расчет статически неопределимых стержневых систем методом

Министерство общего и профессионального образования
Российской
Федерации
Архангельский государственный технический унинергитет
А.И.Зайцев,
доцент, кандидат технических наук
РАСЧЕТ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТАТИЧЕСКИ
СТЕРЖНЕВЫХ
МЕТОДОМ
СИЛ
Учебное пособие
Рекомендовано
УМО
автотракторному
образованию
дли
вузов РФ по
и
дорожному
межвузовского
использования
Архангельск
1998
СИСТЕМ
Рецензенты:
нафедоа общетехнических дисциплин Поморского
международного педагогического университета;
С.И.МОРОЗОВ, профессор, доктор технических наук;
Е.Е.СОЛОВЬЕВ, профессор, доктор технических наук
УДК 6 2 4 . 0 4
З а й ц е в
кЛ.
систем методом сил:
1998. -
Расчет статически неопределимых стермнеЕых
Учебное пособие. - Архангельск: Изд-во АГТУ,
54 с .
Подготовлено кафедрой строительной механики и сопротивления
материалоз А РТУ.
Рассмотрены расчеты статически неопределимых рам, балок и
ферм. В качестве общего метода расчета принят метод сил.
Предназначено для студентов строительных
специальностей
очной и заочной ферм обучения.
Ил. 2 3 . Табл. 6. Библиограф. 2 назв.
ISBN 5 - 2 3 0 - 0 0 0 5 6 - 2
©
АГТУ, 1998
©
А.И.ЗайцеЕ, 1998
Стат/чески неопределимая система - это геометрически неиз­
меняемая система, содеряацая связи,реакции которых при произволь­
ней статической кагрузке могут быть найпокы лишь из совместного
рассмогоочия условий статики и условий, характеризующих деформа­
цию данной системы.
Статически неопределимые системы облагают р. пом особеннос­
с
тей ь отличие от статически определимых систем. £ти особенности
заключаются в том, что оаспределение внутренних усилий е стати­
чески неопределимых системах зазисит не только от внешних сил,
но л от соотношений между
жесткости™ о^делънкх глементов, а
неравномерное смещение опер, температурные воздействия и неточ­
ность сборки конструкции обычно вызывают появление в таких сис­
темах дополнительных усилий, чего не наблюдается в статически
определимых системах. Вместе с тем наличие лишних СБязей о б е с ­
печивает более высокую надежность статически неспоеделимых сис­
тем, т . к . выход из строя
ЛИШНИХ
связей не приводит к немедлен­
ному разрушение: з е е г е ссорувения потому,
что система остается
неизменяемой.
Методы расчета статически неопределимых систем отличаются
др^-г от друга вибсрсм основных неизвестных.
К важнейшим из них
относятся метод сил (основные неизвестные - силы! и метод пере­
мещений (основные неизвестные - перемещения).
В данной работе рассматривается расчет конструкций мето­
дом сил.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТСДОК СИЛ
Статическая неопределимость. Выбор основной системы
для расчета статически неопределимой системы уравнений сгати
ки недостаточно. Разность мечщу числом неизвестных усилий в сксте
ме у. числом кезалисш/ь:х уравнений статики, которые можно соста­
вить при расчете этой системы, определяет степень ее статической
неопределимости.
Степень статической неопределимости равняется числу лишних
связей, т . е . таких связей, удаление которых превращает заданную
статически
неопределимую систему з статически определимую и г е о ­
метрически неизменяемую. Здесь выражение "лишняя связь" надо по­
нимать как избыточную связь, а не как ненужную связь.
Геометрически неизменяемой является система, которая может
изменять свою форму только зследстзие деформации злементоз.
То ость геометрически неизменяемая система - это система, не
являющаяся механизмом.
Реакции или усилия, возникающие в лишних связях, представля­
ют собой лишние неизвестные. Число люних связок {лишних неизвест­
ных) в рамных и балочных системах можно определить по
числу замкнутых кзнтуроп
К", и числу одиночных (простых) гарни­
ров Ш:
л = зк - [п.
;п
Замкнутые контуры - это такие контуры, которые из своих э л е ­
ментов (дисков) образуют замкнутые цепи. При этом "землю*
сматривают
1
рас­
как отдельный диск.
Одиночным шарниром считается шарнир, соединяющий два стерж­
ня. Включение одиночного гарнира в узел рамы или з стержень бал­
ки нарушает (снимает) одну
СЕЯЗЬ
И
снияает об^ую степень стати­
ческой неопределимости на единицу.
Кроме простых, т.е.одиночных, парнисов встречаются сложнее,
или,как их ен:е называют, кратньх-, шарниры, кратность сложного
шарнира определяется по формуле
к = п
где
п
- т ,
- число стержней, входящих з сложный шарнир.
На рис. I показаны примеры по определению степени статиче­
ской неопределимости
(или числа лишних е з я з е й ) , где римскими
цифрами з крунке обозначены' замкнутые контуры, а арабскими - крат­
ность 'ларнироз.
Удаление лишних связей для превращения статически неопреде­
лимой конструкции в статически определимую может быть произведено
различными способами. У.з любой статически неопределимой системы
можно удалить по крайней мере одну связь. Но необходимо помнить,
4
что удаление некоторых связей превращает статически неопределимую
систему в изменяемую. Такие связи называются абсолютно необходи­
мыми (например,горизонтальная связь в статически неопределимой
балке на
рис. 1 , г ) . Усилия в них всегда могут быть найдены при
помоши одних лишь уравнений статики.
а)
g)
2)
Л * "5-1
1
Z
А
-й*Ъ
Рис.
I
Связи, удаление которых не превращает статически неопредели­
мую систему в геометрически изменяемую, т . е в механизм, называются
условно необходимыми. Усилия
Б
ЭТИХ
СВЯЗЯХ
не могут быть найдены
при помощи одних лишь уравнений статики.
Всякая статически неопределимая система мэяет быть преобра­
зована в геометрически неизменяемую статически определимую сис­
тему путем перерезывания стершей или отбрасывания оперных свя­
зей и замены их усилиями. Такая новая система называется основ­
ной. Гри отзм связь, препятствующая линейному перемещению, заме­
няется силой, приложенной в направлении этого перемещения. Связь,
препятствующая повороту сечения, заменяется моментом, приложен­
ным в направление возможного поворота.
5
Для любой статически неопределимой системы может быть
выбрано несколько вариантов основной системы. На рис. 2 показа­
но пять вариантов основной системы для трижды статически неопре­
делимой конструкции
(рис. I,
в).
Рис. 2
Сущность и порядок расчета статически неопределимых систем
методом сил заключается в следующем.
I.
Устанавливают число лииших неизвестных или, что то же са­
мое, определяют степень статической неопределимости по формуле(1>.
<. Удаляют
(перерезают или отбрасывают) лишние связи и та­
ким образом преобразовывают заданную статически неопределимую
систему з статически определимую, т . е . получают основную систему.
При отбрасывании лишних связей необходимо следить за тем,
чтобы основная система не оказалась геометрически изменяемой или
мгновенно изменяемой.
3 . Взамен отброшенных связей к основной системе прикладывают
силы, заменяющие действие удаленных лишних связей. Эти силы
(опорные реакции, усилия в разрезах и т . д . )
принимают за лишние
неизвестные.
4г. Значения лишних неизвестных находят из условия равенства
перемещений оснозной и заданной систем. При этом перемещения точек
приложения лишних неизвестных по их направлениям равняются нулю.
6
Условие равенства
нулю перемещения пс направлению любой из
отброшенных связей на основании принципа независимости действия
сил имеет зид
где
Д.
- перемещение по направлению связи
действием реакции связи а ;
u
- перемещение по направлению связи i , вызванное
действием заданной внешней нагрузки ? .
i
F
^гак, первый индекс при обозначении
i , вызванное
А соответствует нап­
равлению перемещения и одновременно номеру отброшенной связи,
эторой - указывает на причину, вызвавшую перемещение.
Обозначим реакцию в связи
ние Д ^ п через
через Х
единичное перемещение 5
Тогда выражение (2)
5.
п
и выразим перемеще­
д
с помощью равенстза
примет зид
После определении лишних неизвестных находят остальные
опорные реакции или усилия в элементах системы, используя урав­
нения равновесия.
Канонические уравнения метода сил
/иение неизвестные
Х ,
Х ,...,
1
г
л
, приложенные к основ­
п
ной системе, определяют из решения системы канонических уравнений.
Система канонических уравнений математически удовлетворяет
усло­
основной у. заданной систем:
вию эквивалентности
I
! hi.
X
i
+
S
n l 4
+
—
+
S
n i
X
i
+
- -
+
S
n n
X
n
+
A
n F
Эти уравнения позвелягат раскрыть статическую неопределимость
заданной системы. Сни выражают требование, которое заключается в
•7
тем, чтобы основная система деформировала под действием внешней
нагрузки v. сил x , X g , . . . , Х
T
точно так « е ,
п
как и заданная статиче­
ски неопределимая система.
