СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 13

Белорусский Государственный Университет, Минск
Физический факультет
SS 2011/2012
Я.М. Шнир
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Задачи и упражнения 13
1. Модель Дебая в 1d. Рассмотрим одномерную цепочку 𝑁 связанных осцилляторов
в тепловом равновесии при температуре 𝑇 . Нормальные моды колебаний системы
определяются как
√ [
)]
(
2𝜋𝑛
𝜔𝑛 = 𝜔0 2 1 − cos
𝑁
где 𝜔0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и целое число 𝑛 ∈ [−𝑁/2, 𝑁/2]. Рассчитать теплоемкость квантовомеханической
модели, проанализировать высокотемпературный и низкотемпературный пределы.
2. Энергия ультрарелятивистского фермиона определяется соотношением
√
𝜀𝑝 = 𝑝2 𝑐2 + 𝑚2 𝑐4 → 𝑝𝑐
при импульсе 𝑝 → ∞. Показать что уравнение состояния газа ультрарелятивистских
фермионов имеет вид 𝐸 = 3𝑃 𝑉 .
3. Проверить что энтропия идеального квантового газа определяется соотношением
∑
𝑆 = −𝑘𝐵
[𝑛𝑖 ln(𝑛𝑖 ) ∓ (1 ± 𝑛𝑖 ) ln(1 ± 𝑛𝑖 )]
𝑖
где верхний знак соответствует статистике Бозе-Эйнштейна, а нижний - статистике
Ферми-Дирака.
4. Рассмотрим идеальный газ Ферми-Дирака при температуре 𝑇 .
(i) Определить вероятность того, что 𝑛 частиц находятся в данном одночастичном
состоянии как функцию среднего числа заполнения ⟨𝑛⟩.
(ii) Вычислить среднеквадратичную флуктуацию 𝛿𝑛2 = ⟨(𝑛−⟨𝑛⟩)2 ⟩ как функцию
среднего числа заполнения ⟨𝑛⟩.
5. Используя формулу распределения Ферми=Дирака
𝑛𝑖 =
1
𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1
получить выражение, которое может позволить в дальнейшем выразить химический
потенциал электронного газа через его плотность (в данной задаче этого делать
не требуется!). Показать что статистика Ферми-Дирака редуцируется к статистике
Больцмана в пределе 𝑁/𝑉 𝜆3 ≪ 1, где 𝜆 - тепловая длина волны де Бройля.
Решения
1. Рассмотрим внутреннюю энергию системы
𝐸=
𝑁/2
∑
𝑛=−𝑁/2
ℏ𝜔𝑛
ℏ𝜔
/𝑘
𝑛
𝐵𝑇
𝑒
−1
В высокотемпературном пределе 𝑘𝐵 𝑇 ≫ ℏ𝜔𝑛 и 𝑒ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇 ≈ 1 +
𝐸≈
𝑁/2
∑
ℏ𝜔𝑛
𝑛=−𝑁/2
и теплоемкость 𝐶𝑉 =
∂𝐸
∂𝑇
ℏ𝜔𝑛
,
𝑘𝐵 𝑇
то есть
𝑘𝐵 𝑇
= 𝑁 𝑘𝐵 𝑇
ℏ𝜔𝑛
= 𝑁 𝑘𝐵 .
В низкотемпературном пределе 𝑘𝐵 𝑇 ≪ ℏ𝜔𝑛 и 𝑒ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇 ≫ 1.
𝐸≈2
𝑁/2
∑
ℏ𝜔𝑛 𝑒−ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇
𝑛=0
При этом теплоемкость модели определяется как
)
∫𝑁/2 (
𝑁/2
∑
∂𝐸
(ℏ𝜔𝑛 )2 −ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇
ℏ2 𝜔02
2𝜋𝑥 −(ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 ) sin(𝜋𝑥/𝑁 )
𝐶𝑉 =
=2
𝑒
≈2
𝑒
𝑑𝑥
2 1 − cos
2
2
∂𝑇
𝑘
𝑇
𝑘
𝑇
𝑁
𝐵
𝐵
𝑛=0
0
ℏ2 𝜔02
=8
𝑘𝐵 𝑇
∫𝑁/2
sin2
0
𝜋𝑥 −(ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 ) sin(𝜋𝑥/𝑁 )
𝑒
𝑁
cos 𝜋𝑥
𝑁
𝑁 ( 𝜋𝑥 ) 8𝑁 ℏ2 𝜔02
⋅ 𝑑 sin
=
𝜋
𝑁
𝜋𝑘𝐵 𝑇
∫1
𝑑𝑡
0
𝑡2 𝑒−𝑡ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇
√
1 − 𝑡2
Поскольку функция 𝑒−𝑡ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 быстро уменьшается при приближении переменной
𝑡 к верхнему пределу интегрирования, можно оценить интеграл как
