ñëó÷àÿ ñëåäóåò
èç ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè.
Òàê, ïðèìåíèòåëüíî ê èäåàëüíîìó
ãàçó ïðè A ′ > Q èç ñîîòíîøåíèÿ Q =
= ∆U + A ′ ñëåäóåò, ÷òî ∆U < 0, ò.å.
T2 < T1 (äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà U ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî Ò).
À ñåé÷àñ ïðîàíàëèçèðóåì ñëåäóþùóþ êîíêðåòíóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü ν
ìîëåé èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà
ïåðåâîäÿò èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå
2 òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1.
Ñíà÷àëà íàéäåì óðàâíåíèå ïðîöåññà. Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ð îò V
ëèíåéíàÿ, ìîæíî çàïèñàòü
p = aV + b .
(1)
Èç óðàâíåíèé
p1 = aV1 + b è p2 = aV2 + b
íàéäåì ïîñòîÿííûå à è b:
a=
p2 − p1
V2 − V1
, b=
p1V2 − p2V1
V2 − V1
.
Î÷åâèäíî, ÷òî a < 0, b > 0.
Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ
31
èäåàëüíîãî ãàçà pV = νRT âûðàçèì
òåìïåðàòóðó ãàçà Ò ÷åðåç åãî îáúåì:
2
> C
aV + bV
TV =
νR
.
Ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà â äàííîì
ïðîöåññå áóäåò äîñòèãíóòà ïðè îáúåìå
V′ = −
b
2a
=
1 p1V2 − p2V1
p1 − p2
2
. (2)
Òåïåðü íàéäåì êîëè÷åñòâî òåïëîòû,
ïåðåäàííîå ãàçó ñ íà÷àëà ïðîöåññà,
êàê ôóíêöèþ îò îáúåìà, èñïîëüçóÿ
ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè â ôîðìå
Q = ∆U + A ′ . Çàôèêñèðóåì êàêîé-òî
îáúåì ãàçà V. Ðàáîòà ðàñøèðåíèÿ ãàçà
îò îáúåìà V1 äî îáúåìà V ðàâíà ïëîF
F
F
F
8
8
8
8
Ðèñ. 1
ùàäè ñîîòâåòñòâóþùåé òðàïåöèè (çàøòðèõîâàííîé íà ðèñóíêå 1):
p +p
A′ V = 1
V − V1 ,
2
èëè, ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå ïðîöåññà,
a 2
A′ V = V +
2
p1 − aV1 + b
p +b
V− 1
V1 .
+
2
2
Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ðàâíî
3
∆U = νR T − T1 =
2
3
3
3
2
= aV + bV − p1V1 .
2
2
2
Òàêèì îáðàçîì,
> C
?
D
> C
?
> C
D
> C
Q V = ∆U + A ′ V =
2
= 2aV +
p1 − aV1 + 4b
2
V−
4 p1 + b
2
> C
V1 .
Òàê êàê 2a < 0, ôóíêöèÿ Q V äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè îáúåìå
p − aV1 + 4b 5 p1V2 − p2V1
&
=
V =− 1
.
8a
8 p1 − p2
(3)
&
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè V1 < V < V
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34)
34
ÊÂÀÍT2001/¹2
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 31)
ãàç ïîëó÷àë òåïëî, à ïðè V& < V < V2
îòäàâàë.
Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (2) è (3),
&
âèäèì ÷òî V ′ < V , îòêóäà ñðàçó
ìîæíî ñäåëàòü âûâîä: ñîîáùåíèå ãàçó
íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû íå îçíà÷àåò, ÷òî ãàç áóäåò îáÿçàòåëüíî íàãðåâàòüñÿ, ò.å. ÷òî åãî òåìïåðàòóðà
áóäåò ïîâûøàòüñÿ. Òàê, ïðè V ′ < V <
&
< V ãàçó ñîîáùàþò òåïëî, à òåìïåðàòóðà åãî óìåíüøàåòñÿ.
Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå
ãàçîì ïðè óâåëè÷åíèè åãî îáúåìà îò
íà÷àëüíîãî Ví äî êîíå÷íîãî Vê ìîæíî
íàéòè ïî ôîðìóëàì
b g b g
Q = Q Vê − Q Ví ïðè Ví < Vê ≤ V&
èëè
e j − QcV h ïðè V
&
Q=QV
í
&
í
< V ≤ Vê .