Коэффициенты уравнений представляют собой перемещения в о с ­
новной системе от действия единичных сил, приложенных вместо л и т них неизвестных. Например, S
силы Х^
i
- это перемещение точки приложения
n
по ее направлению, вызванное силой
Х = Т.
р
Свободные члены уравнений представляют собой перемещения в
основной системе от заданной нагрузки. Например, Д . р
ремещение точки приложения силы Х^
- зто пе­
по ее направлению, вызванное
действием заданной Енешней нагрузки.
Коэффициенту уравнений пс главной диагонали системы всегда
положительные, т . е .
S
f l
%
t
— ,
t
%г
всегда больше нуля.
Ъ
га
Побочные коэффициенты, расположенные симметрично относительно
главной диагонали, на основании теоремы о
равны мекду собой, т . е .
= S
M
f
S _ = S
i2
ЕЗЗИМНОСТИ
2
i
,
перемещении
= S
n
i
и т . д . Эти коэффициенты могут быть положительными, отрицательными
и равными нулю.
для вычисления коэффициентов и свободных членов системы урав­
нений в основной
системе строят единичные эпюры моментов М^,
М,,
Х
г
М
= I
X
i
р
соответственно ст единичных сил Х
= I,...,
X
n
д
=
I,
= I а эпюру изгибающих моментоэ от
внетнеЙ нагрузки (грузовую эпюру) М .
р
Коэффициенты у свободные (грузовые) члены канонических урав­
нений определяют по приведенным т ш е формулам.
Главные коэффициенты
1
побочные коэффициенты
м.
свободные члены
(7)
A
1
1
f
Г к. К,
« Z | - ^ d i
•<
где
e
„
1
- длина стержня;
£
- модуль продольной упругости;
J
- осевой момент инерции.
Интегралы перемещений, входящие в правые части приведенных
формул, для рам, состоящих из прямолинейных стержней, вычисляют
путем перемножения соответствующих эпюр по способу Верещагина.
Из формул ( Ь )
- С?; зидно, что при расчете статически неопре­
делимых систем необходимо заранее знать значения жестностей й j )
или хотя бы соотношения между тгестксстями отдельных
стерж­
ней рамы.
После определения лишних неизвестных строят эпюру изгибаю­
щих моментов в соответствии с формулой
М = M X
1
1
+ М,
2.
X , + . . . + М- X 2
1 1
+ ...+W
П
X
П
+ М .
F
(Я)
Эпюру поперечных сил отроят по эпюре моментов И согласно
выражению
-х
.о
где
ч - поперечная сила от внешней нагрузки, вычисленная для
рассмотренного участка рамы как дая простой двухопорной шарнирной балки;
прав ^лей - изгибающие моменты соответственно на правом и левом
концах рассматриваемою егеришя рамы;
х
н
1
1 - длина стеркня рамы.
Опюру продольных сил
N
строят по эпюре поперечных сил
путем вырезания узлов рамы.
проэерка коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений
Лля проверки правильности вычисления коэффициентов и свобод­
ных членов канонических уравнений стрсим суммарную единичную эпю­
ру моментов согласно выражению
М
= Й
+
М„
+ . ..+М- + . . .
+ м
.
Построчная проверка позволяет проверить правильность опреде­
ления коэффициентов при неизвестных любого канонического уравне­
ния. -Эту проверку выполняют по формуле
9
Универсальную проверну выполняют на основании условия
(го;
где
21S
- сумма веек коэффициентов системы канонических
уравнений.
Обычно сначала выполняют универсальную проверку. Если эта
проверка укажет на ошибку.то делают построчные проверки.
Для отыскания зозмонной ошибки используют Формулу
S. - S
11
on
^
%
г
m
.
Проверку правильности определения свободных членов канониче­
ских уравнений проводят исходя кэ условия
1
где
2 д - сумма
свободных членов канонических уравнений.
Рассмотренные виды прозерки выполняют перед решением системы
канонических уравнений.
Проверка правильности построения эпюр величин М, Q,
Правильность построения эпюры изгибающих моментов М проверя­
ют по способу Верещагина путем ее "умножения" на любую единичную
эпюру или суммарную эпюру М
. Результат умножения долнен быть
равным нулю или близким к нулю (из-за округлений в р а с ч е т а х ) , при­
чем разница между положительным и отрицательным слагаемыми, отнесен­
ная к большему из них,не должна превышать 3 %. Эту проверку назы­
вают
деформационной или кинематической.
В заключение проводят статическую проверку правильности пост­
роения эпюр величин \f., Q
и N . Для этого часть рамы или всю ра­
му отсекают от опер и рассматривают равновесие.
Приведем примеры построения эпюр с выполнением проверки.
П р и м е р
(рис.
I.
Построить эпюры величин M,Q и
Решение. I .
Определяем число
ЛИШНИХ
для рамы
Л = 34 - И! = 3 * 2 - 5
неизвестных по формуле(1):
= 1
2 . Строим основную систему 'рис. 3 , 6 ) .
3 . Составляем каноническое уравнение:
°Н 1
Х
10
N
Э , а ) , если biJ - c o n s t ; .
+
Д
1 Р
=
0
•
4.
Строим эпюры изгибающих моментов от сипы Х
ней нагрузки (рис.
1
= I и внеш­
3,3,г).
а)
2)
в)
®
4*
XLL
1ЙА
J
*K,8
J
U
J
J
tSL
A2
s
T T l K t i l 'IIIКо
£.6
2«%
"•)
Ш * »
5,e
' Й П Ш
p
Рл о . 3
5.
Определяем перемещения - коэффициент и свободный член кано­
ническою уравнения:
*„
-
1
г
/ 1
( т ' '
'1
?
5
т
,
5 + 4- З'З
4 - 3 *
Л>
г
II
А. - - - L -L 9 . 6 1 з
2j
1 F
•$
+
6SJ
г
(2.48-3 + 3 - 6 ) = - J 5 £
3J
6 . Определяем лишнее неизвестное из канонического уравнения:
3J-45
1
*?. Сироим эпюру изгибающих моментов от л ю м о г э
неизвест­
ного ( р и с . З . д ) по формуле
Щ = М,
х
1
.
•з. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов
(рис.3,о)
на основании выранения
К = М + М_ .
1
9.
г
Проводим кинематическую проверку правильности построения
эпюры изхибаюгих моментов М:
J
i _
бЕJ
EJ
>,,..•.-
а
1
2
EJ
5
лj
6
зг
S3
Ее
Следовательно, условие проверки выполняется.
ТО. Строим эпюру поперечных сил ( р и с . 3 , Я ; по эпюре моментов
с немощью формулы
О).
Для участков АВ,RC и В2
О
= ~
f
5
^'^
= 4 . 3 и,--
о
q
sc
Q
12
ё —
=
=
1
6
,
3
3
"
1
1
С
= 5,6
кН.
Для ригеля (участок TJK, рис.
4)
Q - 16,8
б
6 - 2 х+
При х - О
Ц = 3,2 кН.
При х = 6 м
Q„ - - 8 , 8 кН.
Рис. 4
II.
Стрсим эпюру продольных сил (рис. 3 , э ) , вырезая узлы.
Пырезаеи узел TJ (рис. Б,а) и получаем:
Zx
- N
2т
=-К-
J K
- 5,6 ^ 0 ;
К
- 3,2 - 0;
N
Вк
= 5 , 0 кН (растяиение);
= - 3 , 2 кН (сжатие).
РИС.
5.
Выоеоаем узел В (рис. Ъ, б).
Поскольку
N „ - 0 , что следует
n
ВС
из равновесия стержня УС (рис. 3 , а ) , тс
, 3,2- N
ZY
= 4 , 2 - 3 , 2 - 1,0 = 0 .
6 A
=
0;
N
ZX
= 3 , 2 кЯ (растяжение);
12. Выполняем статическую проверку правильности построения
эпюр,
отсекая раму от опор (рис.
Z . X = 5,6 - ^5 =
Z Y = 4,2 + 8,ч -
3,и):
0 ,
I
- ?-5 = 0,
2 М = 3 1 , 2 + 8 , 8 - 1 2 - Г-12 - 2-fi • Р - 5 fi-J> = 0.
А
f
П р и м е р й .
Построить эпюры внутренних усилий для рамы
{ р к с . б , а ) , если E J = c o n s t .
Решение.
I.Вычисляем степень статической неопределимоеги*
Л = ЗК - С = 3-4
- 10
-
2.
2 . Строим основную систему (рис. 6 , 6 ) .
3 . Составляем систему канонических уравнений:
4. Строим эпюрь: изгибающих коментоз от сил
Енехней нагрузки (рис.
^=1,
Х= I и
г
6,в,г,д).
5. Опрепеллем коэффициенты и езободные члены канонических
уразнений:
Ь
а ТПГ
я
*
г
( | б . б | б ) 2
^ ( -
6
.