8𝑁 ℏ2 𝜔02
𝐶𝑉 ≈
𝜋𝑘𝐵 𝑇
так как
∫∞
∫1
𝑑𝑡 𝑡2 𝑒−𝑡ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇
0
8𝑁 ℏ2 𝜔02
≈
𝜋𝑘𝐵 𝑇
𝑑𝑧 𝑧 2 𝑒−𝑧 = 2, то
0
𝐶𝑉 ≈
2
𝑇
16𝑁 𝑘𝐵
⋅
𝜋ℏ
𝜔0
(
𝑘𝐵 𝑇
ℏ𝜔0
)3 ∫∞
𝑑𝑧 𝑧 2 𝑒−𝑧
0
2. Плотность числа состояний частицы со спином 1/2 в интервале значений импульса
от 𝑝 до 𝑝 + 𝑑𝑝 равна
4𝜋𝑉
𝑔(𝑝) = 2 3 𝑝2 𝑑𝑝
ℎ
Поскольку 𝜀 = 𝑐𝑝,
8𝜋𝑉
𝑔(𝜀)𝑑𝜀 = 3 3 𝜀2 𝑑𝜀
𝑐ℎ
и энергия газа определяется соотношением
8𝜋𝑉
𝐸= 3 3
𝑐ℎ
∫∞
𝜀3 𝑑𝜀
𝑒𝛽(𝜀−𝜇) + 1
0
Получить уравнение состояния можно из определения большого канонического
потенциала Φ = −𝑃 𝑉 = −𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑍
−, то есть
∫∞
𝑃 𝑉 = 𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑍
− = 𝑘𝐵 𝑇
8𝜋𝑉 𝜀2
8𝜋𝑉 𝜀2
−𝛽(𝜀−𝜇)
ln[1+𝑒
]𝑑𝜀
=
𝑘𝐵 𝑇
𝑐3 ℎ3
3𝑐3 ℎ3
0
∫∞
ln[1+𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) ]𝑑(𝜀3 )
0
(
)
Интегрируя по частям (то есть переходя от ln[1+𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) ]𝑑(𝜀3 ) → 𝑑 ln[1 + 𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) ] 𝜀3 ),
получим
∫∞ 3 −𝛽(𝜀−𝜇)
𝜀𝑒
𝐸
8𝜋𝑉 𝜀2
𝑑𝜀 =
𝑃𝑉 =
3
3
−𝛽(𝜀−𝜇)
3𝑐 ℎ
1+𝑒
3
0
3. Воспользуемся формулами распределений Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака для
среднего числа частиц в 𝑖-м квантовом состоянии
𝑛𝑖 =
1
𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇)
∓1
≡
1
𝑒𝛼+𝛽𝜀𝑖
∓1
откуда следует что
𝑒𝛼+𝛽𝜀𝑖 =
1 ± 𝑛𝑖
;
𝑛𝑖
𝛼 + 𝛽𝜀𝑖 = ln(1 ± 𝑛𝑖 ) − ln(𝑛𝑖 )
Следовательно, логарифм большой статсуммы может быть записана как
∑
∑
∑
1
ln −
𝑍=∓
ln(1 ∓ 𝑒−𝛼−𝛽𝜀𝑖 ) = ∓
ln
=±
ln(1 ± 𝑛𝑖 )
1 ± 𝑛𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
Поскольку энтропия большого канонического ансамбля определяется как
[
(
)
(
)]
∂ ln −
𝑍
∂ ln −
𝑍
𝑍−𝛼
𝑆 = 𝑘𝐵 ln −
−𝛽
∂𝛼 𝛽
∂𝛽 𝛼
то очевидно что
𝑆 = −𝑘𝐵
∑
𝑖
[𝑛𝑖 ln(𝑛𝑖 ) ∓ (1 ± 𝑛𝑖 ) ln(1 ± 𝑛𝑖 )]
4. (i) Статсумма рассматриваемой системы фермионов определена как
∑
𝑍=
𝑒𝑛𝛽(𝜇−𝜀) = [𝑛 = 0, 1] = 1 + 𝑒𝛽(𝜇−𝜀)
𝑛
где 𝜀 - энергия одночастичного состояния. Следовательно, среднее значение
числа заполнения равно
⟨𝑛⟩ = 𝑘𝐵 𝑇
∂ ln 𝑍
1
= 𝛽(𝜀−𝜇)
∂𝜇
𝑒
+1
и искомая вероятность определена соотношением
𝑃 (𝑛) =
1 𝑛𝛽(𝜇−𝜀) (1 − ⟨𝑛⟩)𝑛
𝑒
=
𝑍
⟨𝑛⟩𝑛−1
ln 𝑍
(ii) Поскольку ⟨𝑛⟩ = 𝑘𝐵 𝑇 ∂ ∂𝜇
⟨(𝑛 − ⟨𝑛⟩)2 ⟩ = 𝑘𝐵 𝑇
∂⟨𝑛⟩
= ⟨𝑛⟩(1 − ⟨𝑛⟩)
∂𝜇
5. Элемент объема конфигурационного пространства электронного газа равен
√
(2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀
2𝜋𝑉
(2𝜋ℏ)3
Плотность электронного газа определяется соотношением
(2𝑚)3/2
𝑁 = 2𝜋𝑉
(2𝜋ℏ)3
∫∞
√
𝜀𝑑𝜀
=
𝛽(𝜀−𝜇)
𝑒
+1
(
2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
0
4𝑉
√
𝜋
∫∞
√
𝑥𝑑𝑥
+1
𝑒−𝛽𝜇 𝑒𝑥
0
Следовательно,
𝑁
1 4
=𝑛= 3√
𝑉
𝜆 𝜋
√
∫∞
𝑥𝑑𝑥
+1
𝑒−𝛽𝜇 𝑒𝑥
0
Это выражение может быть использовано для выражения химического потенциала
через плотность электронного газа.
Если выполняется условие 𝑛𝜆3 ≪ 1, то очевидно что в правой части предыдущей
формулы должно выполняться условие
𝑓 = 𝑒−𝛽𝜇 ≫ 1
то есть
𝑛𝑖 =
1
𝑓 𝑒𝛽𝜀𝑖
+1
≈ 𝑓 −1 𝑒−𝛽𝜀𝑖
что согласуется с распределением Больцмана.