Ñîîòâåòñòâåííî, êîëè÷åñòâî òåïëîòû,
îòäàííîå ãàçîì, áóäåò ðàâíî
e j − QcV h ïðè V
&
Q=QV
èëè
í
ê
c h c h
&
≤ V < Vê
&
Q = Q Ví − Q Vê ïðè V ≤ Ví < Vê .
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåñêîëüêî êîíêðåòíûõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ýòîé ñèòóàöèåé.
Çàäà÷à 1 (2.53 [1]). Íà pV-äèàãðàììå èçîáðàæåí ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ
ãàçà, ïðè êîòîðîì îí ïåðåõîäèò èç
ñîñòîÿíèÿ 1 ñ äàâëåíèåì ð è îáúåìîì
V â ñîñòîÿíèå 2 ñ äàâëåíèåì ð/2 è
îáúåìîì 2V. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî
òåïëîòû Q, êîòîðîå ñîîáùèëè ýòîìó
ãàçó. Ëèíèÿ 1—2 – îòðåçîê ïðÿìîé.
(Îòâåò: Q = 3pV/4.)
Ñîïîñòàâëÿÿ äàííûå çàäà÷è ñ àíàëèçîì ñèòóàöèè, ïðîâåäåííûì âûøå,
èìååì: p1 = ð, p2 = p/2, V1 = V, V2 =
= 2V. Òîãäà à = − p 2V , b = 3p/2,
&
V = 15V/8 è Q V& = 49pV/64 >
> 3pV/4.
Èòàê, ïðàâèëüíûé îòâåò: Q =
= 49pV/64, åñëè ãàç ñ÷èòàòü îäíîàòîìíûì.
Çàäà÷à 2 (2.127 [2], VII.4 [3]). Îäèí
ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà ïåðåâîäÿò èç
p
1
p
b g
e j
p
Ðèñ. 2
2
V
V
V
ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 (ðèñ.2).
Îïðåäåëèòå, êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ãàç ïîëó÷àåò ïðè íàãðåâàíèè è
êàêîå ïðè îõëàæäåíèè.
(Îòâåò: Q1 = 5pV/4, Q2 = pV/4.)
 ýòîé çàäà÷å p1 = 2ð, p2 = ð, V1 =
= V, V2 = 2V. Çíà÷èò, a = –p/V, b =
= 3p. Òàê êàê íàãðåâàíèå – ýòî ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà, òî Q1 = Q V ′ ,
ãäå V ′ = 3V/2. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé
èìååì Q1 = 5pV/4.
&
Ñîîòâåòñòâåííî, Q2 = Q V
–
′
– Q V , òàê êàê íà ó÷àñòêå V ′ < V <
< V2 ãàç îõëàæäàåòñÿ, íî òåïëî ïîëó÷àåò ëèøü íà ÷àñòè ýòîãî ó÷àñòêà V ′ <
&
< V < V&. Ïîñêîëüêó V = 15V/8,
&
òî Q V
= 49pV/32. Òîãäà, Q2 =
d i
e j
d i
e j
= 49pV/32 – 5pV/4 = 9pV/32 >
> pV/4.
Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûé îòâåò ê
ýòîé çàäà÷å: Q1 = 5pV/4, Q2 = 9pV/32.
Ïðè ðàñ÷åòàõ ãàç ïðèíÿò çà îäíîàòîìíûé.
Çàäà÷à 3 (5.5.10 [4], 9.30 [5]). Íèæíèé êîíåö âåðòèêàëüíîé óçêîé òðóáêè äëèíîé 2L çàïàÿí, à âåðõíèé êîíåö
îòêðûò â àòìîñôåðó (ðèñ.3,à). Â
a
á
L
x
L
L
Ðèñ. 3
íèæíåé ïîëîâèíå òðóáêè íàõîäèòñÿ
ãàç ïðè òåìïåðàòóðå T0 , à âåðõíÿÿ åå
ïîëîâèíà çàïîëíåíà ðòóòüþ. Äî êàêîé ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóðû íàäî
íàãðåòü ãàç â òðóáêå, ÷òîáû îí âûòåñíèë âñþ ðòóòü? Âíåøíåå äàâëåíèå, âûðàæåííîå â ìèëëèìåòðàõ
ðòóòíîãî ñòîëáà, ðàâíî L.
(Îòâåò: 9T0 8 .)