6
)
]
+
+ 6-4.6] =
^
1
г
.
б
|
6
.
ф
.
6 . Строи;/ суммарную единичную зпюру в соответствии с форму­
лой
(рис.
6,е)
и проверяем правильность вычисления коэффициентов и свободных
членов канонических уравнений:
а ) проводим универсальную проверку коэффициентов на осневг
нии условия ; 1 0 ) :
Коэффициенты определены правильно, т . к . условие выполняется;
б ) проверяем правильность вычисления свободных членов по
формуле
(II);
E J 42 1 2 . б | б
1
EJ
4т4-6.3-5+
+
+ 2 . 6 - 5 + 1 ? . 6 + 6-4 + 2
2 А -
п
.
104
3EJ
-
37;
EJ
т
*
С - ^ - 6)
101 5
3EJ
2 -1'2-4 +
1Q15
3SJ '
*
Решаем систему канонических уравнений
г
Я
O/i X - 104
Л пи
EJ
3EJ
о ,
2
4
1
2
7
4
* 288
EJ
„
373
EJ
+
= О
и в результате решения получаем
Х
8.
0,597 *
1 =
0 , 6 0 кН;
Х = - т.'Ш*г
Г,25 кН.
Отроим эпкры изгибающих моментов (рис. б , и,д) в соот­
ветствии с выражениями
9 . Строим окончательную эпюру изгибающкх моментов (рис. б , и)
согласно формуле
м - м + м +ч .
Р
10. Проводим кинематическую проверку правильности построения
окончательной зпюры изгибающих моментов:
_ в
^ J - ^ r ~
1
х ' '? '
М
Й
л л
d
1
3
5
l
=
5
- 3,75-6) +
+
16
2
1 1-1,2-2
E J
g
|_ J
6EJ
+
р.Р
3~
_ 3 __
(
2
.
1
)
1
5
.
б
1-^,5-6
2
_ 2-3,75.3
2
Т
6
1
- 1 Т
- 1,5-3 -
2-3,3-'+ - 2 - 1 , 5 - 6 + 3 , 3 * 6 - 1 , 5 - 4 +
( - 4 - 6 )
86,40
SJ
"
87,67
EJ
Х
Расхождение
ТТ. Строим эпюру поперечных сил (рис. 6,и)
щих моментоз с помощью формулы
(9),
по эпюре изгибаю­
так же как и в поимере Т.
1 2 . Строим эпюру продольных сил по Епюре поперечных сил
(рис.
6,л}.
1 3 . Проводим статическую
проверку правильности построения
эпюр (рис. 6 , м ) :
S x
= 0 , 7 5 + 1,25 - 2
= 0;
= 2,6 + 0 , 8 + 0 , 6 - 1-4 - 0 ;
1 и , 0,8 - 4 + 2 - 3 - 0 , 6 - 2 - I - 4 - 2 = 0 .
В
Использование симметрии при расчете оам
Использование симметрии при расчете статически неопределимых
рам зозмояно, если рама обладает геометрической" и упругой симмет­
рией относительно оси. Основную систему выбирают симметричной и
лишние неизвестные располагают на оси симметрии. Б этом случае
от симметричных единичных усилий получают симметричные единичные
эпюры, а от обраткосимметричкых неизвестных - обратнесимметричнуе
эпюры.
Произзедэние симметричной эпюры на ебратносимметричную
(по
способу Верещагина} равно нулю. Следовательно, ряд побочных коэффи­
циентов обращается в нуль. В результате этого общая система кано­
нических уравнений распадается на две независимые системы. Одна
из этих систем содержит симметричные неизвестные, а другая - обрат несимметричные.
Использование симметрии сокращает объем вычислений. Рассмот­
рим использование симметрии на примере.
П р и м е р 3 . Построить эпюры величин
(ркс.
а ) , если К = c o n s t ,величины
GL и N
для рамы
J указаны нэ рисунке.
Решение. I• Определяем число литних неизвестных:
Т. =
3-1-1=2.
1.Бкбираем основную систему симметричной ( р и с . 7 , 6 ) . делаем
разрез по простому шарниру, при этом имеем симметричное неизвест­
ное
и обратносимметричное !%•
JV
с-»
X
Ч' М М Т Т
•м
г»
ТгТТТтТП
w
X_J°f
1111
| я п
П7
3- Составляем систему канонических уравнений:
V - i
\Ч
К ч
+
+
I F
U
* ^
^ Ч
+
=
°-
-
о.
4. Строим единичные эпюры изгибающих мемечтев (рис.
и эпюру от заданной нагрузки (рис.
?,Б,Г,)
7,д).
Ь. Определяем коэффициенты и свободные члены канонических
уравнений:
S.
'
3 - 2 J XZ
ч
<у
11
S
г
1
Г
U - ^ f - ^ 3 . 3
5-2J
Д
I
'IF "
5 С
J -
)
5
3
2
+
T
i -
I
3 - 6 - 3 ) 2 ^ ;
4
i
:
7ГТГТ"
K - 2 J " Г3-
6 . PRIVJSM
I
EJ
IOS
3
° °6 "- 6 - 3
C
л
=
=
•
систему канонических уравнений:
EJ
72
.iJ
X
v
i ' EJ
=
:08
j
X- +
2
°'
= 0.
3
Использование симметрии при расчете привело
к распаду сис­
темы на независимые уравнения, реиая которые, находим:
Х = 2 , 2 5 кН,
1
Х
г
= - 1,50
7.Строим ппюрк моментов
{F.
4
(рис. ^,e,w.) "умножением"соот­
ветствующих единичных эпюр моментов
и М на найденные значения
неизвестных
М
4
и Х^.
3 . Строим окончательную эпюру изгибавших мементоз (рис.
7,з)
на основании формулы
я -
+ к
2
+ Ир .
19
9. Проводим кинематическую проверну правильности построения
эпюры изгибающих моментов:
а ) проверка по Х = I :
1
J EJ
+
( 6 + 0 )
о
J
+ —Ё—
. D1-2J
( 2 - 9 , 0 • 6 - 4 , 5 • 5)= О,
б) прозерка по Х = I :
2
1
рИ М
1 (1 . 4 , 5 • Э 2
\
б
х [ й • 18 • 3 - 2 • 4 , 5 • 3 + 18 • 3 - 4 , 5 - 3 + 2 *
2
х
+
2
' ^
8
(-3-3
)1
Ё _ ( 3 • 9 - 3 - £'4,5-3 +
J 6E-2J
+
9 • 3 - 4,5 • S )
= 0.
10. Строим эпюры сил Q и II ! р и с
как и в примере I .
П.
7, и,к)
таким же образом,
Выполняем статическую проверку правильности построения
эпюр величин и,
Q. ,
N
. Для этого раму отсекаем от опор, дейст­
вие отброшенных опорных связей заменяем внутренними силами (см.
эпюры величин М, Q. , ТО и прикладываем заданную внешнюю нагрузку
(рис. 7, л ) .
Получаем:
2 1 - 2-6 - 9,75 - 2,25 = О ;
2 - - 1,5 - 1,5:- о ;
2м = 18 + 9 +• 1,5-6 - 2 - 6 - 3 = о .
д
Группировка неизвестных
При расчете рам, имеющих несколько пролетов и обладающих
геометрической и упругой симметрией относительно сси, незозмонно
разместить все неизвестные на оси симметрии. Б этом случае для
получения симметричных и обратносимметричных эпюр неизвестные
20
силы группируют. Тогда ряд побочных коэффициентов обращается в
нуль, общая система канонических уравнений разбивается на две
независимые системы.
Для примера рассмотрим шесть раз статически неопределимую
ра«у (рис. -В,а). Основная система представлена на р и с
ные эпюры показаны на р и с
8 , 6 , единич­
?,в,г,д,е,ж,э.
ось сиспт
го
1
Х,»1
^^IJJIiJJJ^
*9 1
4
ттттг
I 1
пц4
1
Рис. 8
21
В результате выполненной группировки неизвестных система ка­
нонических уравнений распадается на две независимые, в одну из ко­
торых вейдут симметричные неизвестные х , X j . x ^ a в другую обратно1
симметричные неизвестные
+
*1
h
+
+
-Ь
+
X , , х . , >*
S
,5X5
^35
v
5
X
+
+
«
x
z
+
+
S «
x
6
*1F
+
5
j-
S
i-
:
- 0 ;
= 0;
*5F
- 0;
4p
- 0;
+
= 0;
+
= 0.'
>
>
(12)
(13)
Благодаря применению групповых неизвестных обьем вычислений
значительно уменьшается.
Определенно перемещении
Для определения перемещение в статически неопределимой раме,
образованной прямолинейными стержнями постоянной жесткости, приме­
няется "умножение" эпюр по способу Верещагина. При этом,как и при
определении перемещений в статически определимых рамах, рассматри­
вают грузовое состояние рамы (при действии заданной нагрузки) и
единичное состояние (при действии обобщенной единичной силы, по
направлению которой определяется перемещение). Для этих состояний
строят эпюры изгибающих моментов Ч. и Mj_ .
Расчет можно упростить, если заменить, определение перемеще­
ний в заданной статически неопределимой системе определением
соответствующих перемещений в основной системе,
т.е.статически
определимой. Это возможно при условии, что при одновременном
приложении внешней заданной нагрузки и основных неизвестных основ­
ная система работает точно так не, как заданная.
Следовательно, для определения перемощений в статически
неопределимой раме надо построить эпюру моментов М от заданной
внешней нагрузки в статически неопределимой системе. А эпюру мо­
ментов
от обобщенной единичной силы моткно строить в основной
системе, т . е . в любе/ статически определимой раме, полученной
из заданной удалением связей.
В качестве статически определимой системы следует выбирать
такую, в которой зпюра моментов
строилась -1ы наиболее просто.
П р и м е р 4 . Определить горизонтальное перемещение и угол
поверста узла К лля рамы, рассмотренной в примере 2 .
Эпюра изгибающих моментов II,
зана на рис. 9 ,
полученная з примере 2,
пока­
б.
• Г Ц
1,£
1.1
©
2м ,
1
Ли
1
F-1
60
4о
г)
к
У Ц Д Ш . Ц I i 1ТТП$
1.0
4.
1
1—
t
9
РИС.
Решение. I . Для определения горизонтального перемещения узлУ к основной системе рамы прикладываем единичную горкгонгахьную
силу и от нее строим эпюру моментов М
(рис. 9 , Б ) . Перемножив
р а 1
ее с эпюрой моментов М , определяв-'/, искомое перемещение:
_I_
Е J
I
I * 4.5 • 6
EJ
2
L - 1.2 - £ _2_
2
3
_
"
58.3
EJ
2
3
Pi
+
*
2 . Гри определении угла поворота узла К эпюру моментов
23
(рис. 9 , г ) от единичного
момента, приложенного в основной сис­
теме, перемножаем с эпкрой моментов М:
Q
2j
гj
+ 2 . 1,6 • I
х 1-2 - 3,3 - Т
I •4
з
г
,
2
-3,3-1
+ 1,5-1-
2 х
2,53
л + i:.
РАСЧЕТ НЬ'РАЗРЕЗНЫХ ВАЛОК
Статически неопределимая балка, имеющая более двух опор,
на­
зывается неразрезной. В работе рассматривается расчет неразрезных
балок с помощью уравнения трех моментов и методом фокусов. В осно­
ве этих способов лежит метод сил. При расчете неразрезных
балок
принимаются следующие ограничения:
а) все опоры неразрезной балки должны лежать на одной пря­
мой линии;
б) все опоры считаются
абсолютно жесткими , т . е продольными
деформациями опорных стержней можно пренебречь.
Уравнение трех моментов
Уравнение трех моментов получается из канонических уравнений
на основании метода сил,
если в качестве неизвестных принимаются
спорные моменты. При расчете статически неопределимых неразрезных
балок с помощью уравнения трех моментсв не нужно строить единич­
ные эпюры и вычислять коэффициенты и грузовые члены системь: кано­
нических уравнений. Уравнение трех моментов устанавливает зависи­
мость между тремя моментами в сечениях над соседними опорами не­
разрезной балки. При действии на балку внетней нагрузки уравнение
имеет вид
л
J
n
V
J
где
М _ , М
п
4
1
24
L
, M
д
П
n
,
n
n +
1 .(
п+
"г.
J
n+I
J
n+1
'
j - моменты на опорах
п-1
, п,
п+1;
" Длины двух соседних пролетов;
n+< - моменть: инерции пролетов п, п+1 ;
" n t i ~ * &апн
эпюры моментов от заданной
нагэузки в основной системе в поолетах
п, п+1 ;
J
й
п
1
м
г
а
Ь
т
- расстояние центра тяжести площади &>„
от левой опоры п - 1 ;
п +
, - расстояние иентра тяжести
от правой опоры п+1 .
плоцади^
Для балки постоянного поперечного сечения
(J
п + (
const)
уравнение трех моментов упрощается:
>
-
+
f
-w,
^+1
0>
-в(
(is:
-1_
Порядок расчета неразрезнкх балок с помощью уравнения трех
моментов следующий.
I. Зыбирается основная система: ставятся шарниры в с е ч е ­
ниях над всеми промежуточными опорами. Если какой-либо конец
балки защемлен (рис. 1 0 , а } ,
то со стороны этого конца з основ­
ной системе к балке добавляется пролет длиной, равной нулю
(рис. 1 0 , б ) . Ь'снсольные части балки (рис. ТО,в) в основной
системе условно отбрасываются :i их действие заменяется
ными моментами и поперечными силами (рис. 1 0 , г ) .
извест­
Поперечная
сила на опорные момен'Щ влияния не сказываем.
1
Q
СЦ
I *Л
f
.
<
е
О
я
L
1
^'
Z
^ I^
е,
Рис. 10
25
2. Нумеруются опоры слева направо. Крайняя левая опора о б о з ­
начается номером 0 . Номер пролета определяется номером правой
его опоры.
3 . Строится эпюра изгибающих моментов от действия заданной
Енетсней нагрузки в основной системе.
4. Составляется уравнение трех моментов для каждой промежуточ­
ной споры балки.
5. Решается
"
система уравнений и определяются значения
опорных моментов в сечениях над всеми промежуточными опорами.
6. Для каждого пролета балки составляются выражения изгибаю­
щих моментов
( М^. ) и поперечных сил ( Q
M
) , c
помощью которых
строятся эпюры величин М и Q:
о
Q
= Q°
М_ - И
+
М
г
" "
.
^
п
где
К
, с
о
Мпх»
о
1
"
7.
П
-
- изгибающий момент и поперечная сила в произвольном сечении X пролета п неразрезной
балки;
Д
т У-
п
1
- изгибающий момент и поперечная сила от внеш­
ней нагрузки, вычисленные для простой балки;
- длина пролета п ;
- моменты на опорах
п-Л , п .
Определяются опорные реакции нораэрезной балки (если т р е ­
буется по условию р а с ч е т а ) :
М
R
n
-
*пмЬ
+
\ma$
— М
i
+
- до
V
+
1
>
п
п
оеакции опоры п однопролетной балочки от задакней нагрузки(без учета действия опорных момен­
тов) соответственно слева и справа от опоры.
г
о
о
р
8.Проверяется правильность построения эпюр величин М и Q по
условиям контроля для простых балок в случае поперечного изгиба.
Для контроля правильности определения опорных реакций мож­
но воспользоваться равенством сумм реакций и нагрузок:
ZR
26
=
-
SF
.
5 . Построить эпюры изгибающих моментов и попе­
П р и м е р
речных сил для балки ( р и с
II,
а ) . Р а с ч е т выполнить с помощью
уравнения трех моментов. Жесткость балки по всей длине постоян­
ная ( S J
-
const).
Решение.I. Выбираем основную систему
(рис. I I ,
б ) . Для это­
го вводим гарниры з сечения над всеми опорами. Кроме этого добав­
ляем со стороны защемления пролет длиной
^
0
= 0 , а консольную
часть балки отбрасываем и ее действие заменяем моментом
2 . Нумеруем споры и пролеты (рис. I I ,
М =12кН-м.
3
а,б).
3 . Строим эпюру изгибающих моментов от действия заданной
(рИС П , Б ).
внешней нагрузки в основной системе
IMC*
1к
i
А
f
-
1, а З
i
*>1
а
н
ним
Рис.
\
5
1
(
у
<Vu
,
\
| •j
II
21
4. Составляем уравнения трех моментов по формуле ( I D ) Д Л Я
всех промежуточных спор. ?сли площадь грузовой эпюры
представ­
ляет собой елочную Фигуру, для которой трудно определить голоменис
центра тянести, ее разбивают на простые фигуры и после этого опре­
деляют величины
а
и Ь .
Для нулевой опоры (
п
=0)
уравнение трех моментов имеет вид
/Ф
п
-1 о
и
+
х
\
2
c i
0
+
V
^
+
'
'
6
а
Н Е Т
Ь \
^
" 5 7 ^
+
'
Подставляем шаровые значения:
С 2К (0 +8 )
+
о
4,8-6(0+
+
8 «
Т/2 - 3 0 ^ . / „ 3 3
) .
-» 4 М = - 1 9 5 .
0
Составляем уравнение трех моментов для первой опоры ( п
* 1<
+ 2 r V V 4 >
0
М -Э
+
+
м
1
1
1
= - 6 ( A ^ L
2 М. (3 + 1 0 ) + М , - 1 0 . - 6 ( У ^ - 5 0 - 8 - 3 , 6 7
4 М
0
+ 1Я М f 5 И
1
+
j £ | ^ j
2/3.25.10-5)
+
=1):
;
.