Êàçàëîñü áû, êàêîå îòíîøåíèå èìååò ýòà çàäà÷à ê òåìå ñòàòüè? Îêàçûâàåòñÿ, ñàìîå ïðÿìîå. Äåëî â òîì, ÷òî ýòî
– ðåàëüíîå óñòðîéñòâî, ïîçâîëÿþùåå
ïðîâåñòè ðàññìîòðåííûé â ñòàòüå ïðîöåññ.
Âûäåëèì íåêîòîðûé îáúåì ãàçà âûñîòîé õ (ðèñ.3,á). Îí íàõîäèòñÿ ïîä
äàâëåíèåì ñòîëáà ðòóòè âûñîòîé L – x
è âíåøíèì äàâëåíèåì p0 = ρgL , ãäå ρ
– ïëîòíîñòü ðòóòè.  ñîîòâåòñòâèè ñ
çàêîíîì Ïàñêàëÿ äàâëåíèå ãàçà ðàâíî
ð = ρg 2 L − x . Ïóñòü ïëîùàäü âíóòðåííåãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè
b
g
b
g
S, òîãäà îáúåì ãàçà V = S L + x ,
îòêóäà õ = V/S – L. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
SL = V0 – íà÷àëüíûé îáúåì ãàçà,
çàïèøåì õ = VL V0 − L . Òîãäà ð =
= − p0 V0 V + 3 p0 , ÷òî ñîâïàäàåò ñ
(1) ïðè à = − p0 V0 < 0 è b = 3 p0 > 0.
 èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìàÿ òåìïåðàòóðà áóäåò äîñòèãíóòà ïðè V ′ =
= 3V0 2 è ðàâíà Ò = 9 p0V0 4 νR .
Âûðàçèâ ν èç óðàâíåíèÿ 2 p0V0 =
= νRT0 äëÿ èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàçà,
èìååì Ò = 9T0 8 .
Êàçàëîñü áû, ýòî ñîâïàäàåò ñ ïðèâåäåííûì îòâåòîì. Íî èç àíàëèçà ñèòóàöèè ìû óçíàëè, ÷òî äîñòèæåíèå îïðåäåëåííîé òåìïåðàòóðû ñèñòåìîé â íåêîòîðûõ ïðîöåññàõ âîâñå íå äàåò ãàðàíòèè, ÷òî æåëàåìûé ïðîöåññ ïðîèçîéäåò, â íàøåì ñëó÷àå – ÷òî ðòóòü
âûëüåòñÿ. Ãëàâíîå óñëîâèå âûòåñíåíèÿ ðòóòè èç òðóáêè – ñîîáùåíèå ãàçó
êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q = 49 p0V0 32
(àíàëèç çàäà÷è 2, åñëè ãàç ñ÷èòàòü
îäíîàòîìíûì), à íå íàãðåâàíèå åãî äî
òåìïåðàòóðû Ò. Åñëè â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðû ïðåêðàòèòü ïîäâîä òåïëà, ãàç íå ñìîæåò
ñîâåðøèòü ðàáîòó ïî ðàñøèðåíèþ òîëüêî çà ñ÷åò óáûëè âíóòðåííåé ýíåðãèè
(ïðåäîñòàâëÿåì âîçìîæíîñòü ÷èòàòåëÿì óáåäèòüñÿ â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).
Âûâîä: äàííàÿ çàäà÷à ïîñòàâëåíà
íåêîððåêòíî. Íåîáõîäèìî òðåáîâàòü
ëèáî íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðû, äîñòèãàåìîé ãàçîì â ýòîì
ïðîöåññå (êîòîðóþ è äàâàë îòâåò ê
ýòîé çàäà÷å), ëèáî íàõîæäåíèÿ êîëè÷åñòâà òåïëîòû, íåîáõîäèìîãî äëÿ
âûòåñíåíèÿ ðòóòè èç òðóáêè, óêàçàâ,
÷òî â òðóáêå íàõîäèòñÿ, íàïðèìåð,
îäíîàòîìíûé ãàç, à ïëîùàäü âíóòðåííåãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè S. Â
ýòîì ñëó÷àå, ó÷òÿ âûðàæåíèÿ äëÿ p0 è
2
V0 , ïîëó÷èì Q = 49ρgL S 32 .
Çàäà÷à 4 (6 [6]). Îäèí ìîëü èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ðàñøèðÿåòñÿ
ïî çàêîíó, èçîáðàæåííîìó íà ãðàôèêå
çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà ïðÿìîé ëèíèåé (ðèñ.4). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ òåìïåðàòóðó ãàçà â ýòîì
ïðîöåññå. Íà êàêîì ó÷àñòêå ãàç ïîëó÷àåò òåïëî, à íà êàêîì îòäàåò?