= - 4Г5.
г
Составляем уравнение трех моментов для зторой спорк ! n = 2),
учитывая, чго М
м
1 Ч
3
= - 12 кН . м:
+2н (1 -ы ) м 1 --б
г
М„-10
г
3
з
+
+ 2 М, (10 + 12) - р
1
+ -i-lj;
5
. I? = - ъ(Ш.:ЛЬ
' Ю -5.
^
10
2
С4 + I 2 J / 2 - 4 0 - 6 \
П>
+
/>
5М + 22 -л - - 658 .
1
г
5. Решаем еиетсму полученных уравнений:
8М
0
+ 4М
= - 195 »
(
4Я
+
+ 5 М - - 415 »
5 И,
+ 25 М - - 658 .
4
г
Получаем следующие значения опорных моментов:
«о = - I 8
7 3
ЙН.М, К, = -
1 1 , 3 0 хН-м, М = - 2 7 , 3 4 кН-м.
г
6. Строим эг-оры изгибающих моментов и поперечных сил
(рис. I I , г, д ) . По формулам { Т 6 ) и ( 1 7 ) составляем выражения
+
изгибающих моментов и поперечных сил для всех пролетов балки
(за исключением консоли).
рис.12):
а ) Для первого пролета ( n = I ;
П р у
м.
-11,30+18.73
Я
1
,
1
8
|
7
.
3
так как 0 ^ х ^ 3 , то
при x,j
М
=О
-
=
1
1 8 , 7 3 кН.к,
при х< - 3
М
= 14,01 кН-м;
1Х
10 +
Чх,
1 0 , 9 3 К Н =- c o n s t ;
1 0 к
'1х,
так
Рис.12
16 ( х г
г
3)
+
- 11,50 + 13,73
8
18,73 ;
3 g= x ^ S , то
как
при
x-
3
iv'
при
х = 8
?v!
Q
t
г
-
t x
Ю
-
1 x
1x
= 1 4 , 0 1 кН-м ,
s - 1 1 , 3 0 кК-м ;
16 + ~ 1 1 . 3 0 + 1 8 , 7 3 ,
5
i
0
?
г
8
б) Для второго пролета ( n =2; рис. 1 3 ) :
K
d
.
c
o
n
e
t
>
1 х
1 * 1 + - ^ 7 , 3 ^ + 11,30 Х - 11,30 ;
10 х -
1
10
так как О ^ х ^ Ю ,
то
М„_ - - 1 1 , 3 0 кН-м,
при х, = 5 м
N
2 X 1
- 5 , 6 8 КН-м,
Яри x = 1 0 м
t
м 2х<
1
•ах.
ЛрИ х ^ » О
при
Рис.13
- 2 7 , 3 * - кН'-м;
10 - 2 x
-Юм
f
+
•2Х,
Q
-
- 27.3*
9,3
+ Q
1%30
.
кК,
кН.
-10,7
29
Определяем значение максимального изгибающего мсменга Е О
ьтором пролете. Для этого выранение поперечной силы приравниваем
к нулю и находим величину
1С - 2х,
+
:
'
2 7
-
3 4
+
1
Подставив значение
получим
>
10
п
3
- 0;
0
х, « 4,2 м.
1
в выражение изгибающего момента,
1*1
10
= 6,32 кН.м.
Б ) Д Л Я третьего пролета ( п - 3 ; рис. 14 )
Ю
В
Х 1
Так как
- 1 8 + 27,34
1л
_ 27 3 4 .
х
1
Т'..
Т 1
1
'
0 ^ х =^ 4 , то
1
при х
1
= 0
М
при х
1
= 4 v. H
5 х
^
S x
- 27,34 кН-ы,
= П . 7 7 кН . н;
J
*4
Рис. Т4.
„
= Ю +
п
(
^зх
1
- 1 2 + 27,34
— —
=
j
y
'
2
B
к Н
=
- I S + 27,34
'ЗХ,
А
при х» - 4м М
зх.
пра x = Гш М ^
- Т^,?7 кН-Ы,
5 х
= 2 0 , 3 2 яН-м,
при х
5 Х
= 2 2 , 8 4 к!!.и;
2
5м
М
- 10 - ТО +
30
n
s
-
t
.
"
х - 27,34;
то
Й
t
3
o
2
12
так как
М„
G
10i.а
1С ( х
о
- 4 )
- 1 2 + S7 34_ _
12
?
-
10 ( х
->
-
8)-f
I f
"
2 8 кН = c o n s t ;
Л
г
+
2
^2
7
^
х
*
27,34:
так как
8 4 х
= Зм
s
при х
Q 3, _X
^ 12, то
$
при x
. . ^
= 12 м
М,„
= - IS кН-м;
- 1 0 - 10 - 10 + '
1
*
2
S
2
1
^
7
= - 8 , ? 2 КН -
const.
2
Определяем для консоли
М
= - Г2 кН-и , Q. = 0 .
Учет осадки опор и действия температуры
Осадка опор или неравномерное температурное воздействие вызы­
вает изгиб неразрезных балок и появление в них внутренних силовых
фактсроз. Предположим, что вознхкакиие напряжения в балке не пре­
вышают предела пропорциональности и закон Гука сохраняет свою силу.
При расчете незагруженной балки постоянной жесткости на осад­
ку опор уравнение трех моментов имеет вид
где
9_ , в
- углы наклона пролетов 1
и 1 ^ , возникающие
в основной системе от заданного смещения опор.
Q +
Вследствие малэ-й-величины углы наклона-пролетов можно
заменить тангенсами у, выразить через смещение - опор:
9
г
д
е
п
1
в
е
?
т
>
и
к
а
л
ь
н
ы
е
п+1
1
=
•
смещения опор п - 1 ,
е
'*
20)
п,п+1.
Если, кроме осадки опор, балка подвергается действию внеш­
ней нагрузки, то уравнение трех моментов принимает вид
<°п-и п <
1
у
Ь
+
6
E
J
Как видно из уравнения ( £ 1 ) ,
,
+
4
а
п
( 2 1 )
л+1
рациональным смещением опор мож­
но выравнять изгибающие моменты и напряжения. В этом случае сме­
шение спор будет положительным фактором.
При неразномерном нагреве нераэрезной балки постоянного с е ­
чения уравнение трех моментов можно записать так:
где
ос - коэффициент линейного температурного расширения мате­
риала балки;
31
ht
- изменение температуры крайних волокон элемента балки,
h - высота поперечного сечения балки.
Если в основной системе балка искривляется под воздействием
температуры выпуклостью вниз, u t
П р и м е р
ка величину
- число положительное.
6 . Построить алюру моментов М от осадки опоры 3
S
= 3 ем
Решение. I .
(рис. 1 5 ) , если жесткость балки 3J=-;O KH-M*
3
Выбираем основную систему
( рис. 1 5 , б ) .
2. По формулам (19) и (20) составляем уравнение трех моментов
для каждой промежуточной опоры:
а) Для первой опоры ( n =
М 1
0
+ 2 M < 1, + 1
1
f
Так как М
2М
4 М,+ М
t
=
г
) M
г~ '
l
w
l
l
= -6EJ
+ 9^ )
t
4
г
= 0;
0.
б) Для второй алоры ( п -
в
J L
5 "
2):
1
М,4 + г М (4 + 4)
я
ч-со
+ М
3
4-00
1
4 = -
;
в ) Для третьей опору ( п = 3 ) :
И 1 + 2K (1
2
32
3
3
.
= 0 , © = 9 = 0 , то уравнение принимает вид
0
(4 + 4) + M
(
2
I);
S
+ 1^)+
И,1^-- 6 E J ( 9
3
+
е,,);
3}
Решаем систему полученных уравнений и находим:
V
1
=
1,21 кН.у;
= - 4 , 8 2 кГ-м;
У
г
M = 6,83
s
нЧ.м.
4. Строим эпюру моментов от осадки опер (рис. 15,в) по полу­
ченным р е з у л ы а т а у . 1о зпюре моментов
можно построить эпюру
поперечных сил 0. согласно формуле ( I V ) .
П р и м е р ? .
Построить эпюру изгибающих моментов в балке
от указанного на рис. 16,а
жесткость бальш
2 J
температурного воздействия,
если
постоянная по всей длине, вксста сечения
балки h , а коэффициент линейного температурного расписания мате­
риала ot .
?8'яение,1. Изображаем основную систему (рис. Т6,б) .Пункти­
ром показываем деформацию балки в о с ­
новной системе под воздействие\' тем-
а)
-6
1
пературы. Составляем уравнение трех
моментов для нулевой опоры ( п = ГО
пп формуле
(22)
(i
+ 1,)
0
+ м,1
h
Подставляем в уравнение следующие значения: М_ =- М
« 11 =- С; 1
1
Ut = 2t - ( - t
-
Q
=О
3 t .
Получаем
Рис. ' 6
9dLt E J
2h
3 . Строим эпюру моментов Ь' (рис. .76, в ) .