F
c
h
b g
F
Ðèñ. 4
8 8
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
(Îòâåò: ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòó-
F
ðà Tmax = p0V0/(4 R) äîñòèãàåòñÿ ïðè
F
îáúåìå V& = 5V0 8 ; íà ó÷àñòêå V <
&
< V ãàç ïîëó÷àåò òåïëî, íà ó÷àñòêå
&
V > V îòäàåò.)
Ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïðîàíàëèçèðîâàííîé ñèòóàöèè ïðè p1 = p0 , p2 =
= 0, V1 = 0, V2 = V0 , ν = 1 ìîëü. Òîãäà
à = − p0 V0 , b = p0 , ÷òî äëÿ V ′ =
= V0 2 äàåò Tmax = T V ′ = p0V0 4 R .
&
Ïî ôîðìóëå (3) V = 5V0 8 .
Óòî÷íÿåì îòâåò: ìàêñèìàëüíàÿ òåì-
b g
d i
ïåðàòóðà Tmax = p0V0/(4 R) äîñòèãàåòñÿ ïðè îáúåìå V ′ = V0 2 . Âòîðàÿ ÷àñòü
îòâåòà ïðàâèëüíàÿ.
Çàäà÷à 5 (2.99 [7]). Êîëè÷åñòâî
òåïëîòû, ïîëó÷àåìîå òåïëîâîé ìàøèíîé îò íàãðåâàòåëÿ, ðàâíî 1 êÄæ.
Ïðè ýòîì îáúåì ãàçà óâåëè÷èâàåòñÿ
îò 1 ë äî 2 ë, à äàâëåíèå ëèíåéíî
óáûâàåò â çàâèñèìîñòè îò îáúåìà îò
1000 êÏà äî 400 êÏà. Íàéäèòå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà.
(Îòâåò: 300 Äæ.)
Î÷åâèäíî, ÷òî îòâåò ê ýòîé çàäà÷å
ïðèíöèïèàëüíî íåâåðåí. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ
èäåàëüíîãî ãàçà pV = νRT , ïîñêîëüêó
p1V1 > p2V2 , òî è T1 > T2 , ò.å. èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè â ýòîì ïðîöåññå îòðèöàòåëüíî. Ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ ñîñòîÿíèé ãàçà êîëè÷åñòâî òåïëîòû, íåîáõîäèìîå äëÿ ïðîâåäåíèÿ
ïðîöåññà, íåëüçÿ çàäàâàòü êàêèì óãîäíî, òàê êàê îíî äîëæíî áûòü ñòðîãî
îïðåäåëåííûì.
 ÷àñòíîñòè, åñëè ñ÷èòàòü ãàç îäíîàòîìíûì, òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ àíàëèçîì ðàññìîòðåííîé ñèòóàöèè, à =
&
8
3
6
= −6 ⋅ 10 Ïà ì , b = 1,6 ⋅ 10 Ïà, V =
= 5/3 ë. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, íåîáõîäèìîå äëÿ ïðîâåäåíèÿ òàêîãî ïðîöåññà, ðàâíî Q = Q V& = 533 Äæ. Ïðè
ýòîì ãàç ñîâåðøèò ðàáîòó ïî ðàñøèðåíèþ A′ = p1 + p2 V2 − V1 2 =
= 700 Äæ. Èçìåíåíèå æå âíóòðåííåé
ýíåðãèè ðàâíî ∆U = 3 νR T2 − T1 2 =
= 3 p2V2 − p1V1 2 = –300 Äæ. Âî âðå&
ìÿ ïðîöåññà ðàñøèðåíèÿ îò îáúåìà V
äî îáúåìà V2 ãàç îòäàñò 533 Äæ –
– 700 − 300 Äæ = 133 Äæ òåïëà
õîëîäèëüíèêó.
Çàäà÷à 6 (äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ). Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà, ïðîâåäåííîãî ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî
èäåàëüíîãî ãàçà. Äèàãðàììà öèêëà â
êîîðäèíàòàõ p, V ïðåäñòàâëåíà íà
ðèñóíêå 5.
(Îòâåò: 16/97.)
c
c
b
h
e j
hc
F
c
h
h
g
Èòàê, íèêàêîìó ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû
íåëüçÿ ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íè
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
C=
!