Метод фокусов
Метод фокусов наиболее эффективен при большом числе пролетов
неразрезной балки л тогда, когда загружены не все пролеты. В каж­
дом незагруженном пролете
(нагрузка справа или слова от него)
эпюра моментов имеет нулевую точку, причем расположение этой точ­
ки постоянное и не зависит от величины и вида нагрузки загружен­
ного пролета. Эти точки называются моментным фокусом. Существуют
левые и правые фокуса. Левым (правым) фокусом называется нулевая
точка эпюры моментов данного пролета при загрукекии одного или
нескольких пролетов, расположенных правее ( л е в е е ! рассматриваемого.
Гак как фокусные точки в каждом пролете имеют постоянное
местоположение, то и отношение опорных моментов незагруженного
пролета япляется постоянным. Различа?эт левое ('<
) и поазое (
i
п
•
-п
фокусное отношения, которое определяются по формулам:
г
р и парнирном опиракии крайнего левого пролета нулевая точ­
ка находится в левом шарнире крайнего пролета (М
i
i
=
* 'V ' o
I
/ ,
I
s s o
°*
-Р
и
наличию дополнительного пролета длиной
отношение
= 0 ) . так как
0
защемленном конце балки, что эквивалентно
= о, леэсе фокусное
2 + 0 / 1 ^ (?: - 1 /<*>)=2. Подобные рассуждения справед­
ливы и длн крайних правых пролетов.
Если загружен только один пролет п , то опорные моменту
для этого пролета определяются по формула /, ?:оторыо получаются
1
при совместном решении двух уравнений трех комонтов, составлен­
ных для опор
и- I
и п :
I2
п
к
6 О)
11
1*
£25
к' а
п
(26
V
1
'
- площадь эттюры моментоз от заданное нагрузки в о с невной системе в пролете а ;
п
1
» п
к
a
34
n
- длина пролета п ;
- леЕке и правые фокусные отношения для пролета п
;
- расстояние центра тяжести площади u> соответс;?венне от левей оггоры п - I и правой опоры п •
n
Остальные опорные моменты определяются через фокусные
отношения, при загружении пролета п
м
г
а- 2.
п-1
П р к м с р 3 . Для балки (рис. 17,а) построить эпюры изги­
бающих моментов от последовательного загружэния пролетов. При
расчете использовать метод фокусов. Местность по зеей длине пос­
тоянная (Е<Т
= const).
Решение.I. Выбираем основную систему
грузовую епюру моментов M
F
(рис. 17,6) и строим
в основной системе
(рис. Г?, в ) .
Основную систему Еыбираем таким же образом, как и при расчете
неразрезных балок с помощью уравнения трех моментов.
2 . Определяем фокусные отнохения по формулам (УЗ) и ( 2 4 ) .
При этом не- учитываем знешнюю нагрузку,
так как фокусные отно­
шения не зависят от ее величины-.и вида.
Левые фокусные отношения:
it = - 'о
1
1
V -
2
2 +
2 +
W
li
т
-Li
ll
^2
(2 - 4 - >
(2
(2
- 4 т '
о
2
+ -д- (2 - «
> + ^
2
л
(2-^)
12
{ 2
)
- 2;
= 3,20;
- -1—)= 3 , 4 1 .
3,?
Правые фокусные отношения:
35
Ч от последовательного загружения
3 . Строим эпюры моментов
пролетев внешней нагрузкой;
а)
При действии нагрузки в первом пролете (п=1)
определя­
ем опорные моменты для этого пролета по формулам (25) и
a)
Jo
1
(2fi).
Г—I—I—*-f—f—l—l—•—Г—I—г -I—I—I—I—г—т •T"r-
пниiiiiirm>
ж)
!
?ис. I ?
36
Эпюра моментов з первом пролете (рис. 17,а) в основной системе
имеет значения с разными знаками, поэтому грузовую площадь раз­
биваем на две площади ^
и сд" и получаем:
6 . 1/2 • б • 3
6 • 4,22 - 2
6 • 1/2 • 10 • 5
2 • 4,22 - I +'
8
З2
а
3,33 . 4 , 2 2 - 4 , 6 ?
2-4,22 - I
М = м = а
-1
6Ц
a к, - Ь
1;т
к.-3 к'1 -
1
• 1/2 • б • 3
8
- + 0 , 3 2 кН.м;
1
1
ои)^
а
1
к.
к,1 1
1
2-2-6
к., -
Ь
1
Й • Т/2 • 10- 5
п
+
2-4,22-1
г
1
х
4,67 • 2 - 3 , 3 3
*
2-4,22 - I
= 2 , 1 3 *Н.м.
Моменты на концах незагруженных пролетев:
<
^
М
1
М -
"
. J i l l
4,40
= - 0,4В кН.м;
= С
k
i
Затем строим епюру изгибающих моментов в загруяенном про­
лете ( С У . пример 5 ) . Окончательная эпюра изгибающих моментов
при действии нагрузки з первой пролете показана на рис.
б) При действии нагрузки Е С втором пролете
17,г.
(п= 2 ) , на о с ­
новании формул (25) и (26), получаем:
М
х
= М
6а>.
а
-
—
Ъ, к' -
а
—
.
6-1/2-20-10
±-
=
_
.
v
5 . Л 40 - Р)
"
= - 7 , 8 0 кН.м;
3,20'4,40-Т
37
и
^
г
1*
м
6 й 0
-
"
а
* 3 ~ Ч
к,*',- 1
6.1/2-20-Ю
1С
1
Ь • 3.20 -5
Моменты на концах незагруженных пролетов:
М-
-5,30
=-
Ч
С .
•Эпюра моментов М ст действия нагрузки во втором пролете при­
ведена на рис. 1 7 , д .
п) При действии нагрузки в третьем пролете
Ъ
г
а
к
=
_
=3):
6-2/3-1S.-,2
3
* ° ч - ' * ' - и Г - ^ ! - т
6
( п
^
6-2/3-18-12
—
х
_6
2
1
Опюра моментов М от действия нагрузки в третье?-; пролете
изображена на рис. 1 7 , е.
г)
При действии нагрузки на консоль:
р.з
—
Ч"
М,= -
г
" 9кН-м;
=
-
М= -
И,
г
-9
= -~t^jt
=
64 кН-м;
- - 0 , 8 2 кН.м;
Эпюра моментов М от действия нагрузки не консол:-- показана
на рис.
38
17,я.
Эпюра изгибающих моментов от действия на балку одновремен­
но всей заданной нагрузки получается сложением эпюр от после­
довательного загруженая пролетов:
М= м
+ М + М +М
После вычисления ординат эпюры моментов М по формуле
!17)
можно построить эпкру величины О..
Построение объемлюпих эпюр
Если н.;- неразреяную балку
кроме постоянной нагрузки дейст­
вуют временная, которая может быть снята с того или иного проле­
та балки, то для проверки прочности или для подбора сечения
необходимо знать сочетания постоянной и временной нагрузок, при
которых Б различных сечениях будут наибольшие или наименьшие
изгибающие моменты и поперечные силы.
При определении максимального момента
М^д^в каком-либо
сечении к моменту от действия постоянной нагрузки М
ляются
г о с т
прибав­
все положительные моменты от действия временной нагруз­
ки ( Z w k
+
D
) в рассматриваемом сечении:
\&х
М
=
гшст
+
2 м
+6р
•
При нахождении минимального момента ^
m
i
з каком-либо
n
сечении к моменту от действия постоянной нагрузки М
п о с т
прибав­
ляются все отрицательные моменты от действия временной нагрузки
! 2M_
6 p
):
«in=
M
«поет
+
2
М
- 6
•
Р
Полученный таким образом график называется объемлющей
эпюрой изгибающих моментов.
Таким же образом находятся Q.
и Q ^
max
Э
-тах ~ ^пост
°-rnin
П р и и е р 9.
=
Q
nocT
+
+
^^+Ьр
^ -bp
n
:
'
•
Q
Для трехпролетной балки !рис. 1 8 , а ) ,
считанной в примере Ъ на постоянную
рас­
нагрузку Срис. 1 8 , б) и
в примере 8 на временную нагрузку (рис. 1 8 , в ) , построить
объемлюшие
эпюры изгибающих моментов.
39
Решение. Для решения используем результаты, полученные з
примерах 5 и 8 (см. рис. I I и 1 7 ) . -Ординаты определяем над опо­
рами л в характерных сечениях ( т а б л . I ) .
Объемлющая епюра изгибаю­
щих моментов представлена на рис. 18, г.
2.
а)
3
е
S)
!