8
8
8
Ðèñ. 5
ðàáîòó, íè êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Îíè
ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïðîöåññà, à íå
ñîñòîÿíèÿ. Â ýòîì èõ ïðèíöèïèàëüíîå
îòëè÷èå îò âíóòðåííåé ýíåðãèè. Ðàáîòà è êîëè÷åñòâî òåïëîòû – ýòî íå
ôîðìû ýíåðãèè, à òîëüêî êîëè÷åñòâåííûå ìåðû ñïîñîáîâ åå èçìåíåíèÿ è
ïåðåäà÷è îò îäíîãî òåëà ê äðóãîìó
(ðàáîòà – ìàêðîñêîïè÷åñêèé ñïîñîá,
òåïëîïåðåäà÷à – ìèêðîñêîïè÷åñêèé).
 îòëè÷èå îò âíóòðåííåé ýíåðãèè –
îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ, êîëè÷åñòâî òåïëîòû íå ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðàçíîñòè
çíà÷åíèé êàêîé-ëèáî ôóíêöèè ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ, åñëè íåèçâåñòíî
óðàâíåíèå ïðîöåññà. Ïåðåäàâàåìîå
ñèñòåìå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êàê è
ðàáîòà, çàâèñÿò îò òîãî, êàêèì ñïîñîáîì ñèñòåìà ïåðåõîäèò èç íà÷àëüíîãî
ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå.
Ïî÷åìó æå âñå-òàêè ïåðåäà÷à òåëó
òåïëà ÷àñòî àññîöèèðóåòñÿ ñ åãî íàãðåâàíèåì? Ïåðâàÿ ïðè÷èíà – áûòîâàÿ:
êàæäûé äåíü ìû ïåðåäàåì ðàçëè÷íûì
òåëàì ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèáîðîâ
îïðåäåëåííûå êîëè÷åñòâà òåïëîòû è
çàìå÷àåì ïðè ýòîì ïîâûøåíèå èõ òåìïåðàòóðû. Âòîðàÿ ïðè÷èíà – áîëåå
ãëóáîêàÿ, ôèçè÷åñêàÿ: íåäîñòàòî÷íûå
çíàíèÿ î òåïëîåìêîñòè, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ñèñòåìó, ïîëó÷àþùóþ èëè
îòäàþùóþ ýíåðãèþ â âèäå òåïëà.
Òåïëîåìêîñòü Ñ ñèñòåìû (òåëà) –
ýòî îòíîøåíèå ïåðåäàííîãî ñèñòåìå íà
ó÷àñòêå ïðîöåññà êîëè÷åñòâà òåïëîòû
∆Q ê ïðîèñøåäøåìó íà ýòîì ó÷àñòêå
èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû ñèñòåìû ∆T :
∆Q
C=
.
∆T
À ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåäàâàåìîå ñèñòåìå ïðè èçìåíåíèè åå
òåìïåðàòóðû íà ∆T , áóäåò íåîäèíàêîâûì äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ, ïðîâîäèìûõ ñ ýòîé ñèñòåìîé, òî ðàçíîé áóäåò
è òåïëîåìêîñòü. Òàêèì îáðàçîì, òåïëîåìêîñòü ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé íå
ñàìîé ñèñòåìû èëè âåùåñòâà, à êîíêðåòíîãî ïðîöåññà, ïðîâîäèìîãî ñ ýòîé
ñèñòåìîé èëè âåùåñòâîì. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì çàêîíîì òåðìîäèíàìèêè,
∆U
∆T
+
∆A ′
∆T
35
,
ãäå ∆U – èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû è ∆A′ – ðàáîòà ñèñòåìû
ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû íà ∆T .
Äëÿ òâåðäûõ è æèäêèõ âåùåñòâ ïðè
èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû îáúåì èçìåíÿåòñÿ î÷åíü ìàëî, ïîýòîìó ∆A′ = 0, è
Ñ = ∆U ∆T . Òàê êàê U – ôóíêöèÿ
ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ è ∆U íå çàâèñèò
îò òîãî, êàêèì îáðàçîì ñèñòåìà ïåðåâåäåíà èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå, òî
äëÿ æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë â íåêîòîðûõ èíòåðâàëàõ òåìïåðàòóð Ñ ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Äëÿ óäîáñòâà ââîäÿò óäåëüíóþ
òåïëîåìêîñòü âåùåñòâà: c = C/m. Âîò
ýòà âåëè÷èíà â ôîðìóëå Q = cm∆T
(êîòîðóþ ìíîãèå ñ÷èòàþò îïðåäåëåíèåì êîëè÷åñòâà òåïëîòû) è äàåò îñíîâàíèå îøèáî÷íî äóìàòü, ÷òî äëÿ âñåõ
âåùåñòâ òåìïåðàòóðà âîçðàñòàåò ïðè
ñîîáùåíèè èì íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà
òåïëîòû, èáî èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò
ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ìåæäó ∆T
è Q.
Îäíàêî äëÿ ãàçîâ ñèòóàöèÿ äðóãàÿ.  îáùåì ñëó÷àå ãàçû ìîãóò ñèëüíî èçìåíÿòü ñâîé îáúåì. Ââåäåì
ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü ãàçà Cì =
= ∆Q ν∆T . Òàê êàê ∆A′ = p∆V (ïðè
ìàëîì ∆V ), òî
b g
Cì =
FG + p ∆V IJ .
ν H ∆T
∆T K
1 ∆U
×òîáû òåïëîåìêîñòü áûëà îïðåäåëåíà
îäíîçíà÷íî, íàäî óêàçàòü óðàâíåíèå
ïðîöåññà.
Èçâåñòíû ïðîöåññû, íàçûâàåìûå
ïîëèòðîïè÷åñêèìè, â êîòîðûõ òåïëîåìêîñòü ãàçà ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïîñòîÿííîé íà âñåì ïðîòÿæåíèè ïðîöåññà. Äàëåå äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç. Ñ
íèì âîçìîæíû òàêèå ïîëèòðîïè÷åñêèå
ïðîöåññû:
èçîõîðíûé ïðîöåññ – òàê êàê ∆V =
= 0, òî Cì = CV = ∆U ν∆T = 3 R 2 ;
èçîáàðíûé ïðîöåññ – òàê êàê ∆A′ =
= p∆V = νR∆T , òî Cì = Cp = 3 R 2 +
+ R = 5 R 2 (î÷åâèäíî, ÷òî Cp = CV +
+ R äëÿ ëþáîãî èäåàëüíîãî ãàçà, à íå
òîëüêî îäíîàòîìíîãî);
èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ – òàê êàê
∆T = 0, òî Cì = ±∞ (ïëþñ îòíîñèòñÿ
ê èçîòåðìè÷åñêîìó ðàñøèðåíèþ, ìèíóñ – ê èçîòåðìè÷åñêîìó ñæàòèþ);
àäèàáàòíûé ïðîöåññ – òàê êàê ∆Q =
= 0, òî Cì = 0.
À ñåé÷àñ ïîêàæåì, ÷òî òåïëîåìêîñòü
ìîæåò ïðèíèìàòü è ïðîìåæóòî÷íûå
ìåæäó óêàçàííûìè âûøå çíà÷åíèÿ.
Äëÿ ýòîãî íàéäåì çàâèñèìîñòü ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè îò îáúåìà â ðàññìîòðåííîé â íà÷àëå ñòàòüè ñèòóàöèè, ñ÷è-
b g
36
òî
ÊÂÀÍT2001/¹2
b g
QV = −
2 p0
b g
V0
2
V +
15
e
2
p0V −
11
2
∆T
p0V0 ,
Òîãäà
j
p0
2
3V0V − V .
νV0 R
Ïî îïðåäåëåíèþ
1 ∆Q ∆V
∆Q
=
Cì =
.
ν∆T ν ∆T ∆V
TV =
b
g b g
e2V∆V + b ∆Vg j + 152 p ∆V ,
∆Q = Q V + ∆V − Q V =
=−
V0
2
0
c −8V + 15V h ,
∆T = T bV + ∆V g − T bV g =
p
e3V ∆V − 2V∆V − b ∆Vg j ,
=
νV R
∆Q
∆V
0
0
≈
p0
2V0
≈
p0
νV0 R
b g
Cì V = 2R +
Íàéäåì ïî îòäåëüíîñòè ∆Q ∆V è
∆T ∆V ïðè ìàëûõ ∆V :
2 p0
∆V
0
2
0
c3V
3
2
0
R
h
Ëèòåðàòóðà
− 2V .
1
3 − 2V V0
.