НАГРЕЙ*
Т а б л и
Сече­
ние
м
пост
в про­
лете I
з про­
лете 2
в про­
лете 3
на кон­
соли
м
max:
К •
mm
о
-18,73
0,32
3,90
-1,65
0,41
-14,10
-20,38
э
14,05
•7.00
-0,49
0,21
-0,05
21,26
13,51
14,26
-9,00
т
б
40
-11,30
2,13
-7,80
3,30
-0,82
5,68
0,82
Т3.5Я
-3,65
0,01
~5,Я7
20 00
4,51
-"9,92
2,03
Продолжение табл.т
Сече­
^гтост
ние
^6т>
в про­ в про­
лете "2 лета 3
Б про­
лете I
на кон­
соли
М
тах
M
«in
?
-27,34
0,48
-5,05
2,64
-24,70
-А 3,43
Е
17,77
-0,32
8,96
-1,24
26,73
12,Я4
Г
20,32
-0,24
-3,37
_? к?
12,72
-3,18
33,04
14,3В
Д
3
22,8S
-0,16
-1,68
12,43
-5,12
Зо,36
15,92
-12 0С
0
0
-12,00
-21,00
•л
-12,00
0
-9,00
с
-12,00
-12,00
Т
-ТО, 56-
0
о
0
П р и м э ч а н v я: I . В числителе даны зна 4ения ординаты
слева от сечения,
в знаменателе - справа от сечения.
2- Значения моментов приведены
з килоньютсн-метрэх.
.Динии влияния для неразрезных балок
Для построения линии влияния какой-либо величины единичный
груз ( F = I ) последовательно перемещается по воем пролетам балки,
данная величина выража­
ется как функция от коор-
F=4
динат положения груза
|4Vi/"
(рис. 1 9 ) . Вначале стро­
K-i
ят линии влияния опорных
моментов, так как от
их
значений зависят изгибаю­
щие моменты и поперечные
силы в пролете балки, а
Рис. 19
танке опорные реакции.
При построении линий влияния опорных моментоЕ используют
формулы, полученные из выражений (25) и
них значений
и).
(26) подстановкой в
выраженных через г>
'п-1
-с
- о
( л ^
- р )
(29)
(30)
Здесь
где
п
- величина,характеризующая местоположение единичного
груза ( F - I ) в рассматриваемом пролете (рис. i 9 ) ;
0 ^ 5 ^ 1,0.
лт
Для 'фактических расчетов при построении линий злияния опор­
ных моментов используется табл. 2 , составленная на основании фор­
мул (29)
и (30).
„
l
а б л и ц а
2
Формулы для определения моментов
М,
it**,
)
0
0
О
- *
0,1
-С(0,Т7Тк^-
0,099)
-С (0,090 к
п
0,2
-0(0,2881^
0,192)
-V
(0,192 к
п
0,3
-С(Э,Я67 к'
0,273)
-С
(0,273к
п
- 0,35?)
0,4
-С(0,-484 к^
0,336)
-0 (0,336 к
п
- 0,384)
0,5
-0(0,3'^:^
0,375)
-0(0,375
к,.
0,6
- 0 ( 0 , 3 3 6 к^
0,384)
-С(0,384
к^
- 0,375)
- 0,336)
0,7
- 0 ( 0 , 2 7 3 к^
0,357)
-0(0,357
к
п
- 0,273 )
0,3
-0(0,Т92 к^
0,288)
-0(0,268 к
0,9
-С(С,099 к'
0,171)
-С(0,Р1
м
- 0,399)
ц
п
к
- О,Т^Т)
- 0,2В8)
После построения линий влияния спорных моментов могут быть
построены линии влияния изгибаюших моментов, поперечных сил л
опорных реакций соответственно пс формулам ( 1 6 ) ,
П р и з е р
(17) и ( 1 8 ) .
1С. Для балки, имеющей размеры и жесткость та­
кие же, как и в примере 8, построить линии влияния спорных мо­
ментов М , 1'^ , М
0
4
, М ,
3
линии влияния изгибающих моментов М и
поперечных сил Q. Б сечении ч ( р и с
20,а).
Фокусные отнотения известны из примера 8:
лозые:
:< = « ~ ,
0
правые: k'
t
Ц = 2,СО,
к
а
= 3,?С,
4 , 2 2 , к!,= 4 , 4 0 , к' - »
к = 3,41;
3
.
Решение.I. Строим линии влияния опорных моментез,
поочередно
перемещая груз из пролета в пролег и принимая значения у в каждом
пролете в соответствии с интервалом 0 , 2 . Для пролетов, в которых
находится единичный груз ( 5" = I ) ,
ляем по формулам (29) и ( 3 0 ) ,
формулам (27) и ( 2 3 ) .
42
ердипать: линий влияния опреде­
а для -незагруженных пролетев по
43
"ри нахождении груза в первом пролете
к: „
М0 =
- К
,
—h—
= -
(р. =
( o L k ' - &;
I):
=
Ц К - 1
-8
2~00 • £ 22-1
0 0
{
'
4
,
2
" f
2
1
=--.08(4,22*- р
);
У. = М = п
\ = — г
б ) При
—
*
—
й
з"
= с .
нахождении груза зо втором пролете ! п = 2 ) ;
к 1<4- 1
3,20 • 4,40-1
г
х (ol'4,4C-£ } = - 0 , 7 7 ( 4 , 4 0 ^ - JS ) ;
V
"
з)
При
, V
- -
к
с
l i — ( S k -rf.) = -
2 , СО
1
-
-
- M
—
= -
n
к
a
3
(^kj-s
;
0
0
( п = 3):
) =
(лоо-р)-
О,5ЙЛ i
1
~
(Sk-Л) =
fe - 1
3
3,20'
r
3
^
0
?
1
3,~1<*-1
'^к-
(a-3,*1-ot).0;
2/0-3,20
г
При нахождении груза на консоли:
VI
H
= - I
х = - х,
х - расстояние от груза до опоры 3 ;
M
1
44
~ ~
k
1
где
к!,
5
нахождении груза Е третьем пролете
М = М„
г)
С,77
- _ i k . - 3 L _ .
• к,
5,41 '
н 1
'*« _
з
к
к к
-
м
2
3
»
•
3,20-3,41 '
н
Результаты вычислений сводим в таблицу ( т а б л . 3 ) . Значения
коэффициентов ы. И р берем из табл. 2 .
Т а б л и ц а
0
М,
м0
1
0
-
:
Груз в первом пролете
п
с
0,2
-1,068
-0,103
0,024
0,4
-1,336
-0,311
С.072
0
0,6
-1,115
-С,466
0,107
0
0,3
-0,563
-0,414
0,095
0
0
с
1,С
0
0
0
Груз во втором пролете
0
0
0
0,2
0,4
0
0,414
0J82
r7
-0,251
0
С,517
-1,034
-0,532
0
0,6
0,421
-0,842
-0,687
0
0,8
0,214
-0,428
-0,562
0
1,0
0
•
0
0
0
Груз в третьем прслсте
0
0
0
0
0
0,2
-0,049
0,303
-0,993
0
0,4
-0,067
0,419
-1,352
0
0,6
-0,059
0,357
-1,133
0
0,3
-0,С34
0,210
-0,676
0
о
1,0
0
0
Груз на консоли
-
-0,274
0
( х = 3 м)
0.87Э
3,00
2 . После- построения линий влияния
(р/с. 2 0 , 5 , в , г , д !
ЕОЛИЧИН
М ,
строим линии влияния величин Q
, У и
0
K
2
KI3
и М . Для сеч:
к
ния К, расположенного во Егором пролете на расстоянии 4 и от
во:-: оперы, на основании формулы ( И !
ле­
запишем
Лля определения ординат линии влияния величины
0% строим
линиг-с влияния поперечной силы в простой балке на двух опорах
(рис. 2 1 , а , б ) . На основании Формулы (Т*;) для соченил ft
о
M
i ~
м
1
о
Рис. 21
Для нахождения ординат линии влияния величины \£ строим л и ­
нию влияния изгибающего момента в простой балке на двух опорах
(рис.
21,в).
Значения ординат лин>-и влияния для вели-ин З и
к
соответственно в табл. 4 и Ь.
4Р
приведены
Т а б л и ц а
0
• :
о,1 ч
-0,1
Груз в первом пролете
о
3,2
0
л
I1
+0,002
0,4
0
I
+0,007
0,6
0
+0,011
0,8
0
J +0,009
1,0
с
(
0
о
0
+0,010
0,012
+0,031
0,033
+0,047
0,058
+0,041
0,050
о
О
о
Груз во втором пролете
0,2
0,4**
Э,4*х
-0,2
-0,4
-0,025
-0,053
0,083
-0,142
4-0,6
0,103
-0,350
0,103
0,084
+0,650
+0,415
0,043
+0,187
0,6
0,8
+0,4
-0,С53
-0,069
+0,2
-0,С56
1,0
0
0
Груз
0
0
третьем пролете
0,2
0,4
0
-0,099
-0,031
-0,130
0
-0,135
0,6
-0,042
0
-0,177
-0,118
-0,037
0,5
-0,155
0
-0,068
1,0
-0,021
0
-С,089
0
0
0
Груз ка консоли ( х = 3 и )
+0,088
+0,02^
+0,lib
.лева от сечения,
'права от сечения.