Àíàëèç ýòîé ôîðìóëû ïîêàçûâàåò,
÷òî ïðè ìàëîì èçìåíåíèè îáúåìà îêîëî çíà÷åíèÿ V ′ = 3V0 2 ìîëÿðíàÿ
òåïëîåìêîñòü Cì V ′ = ∞ , ò.å. ïðîöåññ
d i
áëèçîê ê èçîòåðìè÷åñêîìó; ïðè çíà÷å&
íèè îáúåìà, áëèçêîì ê V = 15V0 8 ,
&
= 0, ò.å. ïðîöåññ áëèçîê ê
Cì V
e j
àäèàáàòíîìó.
Èòàê, ñëîâà, âûíåñåííûå â çàãîëîâîê ñòàòüè, íèêîèì îáðàçîì íå ÿâëÿþòñÿ ñèíîíèìàìè. Ïîêàçàòü, ïî÷åìó
âîçíèêàåò èõ îòîæäåñòâëåíèå è ê ÷åìó
îíî ìîæåò ïðèâåñòè, è áûëî öåëüþ
ýòîé ñòàòüè.
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï êîíêóðñà
èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8»
(Íà÷àëî ñì. íà ñ.25)
13. Â ñîñòîÿùåì èç n ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâå M âûáðàíî
íåñêîëüêî ïîäìíîæåñòâ. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáîå íåâûáðàííîå
ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ì ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïåðåñå÷åíèÿ íåêîòîðûõ âûáðàííûõ ïîäìíîæåñòâ. Êàêîå íàèìåíüøåå
÷èñëî ïîäìíîæåñòâ ìîãëî áûòü âûáðàíî? (Íå çàáóäüòå, ÷òî
ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ñàìîãî ñåáÿ.)
À.Ñêîïåíêîâ
14. Íàéäèòå òðè òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñëà a < b <
2
< ñ, ÷òîáû êîëè÷åñòâà êîðíåé óðàâíåíèé ax + bx + c = 0 ,
2
2
bx + cx + a = 0 è cx + ax + b = 0 áûëè ðàçíûìè.
À.Øàïîâàëîâ
15. Çàâåäåííûé ìåõàíè÷åñêèé áóäèëüíèê çâåíèò, êîãäà ÷àñîâàÿ ñòðåëêà ñîâïàäåò ñî ñòðåëêîé çâîíêà áóäèëüíèêà. Ïåòÿ çàâåë
áóäèëüíèê íà íåêîòîðîå âðåìÿ ñ öåëûì ÷èñëîì ìèíóò. Ïðîñíóâøèñü ðàíüøå çâîíêà, Ïåòÿ îáíàðóæèë, ÷òî ÷àñîâàÿ ñòðåëêà
íàïðàâëåíà ïî áèññåêòðèñå óãëà ìåæäó ìèíóòíîé è ñòðåëêîé
çâîíêà. ×åðåç òðè ìèíóòû, êîãäà ñòðåëêà çâîíêà îêàçàëàñü
áèññåêòðèñîé óãëà ìåæäó ÷àñîâîé è ìèíóòíîé ñòðåëêàìè, Ïåòÿ
âñòàë, íå äîæäàâøèñü çâîíêà. Íà êàêîå âðåìÿ áûë çàâåäåí
áóäèëüíèê?
À.Øàïîâàëîâ
16. Îêðàñèëè áåñêîíå÷íûé ëèñò êëåò÷àòîé áóìàãè, êðîìå
êâàäðàòà 7 × 7 . Âàñÿ â ýòîì êâàäðàòå ïîêðàñèë êëåòêó, ó êîòîðîé
ðîâíî îäíà ñîñåäíÿÿ (ïî ñòîðîíå) êëåòêà îêðàøåíà, çàòåì åùå
îäíó êëåòêó, ó êîòîðîé òåïåðü ðîâíî îäíà ñîñåäíÿÿ êëåòêà
îêðàøåíà, è òàê äàëåå. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êëåòîê
òàêèì îáðàçîì ìîæåò ïîêðàñèòü Âàñÿ?
Ä.Êàëèíèí
17. Åñòü 101 áàíêà êîíñåðâîâ ìàññàìè 1001 ã, 1002 ã.,...
..., 1101 ã. Ýòèêåòêè ïîòåðÿëèñü, íî çàâõîç ïîìíèò, êàêàÿ
áàíêà ñêîëüêî âåñèò. Îí õî÷åò óáåäèòü â ýòîì ðåâèçîðà çà
íàèìåíüøåå ÷èñëî âçâåøèâàíèé. Åñòü äâîå ÷àøå÷íûõ âåñîâ:
îäíè òî÷íûå, äðóãèå ãðóáûå. Çà îäíî âçâåøèâàíèå ìîæíî
ñðàâíèòü äâå áàíêè. Òî÷íûå âåñû âñåãäà ïîêàçûâàþò, êàêàÿ
1. Ìåëåäèí Ã.Â. Ôèçèêà â çàäà÷àõ.
(Ì.: Íàóêà, 1990.)
2. Ìàòåðèàëû âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ ïî ôèçèêå. (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹1/99.)
3. Êàøèíà Ñ.È., Ñåçîíîâ Þ.È. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ôèçèêå. (Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1983.)
4. Çàäà÷è ïî ôèçèêå. Ïîä ðåäàêöèåé
Î.ß.Ñàâ÷åíêî. (Ì.: Íàóêà, 1988.)
5. Áàëàø Â.À. Çàäà÷è ïî ôèçèêå è
ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ. (Ì.: Ïðîñâåùåíèå,
1983.)
6. Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». (Æóðíàë
«Êâàíò», 1992, ¹7.)
7. Ìàòåðèàëû âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ (çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå). (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò»
¹1/93.)
áàíêà òÿæåëåå, à ãðóáûå – òîëüêî åñëè ðàçíèöà áîëüøå 1 ã (à
èíà÷å ïîêàçûâàþò ðàâíîâåñèå). Çàâõîç ìîæåò èñïîëüçîâàòü
òîëüêî îäíè âåñû. Êàêèå åìó ñëåäóåò âûáðàòü?
À.Øàïîâàëîâ
18. Ñóùåñòâóþò ëè äâà òàêèõ ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëà
20
20
2
2
a è b, ÷òî a + b äåëèòñÿ íà êàæäîå èç ÷èñåë a + b, a + b ,
3
3
19
19
a + b , ..., a + b ?
Å.×åðåïàíîâ
19. Åñòü íåñêîëüêî êóñêîâ ñûðà ðàçíîãî âåñà è ðàçíîé öåíû
çà êèëîãðàìì. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ðàçðåçàòü íå áîëåå äâóõ
êóñêîâ òàê, ÷òî ïîñëå ýòîãî ìîæíî áóäåò ðàçëîæèòü âñå êóñêè íà
äâå êó÷êè îäèíàêîâîãî âåñà è îäèíàêîâîé ñòîèìîñòè.
À.Øàïîâàëîâ
20.  ðÿä çàïèñàíû 2000 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k ≤ 2000 ñóììà ëþáûõ
k ÷èñåë, çàïèñàííûõ ïîäðÿä, äåëèòñÿ íà k. Íàéäèòå íàèìåíüøåå
âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñóììû âñåõ 2000 ÷èñåë.
È.Àêóëè÷
21. Àëåêñàíäð Âàñèëüåâè÷ óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáûå øåñòü
ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ìîæíî òàê ðàññòàâèòü âìåñòî
âîïðîñèòåëüíûõ çíàêîâ, ÷òîáû ñèñòåìà óðàâíåíèé
R|? x + ? y = ?,
S|? x + ? y = ?
T
èìåëà ðåøåíèå â öåëûõ ÷èñëàõ. Ïðàâ ëè îí?
À.Øàïîâàëîâ
22.  Öâåòî÷íîì Ãîðîäå æèâóò 2000 êîðîòûøåê. Êàæäûé
êîðîòûøêà êàæäûé äåíü äàðèò ïîäàðîê êàæäîìó ñâîåìó äðóãó.
Âî èçáåæàíèå ðàçîðåíèÿ äàðåíîå ðàçðåøàåòñÿ äàðèòü äàëüøå,
íî òîëüêî íå òîìó, êòî òåáå ýòîò ïîäàðîê ïîäàðèë. Çíàéêà
ïîäñ÷èòàë, ÷òî íèêàêîé èç ïîäàðêîâ, êîòîðûé ïîäàðèëè ëþáîìó
êîðîòûøêå â ïÿòíèöó, íå ìîæåò âåðíóòüñÿ ê ýòîìó êîðîòûøêå
ðàíüøå ÷åì â ñëåäóþùóþ ïÿòíèöó. Äîêàæèòå, ÷òî ó êàêîãî-òî
êîðîòûøêè íå áîëåå 12 äðóçåé.
Å.×åðåïàíîâ
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè È.Àêóëè÷, Ò.Áàõòèíà