•1?
Т а б л и ц а
7
0,4
К
0 , 0 м1
Mz
М
Груз Б первом ггаолстс
0,2
0
0,010
-0,062
-0,052
0,4
0
0,029
-0,187
-0,158
0,6
Г;
0,043
Q
0,038
- 0 , 280
-0,248
-0,237
0,8
1,0
С
0
Груз во
0
ITOPOM
-С .210
0
пролете
0,2
1,2
-0,100
-0,496
0,604
0,4
2,4
-0,213
-0,620
1,567
0,6
1,6
-0,275
-0,505
0,820
0,8
0,8
-0,225
-0,257
С,ЗГ8
1,0
С
0
0
0
Груз з третьем пролете
0,2
0
0
-0,397
+0,185
0,4
-0,541
+0,251
-0,290
0,6
0
-0,473
+0,220
-0,253
0,8
0
-0,270
+0,126
I,с
0
-0,144
0
Гру.
-
на консоли ( х = 3 м)
0
Линии влияния величин
48
С
0
-0,212
+0,ЗЬ2
•л к
--0,154
к
показаны на рис.
-0,188
е ,ж.
РАСЧКГ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ОКРЫ
Статически неопределимые фермы встречаются двух видов - внеп:
ние и внутренние. Первые имеют липние опорные связи (рис. 2 2 , а ) ,
вторые - лишние внутренние связи (рис. 2 2 , в ) .
Степень статической неопределимости фермы вычисляют по формуле
где
п = С- 2 У ,
С - 4ислс стернней в ферме, включая опорные;
У -
Ч И С Л О узлов фермы (узлы, принадлежащие земле, не
учитываются).
Например, аля фермы,показанной на рисунке:
п = 22 - 2 • ТО = 2 (рис.
п = 23 - 2 • II
= I
22,а);
(рис. 2 2 , в ) .
При расчете статически неопределимых ферм за основные неиз­
вестные при выбере основной системы принимают усилия в опорных
стержнях (рис. 2 2 , б) или усилия в стержнях самой фермы (рис.
Рис.22
22,г).
Для определения основных неизвестных составляют
канонические
уравнения, которые имеют такой же вид, как и уравнения ( 4 ) для
расчета рам. Различие заключается в том, что при определении коэф­
фициентов и свободных членов учитывают не изгибающие моменты в
стержнях основной системы, а продольные силы.
Коеффициенты и свободные члены канонических уравнений опре­
деляют пс формулам
И
m
A
где
га
j
F
;,т
т.т
Т
"
:j
а
F
л
1.
V- ,
(32)
- числе стержней в ферме;
N. , X
J
- продольные усилия в стержнях основной системы от
сил X . - I, X = I ;
л
lj_ - длина
i - n o стержня;
- модуль продольной упругости i - r o стержня;
А.— площадь поперечного сечения i - r o стержня;
^
F
- продольные усилия в стержнях основной системы от
внешней нагрузки.
Усилия
Я,, E L , x
определяют аналитическим способом выреза-
F
ния узлов или способом сквозных сечен/:й.
Если все стержни фермы выполнены из одного материала, а мо­
дуль упругости
Е пходит вс все перемеш.ения(формуды ( 3 D ,
(32)),
тс е ю можно не учитывать при расчете. Кроме этого в расчет можно
вводить не фактические площади поперечных сечений стержней, а их
соотношения. Тогца формулы (31) и (32)
j к1
- z"
3 1
8V,
^
где
г.0
A
o
ГТ
i
,Z
Я
з
1
1
-2 я
Т.
(
5.
1=1 A / A
^
д._
?J
принимаю ! вид:
[J
F
Ы
0
i
1
J
l
-S
k
о
11
A
,
i
Д
N ,
*. i , ^a. ,
- площадь поперечного сечения какого-то стержня, приня­
тая за основную.
После решения системы канонических уравнений и определения
основных неиззеетных
х , х ,...,
(
Х
2
окончательные усилия в
п
любом стержне заданной фермы находятся по выражению
N
(i)
„
^
...
+
+
x
n
+ N
F
.
(33)
Для проверки правильности расчеюв применяют формулу
i
- о.
(34)
i * i
П р и м е р I I . Определить усилия в стержнях фермы(рис.23,а).
г!
—
1 Н
E
±
Плодади поперечного сечения стержней Т-3 и 2-4 равняются 2А, осталь­
ных стержней - А, модуль упругости F. - постоянный.
51
Составляем каноническое уравнение и решаем с г с :
11 . '1
4
F
-41
г.1
1=1
1 1
4F
= О;
А
-
Л.
1
1=1
А.
1
Здесь 1^, N - усилия в стержнях фермы в основной системе ст
F
X=
I и от заданной внешней нагрузки. Для определения зтих усилий
n
используем схемы, показанные на рис. 23,в и 23,г соответственно.
Результаты расчета приводим в табл. 6, приняв ft
0
= Д.
Т а б л и п а б
*0
стергня
г
1
Ч
2
Np
*1
3
1
4, СО
0,5
-0 /707
-10,00
2-1
4,00
1,0
-0,707
0
4-3
4,00
1,0
-0^07
2-3
\6<=
1,0
1,000
4-1
5, 60
1,0
1,000
1-3
4,00
0,5
-0,707
-
-
-10,00
^
.
-:о,оо
а
7
-1.ЛТ4
1,00
-2,828
2,00
-2,828
2,00
г, бес
5,66
5,600
5,66
-Г,'Ш
1,00
0
-
^
6
z>
2-4
Итого
Гт 1.
КН
-
-
17,32
Проверка:
Номер
стержня
1
1Т
2-1
4-3
14,14
0
28,28
2-3
й-1
80,09
1-3
14,Т4
И того
0
136,65
N = H X + N
<
KtJ-M
8
2-4
х
if
i
F
кН.м
КН
10
9
5,58
-4 ,42
6,25
-15,78
5,58
5,58
5,58
-4 ,42
12,50
-7,80
-7,89
-44,66
-7 Яр
6,26
35,43
5,53
-1,42
6,25
-
-
+60,43
-60,44
1
4. Определяем основное неизвестное
X = -
= - ЩЫ*
4*
- - 7 , 8 9 кН.
5 . Определяем окончательные усилия
6.
(34)
Сем. табл. 6 , графы 7 и 8):
(табл.
6, графа 1 0 } .
Прозеряем правильность выполнения расчетов по формуле
(табл. 6 , графа
д =
60,44
:
II):
-
60,43
—
:эо = 0,016 %<.%%.
60,44
Огибка з расчетах составляет меньше 2 %, что допустимо.
Л и т е р а т у р а
. .Д а р к о н А.В.,Ш а п о ш н и к о в Н.Н. Строительная ме­
ханика: Учёб, для стооит.спец. з у з о в . - 8-е изд.,пеоераб. и ц с п . М.: Зысл.пк., Г9Я6.- 607 с.
Руководство к практическим занятиям по курсу строительном
механики (стетика стержневых с и с т е м ) : Учеб. пособие для студен­
тов зузов / Под оед. Г.К.Клейна.- 4-е нзл•,перераб. и доп. И. : Высш. 2К.,I960.384 с.
53
Оглавление
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМА РАМ МЕТОДОМ СИЛ
Статическая
ной системы
неопределимость. Зыбор основ­
3
3
Канонические уравнения метода с о
7
Проверка коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений
3
Проверка правильности построение эпюр
величин М, S, N
Ю
Использование симметрии при расчете рам
Г?
Группировка неизвестных
2С
Определение перемещений
22
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗ Б'Х
БАЛОК
24
Уравнение трех моментов
24
Учет осадки опор и действия температуры
31
Метод фокусез
33
Построение объемлющих эпюр
39
Линии влияния для неразрезных балок
41
ГАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ <5fiFH
49
ЛИТЕРАТУРА
53
Анатолий Иосифович ЗАЙЦЕВ
РАСЧЕТ СТАТИЧРСКИ HJOIiPEJPjmiX
СТ^РЖЧ?'ВНХ С/'СТОЧ МРТОДОК сил
Учетное пособие
°едактор Г.М.БЭГО.ГИЦЧНД
Техн.ред. К.?.ПОПОВ/,
корректор . .Н.1'?РЗРВД
Г
Лицензия ЛР № 020460 от ГО.04.97.
Сдано з произв. 2 7 . 1 0 . 9 7 . Подписано в печать 0 7 . 0 5 . 0 8 .
Формат 50x8-1/16. Бумага писчая. Усл. печ. л . 3 , 5 .
У ч . - и з д . л . 3 , 3 5 . Заказ IP 5 8 . Тираж ГС0 э к з . Темплан 1997 г.
Изд. !Р 1 0 .
Издательство АГТУ
Отпечатано в Издательстве АГТУ.
163007,
г.Архангельск, наб. Северной Двины, 17